GIAI TICH B2 Vi Tich Phan cua Ham So Nhieu Bien JAMES STEWART 2016 Vie

Views:
 
Category: Education
     
 

Presentation Description

GIẢI TÍCH B2 (Vi Tích Phân của Hàm Số Nhiều Biến) JAMES STEWART (2016) (Vietsub)

Comments

Presentation Transcript

slide 1:

GII TCH B2 Vi T‰ch Ph¥n cıa Hm SŁ Nhi•u Bi‚n JAMES STEWART Tr‰ch Dch v So⁄n Slides: L. K. H O. T. H£i N. V. Huy B. L. T. Thanh H KHTN Khoa To¡n Tin-Hc Bº Mn Gi£i T‰ch Ngy 25 th¡ng 4 n«m 2016

slide 2:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1 ng Mt Trong Khng Gian ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º Mt tr v mt b“c hai Hm vect mºt bi‚n v ng cong 2 ⁄o hm ri¶ng v s kh£ vi cıa hm nhi•u bi‚n Hm sŁ nhi•u bi‚n Gii h⁄n v S li¶n tc cıa hm nhi•u bi‚n ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi Quy t›c m›t x‰ch v ⁄o hm cıa hm n ⁄o hm theo hng v vect gradient Cc tr khng i•u ki»n cıa hm sŁ nhi•u bi‚n Nh¥n tß Lagrange: cc tr c i•u ki»n 3 T‰ch ph¥n bºi T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt h…nh chœ nh“t T‰ch ph¥n lp T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt mi•n tŒng qu¡t GII TCH B2 2/

slide 3:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n T‰ch ph¥n k†p trong ta º cc T‰ch ph¥n bºi ba T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º tr T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º cƒu 4 Gi£i t‰ch vect Trng vect T‰ch ph¥n ng nh l c b£n cıa t‰ch ph¥n ng nh l Green Curl v Divergence Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt T‰ch ph¥n mt nh l Stocks nh l Divergence 5 Lm quen phng tr…nh vi ph¥n L“p m h…nh to¡n hc vi phng tr…nh vi ph¥n Phng tr…nh vi ph¥n c§p 1 GII TCH B2 3/

slide 4:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n Phng tr…nh vi ph¥n tuy‚n c§p 2 GII TCH B2 4/

slide 5:

˝NG V MT TRONG KH˘NG GIAN T¯A ¸

slide 6:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º Khng gian c ba trc sŁ vung gc tłng cp t⁄i gŁc O gm trc Ox Oy Oz æc s›p theo qui t›c bn tay ph£i nh h…nh di æc gi l khng gian ta º Descartes. GII TCH B2 6/

slide 7:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º Trong h…nh tr¶n ba trc t⁄o n¶n ba mt phflng: mt-xz bøc tng tr¡i mt-yz bøc tng ph£i mt-xy n•n nh ng thi chia khng gian thnh t¡m phƒn •u nhau æc gi c¡c octants khŁi tam di»n vung. Octant thø nh§t l kho£ng khng trong c«n phÆng tr¶n nh bi phƒn dng cıa c¡c trc. GII TCH B2 7/

slide 8:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º C¡ch nh v mºt i”m P trong khng gian nh sau: gi a l kho£ng c¡ch c hng tł mt-yz ‚n P b l kho£ng c¡ch tł mt-xz ‚n P v c l kho£ng c¡ch tł mt-xy ‚n P. Khi P æc ⁄i di»n bi bº ba sŁ thc .abc/ s‡ æc gi l ta º cıa P. C¡c sŁ a b c lƒn læt æc gi l ta-º- x ta-º- y ta-º- z cıa P. ” nh v i”m P ta b›t ƒu tł gŁc O i a n v dc theo trc- x ti‚p tc i b n v song song vi trc- y sau cng i c n v song song vi trc- z. GII TCH B2 8/

slide 9:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º Tł i”m P.abc/ i theo phng vung gc vi mt-xy s‡ gp i”m Q.ab0/ æc gi l h…nh chi‚u cıa P l¶n mt-xy. Tng t R.0bc/ v S.a0c/ l h…nh chi‚u cıa P l¶n mt-yz v mt-xz tng øng. V“y i”m P.abc/ x¡c nh mºt h…nh hºp chœ nh“t nh tr¶n n¶n ta º .abc/ æc gi l ta-º-hºp nhng ta quen gi l ta-º-Descartes . GII TCH B2 9/

slide 10:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º Sau ¥y l h…nh v‰ d minh ha cho trng hæp i”m . 43 5/ v i”m .3 2 6/. GII TCH B2 10/

slide 11:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º Khng gian Euclide Ngi ta k hi»u R 3 l t‰ch Descartes R R RD .xyz/jxyz2R l t“p hæp t§t c£ c¡c bº ba sŁ thc c thø t. T“p hæp R 3 æc gi l khng gian Eulide æc ng nh§t vi khng gian v“t l ba chi•u v… mØi i”m P trong khng gian v“t l æc ⁄i di»n bi mºt bº ba .abc/2R 3 nh ¢ ni tr¶n. Theo thu“t ngœ ta º octant thø nh§t cıa R 3 bao gm c¡c i”m c c¡c thnh phƒn ta º dng. TŒng qu¡t vi n 2 n2N ta nh ngha R n D .x 1 :::x n /j8kD 1nx k 2R : GII TCH B2 11/

slide 12:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º ng v mt Trong h…nh hc ta º hai chi•u th cıa mºt phng tr…nh theo x v y l mºt ng cong trong R 2 . Trong h…nh hc ta º ba chi•u mºt phng tr…nh theo x y z s‡ bi”u di„n mºt mt trongR 3 . Ch Mºt phng tr…nh theo x v y bi”u di„n mºt ng trong mt phflng nhng cng phng tr…nh l⁄i bi”u di„n mºt mt trong khng gian xem v‰ d trang sau. GII TCH B2 12/

slide 13:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º V‰ d Phng tr…nh yD 5 bi”u di„n mt phflng trong R 3 nhng l⁄i bi”u di„n ng thflng trong R 2 nh minh ha sau GII TCH B2 13/

slide 14:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º Cng thøc kho£ng c¡ch Kho£ng c¡ch giœa hai i”m P 1 .x 1 y 1 z 1 / v P 2 .x 2 y 2 z 2 / æc cho bi P 1 P 2 D p .x 2 x 1 / 2 C.y 2 y 1 / 2 C.z 2 z 1 / 2 GII TCH B2 14/

slide 15:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º Phng tr…nh mt cƒu Mt cƒu t¥m C.hkl/ vi b¡n k‰nh r æc bi”u di„n bi phng tr…nh .x h/ 2 C.y k/ 2 C.z l/ 2 D r 2 : GII TCH B2 15/

slide 16:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º Vect-h…nh-hc l o⁄n thflng c mºt ƒu l mi t¶n thng gi l ngn æc dng ” bi”u th vi ⁄i læng trong khoa hc v‰ d º di hay chuy”n dch v“n tŁc lc v.v.. v… n th” hi»n ı hai thuºc t‰nh l º ln v hng . H…nh v‡ b¶n tr…nh by vect-h…nh-hc æc k hi»u bi AB hoc ng›n gn hn l . GII TCH B2 16/

slide 17:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º Cºng vect: qui t›c nŁi ti‚p N‚u v l hai vect sao cho ngn cıa trng vi gŁc cıa th… vect tŒng C l vect c gŁc cıa v c ngn cıa . Bi”u th h…nh hc cho ph†p cºng l qui t›c tam gi¡c: ABC BCD AC: GII TCH B2 17/

slide 18:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º Ph†p cºng c t‰nh giao ho¡n Nh…n vo h…nh b…nh hnh tr¶n ta th§y ph†p cºng vect c t‰nh giao ho¡n C D C GII TCH B2 18/

slide 19:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º T‰ch-theo-h»-sŁ N‚u k l mºt sŁ thc v l mºt vect th… t‰ch-theo-h»-sŁ k l mºt vect c º di b‹ng jkj nh¥n vi º di cıa cng hng vi n‚u k 0 ngæc hng vi n‚u k 0. N‚u kD 0 hoc D 0 th… k D 0. GII TCH B2 19/

slide 20:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º Bi”u di„n vect bi ta º MØi vect-h…nh-hc l o⁄n thflng c hng n‚u æc tnh ti‚n sao cho i”m ƒu cıa n t vo gŁc ta º th… i”m ngn c ta º l .a 1 a 2 / hay .a 1 a 2 a 3 /tythuºcvokhnggian R 2 hayR 3 . Lc ta vi‚t Dha 1 a 2 i hay Dha 1 a 2 a 3 i C¡c sŁ a 1 a 2 a 3 æc gi l c¡c thnh phƒn cıa v l vect-⁄i-sŁ. GII TCH B2 20/

slide 21:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º V‰ d: H…nh v‡ b¶n c nhi•u vect-h…nh-hc. Vect-⁄i-sŁ Dh32i ⁄i di»n cho t§t c£ vect-h…nh-hc ny. Chng c chung mºt c i”m l tł i”m ƒu ‚n i”m cuŁi c th” i qua ph£i 3 n v l¶n tr¶n 2 n v. Vect-v-tr‰ Vi mØi i”m P.a 1 a 2 /2R 2 hoc P.a 1 a 2 a 3 /2R 3 vect OP æc gi l vect-v-tr‰ cıa i”m P. Nh v“y ta c th” ng nh§t khng gian Euclide vi khng gian c¡c vect-⁄i-sŁ v… mØi i”m P.a 1 :::a n /2R n tng øng 1-1 vi vect- v-tr‰ OP æc ⁄i di»n bi vect-⁄i-sŁ Dha 1 :::a n i. GII TCH B2 21/

slide 22:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º H…nh b¶n tr…nh by D OPDha 1 a 2 a 3 i l vect v tr‰ cıa i”m P.a 1 a 2 a 3 / trong khng gian. N‚u D AB vi A.xyz/ v B.x 1 y 1 z 1 / th… ta c x 1 D xCa 1 y 1 D xCa 2 z 1 D zCa 3 . Cng thøc t‰nh ta º cho vect-h…nh-hc Vi hai i”m A.x 1 y 1 z 1 / v B.x 2 y 2 z 2 / ta c vect-⁄i-sŁ ⁄i di»n cho vect-h…nh-hc AB nh sau ABD Dhx 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 i: GII TCH B2 22/

slide 23:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º C¡c cng thøc kh¡c v• vect N‚u Dha 1 a 2 i v Dhb 1 b 2 i hai chi•u k2R th… C Dha 1 Cb 1 a 2 Cb 2 i Dha 1 b 1 a 2 b 2 i k Dhka 1 ka 2 i v j jD q a 2 1 Ca 2 2 Tng t trong trng hæp ba chi•u ta c C Dha 1 Cb 1 a 2 Cb 2 a 3 Cb 3 i Dha 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 i k Dhka 1 ka 2 ka 3 i v j jD q a 2 1 Ca 2 2 Ca 2 3 GII TCH B2 23/

slide 24:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º Vect c s n v Trng hæp hai chi•u Dh10i v Dh01i æc gi l hai vect c s chun t›c. Trng ba chi•u ba vect c s gm Dh100i Dh010i v Dh001i. N‚u Dha 1 a 2 i hoc ha 1 a 2 a 3 i th… D a 1 Ca 2 hoc D a 1 Ca 2 Ca 3 : GII TCH B2 24/

slide 25:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º C¡c t‰nh ch§t v• vect N‚u v l c¡c vect trong R n v s t l hai sŁ thc th… 1 C D C 2 . C /C D C. C / 3 C 0D 4 C. /D 0 5 s. C /D s Cs 6 .sCt/ D s Ct 7 .st/ D s.t / 8 1 D GII TCH B2 25/

slide 26:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º nh ngha t‰ch v hng N‚u Dha 1 :::a n i v Dhb 1 :::b n i th… t‰ch v hng cıa v l sŁ thc æc nh bi D a 1 b 1 CC a n b n T‰nh ch§t cıa t‰ch v hng N‚u v l c¡c vect trong R n v t l mºt sŁ thc th… 1 Dj j 2 2 D 3 . C /D C 4 .t / D t. /D .t / 5 0 D 0 GII TCH B2 26/

slide 27:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º nh l N‚u l sŁ o gc giœa hai vect v th… Dj j:j j:cos I hay cos D j j:j j Do : D 0: GII TCH B2 27/

slide 28:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º Chøng minh. p dng nh l cosin trong tam gi¡c ABC trong h…nh tr¶n ta æc AB 2 D OA 2 COB 2 2:OA:OB:cos 1.1 Nhng ABDj j OADj j v OBDj j do 1.1 tr thnh j j 2 Dj j 2 Cj j 2 2j jj jcos 1.2 Nhng theo t‰nh ch§t 1 2 3 cıa t‰ch v hng th… v‚ tr¡i cıa 1.2 æc vi‚t l⁄i nh sau j j 2 D. / . / Dj j 2 2j jj jCj j 2 1.3 Tł 1.2 v 1.3 ta c i•u ph£i chøng minh. GII TCH B2 28/

slide 29:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º H…nh chi‚u cıa mºt vect tr¶n mºt vect kh¡c X†t D PQ v D PR nh h…nh tr¶n. Vect PS vi k hi»u l proj æc gi l vect h…nh chi‚u cıa l¶n . GII TCH B2 29/

slide 30:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º Thnh phƒn cıa tr¶n l º di ⁄i sŁ º di c d§u cıa proj tr¶n æc t‰nh bi j jcos trong l gc t⁄o bi v . Thnh phƒn ny æc k hi»u bi comp . Khi l gc t th… comp 0. Cng thøc comp D j j proj D j j j j D j j 2 GII TCH B2 30/

slide 31:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º C˘NG CA LC Trong h…nh tr¶n b¶n tr¡i thnh phƒn cıa lc c cng tham gia vo vi»c dch chuy”n v“t tł P ‚n Q æc bi”u th bi PS. Do cng cıa lc tham gia vi»c dch chuy”n v“t theo º di l WD.j jcos/j PQjD : N‚u l gc t th… cng s‡ ¥m ngha l lc c cng c£n tr v“t dch chuy”n theo hng . GII TCH B2 31/

slide 32:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º C¡cgcvcosinech¿hngcıavect MØi vect ⁄ 0 s‡ hæp vi hng dng cıa ba trc Ox Oy Oz c¡c gc v trong kho£ng0 æc gi l c¡c gc ch¿ hng v cos cos v cos æcgilc¡ccosinech¿hngcıa . nh l N‚u Dha 1 a 2 a 3 i th…hcos cos cos iD 1 j j l vect n v cng hng vi v… cos D j jj j D a 1 j j I tng t cos D a 2 j j I cos D a 3 j j GII TCH B2 32/

slide 33:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º nh ngha t‰ch hœu hng N‚u Dha 1 a 2 a 3 i v Dhb 1 b 2 b 3 i l hai vect th… t‰ch hœu hng cıa v l vect mi æc nh bi Dha 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 i D a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 v• h…nh thøc t‰nh nh nh thøc nh l Vect vung gc vi c£ hai vect v ngha l . /D 0 v . /D 0: GII TCH B2 33/

slide 34:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º Hng cıa vect æc x¡c nh theo qui t›c bn tay ph£i nh h…nh v‡ tr¶n. nh l 1 N‚u l gc giœa v 0 th… j jDj jj jsin: Suy raj j b‹ng di»n t‰ch h…nh b…nh hnh sinh bi v . 2 v cng phng khi v ch¿ khi D 0. GII TCH B2 34/

slide 35:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º nh l N‚u v l c¡c vect t l sŁ thc th… 1 D 2 .t / D t. /D .t / 3 . C /D C 4 . C / D C 5 . /D. / 6 . /D. / . / T‰ch hØn hæp Trong mc 5 cıa nh l tr¶n sŁ . / æc gi t‰ch hØn hæp cıa ba vect v . GII TCH B2 35/

slide 36:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º Trong h…nh tr¶n th” t‰ch h…nh hºp b‹ng di»n t‰ch h…nh b…nh hnh ¡y SDj j nh¥n º cao hDj jcos . Cng thøc th” t‰ch h…nh hºp Ba vect D ha 1 a 2 a 3 i D hb 1 b 2 b 3 i v Dhc 1 c 2 c 3 i sinh ra h…nh hºp c th” t‰ch cho bi VDj . /jD a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 GII TCH B2 36/

slide 37:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º M-men xo›n Hng cıa vect ti‚n theo trc quay. Vi cng º ln cıa lc sŁ o l bao nhi¶u th… cng º m-men quay ln nh§t tng cho kh¡i ni»m t‰ch hœu hng b›t ngun tł v“t l. C th” chng ta x†t mºt lc t¡c ºng l¶n v“t th” cøng t⁄i mºt i”m t c vect v tr‰ chflng h⁄n nh chng ta xi‚t bu-loong b‹ng c¡ch ¡p mºt lc l¶n ch…a kha vn nh h…nh b¶n khi s‡ xu§t hi»n hi»u øng quay. M-men quay quanh gŁc O æc nh ngha l vect D n ni l¶n xu hng quay cıa v“t th” quanh t¥m O m⁄nh hay y‚u. GII TCH B2 37/

slide 38:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º Trong h…nh tr¶n i”m P 0 .x 0 y 0 z 0 / v P.xyz/ lƒn læt c vect-v-tr‰ l 0 v . Phng tr…nh ng thflng N‚u P thuºc ng thflng L i qua P 0 vi vect ch¿ phng Dhabci th… tha phng tr…nh D 0 Ct t2R 1.4 ngha l x y z tha xD x 0 Cat yD y 0 Cbt zD z 0 Cct 1.5 Phng tr…nh 1.4 v 1.5 æc gi l phng tr…nh vect v phng tr…nh tham sŁ cıa ng thflng L. GII TCH B2 38/

slide 39:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º Phng tr…nh vect bi”u di„n o⁄n thflng nŁi P 0 v P l D 0 Ct 0 t 1 Khß t trong phng tr…nh 1.5 ta c d⁄ng ch‰nh t›c cıa ng thflng x x 0 a D y y 0 b D z z 0 c GII TCH B2 39/

slide 40:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.1. ˘n t“p M rºng ki‚n thøc h…nh hc ta º Phng tr…nh mt phflng Trong khng gian ta º Oxyz n‚u mt phflng ./ i qua i”m P.x 0 y 0 z 0 / v vung gc vi Dhabci th… phng tr…nh cıa mt phflng./ l mºt trong c¡c d⁄ng sau a.x x 0 /Cb.y y 0 /Cc.z z 0 /D 0 axCbyCcz .ax 0 Cby 0 Ccz 0 /D 0 axCbyCczCdD 0 trong dD .ax 0 Cby 0 Ccz 0 / axCbyCczD ax 0 Cby 0 Ccz 0 GII TCH B2 40/

slide 41:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.2. Mt tr v mt b“c hai Mt tr Mt b“c hai — b“c phŒ thng sinh vi¶n ¢ bi‚t mt phflng v mt cƒu. Sau ¥y chng ta s‡ t…m hi”u mt tr cylinder v mt b“c hai quadric surface nh ngha Mt tr l mt bao gm c¡c ng thflng song song ta gi l c¡c ng k· rulings vi mºt ng thflng cho trc v c¡c ng k· ny ta l¶n mºt ng cong phflng cho trc. Mt b“c hai l mt chøa c¡c i”m c ta º tha mºt phng tr…nh b“c hai v chøa ı ba bi‚n x y v z. GII TCH B2 41/

slide 42:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.2. Mt tr v mt b“c hai Ch C¡ch hœu dng ” hi”n th hay ph¡c ha mºt mt cong l x¡c nh phƒn giao cıa n vi c¡c mt phflng song song vi c¡c mt ta º. C¡c ng giao tuy‚n cong ny æc gi l v‚t trace v t⁄o n¶n h…nh £nh cıa li gridlines Ti‚p theo l c¡c v‰ d. GII TCH B2 42/

slide 43:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.2. Mt tr v mt b“c hai V‰ d M t£ v ph¡c ha mt S c phng tr…nh zD x 2 . Lu phng tr…nh ny khng chøa bi‚n y c ngha r‹ng mi i”m P.xyz/ thuºc mt cong S c h…nh chi‚u l¶n mt-xz s‡ thuºc parabol zD x 2 . Ni c¡ch kh¡c v‚t c›t cıa mt phflng yD k vi mt S l mºt parabol mt yD k song song vi mt-xz. V‚t cıa mt xD k hay zD k vi S l c¡c ng thflng song song vi trc Oy ta gi l c¡c ng k· rulings. V“y S c d⁄ng mºt lÆng m¡ng parabol v l mt tr. GII TCH B2 43/

slide 44:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.2. Mt tr v mt b“c hai V‰ d Ph¡c ha mt cong zD y 2 x 2 . C¡c v‚t trong mt xD k H…nh chi‚u cıa c¡c v‚t trong mt xD k l¶n mt-yz l c¡c parabol zD y 2 k 2 GII TCH B2 44/

slide 45:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.2. Mt tr v mt b“c hai C¡c v‚t trong mt yD k H…nh chi‚u cıa c¡c v‚t trong mt yD k l¶n mt-xz l c¡c parabol zD k 2 x 2 GII TCH B2 45/

slide 46:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.2. Mt tr v mt b“c hai C¡c v‚t trong mt zD k H…nh chi‚u cıa c¡c v‚t trong mt zD k l¶n mt-xy l c¡c hyperbol kD y 2 x 2 GII TCH B2 46/

slide 47:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.2. Mt tr v mt b“c hai H…nh ph¡c ha cıa mt zD y 2 x 2 GII TCH B2 47/

slide 48:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.2. Mt tr v mt b“c hai Ph¥n lo⁄i mt b“c hai Ellipsoid Ellipsoid c phng tr…nh x 2 a 2 C y 2 b 2 C z 2 c 2 D 1 C¡c v‚t •u l ng ¶-lip. Trng hæp aD bD c th… Ellipsoid l mt cƒu. GII TCH B2 48/

slide 49:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.2. Mt tr v mt b“c hai Cone Nn Phng tr…nh mt nn l z 2 c 2 D x 2 a 2 C y 2 b 2 C¡c v‚t ngang •u l ng ¶-lip. V‚t øng trong c¡c mt phflng x D k yD kvi k6D 0lc¡cnghyperbola. N‚ukD 0th…v‚tlc¡ccpngthflng. GII TCH B2 49/

slide 50:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.2. Mt tr v mt b“c hai Elliptic Parboloid Mt Elliptic Paraboloid c phng tr…nh z c D x 2 a 2 C y 2 b 2 C¡c v‚t ngang l c¡c ng ¶-lip. V‚t øng l c¡c parabola. Bi‚n b“c nh§t cıa phng tr…nh x¡c nh trc cıa mt Elliptic Paraboloid. GII TCH B2 50/

slide 51:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.2. Mt tr v mt b“c hai Hyperbolic Paraboloid Mt Hyperbolic Paraboloid c phng tr…nh z c D x 2 a 2 y 2 b 2 C¡c v‚t ngang l c¡c ng hyperbola. V‚t øng l c¡c parabola. Bi‚n b“c nh§t cıa phng tr…nh x¡c nh trc cıa mt Elliptic Paraboloid. H…nh b¶n minh ha cho trng hæp c 0. GII TCH B2 51/

slide 52:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.2. Mt tr v mt b“c hai Hyperboloid Of One Sheet Mt Hyperboloid-mºt-m£nh c phng tr…nh x 2 a 2 C y 2 b 2 z 2 c 2 D 1 C¡c v‚t ngang l c¡c ng ¶-lip. V‚t øng l c¡c hyperbola. Trc Łi xøng tng øng vi bi‚n mang h» sŁ ¥m. GII TCH B2 52/

slide 53:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.2. Mt tr v mt b“c hai Hyperboloid Of Two Sheets Mt Hyperboloid-hai-m£nh c phng tr…nh x 2 a 2 y 2 b 2 C z 2 c 2 D 1 C¡c v‚t ngang trong mt z D k l c¡c ng ¶-lip khi jkjjcj. C¡c v‚t øng l c¡c hyperbola. Hai d§u trł trong phng tr…nh cho bi‚t mt c hai m£nh. GII TCH B2 53/

slide 54:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.2. Mt tr v mt b“c hai Bº truy•n ºng cıa hºp sŁ trong ºng c xe c h…nh d⁄ng Hyperboloid mºt m£nh. GII TCH B2 54/

slide 55:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.3. Hm vect mºt bi‚n v ng cong Hm vect mºt bi‚n ng cong Hm vect mºt bi‚n Cho n hm sŁ mºt bi‚n f 1 ::: f n . Vi mØi gi¡ tr cıa bi‚n t thuºc mºt kho£ng-o⁄n no ta c vect trong R n nh sau .t/D f 1 .t/f 2 .t/:::f n .t/ V“y ta c hm vect mºt bi‚n . N‚u c¡c hm sŁ f k c gii h⁄n t⁄i a ta nh ngha lim ta .t/D lim ta f 1 .t/::: lim ta f n .t/ GII TCH B2 55/

slide 56:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.3. Hm vect mºt bi‚n v ng cong N‚u l vect v tr‰ cıa i”m P f.t/g.t/h.t/ th… khi t thay Œi P s‡ v⁄ch ra mºt ng cong C trong khng gian vi gi£ thi‚t r‹ng hm vect li¶n tc. Hm vect li¶n tc Hm vect Dhf 1 :::f n i li¶n tc t⁄i a c ngha l lim ta .t/D .a/ cng c ngha l c¡c hm thnh phƒn f k li¶n tc t⁄i a. C mºt s li¶n h» gƒn giœa hm vect li¶n tc v ng cong phflng hoc ng cong khng gian xem h…nh b¶n. GII TCH B2 56/

slide 57:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.3. Hm vect mºt bi‚n v ng cong N‚u f g h l ba hm sŁ mºt bi‚n li¶n tc tr¶n mºt o⁄n-kho£ng I no th… t“p hæp C gm c¡c i”m .xyz/ sao cho xD f.t/ yD g.t/ zD h.t/ 1.6 v t thay Œi tr¶n kho£ng-o⁄n I l mºt ng cong trong khng gian. Phng tr…nh 1.6 æc gi l h» phng tr…nh tham sŁ cıa C v t l tham sŁ. GII TCH B2 57/

slide 58:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.3. Hm vect mºt bi‚n v ng cong V‰ d Ph¡c ha ng cong c phng tr…nh vect .t/D cost Csint C t . Phng tr…nh tham sŁ cıa ng cong l xD cost yD sint zD t V… x 2 Cy 2 D 1 n¶n ng cong n‹m tr¶n mt tr trÆn c phng tr…nh x 2 Cy 2 D 1. i”m .xyz/ cıa ng cong c h…nh chi‚u l¶n mt-xy l .xy0/. Khi t t«ng th… i”m .xy0/ ch⁄y ngæc chi•u kim ng h tr¶n ng trÆn x 2 Cy 2 D 1. V… zD t n¶n ng cong xo›n Łc quanh mt tr hng l¶n tr¶n khi t t«ng n c h…nh lÆ xo. GII TCH B2 58/

slide 59:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.3. Hm vect mºt bi‚n v ng cong V‰ d T…m phng tr…nh vect bi”u di„n ng cong giao tuy‚n cıa mt tr x 2 Cy 2 D 1 v mt phflng yCzD 2. GII TCH B2 59/

slide 60:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.3. Hm vect mºt bi‚n v ng cong H…nh chi‚u cıa ng cong l¶n mt-xy l ng trÆn x 2 Cy 2 D 1 zD 0 do ta c th” t xD cost yD sint 0 t 2 Tł phng tr…nh yCzD 2 ta suy ra zD 2 sint. Ta c phng tr…nh tham sŁ cıa ng cong l xD cost yD sint zD 2 sint 0 t 2 V phng tr…nh vect tng øng l .t/D cost Csint C.2 sint/ 0 t 2 GII TCH B2 60/

slide 61:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.3. Hm vect mºt bi‚n v ng cong S kh£ vi v Vect ti‚p tuy‚n Vi hm vect ta nh ngha d dt D 0 .t/D lim h0 .tCh/ .t/ h n‚u gii h⁄n tr¶n tn t⁄i. ngha h…nh hc æc tr…nh by trong h…nh b¶n. N‚u hai i”m P v Q c vect v tr‰ l .t/ v .tCh/ tng øng th… PQ l bi”u di„n h…nh hc cıa .tCh/ .t/ xem nh l vect c¡t tuy‚n cıa ng cong. GII TCH B2 61/

slide 62:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.3. Hm vect mºt bi‚n v ng cong N‚u h 0 th… .tCh/ .t/h c cng hng vi .tCh/ .t/. Khi h 0 c v· nh vect ny ti‚p c“n vi mºt vect n‹m tr¶n ng ti‚p tuy‚n. V… l do ny m 0 .t/ æc gi vect ti‚p tuy‚n vi ng cong nh bi t⁄i i”m P mi„n l tn t⁄i 0 .t/ v 0 .t/⁄ 0. Ti‚p tuy‚n vi ng cong t⁄i P l ng thflng qua P c vect ch¿ phng l 0 .t/. i khi ta cng x†t vect ti‚p tuy‚n n v nh bi .t/D 0 .t/ 0 .t/ : nh l N‚u .t/Dhf.t/g.t/h.t/i vi f g h l c¡c hm sŁ kh£ vi th… 0 .t/Dhf 0 .t/g 0 .t/h 0 .t/iD f 0 .t/ Cg 0 .t/ Ch 0 .t/ GII TCH B2 62/

slide 63:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.3. Hm vect mºt bi‚n v ng cong Qui t›c ⁄o hm N‚u v l hai hm vect kh£ vi c l h‹ng sŁ thc f l hm sŁ thc mºt bi‚n kh£ vi th… 1 d dt .t/C .t/D 0 .t/C 0 .t/ 2 d dt c .t/D c 0 .t/ 3 d dt f.t/ .t/D f 0 .t/ .t/Cf.t/ 0 .t/ 4 d dt .t/ .t/D 0 .t/ .t/C .t/ 0 .t/ 5 d dt .t/ .t/D 0 .t/ .t/C .t/ 0 .t/ 6 d dt .f.t//D f 0 .t/ 0 .f.t// GII TCH B2 63/

slide 64:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.3. Hm vect mºt bi‚n v ng cong H» qu£ N‚u l hm vect kh£ vi v .t/ D c l h‹ng sŁ ºc l“p vi t th… 0 .t/ l vect vung gc vi .t/ vi mi t. Chøng minh. Tł gi£ thi‚t ta suy ra .t/ 2 D .t/ .t/D c 2 . L§y ⁄o hm theo t hai v‚ ta æc 0 .t/ .t/C .t/ 0 .t/D 0 8t: Suy ra 2 0 .t/ .t/D 0 ngha l 0 .t/ vung gc vi .t/. GII TCH B2 64/

slide 65:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.3. Hm vect mºt bi‚n v ng cong T⁄i mºt i”m tr¶n mºt ng cong khng gian .t/ trn kh£ vi c nhi•u vect cng vung gc vi vect ti‚p tuy‚n n v .t/ m ta n cß hai hai trng hæp: V… .t/ D 1 h‹ng sŁ ºc l“p vi t n¶n 0 .t/ vung gc vi .t/. Do ta c nh ngha sau Vect ph¡p tuy‚n Vect ph ph¡p tuy‚n t⁄m dch Cho ng cong khng gian .t/ kh£ vi. C¡c vect sau .t/D 0 .t/ 0 .t/ .t/D .t/ .t/ lƒn læt æc gi l vect ph¡p tuy‚n n v vect ph ph¡p tuy‚n. Nh›c l⁄i r‹ng .t/D 0 .t/ 0 .t/ l vect ti‚p tuy‚n n v cıa ng cong. GII TCH B2 65/

slide 66:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.3. Hm vect mºt bi‚n v ng cong H…nh minh ha cho vect ti‚p tuy‚n ph¡p tuy‚n v ph ph¡p tuy‚n cıa ng cong GII TCH B2 66/

slide 67:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.3. Hm vect mºt bi‚n v ng cong º di ng cong. Gi£ sß mºt ng cong trong khng gian hoc trong mt phflng c phng tr…nh vect l .t/Dhf.t/g.t/h.t/i hoc .t/Dhf.t/g.t/i vi a t b trong c¡c ⁄o hm f 0 g 0 h 0 li¶n tc tr¶n ab. Hn nœa khi t t«ng tł a ‚n b i”m P f.t/g.t/h.t/ hoc l P f.t/g.t/ khng i qua kho£ng no cıa ng cong nhi•u hn mºt lƒn. Khi º di cıa ng cong æc nh ngha bi cng thøc sau LD Z b a 0 .t/ dtD Z b a p f 0 .t/ 2 Cg 0 .t/ 2 dt 1.7 hoc l LD Z b a p f 0 .t/ 2 Cg 0 .t/ 2 Ch 0 .t/ 2 dt: 1.8 GII TCH B2 67/

slide 68:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.3. Hm vect mºt bi‚n v ng cong tng ” thi‚t l“p cng thøc t‰nh º di ng cong 1.7-1.8 l l§y gii h⁄n tŒng º di c¡c o⁄n thflng g§p khc nŁi c¡c i”m li¶n ti‚p tr¶n ng cong khi sŁ i”m dƒn ‚n v h⁄n. GII TCH B2 68/

slide 69:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.3. Hm vect mºt bi‚n v ng cong Cng thøc º di ºc l“p vi c¡ch tham sŁ ha Mºt ng cong æc bi”u di„n bi phng tr…nh vect hay tham sŁ theo nhi•u c¡ch. V‰ d mºt ng cong n C c hai c¡ch bi”u di„n sau 1 .t/Dhtt 2 t 3 i 1 t 2 2 .u/Dhe u e 2u e 3u i 0 u ln2 N‚u ta dng cng thøc t‰nh º di ng cong 1.8 theo hai c¡ch tham sŁ ha tr¶n th… ta c cng k‚t qu£. Ni mºt c¡ch tŒng qu¡t sau ¥y ta s‡ th§y khi cng thøc 1.7-1.8 æc dng ” t‰nh º di ng cong th… k‚t qu£ s‡ ºc l“p vi c¡ch tham sŁ ha ng cong. GII TCH B2 69/

slide 70:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.3. Hm vect mºt bi‚n v ng cong X†t ng cong C cho bi hm vect .t/D f.t/ Cg.t/ Ch.t/ a t b trong 0 li¶n tc v khi t t«ng tł a ‚n b th… ng cong æc v‡ ng 1 lƒn 1 n†t khng trng l⁄i. Ta nh ngha hm sŁ º di cung s bi s.t/D Z t a 0 .u/ duD Z t a r dx du 2 C dy du 2 C dz du 2 du 1.9 Ngha l s.t/ l º di mºt phƒn cıa C tł .a/ ‚n .t/ nh h…nh b¶n. Theo nh l c b£n cıa gi£i t‰ch gi¡o tr…nh gi£i t‰ch B1 th… ds dt D 0 .t/ GII TCH B2 70/

slide 71:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.3. Hm vect mºt bi‚n v ng cong Ngi ta thng tham sŁ ha ng cong theo º di cung bi v… mºt c¡ch t nhi¶n th… º di cung l do h…nh d⁄ng ng cong quy‚t nh v khng ph thuºc vo h» thŁng ta º no c£. N‚u ng cong .t/ cho trc theo tham sŁ t v s.t/ l º di cung cho bi 1.9 th… ta c th” gi£i t nh l mºt hm bi‚n s: tD t.s/. V“y ta tham sŁ ha l⁄i ng cong tham sŁ s CW .s/D t.s/ GII TCH B2 71/

slide 72:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 1.3. Hm vect mºt bi‚n v ng cong V‰ d H¢y tham sŁ ha l⁄i ng lÆ xo .t/D cost Csint Ct theo º di cung æc o tł .100/ theo hng t«ng cıa t. Gi£i. i”m ƒu .100/ tng øng vi tD 0. Ta c ds dt D 0 .t/ D p . sint/ 2 Ccos 2 tC1 2 D p 2 do sD s.t/D Z t 0 0 .u/ duD Z t 0 p 2duD t p 2. Thay tD s p 2 ta c tham sŁ ha cıa lÆ xo theo º di cung nh sau t.s/ D cos s p 2 Csin s p 2 C s p 2 s 0 2 GII TCH B2 72/

slide 73:

O HM RING S KH VI CA HM S¨ NHIU BIN

slide 74:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.1. Hm sŁ nhi•u bi‚n Hm sŁ hai bi‚n Hm sŁ hai bi‚n l mºt qui t›c g¡n mØi cp sŁ thc c thø t .xy/ thuºc mºt t“p hæp D vi duy nh§t mºt sŁ thc f.xy/. T“p hæp D æc gi l mi•n x¡c nh cıa f. Mi•n gi¡ tr cıa f l t“p hæp c¡c gi¡ tr m f c ngha l t“p f.xy/j.xy/2 D . Ta thng vi‚t zD f.xy/ ” hi”n th gi¡ tr cıa f t⁄i mºt i”m .xy/ ni chung cıa mi•n x¡c nh. N‚u f æc bi”u di„n bi mºt bi”u thøc m khng æc ch¿ rª mi•n x¡c nh th… ta hi”u ngƒm mi•n x¡c nh cıa f l t“p hæp c¡c cp sŁ .xy/ lm cho bi”u thøc hm c ngha. GII TCH B2 74/

slide 75:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.1. Hm sŁ nhi•u bi‚n Hm sŁ hai bi‚n c mi•n x¡c nh l t“p con cıa R 2 mi•n gi¡ tr trong R. Do ta c th” dng s mi t¶n sau ¥y ” di„n t£ hm sŁ f c mi•n x¡c nh D l mºt phƒn cıa mt phflng xy. GII TCH B2 75/

slide 76:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.1. Hm sŁ nhi•u bi‚n C bŁn c¡ch bi”u di„n mºt hm sŁ hai bi‚n Di„n ⁄t b‹ng li Trng b£ng gi¡ tr Di„n ⁄t b‹ng cng thøc ⁄i sŁ Bi”u di„n b‹ng th hoc c¡c ng ng møc. GII TCH B2 76/

slide 77:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.1. Hm sŁ nhi•u bi‚n V‰ d Hm sŁ trong mØi c¥u sau æc bi”u di„n bi cng thøc ⁄i sŁ. H¢y t‰nh f.32/ v t…m mi•n x¡c nh cıa n. a f.xy/D x ln.y 2 x/ b f.xy/D p xCyC1 x 1 Gi£i a f.32/D 3ln.2 2 3/D 3ln1D 0. V… ln.y 2 x/ ch¿ x¡c nh khi y 2 x 0 ngha l x y 2 . Do mi•n x¡c nh l .xy/jx y 2 . ¥y l t“p hæp c¡c i”m n‹m b¶n tr¡i parabola xD y 2 nh h…nh b¶n. GII TCH B2 77/

slide 78:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.1. Hm sŁ nhi•u bi‚n b f.32/D p 3C2C1 3 1 D p 6 2 . Bi”u thøc cıa hm f c ngha khi m¤u kh¡c 0 bi”u thøc trong c«n khng ¥m. Do mi•n x¡c nh cıa f l .xy/jxCyC1 0 x6D 1 : B§t flng thøc xCyC1 0 hay y x 1 m t£ c¡c i”m .xy/ n‹m tr¶n hoc ph‰a tr¶n ng thflng yD x 1 trong khi x6D 1 ni l¶n r‹ng ng thflng xD 1 b lo⁄i khi mi•n x¡c nh. GII TCH B2 78/

slide 79:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.1. Hm sŁ nhi•u bi‚n V‰ d. Ch¿-sŁ-l⁄nh-c£m-t‰nh l ⁄i læng W ph thuºc vo nhi»t º T v v“n tŁc gi v ta vi‚t WD f.Tv/. Hm sŁ f æc di„n t£ b‹ng b£ng gi¡ tr sau v‰ d f. 550/D 15 GII TCH B2 79/

slide 80:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.1. Hm sŁ nhi•u bi‚n th hm sŁ hai bi‚n N‚u hm sŁ hai bi‚n f c mi•n x¡c nh D th… th cıa f l t“p hæp c¡c i”m .xyz/ trongR 3 sao cho z D f.xy/ v .xy/ thuºc D. Ni chung th ny c d⁄ng mt cong. GII TCH B2 80/

slide 81:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.1. Hm sŁ nhi•u bi‚n V‰ d. Hm sŁ f nh bi f.xy/D sinxCsiny c th nh h…nh sau GII TCH B2 81/

slide 82:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.1. Hm sŁ nhi•u bi‚n C¡c ng ng møc C¡c ng ng møc cıa mºt hm sŁ f c hai bi‚n l nhœng ng cong trong mt phflng xy c phng tr…nh f.xy/D k vi k l h‹ng sŁ thuºc mi•n gi¡ tr cıa f. Ni c¡chkh¡c v‚t cıa th hm f vi mt ngang zD k c h…nh chi‚u l¶n mt-xy l ng ng møc. T“p hæp c¡c ng ng møc trong mt-xy æc gi l contour map mºt thu“t ngœ cıa ngnh a l dng ” m t£ a h…nh tr¶n b£n . GII TCH B2 82/

slide 83:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.1. Hm sŁ nhi•u bi‚n H…nh b¶n tr…nh by c¡c ng ng møc trong b£n a h…nh cıa ni Lonesome m t£ º cao cıa c¡c v tr‰ kh¡c nhau so vi mt nc bi”n. B• mt a h…nh xem nh th cıa hm sŁ hai bi‚n. Tng t trong ngnh a l cng c b£n c¡c ng flng ¡p isobars ng flng nhi»t isothermals. GII TCH B2 83/

slide 84:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.1. Hm sŁ nhi•u bi‚n B£n tr¶n tr…nh by c¡c ng flng nhi»t m t£ nhi»t º trung b…nh cıa mt nc bi”n tr¶n th‚ gii º Celcius vo th¡ng Gi¶ng 1989. GII TCH B2 84/

slide 85:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.1. Hm sŁ nhi•u bi‚n V‰ d H…nh b¶n l contour map cıa hm sŁ hai bi‚n f. Da vo h¢y c o¡n gi¡ tr cıa f.13/ v f.45/. Gi£i. i”m .13/ n‹m phƒn giœa hai ng ng møc c gi¡ tr z l 70 v 80. Chng ta c o¡n f.13/ 73 Tng t chng ta c o¡n f.45/ 56: GII TCH B2 85/

slide 86:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.1. Hm sŁ nhi•u bi‚n V‰ d H¢y ph¡c ha vi ng ng møc v th cıa hm sŁ h.xy/D 4x 2 Cy 2 . Gi£i. C¡c ng ng møc l 4x 2 Cy 2 D k hay x 2 k4 C y 2 k D 1 vi k 0 m t£ h c¡c ng ¶-lip vi º di c¡c trc l p k2 v p k. H…nh b¶n l c¡c ng ¶-lip vi kD 025I 05I 075I:::I 4. N¥ng c¡c ng ng møc l¶n º cao k tng øng th… ta æc c¡c v‚t cıa th vi mt zD k. GII TCH B2 86/

slide 87:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.1. Hm sŁ nhi•u bi‚n Hm sŁ ba bi‚n Hm sŁ ba bi‚n f l mºt qui t›c g¡n mØi bº ba sŁ thc c thø t .xyz/ trong mi•n x¡c nh D R 3 vi duy nh§t sŁ thc æc k hi»u l f.xyz/. Ta khng th” bi”u di„n th cıa hm sŁ ba bi‚n bi h…nh v‡. Tuy nhi¶n ta c th” bi”u di„n c¡c mt ng møc cıa f l c¡c mt cong c phng tr…nh f.xyz/D k vi k thuºc mi•n gi¡ tr cıa f. V‰ d nhi»t º T t⁄i mØi i”m tr¶n mt §t ph thuºc vo kinh º x v º y v thi i”m t. V… th‚ ta c th” vi‚t TD f.xyt/. GII TCH B2 87/

slide 88:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.1. Hm sŁ nhi•u bi‚n V‰ d T…m c¡c mt ng møc cıa hm sŁ ba bi‚n f.xyz/D x 2 Cy 2 Cz 2 . Gi£i. C¡c mt ng møc l x 2 Cy 2 Cz 2 D k k 0. C¡c phng tr…nh ny m t£ h c¡c mt cƒu ng t¥m t⁄i gŁc 0 b¡n k‰nh p k. Khi i”m .xyz/ ch⁄y kh›p mt cƒu b§t k t¥m t⁄i gŁc 0 th… gi¡ f.xyz/ khng Œi. GII TCH B2 88/

slide 89:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.1. Hm sŁ nhi•u bi‚n Hm sŁ bi‚n Hm sŁ bi‚n f l mºt qui t›c g¡n mØi bº-thø-t- n-sŁ n-tuple thc .x 1 x 2 :::x n / vi duy nh§t mºt sŁ thc zD f.x 1 x 2 :::x n /. Chng ta k hi»u khng gian Euclide R n l t“p hæp c¡c n-tuple. MØi phƒn tß trong khng gian Euclide R n c th” æc k hi»u ng›n gn l i”m P c ta º .x 1 x 2 :::x n / hoc tng øng 1-1 vi mºt vect v tr‰ D OPDhx 1 x 2 :::x n i. Do ta c ba c¡ch nh…n v• mºt hm sŁ f x¡c nh tr¶n mºt t“p con cıa R n nh sau: l hm sŁ ph thuºc n bi‚n thc x 1 x 2 :::x n l hm sŁ mºt bi‚n l i”m zD f.P/ l hm sŁ mºt bi‚n l vect zD f. /. C£ ba c¡ch nh…n tr¶n •u hœu dng theo tłng ngœ c£nh. GII TCH B2 89/

slide 90:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.2. Gii h⁄n v S li¶n tc nh ngha gii h⁄n Cho f l hm sŁ hai bi‚n x¡c nh tr¶n D v .ab/ l i”m t cıa D ngha l D lun chøa nhœng i”m c th” gƒn .ab/ ty . Ta ni r‹ng Gii h⁄n cıa . / khi. / ti‚n v•. / b‹ng L v ta vi‚t lim .xy/.ab/ f.xy/D L 2.1 c ngha l vi mi sŁ " 0 cho trc theo c mºt sŁ 0 sao cho n‚u.xy/2 D v 0 p .x a/ 2 C.y b/ 2 th… f.xy/ L " Nhœng c¡ch vi‚t kh¡c cıa 2.1 l lim xa yb f.xy/D L hoc f.xy/ L khi.xy/.ab/ GII TCH B2 90/

slide 91:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.2. Gii h⁄n v S li¶n tc Lu r‹ng f.xy/ L l º ln sai sŁ giœa f.xy/ v L p .x a/ 2 C.y b/ 2 l kho£ng c¡ch giœa hai i”m .xy/ v .ab/. Do nh ngha tr¶n æc hi”u ⁄i kh¡i r‹ng sai sŁ giœa f.xy/ v L c th” nh ty mi„n l i”m .xy/ ı gƒn v khng trng i”m .ab/. H…nh di minh ha Vi " 0 cho trc theo ta t…m æc a trÆn D t¥m.ab/ b¡n k‰nh sao cho mi i”m trong a trÆn æc f ¡nh x⁄ vo kho£ng .L "LC"/. GII TCH B2 91/

slide 92:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.2. Gii h⁄n v S li¶n tc Mºt c¡ch kh¡c minh ha nh ngha gii h⁄n l vi sŁ " 0 cho trc theo ta t…m æc a trÆn D sao cho khi.xy/ n‹m trong a D th… phƒn tng øng cıa th n‹m giœa hai mt phflng ngang zD L " v zD LC". GII TCH B2 92/

slide 93:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.2. Gii h⁄n v S li¶n tc Łi vi gii h⁄n hm sŁ mºt bi‚n lim xa f.x/ th… x ti‚n v• a theo hai hng tr¡i v ph£i. Nh›c l⁄i r‹ng gii h⁄n lim xa f.x/ tn t⁄i khi v ch¿ khi tn t⁄i lim xa f.x/D lim xaC f.x/. Łi vi gii h⁄n hm hai bi‚n lim .xy/.ab/ f.xy/ th….xy/ c th” ti‚n v•.ab/ theo v sŁ hng mi„n l .xy/ v¤n trong mi•n x¡c nh cıa f. Do H» qu£ cıa nh ngha gii h⁄n N‚u f.xy/ L 1 khi .xy/ .ab/ dc theo ng cong C 1 f.xy/ L 2 khi .xy/ .ab/ dc theo ng cong C 2 trong L 1 ⁄ L 2 th… khng tn t⁄i lim .xy/.ab/ f.x/. GII TCH B2 93/

slide 94:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.2. Gii h⁄n v S li¶n tc V‰ d Chøng minh r‹ng gii h⁄n lim .xy/.00/ x 2 y 2 x 2 Cy 2 khng tn t⁄i. Gi£i. t f.xy/D x 2 y 2 x 2 Cy 2 . Trc h‚t cho .xy/ ti‚n v• nhng khng trng .00/ dc theo trc Ox. Khi yD 0 d¤n ‚n f.x0/D x 2 x 2 D 1 do f.xy/ 1 khi.xy/.00/ dc theo Ox : Ti‚p theo cho.xy/ ti‚n v• khng trng .00/ dc theo trc Oy b‹ng c¡ch l§y xD 0. Khi f.0y/D y 2 y 2 D 1 suy ra f.xy/ 1 khi.xy/.00/ dc theo Oy : V… f c hai gii h⁄n kh¡c nhau dc theo hai hng kh¡c nhau n¶n gii h⁄n ¢ cho khng tn t⁄i. GII TCH B2 94/

slide 95:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.2. Gii h⁄n v S li¶n tc V‰ d Cho hm sŁ f.xy/ D xy x 2 Cy 2 . Kh£o s¡t lim .xy/.00/ f.xy/. H…nh b¶n l th hm sŁ f khng x¡c nh t⁄i .00/. C v· nh khi .xy/ ti‚n dƒn v•.00/ th… i”m P xyf.xy/ tr¶n th khng ti‚n dƒn v• mºt º cao nh§t nh no. Sinh vi¶n t chøng minh khng tn t⁄i gii h⁄n tr¶n. Tng t h¢y kh£o s¡t lim .xy/.00/ xy 2 x 2 Cy 4 . GII TCH B2 95/

slide 96:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.2. Gii h⁄n v S li¶n tc V‰ d Kh£o s¡t gii h⁄n lim .xy/.00/ f.xy/ vi f.xy/D 3x 2 y x 2 Cy 2 . Gi£i. Vi mi .xy/⁄.00/ ta c f.xy/ 0 D 3x 2 y x 2 Cy 2 D 3jyj x 2 x 2 Cy 2 3jyj 3 p x 2 Cy 2 2.2 Tł ta d„ o¡n r‹ng tn t⁄i gii h⁄n lim .xy/.00/ f.xy/D 0. Th“t v“y cho trc sŁ " 0 ty ta th§y sŁ dng D"3 tha i•u sau da vo 2.2 n‚u 0 p .x 0/ 2 C.y 0/ 2 th… f.xy/ 0 3 D" ngha l ta da vo nh ngha gii h⁄n ” chøng minh lim .xy/.00/ f.xy/D 0. GII TCH B2 96/

slide 97:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.2. Gii h⁄n v S li¶n tc C¡c t‰nh ch§t b£o ton ph†p t‰nh cıa gii h⁄n v‰ d nh gii h⁄n cıa tŒng b‹ng tŒng c¡c gii h⁄n n‚u tn t⁄i v.v... trong hm sŁ mºt bi‚n cng ng cho hm sŁ hai bi‚n. nh l gii h⁄n kp cng v“y: nh l gii h⁄n kp Gi£ sß tn t⁄i c¡c gii h⁄n lim .xy/.ab/ g.xy/D lim .xy/.ab/ h.xy/D L g.xy/ f.xy/ h.xy/ ng vi mi .xy/ trong mºt a trÆn no c t¥m .ab/. Khi lim .xy/.ab/ f.xy/D L. GII TCH B2 97/

slide 98:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.2. Gii h⁄n v S li¶n tc nh ngha s li¶n tc Hm sŁ f hai bi‚n x¡c nh tr¶n D æc gi l li¶n tc t⁄i i”m .ab/ c ngha l lim .xy/.ab/ f.xy/D f.ab/ ng nhi¶n .ab/2 D Ta ni f li¶n tc tr¶n D hoc ni v›n t›t l li¶n tc ngha l f li¶n tc t⁄i mi i”m thuºc D. GII TCH B2 98/

slide 99:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.2. Gii h⁄n v S li¶n tc nh l 1 1 N‚u c¡c hm sŁ hai bi‚n li¶n tc th… tŒng hi»u t‰ch v thng n‚u thng c ngha cıa chng cng l mºt hm sŁ li¶n tc. 2 N‚u f l hm sŁ hai bi‚n li¶n tc hoc li¶n tc t⁄i .ab/ v g l sŁ mºt bi‚n li¶n tc hoc li¶n tc t⁄i f.ab/ th… hm hæp gBf l hm hai bi‚n li¶n tc hoc li¶n tc t⁄i .ab/. V‰ d. Hm sin l hm sŁ mºt bi‚n li¶n tc v hm f nh bi f.xy/D xCy cng li¶n tc s‡ ni sau. Khi hm hæp sinBf.xy/D sin.xCy/ cng li¶n tc. GII TCH B2 99/

slide 100:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.2. Gii h⁄n v S li¶n tc Łi vi hm sŁ hai bi‚n f li¶n tc t⁄i .ab/ th… vi»c t‰nh gii h⁄n cıa f.xy/ khi.xy/ ti‚n ‚n .ab/ r§t n gi£n b‹ng c¡ch th‚ .xy/ bi .ab/. V§n • t ra l nhœng d⁄ng hm no l li¶n tc. Ta b›t ƒu vi ba hm n gi£n nh§t nh l 2 Hm h‹ng cng vi hai hm h…nh chi‚u p 1 v p 2 nh bi p 1 .xy/D xI p 2 .xy/D y l c¡c hm li¶n tc. Sinh vi¶n t ki”m chøng i•u tr¶n da vo nh ngha gii h⁄n v hai b§t flng thøc sau jxj p x 2 Cy 2 jyj p x 2 Cy 2 : GII TCH B2 100/

slide 101:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.2. Gii h⁄n v S li¶n tc Hm s c§p hai bi‚n C¡c hm s c§p mºt bi‚n c¡c hm trong nh l 2 k‚t hæp vi nh l 1 s‡ t⁄o ra c¡c hm hai bi‚n mi li¶n tc t⁄i mi i”m thuºc mi•n x¡c nh m ta t⁄m gi l c¡c hm hai bi‚n s c§p. V‰ d. C¡c hm sŁ f g sau ¥y l c¡c hm s c§p æc thnh l“p theo c¡ch ni tr¶n f.xy/D x y 2x 2 Cy 2 f li¶n tc t⁄i .xy/⁄.00/ g.xy/D ln x y 2x 2 Cy 2 li¶n tc t⁄i .xy/⁄.00/ sao cho x y GII TCH B2 101/

slide 102:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.2. Gii h⁄n v S li¶n tc V‰ d Kh£o s¡t s li¶n tc cıa hm f v g nh bi a/ f.xy/D 8 : 3x 2 y x 2 Cy 2 n‚u.xy/⁄.00/ 0 n‚u.xy/D.00/ b/ g.xy/D 8 : 3x 2 y x 2 Cy 2 n‚u.xy/⁄.00/ 2 n‚u.xy/D.00/ Gi£i. T⁄i i”m .ab/⁄.00/ th… c£ f v g •u li¶n tc v… chng l hm s c§p tr¶n t“p R 2 nf.00/g. Sau ¥y ta kh£o s¡t t‰nh li¶n tc t⁄i 00. Trong v‰ d trc ta ¢ chøng minh r‹ng khi .xy/.00/ th… f.xy/ 0D f.00/ v g.xy/ 0⁄ 2D g.00/. V“y f li¶n tc t⁄i .00/ v g khng li¶n tc t⁄i .00/. GII TCH B2 102/

slide 103:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.2. Gii h⁄n v S li¶n tc Gii h⁄n v S li¶n tc cıa hm bi‚n MØi phƒn tß.x 1 :::x n / cıaR n c th” ng nh§t vi i”m P c ta º .x 1 :::x n / hoc ng nh§t vi vect Dhx 1 :::x n i. N‚u x†t th¶m phƒn tß kh¡c l A.a 1 :::a n / hoc Dha 1 :::a n i ta k hi»u APD D p .x 1 a 1 / 2 CC .x n a n / 2 P A hoc c ngha l APD 0. GII TCH B2 103/

slide 104:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.2. Gii h⁄n v S li¶n tc nh ngha gii h⁄n v s li¶n tc cıa hm n bi‚n Cho f l mºt hm sŁ x¡c nh tr¶n t“p hæp D f con cıaR n . 1 Cho i”m A æc ng nh§t vi vect v tr‰ l i”m t cıa D f theo ngha D f lun chøa nhœng i”m P ng nh§t vi gƒn vi i”m A mºt c¡ch ty . Khi k hi»u lim f. /D L hoc lim PA f.P/D L c ngha l vi mi sŁ " 0 cho trc theo tn t⁄i sŁ 0 sao cho n‚u 2 D f v 0 th… f. / L " 2 Gi£ sß A2 D f . Ta ni f li¶n tc t⁄i A c ngha l lim f. /D f. / hoc lim PA f.P/D f.A/. GII TCH B2 104/

slide 105:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.3. ⁄o hm ri¶ng nh ngha ⁄o hm ri¶ng Cho f l hm sŁ hai bi‚n x v y. N‚u ta xem y nh h‹ng sŁ v l§y ⁄o hm theo x ta æc ⁄o hm ri¶ng cıa f theo x k hi»u bi f x . Tng t ta æc ⁄o hm ri¶ng cıa f theo y k hi»u bi f y . Ni c¡ch kh¡c f x v f y l c¡c hm sŁ æc nh bi f x .xy/D lim h0 f.xChy/ f.xy/ h f y .xy/D lim h0 f.xyCh/ f.xy/ h mi„n l c¡c gii h⁄n tr¶n tn t⁄i. Tuy nhi¶n c¡c cng thøc ⁄o hm mºt bi‚n v¤n ¡p dng æc n‚u c th”. GII TCH B2 105/

slide 106:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.3. ⁄o hm ri¶ng C¡c k hi»u cıa ⁄o hm ri¶ng N‚u vi‚t zD f.xy/ ngi ta cng c nhi•u k hi»u kh¡c cho ⁄o hm ri¶ng nh sau f x D f x D z x D f 1 D D 1 fD D x f f y D f y D z y D f 2 D D 2 fD D y f V‰ d. Vi f.xy/D x 3 Cx 2 y 3 2y 2 t…m f x .21/ v f y .21/ nh sau: Xem y l h‹ng sŁ l§y ⁄o hm theo x ta æc f x .xy/D 3x 2 C2xy 3 suy ra f x .21/D 3.2 2 /C2.2/.1 3 /D 16 Tng t ta c f y .xy/D 3x 2 y 2 4y suy ra f y .21/D 3.2 2 /.1 2 / 4.1/D 8: GII TCH B2 106/

slide 107:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.3. ⁄o hm ri¶ng V‰ d T…m f x v f y vi f nh bi f.xy/D 8 : xy x 2 Cy 2 n‚u.xy/⁄.00/ 0 n‚u.xy/D.00/ Gi£i. ” t‰nh f x .00/ ta dng nh ngha f x .00/D lim h0 f.h0/ f.00/ h D lim h0 h:0.h 2 C0 2 / 0 h D 0: T⁄i i”m .xy/⁄.00/ ta c th” xem y nh h‹ng sŁ v t‰nh ⁄o hm theo x nh hm mºt bi‚n v ta æc GII TCH B2 107/

slide 108:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.3. ⁄o hm ri¶ng f x .xy/D 8 : y 3 x 2 y .x 2 Cy 2 / 2 n‚u.xy/⁄.00/ 0 n‚u.xy/D.00/ Vai trÆ cıa x v y giŁng nhau trong bi”u thøc f ta Œi vai trÆ cıa x v y trong bi”u thøc f x s‡ æc f y .xy/D 8 : x 3 y 2 x .y 2 Cx 2 / 2 n‚u.xy/⁄.00/ 0 n‚u.xy/D.00/ Ghi ch. Thay yD 0 x ty ta c f.x0/D 08x2R. Do f x .x0/D 0 suy ra f x .00/D 0 thay v… dng nh ngha ⁄o hm nh tr¶n. Tng t f y .0y/D 0. GII TCH B2 108/

slide 109:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.3. ⁄o hm ri¶ng V‰ d: ⁄o hm ri¶ng cıa hm n Phng tr…nh x 3 Cy 3 Cz 3 C 6xyzD 1 l phng tr…nh cıa mºt mt cong trong khng gian Oxyz. N‚u mºt m£nh nh no cıa mt cong l th cıa mºt hm sŁ zD f.xy/ f l n hm h¢y t…m zx v zy. Gi£i. Xem y nh h‹ng sŁ l§y ⁄o hm hai v‚ cıa phng tr…nh theo x v lu z v¤n ph thuºc x nh l hm sŁ ta c 3x 2 C3z 2 z x C6y zCx z x D 0 Gi£i phng tr…nh tr¶n ” t…m zx ta æc z x D x 2 C2yz z 2 C2xy I tng t ta cng c z y D y 2 C2xz z 2 C2xy : GII TCH B2 109/

slide 110:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.3. ⁄o hm ri¶ng NGHA CA O HM RING Ta b›t ƒu vi v‰ d sau: n‚u f.xy/D 4 x 2 2y 2 th… f x .11/ v f y .11/ mang ngha g… Ta c f x .xy/D 2x f y .xy/D 4y suy ra f x .11/D 2 f y .11/D 4: th cıa f l mt paraboloid. V‚t cıa th vi mt yD 1 l ng parabola zD 2 x 2 vi mt xD 1 l ng parabola zD 3 2y 2 . GII TCH B2 110/

slide 111:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.3. ⁄o hm ri¶ng Trong mt phflng yD 1 ng parabola C 1 W zD 2 x 2 c ti‚p tuy‚n t⁄i i”m .111/ vi º dŁc h» sŁ gc l f x .11/D 2 v‚t parabola C 2 W zD 3 2y 2 tr¶n mt xD 1 c ti‚p tuy‚n t⁄i i”m .111/ vi º dŁc l f y .11/D 4 GII TCH B2 111/

slide 112:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.3. ⁄o hm ri¶ng ngha h…nh hc cıa ⁄o hm ri¶ng Cho S l th cıa zD f.xy/ v i”m P.abc/2 S vi cD f.ab/. Gi C 1 D S\fyD bg xem nh l th hm mºt bi‚n g.x/D f.xb/ Gi C 2 D S\fxD ag l th hm mºt bi‚n G.y/D f.ay/. V“y g 0 .a/D f x .ab/ v G 0 .b/D f y .ab/ l º dŁc cıa c¡c ti‚p tuy‚n T 1 v T 2 Łi vi C 1 v C 2 tng øng t⁄i i”m P.abc/ b¶n trong c¡c mt phflng yD b v xD a. GII TCH B2 112/

slide 113:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.3. ⁄o hm ri¶ng ⁄o hm ri¶ng cıa hm bi‚n Łi vi hm nhi•u hn 2 bi‚n uD f.x 1 x 2 :::x n / ta cng nh ngha ⁄o hm ri¶ng theo bi‚n x i theo c¡ch tng t tr¶n u x i D lim h0 f.x 1 :::x i 1 x i Chx iC1 :::x n / f.x 1 :::x i :::x n / h Ngoi ra ta cng c c¡c k hi»u kh¡c u x i D f x i D f x i D f i D D i f: GII TCH B2 113/

slide 114:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.3. ⁄o hm ri¶ng ⁄o hm ri¶ng b“c cao N‚u f l hm sŁ hai bi‚n f x v f y cng l c¡c hm sŁ hai bi‚n v… th‚ c¡c ⁄o hm ri¶ng cıa chng l .f x / x .f x / y .f y / x v .f y / y æc gi l c¡c ⁄o hm ri¶ng c§p hai. N‚u vi‚t zD f.xy/ th… ta c c¡c k hi»u sau .f x / x D f xx D f 11 D x f x D 2 f x 2 .f x / y D f xy D f 12 D y f x D 2 f yx .f y / x D f yx D f 21 D x f y D 2 f xy .f y / y D f yy D f 22 D y f y D 2 f y 2 GII TCH B2 114/

slide 115:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.3. ⁄o hm ri¶ng nh l Clairaut cng gi l nh l Schwartz N‚u f x¡c nh tr¶n mºt a D t¥m .ab/ sao cho tn t⁄i hai ⁄o hm f xy v f yx cng li¶n tc tr¶n D. Khi f xy .xy/D f yx .xy/ 8.xy/2 D ngha l ⁄o hm ri¶ng c§p hai hØn hæp khng ph thuºc thø t l§y ⁄o hm theo c¡c bi‚n mi„n l chng li¶n tc. Ghi ch. Ta cng c th” nh ngha c¡c ⁄o hm ri¶ng c§p 3 hoc cao hn v‰ d f xyy D.f xy / y D y 2 f yx D 3 f y 2 x : Sß dng nh l Clairaut n‚u c¡c ⁄o hm ri¶ng f xyy f yxy v f yyx cng li¶n tc th… chng b‹ng nhau nh l Clairaut m rºng cho ⁄o hm b“c cao hn. GII TCH B2 115/

slide 116:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.4. S kh£ vi Nh ¢ bi‚t mc 2.3 hai ⁄o hm ri¶ng f x .x 0 y 0 / v f y .x 0 y 0 / xem nh l º dŁc cıa hai ti‚p tuy‚n T 1 v T 2 tng øng vi v‚t C 1 D S\fyD y 0 g v C 2 D S\fxD x 0 g t⁄i i”m P.x 0 y 0 z 0 / tr¶n th S cıa hm sŁ zD f.xy/. Trong h…nh b¶n ta c c£m gi¡c mt phflng chøa T 1 v T 2 ti‚p xc vi mt cong th S. GII TCH B2 116/

slide 117:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.4. S kh£ vi Tuy nhi¶n n‚u ta x†t v‰ d sau th… h…nh £nh kh¡c hfln: Vi hm sŁ f nh bi f.xy/D 8 : xy x 2 Cy 2 n‚u.xy/⁄.00/ 0 n‚u.xy/D.00/ V‰ d trc ¥y ¢ chøng minh f x .00/D f y .00/D 0. V‚t cıa hai mt phflng øng Oxz v Oyz vi th hm f ch‰nh l hai trc Oy v Ox. Tuy nhi¶n h…nh b¶n cho th§y mt phflng chøa hai trc ny l Oxy chflng c v· g… ti‚p xc vi th t⁄i i”m O .000/. GII TCH B2 117/

slide 118:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.4. S kh£ vi V“y s tn t⁄i hai ⁄o hm ri¶ng khng ı ” ta ni mt cong th cıa hm hai bi‚n c mt phflng ti‚p xc vi n. Do ngi ta a ra kh¡i ni»m kh£ vi sau ¥y nh ngha s kh£ vi Cho hm sŁ hai bi‚n zD f.xy/ v i”m .ab/ l i”m trong cıa mi•n x¡c nh theo ngha c mºt a trÆn t¥m .ab/ n‹m lt trong mi•n x¡c nh. Ta k hi»u xD x a yD y b v zD f.xy/ f.ab/. Ta ni f kh£ vi t⁄i.ab/ c ngha l tn t⁄i f x .ab/ v f y .ab/ sao cho z c th” bi”u di„n di d⁄ng zD f x .ab/ xCf y .ab/ yC" 1 xC" 2 y 2.3 trong " 1 v " 2 cng ti‚n v• 0 khi .xy/.ab/ cng c ngha l . x y/.00/. GII TCH B2 118/

slide 119:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.4. S kh£ vi ngha cıa s kh£ vi. 1 N‚u vi‚t l⁄i flng thøc 2.3 di d⁄ng f.xy/D f.ab/Cf x .ab/.x a/Cf y .ab/.y b/C" 1 .x a/C" 2 .y b/ th… hm tuy‚n t‰nh b“c nh§t hai bi‚n L.xy/D f.ab/Cf x .ab/.x a/Cf y .ab/.y b/ l x§p x¿ tŁt cho f.xy/ khi.xy/ gƒn vi .ab/. Hm L.xy/ cÆn gi l tuy‚n t‰nh ha cıa f t⁄i.ab/. 2 Theo ngha x§p x¿ tŁt tr¶n th… th cıa L æc gi l mt phflng ti‚p xc vi th cıa f ni chung l mt cong t⁄i i”m P abf.ab/ . Ni c¡ch kh¡c phng tr…nh mt phflng ti‚p xc vi th cıa f t⁄i i”m P l L.xy/ zD 0: GII TCH B2 119/

slide 120:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.4. S kh£ vi Tł nh ngha kh£ vi v flng thøc 2.3 ta d„ dng suy ra nh l N‚u hm sŁ f kh£ vi t⁄i.ab/ th… f li¶n tc t⁄i .ab/. Trong ph⁄m vi cıa gi£i t‰ch B1 chng ta thła nh“n nh l sau nh l i•u ki»n ı ” kh£ vi N‚u c¡c ⁄o hm ri¶ng f x v f y tn t⁄i trong mºt l¥n c“n cıa .ab/ v li¶n tc t⁄i .ab/ th… f kh£ vi t⁄i.ab/ Ch . V¤n tn t⁄i hm sŁ c c¡c ⁄o hm ri¶ng v c¡c ⁄o hm ri¶ng ny khng li¶n tc t⁄i .ab/ nhng hm ¢ cho v¤n kh£ vi t⁄i .ab/. Chng ta s‡ c mºt v‰ d v• hm nh v“y trong c¡c trang sau. GII TCH B2 120/

slide 121:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.4. S kh£ vi V‰ d. Hm sŁ f.xy/D 2x 2 Cy 2 c c¡c ⁄o hm ri¶ng f x .xy/D 4x v f y .xy/D 2y l c¡c hm s c§p li¶n tc t⁄i mi i”m .ab/2R 2 do f kh£ vi mi ni. Ta x†t i”m .113/ thuºc th cıa f f x .11/D 4 f y .11/D 2 v ta c phng tr…nh mt phflng ti‚p xc t⁄i .113/ l zD 3C4.x 1/C2.y 1/: H…nh trang sau tr…nh by th cıa f cng vi mt phflng ti‚p xc t⁄i .113/. GII TCH B2 121/

slide 122:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.4. S kh£ vi Chng ta th§y r‹ng khi cng nh…n gƒn i”m .113/ mt cong th cıa f v mt phflng ti‚p xc th cıa L dng nh gƒn s¡t nhau hn do mi ni L.xy/D 3C4.x 1/C2.y 1/ l x§p x¿ tŁt cho f khi.xy/ gƒn.11/. GII TCH B2 122/

slide 123:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.4. S kh£ vi V‰ d Cho hm f nh bi f.xy/D 8 : .x 2 Cy 2 /sin 1 p x 2 Cy 2 n‚u.xy/⁄.00/ 0 n‚u.xy/D.00/ Chøng minh f x khng li¶n tc t⁄i .00/ tuy nhi¶n f v¤n kh£ t⁄i.00/. Gi£i. Gii h⁄n sau tn t⁄i f x .00/D lim h0 f.h0/ f.00/ h D lim h0 1 h h 2 sin 1 p h 2 C0 2 D lim h0 hsin 1 jhj D 0 GII TCH B2 123/

slide 124:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.4. S kh£ vi l do b§t flng thøc 0 hsin 1 jhj j hj v nh l gii h⁄n kp. Tng t f y .00/D 0. N‚u t xD x 0 yD y 0 zD f.xy/ f.00/ " 1 D x sin 1 p x 2 Cy 2 v " 2 D y sin 1 p x 2 Cy 2 th… flng thøc 2.3 tha ng thi " 1 v " 2 cng ti‚n v• 0 khi .xy/.00/. V“y f kh£ vi t⁄i .00/. Ngoi ra f x .xy/D 8 : 2x sin 1 p x 2 Cy 2 x p x 2 Cy 2 cos 1 p x 2 Cy 2 .xy/⁄.00/ 0 .xy/D.00/: Vi d¢y i”m M n . 1 2n 0/ n2N hºi t v• .00/ khi n1 ta thay vo f x th… f x .M n /D 16 f x .00/ khi n1. V“y f x khng li¶n tc t⁄i .00/. GII TCH B2 124/

slide 125:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.4. S kh£ vi Vi ph¥n cıa hm hai bi‚n Gi£ sß f kh£ vi t⁄i i”m .xy/ no . Ta k hi»u dx v dy l hai sŁ ty thng l nh v t zD f.xCdxyCdy/ f.xy/. Theo nh ngha cıa s kh£ vi ta c zD f x .xy/dxCf y .xy/dyC" 1 dxC" 2 dy trong " 1 v " 2 0 khi.dxdy/.00/. Bi”u thøc dfD dzD f x .xy/dxCf y .xy/dyD f x dxC f y dy 2.4 æc gi l vi ph¥n cıa f. N‚u dx v dy mang gi¡ tr r§t nh th… z dz 2.5 GII TCH B2 125/

slide 126:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.4. S kh£ vi Nh“n x†t. N‚u f kh£ vi t⁄i.ab/ v vi .xy/ gƒn.ab/ ta t dxD x a dyD y b zD f.xy/ f.ab/ th… 2.4-2.5 cho f.xy/ f.ab/D z dzD f x .ab/.x a/Cf y .ab/.y b/ hay c¡ch vi‚t kh¡c l ph†p x§p x¿ tuy‚n t‰nh f.xy/ f.ab/Cdz ngha l f.xy/ L.xy/ trong L.xy/ l tuy‚n t‰nh ha cıa f ¢ æc • c“p sau nh ngha cıa s kh£ vi. GII TCH B2 126/

slide 127:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.4. S kh£ vi Minh ha cho z dz GII TCH B2 127/

slide 128:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.4. S kh£ vi V‰ d Mºt h…nh nn c b¡n k‰nh ¡y 10cm º cao 25cm. Gi£ sß sai sŁ cıa ph†p o º di khng qu¡ 01cm. Dng vi ph¥n h¢y c t‰nh sai sŁ khi t‰nh th” t‰ch h…nh nn theo b¡n k‰nh v chi•u cao ni tr¶n. GII TCH B2 128/

slide 129:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.4. S kh£ vi Gi£i. K hi»u r v h l b¡n k‰nh ¡y v chi•u cao cıa h…nh nn th… th” t‰ch h…nh nn l VD f.rh/D r 2 h3 f r D 2 rh3 v f h D r 2 3. B¡n k‰nh v chi•u cao o æc l 10cm v 25cm b¡n k‰nh v chi•u cao ch‰nh x¡c khng th” bi‚t l 10 Cdr v 25 Cdh. Khi sai sŁ th” t‰ch l j VjD f.10Cdr25Cdh/ f.1025/ j dVj jdVjD f r .1025/drCf h .1025/dh D 500 3 drC 100 3 dh 500 3 jdrjC 100 3 jdhj Gi£ thi‚t chojdrj 01 v jdhj 01. Do j Vjj dVj 500 3 .01/C 100 3 .01/D 20 V“y sai sŁ th” t‰ch æc c t‰nh khng qu¡ 20 cm 3 63cm 3 . GII TCH B2 129/

slide 130:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.4. S kh£ vi Mºt c¡ch tng t ta cng c nh ngha s kh£ vi cho hm n bi‚n. nh ngha Cho hm sŁ n bi‚n z D f.x 1 :::x n / x¡c nh tr¶n D con cıa R n . X†t .a 1 :::a n / l i”m trong cıa D theo ngha c sŁ 0 sao cho 8jrj . a 1 C r:::a n C r/2 D. Vi iD 1n t x i D x i a i zD f.x 1 :::x n / f.a 1 :::a n /. Ta ni hm f kh£ vi t⁄i.a 1 :::a n / c ngha l tn t⁄i c¡c ⁄o hm ri¶ng f x i .a 1 :::a n / vi iD 1n sao cho z c d⁄ng zD n X iD1 f x i .a 1 :::a n / x i C n X iD1 " i x i trong ." 1 :::" n /.0:::0/ khi. x 1 ::: x n /.0:::0/ hay .x 1 :::x n /.a 1 :::a n /. GII TCH B2 130/

slide 131:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.5. Quy t›c m›t x‰ch v ⁄o hm cıa hm n Quy t›c m›t x‰ch The chain rule hay ⁄o hm hm hæp Gi£ sß zD f.x 1 :::x n / l hm sŁ nhi•u bi‚n kh£ vi. Khi 1 N‚u iD 1nx i D g i .t/ ngha l c¡c bi‚n c x i ph thuºc mºt bi‚n mi t v n‚u c¡c hm g i cng kh£ vi th… dz dt D z x 1 dx 1 dt C z x 2 dx 2 dt CC z x n dx n dt 2 N‚u iD 1nx i D g i .t 1 :::t m / ngha l n bi‚n c x i ph thuºc vo m bi‚n mi t k kD 1m v n‚u c¡c hm g i m bi‚n cng kh£ vi th… z t k D z x 1 x 1 t k C z x 2 x 2 t k CC z x n x n t k vi kD 1m. GII TCH B2 131/

slide 132:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.5. Quy t›c m›t x‰ch v ⁄o hm cıa hm n V‰ d N‚u zD x 2 yC3xy 4 trong xD sin2t v yD cost t…m dzdt khi tD 0. Gi£i. Quy t›c m›t x‰ch cho dz dt D z x dx dt C z y dy dt D.2xyC3y 4 /.2cos2t/C.x 2 C12xy 3 /. sint/: Khng cƒn thi‚t ph£i thay x v y theo t ch¿ cƒn bi‚t r‹ng khi tD 0 th… xD 0 v yD 1. Do dz dt tD0 D.0C3/.2cos0/C.0C0/. sin0/D 6: GII TCH B2 132/

slide 133:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.5. Quy t›c m›t x‰ch v ⁄o hm cıa hm n V‰ d N‚u g.st/D f.s 2 t 2 t 2 s 2 / trong f l hm sŁ hai bi‚n kh£ vi h¢y chøng minh g tha phng tr…nh t g s Cs g t D 0. Gi£i. t xD s 2 t 2 v yD t 2 s 2 th… g.st/D f.xy/ v quy t›c m›t x‰ch cho g s D f x x s C f y y s D f x .2s/C f y . 2s/ g t D f x x t C f y y t D f x . 2t/C f y .2t/ Do t g s Cs g t D 2st f x 2st f y C 2st f x C2st f y D 0: GII TCH B2 133/

slide 134:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.5. Quy t›c m›t x‰ch v ⁄o hm cıa hm n O HM CA HM N V§n • t‰nh ⁄o hm cıa hm n ¢ æc bi‚t qua v‰ d sau nh ngha s kh£ vi cng nh phƒn gi£i t‰ch B1. Ta s‡ nh›c l⁄i n theo c¡ch nh…n cıa quy t›c m›t x‰ch ⁄o hm hm hæp ” i ‚n hai cng thøc 2.6 v 2.7 æc • c“p trang sau. Ghi ch. Khi thc hnh ta c th” t‰nh to¡n trc ti‚p nh trong v‰ d trc ¥y n‚u khng muŁn nh hai cng thøc 2.6 v 2.7. GII TCH B2 134/

slide 135:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.5. Quy t›c m›t x‰ch v ⁄o hm cıa hm n N‚u F l hm sŁ hai bi‚n kh£ vi th… phng tr…nh F.xy/D 0 bi”u di„n mºt ng cong phflng ni chung. Gi£ sß mºt phƒn cıa ng cong ny l th cıa hm sŁ yD f.x/ f l n hm cha bi‚t i•u ny x£y ra vi mºt gi£ thi‚t cıa nh l hm n khng n¶u ¥y. Ta s‡ t…m f 0 .x/ tøc l dy dx . L§y ⁄o hm theo bi‚n x hai v‚ cıa phng tr…nh F.xy/D 0 theo quy t›c m›t x‰ch ta æc F x dx dx C F y dy dx D 0 V… dxdxD 1 v gi£ sß Fy⁄ 0 gi£i t…m dydx ta æc f 0 .x/D dy dx D F x F y 2.6 GII TCH B2 135/

slide 136:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.5. Quy t›c m›t x‰ch v ⁄o hm cıa hm n Tng t n‚u F l hm sŁ ba bi‚n kh£ vi. Phng tr…nh F.xyz/D 0 bi”u di„n mºt mt cong ni chung. Gi£ sß r‹ng mºt phƒn cıa mt cong l th cıa mºt hm zD f.xy/ f l n hm cha bi‚t i•u ny x£y ra vi gi£ thi‚t cıa nh l hm n khng • c“p ¥y. Ta t…m fx v fy. Dng quy t›c m›t x‰ch l§y ⁄o hm theo x hai v‚ phng tr…nh F.xyz/D 0 xem y l h‹ng ta æc F x x x C F y y x C F z z x D 0I lu x x D 1 v y x D 0 xem y l h‹ng Gi£ sßFz⁄ 0 gi£i t…mzx ng thi cng thøc zy cng ⁄t æc theo c¡ch tng t f x D z x D F x F z f y D z y D F y F z 2.7 GII TCH B2 136/

slide 137:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.6. ⁄o hm theo hng v vect gradient X†t i”m .x 0 y 0 / l i”m trong cıa mi•n x¡c nh cıa hm zD f.xy/ t⁄i ta t mºt vect n v c º di 1 Dhabi. Vect n v cng æc vi‚t di d⁄ng Dhcos sin i vi l gc quay tł tia Ox ‚n tia c hng cıa cÆn gi l gc ch¿ hng cıa Nh›c l⁄i Vi vect ⁄ 0 th… vect n v cng hng vi l D 1 j j . GII TCH B2 137/

slide 138:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.6. ⁄o hm theo hng v vect gradient Trong mt phflng Oxy i”m Q 0 .xy/D.x 0 Cahy 0 Cbh/ vi h 0 thay Œi s‡ ch⁄y tr¶n tia c gŁc t⁄i P 0 .x 0 y 0 / v c hng cıa Dhabi. Kho£ng c¡ch giœa Q 0 .xy/ v P 0 .x 0 y 0 / l h v… º di l 1. t z 0 D f.x 0 y 0 / v zD f.xy/ Khi gi¡ tr hm c læng bi‚n thi¶n l zD z z 0 . X†t hai i”m P.x 0 y 0 z 0 / v Q.xyz/ tr¶n th cıa f ng thflng PQ c º dŁc l z h D z z 0 h D f.x 0 Cahy 0 Cbh/ f.x 0 y 0 / h N‚u h 0 ngha l Q 0 ch⁄y ‚n P 0 th… gii h⁄n cıa º dŁc PQ n‚u c s‡ æc l§y lm º dŁc cıa ti‚p tuy‚n t⁄i P theo hng xem h…nh trang sau. GII TCH B2 138/

slide 139:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.6. ⁄o hm theo hng v vect gradient GII TCH B2 139/

slide 140:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n ⁄o hm theo hng v vect gradient C¡c h…nh £nh trc ni l¶n ngha trc quan cıa kh¡i ni»m sau ¥y nh ngha ⁄o hm theo hng ⁄o hm theo hng cıa f t⁄i i”m .x 0 y 0 / theo hng cıa vect n v Dhabi l D f.x 0 y 0 /D lim h0 f.x 0 Cahy 0 Cbh/ f.x 0 y 0 / h mi„n l gii h⁄n tr¶n tn t⁄i. Trng hæp ri¶ng vi D Dh10i th… D f tr thnh ⁄o hm ri¶ng f x vi D Dh01i th… D f tr thnh ⁄o hm ri¶ng f y . ngha. Tł mºt i”m tr¶n mt cong th giŁng nh b• mt i ni i v• mØi hng s‡ c º dŁc ri¶ng ch‰nh l ⁄o hm theo hng t⁄i i”m ang x†t. GII TCH B2 140/

slide 141:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.6. ⁄o hm theo hng v vect gradient Ghi ch nh ngha tr¶n cng ¡p dng cho hm nhi•u bi‚n vi h…nh thøc sau D f.P/D D f. /D lim h0 f. Ch / f. / h trong Dha 1 :::a n i P.a 1 :::a n /2R n . GII TCH B2 141/

slide 142:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.6. ⁄o hm theo hng v vect gradient V‰ d b£n c¡c ng flng nhi»t k‚ b¶n m t£ nhi»t º T.xy/ cıa bang California v Neveda lc 3:00PM vo mºt ngy th¡ng 10 1997. H¢y c t‰nh tŁc º bi‚n thi¶n nhi»t º theo kho£ng c¡ch t⁄i a i”m Reno khi i v• hng ng-Nam. GII TCH B2 142/

slide 143:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.6. ⁄o hm theo hng v vect gradient Gi£i. Vect n v ch¿ hng ng-Nam l D 1 p 2 h1 1i tuy nhi¶n ta khng cƒn quan t¥m ‚n bi”u thøc ny. Thay vo ta v‡ ng thflng qua Reno hng v• ng-Nam nh trong b£n . TŁc º bi‚n thi¶n nhi»t theo kho£ng c¡ch khi hng v• ng-Nam t⁄i Reno tøc l D T.Reno/ æc x§p x¿ bi tŁc º bi‚n thi¶n trung b…nh cıa nhi»t º giœa hai i”m b c›t bi ng thflng ni tr¶n vi hai ng flng nhi»t TD 50 v TD 60. Kho£ng c¡ch giœa hai i”m ny kho£ng 75 dm da vo t¿ x‰ch sŁ tr¶n b£n . Khi i v• hng ng-Nam T bi‚n thi¶n tł 50 0 F ‚n 60 0 F cho th§y D T.Reno/ 0 l tŁc º t«ng nhi»t. V“y D T.Reno/ 60 50 75 D 10 75 013 0 Fdm : GII TCH B2 143/

slide 144:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.6. ⁄o hm theo hng v vect gradient nh l N‚u hm sŁ f kh£ vi t⁄i .xy/ th… f c ⁄o hm theo mi hng cıa vect n v Dhabi v æc t‰nh theo cng thøc D f.xy/D f x .xy/aCf y .xy/b 2.8 Ngi ta a vo k hi»u sau gradf.xy/Drf.xy/D f x .xy/f y .xy/ 2.9 æc gi l vect gradient cıa f cng æc gi l nabla cıa f hoc c l del f. Khi cng thøc 2.8 æc vi‚t di h…nh thøc kh¡c D f.xy/D gradf.xy/ Drf.xy/ 2.10 Ch . C¡c h…nh thøc 2.8-2.10 cng æc m rºng cho hm f c n bi‚n vi rfD D f x 1 ::: f x n E . GII TCH B2 144/

slide 145:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.6. ⁄o hm theo hng v vect gradient V‰ d T‰nh D f.xy/ v D f.12/ n‚u f.xy/D x 3 3xyC4y 2 v l vect n v c gc ch¿ hng D 6. Gi£i. Cng thøc 2.8 cho D f.xy/D f x .xy/cos 6 Cf y .xy/sin 6 D.3x 2 3y/ p 3 2 C. 3xC8y/ 1 2 D 1 2 h 3x 2 p 3 3xC.8 3 p 3/y i V… v“y D f.12/D 1 2 h 3.1 2 / p 3 3.1/C.8 3 p 3/.2/ i D 13 3 p 3 2 2 GII TCH B2 145/

slide 146:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.6. ⁄o hm theo hng v vect gradient ⁄o hm D f.12/ trong v‰ d trc ⁄i di»n cho tŁc º bi‚n thi¶n cıa z theo hng cıa . l º dŁc cıa ng ti‚p tuy‚n vi ng cong giao tuy‚n cıa mt zD x 3 3xyC4y 2 vi mt phflng øng i qua .120/ theo hng cıa nh h…nh b¶n. GII TCH B2 146/

slide 147:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.6. ⁄o hm theo hng v vect gradient CC I H´A O HM THEO H˛NG X†t hm n bi‚n f v i”m Dhx 1 :::x n i thuºc mi•n x¡c nh. Gi£ sß tn t⁄i D f. / theo mi hng . C¥u hi t ra l i theo hng no gi¡ tr cıa f. / s‡ thay Œi nhanh nh§t tøc l gi¡ tr cıa D f. / ln nh§t C¥u tr£ li æc cho trong nh l sau nh l Gi£ sß f l hm sŁ n bi‚n kh£ vi. Gi¡ tr ln nh§t cıa D f. / l rf. / ⁄t æc khi cng hng vi vect rf. / ngha l khi D 1 rf. / rf. /. GII TCH B2 147/

slide 148:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.6. ⁄o hm theo hng v vect gradient Chøng minh. Gi l gc hæp bi v rf. /. Tł cng thøc 2.10 ta c D f. /Drf. / D rf. / cos D rf. / cos v…j jD 1 rf. / D§u b‹ng x£y ra khi cos D 1 hay D 0 ngha l cng hng vi rf. / lc D f. / ⁄t gi¡ tr ln nh§t b‹ng rf. / . 2 GII TCH B2 148/

slide 149:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.6. ⁄o hm theo hng v vect gradient V‰ d Cho hm sŁ f.xy/D xe y . T‰nh ⁄o hm cıa f t⁄i P.20/ theo hng tł P ‚n Q.122/. X¡c nh hng lm cho ⁄o hm t⁄i P ln nh§t. Gi£i. Ta c rf.xy/Dhf x f y iDhe y xe y irf.P/Dh12i PQDh 3 2 2i vect n v theo hng PQ l Dh 3 5 4 5 i. ⁄o hm cıa f t⁄i P theo hng PQ l D f.P/Drf.P/ D 1 3 5 C2 4 5 D 1 ⁄o hm cıa f t⁄i P theo hng rf.P/Dh12i s‡ ⁄t gi¡ tr ln nh§t b‹ng rf.P/ D p 5 2 GII TCH B2 149/

slide 150:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.6. ⁄o hm theo hng v vect gradient H…nh di l contour map v th cıa hm f. H…nh b¶n ph£i cho th§y n‚u t⁄i P i theo hng rf.P/Dh12i th c º dŁc ln nh§t. Nh“n x†t. H…nh b¶n tr¡i cho c£m gi¡c r‹ng vect rf.P/Dh12i theo hng hm sŁ c tŁc º bi‚n thi¶n ln nh§t l vect vung gc vi ti‚p tuy‚n t⁄i P cıa ng ng møc qua P. T⁄i sao ... GII TCH B2 150/

slide 151:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.6. ⁄o hm theo hng v vect gradient MT PHNG TIP XC V˛I MT ˙NG MC nh ngha cıa s kh£ vi t⁄i .ab/ cıa hm zD f.xy/ cng cho kh¡i ni»m mt phflng ti‚p vi th .S/ cıa f t⁄i P abf.ab/ l mt phflng th cıa hm L.xy/D f x .ab/.x a/Cf y .ab/.x b/Cf.ab/. Sau ¥y ta thi‚t l“p kh¡i ni»m mt phflng ti‚p xc vi mt ng møc cıa hm 3 bi‚n c phng tr…nh d⁄ng F.xyz/D k cng æc gi l phng tr…nh d⁄ng ch‰nh t›c cıa mt cong. th .S/ cıa hm sŁ zD f.xy/ l mºt trng hæp ri¶ng mt ng møc cıa hm sŁ ba bi‚n F.xyz/D f.xy/ z ngha l .S/W F.xyz/D 0. GII TCH B2 151/

slide 152:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.6. ⁄o hm theo hng v vect gradient Mt phflng ti‚p xc 1 Cho hm sŁ 3 bi‚n F.xyz/ kh£ vi t⁄i i”m P.x 0 y 0 z 0 /. Vi h‹ng sŁ kD F.x 0 y 0 z 0 / phng tr…nh F.xyz/D k bi”u di„n mºt mt ng møc level surface S i qua i”m P. Gi£ sß rF.P/D f x .P/f y .P/f z .P/ ⁄ 0. Khi mt phflng qua P nh“nrF.P/ lm vect ph¡p tuy‚n c phng tr…nh f x .P/.x x 0 /Cf y .P/.y y 0 /Cf z .P/.z z 0 /D 0 2.11 æc gi l mt phflng ti‚p xc cıa S t⁄i P. 2 Gi£ sß hm 2 bi‚n f.xy/ kh£ vi t⁄i i”m P.x 0 y 0 / v rf.P/⁄ 0. Khi ng ng møc .C/W f.xy/D k vi kD f.P/ c ti‚p tuy‚n t⁄i P æc nh ngha l ng thflng qua P nh“nrf.P/ lm vect ph¡p tuy‚n v c phng tr…nh f x .x 0 y 0 /.x x 0 /Cf y .x 0 y 0 /.y y 0 /D 0. GII TCH B2 152/

slide 153:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.6. ⁄o hm theo hng v vect gradient Gi£i th‰ch. S d ngi ta gi mt phflng c phng tr…nh 2.11 l mt phflng ti‚p xc vi .S/W F.xyz/D k t⁄i P.x 0 y 0 z 0 / kD F.P/ l v… l do sau: vi mi ng cong .t/D x.t/y.t/z.t/ n‹m trong S v i qua P ngha l c t 0 sao cho x.t 0 /D x 0 y.t 0 /D y 0 z.t 0 /D z 0 n‚u ng cong ny c ti‚p tuy‚n t⁄i P th… ti‚p tuy‚n lun vung gc vi rF.P/. Th“t v“y v… ng cong n‹m trong S n¶n F x.t/y.t/z.t/ D 0 vi mi t. L§y ⁄o hm theo t hai v‚ cıa phng tr…nh ny dng quy t›c m›t x‰ch ta c F x dx dt C F y dy dt C F z dz dt D 0 hay rF 0 .t/D 0 Thay tD t 0 ta æc rF.P/ 0 .t 0 /D 0 ngha l vect rF.P/ vung gc vi vect ch¿ phng ti‚p tuy‚n cıa ng cong t⁄i P. Gi£i th‰ch tng t cho nh ngha ti‚p tuy‚n cıa ng ng møc f.xy/D k. 2 GII TCH B2 153/

slide 154:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.6. ⁄o hm theo hng v vect gradient Ngi cng gi ng thflng qua P.x 0 y 0 z 0 / c vect ch¿ phng l rF.P/ l ng ph¡p tuy‚n cıa mt cong.S/W F.xyz/D k kD F.P/ t⁄i i”m P. Phng tr…nh ch‰nh t›c cıa ng ph¡p tuy‚n ny l x x 0 F x .P/ D y y 0 F y .P/ D z z 0 F z .P/ vi gi£ thi‚t c¡c m¤u sŁ tr¶n kh¡c 0. Tng t Łi vi hm 2 bi‚n f.xy/ ng thflng qua P.x 0 y 0 / vi vect ch¿ phng rf.P/ s‡ vung gc vi ti‚p tuy‚n t⁄i P cıa ng ng møc f.xy/D f.P/. GII TCH B2 154/

slide 155:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.6. ⁄o hm theo hng v vect gradient V‰ d Vi‚t phng tr…nh mt phflng ti‚p xc v ph¡p tuy‚n vi mt ellipsoid x 2 4 Cy 2 C z 2 9 D 3 t⁄i i”m P. 21 3/. Gi£i. Mt ellipsoid l mt ng møc vi kD 3 cıa hm 3 bi‚n F.xyz/D x 2 4 Cy 2 C z 2 9 . Ta c rFDhx22y2z9i suy ra rF.P/Dh 12 23i. Phng tr…nh mt phflng ti‚p xc v ph¡p tuy‚n t⁄i P l 1.xC2/C2.y 1/ 2 3 .zC3/D 0 xC2 1 D y 1 2 D zC3 2 3 2 GII TCH B2 155/

slide 156:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.6. ⁄o hm theo hng v vect gradient NGHA CA VECT GRADIENT Nh ¢ bi‚t trc vect gradient t⁄i mºt i”m P.x 0 y 0 / cıa hm sŁ hai bi‚n f ch¿ mºt hng m theo hng gi¡ tr hm sŁ c tŁc º t«ng ln nh§t. Hng ny vung gc vi ti‚p tuy‚n t⁄i P cıa ng ng møc f.xy/D f.P/. T⁄i i”m x 0 y 0 f.P/ tr¶n mºt ng vi•n cıa ruºng b“c thang ta i theo hng vung gc vi c¡c ng vi•n ruºng b“c thang tæng trng cho th cıa f ta s‡ l¶n ¿nh i vi º dŁc cao nh§t. GII TCH B2 156/

slide 157:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.7. Cc tr khng i•u ki»n Tr¶n th cıa mºt hm sŁ nh h…nh b¶n c hai ¿nh i v hai thung lng. N‚u i”m abf.ab/ l ¿nh ngn i th… f.ab/ ln mi gi¡ tr f.xy/ gƒn ta ni f c cc ⁄i a phng t⁄i .ab/. C mºt ¿nh i cao nh§t t⁄i f ⁄t cc ⁄i tuy»t Łi hay gi¡ tr ln nh§t. Ta cng c kh¡i ni»m tng t cho i”m ¡y thung lng. GII TCH B2 157/

slide 158:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.7. Cc tr khng i•u ki»n nh ngha Mºt hm sŁ 2 bi‚n f c cc ⁄i a phng gi t›t l cc ⁄i t⁄i i”m .ab/ c ngha l tn t⁄i mºt a trÆn T t¥m.ab/ b¶n trong mi•n x¡c nh sao cho: 8.xy/2 Tf.ab/ f.xy/. SŁ f.ab/ æc gi l gi¡ tr cc ⁄i a phng cıa f. N‚u b§t flng thøc ng vi mi .xy/ thuºc mi•n x¡c nh cıa f th… ta ni f c cc ⁄i tuy»t Łi hay l gi¡ tr ln nh§t t⁄i i”m .ab/. N‚u d§u b§t flng thøc tr¶n Œi chi•u ta c kh¡i ni»m cc ti”u a phng cc ti”u tuy»t Łi . nh l: i•u ki»n cƒn cıa cc tr N‚u f ⁄t cc tr a phng t⁄i .ab/ v tn t⁄i c¡c ⁄o hm ri¶ng t⁄i th… .ab/ l i”m dłng stationary point cıa f ngha l f x .ab/D f y .ab/D 0. GII TCH B2 158/

slide 159:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.7. Cc tr khng i•u ki»n N‚u thay f x .ab/D f y .ab/D 0 vo phng tr…nh cıa mt phflng ti‚p xc ta th§y mt phflng ny n‹m ngang song song vi mt Oxy. Chi•u £o cıa nh l tr¶n khng ng. V‰ d x†t hm sŁ f.xy/D y 2 x 2 c th nh h…nh b¶n th… f x .00/D f y .00/D 0 ngha l .00/ l i”m dłng cıa f nhng t⁄i f khng c cc tr. Ta gi i”m dłng ny l i”m y¶n nga saddle point cıa f. GII TCH B2 159/

slide 160:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.7. Cc tr khng i•u ki»n nh l: i•u ki»n ı cıa cc tr Gi£ sß f c c¡c ⁄o hm ri¶ng c§p hai li¶n tc tr¶n mºt a trÆn t¥m .ab/ ng thi .ab/ l i”m dłng cıa f. t D.ab/D det f xx .ab/ f xy .ab/ f yx .ab/ f yy .ab/ D f xx .ab/f yy .ab/ f xy .ab/ 2 a N‚u D.ab/ 0 v f xx .ab/ 0 th… f.ab/ l cc ti”u a phng. b N‚u D.ab/ 0 v f xx .ab/ 0 th… f.ab/ l cc ⁄i a phng. c N‚u D.ab/ 0 th….ab/ l i”m y¶n nga ngha l f khng c cc tr t⁄i .ab/. d N‚u D.ab/D 0 th… ta khng c k‚t lu“n tŒng qu¡t ty bi to¡n c th” m ta x†t. GII TCH B2 160/

slide 161:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.7. Cc tr khng i•u ki»n V‰ d Kh£o s¡t cc tr cıa f.xy/D x 4 Cy 4 4xyC1. Gi£i. Sinh vi¶n t ki”m chøng: C¡c i”m dłng cıa f l .00/.11/ v . 1 1/. D.xy/D f xx f yy f 2 xy D 144x 2 y 2 16. a V… D.00/ 0 n¶n.00/ l i”m y¶n nga. b V… D.11/D 128 v f xx .11/D 12 0 n¶n.11/ l i”m cc ti”u. c V… D. 1 1/D 128 v f xx . 1 1/D 12 0 n¶n.11/ cng l i”m cc ti”u. 2 GII TCH B2 161/

slide 162:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.7. Cc tr khng i•u ki»n V‰ d Mºt hºp chœ nh“t khng c n›p æc lm tł 12m 2 b…a cøng. H¢y t…m th” t‰ch ln nh§t cıa hºp ny. Gi£i. Vi k‰ch thc nh h…nh b¶n th… th” t‰ch hºp l VD xyz vi i•u ki»n 2xzC2yzCxyD 12. Tł i•u ki»n ny th… zD.12 xy/2.xCy/ do th” t‰ch l VD xy 12 xy 2.xCy/ D 12xy x 2 y 2 2.xCy/ T…m i”m dłng b‹ng c¡ch gi£i h» V x D y 2 .12 2xy x 2 / 2.xCy/ 2 D 0 V y D x 2 .12 2xy y 2 / 2.xCy/ 2 D 0 GII TCH B2 162/

slide 163:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.7. Cc tr khng i•u ki»n V… x 0 v y 0 n¶n ta suy ra æc xD y. Thay yD x vo phng tr…nh tr¶n ta æc 12 3x 2 D 0 i•u ny cho xD yD 2 v zD.12 2:2/2.2C2/D 1. V“y.221/ l i”m dłng duy nh§t. Hn nœa v“t li»u hœu h⁄n s‡ cho th” t‰ch hºp ln nh§t c th” ⁄t æc t⁄i i”m dłng .221/ m thi V max D 2:2:1D 4.m 3 / 2 GII TCH B2 163/

slide 164:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.7. Cc tr khng i•u ki»n CC TR TUYT ¨I Ta ¢ bi‚t c¡c bc t…m cc tr tuy»t Łi cıa hm mºt bi‚n tr¶n o⁄n ng ab. Łi vi hm hai bi‚n ta a ra kh¡i ni»m tng t o⁄n ng l kh¡i ni»m t“p hæp ng trongR 2 l t“p hæp chøa mi i”m bi¶n cıa n. i”m .ab/ æc gi l i”m bi¶n cıa mºt t“p hæp D trong R 2 c ngha l mi a trÆn t¥m .ab/ lun c i”m chung vi c£ hai phƒn: D v phƒn b R 2 nD. H…nh £nh minh ha hai t“p ng H…nh minh ha ba t“p hæp khng ng GII TCH B2 164/

slide 165:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.7. Cc tr khng i•u ki»n T“p hæp D æc gi l b chn ngha l c mºt a trÆn chøa D. Ni c¡ch kh¡c t“p b chn khng tr£i di v t“n n b bao quanh bi mºt ng trÆn. Ta thła nh“n nh l sau nh l N‚u f l hm sŁ li¶n tc tr¶n mºt t“p D ng v b chn trong R 2 th… f ⁄t mºt cc ⁄i tuy»t Łi t⁄i .x 1 y 1 /2 D v ⁄t mºt cc ti”u tuy»t Łi t⁄i .x 2 y 2 /2 D. Trong nh l tr¶n n‚u .x 1 y 1 / khng n‹m tr¶n bi¶n cıa D khng l i”m bi¶n cıa D m n‹m mi•n trong l i”m trong cıa D th… .x 1 y 1 / ph£i l i”m dłng cıa f n‚u tn t⁄i c¡c ⁄o hm ri¶ng cıa f. Tng t cho i”m .x 2 y 2 /. Do ta c c¡c bc t…m cc tr tuy»t Łi nh sau GII TCH B2 165/

slide 166:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.7. Cc tr khng i•u ki»n C¡ch t…m cc tr tuy»t Łi ” t…m cc tr tuy»t Łi cıa mºt hm sŁ f li¶n tc tr¶n mºt t“p D ng v b chn trong R 2 : 1 T‰nh c¡c gi¡ tr cıa f t⁄i c¡c i”m dłng b¶n trong D. 2 T…m cc tr tuy»t Łi cıa f tr¶n bi¶n cıa D. 3 Gi¡ tr ln nh§t v nh nh§t trong sŁ c¡c gi¡ tr c¡c bc 1 2 l cc ⁄i tuy»t Łi v cc ti”u tuy»t Łi cıa f tr¶n ton D. GII TCH B2 166/

slide 167:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.7. Cc tr khng i•u ki»n V‰ d T…m cc ⁄i tuy»t Łi v cc ti”u tuy»t Łi cıa f.xy/D x 2 2xyC2y tr¶n h…nh chœ nh“t DD .xy/j0 x 3 0 y 2 . Gi£i. V… f l a thøc hm s c§p hai bi‚n n¶n li¶n tc tr¶n D. Hn nœa h…nh chœ nh“t D b chn v ng do f c max v min tr¶n D. Bc 1: sinh vi¶n t ki”m chøng f c mºt i”m dłng duy nh§t b¶n trong D l .11/ v f.11/D 1. Bc 2: tr¶n c⁄nh L 1 ta c f.x0/D x 2 suy ra max L 1 f.x0/D 3 2 D 9 min L 1 f.x0/D 0 2 D 0. GII TCH B2 167/

slide 168:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.7. Cc tr khng i•u ki»n Tr¶n c⁄nh L 2 th… f.3y/D 9 4y suy ra max L 2 f.3y/D 9 4.0/D 9 min L 2 f.3y/D 9 4.2/D 1. Tr¶n c⁄nh L 3 th… f.x2/D x 2 4xC4D.x 2/ 2 suy ra max L 3 f.x2/D.0 2/ 2 D 4 min L 3 f.x2/D.3 2/ 2 D 1. Tr¶n c⁄nh L 4 th… f.0y/D 2y suy ra max L 4 f.0y/D 2.2/D 4 min L 4 f.0y/D 2.0/D 0. Bc 3: so s¡nh c¡c gi¡ tr bc 1 2 th… max D f.xy/D f.30/D 9 v min D f.xy/D f.00/D f.22/D 0. 2 GII TCH B2 168/

slide 169:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.8. Nh¥n tß Lagrange: cc tr c i•u ki»n CC TR C´ M¸T IU KIN Trong mºt v‰ d trc ¥y ta t…m th” t‰ch ln nh§t VD xyz cıa hºp chœ nh“t khng c n›p vi mºt i•u ki»n 2 xyC2xzCyzD 12. i•u ki»n ny ni r‹ng v“t li»u lm hºp ch¿ c 12m 2 b…a cøng. Trong mc ny ta x†t bi to¡n d⁄ng 1 T…m cc tr cıa hm 3 bi‚n f.xyz/ vi mºt i•u ki»n g.xyz/D k k l h‹ng sŁ. 2 T…m cc tr cıa hm 2 bi‚n f.xy/ vi mºt i•u ki»n g.xy/D k. Lagrange a ra mºt phng ph¡p gi£i quy‚t bi to¡n tr¶n æc gi l phng ph¡p nh¥n tß Lagrange. GII TCH B2 169/

slide 170:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.8. Nh¥n tß Lagrange: cc tr c i•u ki»n C s h…nh hc cıa phng ph¡p nh¥n tß Lagrange æc gi£i th‰ch d„ hn trong trng hæp hai bi‚n: t…m cc tr cıa f.xy/ vi mºt i•u ki»n g.xy/D k ngha l i”m .xy/ b h⁄n ch‚ tr¶n ng cong g.xy/D k.xy/ khng ch⁄y t do trong mt phflng. H…nh b¶n tr…nh by c¡c ng ng møc f.xy/D c vi cD 711 v ng cong mu xanh g.xy/D k. Khi.xy/ ch⁄y tr¶n ng xanh gi¡ tr cD f.xy/ thay Œi. C v· nh khi.xy/D.x 0 y 0 / lm cho c 0 D f.x 0 y 0 / l cc ⁄i th… t⁄i ng xanh v ng ng møc ti‚p xc nhau. Ni c¡ch kh¡c t⁄i i”m .x 0 y 0 / vect ph¡p tuy‚n cıa ng xanh v ng cng phng ngha l c sŁ sao chorf.x 0 y 0 /D rg.x 0 y 0 /. SŁ æc gi l nh¥n tß Lagrange. GII TCH B2 170/

slide 171:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.8. Nh¥n tß Lagrange: cc tr c i•u ki»n C s h…nh hc cıa phng ph¡p nh¥n tß Lagrange tr¶n ch¿ c t‰nh trc quan. L“p lu“n ch‰nh x¡c trong phƒn chøng minh cıa nh l sau nh l: i•u ki»n cƒn cıa cc tr c i•u ki»n N‚uhmsŁ3bi‚n f.xyz/kh£viv⁄tcctrt⁄i P.x 0 y 0 z 0 /vimºt i•u ki»n g.xyz/D k trong hm g cng kh£ vi v rg.P/⁄ 0 th… tn t⁄i nh¥n tß Lagrange sao cho rf.x 0 y 0 z 0 /D rg.x 0 y 0 z 0 /: Łi bi to¡n hai bi‚n k‚t qu£ cng tng t. Chøng minh. Gi S l mt cong g.xyz/D k th… P2.S/. Vi ng cong b§t k .C/W .t/D x.t/y.t/z.t/ n‹m trong S v i qua P khi tD t 0 ngha l .t 0 /Dhx 0 y 0 z 0 i th… hm hæp h.t/D f x.t/y.t/z.t/ ⁄t cc tr t⁄i t 0 . Theo nh l Fermat cıa hm mºt bi‚n th… GII TCH B2 171/

slide 172:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.8. Nh¥n tß Lagrange: cc tr c i•u ki»n 0D h 0 .t 0 / D f x .x 0 y 0 z 0 /x 0 .t 0 /Cf y .x 0 y 0 z 0 /y 0 .t 0 /Cf z .x 0 y 0 z 0 /z 0 .t 0 / Drf.x 0 y 0 z 0 / 0 .t 0 / i•u ny cho th§y vect rf.x 0 y 0 z 0 / vung gc vi ti‚p tuy‚n t⁄i P cıa mi ng cong C n‹m trong mt S ngha l rf.x 0 y 0 z 0 / cng phng vi vect ph¡p tuy‚n cıa mt phflng ti‚p xc vi S t⁄i P tøc l rg.x 0 y 0 z 0 /. V“y c sŁ sao cho rf.x 0 y 0 z 0 /D rg.x 0 y 0 z 0 / 2 C«n cø vo nh l tr¶n ta c c¡ch ” t…m cc tr tuy»t Łi æc gi£ sß r‹ng tn t⁄i tr¶n mt cong cıa hm sŁ 3 bi‚n hoc tr¶n ng cong cıa hm sŁ 2 bi‚n GII TCH B2 172/

slide 173:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.8. Nh¥n tß Lagrange: cc tr c i•u ki»n Phng ph¡p nh¥n tß Lagrange Cho hai hm sŁ 3 bi‚n f v g kh£ vi. Gi£ sß tn t⁄i cc tr tuy»t Łi cıa f tr¶n mt cong .S/W g.xyz/D k v rg⁄ 0 t⁄i mi i”m tr¶n mt cong .S/. Khi ta t…m cc tr ni tr¶n theo c¡c bc sau a T…m t§t c£ c¡c gi¡ tr cıa x y z v sao cho rf.xyz/D rg.xyz/ v g.xyz/D k b T‰nh c¡c gi¡ tr cıa f t⁄i c¡c i”m .xyz/ t…m æc bc a. Gi¡ tr ln nh§t nh nh§t trong sŁ c¡c gi¡ tr ny ch‰nh l cc ⁄i cc ti”u tuy»t Łi cıa f tr¶n mt cong S. Trong trng hæp hai bi‚n c¡ch lm tng t. GII TCH B2 173/

slide 174:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.8. Nh¥n tß Lagrange: cc tr c i•u ki»n V‰ d Mºt hºp chœ nh“t khng c n›p æc lm tł 12m 2 b…a cøng. T…m th” t‰ch ln nh§t cıa mºt hºp nh v“y. Gi£i. S tn t⁄i cıa gi¡ tr ln nh§t cıa th” t‰ch VD xyz vi i•u ki»n g.xyz/D 2xzC2yzCxyD 12 l i•u t nhi¶n v… vi v“t li»u b…a cøng hœu h⁄n khng th” no lm th” t‰ch ln ty m ch¿ ⁄t mºt th” t‰ch tŁi a cƒn t…m. Trc h‚t ta gi£i h» V x D g x I V y D g y I V z D g z I gD 12 hay l yzD. 2zCy/ 1 xzD. 2zCx/ 2 xyD. 2xC2y/ 3 2xzC2yzCxyD 12 4 GII TCH B2 174/

slide 175:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.8. Nh¥n tß Lagrange: cc tr c i•u ki»n Khng c phng ph¡p tŒng qu¡t ” gi£i h» tr¶n m i khi ph£i dng trc gi¡c. Nh¥n 1 vi x 2 vi y 3 vi z ta æc xyzD. 2xzCxy/D. 2yzCxy/D. 2xzC2yz/ 5 N‚u D 0 th… tł 1-3 s‡ cho xyD yzD zxD 0 i•u ny m¥u thu¤n vi 4. Do ⁄ 0 v tł 5 ta suy ra xzD yz xyD 2xz. Hn nœa x y z 0 n¶n ta suy ra xD yD 2z thay t§t c£ vo 4 ta æc 4z 2 C4z 2 C4z 2 D 12 zD 1 v xD yD 2 Th” t‰ch ln nh§t cƒn t…m l V max D 2:2:1D 4m 3 . 2 GII TCH B2 175/

slide 176:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.8. Nh¥n tß Lagrange: cc tr c i•u ki»n CC TR C´ HAI IU KIN Ta x†t bi to¡n t…m gi¡ tr ln nh§t hoc nh nh§t cıa hm sŁ 3 bi‚n f vi hai i•u ki»n g.xyz/D k v h.xyz/D c. V• mt h…nh hc i•u ny c ngha l khi i”m .xyz/ ch⁄y tr¶n ng cong giao tuy‚n C cıa hai mt cong g.xyz/D k v h.xyz/D c h…nh b¶n v tr‰ no cıa .xyz/ lm cho f.xyz/ ⁄t gi¡ tr ln nh§t hoc nh nh§t Gi£ sß v tr‰ l P.x 0 y 0 z 0 / th… theo chøng minh cıa i•u ki»n cƒn cc tr c i•u ki»n trc rf.P/ vung gc vi ti‚p tuy‚n cıa C t⁄i P ng thi rg.P/ v rh.P/ cng v“y. i•u ny cho th§y ba vect ng phflng. Do tn t⁄i hai nh¥n tß Lagrange v sao cho rf.P/D rg.P/C rh.P/ GII TCH B2 176/

slide 177:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.8. Nh¥n tß Lagrange: cc tr c i•u ki»n V‰ d T…m gi¡ tr ln nh§t v nh nh§t n‚u c cıa hm sŁ f.xyz/D xC2yC3z tr¶n ng cong giao tuy‚n cıa mt phflng x yCzD 1 v mt tr x 2 Cy 2 D 1. Gi£i. ng cong giao tuy‚n xem h…nh b¶n l t“p hæp ng v… mØi i”m thuºc ng cong •u l i”m bi¶n cıa n ng thi b chn trong R 3 . Hn nœa hm sŁ f li¶n tc n¶n f c max v min tr¶n ng cong ny. i•u ki»n Lagrange l rfD rgC rh do ta gi£i h» GII TCH B2 177/

slide 178:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 2.8. Nh¥n tß Lagrange: cc tr c i•u ki»n 1D C2x 6 2D C2y 7 3D 8 x yCzD 1 9 x 2 Cy 2 D 1 10 Thay D 3 8 vo 6-7 ta æc x D 1 v 2 y D 5 suy ra xD 1 v yD 5.2/ . Thay t§t c£ vo 10 ta æc 1 2 C 25 4 2 D 1 2 D 29 4 D p 29 2 Do .xy/D 2 p 29 5 p 29 . Tł 9 ta suy ra zD 1 xCyD 1 7 p 29 . T‰nh f t⁄i c¡c gi¡ tr ny ta c max f v min f l 3 p 29. 2 GII TCH B2 178/

slide 179:

TCH PHN B¸I

slide 180:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.1. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt h…nh chœ nh“t TH TCH V TCH PHN KP H…nh b¶n l th cıa mºt hm sŁ f khng ¥m x¡c nh tr¶n h…nh chœ nh“t R RDab cd D .xy/2R 2 a x b v c y d th l mt cong c phng tr…nh zD f.xy/. Gi S l khŁi n‹m di th cıa f v n‹m tr¶n h…nh chœ nh“t R SD .xyz/2R 3 0 z f.xy/ .xy/2 R Mc ny cıa chng muŁn a ra nh ngha th” t‰ch cıa khŁi S. GII TCH B2 180/

slide 181:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.1. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt h…nh chœ nh“t Chia o⁄n ab thnh m o⁄n con x i 1 x i •u nhau vi º di xD.b a/m chia o⁄n cd thnh n o⁄n con y j 1 y j •u nhau vi º di yD.d c/n. Nh v“y ta c mn h…nh chœ nh“t con c d⁄ng R ij Dx i 1 x i y j 1 y j D .xy/ x i 1 x x i y j 1 y y j vi di»n t‰ch AD x y. GII TCH B2 181/

slide 182:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.1. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt h…nh chœ nh“t Tr¶n mØi con R ij chn mºt i”m m¤u .x ij y ij / ng¤u nhi¶n. Ta c th” x§p x¿ mºt phƒn th” t‰ch cıa khŁi S n‹m ph‰a tr¶n con R ij b‹ng th” t‰ch cºt d⁄ng hºp c ¡y R ij v chi•u cao b‹ng f.x ij y ij /. Th” t‰ch ny b‹ng f.x ij y ij / A GII TCH B2 182/

slide 183:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.1. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt h…nh chœ nh“t V th” t‰ch ton khŁi S æc x§p x¿ bi V m X iD1 n X jD1 f.x ij y ij / A GII TCH B2 183/

slide 184:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.1. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt h…nh chœ nh“t nh ngha t‰ch ph¥n k†p T‰ch ph¥n k†p The double integral cıa hm f tr¶n mºt h…nh chœ nh“t R l R f.xy/dAD lim mn1 m X iD1 n X jD1 f.x ij y ij / A mi„n l gii h⁄n tr¶n tn t⁄i theo ngha: vi mi sŁ " 0 cho trc lun c mºt sŁ t nhi¶n N sao cho R f.xy/dA m X iD1 n X jD1 f.x ij y ij / A " ng vi mi sŁ m n ln hn N v vi mi c¡ch chn i”m m¤u .x ij y ij /2 R ij . Mºt hm f nh tr¶n æc gi l kh£ t‰ch tr¶n R. GII TCH B2 184/

slide 185:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.1. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt h…nh chœ nh“t Ta thła nh“n nh l sau ¥y i•u ki»n ı ” kh£ t‰ch N‚u 1 hm sŁ f b chn tr¶n h…nh chœ nh“t R ngha l c h‹ng sŁ dng M sao cho 8.xy/2 R f.xy/ M 2 f li¶n tc tr¶n R ngo⁄i trł c th” gi¡n o⁄n tr¶n vi ng cong trn b¶n trong R ng cong trn l ng cong æc bi”u di„n bi hm vect c ⁄o hm li¶n tc. th… f kh£ t‰ch tr¶n R. GII TCH B2 185/

slide 186:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.1. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt h…nh chœ nh“t Ghi ch . 1 TŒng m X iD1 n X jD1 f.x ij y ij / A æc gi l tŒng Riemann v æc dng ” x§p x¿ gi¡ tr cıa t‰ch ph¥n k†p. 2 V… i”m m¤u .x ij y ij /2 R ij æc chn ty n¶n ta c th” chn theo nhi•u c¡ch cho c¡c mc ‰ch kh¡c nhau. 3 N‚u f.xy/ 08.xy/2 R th… th” t‰ch khŁi S n‹m di th cıa f v n‹m tr¶n h…nh chœ nh“t R æc nh ngha bi cng thøc VD R f.xy/dA mi„n l f kh£ t‰ch tr¶n R. GII TCH B2 186/

slide 187:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.1. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt h…nh chœ nh“t V‰ d H¢y c t‰nh th” t‰ch khŁi n‹m tr¶n h…nh vung RD 02 02 v n‹m di mt zD 16 x 2 2y 2 b‹ng c¡ch chia thnh bŁn h…nh vung nh v chn i”m m¤u l gc tr¶n b¶n ph£i cıa mØi h…nh vung con R ij . Ph¡c ha khŁi v c¡c hºp chœ nh“t ” t‰nh x§p x¿. Gi£i. Y¶u cƒu cıa ph†p x§p x¿ øng vi mD nD 2 AD 1 v ta c V 2 X iD1 2 X jD1 f.x i y j / A D f.11/ ACf.12/ A Cf.21/ ACf.22/ A D 13.1/C7.1/C10.1/C4.1/D 34 2 GII TCH B2 187/

slide 188:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.1. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt h…nh chœ nh“t Ta th§y n‚u m n cng ln th… ph†p x§p x¿ cng ch‰nh x¡c. GII TCH B2 188/

slide 189:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.1. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt h…nh chœ nh“t QUY TC TRUNG IM: XP X TCH PHN TŒng Riemann dng ” x§p x¿ t‰ch ph¥n vi i”m m¤u .x ij y ij /2 R ij ty . C nhi•u c¡ch chn i”m m¤u cho thu“n ti»n trong c quy t›c sau ¥y Quy t›c trung i”m cıa t‰ch ph¥n k†p R f.xy/dA m X iD1 n X jD1 f.x i y j / A trong x i l trung i”m cıa o⁄n x i 1 x i v y j l trung i”m cıa o⁄n y j 1 y j . Ni c¡ch kh¡c .x i y j / l t¥m cıa h…nh chœ nh“t con R ij . V‰ d Dng quy t›c trung i”m vi mD nD 2 h¢y x§p x¿ gi¡ tr cıa R .x 3y 2 /dA trong RD02 12. GII TCH B2 189/

slide 190:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.1. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt h…nh chœ nh“t Gi£i. Di»n t‰ch cıa mØi h…nh chœ nh“t con l AD 1 2 . Theo quy t›c trung i”m th… R .x 3y 2 /dA 2 X iD1 2 X jD1 f.x i y j / 1 2 D 1 2 f.x 1 y 1 /Cf.x 1 y 2 /Cf.x 2 y 1 /Cf.x 2 y 2 / D 1 2 h f 1 2 5 4 Cf 1 2 7 4 Cf 3 2 5 4 Cf 3 2 7 4 i D 1 2 h 67 16 C 139 16 C 51 16 C 123 16 i D 95 8 D 11:875 V… v“y R .x 3y 2 /dA 11:875 2 GII TCH B2 190/

slide 191:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.1. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt h…nh chœ nh“t GI TR TRUNG BNH Gi¡ tr trung b…nh Gi¡trtrungb…nh theaveragevalue cıa hm f hai bi‚n æc nh ngha l f ave D 1 A.R/ R f.xy/dA trong A.R/ l di»n t‰ch cıa R. nh l N‚u hm sŁ f li¶n tc tr¶n R th… tn t⁄i./ 2 R sao cho f./ D f ave . H…nh tr¶n ni r‹ng n‚u zD f.xy/ 0 m t£ b• mt a h…nh th… ta c th” c›t b c¡c chm i t⁄i º cao f ave v dng §t d ” l§p c¡c thung lng th… ta æc mºt vng hon ton b‹ng phflng c cao º f ave . GII TCH B2 191/

slide 192:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.1. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt h…nh chœ nh“t GII TCH B2 192/

slide 193:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.1. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt h…nh chœ nh“t V‰ d — trang trc l mºt contour map bi”u th º dy n v inch cıa tuy‚t phı bang Colorado trong hai ngy 20 v 21 th¡ng 12 2006. Bang ny c h…nh chœ nh“t tł T¥y sang ng l 388 dm tł Nam l¶n B›c l 276 dm. H¢y c t‰nh º dy trung b…nh cıa tuy‚t phı tr¶n ton bang. Gi£i. L§y gc T¥y Nam cıa bang lm gŁc ta º th… bang Colorado æc bi”u th bi h…nh chœ nh“t RD0388 0276. t f.xy/ l º dy tuy‚t phı t⁄i v tr‰ sang ng x dm v l¶n B›c y dm t‰nh tł gŁc. Khi º dy trung b…nh cıa tuy‚t phı ton bang l f ave D 1 A.R/ f.xy/dA trong A.R/D 388:276 dm vung. GII TCH B2 193/

slide 194:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.1. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt h…nh chœ nh“t ” c t‰nh gi¡ tr cıa t‰ch ph¥n k†p trc ta dng quy t›c trung i”m vi mD nD 4 ngha l chia bang Colorado thnh 16 h…nh chœ nh“t •u nhau vi di»n t‰ch mØi h…nh l AD 1 16 .388:276/D 6693dm vung Contour map cho ta c o¡n gi¡ tr cıa f t⁄i mØi t¥m h…nh chœ nh“t con do f ave D 1 A.R/ R f.xy/dA 1 A.R/ 4 X iD1 4 X jD1 f.x i y j / A A A.R/ .0C15C8C7C2C25C185C11C45 C28C17C135C12C15C175C13/ D 6693 388:276 .207/ 129inches 2 GII TCH B2 194/

slide 195:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.1. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt h…nh chœ nh“t TNH CHT CA TCH PHN KP Gi£ sß c¡c t‰ch ph¥n sau tn t⁄i. Khi 1 R f.xy/Cg.xy/ dAD R f.xy/dAC R g.xy/dA 2 R cf.xy/dAD c R f.xy/dA 3 N‚u f.xy/ g.xy/ vi mi .xy/2 R th… R f.xy/dA R g.xy/dA T‰nh ch§t 1 2 æc gi t‰nh ch§t tuy‚n t‰nh cıa t‰ch ph¥n k†p. GII TCH B2 195/

slide 196:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.2. T‰ch ph¥n lp C¡c t‰ch ph¥n di ¥y Z b a Z d c f.xy/dydxD Z b a Z d c f.xy/dy dx Z d c Z b a f.xy/dxdyD Z d c Z b a f.xy/dx dy æc gi l c¡c t‰ch ph¥n lp iterated integral v… chng l k‚t qu£ l§y t‰ch ph¥n theo tłng bi‚n x v y ri¶ng l·. Hai t‰ch ph¥n lp tr¶n c thø t l§y t‰ch ph¥n theo c¡c bi‚n kh¡c nhau. GII TCH B2 196/

slide 197:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.2. T‰ch ph¥n lp nh l Fubini Gi£ sß f l hm sŁ li¶n tc tr¶n h…nh chœ nh“t RDab cd. Khi R f.xy/dAD Z b a Z d c f.xy/dydxD Z d c Z b a f.xy/dxdy: TŒng qu¡t hn c th” l§y gi£ thi‚t f b chn tr¶n R ch¿ b gi¡n o⁄n tr¶n vi ng cong trn b¶n trong R v tn t⁄i c¡c t‰ch ph¥n lp. Ta khng chøng minh nh l tr¶n thay vo ta n¶u tng h…nh thnh nh l ny theo c¡ch trc quan GII TCH B2 197/

slide 198:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.2. T‰ch ph¥n lp Trong h…nh b¶n gi S l khŁi n‹m tr¶n R v di mt zD f.xy/ V l th” t‰ch khŁi S C l ng cong v‚t trong mt phflng xD h‹ng sŁ A.x/D Z d c f.xy/dy l di»n t‰ch cıa thi‚t di»n t⁄o bi mt phflng tr¶n c›t khŁi S. N‚u khŁi S b c›t thnh nhi•u l¡t c º dy x •u nhau v ta cºng th” t‰ch c¡c l¡t th… ta c x§p x¿ V m X iD1 A.x i / x. N‚u cho sŁ l¡t ngy cng nhi•u x 0 ta th§y R f.xy/dAD V D lim m1 m X iD1 A.x i / xD Z b a A.x/dxD Z b a Z d c f.xy/dy dx: GII TCH B2 198/

slide 199:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.2. T‰ch ph¥n lp L“p lu“n tng t nh tr¶n vi n l¡t c›t vung gc vi trc Oy c º dy yD.d c/n di»n t‰ch mØi l¡t l A.y j /D Z b a f.xy j /dx nh h…nh b¶n ta cng c R f.xy/dAD VD lim n1 n X jD1 A.y j / y D Z d c A.y/dyD Z d c Z b a f.xy/dx dy: GII TCH B2 199/

slide 200:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.2. T‰ch ph¥n lp V‰ d T‰nh t‰ch ph¥n k†p R .x 3y 2 /dA vi RD .xy/ 0 x 2 1 y 2 . Li gi£i 1. nh l Fubini cho R .x 3y 2 /dAD Z 2 0 Z 2 1 .x 3y 2 /dydxD Z 2 0 .xy y 3 / yD2 yD1 dx D Z 2 0 .x 7/dxD x 2 2 7x 2 0 D 12 Li gi£i 2. R .x 3y 2 /dAD Z 2 1 Z 2 0 .x 3y 2 /dxdyD Z 2 1 x 2 2 3xy 2 xD2 xD0 dyD Z 2 1 .2 6y 2 /dyD.2y 3y 3 / 2 1 D 12 2 GII TCH B2 200/

slide 201:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.2. T‰ch ph¥n lp V‰ d T‰nh R y sin.xy/dA vi RD12 0 . Li gi£i 1. Dng nh l Fubini l§y t‰ch ph¥n lp theo bi‚n x trc R y sin.xy/dAD Z 0 Z 2 1 y sin.xy/dxdyD Z 0 cos.xy/ xD2 xD1 dy D Z 0 . cos2yCcosy/dyD 1 2 sin2yCsiny 0 D 0 Li gi£i 2. N‚u t‰nh theo t‰ch ph¥n lp vi thø t ngæc l⁄i ta ph£i t‰ch ph¥n tłng phƒn li gi£i di hn nhng cho cng k‚t qu£. 2 GII TCH B2 201/

slide 202:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.2. T‰ch ph¥n lp Trng hæp c bi»t hm sŁ f.xy/ c d⁄ng t¡ch bi‚n f.xy/D g.x/h.y/ trong g v h l hai hm sŁ 1 bi‚n th… nh l Fubini c d⁄ng R f.xy/dAD Z b a g.x/dx Z d c h.y/dy vi RDab cd: GII TCH B2 202/

slide 203:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.3. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt mi•n tŒng qu¡t Mc 3.2 tr…nh by t‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt h…nh chœ nh“t. Mc ny bn ‚n t‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt mi•n D c h…nh d⁄ng tŒng qu¡t hn b chn nh h…nh b¶n. Ta chn mºt h…nh chœ nh“t R bao quanh mi•n D v a ra hm mi F x¡c nh tr¶n R F.xy/D f.xy/ n‚u.xy/2 D 0 n‚u.xy/2 RnD T‰ch ph¥n cıa F tr¶n h…nh chœ nh“t R n‚u tn t⁄i khng b £nh hng bi mi•n b¶n ngoi D ngha l ta c th” l§y h…nh chœ nh“t R ty bao quanh D. GII TCH B2 203/

slide 204:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.3. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt mi•n tŒng qu¡t th cıa f v cıa F æc minh ha nh sau N‚u F kh£ t‰ch tr¶n R th… ta nh ngha t‰ch ph¥n k†p cıa tr¶n D nh sau D f.xy/dAD R F.xy/dA GII TCH B2 204/

slide 205:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.3. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt mi•n tŒng qu¡t nh l Gi£ sß hm f ch¿ gi¡n o⁄n nhœng i”m tr¶n vi ng cong trn b¶n trong D. Hn nœa bi¶n cıa t“p D æc gh†p bi vi ng cong trn. Khi f s‡ kh£ t‰ch tr¶n D ngha l tn t⁄i D f.xy/dA. nh l Fubini c th” ¡p dng cho t‰ch ph¥n k†p tr¶n mi•n D tŒng qu¡t theo c¡ch ph¥n bi»t mi•n D thnh hai lo⁄i: 1 Mi•n D æc gi l li theo phng Oy hoc l n gi£n theo phng Oy n‚u D n‹m giœa hai th cıa hai hm sŁ theo bi‚n x DD .xy/ x2ab g 1 .x/ y g 2 .x/ 2 Mi•n D æc gi l li theo phng Ox hoc l n gi£n theo phng Ox n‚u D n‹m giœa hai th cıa hai hm sŁ theo bi‚n y DD .xy/ y2cd h 1 .y/ x h 2 .y/ GII TCH B2 205/

slide 206:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.3. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt mi•n tŒng qu¡t Sau ¥y l vi h…nh £nh cho mi•n li theo Oy : V minh ha cho mi•n li theo Ox : GII TCH B2 206/

slide 207:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.3. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt mi•n tŒng qu¡t nh l Fubini Cho hm sŁ f kh£ t‰ch tr¶n mi•n D. 1 N‚u DD .xy/ x2ab g 1 .x/ y g 2 .x/ D li theo phng Oy th… D f.xy/dAD Z b a Z g 2 .x/ g 1 .x/ f.xy/dy dx mi„n l t‰ch ph¥n lp tr¶n tn t⁄i. 2 N‚u DD .xy/ y2cd h 1 .y/ x h 2 .y/ D li theo phng Ox th… mi„n l t‰ch ph¥n lp di tn t⁄i D f.xy/dAD Z d c Z h 2 .y/ h 1 .y/ f.xy/dxdy GII TCH B2 207/

slide 208:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.3. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt mi•n tŒng qu¡t V‰ d T‰nh D .xC2y/dA D b bao bi hai parabola: yD 2x 2 v yD 1Cx 2 . Gi£i. Giao i”m hai parabola l . 12/ v .12/. Do D c d⁄ng DD .xy/ x2 11 2x 2 y 1Cx 2 D .xC2y/dAD Z 1 1 Z 1Cx 2 2x 2 .xC2y/dydx D Z 1 1 .xyCy 2 / yD1Cx 2 yD2x 2 dx DD 32 15 2 GII TCH B2 208/

slide 209:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.3. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt mi•n tŒng qu¡t Lu . Khi t‰nh t‰ch ph¥n k†p thng qua t‰ch ph¥n lp i•u chı y‚u l v‡ s mi t¶n ” bi”u di„n mi•n l§y t‰ch ph¥n di d⁄ng li theo mºt phng giŁng nh trong h…nh cıa v‰ d trc. N gip ta x¡c nh c“n di v tr¶n cıa t‰ch ph¥n lp. V‰ d T…m th” t‰ch cıa mi•n n‹m di paraboloid zD x 2 Cy 2 v n‹m tr¶n mi•n D trong mt phflng xy b bao bi hai ng yD 2x v yD x 2 . GII TCH B2 209/

slide 210:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.3. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt mi•n tŒng qu¡t Vi hai s mi t¶n trong mi•n D di ¥y: th… ta c hai c¡ch bi”u di„n D li theo phng Oy hoc Ox: DD .xy/ x202 x 2 y 2x DD .xy/ y204 1 2 y x p y GII TCH B2 210/

slide 211:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.3. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt mi•n tŒng qu¡t Do th” t‰ch V cıa khŁi n‹m di mt zD x 2 Cy 2 v n‹m tr¶n D æc t‰nh theo hai c¡ch C¡ch 1: VD D .x 2 Cy 2 /dAD Z 2 0 Z 2x x 2 .x 2 Cy 2 /dy dx D Z 2 0 .x 2 yC 1 3 y 3 / yD2x yDx 2 dxDD 216 35 C¡ch 2: VD D .x 2 Cy 2 /dAD Z 4 0 Z p y 1 2 y .x 2 Cy 2 /dx dy D Z 4 0 . 1 3 x 3 Cxy 2 / xD p y xD 1 2 y dyDD 216 35 2 GII TCH B2 211/

slide 212:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.3. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt mi•n tŒng qu¡t V‰ d T‰nh t‰ch ph¥n lp Z 1 0 Z 1 x sin.y 2 /dydx. Gi£i. N‚u t‰nh t‰ch ph¥n theo bi‚n y trc th… b§t kh£ thi v… ta khng t…m æc nguy¶n hm. Do ta dng nh l Fubini cho t‰ch ph¥n k†p tr¶n mi•n D nh h…nh di GII TCH B2 212/

slide 213:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.3. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt mi•n tŒng qu¡t v ta c Z 1 0 Z 1 x sin.y 2 /dy dxD D sin.y 2 /dAD Z 1 0 Z y 0 sin.y 2 /dxdy D Z 1 0 y sin.y 2 /dyD 1 2 Z 1 0 sintdt Œi bi‚n tD y 2 D 1 2 cost 1 0 D 1 2 1 2 cos1 2 GII TCH B2 213/

slide 214:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.3. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt mi•n tŒng qu¡t TNH CHT CA TCH PHN KP TRN MIN T˚NG QUT Gi£ sß c¡c t‰ch ph¥n di ¥y tn t⁄i khi D f.xy/Cg.xy/ dAD D f.xy/dAC D g.xy/dA 3.1 D cf.xy/dAD c D f.xy/dA 3.2 N‚u f.xy/ g.xy/ vi mi .xy/2 D th… D f.xy/dA D g.xy/dA 3.3 N‚u D 1 v D 2 khng gi¤m – l¶n nhau ngo⁄i trł c th” d‰nh nhau tr¶n bi¶n th… D 1 D 2 f.xy/dAD D 1 f.xy/dAC D 2 f.xy/dA 3.4 GII TCH B2 214/

slide 215:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.3. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt mi•n tŒng qu¡t T‰nh ch§t 3.4 æc dng khi D khng c d⁄ng li theo phng no. Trong trng hæp ta c th” chia D thnh nhi•u mi•n mØi mi•n li theo mºt phng Ox hoc Oy Mi•n D trong h…nh tr¶n khng li theo phng no khi chia ra th… mi•n D 1 li theo Oy mi•n D 2 li theo Ox. GII TCH B2 215/

slide 216:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.3. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt mi•n tŒng qu¡t N‚u ta l§y t‰ch ph¥n cıa mºt hm h‹ng f.xy/ 1 tr¶n mi•n D th… ta æc tr sŁ cıa di»n t‰ch mi•n D D 1dAD A.D/ 3.5 N‚u m f.xy/ M vi mi .xy/2 D th… mA.D/ D f.xy/dA MA.D/ 3.6 GII TCH B2 216/

slide 217:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.3. T‰ch ph¥n k†p tr¶n mºt mi•n tŒng qu¡t V‰ d Dng t‰nh ch§t 3.6 h¢y ¡nh gi¡ tr sŁ cıa D e sinxcosy dA vi D l a trÆn c t¥m gŁc b¡n k‰nh 2. Gi£i. V… 1 sinx cosy 1 n¶n e 1 e sinxcosy e 1 D e Dng t‰nh ch§t 3.6 vi mD e 1 MD e v A.D/D. 2/ 2 ta c 4 e D e sinxcosy dA 4 e 2 GII TCH B2 217/

slide 218:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.4. T‰ch ph¥n k†p trong ta º cc T¯A ¸ CC Vi mØi i”m P.xy/ trong mt phflng ta º Descartes Oxy ta t rD OPD p x 2 Cy 2 I D OP th… xD r cos v yD r sin . Cp sŁ .r/ æc gi l ta º cc cıa i”m P. Quy c. Trong ta º cc i”m . r/ Łi xøng vi i”m .r/ qua gŁc O.00/ V“y mºt t“p hæp D trong mt phflng Descartes c d⁄ng DD .xy/ x v y tha t‰nh ch§t T no c th” æc vi‚t di d⁄ng ta º cc nh sau DD .r/ r v tha t‰nh ch§t tng ng vi T GII TCH B2 218/

slide 219:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.4. T‰ch ph¥n k†p trong ta º cc Mi•n R trong h…nh a b¶n c th” vi‚t theo ba d⁄ng sau RD .xy/ x 2 Cy 2 1 RD .xy/ xD r cos yD r sin .r/ 201 02 RD .r/ 0 r 1 0 2 Trong h…nh b th… mi•n R æc vi‚t di d⁄ng RD .xy/ 1 x 2 Cy 2 4 y 0 RD .xy/ xD r cos yD r sin .r/ 212 0 RD .r/ 1 r 2 0 H…nh a: H…nh b: GII TCH B2 219/

slide 220:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.4. T‰ch ph¥n k†p trong ta º cc Ngi ta chøng minh æc r‹ng Cng thøc Œi bi‚n t‰ch ph¥n theo ta º cc N‚u hm sŁ hai bi‚n f li¶n tc tr¶n mºt mi•n D æc bi”u di„n theo d⁄ng ta º cc sau ¥y DD .r/ 2 h 1 ./ r h 2 ./ th… H…nh minh ha cho mi•n D c d⁄ng ta º cc n gi£n theo r. D f.xy/dAD Z Z h 2 ./ h 1 ./ f.r cos r sin/ r dr d GII TCH B2 220/

slide 221:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.4. T‰ch ph¥n k†p trong ta º cc V‰ d T…mth”t‰chcıakhŁibbaobimt zD 0vparaboloid zD 1 x 2 y 2 . Gi£i. Mt zD 0 c›t paraboloid t⁄o thnh h…nh trÆn DW x 2 Cy 2 1 c bi”u di„n ta º cc l .r/ 201 02 . Do th” t‰ch khŁi l VD D .1 x 2 y 2 /dA D Z 2 0 Z 1 0 .1 r 2 /rdrd D 2 r 2 2 r 4 4 1 0 D 2 2 GII TCH B2 221/

slide 222:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.4. T‰ch ph¥n k†p trong ta º cc V‰ d T…m di»n t‰ch mºt c¡nh t⁄o bi ng cong h…nh hoa 4 c¡nh c phng tr…nh rD cos2 . Xem h…nh. Gi£i. Ta th§y mi•n D c d⁄ng ta º cc DD .r/ 2 4 4 0 r cos2 Do di»n t‰ch mºt c¡nh hoa l A.D/D D dAD Z 4 4 Z cos2 0 rdrd D Z 4 4 h 1 2 r 2 i cos2 0 d DD 8 2 GII TCH B2 222/

slide 223:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.4. T‰ch ph¥n k†p trong ta º cc V‰ d T‰nh th” t‰ch khŁi n‹m tr¶n mt phflng xy n‹m di mt paraboloid zD x 2 Cy 2 v n‹m trong mt tr x 2 Cy 2 D 2x. Gi£i. KhŁi cƒn t…m n‹m tr¶n h…nh trÆn D vi bi¶n c phng tr…nh x 2 Cy 2 D 2x.x 1/ 2 Cy 2 D 1 D⁄ng ta º cc cıa D l DD .r/ 2 h 2 2 i 0 r 2cos Xem h…nh trang k‚. GII TCH B2 223/

slide 224:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.4. T‰ch ph¥n k†p trong ta º cc Do th” t‰ch cƒn t‰nh l VD D .x 2 Cy 2 /dA D Z 2 2 Z cos2 0 .r 2 /rdrd D Z 2 2 h r 4 4 i 2cos 0 d D 4 Z 2 2 cos 4 d D 4 Z 2 2 1Ccos2 2 2 d DD 3 2 2 GII TCH B2 224/

slide 225:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.5. T‰ch ph¥n bºi ba TCH PHN B¸I BA TRN M¸T H¸P BOX X†t mºt hm sŁ f c 3 bi‚n x¡c nh tr¶n mºt hºp chœ nh“t B BD .xyz/ a x bc y dr z s nh ngha t‰ch ph¥n bºi ba cıa f tr¶n B cng giŁng nh trng hæp hm hai bi‚n ngha l chia B thnh nhi•u hºp con B ijk . Trong ta chiaab thnh l o⁄n con •u nhau c º di xD.b a/l chiacd thnh m o⁄n con c º di yD.d c/m chiars thnh n o⁄n con c º di zD.s r/n v ta c lmn hºp con d⁄ng B ijk Dx i 1 x i y j 1 y j z k 1 z k th” t‰ch mØi hºp con l VD x y z. GII TCH B2 225/

slide 226:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.5. T‰ch ph¥n bºi ba Trong mØi hºp con B ijk chn mºt i”m m¤u .x ijk y ijk z ijk / ty v l“p tŒng Riemann nh sau l X iD1 m X jD1 n X kD1 f.x ijk y ijk z ijk / V nh ngha t‰ch ph¥n bºi ba tr¶n mºt hºp T‰ch ph¥n bºi ba triple integral cıa f tr¶n hºp B æc nh ngha l B f.xyz/dVD lim lmn1 l X iD1 m X jD1 n X kD1 f.x ijk y ijk z ijk / V mi„n l gii h⁄n tr¶n tn t⁄i. Khi ta ni f kh£ t‰ch tr¶n B. GII TCH B2 226/

slide 227:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.5. T‰ch ph¥n bºi ba i•u ki»n ı ” kh£ t‰ch N‚u f li¶n tc tr¶n hºp B th… f kh£ t‰ch tr¶n B. nh l Fubini N‚u f li¶n tc tr¶n hºp BDab cd rs th… B f.xyz/dVD Z s r Z d c Z b a f.xyz/dxdydz TŒng qu¡t hn n‚u f kh£ t‰ch tr¶n B v t‰ch ph¥n lp tr¶n tn t⁄i th… flng thøc tr¶n ng. GII TCH B2 227/

slide 228:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.5. T‰ch ph¥n bºi ba TCH PHN B¸I BA TRN M¸T KH¨I T˚NG QUT N‚u hm ba bi‚n f x¡c nh tr¶n mºt khŁi E b chn trong khng gian b bao quanh bi mºt mt cƒu th… ta chn mºt hºp chœ nh“t B chøa E v nh ngha hm F x¡c nh tr¶n B sao cho: F trng vi f b¶n trong E F tri»t ti¶u b¶n ngoi E. Khi ta nh ngha E f.xyz/dVD B F.xyz/dV T‰ch ph¥n tr¶n s‡ tn t⁄i n‚u f li¶n tc tr¶n E v bi¶n cıa E l hæp cıa vi mt cong trn ngha l mt cong c phng tr…nh d⁄ng G.xyz/D k k l h‹ng sŁ c¡c ⁄o hm ri¶ng cıa G li¶n tc. Ch T‰ch ph¥n bºi ba cıa f tr¶n E khng mang ngha h…nh hc nhng n‚u f 1 th… th” t‰ch cıa E l V.E/D E 1dV. GII TCH B2 228/

slide 229:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.5. T‰ch ph¥n bºi ba KH¨I N GIN L˙I THEO M¸T PHNG NH L FUBINI nh l Fubini æc ¡p dng cho t‰ch ph¥n bºi ba tr¶n mºt khŁi E thuºc c¡c ki”u sau ¥y: Lo⁄i li theo phng Oz c d⁄ng ED .xyz/ .xy/2 D u 1 .xy/ z u 2 .xy/ trong D l h…nh chi‚u cıa khŁi E l¶n mt phflng xy. Khi E f.xyz/dVD D h Z u 2 .xy/ u 1 .xy/ f.xyz/dz i dA GII TCH B2 229/

slide 230:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.5. T‰ch ph¥n bºi ba Lo⁄i li theo phng Oy c d⁄ng ED .xyz/ .xz/2 D u 1 .xz/ y u 2 .xz/ trong D l h…nh chi‚u cıa khŁi E l¶n mt phflng xz. Khi E f.xyz/dVD D h Z u 2 .xz/ u 1 .xz/ f.xyz/dy i dA GII TCH B2 230/

slide 231:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.5. T‰ch ph¥n bºi ba Lo⁄i li theo phng Ox c d⁄ng ED .xyz/ .yz/2 D u 1 .yz/ x u 2 .yz/ trong D l h…nh chi‚u cıa khŁi E l¶n mt phflng yz. Khi E f.xyz/dVD D h Z u 2 .yz/ u 1 .yz/ f.xyz/dx i dA GII TCH B2 231/

slide 232:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.5. T‰ch ph¥n bºi ba V‰ d T‰nh E p x 2 Cy 2 dV trong E l mi•n b bao quanh bi mt yD x 2 Cz 2 v mt yD 4. Gi£i. N‚u chng ta xem E l mi•n li theo phng Oz th… h…nh chi‚u cıa E l¶n mt xy l D 1 nh h…nh di GII TCH B2 232/

slide 233:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.5. T‰ch ph¥n bºi ba Phng tr…nh yD x 2 Cz 2 cho zD p y x 2 mt xy: zD 0 c›t mt yD x 2 Cz 2 thnh parabola yD x 2 . Do ED .xyz/ .xy/2 D 1 p y x 2 z p y x 2 D 1 D .xy/ x2 22 x 2 y 4 E p x 2 Cz 2 dVD Z 2 2 Z 4 x 2 Z p y x 2 p y x 2 p x 2 Cz 2 dzdy dx Theo c¡ch tr¶n th… t‰ch ph¥n lp r§t kh t‰nh to¡n. Do ta xem khŁi E nh l khŁi n gi£n theo phng Oy vi h…nh chi‚u l¶n mt xz l h…nh trÆn D 3 W x 2 Cz 2 4 v ta vi‚t ED .xyz/ .xz/2 D 3 x 2 Cz 2 y 4 E p x 2 Cz 2 dVD D 3 Z 4 x 2 Cz 2 p x 2 Cz 2 dy dA GII TCH B2 233/

slide 234:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.5. T‰ch ph¥n bºi ba D D 3 .4 x 2 z 2 / p x 2 Cz 2 dA D Z 2 0 Z 2 0 .4 r 2 / p r 2 :r dr d Œi bi‚n xD r cos zD r sin D 2 Z 2 0 .4r 2 r 4 /drD 2 4r 3 3 r 5 5 2 0 D 128 15 2 GII TCH B2 234/

slide 235:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.6. T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º tr T¯A ¸ TR MØi i”m P.xyz/ trong h» ta º Descartes c h…nh chi‚u Q.xy0/ l¶n mt phflng xy th… i”m Q trong mt phflng xy c ta º cc l .r 0/. Khi bº ba sŁ .r z/ æc gi l ta º tr cylindrical coordinate system cıa i”m P. Hai h» phng tr…nh chuy”n Œi giœa ta º Descartes v ta º tr nh sau r 2 D x 2 Cy 2 tan D y x zD z 3.7 xD r cos yD r sin zD z 3.8 r æc gi l b¡n k‰nh trc kho£ng c¡ch tł P ‚n trc Oz. GII TCH B2 235/

slide 236:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.6. T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º tr V‰ d a V‡ i”m c ta º tr .22 31/ v t…m ta º Descartes cıa n. b T…m ta º tr cıa i”m c ta º Descartes .3 3 7/. a i”m c ta º tr .22 31/ æc v‡ h…nh b¶n ph£i. Ta º Descartes æc t‰nh bi xD 2cos 2 3 D 1 yD 2sin 2 3 D p 3 zD 1 V“y i”m ¢ cho l . 1 p 31/ trong ta º Descartes GII TCH B2 236/

slide 237:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.6. T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º tr b Ta c rD p 3 2 C. 3/ 2 D 3 p 2 tan D 3 3 D 1 do D 4 C2n zD 7. V“y ta º tr cıa i”m ¢ cho l .3 p 2 4 7/. 2 Ghi ch. Ta º tr thng dng trong bi to¡n c h…nh Łi xøng quanh mºt trc v ta ng nh§t trc ny vi trc Oz. V‰ d mt tr c phng tr…nh Descartes l x 2 Cy 2 D c 2 trc Łi xøng l Oz. Trong ta º tr phng tr…nh cıa n n gi£n hn rD c. GII TCH B2 237/

slide 238:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.6. T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º tr V‰ d H¢y m t£ mt c phng tr…nh zD r trong ta º tr. Gi£i. Phng tr…nh ny cho bi‚t mØi i”m tr¶n mt c gi¡ tr z cng l º cao b‹ng vi gi¡ tr r l kho£ng c¡ch tł i”m ‚n trc Oz. V… khng xu§t hi»n c ngha l gi¡ tr cıa n thay Œi ty . V… v“y mØi v‚t ngang trong mt phflng zD k k 0 l ng trÆn b¡n k‰nh k. Nhœng v‚t ny t⁄o n¶n mt nn. Ph¡n o¡n tr¶n c th” æc ki”m chøng b‹ng c¡ch Œi phng tr…nh mt trong ta º tr thnh phng tr…nh trong ta º Descartes z 2 D r 2 D x 2 Cy 2 . Rª rng z 2 D x 2 Cy 2 l phng tr…nh mt nn. 2 GII TCH B2 238/

slide 239:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.6. T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º tr TNH TON TCH PHN B¸I BA TRONG T¯A ¸ TR Gi£ sß E l mi•n li theo phng Oz ED .xyz/ .xy/2 D u 1 .xy/ z u 2 .xy/ trong D l mi•n trong R 2 c bi”u di„n ta º cc l DD .r/ 2 h 1 ./ r h 2 ./ GII TCH B2 239/

slide 240:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.6. T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º tr th… t‰ch ph¥n bºi ba cıa hm sŁ f.xyz/ tr¶n khŁi E æc t‰nh theo cng thøc E f.xyz/dVD D Z u 2 .xy/ u 1 .xy/ f.xyz/dzdA D Z Z h 2 ./ h 1 ./ Z u 2 .r cos r sin/ u 1 .r cos r sin/ f.r cos r sin z/r dzdrd T‰ch ph¥n trong ta º tr chia khŁi E thnh nhœng ph¥n tŁ th” t‰ch volume element dV æc t‰nh nh l th” t‰ch cıa khŁi v cng nh b¶n trong E c h…nh d⁄ng b¶n dVD.rd/ drdzD r dzdrd . GII TCH B2 240/

slide 241:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.6. T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º tr V‰ d KhŁi E b¶n trong mt tr x 2 Cy 2 D 1 n‹m di mt phflng zD 4 v tr¶n mt paraboloid zD 1 x 2 y 2 nh h…nh b¶n. M“t º khŁi læng t⁄i mØi i”m cıa khŁi t l» vi kho£ng c¡ch tł i”m ‚n trc cıa mt tr. H¢y t‰nh khŁi læng cıa khŁi E. Ch th‰ch. Gi m v V lƒn læt l khŁi læng v th” t‰ch cıa mºt khŁi nh b§t k chøa i”m .xyz/ b¶n trong khŁi E. Ngi ta nh ngha . xyz/D lim V0 m V l m“t º khŁi læng cıa E t⁄i i”m .xyz/. T¿ sŁ m V æc xem nh l khŁi læng ri¶ng quanh khu vc i”m .xyz/. GII TCH B2 241/

slide 242:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.6. T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º tr Gi£i. Hm m“t º khŁi . xyz/ t¿ l» vi kho£ng c¡ch tł .xyz/ ‚n trc Oz do . xyz/D K p x 2 Cy 2 D Kr K 0 l h‹ng sŁ t¿ l». Hn nœa khŁi E æc bi”u di„n di d⁄ng ta º tr nh sau ED .r z/ 202 r201 1 r 2 z 4 KhŁi læng cıa khŁi E æc t‰nh nh sau mD E . xyz/dVD K E p x 2 Cy 2 dV D K Z 2 0 Z 1 0 Z 4 1 r 2 r:r dzdrd DD K Z 2 0 d Z 1 0 .3r 2 Cr 4 /dr DD 12 K 5 GII TCH B2 242/

slide 243:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.6. T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º tr V‰ d T‰nh Z 2 2 Z p 4 x 2 p 4 x 2 Z 2 p x 2 Cy 2 .x 2 Cy 2 /dzdy dx. Gi£i. T‰ch ph¥n lp tr¶n b‹ng D Z 2 p x 2 Cy 2 .x 2 Cy 2 /dzdA trong DD .xy/ x2 22 p 4 x 2 y p 4 x 2 D .xy/ x 2 Cy 2 4 D .r/ r202 202 GII TCH B2 243/

slide 244:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.6. T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º tr V“y t‰ch ph¥n ni tr¶n l t‰ch ph¥n bºi ba tr¶n khŁi E ED .r z/ .r/ 202 02 r z 2 Do Z 2 2 Z p 4 x 2 p 4 x 2 Z 2 p x 2 Cy 2 .x 2 Cy 2 /dzdy dxD E .x 2 Cy 2 /dV D Z 2 0 Z 2 0 Z 2 r r 2 r dzdr d D Z 2 0 d Z 2 0 .2r 3 r 4 /dr D 2 1 2 r 4 1 5 r 5 2 0 D 16 5 GII TCH B2 244/

slide 245:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.7. T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º cƒu T¯A ¸ CU X†t i”m P c ta º Descartes .xyz/ h…nh chi‚u cıa P l¶n mt xy l P 0 .xy0/. Ta t D OP D. OP 0 / D. OP/ Bº ba sŁ./ æc gi l ta º cƒu cıa i”m P. Lu 20 . N‚u t rD sin th….r/ l ta º cc cıa i”m h…nh chi‚u P 0 trong mt xy. Ghi ch. Khng c s thŁng nh§t cho k hi»u ta º cƒu. Hƒu h‚t c¡c s¡ch V“t l •u £o ngæc ngha cıa v sß dng r thay cho . GII TCH B2 245/

slide 246:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.7. T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º cƒu Ch gi£i. Tr¶n mt a cƒu ./ 2 1 2 1 2 bi”u di„n c¡c i”m giœa hai kinh tuy‚n 1 v 2 tł T¥y sang ng giœa hai v tuy‚n 1 v 2 vi v tuy‚n gŁc l B›c cc khng ph£i x‰ch ⁄o. Nhœng i”m ny c¡ch t¥m a cƒu mºt kho£ng ./ . Phng tr…nh chuy”n Œi ta º cƒu v ta º Descartes l xD sin cos yD sin sin zD cos v 2 D x 2 Cy 2 Cz 2 GII TCH B2 246/

slide 247:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.7. T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º cƒu V‰ d i”m .2 4 3/ æc cho trong ta º cƒu. H¢y v‡ i”m ny v t…m ta º Descartes cıa n. Gi£i. i”m æc nh v nh h…nh b¶n. Ta c xD sin cos D 2sin 3 cos 4 D r 3 2 yD sin sin D 2sin 3 sin 4 D r 3 2 zD cos D 2cos 3 D 1 V“y ta º Descartes cıa i”m ¢ cho l . p 32 p 321/. GII TCH B2 247/

slide 248:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.7. T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º cƒu V‰ d i”m .02 p 3 2/ æc cho trong ta º Descartes. H¢y t…m ta º cƒu cho i”m ny. Gi£i. Ta c D p x 2 Cy 2 Cz 2 D p 0C12C4D 4 Ngoi ra cos D z D 2 4 D 1 2 D 2 3 cos D x sin D 0 D 2 Lu r‹ng ⁄ 2 v… yD 2 p 3 0. V“y i”m ¢ cho c ta º cƒu l .4 22 3/. GII TCH B2 248/

slide 249:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.7. T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º cƒu Sau ¥y l vi mt æc bi”u di„n bi phng tr…nh theo ta º cƒu Mt cƒu c phng tr…nh D c c l h‹ng sŁ. Nßa mt phflng c phng tr…nh D c c l h‹ng sŁ. GII TCH B2 249/

slide 250:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.7. T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º cƒu Nßa mt nn D c c l h‹ng sŁ 0 c 2. Nßa mt nn D c c l h‹ng sŁ 2 c . GII TCH B2 250/

slide 251:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.7. T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º cƒu TNH TCH PHN B¸I BA TRONG T¯A ¸ CU Ta thła nh“n cng thøc sau N‚u mºt khŁi E c bi”u di„n ta º cƒu l ED ./ ./ 2 1 2 1 2 1 ./ 2 ./ th… E f.xyz/dV D Z 2 1 Z 2 1 Z 2 ./ 1 ./ f. sin cos sin sin cos/ 2 sin d d d Ch . Trong khng gian ta c th” gp nhœng khŁi E c bi”u di„n theo ta º cƒu vi d⁄ng kh¡c vi d⁄ng trong cng thøc tr¶n thø t t‰ch ph¥n lp s‡ kh¡c i nhng hm trong t‰ch ph¥n v¤n v“y. GII TCH B2 251/

slide 252:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.7. T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º cƒu V‰ d Dng ta º cƒu h¢y t‰nh th” t‰ch cıa khŁi n‹m tr¶n mt nn zD p x 2 Cy 2 v di mt cƒu x 2 Cy 2 Cz 2 D z. Gi£i. Lu t¥m mt cƒu l .00 1 2 / ng k‰nh b‹ng 1. Vi cŁ nh th… ch⁄y tł 0 ‚n 4. GII TCH B2 252/

slide 253:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.7. T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º cƒu Nhœng i”m trong khŁi c ch⁄y tł 0 ‚n 2 . Vi v cŁ nh th… i”m trong khŁi c ch⁄y tł 0 ‚n cos . Do khŁi ¢ cho c bi”u di„n theo ta º cƒu l ED ./ ./ 202 0 4 0 cos GII TCH B2 253/

slide 254:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 3.7. T‰ch ph¥n bºi ba trong ta º cƒu V“y th” t‰ch khŁi cƒn t‰nh l V.E/D E dVD Z 2 0 Z 4 0 Z cos 0 2 sin d d d D Z 2 0 d Z 4 0 sin 3 3 Dcos D0 d D 2 3 Z 4 0 sin cos 3 d D 2 3 cos 4 4 4 0 D 8 GII TCH B2 254/

slide 255:

GII TCH VECT

slide 256:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.1. Trng vect Trng vect v“n tŁc bi”u th hng v º ln cıa gi San Francisco Bay 2:00 Feb 21 2007. GII TCH B2 256/

slide 257:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.1. Trng vect Trng vect v“n tŁc bi”u th c¡c dÆng h£i lu quanh b bi”n Nova Scotia. GII TCH B2 257/

slide 258:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.1. Trng vect Trng vect v“n tŁc bi”u th c¡c dÆng kh‰ thŒi qua c¡nh m¡y bay th‚ nghi¶ng. GII TCH B2 258/

slide 259:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.1. Trng vect nh ngha 1 D l mºt t“p trong R 2 mi•n phflng. Mºt trng vect tr¶n D l mºt hm vect g¡n mØi i”m .xy/2 D vi mºt vect hai chi•u .xy/. 2 E l mºt t“p trong R 3 . Mºt trng vect tr¶n E l mºt hm vect g¡n mØi i”m .xyz/2 E vi mºt vect 3 chi•u .xyz/. GII TCH B2 259/

slide 260:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.1. Trng vect V‰ d Ph¡c ha trng vect .xy/D y Cx . Gi£i. Ta l“p b£ng gi¡ tr v v‡ vi vect GII TCH B2 260/

slide 261:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.1. Trng vect Sau ¥y th¶m vi v‰ d v• trng vect: Trng .xy/Dh yxi Trng .xy/Dhysinxi GII TCH B2 261/

slide 262:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.1. Trng vect Trng .xyz/D y Cz Cz Trng .xyz/Dhy 2xi GII TCH B2 262/

slide 263:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.1. Trng vect Trng h§p d¤n. Theo nh lu“t h§p d¤n cıa Newton cng º lc ht l¤n nhau giœa hai v“t c khŁi læng m v M l D mMGr 2 trong G l h‹ng sŁ h§p d¤n v r l kho£ng c¡ch giœa hai v“t. Gi£ sß v“t c khŁi læng M t t⁄i gŁc ta º O trong R 3 v‰ d M l khŁi læng tr¡i §t v O l t¥m tr¡i §t vect v tr‰ cıa v“t c khŁi læng m l Dhxyzi c¡c nh V“t l thng dng k hi»u thay cho . Lc ht t¡c ºng l¶n v“t m hng v• t¥m vi vect n v ch¿ hng l j j. Do trng lc h§p d¤n l . /D mMG j j 3 . /D mMGx .x 2 Cy 2 Cz 2 / 32 mMGy .x 2 Cy 2 Cz 2 / 32 mMGz .x 2 Cy 2 Cz 2 / 32 GII TCH B2 263/

slide 264:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.1. Trng vect Trng lc h§p d¤n. Trng tnh i»n. Tng t trng h§p d¤n ta c trng tnh i»n xung quanh mºt i»n t‰ch Q æc cho bi cng thøc . /D "Q 3 " l h‹ng sŁ ty thuºc vo c¡c n v i»n t‰ch æc dng. N‚u Q dng th… trng tnh i»n hng ra ngoi gŁc ta º. GII TCH B2 264/

slide 265:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.1. Trng vect TR˝NG GRADIENT V TR˝NG BO TON 1 Mºt hm sŁ cÆn gi hm v hng scalar function theo bi‚n Dhxyi hoc Dhxyzi s‡ cho mºt trng rf. / æc gi l trng gradient. 2 Mºt trng vect æc gi l trng b£o ton conservative vector field n‚u n l gradient cıa mºt hm v hng f ngha l tn t⁄i hm sŁ f sao cho Drf. Khi f æc gi l hm th‚ potential function cıa trng . GII TCH B2 265/

slide 266:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.1. Trng vect V‰ d. Trng vect gradient cıa hm sŁ f.xy/D x 2 y y 3 æc v‡ chung vi contour map cıa f nh h…nh b¶n. Lu c¡c vect gradient c hng vung gc vi c¡c ng ng møc. — nhœng chØ c¡c ng ng møc cng s¡t nhau º dŁc theo hng gradient cng ln do vect æc v‡ cng di. V‰ d. Trng lc h§p d¤n . /D. mMG 3 / l mºt trng b£o ton v… n l gradient cıa hm v hng f. /D mMG D mMG p x 2 Cy 2 Cz 2 Ghi ch. Khng ph£i trng vect no cng l trng b£o ton. C¡c trng b£o ton thng gp trong V“t l. GII TCH B2 266/

slide 267:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.2. T‰ch ph¥n ng TCH PHN ˝NG CA HM S¨ T‰ch Ph¥n ng Lo⁄i I Cho ng cong C c phng tr…nh tham sŁ xD x.t/ yD y.t/ a t b 4.1 hoc phng tr…nh vect .t/D x.t/ Cy.t/ v gi£ sß C l trn ngha l 0 li¶n tc v 0 .t/⁄ 0. N‚u ta chia o⁄n tham sŁ ab thnh n o⁄n cont i 1 t i c º di b‹ng nhau v t x i D x.t i / y i D y.t i / th… c¡c i”m P.x i y i / chia C thnh n cung c º di s 1 ... s n . Chn i”m ty P i .x i y i / tng øng vi tham sŁ t i 2t i 1 t i . Gi£ sß mºt hm sŁ hai bi‚n f x¡c nh tr¶n C th… tŒng n X iD1 f.x i y i / s i tng t tŒng Riemann cıa hm sŁ mºt bi‚n. GII TCH B2 267/

slide 268:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.2. T‰ch ph¥n ng nh ngha Gi£ sß f l hm sŁ hai bi‚n x¡c nh tr¶n ng cong C cho bi 4.1. Ta nh ngha t‰ch ph¥n ng cıa dc theo l Z C f.xy/dsD lim n1 n X iD1 f.x i y i / s i mi„n l gii h⁄n tn t⁄i. i•u ki»n ı ” gii h⁄n tn t⁄i l hm f li¶n tc. Khi t‰ch ph¥n ng æc t‰nh theo cng thøc Z C f.xy/dsD Z b a f .t/ 0 .t/ dt D Z b a f x.t/y.t/ r dx dt 2 C dy dt 2 dt GII TCH B2 268/

slide 269:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.2. T‰ch ph¥n ng N‚u f l hm sŁ 3 bi‚n x¡c nh tr¶n ng cong C-3-chi•u trn tłng khc bi”u di„n bi .t/D x.t/ Cy.t/ Cz.t/ a t b th… t‰ch ph¥n ng cıa f dc theo C cng æc nh ngha tng t. Hn nœa n‚u f li¶n tc th… ta cng c cng thøc Z C f.xyz/dsD Z b a f .t/ 0 .t/ dt D Z b a f x.t/y.t/z.t/ r dx dt 2 C dy dt 2 C dz dt 2 dt GII TCH B2 269/

slide 270:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.2. T‰ch ph¥n ng N‚u C l ng cong trn tłng khc ngha l C l hæp cıa hœu h⁄n ng cong trn C 1 C 2 ::: C n trong i”m cuŁi cıa C i 1 l i”m ƒu cıa C i th… ta nh ngha Z C f dsD n X iD1 Z C i f ds GII TCH B2 270/

slide 271:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.2. T‰ch ph¥n ng V‰ d T‰nh Z C 2xds trong C bao gm cung C 1 cıa parabola yD x 2 tł .00/ ‚n .11/ æc nŁi ti‚p sau o⁄n thflng C 2 tł.11/ ‚n .12/. Gi£i. Ta c C 1 W xD x yD x 2 0 x 1. Do Z C 1 2xdsD Z 1 0 2x r dx dx 2 C dy dx 2 dx D Z 1 0 2x p 1C4x 2 dxD 1 4 Z 5 1 p tdt D 1 6 t 3 2 5 1 D 5 p 5 1 6 GII TCH B2 271/

slide 272:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.2. T‰ch ph¥n ng Tng t C 2 W xD 1 yD y 1 y 2 v Z C 2 2xdsD Z 2 1 2.1/ s dx dy 2 C dy dy 2 dy D Z 2 1 2dyD 2 V“y Z C 2xdsD 5 p 5 1 6 C2D 11C5 p 5 6 GII TCH B2 272/

slide 273:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.2. T‰ch ph¥n ng TCH PHN ˝NG CA TR˝NG VECT T‰ch Ph¥n ng Lo⁄i II Nh›c l⁄i lc t¡c ºng vo v“t dch chuy”n tł A ‚n B th… cng cıa lc tr¶n o⁄n ng l WD AB. Gi£ sß D P CQ CR l mºt trng vect lc 3 chi•u v‰ d nh trng lc h§p d¤n. 2 chi•u øng vi RD 0. ” t‰nh cng cıa trng lc ny t¡c ºng vo mºt ch§t i”m dch chuy”n tr¶n ng cong trn C 3-chi•u ta chia C thnh nhi•u cung nh P i 1 P i c º di s i b‹ng c¡ch chia •u o⁄n tham sŁ ab thnh nhi•u o⁄n con. Tr¶n cung nh thø i ta chn i”m P i .x i y i z i / tng øng vi gi¡ tr t i cıa tham sŁ. Lº tr…nh tr¶n cung tł P i 1 ‚n P i x§p x¿ vi o⁄n thflng di s i theo hng cıa .t i / vect ti‚p tuy‚n n v cıa C t⁄i i”m P i . GII TCH B2 273/

slide 274:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.2. T‰ch ph¥n ng Do cng cıa lc t¡c ºng vo ch§t i”m di chuy”n tr¶n cung P i 1 P i æc t‰nh x§p x¿ b‹ng .x i y i z i / s i .t i / D .x i y i z i / .t i / s i v cng dch chuy”n tr¶n ton C æc x§p x¿ bi n X iD1 .x i y i z i / .t i / s i 4.2 Cng cıa trng lc æc nh ngha l gii h⁄n cıa tŒng Rie- mann 4.2 khi n1 ngha l WD Z C .xyz/ .xyz/dsD Z C ds 4.3 GII TCH B2 274/

slide 275:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.2. T‰ch ph¥n ng Trong cng thøc t‰nh T‰ch Ph¥n ng Lo⁄i I ta thay dsD 0 .t/ dt ngoi ra .t/D 0 .t/ 0 .t/ n¶n ta c th” vi‚t dsD h .t/ 0 .t/ 0 .t/ i 0 .t/ dtD .t/ 0 .t/dtD d V cng thøc 4.3 c th” æc vi‚t l⁄i di d⁄ng WD Z C d . nh ngha T‰ch Ph¥n ng Lo⁄i II Cho trng vect li¶n tc x¡c nh tr¶n ng cong trn C nh bi hm vect .t/ a t b. Khi T‰ch Ph¥n ng cıa dc theo C æc k hi»u v nh ngha nh sau Z C d D Z C dsD Z b a .t/ 0 .t/dt GII TCH B2 275/

slide 276:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.2. T‰ch ph¥n ng Ghi ch 1. Gi£ sß ng cong C c phng tr…nh vect .t/D x.t/ Cy.t/ Cz.t/ a t b v trng x¡c nh tr¶n C æc cho bi .t/ D P .t/ CQ .t/ CR .t/ hoc .t/D x.t/ Cy.t/ D P CQ n‚u x†t 2 chi•u. Khi ta cÆn c k hi»u kh¡c cho t‰ch ph¥n ng lo⁄i II Z C .t/ 0 .t/dtD Z b a h P:x 0 .t/CQ:y 0 .t/CR:z 0 .t/ i dt D Z C PdxCQdyCRdz GII TCH B2 276/

slide 277:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.2. T‰ch ph¥n ng Ghi ch 2. V… T‰ch Ph¥n ng Lo⁄i II g›n li•n vi kh¡i ni»m cng cıa trng lc t¡c ºng l¶n ch§t i”m di chuy”n tr¶n ng cong C do hng di chuy”n cıa C £nh hng ‚n gi¡ tr cıa t‰ch ph¥n. C th” n‚u CW .t/ a t b l ng cong nh hng tł i”m A ‚n i”m B khi t t«ng th… ng cong C cho bi .aCb t/ a t b nh hng tł B ‚n A khi t t«ng. Khi Z C d D Z C d Ngoi .aCb t/ a t b c th” c hm vect kh¡c nœa bi”u di„n ng cong C v‰ d taC.1 t/b 0 t 1. GII TCH B2 277/

slide 278:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.2. T‰ch ph¥n ng V‰ d T‰nh cng cıa trng lc D x 2 xy trong dch mºt ch§t i”m dc theo mºt phƒn t ng trÆn .t/D cost C sint 0 t 2. Gi£i. Tr¶n 1 4 ng trÆn xD cost yD sint. Do d .t/ D cos 2 t costsint v 0 .t/D sint Ccost V… v“y cng æc thc hi»n l Z C d D Z 2 0 .t/ 0 .t/dtD Z 2 0 . 2cos 2 tsint/dt D 2 3 cos 3 t 2 0 D 2 3 GII TCH B2 278/

slide 279:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.3. nh l c b£n cıa t‰ch ph¥n ng Trong Gi£i T‰ch Mºt Bi‚n ta nh l⁄i nh L C B£n Cıa Gi£i T‰ch ph¡t bi”u r‹ng Z b a F 0 .x/dxD F.b/ F.a/ trong ⁄o hm F 0 li¶n tc tr¶n ab. Trong T‰ch Ph¥n ng ta cng c mºt ph¡t bi”u tng t. H¢y xem rf cıa mºt hm sŁ f 2 hoc 3 bi‚n nh l ⁄o hm cıa f. Khi ta c nh l C B£n Cıa T‰ch Ph¥n ng Cho C l ng cong trn cho bi hm vect .t/ a t b. N‚u f l mºt hm sŁ nhi•u bi‚n kh£ vi sao cho vect gradient cıa n rf li¶n tc tr¶n C th… Z C rf d D f .b/ f .a/ Chøng minh cıa nh l tr¶n n gi£n xem nh l bi t“p. GII TCH B2 279/

slide 280:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.3. nh l c b£n cıa t‰ch ph¥n ng CC C TRNG CA TR˝NG VECT BO TON nh ngha Mºt lº tr…nh path l mºt ng cong trn tłng khc ngha l æc nŁi ti‚p bi hœu h⁄n ng cong cho bi hm vect .t/ vi 0 li¶n tc v 0 .t/⁄ 08t. X†t trng vect li¶n tc tr¶n mi•n D ta ni t‰ch ph¥n ng Z C d ºc l“p vi lº tr…nh independent of path c ngha l Z C 1 d D Z C 2 d vi C 1 v C 2 l hai lº tr…nh b§t k trong D c chung i”m ƒu v chung i”m cuŁi. Mºt ng cong æc gi l k‰n closed n‚u i”m ƒu v i”m cuŁi cıa n trng nhau ngha l .a/D .b/. GII TCH B2 280/

slide 281:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.3. nh l c b£n cıa t‰ch ph¥n ng nh l T‰ch ph¥n Z C d ºc l“p vi lº tr…nh trong mi•n D khi v ch¿ khi Z C d D 0 vi mi ng cong C k‰n b¶n trong D. Chøng minh. Gi£ sß Z C d ºc l“p vi lº tr…nh trong mi•n D. X†t ng cong C k‰n tr¶n l§y 2 i”m A v B xem C æc gh†p bi C 1 nŁi tł A ‚n B ti‚p l C 2 nŁi tł B ‚n A th… Z C d D Z C 1 d C Z C 2 d D Z C 1 d Z C 2 d D 0 trong C 1 v C 2 l hai lº tr…nh c chung i”m ƒu v cuŁi. GII TCH B2 281/

slide 282:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.3. nh l c b£n cıa t‰ch ph¥n ng £o l⁄i gi£ sß Z C d D 0 vi mi ng cong C k‰n b¶n trong D. L§y hai lº tr…nh C 1 v C 2 b§t k trong D c chung i”m ƒu A v chung i”m cuŁi B. Khi ng cong C gm C 1 nŁi vi C 2 s‡ l ng cong k‰n v 0D Z C d D Z C 1 d C Z C 2 d D Z C 1 d Z C 2 d v… v“y Z C 1 d D Z C 2 d v nh l æc chøng minh. GII TCH B2 282/

slide 283:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.3. nh l c b£n cıa t‰ch ph¥n ng nh ngha T“p hæp D R 2 æc gi l m open c ngha l mØi i”m P trong D lun c mºt a trÆn t¥m P n‹m hon ton trong D. nh ngha kh¡i ni»m m cho D R 3 tng t tr¶n vi a trÆn æc thay bi khŁi cƒu. T“p hæp D æc gi l li¶n thng connected c ngha l hai i”m b§t k thuºc D lun æc nŁi bi mºt lº tr…nh trong D. GII TCH B2 283/

slide 284:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.3. nh l c b£n cıa t‰ch ph¥n ng c Trng I cıa Trng B£o Ton nh l. Cho l trng vect li¶n tc tr¶n mi•n D. 1 N‚u l trng b£o ton tr¶n D ngha l c hm sŁ f x¡c nh tr¶n D sao cho Drf th… Z C d ºc l“p vi lº tr…nh trong D. 2 N‚u Z C d ºc l“p vi lº tr…nh trong D hn nœa n‚u D l t“p m v li¶n thng th… l trng b£o ton tr¶n D. Chøng minh. Phƒn 1 l h» qu£ trc ti‚p tł nh l c b£n cıa t‰ch ph¥n ng. Chøng minh phƒn 2 æc tr…nh by t⁄i lp n‚u th§y cƒn thi‚t. GII TCH B2 284/

slide 285:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.3. nh l c b£n cıa t‰ch ph¥n ng nh ngha ng cong n simple curve cho bi .t/ a t b l ng cong khng t c›t n t⁄i i”m no giœa i”m ƒu v i”m cuŁi ngha l n‚u a t 1 t 2 b th… .t 1 /⁄ .t 2 /. C th” x£y ra .a/D .b/ n‚u ng cong l k‰n. T“p hæp D trongR 2 mi•n phflng æc gi l mi•n n li¶n khi n l t“p hæp li¶n thng sao cho mi ng cong n-k‰n b¶n trong D s‡ bao quanh mºt mi•n hon ton n‹m trong D. GII TCH B2 285/

slide 286:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.3. nh l c b£n cıa t‰ch ph¥n ng ng cong n khng k‰n ng cong n k‰n ng cong k‰n khng n ng cong khng n khng k‰n GII TCH B2 286/

slide 287:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.3. nh l c b£n cıa t‰ch ph¥n ng c Trng II cıa Trng B£o Ton 2 chi•u nh l. Cho D P CQ l trng vect 2 chi•u sao cho c¡c hm sŁ P v Q c c¡c ⁄o hm ri¶ng c§p mºt li¶n tc tr¶n t“p x¡c nh D vi‚t l PQ2 C 1 .D/. Khi 1 N‚u l trng b£o ton tr¶n D th… P y D Q x tr¶n t“p D 2 N‚u D l mi•n n li¶n m v P y D Q x tr¶n t“p D th… l trng b£o ton tr¶n D. Chøng minh. Phƒn 1 æc suy tł nh l Clairaut. Phƒn 2 æc suy tł nh l Green s‡ bn trong mc 4.4. GII TCH B2 287/

slide 288:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.3. nh l c b£n cıa t‰ch ph¥n ng V‰ d Trng .xy/D.x y/ C.x 2/ c b£o ton hay khng Gi£i. PD x y QD x 2 v hi”n nhi¶n PQ2 C 1 .R 2 /. Tuy nhi¶n P y D 1⁄ 1D Q x V“y DhPQi khng ph£i trng b£o ton. Trng vect æc minh ha h…nh b¶n. Nhœng vect c i”m t tr¶n ng cong k‰n C c khuynh hng xui theo chi•u cıa C cho ta ph¡n o¡n r‹ng Z C d 0 ngha l khng th” l trng b£o ton. GII TCH B2 288/

slide 289:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.3. nh l c b£n cıa t‰ch ph¥n ng V‰ d Trng .xy/D.3C2xy/ C.x 2 3y 2 / c b£o ton hay khng Gi£i. PD 3C2xy QD x 2 3y 2 v hi”n nhi¶n PQ2 C 1 .R 2 /R 2 l mi•n m n li¶n. Hn nœa P y D 2xD Q x tr¶nR 2 V“y DhPQi l trng b£o ton. Trng vect æc minh ha h…nh b¶n. Vi vect c i”m t tr¶n ng cong k‰n C c khuynh hng xui theo chi•u cıa C trong khi nhœng vect kh¡c l⁄i ng£ theo hng ngæc vi C. i•u ny hæp l v… b£o ton lm cho Z C d D 0. GII TCH B2 289/

slide 290:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.3. nh l c b£n cıa t‰ch ph¥n ng V‰ d Trng DhPQiDh3C2xyx 2 3y 2 i trong v‰ d trc l trng b£o ton tr¶n R 2 . V“y h¢y t…m hm th‚ f tha Drf. Gi£i. Ta c rfDhf x f y iDhPQi suy ra f x D PD 3C2xy. Ni c¡ch kh¡c f l nguy¶n hm theo bi‚n x cıa P fD Z .3C2xy/dxD 3xCx 2 yCg.y/ 4.4 Hn nœa f y D Q do y 3xCx 2 yCg.y/ D QD x 2 3y 2 suy ra x 2 Cg 0 .y/D x 2 3y 2 g.y/D y 3 CC C l h‹ng sŁ 4.5 Thay 4.5 vo 4.4 ta æc f.xy/D 3xCx 2 y y 3 CC. GII TCH B2 290/

slide 291:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.3. nh l c b£n cıa t‰ch ph¥n ng c th¶m: NH LUT BO TON NNG LNG X†t mºt trng lc l trng b£o ton li¶n tc c hm th‚ f rfD . Trong v“t l ngi ta gi PD f l th‚ n«ng the potential energy. X†t ng cong C cho bi .t/ a t b trong AD .a/ l i”m ƒu v BD .b/ l i”m cuŁi. Khi cng cıa trng lc t¡c ºng ch§t i”m di chuy”n tr¶n C tł A ‚n B l WD Z C d D f.B/ f.A/D P.A/ P.B/ 4.6 Mt kh¡c khi t t«ng ch§t i”m chuy”n ºng tr¶n C vi gia tŁc 00 .t/ v theo nh Lu“t Newton thø II lc t¡c ºng l¶n ch§t i”m l .t/ D m 00 .t/ trong l m l khŁi læng ch§t i”m v 00 .t/ l gia tŁc cıa ch§t i”m t⁄i thi i”m t. GII TCH B2 291/

slide 292:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.3. nh l c b£n cıa t‰ch ph¥n ng Nh v“y cng cıa cng c th” æc t‰nh bi WD Z b a .t/ 0 .t/dtD m Z b a 00 .t/ 0 .t/dt D m 2 Z b a d dt 0 .t/ 2 dtD 1 m 0 .t/ 2 b a D 1 2 m .b/ 2 1 2 m .a/ 2 trong D 0 l vect v“n tŁc cıa ch§t i”m. ⁄i læng K.t/D 1 2 m .t/ 2 æc gi l ºng n«ng the kinetic energy cıa ch§t i”m t⁄i thi i”m t. Do WD K.B/ K.A/ 4.7 Tł 4.6 v 4.7 ta suy ra P.A/ P.B/D K.B/ K.A/ hay P.A/CK.A/D P.B/CK.B/ ngha l n«ng læng æc b£o ton tł ƒu ‚n cuŁi. ¥y l l do trng gradient Drf æc gi l trng b£o ton. GII TCH B2 292/

slide 293:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.4. nh l Green Cho D l mi•n phflng b chn sao cho bi¶nD cıa D l hœu h⁄n c¡c ng cong n k‰n æc nh hng dng ngha l khi i theo hng mi•n trong cıa D lun n‹m b¶n tay tr¡i. H…nh b¶n cho th§y DD C 1 C 2 æc nh hng dng. T‰ch ph¥n ng cıa trng DhPQi dc theo D theo hng dng æc k hi»u bi I D d D I D PdxCQdy GII TCH B2 293/

slide 294:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.4. nh l Green nh l Green sau ¥y cho mŁi li¶n h» giœa t‰ch ph¥n k†p tr¶n mi•n phflng D vi t‰ch ph¥n ng tr¶n bi¶n D do nh l Green cng æc xem nh l nh L C B£n Cıa T‰ch Ph¥n K†p. nh l Green Gi£ sß D l mi•n phflng b chn sao cho bi¶n D l hœu h⁄n c¡c ng cong n k‰n trn tłng khc. Gi£ sß PQ l c¡c hm sŁ c c¡c ⁄o hm ri¶ng c§p 1 li¶n tc tr¶n mºt t“p m chøa D vi‚t l PQ2 C 1 .DD/. Khi D Q x P y dAD I D PdxCQdy Chøng minh. Trc h‚t ta chøng minh nh l Green trong trng hæp D l mi•n n gi£n simple region ngha l D li theo c£ hai phng Ox v Oy. nh l s‡ æc chøng minh n‚u ta ki”m chøng æc hai flng thøc sau GII TCH B2 294/

slide 295:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.4. nh l Green D Q x dAD I D Qdy v 4.8 D P y dAD I D Pdx 4.9 Ta chøng minh 4.9 b‹ng c¡ch bi”u di„n D li theo phng Oy DD .xy/ x2ab g 1 .x/ y g 2 .x/ V D l nŁi ti‚p cıa C 1 C 2 C 3 C 4 nh h…nh b¶n. Ta c D P y dAD Z b a Z g 2 .x/ g 1 .x/ P y dy dx D Z b a P xg 1 .x/ P xg 2 .x/ dx 4.10 GII TCH B2 295/

slide 296:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.4. nh l Green Tr¶n ng C 2 v C 4 x l h‹ng sŁ do Z C 2 PdxD 0 v Z C 4 PdxD 0. Ngoi ra tham sŁ ha cıa C 1 v C 3 l C 1 W xD x yD g 1 .x/ C 3 W xD x yD g 2 .x/ vi a x b. V“y Z D PdxD Z C 1 PdxC Z C 2 PdxC Z C 3 PdxC Z C 4 Pdx D Z C 1 Pdx Z C 3 Pdx D Z b a P xg 1 .x/ dx Z b a P xg 2 .x/ dx D Z b a P xg 1 .x/ dx P xg 2 .x/ dx 4.11 Tł 4.10 v 4.11 ta suy ra flng thøc 4.9. flng thøc 4.8 æc chøng minh theo c¡ch tng t. GII TCH B2 296/

slide 297:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.4. nh l Green N‚u D n li¶n nhng khng li theo mºt phng nh h…nh b¶n th… ngi ta chia D thnh nhi•u mi•n n gi£n. V‰ d DD D 1 D 2 D 1 D C 1 C 3 v D 2 D C 2 . C 3 /. p dng nh l Green tr¶n hai mi•n n gi£n ri¶ng bi»t D 1 Q x P y dAD I C 1 C 3 PdxCQdy D 2 Q x P y dAD I C 2 . C 3 / PdxCQdy Cºng v‚ theo v‚ ta chøng minh æc nh l Green cho D l mi•n n li¶n b chn khng cƒn li theo phng no. GII TCH B2 297/

slide 298:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.4. nh l Green Trng hæp cuŁi cng n‚u D l mi•n a li¶n b chn c nhi•u lØ thıng v‰ d h…nh di l mi•n nh li¶n 2 thnh phƒn bi¶n k‰n th… ngi ta cng chia D thnh nhi•u mi•n n li¶n. H…nh tr¶n minh ha DD D 0 D 00 æc t¡ch thnh hai mi•n n li¶n. p dng nh l Green tr¶n tłng mi•n cºng v‚ theo v‚ ta s‡ chøng minh æc nh l Green trong trng hæp tŒng qu¡t. GII TCH B2 298/

slide 299:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.4. nh l Green DIN TCH CA MIN PHNG NH L GREEN Nh ¢ bi‚t di»n t‰ch cıa mi•n phflng D cho bi A.D/D D 1dAD D Q x P y dA vi trng hPQiDh0xi hoc hPQiDh y0i hoc hPQiDh 1 2 y 1 2 xi. N‚u ta ¡p dng nh l Green cho trng hæp tr¶n th… ta c cng thøc di»n t‰ch cıa D nh sau A.D/D I D xdyD I D y dxD 1 2 I D xdy y dx GII TCH B2 299/

slide 300:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.4. nh l Green V‰ d H¢y t‰nh di»n t‰ch cıa h…nh ¶-lip x 2 a 2 C y 2 b 2 1. Gi£i. Mi•n ¶-lip D æc bao quanh bi ng ¶-lip D c phng tr…nh tham sŁ xD acost yD bsint 0 t 2 Do di»n t‰ch ¶-lip D æc cho bi A.D/D I D xdyD Z 2 0 .acost/y 0 .t/dt D Z 2 0 .acost/.bcost/dtD 1 2 ab Z 2 0 .1Ccos2t/dt D abC 1 4 absin2t 2 0 D ab GII TCH B2 300/

slide 301:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.5. Curl v Divergence CURL nh ngha. curl l mºt to¡n tß operator bi‚n mºt trng vect 3 chi•u DhPQRi thnh mºt trng vect mi curl cng 3 chi•u æc cho bi curl D R y Q z C P z R x C Q x P y Ghi ch. N‚u ta xem to¡n tß gradientr nh l mºt vect h…nh thøc rD D x y z E th… ta c th” vi‚t ng›n gn curl Dr GII TCH B2 301/

slide 302:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.5. Curl v Divergence c Trng Cıa Trng B£o Ton 3 Chi•u nh l 1 N‚u DhPQRi l trng b£o ton sao cho PQR2 C 1 .E/ ngha l c hm th‚ f2 C 2 .E/ sao cho Drf th… curl D 0. 2 N‚u DhPQRi vi PQR2 C 1 .E/ tha curl D 0 hn nœa E l mºt mi•n m n li¶n trongR 3 th… l mºt trng b£o ton. Ch th‰ch. C k .E/ l lp c¡c hm sŁ c c¡c ⁄o hm ri¶ng c§p k li¶n tc tr¶n E. T“p hæp E trongR 3 æc gi l n li¶n n‚u mi mt cong k‰n b¶n trong E khng t c›t h…nh dung nh lp v cı khoai s‡ bao quanh mºt khŁi n‹m hon ton trong E. Ni nm na l khŁi E c k‰n v khng c rØ bt khng c kho£ng rØng b¶n trong. GII TCH B2 302/

slide 303:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.5. Curl v Divergence Phƒn 1 cıa nh l æc suy ra tł nh l Clairaut sinh vi¶n t ki”m tra chi ti‚t. Phƒn 2 cıa nh l æc suy ra tł nh l Stocks s‡ bn ‚n trong mc 4.8. GII TCH B2 303/

slide 304:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.5. Curl v Divergence c th¶m: NGHA VT L CA CURL Thu“t ngœ curl nh t¶n gi cıa n c ngha l s xo¡y quay vÆng. C¡c s¡ch V“t L thng vi‚t t¶n to¡n tß rot thay cho curl vi‚t t›t cıa chœ rotation. Trong mi trng ch§t lng c trng vect v“n tŁc cıa mi ch§t i”m. Nhœng h⁄t gƒn i”m .xyz/ trong ch§t lng c khuynh hng xoay quanh trc ch¿ theo hng cıa curl .xyz/ v º di cıa vect ny o møc º chuy”n ºng cıa c¡c h⁄t nhanh hay ch“m quanh trc ni tr¶n. H¢y h…nh dung mºt c¡nh qu⁄t ch¥n vt cc nh trong ch§t lng ang lu chuy”n c curl D 0. Khi ch¥n vt khng quay ta ni trng ch§t lng khng xo¡y mi ni. Bi to¡n trang k‚ ti‚p s‡ ch¿ rª ngha ny. GII TCH B2 304/

slide 305:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.5. Curl v Divergence H…nh b¶n l v“t th” r›n B quay quanh trc Oz. S quay æc m t£ bi vect D hng l hng ti‚n cıa nt chai khi quay l v“n tŁc gc cıa B b‹ng v“n tŁc di theo phng ti‚p tuy‚n cıa mºt i”m P2 B chia cho b¡n k‰nh trc tøc l kho£ng c¡ch d tł P ‚n trc Oz. t Dhxyzi l vect v tr‰ cıa P. a X†t gc trong h…nh chøng minh trng vect v“n tŁc cıa B l D . b Chøng minh Dh yx0i. c Chøng minh curl D 2 . Gi£i. Thc hi»n t⁄i lp. GII TCH B2 305/

slide 306:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.5. Curl v Divergence DIVERGENCE nh ngha. Cho DhPQRi l trng vect 3 chi•u sao cho tn t⁄i PxQy v Rz. To¡n tß div vi‚t t›t cıa divergence bi‚n trng vect thnh trng v hng tøc l hm sŁ div cho bi div D P x C Q y C R z Ghi ch. N‚u xem to¡n tß gradientr nh l vect h…nh thøc rD D x y z E th… ta c th” vi‚t ng›n gn div Dr ph†p nh¥n v hng h…nh thøc GII TCH B2 306/

slide 307:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.5. Curl v Divergence nh l sau ¥y c chøng minh n gi£n xem nh bi t“p. nh l N‚u DhPQRi l trng vect sao cho PQR2 C 2 .R 3 / th… divcurl D 0 V‰ d Chøng minh trng Dhxzxyz y 2 i khng th” l curl cıa mºt trng vect kh¡c. Gi£i. V… div D zCxz6 0 n¶n khng th” c d⁄ng D curl . GII TCH B2 307/

slide 308:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.5. Curl v Divergence NGHA VT L CA DIVERGENCE Divergence s ph¥n t¡n l thu“t ngœ trong V“t L Lu Ch§t lng hoc kh‰. N‚u l trng v“n tŁc trong lu ch§t th… div .xyz/ l ⁄i læng ni l¶n tŁc º bi‚n thi¶n cıa khŁi læng lu ch§t theo thi gian tho¡t ra hay ht vo i”m .xyz/ tr¶n mØi n v th” t‰ch tham kh£o th¶m c¡c s¡ch V“t L thuºc lnh vc ny. Ni c¡ch kh¡c div .xyz/ o khuynh hng lu ch§t ph¥n t¡n tł i”m .xyz/. N‚u div D 0 th… trng æc gi l khng n†n æc incompressible. Lu“n cø cho ngha cıa to¡n tß div tr¶n s‡ æc bn cuŁi mc 4.9 nh l h» qu£ cıa nh L Divergence. GII TCH B2 308/

slide 309:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.5. Curl v Divergence VI TON T KHC TRONG VT L TON To¡n tß Laplace Dr 2 Drr t¡c ºng vo hm sŁ f æc nh bi fDr 2 fDr .rf/D div.rf/D 2 f x 2 C 2 f y 2 C 2 f z 2 N‚u f.xyz/ l nhi»t º t⁄i i”m .xyz/ cıa mºt v“t th” E tr⁄ng th¡i dłng qu¡ tr…nh truy•n nhi»t ¢ dłng th… fD 0 tr¶n E. Phng tr…nh ny c t¶n Phng tr…nh Laplace . To¡n tß Laplacer 2 cng æc ¡p dng cho trng vect DhPQRi vi c¡ch hi”u sau r 2 D r 2 Pr 2 Qr 2 R GII TCH B2 309/

slide 310:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.5. Curl v Divergence c th¶m: HNH THC KHC CA NH L GREEN: DNG VECT X†t mi•n phflng D n‹m trong mt xy cıa khng gian xyz v DhPQ0i l trng vect tr¶n D ta d„ ki”m chøng r‹ng curl D Q x P y Khi flng thøc D Q x P y dAD I D PdxCQdy trong nh l Green c th” æc vi‚t di h…nh thøc sau D .curl / dAD I D d GII TCH B2 310/

slide 311:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.5. Curl v Divergence Tł nh l Green ta cng c th” vi‚t D P x C Q y dAD I D Pdy Qdx v flng thøc tr¶n tng ng vi h…nh thøc sinh vi¶n t ki”m chøng sau D div .xy/dAD Z D ds trong DhPQi v l vect ph¡p tuy‚n cıa D hng ra ngoi mi•n D nh h…nh b¶n. H…nh thøc ny cıa nh l Green c d⁄ng tng t nh l Divergence mc 4.9. GII TCH B2 311/

slide 312:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt MT THAM S¨ X†t .uv/D x.uv/ Cy.uv/ Cz.uv/ 4.12 l hm vect 3 chi•u theo hai bi‚n tham sŁ .uv/ trong t“p x¡c nh D R 2 th… t“p hæp c¡c i”m .xyz/ c vect v tr‰ .uv/ vi .uv/2 D æc gi l mt tham sŁ S æc bi”u di„n bi hm vect cho bi 4.12. C¡c phng tr…nh xD x.uv/I yD y.uv/I zD z.uv/ .uv/2 D 4.13 æc gi l c¡c phng tr…nh tham sŁ cıa S. GII TCH B2 312/

slide 313:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt Khi.uv/ thay Œi trong mi•n D th… i”m ngn cıa vect v tr‰ .uv/ s‡ tr i”m .xyz/ ch⁄y trong mt cong S. GII TCH B2 313/

slide 314:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt V‰ d H¢y nh“n di»n v ph¡c ha mt cong cho bi .uv/Dh2cosuv2sinui 0 u 2 0 v 3 Gi£i. Ta th§y xD 2cosu zD 2sinu x 2 Cz 2 D 4 ngha l .xyz/ c h…nh chi‚u l¶n mt xz l h…nh trÆn b¡n k‰nh 2 t¥m t⁄i gŁc u ⁄i di»n cho gc quay quanh trc Oy yD v c gi¡ tr thay Œi bi”u th chi•u di mt tr. Do mt cong cho bi .uv/ l mt tr nhng 0 u 2 v 0 v 3 n¶n mt tr ch¿ c 1/4 gc trÆn di 3 n v. GII TCH B2 314/

slide 315:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt V‰ d Vi‚t phng tr…nh vect v tham sŁ cıa mºt mt phflng ./ qua i”m P 0 c vect v tr‰ 0 v ./ chøa hai vect kh¡c phng v æc gi l 2 vect ch¿ phng cıa mt phflng. Gi£i. Vi i”m P b§t k trong ./ c vect ch¿ phng ta c hai tham sŁ u v tha P 0 PD u Cv xem h…nh b¶n. Mt kh¡c P 0 PD 0 . V“y phng tr…nh vect bi”u di„n mt phflng ./ l .uv/D 0 Cu Cv N‚u.xyz/.x 0 y 0 z 0 /.a 1 a 2 a 3 / v .b 1 b 2 b 3 / l ta º cıa P P 0 v th…./ c phng tr…nh tham sŁ l xD x 0 Cua 1 Cvb 1 yD y 0 Cua 2 Cvb 2 zD z 0 Cua 3 Cvb 3 GII TCH B2 315/

slide 316:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt V‰ d T…m bi”u di„n tham sŁ cho nßa tr¶n cıa mt nn zD 2 p x 2 Cy 2 . Gi£i. Ta c th” l§y x v y lm tham sŁ ” bi”u di„n xD x yD y zD 2 p x 2 Cy 2 Ngoi ra ta sß dng ta º tr ” bi”u di„n mt ny xD r cos yD r sin zD 2r r 0 0 2 Ghi ch. Bi”u di„n tham sŁ theo hai c¡ch tr¶n •u tŁt nh nhau trong vi mc ‰ch. Tuy nhi¶n ta ch ‚n c¡ch sau n‚u ta ch¿ muŁn bi”u di„n mºt phƒn cıa mt nn ph‰a tr¶n hoc di cıa mt phflng ngang zD k. GII TCH B2 316/

slide 317:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt MT TR`N XOAY Surface of Revolution Ta x†t mt cong S c æc b‹ng c¡ch xoay ng cong yD f.x/ a x b quanh trc Ox. V‰ d nh h…nh b¶n ng yD f.x/ l ng thflng quay quanh trc Ox t⁄o thnh Łng c ƒu ln ƒu nh. N‚u .xyz/ thuºc mt S th… ta l§y x v lm tham sŁ ” bi”u di„n S nh sau mt trÆn xoay quanh trc Oy hoc Oz æc bi”u di„n tham sŁ theo c¡ch tng t xD x yD f.x/cos zD f.x/sin vi a x b 0 2 . GII TCH B2 317/

slide 318:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt V‰ d T…m phng tr…nh tham sŁ cıa mt cong sinh bi ng y D sinx quanh quanh trc Ox vi 0 x 2 . Gi£i. Phng tr…nh tham sŁ cıa mt trÆn xoay l 8 : xD x yD sinx cos zD sinx sin .x/ 202 02 Nh“n x†t. Phng tr…nh cıa y v z tr¶n giŁng ta º cc trong mt yz vi rD sinx. GII TCH B2 318/

slide 319:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt ˝NG CONG L˛I Grid Curves N‚u mt tham sŁ S cho bi .uv/ th… c hai h ng cong hœu dng n‹m tr¶n S æc gi l c¡c ng cong li grid curves: Mºt h ng cong vi u l h‹ng sŁ h cÆn l⁄i vi v l h‹ng sŁ. Tr¶n S c ng cong C 1 cho bi .u 0 v/ vi u 0 l h‹ng ng cong C 2 cho bi .uv 0 / vi v 0 l h‹ng. GII TCH B2 319/

slide 320:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt V‰ d H…nh b¶n l mt cong cho bi phng tr…nh tham sŁ: SW 8 : xD.2Csinv/cosu yD.2Csinv/sinu zD uCcosv ng cong li no c u l h‹ng C¡i no c v l h‹ng Gi£i. N‚u v l h‹ng sŁ th… rD 2Csinv v cos v l h‹ng sŁ. Khi tham sŁ u thay Œi phng tr…nh tr¶n bi”u di„n ng lÆ xo. Do nh…n h…nh b¶n ta d„ nh“n ra c¡c ng cong li d⁄ng xo›n Łc øng vi v l h‹ng. C¡c vÆng khoang øng vi u l h‹ng. GII TCH B2 320/

slide 321:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt V‰ d T…m mºt phng tr…nh tham sŁ cho mt cƒu .S/W x 2 Cy 2 Cz 2 D R 2 . Gi£i. Łi vi mt cƒu ta thng sß dng ta º cƒu ./ lm phng tr…nh tham sŁ trong D R l h‹ng sŁ. V“y phng tr…nh tham sŁ v phng tr…nh vect cıa mt cƒu .S/ l .S/W 8 : xD R sin cos yD R sin sin zD R cos . phi/D R sin cos CR sin sin CR cos ng cong li l c¡c ng kinh tuy‚n v tuy‚n. GII TCH B2 321/

slide 322:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt MT PHNG TIP XC V˛I MT CONG THAM S¨ X†t mt cong S cho bi .uv/D x.uv/ Cy.uv/ Cz.uv/ v i”m P 0 c vect v tr‰ .u 0 v 0 /. Hai ng grid curve C 1 W .uv 0 / v C 2 W .u 0 v/ n‹m tr¶n S cng i qua P 0 . GII TCH B2 322/

slide 323:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt N‚u tn t⁄i u .u 0 v 0 /D u .u 0 v 0 /D D x u .u 0 v 0 / y u .u 0 v 0 / z u .u 0 v 0 / E ⁄ 0 v .u 0 v 0 /D v .u 0 v 0 /D D x v .u 0 v 0 / y v .u 0 v 0 / z v .u 0 v 0 / E ⁄ 0 th… u .u 0 v 0 / l vect ch¿ phng ti‚p tuy‚n cıa C 1 t⁄i P 0 v .u 0 v 0 / l vect ch¿ phng ti‚p tuy‚n cıa C 2 t⁄i P 0 . GII TCH B2 323/

slide 324:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt nh ngha Mt cong S cho bi hm vect .uv/ æc gi l trn c ngha l tn t⁄i c¡c hm vect u v v li¶n tc ng thi u v ⁄ 0. Mt phflng ti‚p xc Vi mt cong S trn cho bi .uv/ v i”m P 0 thuºc S c vect v tr‰ .u 0 v 0 / th… mt phflng ti‚p xc vi S t⁄i P 0 l mt phflng i qua P 0 v c vect ph¡p tuy‚n l D u .u 0 v 0 / v .u 0 v 0 / GII TCH B2 324/

slide 325:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt V‰ d T…m phng tr…nh mt phflng ti‚p xc vi mt cong xD u 2 yD v 2 zD uC2v t⁄i i”m .113/. Gi£i. C¡c vect ch¿ phng ti‚p tuy‚n l u D x u C y u C z u D 2u C v D x v C y v C z v D 2v C2 Do vect ph¡p tuy‚n cıa mt cong l D u v D det 0 B 2u 0 1 0 2v 2 1 C A D 2v 4u C4uv GII TCH B2 325/

slide 326:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt i”m .113/ tng øng vi gi¡ tr tham sŁ uD 1 v vD 1 do vect ph¡p tuy‚n t⁄i.113/ l Dh 2 44i v phng tr…nh mt phflng ti‚p xc t⁄i .113/ l 2.x 1/ 4.y 1/C4.z 3/ GII TCH B2 326/

slide 327:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt DIN TCH MT CONG THAM S¨ X†t trng hæp n gi£n mt cong tham sŁ S cho bi .uv/ vi mi•n x¡c nh cıa tham sŁ l h…nh chœ nh“t D æc chia thnh nhi•u h…nh chœ nh“t con R ij . Ta gi .u i v j / l gc di b¶n tr¡i cıa R ij . Phƒn S ij tr¶n S tng øng vi R ij æc gi l m£nh patch v i”m P ij c vect v tr‰ .u i v j / xem nh l mºt trong c¡c gc cıa m£nh. GII TCH B2 327/

slide 328:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt Hai c⁄nh cıa m£nh c›t nhau P ij c th” æc x§p x¿ bi hai vect nhœng vect c th” æc x§p x¿ bi u u v v v xem l⁄i nh ngha ⁄o hm ri¶ng. V“y di»n t‰ch cıa m£nh S ij æc x§p x¿ bi di»n t‰ch h…nh b…nh hnh c hai c⁄nh u u v v v l u u v v Dj u v j u v v di»n t‰ch mt cong æc x§p x¿ bi m X iD1 n X jD1 j u v j u v GII TCH B2 328/

slide 329:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt Tł tng tr¶n ngi ta a ra nh ngha nh ngha N‚u mºt mt cong trn cho bi .uv/D x.uv/ Cy.uv/ Cz.uv/ .uv/2 D v mt S ch¿ æc phı ng mºt lƒn khi .uv/ ch⁄y kh›p mi•n D cıa tham sŁ khng nh§t thi‚t D l h…nh chœ nh“t th… di»n t‰ch mt S l A.S/D D j u v jdA trong u D x u C y u C z v D x v C y v C z v GII TCH B2 329/

slide 330:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt Ch . V…j u v j b‹ng di»n t‰ch h…nh b…nh hnh sinh bi u v v n¶n j u v jD q u 2 v 2 u v 2 Do A.S/D D q u 2 v 2 u v 2 dA GII TCH B2 330/

slide 331:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt V‰ d T‰nh di»n t‰ch mt cƒu b¡n k‰nh R. Gi£i. Phng tr…nh mt cƒu cƒu v c¡c ⁄i læng li¶n quan l xD R sin cos yD R sin sin zD R cos D x y z D R sin sin sin cos 0 D x y z D R cos cos cos sin sin D R 2 sin 2 cos sin 2 sin sin cos j jD R 2 p D R 2 sin Do di»n t‰ch mt cƒu l vi ./ 2 DD02 0 AD D j jdAD Z 2 0 Z 0 R 2 sin d d DD 4 R 2 GII TCH B2 331/

slide 332:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt DIN TCH CA ˙ TH HM S¨ 2 BIN CA MT TR`N XOAY Da vo nh ngha di»n t‰ch mt cong trc sau ¥y l hai trng hæp c bi»t Di»n t‰ch cıa th hm 2 bi‚n Vi mt S l th cıa hm sŁ zD f.xy/.xy/2 D th… ta l§y x v y l tham sŁ ta æc cng thøc di»n t‰ch cıa S l A.S/D D s 1C z x 2 C z y 2 dA GII TCH B2 332/

slide 333:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.6. Mt tham sŁ v Di»n t‰ch mt Di»n t‰ch cıa mt trÆn xoay N‚u mt S sinh bi ng cong yD f.x/ a x b xoay quanh trc Ox æc tham sŁ ha theo cng thøc ¢ bi‚t xD x yD f.x/cos zD f.x/sin a x b th… di»n t‰ch cıa S æc cho bi A.S/D 2 Z b a f.x/ p 1Cf 0 .x/ 2 dx GII TCH B2 333/

slide 334:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.7. T‰ch ph¥n mt TCH PHN MT CA HM S¨ T‰ch Ph¥n Mt Lo⁄i I X†t S l mt cong trn cho bi .uv/D x.uv/ Cy.uv/ Cz.uv/ .uv/2 D ” d„ d¤n nh“p ta x†t D l h…nh chœ nh“t æc chia thnh nhi•u con R ij c di»n t‰ch AD u v. Tng øng vi i•u ny mt S æc chia thnh nhi•u m£nh patches S ij tr¶n i”m m¤u P ij æc chn øng vi tham sŁ .u i v j /2 R ij . Di»n t‰ch m£nh S ij l S ij . GII TCH B2 334/

slide 335:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.7. T‰ch ph¥n mt N‚u mºt hm sŁ 3 bi‚n f x¡c nh tr¶n mt S th… ta l“p tŒng Riemann m X iD1 n X jD1 f.P ij / S ij nh ngha T‰ch ph¥n mt cıa tr¶n æc k hi»u v nh ngha bi S f.xyz/dSD lim mn1 m X iD1 n X jD1 f.P ij / S ij mi„n l t‰ch ph¥n tr¶n tn t⁄i. GII TCH B2 335/

slide 336:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.7. T‰ch ph¥n mt i•u ki»n cƒn ” gii h⁄n tr¶n tn t⁄i l f li¶n tc tr¶n S khi S f.xyz/dSD D f .uv/ u v dA Cng thøc tr¶n b›t ngun tł S ij u v u v ¢ bi‚t trong mc trc. Ghi ch. Cng thøc tr¶n cng æc xem nh l nh ngha cıa t‰ch ph¥n mt cıa hm sŁ f li¶n tc tr¶n mt trn S trong mi•n x¡c nh D cıa tham sŁ mt khng nh§t thi‚t ph£i l h…nh chœ nh“t. GII TCH B2 336/

slide 337:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.7. T‰ch ph¥n mt Trng hæp ri¶ng S l th cıa hm sŁ zD g.xy/ N‚u S l th cıa hm sŁ zD g.xy/ c c¡c ⁄o hm ri¶ng li¶n tc tr¶n mi•n x¡c nh D th… ta l§y x v y lm tham sŁ thay cho u v ta s‡ æc cng thøc sau S f.xyz/dSD D f xyg.xy/ s 1C z x 2 C z y 2 dA GII TCH B2 337/

slide 338:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.7. T‰ch ph¥n mt MT CONG C´ H˛NG Oriented Surface Mt cong nh hng æc orientable hay l mt cong 2-ph‰a c ngha l tr¶n khng x†t ng bi¶n c th” l“p æc mºt trng vect ph¡p tuy‚n n v li¶n tc. Mt cong nh hng æc. D£i b«ng Mobius khng nh hng æc. Tr¶n d£i M obius ny khng th” c mºt trng vect ph¡p tuy‚n li¶n tc. Vect ph¡p tuy‚n n v ch⁄y tr¶n d£i ny mºt vÆng v• v tr‰ c b Œi hng. GII TCH B2 338/

slide 339:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.7. T‰ch ph¥n mt nh ngha 1 Mºt mt cong S æc gi l c hng khi tr¶n æc trang b mºt hng cho bi trng vect ph¡p tuy‚n n v li¶n tc. 2 N‚u S cho bi hm vect .uv/.uv/2 D v l mt cong trn theo ngha tn t⁄i c¡c hm vect u v v li¶n tc tha u v ⁄ 0 th… S l mt nh hng æc vi mºt hng cho bi D u v j u v j hoc D u v j u v j 3 N‚u S l mt cho bi phng tr…nh ch‰nh t›c F.xyz/D k k l h‹ng F l hm sŁ 3 bi‚n kh£ vi v rF.P/⁄ 0 vi mi i”m P2 S th… S cng nh hng æc vi hng cho bi trng D 1 jrFj rF hoc D 1 jrFj rF GII TCH B2 339/

slide 340:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.7. T‰ch ph¥n mt Mºt mt nh hng æc s‡ c hai hng nh bi hai trng vect ph¡p tuy‚n n v Łi nhau. GII TCH B2 340/

slide 341:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.7. T‰ch ph¥n mt nh ngha: Hng dng cıa mt cong k‰n Mt cong k‰n closed surface l bi¶n cıa mºt khŁi E r›n c khng c kho£ng hŒng b¶n trong. Mt cong k‰n æc nh hng dng khi n æc trang b trng vect ph¡p tuy‚n n v hng ra ngoi khŁi E. N‚u trng hng vo trong khŁi E th… ta ni mt cong k‰n æc nh hng ¥m. GII TCH B2 341/

slide 342:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.7. T‰ch ph¥n mt TCH PHN MT CA TR˝NG VECT T‰ch Ph¥n Mt Lo⁄i II nh ngha Cho l mºt trng vect li¶n tc x¡c nh tr¶n mºt mt cong S c hng vi trng vect ph¡p tuy‚n n v . Khi t‰ch ph¥n mt cıa tr¶n S æc k hi»u v nh ngha l S D S dS T‰ch ph¥n ny cng æc gi l thng læng cıa xuy¶n qua S. GII TCH B2 342/

slide 343:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.7. T‰ch ph¥n mt Ghi ch. Gi£ sß Dhcos cos cos i ta º l c¡c c-sin ch¿ hng v DhPQRi th… ta cng c mºt k hi»u kh¡c cho t‰ch ph¥n tr¶n S dSD S .P cos CQcos CR cos/ dS D S PdydzCQdzdxCRdxdy K hi»u cos dS æc thay bi dydz l muŁn hm r‹ng ph¥n tŁ di»n t‰ch cos S ij trong tŒng Riemann x§p x¿ b‹ng di»n t‰ch h…nh chi‚u cıa S ij l¶n mt phflng yz. Tng t cho c¡c k hi»u dzdx v dxdy. GII TCH B2 343/

slide 344:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.7. T‰ch ph¥n mt Ni ri¶ng n‚u DhP00i hoc h0Q0i hoc h00Ri th… ta c tłng k hi»u ri¶ng S PdydzD S P cos dS S QdzdxD S Qcos dS S RdxdyD S R cos dS trong Dhcos cos cos i l trng vect ph¡p tuy‚n n v nh hng cho mt S. GII TCH B2 344/

slide 345:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.7. T‰ch ph¥n mt C¡ch T‰nh T‰ch Ph¥n Mt Lo⁄i II Phƒn trc l nh ngha v k hi»u cıa t‰ch ph¥n mt lo⁄i II. Da vo nh ngha ny ta suy ra cng thøc t‰nh sau N‚u S l mt cong trn cho bi .uv/.uv/2 D v S æc nh hng bi D u v u v th… S D S dSD D u v dA N‚u S l th cıa hm sŁ zD g.xy/.xy/2 D th… ta t G.xyz/D g.xy/ z v ta c S æc nh hng bi DrG rG hoc Dr G rG . Hn nœa n‚u DhPQRi th… S D D r G dAD D P g x CQ g y R dA 4.14 GII TCH B2 345/

slide 346:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.7. T‰ch ph¥n mt N‚u S l th cıa hm sŁ zD g.xy/.xy/2 D æc chn hng l¶n tr¶n th cıa zD g.xy/ ngha l thu“n cheo hng dng cıa trc Oz v DhPQRi th… cng thøc 4.14 c th” æc t¡ch ri¶ng theo k hi»u ¢ ni trc S PdydzD D P xyg.xy/ g x dA 4.15 S QdzdxD D Q xyg.xy/ g y dA 4.16 S RdxdyD D R xyg.xy/ dA 4.17 Trng hæp S l th cıa hm theo hai bi‚n .yz/ hoc .xz/ th… ta cng c c¡c cng thøc tng t tr¶n. GII TCH B2 346/

slide 347:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.7. T‰ch ph¥n mt Ngha V“t L Cıa T‰ch Ph¥n Mt Lo⁄i II N‚u l tł trng th… S l tł thng xuy¶n qua S. N‚u. xyx/ l m“t º khŁi læng t⁄i i”m .xyz/ trong mi trng lu ch§t ⁄i kh¡i l khŁi læng ri¶ng cıa mºt h⁄t lu ch§t v cng nh bao quanh i”m .xyz/ v .xyz/ l trng v“n tŁc trong lu ch§t th… S . / l Thng Su§t rate of flux cıa lu ch§t xuy¶n qua mt S ⁄i kh¡i l khŁi læng lu ch§t xuy¶n qua mt S trong mºt n v thi gian. N‚u l trng tnh i»n t⁄o bi i»n t‰ch Q th… S æc gi l i»n thng electric flux cıa xuy¶n qua mt S v theo nh lu“t Gauss th… QD" 0 S vi " 0 l h‹ng sŁ i»n mi GII TCH B2 347/

slide 348:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.8. nh l Stocks nh l Stocks l mºt phi¶n b£n cıa nh l Green trong khng gian. Trc ti¶n ta x†t mºt mt cong S æc nh hng bi vi ng bi¶n CDS l ng cong k‰n. Bi¶n C æc gi l c hng dng ngha l n‚u ta bc i vÆng quanh theo hng tr¶n C vi ƒu ch¿ theo hng cıa th… mi•n trong cıa S n‹m b¶n tay tr¡i cıa ta. GII TCH B2 348/

slide 349:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.8. nh l Stocks T‰ch ph¥n ng tr¶n S theo hng dng æc k hi»u bi I S . nh l Stocks. Cho S l mt cong trn tłng m£nh b bao quanh bi mºt ng cong S k‰n trn tłng khc c hng dng. Cho l trng vect sao cho c¡c hm thnh phƒn PQR c c¡c ⁄o hm ri¶ng c§p 1 li¶n tc tr¶n mºt t“p m chøa S trongR 3 . Khi S curl D I S d GII TCH B2 349/

slide 350:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.8. nh l Stocks Ghi ch. V… S curl D S curl dS v I S d D Z S ds n¶n nh l Stocks c th” ph¡t bi”u r‹ng t‰ch ph¥n mt lo⁄i I cıa thnh phƒn ph¡p tuy‚n cıa trng tr¶n mt S b‹ng t‰ch ph¥n ng lo⁄i I cıa thnh phƒn ti‚p tuy‚n cıa trng dc theo bi¶n S. N‚u S l mt n‹m trong mt phflng xy vi D th… nh l Stocks tr thnh nh l Green d⁄ng vect S curl D S curl dAD I S d GII TCH B2 350/

slide 351:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.8. nh l Stocks c th¶m: NGHA CA CURL QUA NH L STOCKS X†t C l ng cong k‰n c hng v trng vect ⁄i di»n cho v“n tŁc trong mi trng lu ch§t. V… l thnh phƒn component cıa theo hng cıa vect ti‚p tuy‚n n v cıa C c ngha l n‚u hng cıa cng gƒn vi hng cıa th… gi¡ tr cıa cng ln n¶n ⁄i læng Z C d D Z C ds l sŁ o khuynh hng ch⁄y vÆng quanh C cıa lu ch§t v æc gi l lu sŁ circulation cıa quanh C. GII TCH B2 351/

slide 352:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.8. nh l Stocks Lu sŁ cıa dng. Lu sŁ cıa ¥m. GII TCH B2 352/

slide 353:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.8. nh l Stocks X†t P 0 l mºt i”m trong lu ch§t v S a l a trÆn c t¥m l P 0 b¡n k‰nh a r§t nh. V… b¡n k‰nh r§t nh n¶n curl .P/ curl .P 0 / vi mØi P2 S a do l trng li¶n tc tr¶n S a . Theo nh l Stokes ta c ph†p x§p x¿ sau I S a d D S a curl D S a curl dS S a curl .P 0 / .P 0 /dSD a 2 curl .P 0 / .P 0 / Ph†p x§p x¿ tr n¶n ch‰nh x¡c khi ta l§y gii h⁄n vi a 0 curl .P 0 / .P 0 /D lim a0 1 a 2 I S a d 4.18 Phng tr…nh 4.18 cho mŁi li¶n h» giœa curl v lu sŁ. N cho th§y curl l sŁ o hi»u øng quay cıa lu ch§t quanh trc . Quanh trc song song vi curl s‡ c hi»u øng xo¡y m⁄nh nh§t. GII TCH B2 353/

slide 354:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.8. nh l Stocks Trong mi trng lu ch§t vi trng vect v“n tŁc th… quanh trc curl s‡ c hi»u øng xo¡y m⁄nh nh§t. GII TCH B2 354/

slide 355:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.9. nh l Divergence Qui c. N‚u mºt khŁi r›n c E khng c kho£ng hŒng rØ bt b¶n trong c bi¶n ngoi SDE l mt cong k‰n. Ta qui c hng dng cıa S nh bi trng vect ph¡p tuy‚n n v hng ra ngoi E. N‚u khŁi E c hœu h⁄n kho£ng rØng b¶n trong v‰ d nh h…nh b¶n khŁi E c mºt kho£ng hŒng b¶n trong ngha l phƒn r›n c cıa khŁi E n‹m trong mt cong k‰n S 2 v n‹m ngoi mt cong k‰n S 1 . Hæp bi¶n l SDED S 1 S 2 æc nh hng dng vi trng b‹ng 2 tr¶n S 2 b‹ng 1 tr¶n S 1 . Ngha l tr¶nE hng ra ngoi phƒn r›n c cıa E. T‰ch ph¥n cıa trng tr¶nE vi nh hng dng æc k hi»u bi E . GII TCH B2 355/

slide 356:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.9. nh l Divergence nh l divergence. Cho E l khŁi r›n c bi¶n ngoi l mt cong k‰n b¶n trong E c hœu h⁄n kho£ng rØng vi bi¶n cng l mt cong k‰n. Bi¶n E cıa E c hng dng nh bi hng ra ngoi phƒn r›n c cıa E. Cho l trng vect vi c¡c hm sŁ thnh phƒn PQR c c¡c ⁄o hm ri¶ng li¶n tc tr¶n mºt t“p m chøa E. Khi E div dVD E D E dS nh l divergence c chøng minh tng t nh chøng minh cıa nh l Green. GII TCH B2 356/

slide 357:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.9. nh l Divergence c th¶m: NGHA CA TON T DIVERGENCE QUA NH L DIVERGENCE Gi£ sß l trng v“n tŁc trong mi trng lu ch§t vi hm m“t º khŁi læng . xyz/ th… D l thng su§t rate of flux cıa lu ch§t xuy¶n qua mºt n v di»n t‰ch ngha l khŁi læng lu ch§t ch£y qua mºt n v di»n t‰ch trong mºt n v thi gian. X†t i”m P 0 .x 0 y 0 z 0 / trong mi trng lu ch§t l t¥m cıa qu£ cƒu B a vi b¡n k‰nh a r§t nh th… do div li¶n tc n¶n div F.P/ div .P 0 / vi mi i”m P2 B a . Bi¶n cıa B a l mt cƒu S a nh hng dng ra ngoi qu£ cƒu. Gi¡ tr cıa S a l khŁi læng lu ch§t tho¡t ra ngoi qu£ cƒu B a trong mºt n v thi gian. GII TCH B2 357/

slide 358:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.9. nh l Divergence Theo nh l divergence th… S a D B a div dV B a div .P 0 /dVD V.B a /div .P 0 / vi V.B a / l th” t‰ch qu£ cƒu B a . Ph†p x§p x¿ s‡ ch‰nh x¡c khi l§y gii h⁄n vi a 0 div .P 0 /D lim a0 1 V.B a / S a 4.19 Phng tr…nh tr¶n ni r‹ng div .P 0 / l thng su§t m lu ch§t tho¡t ra tł P 0 ngha l khŁi læng lu ch§t tho¡t ra khi P 0 trong mºt n v thi gian t‰nh tr¶n mºt n v th” t‰ch. V… th‚ mi c t¶n divergence s ph¥n t¡n. GII TCH B2 358/

slide 359:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 4.9. nh l Divergence N‚u div .P/ 0 th… xung quanh gƒn P lu ch§t c khuynh hng tho¡t ra ta gi P l ngun source. N‚u div .P/ 0 th… xung quanh gƒn P lu ch§t c khuynh hng ht vo ta gi P l sink i”m ht vo thm th§u. Trong h…nh b¶n c¡c vect c i”m ngn gƒn P 1 th… ng›n hn c¡c vect c i”m gŁc gƒn P 1 v… v“y lu ch§t c khuynh hng tho¡t ra vng l¥n c“n P 1 do div .P 1 / 0 P 1 l ngun. Ph¡n o¡n tng t div .P 2 / 0 P 2 l i”m ht. Ta c th” ki”m chøng l⁄i i•u ny mºt c¡ch ch‰nh x¡c khi bi‚t h…nh b¶n l h…nh £nh cıa D x 2 Cy 2 C0 . GII TCH B2 359/

slide 360:

LM QUEN V˛I PHNG TRNH VI PHN

slide 361:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.1. L“p m h…nh to¡n hc vi phng tr…nh vi ph¥n M˘ HNH TNG DN S¨ Gi£ sß thi i”m t d¥n sŁ cıa mºt quƒn th” ngi ºng v“t vi khun v.v.. l P.t/. TŁc º t«ng d¥n sŁ æc o bi ⁄i læng P 0 .t/ l tŁc º bi‚n thi¶n d¥n sŁ theo thi gian. N‚u ta ngh tŁc º t«ng d¥n sŁ tng t nh n«ng su§t lao ºng ngha l cng nh¥n cng ng th… n«ng su§t lao ºng cıa xng cng ln th… ⁄i læng P 0 .t/ t¿ l» thu“n vi P.t/. Do P 0 .t/D kP.t/ hay dP dt D kP 5.1 trong k l h‹ng sŁ. N‚u k 0 th… d¥n sŁ t«ng theo thi gian n‚u k 0 th… d¥n sŁ gi£m theo thi gian. M h…nh 5.1 æc gi l lu“t t«ng trng t nhi¶n . N‚u t‰nh ‚n y‚u tŁ di tr gi£ sß tŁc º di tr l mºt h‹ng sŁ m th… m h…nh tr¶n æc hi»u ch¿nh thnh dP dt D kP m GII TCH B2 361/

slide 362:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.1. L“p m h…nh to¡n hc vi phng tr…nh vi ph¥n Thc t‚ ngun ti nguy¶n mi trng sŁng c h⁄n ngha l gi£ sß mi trng sŁng ch¿ ı kh£ n«ng nui dng æc mºt quƒn th” c sŁ d¥n tŁi a l K gi l sŁ b¢o hÆa carrying capacity. Khi d¥n sŁ P.t/ r§t ‰t ngun ti nguy¶n d søc ph¡t tri”n d¥n sŁ th… ta xem tŁc º t«ng d¥n P 0 .t/ gƒn nh t¿ l» vi P.t/. Khi P.t/ cng gƒn ti K th… tŁc º t«ng trng gi£m dƒn v khi P.t/ væt qua K th… tŁc º P 0 .t/ s‡ ¥m d¥n sŁ gi£m. Theo ngi ta l“p m h…nh sau dP dt D kP 1 P K 5.2 Phng tr…nh 5.2 æc gi l phng tr…nh vi ph¥n logistic hay m h…nh logistic. GII TCH B2 362/

slide 363:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.1. L“p m h…nh to¡n hc vi phng tr…nh vi ph¥n N‚u x†t th¶m y‚u tŁ di tr hoc b ¡nh b›t v‰ d nh c¡ vi tŁc º h‹ng c th… m h…nh logistic æc hi»u ch¿nh thnh dP dt D kP 1 P K c Łi vi mºt sŁ loi c mºt møc d¥n tŁi thi”u m ” duy tr… nÆi giŁng. N‚u tt xuŁng møc ny th… giŁng loi s‡ ‚n b di»t chıng v… c¡c c¡ th” trng thnh khng t…m æc b⁄n phŁi giŁng ph hæp. Do ta c m h…nh sau dP dt D kP 1 P K 1 m P GII TCH B2 363/

slide 364:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.1. L“p m h…nh to¡n hc vi phng tr…nh vi ph¥n M˘ HNH CHUYN ¸NG CA L` XO X†t mºt lÆ xo treo øng mºt ƒu buºc cŁ nh ƒu kia treo mºt v“t khŁi læng m v ang v tr‰ c¥n b‹ng. Vi gi£ thi‚t khng c lc c£n no cıa khng kh‰ hay lc ma s¡t n‚u ta k†o xuŁng hay n¥ng v“t lm cho lÆ xo b gi¢n hay n†n vo mºt kho£ng dch chuy”n x n v x 0 hoc x 0 so vi v tr‰ c¥n b‹ng th… theo nh lu“t Hook v“t m chu mºt lc n hi c cng º t¿ l» vi x b‹ng kx vi k 0 l h‹ng sŁ n hi. GII TCH B2 364/

slide 365:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.1. L“p m h…nh to¡n hc vi phng tr…nh vi ph¥n Theo nh lu“t Newton II ta c phng tr…nh m d 2 x dt 2 D kx hay d 2 x dt 2 D k m x 5.3 PHNG TRNH VI PHN T˚NG QUT Cho F l hm sŁ nC2 bi‚n. Gi£ sß y l hm sŁ theo bi‚n x cha bi‚t c ⁄o hm ‚n b“c n v tha phng tr…nh F.xyy 0 y 00 :::y .n/ /D k h‹ng sŁ 5.4 th… 5.4 æc gi l phng tr…nh vi ph¥n c§p n. Hai phng tr…nh 5.1 v 5.2 l phng tr…nh vi ph¥n c§p 1. Phng tr…nh 5.3 l phng tr…nh vi ph¥n c§p 2. GII TCH B2 365/

slide 366:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.1. L“p m h…nh to¡n hc vi phng tr…nh vi ph¥n Ghi ch 1. Khng c phng ph¡p tŒng qu¡t ” gi£i mºt phng tr…nh vi ph¥n. Thay vo ngi ta ch¿ nghi¶n cøu c¡ch gi£i mºt phng tr…nh vi ph¥n l m h…nh cho mºt hi»n tæng thc ti„n no ang æc quan t¥m. C¡c mc cÆn l⁄i cıa chng s‡ bn ‚n phng tr…nh vi ph¥n c§p 1 v c§p 2 tuy‚n t‰nh. Phng tr…nh vi ph¥n tuy‚n t‰nh c§p n c d⁄ng sau y .n/ .x/Ca 1 .x/y .n 1/ .x/CC a n 1 .x/y 0 .x/Ca n y.x/D f.x/ 5.5 Ghi ch 2. Khi t…m hm sŁ y tha phng tr…nh vi ph¥n ngi ta x†t ‚n i•u ki»n y.t 0 /D y 0 Łi vi phng tr…nh vi ph¥n c§p 1 hoc c th¶m i•u ki»n y 0 .t 0 /D y 1 Łi vi phng tr…nh vi ph¥n c§p 2. C¡c bi to¡n ny æc gi l bi to¡n i•u ki»n ƒu the initial-value problem. GII TCH B2 366/

slide 367:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.2. Phng tr…nh vi ph¥n c§p 1 PHNG TRNH VI PHN DNG TCH BIN Phng tr…nh vi ph¥n d⁄ng t¡ch bi‚n seperable equation l phng tr…nh vi ph¥n c§p 1 c h…nh thøc nh sau y 0 D g.x/f.y/ y l hm sŁ cha bi‚t n x S d gi l t¡ch bi‚n v… phng tr…nh tr¶n c th” a v• d⁄ng c x v y tłng v‚ ri¶ng bi»t ri l§y nguy¶n hm hai v‚ y 0 f.y/ D g.x/ gi£ sß f.y/⁄ 0 suy ra Z dy f.y/ D Z g.x/dx Tł ta c phng tr…nh ” c th” t‰nh y theo x mºt c¡ch tng minh explicit function hoc phng tr…nh x¡c nh mºt n hm implicit function y theo x. GII TCH B2 367/

slide 368:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.2. Phng tr…nh vi ph¥n c§p 1 V‰ d: gi£i m h…nh t«ng trng d¥n sŁ t nhi¶n T…m hm P.t/ l nghi»m cıa bi to¡n gi¡ tr ƒu: P 0 .t/D kP.t/ v P.0/D P 0 Gi£i. Ta c phng tr…nh d⁄ng t¡ch bi‚n nh sau P 0 D kP P 0 P D k Z P 0 .t/ P.t/ dtD Z kdt Z dP P D ktCC C l h‹ng sŁ ºc l“p vi t lnjPjD ktCCjPjD Ae kt D P AD e C l h‹ng sŁ Do i•u ki»n ƒu P.0/D P 0 n¶n AD P 0 . V“y vi d¥n sŁ ban ƒu l P 0 th… d¥n sŁ thi i”m t 0 l P.t/D P 0 e kt . GII TCH B2 368/

slide 369:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.2. Phng tr…nh vi ph¥n c§p 1 V‰ d: m h…nh logistic T…m d¥n sŁ P.t/ l nghi»m cıa bi to¡n gi¡ tr ƒu theo m h…nh logistic: P 0 D kP.1 PK/ v P.0/D P 0 trong K l d¥n sŁ b¢o hÆa. Gi£i. Ta cng c phng tr…nh d⁄ng t¡ch bi‚n P 0 D kP 1 P K KP 0 P.P K/ D k Z K P.P K/ dPD Z kdt Z 1 P K 1 P dPD ktCC ln P K P D ktCC lu P K K P P D Ae kt PD K 1CAe kt Tł i•u ki»n ƒu P.0/D P 0 ta suy ra AD.K P 0 /P 0 . V“y P.t/D K 1CAe kt vi AD K P 0 P 0 GII TCH B2 369/

slide 370:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.2. Phng tr…nh vi ph¥n c§p 1 BIN TH CA PHNG TRNH VI PHN DNG TCH BIN Sau ¥y l phng tr…nh vi ph¥n c§p 1 c th” a v• d⁄ng t¡ch bi‚n æc y 0 D f y x f l hm sŁ mºt bi‚n 5.6 C¡ch gi£i phng tr…nh 5.6 : t uD yx th… yD xu v y 0 D uCxu 0 thay vo 5.6 ta æc u 0 D f.u/ u x 5.7 GII TCH B2 370/

slide 371:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.2. Phng tr…nh vi ph¥n c§p 1 N‚u f.u/ u ngha l phng tr…nh 5.6 c d⁄ng y 0 D yx l d⁄ng t¡ch bi‚n. N‚u phng tr…nh f.a/ aD 0 c nghi»m thc a 0 th… hm sŁ yD a 0 x l mºt nghi»m ri¶ng cıa 5.6. N‚u ngoi hai trng hæp tr¶n th… 5.7 æc a v• d⁄ng t¡ch bi‚n u 0 f.u/ u D 1 x Z du f.u/ u D Z dx x Sinh vi¶n t gi£i bi to¡n sau V‰ d T…m h nghi»m cıa phng tr…nh x 2 y 0 D y 2 xyCx 2 . ¡p sŁ: yD x hay yD x x CClnjxj vi C l h‹ng sŁ. GII TCH B2 371/

slide 372:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.2. Phng tr…nh vi ph¥n c§p 1 PHNG TRNH VI PHN TUYN TNH CP 1 Phng tr…nh vi ph¥n tuy‚n t‰nh c§p 1 c d⁄ng y 0 Cq.x/yD p.x/ 5.8 trong p.x/ v q.x/ l hai hm sŁ cho trc. C¡ch gi£i phng tr…nh 5.8 1 T…m mºt nguy¶n hm cıa q.x/ l Q.x/D Z q.x/dx. 2 Nh¥n c£ hai v‚ cıa 5.8 vi e Q.x/ a v• d⁄ng y 0 e Q.x/ CQ 0 .x/e Q.x/ yD p.x/Q.x/ d dx ye Q.x/ D p.x/Q.x/ suy ra ye Q.x/ D Z p.x/Q.x/dx. Tł t…m æc y. GII TCH B2 372/

slide 373:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.2. Phng tr…nh vi ph¥n c§p 1 V‰ d Gi£i bi to¡n gi¡ tr ƒu: x 2 y 0 CxyD 1 vi x 0 v y.1/D 2. Gi£i. Phng tr…nh æc a v• d⁄ng y 0 Cx 1 yD x 2 Nguy¶n hm cıa q.x/D x 1 l ln x. Nh¥n c£ hai v‚ cıa vi e lnx D x ta æc xy 0 CyD 1 x xy 0 D 1 x xyD Z dx x D lnxCC yD lnxCC x Do y.1/D 2 n¶n CD 2. V“y nghi»m bi to¡n l yD 2Clnx x . GII TCH B2 373/

slide 374:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.2. Phng tr…nh vi ph¥n c§p 1 NG DNG TRONG MCH IN X†t m⁄ch i»n n gi£n nh h…nh b¶n. Su§t i»n ºng sinh bi mºt ngun l E.t/ volts V v sinh ra dÆng i»n I.t/ amp–res A t⁄i thi i”m t. M⁄ch c chøa mºt i»n tr c tr kh¡ng R ohms v mºt cuºn c£m c º t c£m L henries H. nh lu“t Ohm cho bi‚t hi»u i»n th‚ do i»n tr t⁄o ra l RI. Hi»u i»n th‚ do cuºn c£m t⁄o ra l L.dIdt/. Mºt trong c¡c nh lu“t Kirchhoff cho chng ta phng tr…nh L dI dt CRI.t/D E.t/ 5.9 GII TCH B2 374/

slide 375:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.2. Phng tr…nh vi ph¥n c§p 1 V‰ d Gi£ sß RD 12 LD 4 H m¡y ph¡t i»n xoay chi•u sinh ra su§t i»n ºng bi‚n thi¶n theo qui lu“t E.t/D 60sin30t. Thi i”m ng m⁄ch l tD 0 do I.0/D 0. H¢y t…m I.t/. Gi£i. Da vo phng tr…nh 5.9 ta c 4I 0 .t/C12I.t/D 60sin30t hay l I 0 .t/C3I.t/D 15sin30t vi i•u ki»n ƒu I.0/D 0. — tr¶n l phng tr…nh vi ph¥n tuy‚n t‰nh c§p 1 n‚u gi£i theo phng ph¡p ¢ ni tr¶n th… ta æc I.t/D 5 101 .sin30t 10cos30t/C 50 101 e 3t th cng º dÆng i»n bi‚n Œi theo thi gian. GII TCH B2 375/

slide 376:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.2. Phng tr…nh vi ph¥n c§p 1 V‰ d Vi bi to¡n trong v‰ d trc n‚u thay m¡y ph¡t xoay chi•u bi ›c-qui c E.t/D 60 V khng Œi. T…m I.t/ v gii h⁄n cng º dÆng i»n. Gi£i. Trng hæp ny l bi to¡n t…m I.t/ tha I 0 .t/C3I.t/D 60 v I.0/D 0. Theo c¡ch gi£i bi to¡n gi¡ tr ƒu ¢ bi‚t th… ta æc I.t/D 5.1 e 3t /. Gii h⁄n cng º dÆng i»n l lim t1 I.t/D lim t1 5.1 e 3t /D 5A GII TCH B2 376/

slide 377:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.2. Phng tr…nh vi ph¥n c§p 1 PHNG TRNH VI PHN BERNOULI Phng tr…nh vi ph¥n Bernouli c d⁄ng y 0 Cq.x/yD p.x/y n vi n⁄ 0 v ⁄ 1 5.10 trong p.x/ v q.x/ l hai hm sŁ cho trc. C¡ch gi£i 5.10 t uD y 1 n thay vo 5.10 ta a v• phng tr…nh vi ph¥n tuy‚n t‰nh c§p 1 u 0 C.1 n/q.x/uD.1 n/p.x/ GII TCH B2 377/

slide 378:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.3. Phng tr…nh vi ph¥n tuy‚n t‰nh c§p 2 vi h» sŁ h‹ng Phng tr…nh vi ph¥n tuy‚n t‰nh c§p 2 vi h» sŁ h‹ng c d⁄ng ay 00 Cby 0 CcyD G.x/ A trong abc l c¡c h‹ng sŁ a⁄ 0 G.x/ l hm sŁ cho trc. Phng tr…nh A æc gi l phng tr…nh vi ph¥n tuy‚n c§p 2 h» sŁ h‹ng khng thuƒn nh§t nonhomogeneous equation. Phng tr…nh c trng characteristic equation cıa A l ar 2 CbrCcD 0 B Phng tr…nh thuƒn nh§t complementary equation tng øng vi A l ay 00 Cby 0 CcyD 0 C N‚u khng x†t i•u ki»n ƒu initial condition th… c£ phng tr…nh A v C c mºt h v sŁ nghi»m c d⁄ng tŒng qu¡t general solution lƒn læt æc k hi»u l y v y c ch¿ sŁ c ¡m ch¿ chœ complementary. GII TCH B2 378/

slide 379:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.3. Phng tr…nh vi ph¥n tuy‚n t‰nh c§p 2 vi h» sŁ h‹ng C¡ch gi£i phng tr…nh thuƒn nh§t C 1 N‚u phng tr…nh t trng B c nghi»m k†p r 0 th… phng tr…nh thuƒn nh§t C c nghi»m tŒng qu¡t l y c D.c 1 Cc 2 x/e r 0 x vi c 1 c 2 l h‹ng sŁ ty 2 N‚u B c hai nghi»m thc ph¥n bi»t l r 1 v r 2 th… nghi»m tŒng qu¡t cıa C l y c D c 1 e r 1 x Cc 2 e r 2 x 3 N‚u B c hai nghi»m phøc li¶n hæp l r 1 D Ci v r 2 D i th… nghi»m tŒng qu¡t cıa C l y c D.c 1 cos xCc 2 sin x/e x GII TCH B2 379/

slide 380:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.3. Gi£i phng tr…nh khng thuƒn nh§t A I C¡ch gi£i phng tr…nh khng thuƒn nh§t A N‚u y c l nghi»m tŒng qu¡t cıa phng tr…nh thuƒn nh§t C v y p l mºt nghi»m ri¶ng particular solution cıa phng tr…nh khng thuƒn nh§t A th… A c nghi»m tŒng qu¡t l y.x/D y p .x/Cy c .x/ Sau ¥y l c¡ch t…m mºt nghi»m ri¶ng y p cho phng tr…nh khng thuƒn nh§t A. GII TCH B2 380/

slide 381:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.3. Gi£i phng tr…nh khng thuƒn nh§t A II 1 N‚u G.x/D P n .x/e rx trong P n l a thøc b“c n th… ta c ba trng hæp ph Trng hæp r l nghi»m k†p cıa B th… y p D x 2 Q n .x/e rx Q n l a thøc b“c n æc t…m theo phng ph¡p h» sŁ b§t nh the method of undetermined coefficients khi thay yD y p vo A Trng hæp r l mºt nghi»m n thc cıa B th… y p D xQ n .x/e rx . Trng hæp r khng ph£i l nghi»m cıa B th… y p D Q n .x/e rx . 2 N‚u G.x/D e x P n .x/cos xCQ m .x/sin x th… ta t sD maxfmng v ta c hai trng hæp ph Trng hæp i l nghi»m phøc cıa B th… y p D xe x R s .x/cos xCT s .x/sin x trong R s v T s l hai a thøc b“c s æc t…m theo phng ph¡p h» sŁ b§t nh. Trng hæp i khng l nghi»m phøc cıa B th… y p D e x R s .x/cos xCT s .x/sin x . GII TCH B2 381/

slide 382:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.3. Gi£i phng tr…nh khng thuƒn nh§t A III 3 N‚u hm sŁ cho trc G.x/ khng c d⁄ng ¢ x†t tr¶n th… ta dng phng ph¡p bi‚n thi¶n h‹ng sŁ the method of variation of parameters nh sau: Gi£ sß nghi»m tŒng qu¡t cıa phng tr…nh thuƒn nh§t c d⁄ng y c .x/D c 1 y 1 .x/Cc 2 y 2 .x/ th… ta c y p D u 1 .x/y 1 .x/Cu 2 .x/y 2 .x/ trong hai hm sŁ u 1 v u 2 t…m æc b‹ng c¡ch gi£i h» u 0 1 y 1 Cu 0 2 y 2 D 0 a.u 0 1 y 0 1 Cu 0 2 y 0 2 /D G Nguy¶n l chng ch§t nghi»m the principle of superposition. Gi£ sß y p 1 v y p 2 lƒn læt l nghi»m cıa hai phng tr…nh ay 00 Cby 0 CcyD G 1 .x/ v ay 00 Cby 0 CcyD G 2 .x/ th… y p D y p 1 Cy p 2 l nghi»m cıa phng tr…nh ay 00 Cby 0 CcyD G 1 .x/C G 2 .x/. GII TCH B2 382/

slide 383:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.3. Phng tr…nh vi ph¥n tuy‚n t‰nh c§p 2 vi h» sŁ h‹ng V‰ d M h…nh chuy”n ºng cıa lÆ xo l mx 00 .t/D kx.t/. T…m x.t/ Gi£i. Phng tr…nh c trng mr 2 CkD 0 c hai nghi»m phøc rD i k m n¶n nghi»m tŒng qu¡t l x.t/D c 1 cos k m t Cc 2 sin k m t Ghi ch. N‚u thi i”m ƒu tD 0 ta giœ cho lÆ xo gi¢n ra mºt o⁄n x.0/D 1 n v ri b§t ng th£ ra th… v“n tŁc ƒu x 0 .0/D 0 ngha l ta c i•u ki»n ƒu. Khi c 1 D 1 c 2 D 0 v nghi»m bi to¡n gi¡ tr ƒu l x.t/D cos k m t . Hm ny cho th§y chuy”n ºng t do cıa lÆ xo l dao ºng i•u hÆa. GII TCH B2 383/

slide 384:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.3. Phng tr…nh vi ph¥n tuy‚n t‰nh c§p 2 vi h» sŁ h‹ng V‰ d Gi£i phng tr…nh y 00 4yD xe x Ccos2x Gi£i. Phng tr…nh c trng r 2 4D 0 c hai nghi»m thc rD 2 n¶n phng tr…nh thuƒn nh§t c nghi»m tŒng qu¡t l y c D c 1 e 2x Cc 2 e 2x . Vi phng tr…nh y 00 4yD G 1 .x/ trong G 1 .x/D xe x th… ta t…m nghi»m ri¶ng c d⁄ng y p 1 D.AxCB/e x . Ta c y 0 p 1 D.AxCBCA/e x v y 00 p 2 D.AxCBC2A/e x th‚ vo y 00 4yD G 1 .x/ ta c .AxCBC2A/e x 4.AxCB/e x D xe x .3AC1/x 2AC3BD 08x suy ra AD 13 BD 29 v y p 1 D . 1 3 xC 2 9 /e x . Vi phng tr…nh y 00 4yD G 2 .x/ trong G 2 .x/D cos2xD e 0x .1cos2xC0sin2x/ th… nghi»m ri¶ng c d⁄ng y p 2 D C cos2xCDsin2x. GII TCH B2 384/

slide 385:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.3. Phng tr…nh vi ph¥n tuy‚n t‰nh c§p 2 vi h» sŁ h‹ng Ta c y 0 p 2 D 2C sin2xC2Dcos2x v y 00 p 2 D 4C cos2x 4Dsin2x thay vo phng tr…nh y 00 4yD cos2x ta c 4C cos2x 4Dsin2x 4.C cos2xCDsin2x/D cos2x .8CC1/cos2xC8Dsin2xD 08x suy ra CD 18 DD 0 v y p 2 D 1 8 cos2x. Theo nguy¶n l chng ch§t nghi»m phng tr…nh y 00 4yD G 1 .x/CG 2 .x/ c nghi»m tŒng qu¡t l yD y c Cy p 1 Cy p 2 D c 1 e 2x Cc 2 e 2x 1 3 xC 2 9 e x 1 8 cos2x GII TCH B2 385/

slide 386:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.3. Phng tr…nh vi ph¥n tuy‚n t‰nh c§p 2 vi h» sŁ h‹ng V‰ d Gi£i phng tr…nh y 00 CyD tanx vi 0 x 2 Gi£i. Phng tr…nh c trng r 2 C1D 0 c nghi»m phøc rD i do phng tr…nh thuƒn nh§t c nghi»m tŒng qu¡t l y c D c 1 cosxCc 2 sinx. Theo phng ph¡p bi‚n thi¶n h‹ng sŁ th… phng tr…nh y 00 CyD tanx c nghi»m ri¶ng l y p D u 1 .x/cosxCu 2 .x/sinx trong u 0 1 cosxCu 0 2 sinxD 0 u 0 1 . sinx/Cu 0 2 cosxD tanx u 0 1 D sinx tanx u 0 2 D sinx 8 : u 1 D Z .cosx 1 cosx /dx u 2 D cosx 8 : u 1 D sinx 2 Z dt 1 t 2 u 2 D cosx t tD tan x 2 . GII TCH B2 386/

slide 387:

ng Mt ⁄o hm ri¶ng S kh£ vi T‰ch ph¥n bºi Gi£i t‰ch vect Lm quen phng tr…nh vi ph¥n 5.3. Phng tr…nh vi ph¥n tuy‚n t‰nh c§p 2 vi h» sŁ h‹ng Do 0 x 2 n¶n ta t‰nh æc u 1 D sinx ln.secxCtanx/ vi secxD 1cosx. V“y y p D sinx cosx cosx ln.secxCtanx/ cosx sinx D cosx ln.secxCtanx/ v nghi»m tŒng qu¡t l yD c 1 cosxCc 2 sinx cosx ln.secxCtanx/ GII TCH B2 387/

authorStream Live Help