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Projecto IMLNA Promover a Aprendizagem Matemática em Números e Álgebra O DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE PROPORCIONALIDADE DIRECTA PELA EXPLORAÇÃO DE REGULARIDADES Tarefas para o 1.º e o 2.º Ciclos do Ensino Básico Materiais de Apoio ao Professor João Pedro da Ponte Ana Isabel Silvestre Cristina Garcia Sara Costa Setembro 2010

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P p Projecto finan para a Ciência PTDC nciado pela FC a e Tecnologia C/CED/65448 CT – Fundação a contrato N. 8/2006 o º Materiais d Associa divulgados com ação de Profes Matemática m o apoio da ssores de

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1   Índice Introdução 2 O conceito de proporcionalidade directa 2 O raciocínio proporcional 3 Problemas que envolvem relações de proporcionalidade directa e estratégias de resolução dos alunos 4 Objectivos gerais de aprendizagem 6 Sugestões didácticas 7 Referências 10 Tarefa 1 – Os colares 11 Tarefa 2 – Os quadrados 20 Tarefa 3 – A magia da tabela 36 Tarefa 4 – As pilhas 46 Tarefa 5 – Existe proporcionalidade directa 52 Tarefa 6 – Aluguer das bicicletas 61 Tarefa 7 – Escalas 1 66 Tarefa 8 – Escalas 2 72

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2   Introdução Este documento reúne um conjunto de tarefas que os professores do 1.º e do 2.º ciclo do ensino básico podem utilizar nas suas aulas para desenvolver o raciocínio pro- porcional nos seus alunos. Para cada tarefa são indicados os objectivos de aprendizagem e são apresentadas possíveis estratégias de resolução dos alunos que o professor deve ter presente ao acompanhar o trabalho destes e ao dirigir a discussão colectiva na turma. Começamos por abordar o conceito de proporcionalidade directa e os aspectos funda- mentais do raciocínio proporcional e de seguida apresentamos os principais tipos de problemas que envolvem relações de proporcionalidade directa e as estratégias de reso- lução mais frequentemente usadas pelos alunos. Finalmente apresentamos os objectivos de aprendizagem do Programa de Matemática e concluímos apresentando um conjunto de sugestões didácticas para a exploração das tarefas propostas. O conceito de proporcionalidade directa Estes materiais procuram mostrar como alguns tipos de tarefa podem enriquecer a experiência escolar dos alunos e ajudar a desenvolver a sua capacidade de raciocínio proporcional. Procuramos contrariar a ideia redutora de que a resolução de problemas que envolvem relações proporcionais tem sempre de ser feita usando a regra de três simples regra esta que frequentemente os alunos aplicam sem que compreendam o que estão a fazer. Em contrapartida damos ênfase às relações multiplicativas que se encontram numa relação de proporcionalidade. Essas relações envolvem dois aspectos: a co- variação de grandezas e a invariância entre grandezas:

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3  Co-variação de grandezas representadas por variáveis:  Invariância entre grandezas representadas por variáveis: O conceito de proporcionalidade directa pode ser apresentado aos alunos como uma igualdade entre duas razões d c b a  ou como uma função linear dada por ymx com m 0. O aspecto mais inovador da presente abordagem que se apoia em resultados de investigação nacional e internacional é a exploração intuitiva da proporcionalidade como função linear logo desde os primeiros anos de escolaridade que deste modo adquire precedência sobre a noção de igualdade entre razões. O raciocínio proporcional Na literatura existem várias caracterizações do raciocínio proporcional. Por exemplo Lesh Post e Behr 1988 consideram o raciocínio proporcional como uma forma de raciocínio matemático que envolve o sentido de co-variação e possibilita múl- tiplas comparações requerendo a aptidão para reunir e processar mentalmente diversos conjuntos de informação relacionados com inferência e predição e envolvendo pensa- mento qualitativo e quantitativo. Pelo seu lado Lamon 2005 refere que o raciocínio proporcional está associado à capacidade de analisar relações entre grandezas o que implica compreensão da rela-

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4 ção constante entre estas invariância e a noção de que ambas variam em conjunto co- variação como nos esquemas da página anterior. Isto pressupõe que os alunos já tenham a capacidade de perceber que na equivalência entre razões há algo que muda quantidades absolutas e que ao mesmo tempo há algo que se mantém constante na mesma proporção. Na sua perspectiva uma deficiente compreensão da natureza multi- plicativa das situações proporcionais pode estar na origem de muitas das dificuldades dos alunos. Em ambos os casos a utilização do raciocínio proporcional implica muito mais do que o uso da expressão d c b a  na resolução de problemas. Mais recentemente Silvestre e Ponte 2009 sistematizando ideias de diversos autores sugerem que o raciocínio proporcional envolve três condições: i capacidade para distinguir situações que têm subjacentes relações de natureza proporcional de situações que não o têm ii compreensão da natureza multiplicativa das relações pro- porcionais e iii capacidade de resolução de vários de tipos de problemas revelando a flexibilidade mental para realizar diferentes abordagens sem ser afectado pelos dados numéricos pelo contexto pela linguagem utilizada e pela forma como os problemas são apresentados texto gráficos tabelas razões. Problemas de proporcionalidade e estratégias de resolução dos alunos Nos primeiros anos de escolaridade os problemas que envolvem relações de proporcionalidade directa podem ser agrupados do seguinte modo:  Problemas de valor omisso em que são dados três dos valores que com- põem uma proporção e é pedido o quarto por exemplo as questões 2.1 a 2.5 da Tarefa “A magia da tabela”  Problemas de comparação em que são dadas duas razões e pede-se para indicar qual é maior menor ou se são iguais por exemplo a questão da Tarefa “Aluguer de bicicletas”  Problemas de conversão entre representações nos quais a partir dos dados representados num determinado sistema se pede a sua representa- ção noutro sistema mantendo a mesma relação entre si por exemplo a questão 1.2 da Tarefa “As pilhas”.

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5 Vários estudos identificam e caracterizam as estratégias usadas pelos alunos com idades entre 11 a 16 anos para resolver estes problemas. Note-se que estas estra- tégias decorrem das relações multiplicativas apresentadas mais atrás:  Razão unitária também conhecida por “quanto para um” identificada como a estratégia mais intuitiva atendendo ao facto dos alunos a usarem desde os primeiros anos de escolaridade cálculo de razões unitárias em problemas de divisão e cálculo de múltiplos da razões unitárias em pro- blemas de multiplicação  Factor de mudança ou factor escalar Hart 1983 conhecida por “tantas vezes como” estratégia que está condicionada a aspectos numéricos dos problemas mas que está presente no reportório das crianças  Comparação das razões associada a problemas de comparação que permite comparar as razões unitárias através de duas divisões  Algoritmo do produto cruzado do qual uma versão é a conhecida “regra de três simples” que embora eficiente é um processo mecânico despro- vido de significado no contexto dos problemas. Post Behr e Lesh 1988 identificam ainda a estratégia da interpretação gráfica em que se usam gráficos para identificar razões equivalentes ou para identificar um valor desconhecido num problema de valor omisso. Uma outra estratégia é a composi- ção/decomposição building-up/building-down no dizer de Hart 1984 que não está confinada à utilização de raciocínios multiplicativos. Pelo seu lado Lamon 1994 classifica as estratégias de raciocínio como “den- tro” escalar e “entre” variáveis funcional que relaciona com as estruturas multiplica- tivas. Assim o raciocínio escalar ocorre quando se realizam transformações “dentro” da mesma variável e o raciocínio funcional ocorre quando se estabelecem relações “entre” duas variáveis diferentes. Segundo esta investigadora a distinção entre estes dois tipos de relação é importante pois os processos cognitivos envolvidos são diferentes. Objectivos de aprendizagem do Programa de Matemática De acordo com o Programa de Matemática para o Ensino Básico ME 2007 ao longo do 1.º e do 2.º ciclo os alunos desenvolvem o seu pensamento algébrico isto é desenvolvem ideias algébricas sem que o foco esteja no uso da linguagem algébrica formal. Assim no 1.º ciclo começam por investigar sequências numéricas e padrões geométricos e explorar diversos tipos de relações. No 2.º ciclo aprofundam este trabalho

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6 com a exploração de regularidades a determinação dos termos através da lei de forma- ção da sequência e a determinação da lei de formação da sequência através da análise da relação existente entre os seus termos. Relativamente à proporcionalidade directa o trabalho feito no 1.º ciclo com regularidades estruturas multiplicativas e números racionais permite no 2.º ciclo um estudo aprofundado da noção de proporcionalidade explorando situações que envolvam esta noção. Este trabalho dos alunos é essencial para que atinjam os objectivos gerais de aprendizagem previstos para a Álgebra do 2.º ciclo:  Ser capazes de explorar investigar regularidades  Compreender a noção de proporcionalidade directa e usar o raciocínio proporcional  Ser capazes de resolver problemas raciocinar e comunicar recorrendo a representações simbólicas. Por outro lado todo o trabalho realizado deve também visar o desenvolvimento das capacidades transversais:  Resolver problemas em contextos matemáticos e não matemáticos adap- tando concebendo e pondo em prática estratégias variadas e discutindo as soluções encontradas e os processos utilizados  Raciocinar matematicamente formulando e testando conjecturas e gene- ralizações e desenvolvendo e avaliando argumentos matemáticos relati- vos a resultados processos e ideias matemáticos  Comunicar oralmente e por escrito recorrendo à linguagem natural e à linguagem matemática interpretando expressando e discutindo resulta- dos processos e ideias matemáticos. Sugestões didácticas Stanley McGowan e Hull 2003 argumentam que a abordagem tradicional de ensino para o desenvolvimento do raciocínio proporcional em que os alunos “resolvem problemas de proporções” está ultrapassada e deve ser substituída por outra em que os alunos trabalham em tarefas que os ajudam a descobrir as ideias essenciais da propor- cionalidade. Assim torna-se necessária uma outra abordagem ao ensino deste conceito que ultrapasse a limitação do trabalho a partir de proporções marcado pelo formalismo do uso de representações e regras cujo significado não se chega a compreender. É

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7 necessário também ultrapassar o treino de procedimentos e a verbalização de regras sem qualquer significado Greer 1997. Para isso uma abordagem algébrica da proporcionalidade pode dar continuidade ao trabalho iniciado nos primeiros anos de escolaridade mobilizando tópicos matemáti- cos em que a proporcionalidade directa está presente explorando a natureza multiplica- tiva da relação proporcional e ampliando as experiências dos alunos nos diferentes tipos de problemas que envolvem esta relação. Isto é o ensino do tópico proporcionalidade directa pode ser desenvolvido com recurso ao trabalho com regularidades e relações pois este representa um caminho para desenvolver as capacidades que envolvem o raciocínio proporcional em particular o sentido de co-variação e de invariância ao mesmo tempo que contribui para o desenvolvimento da capacidade de generalização. Cabe ao professor escolher as tarefas matemáticas a propor aos seus alunos ten- do em conta que a capacidade de raciocinar proporcionalmente influencia a aprendiza- gem de outros conceitos matemáticos estudados no ensino básico por exemplo escala fracção percentagem e medida e a aprendizagem de temas matemáticos do ensino secundário por exemplo trigonometria sendo ainda fundamental na aprendizagem de disciplinas como Física Química e Geografia. Assim o professor deve seleccionar tare- fas que permitam aos alunos analisar através da exploração de regularidades numéricas situações que envolvem proporcionalidade directa e outras situações em que tal relação não existe. Este trabalho não deve ser menosprezado pois existe uma forte tendência para os alunos utilizarem estratégias proporcionais em problemas onde não existe uma relação de proporcionalidade directa. As tarefas aqui apresentadas têm por base o pressuposto que a experiência matemática dos alunos deve contemplar situações que pela sua natureza possam dar sentido à aprendizagem de conceitos a partir de vivências do quotidiano ou envolvendo a utilização de materiais manipuláveis levando-os assim a identificar e compreender as relações de proporcionalidade directa. O quadro seguinte sugere as tarefas que podem ser mais apropriadas para cada ano de escolaridade os temas e tópicos do programa com que mais directamente se relacionam e os objectivos específicos que permitem atingir. Os professores devem naturalmente adaptar as tarefas aqui propostas às carac- terísticas da sua turma acrescentando ou retirando questões alterando o enunciado sempre que considerem pertinente.

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8 Ano de escolaridade Tarefa Temas/tópicos do pro- grama Objectivos específicos 1.º / 2.º Colares  Números e operações - Regularidades sequências - Números racionais não negativos - Continuar uma sequência segundo uma lei de formação. - Compreender e utilizar os operadores dobro triplo quádruplo e metade e quarta parte. 3.º / 4.º Os quadrados 1.ª e 2.ª parte  Geometria e Medida - Perímetro área e volume  Números e operações - Regularidades sequências - Calcular o perímetro e a área de polígonos. - Investigar regularidades em sequências. - Compreender a relações de co-variância e de invariância entre o comprimento do lado e o perímetro do quadrado. 5.º/ 6.º A magia da tabela  Números e Operações  Álgebra - Proporcionalidade directa - Investigar regularidades multiplicativas em tabelas. - Resolver problemas utilizando a tabela. As pilhas  Álgebra - Proporcionalidade directa - Utilizar as regularidades multiplicativas co-variância e invariância para identificar uma relação de proporcionalidade directa. - Analisar o aspecto gráfico da relação de proporcionalidade directa. Existe propor- cionalidade directa - Distinguir situações em que não existe proporcionalidade de situações em que existe. - Analisar os dados em diferentes represen- tações. Aluguer de bicicletas - Distinguir situações em que não existe proporcionalidade directa de situações em que existe. - Analisar os dados em tabelas. Escalas - Utilizar as relações de co-variação e de invariância na resolução de problemas sobre escalas em contexto realista.   Nestas tarefas são dadas indicações sobre as relações multiplicativas que devem constituir um foco de trabalho na aula nos primeiros anos de escolaridade permitindo que os alunos gradualmente reconheçam regularidades e as utilizem com compreensão e eficiência nomeadamente resolvendo problemas envolvendo relações de proporciona- lidade. De facto o desenvolvimento do raciocínio proporcional nos alunos depende em grande parte do seu conhecimento sobre relações multiplicativas associado à sua com- preensão das situações descritas nos problemas propostos e à sua capacidade de mobili- zar o conhecimento intuitivo na aprendizagem da Matemática.

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9 O professor deve explorar o mais possível o que os alunos já sabem e capitalizar as suas estratégias informais para a resolução de problemas de forma a facilitar o desen- volvimento do raciocínio proporcional utilizando diferentes representações. A partir das discussões gerais das tarefas feitas na sala de aula devem ser introduzidos termos e for- mas de representação cada vez mais formais e estruturadas sempre que possível com o contributo dos alunos. Para explorar as suas estratégias e a sua capacidade de aplicar conhecimentos anteriores o trabalho feito na sala de aula deve ser exploratório e inves- tigativo. No entanto sempre que se considere necessário nomeadamente para consoli- dação de conhecimentos o trabalho também pode passar pela resolução de exercícios. As tarefas aqui apresentadas pressupõem a sua realização em dois momentos distintos: o trabalho autónomo dos alunos em grupo a pares ou individualmente e a discussão geral na turma. Tendo em conta que este segundo momento é fundamental para que a discussão possa ser rica e não apressada é necessário que o trabalho autóno- mo seja limitado no tempo. O momento de discussão geral permite a cada aluno reflectir sobre o próprio trabalho e confrontá-lo com trabalhos diferentes que surjam na turma. De forma a aprofundar e consolidar os conhecimentos dos alunos deve ser valorizada a capacidade de argumentação e a participação crítica. Todos devem ter oportunidade de participar mas devem ser evitadas repetições de ideias e estratégias já apresentadas ante- riormente. O aluno deve perceber que se valoriza não só a resposta correcta mas tam- bém a diversidade de estratégias e a forma de comunicação e representação utilizadas. Se as discussões decorrerem num clima de trabalho agradável e com regularidade os alunos rapidamente percebem que têm oportunidade de expor as suas estratégias e representações bem como as suas dificuldades. Percebem também que o facto de não terem concluído a tarefa no primeiro momento da aula não impede a sua participação no segundo momento. Há vantagens que quando possível a discussão seja feita na mesma aula do trabalho autónomo para que a sua resolução esteja presente na memória dos alunos. Além disso deve ter-se presente que o trabalho em cada tarefa se deve encerrar com uma breve síntese final em que são retomadas as ideias e representações fundamentais ajudando a clarificar e validar as ideias e a salientar para os alunos os aspectos importantes que importa reter.

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10 Referências Hart K. 1984. Ratio: Children’s strategies and errors. Windsor England: NFER Nel- son. Lamon S. 1994. Ratio and proportion: Cognitive foundations in unitizing and norm- ing. In G. Harel J. Confrey Eds.. The development of multiplicative reason- ing in the learning of mathematics. Albany NY: SUNY Press. Lesh R. Post T. Behr M. 1988. Proportional reasoning. In J. Hiebert M. Behr Eds. Number concepts and operations in the middle grades pp. 93-118. Res- ton VA: National Council of Teachers of Mathematics. ME 2007. Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa: ME-DGIDC. Acedi- do em 21/06/2009 de http://sitio.dgidc.min-edu.pt/matematica/Documents/ Pro- gramaMatematica.pdf Post T Behr M. Lesh R. 1988. Proportionality and the development of prealgebra understandings. In A. F. Coxford A. P. Shulte Eds. Algebraic concepts in the curriculum K-12 pp. 78-90. Reston VA: National Council of Teachers of Mathematics. Silvestre A Ponte J. 2009. Ser ou não ser uma relação proporcional: Uma expe- riência de ensino com alunos do 6.º ano. In Actas do XX Seminário de Investiga- ção em Educação Matemática CDROM. Viana do Castelo: Associação de Pro- fessores de Matemática. Stanley D. McGowan D. Hull S. H. 2003. Pitfalls of over-reliance on cross mul- tiplication as a method to find missing values. Texas Mathematics Teacher 11 9-11.

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11 1.º/2.º anos Os colares A Maria está a fazer colares para oferecer às suas amigas. Só tem contas de duas cores – brancas e azuis. Começou a construir um colar colocando duas contas azuis e uma conta branca. De seguida construiu outro colar como o representado na figura: 1. Desenha o 3.º colar: 2. Completa: Para fazer o 4.º colar a Maria usou _______________ contas azuis e _______________ contas brancas. 3. Desenha o 4.º colar. 4. Completa a tabela: Número de contas azuis Número de contas brancas 2 1 5. Quantas contas vai ter o 5.º colar Explica como pensaste.

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12 Os colares 1.º/2.º anos – Notas para o professor Aspectos gerais. A tarefa “Os colares” envolve uma sequência pictórica de cola- res com contas brancas e azuis. O primeiro colar é constituído por três contas duas azuis e uma branca dispostas segundo a sequência de cores azul azul branco. O segun- do colar tem seis contas quatro azuis e duas brancas dispostas de acordo com a sequência azul azul branco azul azul branco. Esta tarefa tem por base a ideia que o trabalho com sequências e regularidades pode ser realizado por alunos desde o 1.º ano de escolaridade com o recurso a material manipulável e estimulando a sua comunicação sobre o modo como pensam. A sequência dos colares: O objectivo global desta tarefa é envolver os alunos no trabalho com sequências colares compostos de contas de várias cores procurando que estes: 1 Identifiquem e comuniquem completar frases preencher tabelas as regularidades que encontram 2 Evidenciem as diferentes variáveis número do colar número de con- tas azuis número de contas brancas número total de contas e as suas relações e 3 Compreendam que as relações de co-variação e invariância que caracterizam a proporcionalidade directa se mantêm independente- mente do modo como se continua a sequência. Para realizar esta tarefa os alunos devem ser capazes de realizar contagens sim- ples.

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13 Questão 1. Nesta questão os alunos têm de decidir como continuar a sequência de colares: 1. Desenha o 3.º colar. A observação das figuras dos dois primeiros colares pode levar os alunos a con- tinuar a sequência de duas formas: i Acrescentando um conjunto de três contas duas contas azuis e uma branca: Nesta situação tanto o número total de contas como o número de contas azuis e o número de contas brancas cresce segundo uma progressão aritmética – uma sequência em que a diferença entre dois termos consecutivos é constante. Embora a designação “progressão aritmética” não seja ensinada aos alunos no ensino básico o professor deve ajudá-los a compreender esta regularidade: Sequência do número de contas brancas: 1 2 3 4… diferença constante 1 Sequência do número de contas azuis: 2 4 6 8… diferença constante 2 Sequência do número total de contas: 3 6 9 12… diferença constante 3 ii Duplicando o número de contas do 2.º colar e atendendo à sequência das cores: Neste caso tanto o número total de contas como o número de contas azuis e o número de contas brancas crescem segundo uma progressão geométrica. Recordemos que se chama progressão geométrica a qualquer sequência em que o quociente entre dois termos consecutivos é constante: Sequência do número de contas brancas: 1 2 4 8… quociente constante 2 Sequência do número de contas azuis: 2 4 8 16… quociente constante 2 Sequência do número total de contas: 3 6 12 24… quociente constante 2

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16 ii Duplicando o número de contas do 3.º colar e atendendo à sequência das cores: Se o questionamento do professor não tiver levado os alunos a esclarecer total- mente as suas dúvidas sobre a questão 1 é provável que continuem a surgir diversos erros. No exemplo seguinte o aluno não desenha o 4.º colar mas sim um colar com 4 contas: No caso seguinte regista-se a dificuldade em distinguir numerais cardinais e ordinais pelo que o aluno desenha quatro colares com diferentes quantidades de contas: Questão 4. Com o preenchimento da tabela os alunos podem explorar as relações de co-variação das contas azuis e brancas e ainda as relações de invariância entre variá- veis: 4. Completa a tabela: Número de contas azuis Número de contas brancas 2 1

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17 A maioria dos alunos preenche a tabela tendo por base as regularidades aditivas das peças azuis e brancas. No entanto alguns alunos podem identificar as relações mul- tiplicativas de dobro triplo quádruplo e quíntuplo dentro das variáveis e ainda as rela- ções dobro ou metade entre variáveis. i Acrescentando um conjunto de três contas duas contas azuis e uma branca: Durante a discussão em grande grupo e para além de explorar as relações aditi- vas dentro de cada variável o professor deve solicitar aos alunos que investiguem outras regularidades. Por exemplo:  Co-variação das variáveis  Invariância entre variáveis

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18 ii Duplicando o número de contas do colar anterior e atendendo à sequência das cores: Devem ser exploradas as relações na tabela que representa a progressão aritméti- ca e também as relações da tabela que representa a progressão geométrica para mostrar que embora os valores numéricos envolvidos nas duas sequências sejam diferentes ambas são relações proporcionais. A exploração da tabela pode mostrar aos alunos com maior dificuldade durante a discussão de sala de aula o diferente comportamento das duas sequências. O trabalho algo moroso que envolve a exploração de regularidades e neste caso a semelhança de regularidades em duas sequências diferentes é fundamental para desenvolver nos alunos a capacidade de generalização. Paralelamente esta exploração revela as regularidades de cunho multiplicativo que envolve as relações de proporciona- lidade directa tendo em conta que do seu conhecimento depende a resolução com cor- recção de inúmeros problemas do dia-a-dia bem como o desenvolvimento do raciocínio proporcional dos alunos. Questão 5. A facilidade ou dificuldade dos alunos em responder a esta questão depende do modo como exploraram a tabela e da sua capacidade de generalização.

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20 3.º e 4.º anos Os quadrados 1.ª parte Observa a sequência: 1. Desenha a 4.ª figura da sequência e explica como pensaste: 2. Completa a tabela tendo em conta que o lado do 1.º quadrado corresponde à unidade de medida de comprimento: Medida do lado do quadrado Perímetro do quadrado 3. Qual é o perímetro de um quadrado cujo lado são 20 unidades Explica como pen- saste. 4. Escreve uma frase que relacione a medida do lado de um quadrado qualquer com o seu perímetro. 5. Determina a medida do lado de um quadrado que tem de perímetro 40. Explica como pensaste.

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21 3.º/4.º ano Os quadrados 2.ª parte Observa a sequência: 1. Completa a tabela tendo em conta que a área do 1.º quadrado corresponde à unida- de de medida de área: Medida do lado do quadrado Área do quadrado 2. Escreve uma frase que relacione a medida do lado de um quadrado qualquer com a sua área. 3. Qual é a área de um quadrado cujo lado são 9 unidades de medida Explica como pensaste. 4. Determina a medida do lado de um quadrado que tem de área 121. Explica como pensaste.

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22 Os quadrados 3.º e 4.º anos 1.ª e 2ª parte – Notas para o professor O trabalho com sequências pictóricas envolve a exploração de regularidades e o estabelecimento de generalizações constituindo um contexto para explorar relações de proporcionalidade directa. A tarefa “Os quadrados” envolve uma sequência pictórica em que cada figura quadrado é constituída por um ou mais quadrados pequenos. A tarefa tem duas partes a primeira envolvendo a noção de perímetro e a segunda a noção de área. Deste modo ao estabelecer conexões com outros tópicos matemáticos a tarefa procura contribuir para uma gestão flexível do currículo. Observa a sequência: O objectivo global da tarefa é evidenciar a relação proporcional que existe entre o comprimento do lado do quadrado e o seu perímetro através do reconhecimento de regularidades entre valores numéricos co-variação do comprimento do lado e o períme- tro invariância da razão entre perímetro e o comprimento do lado que neste caso cor- responde ao número de lados da figura. Paralelamente pretende que os alunos com- preendam que a relação entre o comprimento do lado do quadrado e a sua área não é de proporcionalidade directa. As regularidades podem ser exploradas deixando os alunos fazer generalizações envolvendo variáveis sem se usar o termo “proporcionalidade directa” por se tratar de alunos do 3º ou 4.º ano de escolaridade. 1.ª Parte Pretende-se que os alunos: i explorem o perímetro das figuras em particular a relação entre o comprimento do lado e o perímetro do quadrado ii descrevam em lin- guagem natural e simbolicamente uma regra ou função que permite determinar o perí- metro de qualquer quadrado e iii utilizem essa regra ou função para determinar o comprimento do lado ou o perímetro de um outro quadrado qualquer.

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23 Para realizar esta tarefa os alunos devem ter alguma experiência de trabalho com sequências e na descrição das suas regras de formação em linguagem natural. Devem ainda conhecer as noções de perímetro e de área podendo fazer-se uma peque- na revisão dessas noções durante a introdução da tarefa. Após o trabalho autónomo dos alunos em pares ou em pequenos grupos deve ser realizada uma discussão em grande grupo com foco nas relações numéricas partindo das explorações dos alunos. Questão 1. A primeira questão pede aos alunos que continuem a sequência de crescimento e expliquem como pensaram: 1. Desenha a 4.ª figura da sequência e explica como pensaste. Através da observação das figuras da sequência espera-se que os alunos reco- nheçam que todas as figuras são quadrados constituídos por quadrados mais pequenos iguais ao quadrado da primeira figura. Espera-se também que os alunos reconheçam que cada figura é obtida pelo acréscimo de uma unidade de medida de comprimento a cada um dos lados da figura anterior. Os alunos podem seguir diferentes processos de cons- trução como o exemplo da figura seguinte: Não sendo previsível que os alunos revelem dificuldade na construção da 4.ª figura é importante que o professor peça aos alunos para explicarem como pensaram. É necessário assegurar rigor nos registos escritos dos alunos fazendo a sua correcção de modo a que estes traduzam efectivamente o modo como cada aluno pensou uma vez que como se pode verificar no exemplo seguinte os registos dos alunos são frequente- mente incompletos e precisam do feedback do professor.

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resul orige ponív de um parec horiz medi profe O profes ltam de falt em de erros vel. No exe ma fila hor ce não recon zontal tem d Questão ida do lado 2. Comp ponde Me A maior essor deve a ssor também ta de exper está o fact emplo segui rizontal lin nhecer que de ser igual Erro 2. Pretend dos quadrad pleta a tabel e à unidade edida do lad ia dos alun averiguar o Registo m deve fica riência dos to dos aluno inte o aluno nha para c todas as fig ao número o comum: ut de-se que o dos da sequ la tendo em de medida do do quadra os não reve modo com 24 o escrito pou ar atento a alunos nest os utilizarem o parece co onstruir a q guras são qu de filas na v tilização inco os alunos c uência e o re m conta que de comprim ado ela dificulda o o fazem uco claro alguns erro te tipo de t m apenas um mpreender quarta figur uadrados pe vertical co orrecta dos d completem espectivo pe o lado do 1 mento: Perímetr ade em pree recolhendo os que poss tarefas. Com ma parte da a necessida ra a partir elo que o nú lunas: ados uma tabela erímetro. .º quadrado ro do quadra encher a tab notas sobre sam surgir e m frequênci a informação ade de acrés da terceira úmero de fil a que envo o corres- ado bela. Contu e as suas es e que ia na o dis- scimo mas las na olve a udo o straté-

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25 gias de modo a enriquecer a discussão em grande grupo. Esta deve começar pela conta- gem mais elementar muitos alunos ainda fazem contagens unidade a unidade passan- do pelas estratégias aditivas até às estratégias multiplicativas evidenciando o refina- mento das estratégias. De salientar que por vezes os alunos utilizam folhas de rascunho onde registam as suas estratégias e colocam apenas os valores numéricos na tabela. Por outro lado a identificação da regra geral de formação depende da capacidade do aluno em encontrar relações entre os valores numéricos. Estratégia de contagem elementar: unidade a unidade Estratégia aditiva Estratégia multiplicativa Se os alunos utilizarem a estratégia de contagem unidade a unidade sem identi- ficar regularidades podem sentir a necessidade de desenhar o 5.º quadrado da sequência para concluir o preenchimento da tabela. Observar e compreender a natureza das estratégias dos alunos é fundamental para conhecer o seu desenvolvimento matemático. Nesta situação em particular por se

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26 tratar de uma relação de proporcionalidade directa o professor deve explorar com os alunos as relações multiplicativas dentro e entre variáveis. Relação proporcional: co-variação das variáveis Relação proporcional: co-variação das variáveis Relação proporcional: invariância entre variáveis

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27 Relação proporcional: invariância entre variáveis Quando os alunos investigam as relações entre números põem em evidência regularidades numéricas que facilitam o enunciar de uma regra geral de formação gene- ralização. Questão 3. Nesta questão pede-se o perímetro de uma figura distante: 3. Qual é o perímetro de um quadrado cujo lado são 20 unidades Explica como pensaste. Se os alunos estiverem familiarizados com o uso da tabela e utilizarem as rela- ções numéricas que reconhecem nesta situação é possível que respondam utilizando as relações entre e dentro das variáveis. Caso contrário o professor deve evidenciar tais relações ajudando os alunos a encontrar o factor de mudança estratégia funcional entre variáveis e o factor escalar estratégia escalar dentro das variáveis: Nestes anos de escolaridade os alunos tendem a optar por uma estratégia aditiva ou multiplicativa em vez de usar uma estratégia pictórica.

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pens contr e con va d No e à rela zar c resol ção d Tal como am sem ind rariar esta s nsiderando q devem ser re Os aluno exemplo seg ação entre o com facilida Outro er lver problem dada no enu Estratégia a o nas duas dicar o sign situação ped que uma rel eforçadas as os manifesta guinte o alu o comprime ade regras q rro frequen mas. No exe unciado: aditiva: adiçã Estrat respostas a nificado dos dindo-lhes p lação de pro s estratégias am com fre uno recorre ento do lado ue memoriz E nte resulta d emplo segui 28 ão sucessiva tégia multipl anteriores é s valores nu para melhor oporcionali s multiplica equência con à escrita de o e o períme zam mas nã Erro frequent de um dese inte o aluno do comprim icativa é frequente o uméricos qu rarem as sua dade envolv ativas. nfusão nas e uma regra etro. De fact ão compreen te envolvimen o não utiliza ento do lado os alunos e ue apresenta as respostas ve uma rela noções de á a geral que to os aluno ndem. nto frágil da a adequadam o escreverem am. É neces s. Por outro ação multipl área e perím não corresp os tendem a a capacidad mente a info como ssário lado licati- metro. ponde utili- de de orma-

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a me do qu explo estra Neste ca edida do lad Questão uadrado com 4. Escre qualqu Espera-s orada atravé atégia multip Erro aso o aluno do através de 4. Nesta q m o seu per ve uma fras uer com o s se que par és da tabela plicativa. Respo Resposta c frequente: u assume o v e uma estrat questão pede ímetro. se que relac seu perímetr a responde a embora p sta correcta b correcta base 29 utilização inc valor 20 com tégia pictór e-se aos alu ione a medi ro. er os aluno possam ter s baseada num eada numa e correcta dos d mo a medid ica. unos para r ida do lado os utilizem seguido um ma estratégia stratégia mu dados da do perím elacionar a de um quad a relação ma estratégia aditiva ltiplicativa metro e deter medida do drado entre variá a aditiva ou rmina o lado áveis u uma

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anter 5. pode entre explo te po porci cussã do la Questão riores os alu Determina como pen Neste ca em dividir o e variáveis – orada pelo p Outra est ois o aluno ionalidade d Esta estr ão em gran ado e períme 5. Na últim unos utilize a a medida nsaste. aso para e o valor do p – que caso professor. E tratégia mu o considera directa: ratégia deve nde grupo m etro: ma questão em novamen do lado de u encontrar o perímetro p não seja ap Eis um exem ultiplicativa a relação d e ser explora mostrando q 30 pretende-se nte a relação um quadrad comprime por 4 núme presentado mplo de uma pode ser ut de co-variaç ada através que existe u e que à sem o entre vari do que tem d ento do lad ero de lados como estra a estratégia tilizada com ção que cara do recurso uma co-var melhança da áveis explo de perímetr do do quad s – utilizan atégia pelos multiplicati mo mostra a acteriza as a uma tabe riação das v as duas que rada na tabe ro 40. Expli drado os a ndo uma re alunos dev iva: resposta se relações de la durante variáveis m estões ela. ca alunos elação ve ser eguin- e pro- a dis- medida

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exem facili trar o de re dos d rou i 2.ª P ção e natur quer lado É prováv mplo seguin itada por o v Na respo o número qu À semelh esolução de dados do pr ncorrectam E Parte Pretende entre o com ral e simbol quadrado ou a área d vel que os nte mostra o valor numé osta seguint ue multiplic hança da qu problemas roblema. Co mente o valor Erro frequent e-se que os mprimento d licamente u e iii utiliz e um outro alunos apre o uso de um rico ser um te o aluno u cado por 4 d uestão 3 um por parte d omo se pod r 40 como s te: interpreta alunos: i e do lado e a uma regra o zem essa re quadrado q 31 esentem ou ma estratégi m número pe usa uma est dá 40: m erro que p dos alunos de verificar sendo a med ação incorrec explorem a área do qu ou função q egra ou funç qualquer. utras estraté ia aditiva e equeno e mú tratégia mu pode surgir que se refle na resposta dida do lado cta dos dados área das fi uadrado ii que permite ção para de égias menos envolvendo últiplo de 10 ultiplicativa deve-se à f ecte na utili a seguinte o o do quadra s do problem guras em p descrevam e determinar terminar o s sofisticad tentativa e 0: tentando en frágil capac ização incor o aluno con do: ma. particular a m em lingu r a área de comprimen as. O erro ncon- cidade rrecta nside- a rela- uagem qual- nto do

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32 Questão 1. Na primeira questão é pedido o preenchimento de uma tabela para relacionar o comprimento do lado de um quadrado com a sua área: 1. Completa a tabela tendo em conta que a área do 1.º quadrado corres- ponde à unidade de medida de área: Medida do lado do quadrado Área do quadrado Como na sequência pictórica apresentada no início da tarefa só existem 3 qua- drados desenhados o aluno deve arranjar uma estratégia para determinar a área dos quadrados com 4 e 5 unidades de medida de comprimento. Considerando que a primeira parte da tarefa foi corrigida antes de os alunos rea- lizarem esta parte da tarefa não devem repetir-se erros de interpretação ou de utilização parcial dos dados. Mais uma vez o professor deve acompanhar o modo como os alunos determina- ram a área dos quadrados e se investigaram regularidades na sequência tendo em consi- deração as sugestões apresentadas para a primeira parte da tarefa. Por exemplo os alunos podem perceber que a área dos quadrados é igual ao produto do número de coluna pelo número de linhas:

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33 Os alunos que revelem dificuldades em utilizar estruturas multiplicativas podem utilizar uma estratégia aditiva. O professor pode então mostrar a complexidade do cál- culo quando se utiliza esta estratégia em quadrados grandes por exemplo 173 linhas. Por outro lado durante a discussão em grande grupo e caso nenhum aluno o faça por comparação com a relação entre o comprimento do lado do quadrado e o perímetro deve o professor evidenciar que não existe uma relação de co-variação entre as variáveis nem uma relação de invariância entre as variáveis não se tratando portanto de uma relação de proporcionalidade directa 1 . A literatura sobre o desenvolvimento do raciocínio proporcional refere que os alunos têm tendência para assumir que todas as relações são proporcionais utilizando de forma errónea estratégias multiplicativas proporcionais em situações em que estas não são aplicáveis. É também importante que os alunos reconheçam a importância de explorar regularidades e de compreender o seu significado no contexto da tarefa. Questão 2. A segunda questão pretende que os alunos comuniquem em lingua- gem natural as regularidades que encontraram aquando do preenchimento da tabela apresentada na primeira questão: 2. Escreve uma frase que relacione a medida do lado de um quadrado qualquer com a sua área.                                                               1 Na verdade não temos aqui uma função linear do tipo ymx em que m 0 mas sim a função quadráti- ca yx 2 .

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escri como ident deter quad área utiliz even De um m ita à medid o se pode ve Questão tificada na rminar a áre 3. Qual Explic Os aluno drado e justi Questão é 121 unida zam uma es ntualmente p modo geral da que o pr erificar na r 3. Para res questão 1 ea de um qu é a área de ca como pe os tendem a ificar este pr 4. Nesta qu ades de área stratégia se partindo de os alunos rofessor vai resposta seg sponder a e traduzida e uadrado cuja um quadra nsaste. a utilizar a rocedimento uestão é ped a. Como est emelhante à um valor de 34 revelam te i valorizand guinte: esta questão em linguag a medida do do cujo lado regularidad o atendendo dido o comp te alunos sã à usada na e referência endência pa do a clarez o o aluno d gem natural o comprime o são 9 unid de numérica o à generali primento do ão do 1.º cic questão an a. É o que ve ra melhorar a e rigor d deve utiliza l escrita na nto do lado dades de me a para deter zação dessa o lado de um clo e não con nterior por emos na res r a comunic das resposta ar a regular questão 2 o é 9. edida rminar a ár a regularida m quadrado nhecem rad tentativa e sposta segui cação as tal ridade para ea do ade: o cuja dicais erro inte:

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tro e e inte do qu regul parte ção d prim área. difer comu blem por i Caso os área podem E Na respo erpreta inco uadrado: O trabalh laridades nu es os aluno de mais do q mento do lad Por outro l rente nature uns nas acç mas escolare sso têm de alunos con m surgir resp Erro frequen osta seguint orrectament Erro freque ho com seq uméricas e s podem co que uma rel do e perímet lado esta ta eza nem to ções do nos es. Antes de compreend ntinuem com postas incor nte: não dist te o aluno p e os dados d ente: não dist quências per fazer gener ompreender lação entre tro e na seg arefa permit odas sendo sso quotidia e efectuar c der a relação 35 m dificuldad rrectas com tingue as no arece não d do problem tingue as noç rmite desen ralizações. que a mesm variáveis – gunda parte te evidencia o de propor ano e por is cálculos e co o entre variá des em disti mo as seguint oções de per distinguir as ma consider ções de perím nvolver nos Com esta t ma sequênc – na primeir a relação en ar que as rel rcionalidade sso frequen omeçar a re áveis. inguir as no tes: rímetro e áre s noções de ra 121 como metro e área alunos o há tarefa subd cia pode env a parte a re ntre compri lações entre e directa a ntes nos co esolver que oções de pe ea perímetro e o medida do ábito de exp dividida em volver a exp lação entre imento do l e variáveis s apesar de s ontextos dos estões os al eríme- e área o lado plorar m duas plora- com- lado e são de serem s pro- lunos

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36 5.º/6.º anos A magia da tabela 1. Observa a tabela abaixo. Investiga as regularidades existentes e explica as tuas des- cobertas. 2. Vamos verificar se a tabela é mesmo mágica. Para isso vamos usá-la na resolução de diversos problemas. Em todos eles usa a tabela para responder e explica como pen- saste. 2.1. O mealheiro do Tiago está vazio e ele começou hoje a colocar 3€ diariamente. Quanto dinheiro terá o mealheiro no sétimo dia 2.2. Todos os dias o Tiago coloca 3€ no seu mealheiro e o Miguel coloca 5€ no seu mealheiro. Quando o Tiago tiver 21 € quanto terá o Miguel no seu mea- lheiro 2.3. A Joana usou exactamente 15 latas de tinta para pintar 18 cadeiras. Quantas cadeiras se podem pintar com 20 latas de tinta 2.4. Dois bilhetes de autocarro de Lisboa para Santarém custam 16€. Quanto cus- tam 7 bilhetes 2.5. Quinze alunos pintaram 35m 2 da parede do ginásio da escola. Sabendo que cada aluno pinta a mesma área quantos metros quadrados de parede serão pin- tados no mesmo tempo por uma turma de 27 alunos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

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37 A magia da tabela 5.º/6.º anos – Notas para o Professor Ao longo da escolaridade os alunos devem desenvolver hábitos de pensamento associados ao trabalho flexível com números e à exploração e identificação de regulari- dades. “A magia da tabela 1 ” é uma tarefa que pretende continuar a desenvolver hábitos de pensamento relativos ao trabalho com números e operações bem como levar os alu- nos a utilizar os seus conhecimentos deste tópico na resolução de problemas do dia-a- dia envolvendo relações de proporcionalidade directa. Pretende-se ainda que os alunos compreendam os conceitos de razão e proporção interpretando experiências reais e as suas representações simbólicas. Pode acontecer que os alunos reconheçam que a tabela apresentada é a da multiplicação uma vez que esta é estudada no 1.º ciclo embora mui- to provavelmente num formato diferente. O trabalho em sala de aula pode ser desenvolvido em pares ou em grupos per- mitindo aos alunos trocar ideias e esclarecer dúvidas entre si. Caso os alunos revelem alguma resistência em utilizar a tabela na resolução das questões 2.1 2.2 e 2.4 dada a sua simplicidade preferindo utilizar estratégias aditivas ou multiplicativas o professor deve incentivar o uso da tabela para validar as respostas. Questão 1. Com a primeira questão pretende-se que os alunos investiguem regu- laridades numa tabela numérica 10x10. 1. Observa a tabela abaixo. Investiga as regularidades existentes e explica as tuas descobertas. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

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da en obtid to é núme vária refer cussã tas. I tados Com fre ntre os valo do pela adiç provável q eros de 1 at À medid as regularid re a existênc Após os ão em grand Isso pode co s posteriorm quência os ores numéric ção de uma que rapidam té 10: da que os al dades numa cia de um ei alunos tere de grupo n ontribuir pa mente. alunos foc cos da tabel unidade ao mente os alu lunos se env mesma sit ixo de sime em realizado na qual os a ara a utilizaç 38 am-se inicia la. Por exem número im unos reconh volvem na i tuação tal tria diagon o a primeira alunos pode ção da tabel almente nas mplo na lin mediatament heçam as tab investigação como most nal que pass a questão o em mostrar la na resolu s situações nha um o nú te à sua esqu buadas ou o o são capaz tra a respos sa nos quadr o professor p e discutir a ução dos pro de adição re úmero à dir uerda. No e os múltiplo zes de ident sta anterior rados perfei pode fazer as suas desc oblemas apr epeti- reita é entan- os dos tificar r que itos. a dis- cober- resen-

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39 O professor deve ajudar os alunos a identificar outras regularidades caso estas não surjam naturalmente em respostas como esta: “Os números da coluna 6 são o triplo dos números da coluna 2. E os da coluna 2 são a terça parte dos da coluna 6”.   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 O professor pode também sugerir a análise de regularidades em partes mais pequenas da tabela.   Co-variação dentro das colunas Invariância entre colunas Identidade fundamental das proporções 1x4 2x2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

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são f multi ment ções multi valor za um Muitos d facilmente r iplicativas. to é importa Questão 2.1. O me riamen Após ide numéricas Var Que pod iplicativa: É prováv r numérico ma estratégi dos problem resolvidos q Assim tod ante. 2. A questã ealheiro do nte. Quanto entificarem estudadas e riáveis núm derá ser tra vel que os a da resposta ia multiplic mas que são quando os do o trabalh ão 2.1. apre Tiago está v o dinheiro te as variávei e responder mero de dias i aduzido na alunos regis a é o que ac ativa: 40 o colocados alunos têm ho e tempo esenta uma s vazio e ele erá o mealhe is do proble sem efectua identificado a seguinte re stem os cál contece no e aos alunos um bom c dedicado a situação pro começou ho eiro no sétim ema os alu ar qualquer a azul dinhe esposta que culos e esc exemplo seg s neste ano conheciment a desenvolv oblemática r oje a coloca mo dia unos podem cálculo. eiro identifica e representa revam com guinte em q de escolari to das estru ver este con realista: ar 3 € dia- m utilizar as ado a verde a uma estra mo encontrar que o aluno idade uturas nheci- rela- atégia ram o utili-

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adiçã semp realiz utiliz reza dame Var Os aluno ão sucessiva Dada a i pre que es zado trabalh zá-las na res O proble dinheiro d 2.2. Todo 5 € Mig Após ide ente. riáveis dinh os com dif a: importância stes revelar ho no sentid solução de p ema apresen o Tiago e d os os dias o no seu me guel no seu m entificarem heiro do Tiag ficuldade n a do raciocí rem tendên do de os lev problemas. ntado na qu dinheiro do M o Tiago colo ealheiro. Q mealheiro as variáve go identificad 41 nas estrutura ínio proporc ncia para u var a compr uestão 2.2 e Miguel. oca 3 € no s Quando o T eis do probl do a verde d as multiplic cional no de utilizar estr reender as e envolve dua seu mealhei Tiago tiver lema os alu dinheiro do M cativas tend esenvolvim ratégias ad estruturas m as variáveis iro e o Mig 21 € quan unos podem Miguel identi dem a utili mento dos al itivas dev multiplicativa da mesma guel coloca nto terá o m responder ficado a lara izar a lunos e ser as e a natu- rapi- anja

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42 Uma possível resposta é a seguinte que representa uma estratégia multiplicativa associada à tabela: Os alunos também podem optar por utilizar as linhas associadas às variáveis dinheiro como se pode ver na resposta seguinte que traduz outra estratégia associada à tabela: O problema seguinte difere dos anteriores por envolver números ligeiramente maiores e apresentar uma relação não unitária a razão de 15:18: 2.3. A Joana usou exactamente 15 latas de tinta para pintar 18 cadeiras. Quantas cadeiras pode pintar com 20 latas de tinta Os alunos têm de identificar na tabela um terno que envolva os valores numéri- cos do problema: Variáveis latas de tinta identificado a rosa cadeiras identificado a azul À medida que os alunos vão reconhecendo as regularidades indicam na sua res- posta escrita o modo como encontraram a resposta ao problema. Eis um exemplo de uma estratégia multiplicativa:

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prop 24”. sivam va m numé e ele segui uma proce entre O profes orções asso Nas resp mente a tabe 2.4. Dois Quant Por exem mostra como éricos das c De referi e baliza o s inte e apes estratégia edimentos d e variáveis. ssor pode e ociando a e postas à que ela em vez d s bilhetes d to custam 7 mplo na re o pensa col colunas: ir que os alu seu trabalho sar do trabal multiplica de cálculo. D ntão iniciar expressões d estão 2.4 os de escrever de autocarro bilhetes sposta segu ocando etiq unos contin o de forma lho desenvo ativa utiliz De facto a 43 r o uso de u do tipo “15 alunos reve em o modo o de Lisbo uinte o alun quetas para nuam a fazer a a assegura olvido nas q za uma ra razão unitá uma lingua está para 2 elam uma te como enco oa para San no usando comunicar r uso do seu ar uma resp questões an zão interm ária facilita gem associ 20 assim co endência pa ontram o val ntarém cust uma estraté o que signi u conhecim posta corre nteriores o a média razã a compreen ada à razão omo 18 está ara utilizar e lor omisso. tam 16 €. égia multipl ificam os va mento matem cta. Na res aluno que s ão unitária nsão das rel o e às á para exclu- licati- alores mático sposta segue nos ações

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com uma é apr de nu parec na di Durante os alunos a delas. A questã resentada em umeral deci 2.5.Q S d d Nas resp cem apreend Alguns a isposição ho a exploraç as várias rep ão 2.5. tamb m linguagem imal. Quinze alun Sabendo qu drados de p de 27 alunos postas segu der efectiva alunos reve orizontal es ção da ques presentaçõe bém envolv m natural en nos pintaram e cada alun arede serão s uintes os a amente a “m lam flexibil squema e n 44 stão em gra es utilizadas ve duas variá nquanto as m 35 m 2 d no pinta a m o pintados n alunos ao magia” da ta lidade em e na disposiçã ande grupo s e em part áveis difere outras duas da parede d mesma área no mesmo t utilizarem abela na reso estabelecer ão vertical o o profess ticular a ef entes e uma s são aprese do ginásio quantos m tempo por u estratégias olução do p uma relação tabela: or pode an ficiência de das quantid entadas na f da escola. metros qua- uma turma multiplica problema. o entre vari nalisar e cada dades forma ativas iáveis

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45 O trabalho com foco na investigação e exploração de relações multiplicativas é fundamental para que o aluno compreenda as relações proporcionais desenvolva flexibilidade na utilização dos seus conhecimentos tabuada múltiplos divisores razão unitária estabeleça conexões entre esses conhecimentos e os utilize na resolução de situações problemáticas.

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1. A 1. 1. 1. A tabela rep 1. És capa proporc gens A 2. Comple 3. Será po embala Número de embalagen 5 10 15 20 presenta a re az de utiliza cionalidade Apresenta d eta o gráfico ossível deter agens Justi e s Nú de elação entre ar a informa na relação duas resoluç o utilizando rminar atra fica a tua re úmero pilhas 20 40 60 80 46 As pilhas e o número ação existen entre o núm ções diferent o os dados d avés do gráf esposta. s de embalag nte na tabela mero de pilh tes e explic disponíveis fico o núme gens e o núm a para determ has e o núm a o teu racio na tabela. ero de pilha 5.º/6.º mero de pilh minar se ex mero de emb ocínio. as que há em º anos has. xiste ala- m 25

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47 As pilhas 5.º/6.º anos – Notas do Professor Muitos problemas apresentados aos alunos envolvem contextos realistas e rela- ções de proporcionalidade directa. Contudo e apesar de muitos alunos conseguirem desenvolver raciocínios proporcionais baseados no seu conhecimento intuitivo nem sempre revelam compreender o conceito de proporcionalidade directa. Considerando que para a faixa etária dos alunos do 2.º ciclo descrever um exemplo evidenciando as regularidades de co-variação dentro das variáveis e a invariância entre variáveis consti- tui uma explicação aceitável esta tarefa é um exemplo do que o aluno deve compreen- der sobre uma relação de proporcionalidade directa. Com esta tarefa pretende-se por um lado que os alunos aprofundem o seu conhecimento sobre as relações de proporcio- nalidade directa continuando o desenvolvimento de hábitos de pensamento na procura de regularidades e do seu significado. Por outro lado pretende-se que gradualmente aprendam a utilizar flexivelmente diferentes representações tabela gráfico. Questão 1. Os alunos cuja experiência matemática não inclua tarefas de explora- ção podem revelar alguma dificuldade em compreender a primeira questão pois é pedi- do que averigúem se existe proporcionalidade directa na relação entre o número de pilhas e o número de embalagens. 1.1. És capaz de utilizar a informação existente na tabela para determinar se exis- te proporcionalidade na relação entre o número de pilhas e o número de embalagens Apresenta duas resoluções diferentes e explica o teu raciocínio. Para responder a esta questão espera-se que os alunos investiguem as relações de invariância entre variáveis também conhecida por relação funcional como mostram as seguintes respostas com representações menos ou mais elaboradas. No exemplo abaixo o aluno utiliza uma estratégia funcional sem ter mostrado como determinou a constante:

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aluno const duas lagen difer de pi quoc lagem igual Uma estr o tenha util tante” para constantes Os aluno ns indicand rente confor ilhas e o nú ciente entre m por cada No exem ldade entre ratégia mai izado a razã a averiguar de proporc os efectuam do-os de aco rme a estrut úmero de em o número d pilha. mplo seguin razões sem s elaborada ão unitária r a relação ionalidade 4 m o quocient ordo com a tura adoptad mbalagens o de pilhas e o te outro alu recorrer à c 48 a é a do exem 4 pilhas:1 de proporc 4 e 025: te entre o n a estrutura d da. Assim a obtêm-se 4 o número d uno resolve constante de mplo seguin embalagem cionalidade número de p da tabela. O ao efectuar pilhas por e e embalage o mesmo p e proporcio nte em que m que desig . Este alun pilhas e o n O significad o quociente embalagem ens obtém-s roblema est nalidade: é provável gna por “nú no identifico número de e do da consta e entre o nú se se efect se 025 da e tabelecendo que o úmero ou as emba- ante é úmero tuar o emba- o uma

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tamb fesso ção m ciona tabel toma Outro tip bém conheci Alguns a or deve cham Tendo em multiplicativ ais. Na quest la num gráf ada de decis po de estraté idas por est alunos pode mar a atençã m conta qu va as estrat tão 1.2. pre fico de pont são sobre a m égias envolv tratégias esc em utilizar ão no senti ue o conceit tégias aditiv etende-se qu tos. Uma di marcação d 49 ve as relaçõ calares com também es ido de evolu to de propor vas não são ue os alunos ificuldade q da escala nos ões de co-va mo no seguin tratégias ad uírem para e rcionalidad considerad s represente que pode su s dois eixos ariação dent nte exemplo ditivas para estratégias m e directa en das como es em a inform urgir está re s. tro das variá o: a as quais o multiplicativ nvolve uma tratégias pr mação conti elacionada c áveis o pro- vas. a rela- ropor- da na com a

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linha cussã nos s tênci tando 1 ponto não e gias Alguns a que une os ão em grand sobre a poss ia de propor o as suas re A questã .3. Será pos 25 emba Os aluno o 25 100 estão ainda aditivas das Outros a alunos dep s pontos e o de grupo ap sibilidade d rcionalidade spostas e ap ão 1.3 apela ssível determ alagens Jus os que comp tal como m familiariza s quais o grá alunos usam pois de mar opinam sobr pós a resolu de se conseg e directa. D presentando a à intuição m minar atrav stifica a tua preendem e mostra a res ados com es áfico está au m estratégias 50 rcarem os p re a curiosid ução da tare guir através Deve solicita o exemplos. matemática vés do gráfic resposta. e que utiliza sposta à que ste tipo de t usente: s multiplicat pontos des dade da dis efa o profes s da análise ar aos aluno a do aluno. co o númer am exclusiv estão 1.2. C tarefa algun tivas sem re senham intu posição dos ssor deve q do gráfico os que argum ro de pilhas vamente o g Contudo dad ns tendem a eferência ao uitivamente s pontos. N questionar o verificar a mentem ex que há em gráfico marc do que os a a aplicar es o gráfico: e uma a dis- s alu- exis- xplici- cam o alunos straté-

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51 Esta tarefa pode ser aplicada antes da leccionação formal da unidade de propor- cionalidade directa usualmente feita no 6.º ano de modo a explorar estes conceitos de forma informal. A tarefa tem ainda a potencialidade de os alunos utilizarem duas repre- sentações com os mesmos dados. E o professor durante a discussão em grupo alargado pode questionar os alunos sobre como podem ser traduzidas num gráfico as regularida- des numéricas que envolvem relações proporcionais.

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52 5º/6.º ano Existe proporcionalidade directa 1. Indica se cada frase é verdadeira ou falsa e explica o raciocínio que utilizaste em cada caso para responderes: 1.1.Se uma rapariga chega à escola em 10 minutos duas raparigas levam 20 minutos. 1.2. Se uma caixa de cereais custa 280€ duas caixas custam 560€. 1.3. Se um rapaz faz um modelo de carro em 2 horas pode fazer 3 modelos iguais em 6 horas. 1.4. Se o Hugo pinta o muro em 2 dias o Hugo o Tomás e um terceiro colega pin- tam o mesmo muro em 6 dias. 2. Existe uma relação de proporcionalidade entre o número de pessoas e a quantidade de água consumida durante a refeição Apresenta o teu raciocínio. Número de pessoas Quantidade de água consumida à refeição litros 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9

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53 Comprimento de um insecto cm Nº de semanas  3. Existe uma relação de proporcionalidade entre as grandezas A e B Apresenta o teu raciocínio. Grandeza A 3 4 5 6 7 Grandeza B 225 3 375 45 525 4. Existe uma relação de proporcionalidade entre o número de semanas e o compri- mento de um insecto nas primeiras 6 semanas de vida

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54 Existe proporcionalidade directa 5º/6.º ano – Notas para o professor O desenvolvimento do raciocínio proporcional envolve a capacidade de distin- guir situações em que existe proporcionalidade directa de outras situações onde tal rela- ção não existe. As respostas dos alunos revelam que eles têm significativas dificuldades neste ponto registando-se uma forte tendência para usarem estratégias proporcionais em situações que não envolvem proporcionalidade directa. O facto de os alunos reconhece- rem em situações do quotidiano a relação de proporcionalidade directa não é suficiente para compreenderem a relação multiplicativa que lhes é inerente. Por outro lado o reconhecimento das relações de co-variação e de invariância também não deve ser con- siderado como condição para identificar uma relação de proporcionalidade directa sen- do fundamental uma análise da situação problemática em causa. Com esta tarefa preten- de-se que os alunos analisem os dados numéricos e o contexto dos problemas apresen- tados em diferentes representações e identifiquem as relações de proporcionalidade directa. É uma tarefa bastante enriquecedora pois permite a mobilização do conheci- mento intuitivo dos alunos que pode ser desenvolvida em 90 minutos 45 minutos para o trabalho autónomo dos alunos e 45 minutos para discussão colectiva na turma. Questão 1. A questão 1.1. apresenta uma situação problemática em que não exis- te uma relação de proporcionalidade directa pois as variáveis – número de amigos e tempo – não dependem uma da outra. Contudo se o contexto não for considerado pelos alunos isto é se considerarem apenas o registo numérico podem afirmar erradamente que existe proporcionalidade directa. 1. Indica se cada frase é verdadeira ou falsa e explica o raciocínio que utilizas- te em cada caso para responderes: 1.1.Se uma rapariga chega à escola em 10 minutos duas raparigas levam 20 minutos. As respostas mostram que alguns alunos mobilizam o seu conhecimento intuiti- vo para responder correctamente à questão enquanto outros alunos revelam uma forte tendência para considerar a existência de proporcionalidade directa:

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Res prop uma justif gias porci sposta incorr A questã orcional ao 1. Indica utiliza 1.2. S Embora tendência ficar a respo Perante multiplicati A questã ionalidade d 1. Indica utiliza 1.3. S mo recta que con ão 1.2. apre número de a se cada f aste em cad e uma caixa os alunos para utiliza osta como s esta situaçã ivas. ão 1.3. tamb directa entre a se cada f aste em cad e um rapaz odelos igua nsidera erra cionalidade esenta um c embalagen frase é verd da caso par a de cereais reconheçam ar uma estr se pode ver ão o profes bém envolv e o tempo g frase é verd da caso par z faz um m ais em 6 hor 55 adamente a e directa ent contexto sim ns de cereais dadeira ou f ra responder custa 280€ m a relação ratégia aditi rificar na res ssor deve fo ve um conte gasto para co dadeira ou f ra responder modelo de c ras. a existência tre variáveis mples em q s. falsa e exp res: € duas caixa o de propo iva estraté sposta segui ocar os alun exto simple onstruir um falsa e exp res: carro em 2 de uma rela s que o preço plica o racio as custam 5 rcionalidad égia não pro inte: nos na utiliz es com uma m modelo e o plica o racio 2 horas pod ação de prop o é directam ocínio que 60€. de directa e oporcional zação de es a relação de o tempo. ocínio que de fazer 3 por- mente existe para straté- e pro-

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56 O professor deve estimular os alunos a utilizar de forma flexível diferentes estratégias e representações. Nos dois exemplos seguintes os alunos utilizam a mesma representação tabela e estratégias multiplicativas diferentes. Neste caso o aluno usa uma estratégia escalar de factor 3: O exemplo seguinte mostra uma estratégia funcional factor 2: Quando os alunos já aprenderam a noção de constante de proporcionalidade esta deve ser mobilizada para as respostas: A questão 1.4. envolve uma situação em que as variáveis apresentam uma rela- ção de proporcionalidade inversa: 1. Indica se cada frase é verdadeira ou falsa e explica o raciocínio que utili- zaste em cada caso para responderes: 1.4 Se o Hugo pinta o muro em 2 dias o Hugo o Tomás e um terceiro colega pintam o mesmo muro em 6 dias. Os alunos respondem correctamente quando mobilizam o seu conhecimento intuitivo não sendo previsível que reconheçam a relação de proporcionalidade directa.

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57 Alguns alunos tendem a considerar esta relação como sendo de proporcionalida- de directa como se pode verificar na resposta seguinte e respondem incorrectamente: Resposta incorrecta Durante o trabalho em grupo e no período destinado à discussão colectiva na sala de aula sempre que se detectar a dificuldade de compreensão da situação o profes- sor deve estimular o confronto das ideias dos alunos de modo a que as falsas concep- ções sejam abandonadas. Questão 2. Esta questão é diferente das anteriores porque envolve um maior volume de dados e também pela uma representação diferente. 2. Existe uma relação de proporcionalidade entre o número de pessoas e a quantidade de água consumida durante a refeição Apresenta o teu raciocínio. Número de pessoas Quantidade de água consumida à refeição litros 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9

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58 Pretende-se que os alunos apliquem o seu conhecimento sobre as regularidades numéricas que envolvem as relações de proporcionalidade directa. Tendo em conta que nos dados não se apresenta e relação unitária razão unitária entre a água consumida por uma pessoa ou o número de pessoas que consomem um litro de água é provável que os alunos utilizem a estratégia que envolve a relação entre variáveis. Como o aluno não encontra um quociente invariante conclui correctamente que não existe proporcionalidade directa. Os alunos que já tenham aprendido a identidade fundamental das proporções podem optar pela representação da razão pessoas:águal. Neste caso o aluno coloca incorrectamente o sinal igual entre as razões mas depois mostra que as razões não são iguais porque não se verifica a propriedade funda- mental das proporções. Esta resposta mostra que os alunos apresentam representações incongruentes que importa esclarecer. Questão 3. As questões 2 e 3 diferem da 1 na medida em que os dados são apre- sentados em tabelas. Na questão 3 a tabela é horizontal ao contrário da tabela da ques- tão 2 que é vertical mas o objectivo é o mesmo isto é pretende-se que os alunos apli- quem o seu conhecimento sobre as regularidades numéricas que envolvem as relações de proporcionalidade directa. A questão 3 apresenta um contexto abstracto que pode constituir alguma dificuldade para os alunos.

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aluno variá decid dúvid dos p ração não e este j 3. Existe Apres G G Talvez p os tendem a áveis. A invari dir que exist A questã da aos alun primeiros an 5. Existe o com Pretende o a sua exp existe uma já tem 3 cm e uma relaç senta o teu r Grandeza A Grandeza B por não est a desenvolv ância do qu te uma relaç ão 4 envolv nos. Esta é nos de escol e uma relaç mprimento d e-se que os periência an relação pro m de comprim ção de prop raciocínio. 3 225 ar represen ver uma est uociente co ção de prop e uma repre uma repres laridade. ção de prop de um insect alunos atra nterior por oporcional mento. 59 porcionalid 4 3 ntada qualqu tratégia que onstante de porcionalida esentação gr sentação po orcionalida to nas prime avés da obse exemplo n pois aquan dade entre a 5 6 375 4 uer relação e envolve o proporcion ade directa e ráfica e po ouco utiliza de entre o n eiras 6 sem ervação do na tarefa “A do da eclos as grandeza 6 7 45 52 unitária m cálculo do nalidade pe entre as gran r isso pode ada nas tare número de anas de vid gráfico e te As pilhas” são do insec as A e B 25 mais uma v o quociente ermite aos a ndezas A e e suscitar al efas matemá semanas e da endo em con respondam cto tempo vez os entre alunos B. guma áticas nside- m que zero

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60 No entanto os alunos revelam uma forte tendência para através da observação do gráfico responderem que existe uma relação de proporcionalidade directa porque o tempo e o tamanho do insecto variam no mesmo sentido após a eclosão deste. Exemplo de uma resposta incorrecta É provável que alguns alunos pouco à vontade na representação gráfica conver- tam os dados noutra representação. No entanto isso não é facilitado pela tabela cons- truída precisamente para focar os alunos na observação do gráfico e não na conversão dos dados entre representações. Note-se ainda que alguns alunos desta faixa etária tendem a assumir como váli- das apenas respostas onde apresentam registos numéricos e cálculos. No entanto os que revelam um conhecimento robusto sobre a relação de proporcionalidade directa podem justificar a sua inexistência através da desigualdade entre as razões por exemplo 0/3 3/4.

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61 5º/6.º ano Aluguer de bicicletas O Pedro e a Margarida foram passear ao Parque das Nações e decidiram alugar bicicle- tas. O Pedro escolheu a empresa Ciclotour e a Margarida a YBike cujas tabelas de pre- ços são as seguintes: 1. Em alguma das empresas o preço a pagar é directamente proporcional ao tempo de utilização da bicicleta Explica o teu raciocínio. 2. Nalguma das empresas é possível prever o preço a pagar pelo aluguer da bicicleta durante 120 minutos Justifica a tua resposta. Ciclotour Tempo minutos Preço euros 30 3 45 45 60 6 90 9 YBike Tempo minutos Preço euros 20 15 40 4 60 65 90 10

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prop profe tingu A pr de pr prop Supõ de d prop levan enun nal” j 1 de m aluno Al Muitos p orcionalida essor propo uir situações esente taref roporcional orcionalida õe-se que os irecta e uti orcionalida ntar dúvidas Questão nciado embo já tenha sid . Em algum tempo de para inve Após ob multiplicativ o opta por in luguer de b problemas e de directa. C nha tarefas s onde exist fa envolve d idade direct de directa e s alunos con lizem flexiv de neste ca s aos alunos 1. Nesta ora se preve do trabalhad ma das emp e utilização estigar a exi bservar as du va que sabe nvestigar a bicicletas 5 em contexto Contudo es aos alunos tem relaçõe duas relaçõ ta. O seu ob e desenvolv nheçam a e velmente e aso. Trata-s s. questão po eja que o s do na aula. presas o pre da bicicleta istência de p uas tabelas existir na p existência d 62 5º/6.º ano – os realistas ssa relação s tendo em s proporcio es num con bjectivo é le ver a sua c strutura mu sse conhec se assim ode haver n ignificado d eço a pagar é a Apresent proporciona o aluno pr proporciona de invariânc – Notas par à primeira pode não ex vista desen onais das ou ntexto seme evar os alun apacidade d ultiplicativa imento para de uma tar necessidade da expressã é directame ta todas as e alidade dire rocura encon lidade direc cia entre var ra o Profess vista envol xistir. Assim nvolver a ca utras onde is elhante ma nos a identi de resoluçã inerente à a averiguar refa simple e de ajudar ão “directam ente proporc estratégias q ecta. ntrar um tip cta. No exem riáveis rela sor lvem relaçõ m importa apacidade de sso não acon s só uma de ificar relaçõ ão de proble proporciona r a existênc es que não r a interpre mente propo cional ao que conhece po de regula mplo seguin ação funcion ões de que o e dis- ntece. elas é ões de emas. alida- cia de deve etar o orcio- es arida- nte o nal:

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de pr porci tal da mos. veis porci De facto roporcional ionalidade Outra es as proporçõ Trata-se de Uma out verbalizada ionalidade d o ao calcula idade direct . stratégia est ões isto é a e uma estrat tra estratég a com frequ directa mas ar o quocien ta caso o v tá associada a igualdade tégia freque ia consiste uência pelos s que nem s 63 nte entre o t valor o quoc a à regularid entre o pro entemente a na investig s alunos par empre está   tempo e o pr ciente seja c dade inerent oduto dos m associada ao gação da co ra explicar o expressa no reço verific constante c te à proprie meios e o pr o produto cr o-variação d o que é uma os seus regi   ca-se a exist constante de edade funda roduto dos e ruzado: dentro das v a relação de stos escrito tência e pro- amen- extre- variá- e pro- s.

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deve estra ment dade dade dada Cont nece oport probl O profes rá dedicar atégias com te diferentes Questão está associ directa. 2. Em q cleta A identi a à questão 1 tudo vários ssariamente Ou de fo A maior tunidade pa lemas. Isto ssor durant o tempo ne objectivo d s estratégias 2. Nesta qu iada a uma ue empresa durante 12 ficação da 1. na qual o s alunos ten e o preço a orma mais e ia das respo ara se conti é os aluno te o período ecessário à de desenvo s. uestão prete regularidad a é possível 0 minutos empresa de s alunos ide dem a respo pagar pela lementar. ostas dos alu nuar a dese os devem te 64 o da aula de análise dos lver nos alu ende-se que de neste cas prever o pre Justifica a e aluguer d entificaram onder que é utilização d unos mostra envolver no er em consid estinado à d s resultados unos a capa e o aluno co so dada pe eço a pagar tua resposta e bicicletas a relação d é a empresa de uma bicic a que esta ú os alunos a deração o q discussão em s comparan acidade de ompreenda q la relação d r pelo alugu a. s é feita atra e proporcio Ciclotour cleta durant última quest capacidade que é que se m grande g ndo as difer utilizar flex que a previs de proporcio er da bici- avés da res onalidade di calculando te 120 minu tão constitui de resoluç e pretende c grupo rentes xivel- sibili- onali- sposta recta. des- utos: i uma ão de com a

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65 questão e que para responder não é necessário realizar qualquer cálculo. Por outro lado devem compreender que as respostas a várias questões associadas a uma determinada situação problemática não devem ser vistas isoladamente umas das outras.

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66 5º/6.º ano Escalas 1 1. Observa o objecto que tens na mesa e com o auxílio da régua regista as suas medi- das _____________ 2. Observa o panfleto e procura a imagem do objecto que tens na mesa e usando de novo a régua regista as suas medidas _______________. 3. Com as informações anteriores completa a tabela: Medida do panfleto Medida real Escala 4. Determina a escala que foi utilizada no panfleto.

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67 Escalas 1 5º/6.º ano – Notas para o Professor Ao longo do 1.º ciclo os alunos realizam várias tarefas em que realizam medi- ções utilizando unidades de medida convencionais resolvem problemas envolvendo grandezas e medidas e envolvendo raciocínio proporcional. A presente tarefa relativa a escalas pretende continuar este tipo de trabalho desenvolvendo nos alunos a capacida- de de utilizar proporções para modelar situações e fazer previsões e resolver problemas envolvendo situações de proporcionalidade directa através da determinação e utilização da escala de um desenho. Na sua realização espera-se que os alunos recorram ao seu conhecimento sobre razões e proporções. Com esta tarefa pretende-se que os alunos utilizem objectos reais e do seu dia-a- dia de uma forma interessante do ponto de vista matemático. Através da observação e da análise de um folheto de supermercado espera-se que mobilizem o seu saber de modo a verificarem se as imagens dos panfletos se encontram à escala relativamente ao tama- nho real dos objectos representados. Esta tarefa deve ser realizada pelos alunos em 45 minutos seguida de 45 minutos para a discussão colectiva do trabalho e das conclusões de cada grupo. Antes da resolução da tarefa o professor deve discutir com os alunos o conceito de escala procurando identificar as definições dos alunos construindo assim um con- ceito mais claro e explícito. Recorde-se que muitas vezes os alunos abordam este tema também em Estudo do Meio no 1.º ciclo e na disciplina de História e Geografia de Portugal 2.º ciclo. Para a realização da tarefa o professor deve levar os objectos e os panfletos apropriados. Os objectos podem ser diferentes de grupo para grupo ou podem ser iguais mas em qualquer dos casos convém colocar mais do que um objecto em cada grupo. Assim cada grupo deve ter em cima da mesa os respectivos objectos o panfleto e o guião da tarefa permitindo que os alunos comecem desde logo a trabalhar. Após algum tempo de análise dos objectos pelos grupos deve promover-se um debate colectivo rela- tivamente às medidas que interessam para a realização da tarefa e ao modo de efectuar as medições. É importante que se combine que se deve medir a altura e o comprimento de cada objecto registando os valores na respectiva folha de registo. Deve chamar-se a atenção que os objectos a procurar nos panfletos devem ser iguais aos que estão em cima da mesa e que é necessário efectuar as medições em cada imagem seguindo as mesmas regras da medição dos objectos registando os respectivos

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valor cada gem que o tamb obser da m objec entre res na ficha objecto. O e verificar os objectos bém pode a Questões rvem e regi mesa. De seg ctos e regis e si tal com a de trabalh Ou seja dev se encontra se encontra acontecer qu s 1 e 2. C istem as me guida os al stam as me mo se pode v ho. Após est em utilizar am uma rela am “à escala ue nem todo Com as dua edidas com lunos procu edidas. Nest verificar nos 68 ta fase os a as mediçõe ação constan a”. Como o os os objecto as primeiras mprimento e uram nos pa te caso os s exemplos alunos deve es efectuada nte. Se a rel os objectos s os se encon s questões e altura dos anfletos dis vários grup seguintes: em determin as para cad lação for co são diferent ntrem na me pretende-se s objectos q stribuídos im pos têm obj nar a escala da objecto e onstante diz tes e os pan sma escala. e que os a que têm em magens dos jectos difer a para e ima- zemos fletos . alunos cima s seus rentes

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69 Questões 3 e 4. Com estas questões os alunos organizam a informação recolhida na tabela apresentada e calculam a escala da representação do produto indicado no pan- fleto. Para tal os alunos podem utilizar estratégias variadas nomeadamente recorrendo a processos funcionais ou escalares. Usando processos funcionais os alunos verificam a relação multiplicativa existente entre o comprimento do produto no panfleto e a sua altura e depois verificam se a relação é a mesma nos objectos reais. Usando processos escalares os alunos identificam a relação multiplicativa existente entre o comprimento do produto no panfleto e o seu comprimento real e verificam se esta relação se mantém para as alturas do produto no panfleto e na realidade. Por vezes e por se tratar da repetição do mesmo tipo de raciocínio os alunos podem recorrer a procedimentos como a propriedade fundamental das proporções ou a regra de três simples. Em todos os casos procuram o valor unitário ou seja procuram verificar quanto de altura corresponde a 1cm de comprimento ou vice-versa. Por fim retiram as conclusões relativas a cada situação. Verifica-se que nem sempre os objectos se encontram à escala quando desenhados no panfleto devendo-se discutir com os alu- nos por que razão tal pode acontecer.

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tifica ressa objec ao te relac escal Na discu ados os obje ante para os cto represen Tendo em ema da Edu cionadas com la e qual a im ussão final ectos que s s vários gru ntado à esca m conta a s ucação para m o porquê mportância quando os a e encontram upos uma v ala e é por v situação pro a o Consum ê das image a deste facto 71 alunos apre m na mesm vez que pod vezes uma oposta pod mo. A este re ens não sere or para as es sentam o se ma escala. E dem haver g surpresa co de promover espeito pod em colocad stratégias de eu trabalho ste moment grupos que n onstatar que r-se um deb dem ser ana das nos pan e publicidad devem ser to pode ser não têm nen isso aconte bate subord alisadas que fletos na m de e venda. iden- r inte- nhum ece. inado estões mesma

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1. M C 2. O ta Imag Mede o comp omprimento Observa as v a. gem 1 primento e a o ________ várias fotogr a altura do p __________ rafias e indi 72 Escalas 2 painel que s _ ica qual a q 2 se encontra A que está à es à entrada d Altura _____ scala. Justif 5º/6 do bloco: __________ fica a tua re .º ano ____ espos-

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Imag Imag gem 2 gem 3 73

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74 Escalas 2 5º/6.º ano – Notas para o Professor Com esta tarefa pretende-se que os alunos observem um painel e verifiquem se as imagens/fotografias que o representam se encontram à escala. É uma tarefa que per- mite aos alunos aplicar os seus conhecimentos relativos à proporcionalidade directa numa situação do seu dia-a-dia relativa a um painel localizado na escola. Para a realização desta tarefa pressupõe-se que os alunos tenham desenvolvido ao longo do 1.º ciclo as capacidades de realizar medições recorrendo a unidades de medida convencionais de resolver problemas envolvendo grandezas e medidas e de resolver problemas envolvendo raciocínio proporcional. Deve reservar-se pelo menos 30 minutos para os alunos realizarem a tarefa e 30 minutos para a apresentação dos resultados e discussão colectiva. As questões colocadas visam desenvolver nos alunos as capacidades de utilizar proporções para modelar situações e fazer previsões determinar e utilizar a escala de um desenho resolver problemas envolvendo escalas usando razões e proporções e resolver e formular problemas envolvendo situações de proporcionalidade directa. Questão 1. Para a realização desta questão os alunos devem efectuar antecipa- damente as devidas medições no painel. Após a entrega do guião da tarefa cada grupo deve medir cada uma das imagens/fotografias dadas e verificar qual delas se encontra à escala. Podem surgir dúvidas nos alunos relativas ao que se entende por limites do pai- nel nas imagens/fotografias. Para o evitar pode proceder-se antecipadamente a uma análise das imagens de modo a esclarecer essa questão. No momento de discussão o professor deve proporcionar a cada grupo de alu- nos oportunidade para explicar como efectuou as medições do painel e o porquê de exis- tirem valores diferenciados. Assim deve ter-se em atenção que apesar dos cálculos efectuados serem correctos podem existir respostas erradas relativamente à selecção da imagem visto terem subjacentes medições incorrectas. Durante as apresentações dos grupos o professor deve procurar que os alunos explicitem as suas escolhas procurando que desenvolvam a sua capacidade de argumentação. Questão 2. Com esta questão os alunos podem organizar os dados relativos às diferentes imagens e ao painel real de diferentes formas nomeadamente organizando uma tabela ou fazendo os cálculos isoladamente para cada imagem. Com a informação

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75 recolhida os alunos devem verificar a relação numérica entre os dados relativos a cada imagem. Para isso podem utilizar estratégias variadas tais como processos funcionais ou escalares. Com a utilização de processos funcionais verificam a relação multiplicati- va existente entre o painel em cada imagem e na realidade. Podem utilizar uma tabela comum em que rapidamente verificam que a razão entre o comprimento e a altura do painel é a mesma na imagem 1 e na realidade e por isso só esta imagem está desenhada à escala. Com a utilização de processos escalares os alunos identificam a relação multi- plicativa existente entre as dimensões de cada imagem e do painel e verificam se esta relação se mantém para as alturas do painel nas imagens e na realidade: Os alunos também podem apresentar estratégias como a propriedade fundamen- tal das proporções:

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76   Os alunos percebem qual a imagem que está à escala porque ao efectuarem os cálculos para cada uma das medidas o resultado é o mesmo. No entanto por vezes têm dificuldade em expressar o seu raciocínio utilizando justificações pouco estruturadas e precisas como no caso seguinte:

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77 No momento da discussão é importante realçar que ampliar e reduzir implica não deformar a imagem ou seja os alunos devem ser levados a perceber o cariz multi- plicativo e não aditivo da relação proporcional.