ESTADISTICA A - 02

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Representación Tabular y gráfica de las muestras. Medidas de posición y de dispersión. Propiedades.

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1 Facultad de Química e Ingeniería Química UNMSM ESTADISTICA A - 02 jgarciap@unmsm.edu.pe calidadtotal@hotmail.com

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2 Tema Nº 02: MEDIDAS DE POSICION, DISPERSION Y DEFORMACION Facultad de Química e Ingeniería Química Ing. Jose Manuel García Pantigozo 2008 - II UNMSM ESTADISTICA DESCRIPTIVA

Objetivos de Aprendizaje : 

3 Objetivos de Aprendizaje Calcular la media aritmética, la mediana y las moda. Explicar las características, empleo, ventajas y desventajas de cada promedio. Identificar la posición de la media aritmética, la mediana, la moda, tanto para distribuciones simétricas como asimétricas o sesgadas.

Objetivos de Aprendizaje : 

4 Objetivos de Aprendizaje Calcular varias medidas de dispersión para datos originales o no agrupados. Calcular varias medidas de dispersión para datos organizados en una distribución de frecuencias. Explicar las características, usos, ventajas y desventajas de cada una de las medidas de distribución discretas. Calcular y aplicar el coeficiente de variación y del coeficiente de asimetría. Analizar la curtosis de una distribución.

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5 MEDIDAS DE POSICION

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6 Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del conjunto. Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de información. Media Aritmética Media Geométrica Media Armónica Moda Mediana Medidas de Tendencia Central

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7 MEDIA

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8 Datos Agrupados: fi : Frec. relativa Clase i = MCi : Marca Clase i X : Media Aritmética k : N° de clases ni : Frec. absoluta Clase i n : Tamaño Muestra ai : Amplitud de Clase i _ å = k i i X i f 1 * X = Media Aritmética de una Muestra I

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9

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10 Datos NO Agrupados: å = n i i X 1 X = n X : Media Aritmética Xi : i-ésimo valor observado n : Tamaño Muestra Media Aritmética de una Muestra II

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11 å = n i i X 1 X = n 56191.5 X = 44 1277.1 X =

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12 Media de una Población

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13 Media Ponderada I Es un caso especial de la media aritmética. Se presenta cuando hay varias observaciones del mismo valor que pueden ocurrir si los datos se han agrupado en una distribución de frecuencias.

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14 Media Ponderada II 1541

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15 La media geométrica es otro estadígrafo de tendencia central, pero de poca utilización. El cálculo de la media geométrica se puede hacer en datos con frecuencia y datos sin frecuencias Datos sin Frecuencias Media geométrica Intervalos Cerrados Datos Con Frecuencias Inter. Cerrados / Abiertos Media Geométrica I

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16 Para el cálculo de la media geométrica sin frecuencias se aplica la siguientes expresión: Media Geométrica II

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17 Su media geométrica sería: Si los datos fueran los siguientes: Media Geométrica III

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18 Media Geométrica IV Para datos en tablas Frecuencias Se aplica la siguiente expresión:

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19 Media Geométrica V Para intervalos cerrados, se considera la marca de clase de cada intervalo por su frecuencia absoluta. La media Geométrica se calculará con el valor de la Marca de clase de los intervalos multiplicados con la frecuencias absoluta.

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20 Propiedades de la Media Todo conjunto de datos de nivel de intervalo y de nivel de razón tiene un valor medio. Al evaluar la media se incluyen todos los valores. Un conjunto de datos sólo tiene una media. Esta es un valor único. La media es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones. La media es la única medida de ubicación donde la suma de las desviaciones de cada valor es con respecto a la media, siempre será cero.

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21 MEDIANA

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22 Me = n + 1 2 Mediana I

Pares:Me = (49 +65)/2 = 57 : 

23 Pares:Me = (49 +65)/2 = 57 CALCULO DE LA MEDIANA EN DATOS NO AGRUPADOS Impares:Me = 64

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24 Datos Agrupados: L : Límite inferior Clase Mediana (C Me) Ne-1 : Frec. Acumulada hasta antes (C Me) ne : Frecuencia Absoluta (C Me) ae : Amplitud (C Me) n : Tamaño de la muestra e e-1 e n N n 2 a L Me ) ( - + = xe ae L ne Mediana II

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25 CALCULO DE LA MEDIANA EN DATOS AGRUPADOS

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26 Datos Agrupados: L : 1273.85 Ne-1 : 33 ne : 23 ae : 2.8 n : 110 : 1276.33 e e-1 e n N n 2 a L Me ) ( - + = xe ae L ne Me

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27 M O D A

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28 La Moda Se define como “La moda” al valor que mas repite en una serie de datos. Estos valores pueden ser: Datos no agrupados Datos agrupados en intervalos de clases

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29 La moda, cuando los datos no se encuentran en tabla de distribución de frecuencias, se establece los valores que mas se repiten. Por ejemplo: La Moda es: 2 La Moda

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30 La moda, cuando los datos no se encuentran en tabla de distribución de frecuencias, se establece los valores que mas se repiten. Por ejemplo: La Moda es: 2 y el 5, es decir la serie de nueceros sería Bimodal La Moda

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31 La moda cuando los datos no se encuentran en tabla de distribución de frecuencias , se establece los valores que mas se repiten. Por ejemplo: La Moda en este caso no existiría. La Moda

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32 La moda, cuando los datos se encuentran en tabla de distribución de frecuencias, será el valor que posee mayor frecuencia. Por ejemplo: La Moda es: 4 La Moda

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33 La moda , cuando los datos se encuentran en tabla de distribución de frecuencias , con intervalos de clase, se debe aplicar la siguiente Formula. Limite inferior del intervalo en en donde se encuentra la Moda El “ “ es la diferencia en la frecuencia Absoluta mas cercana a la frecuencia de valor mayor. El “ “ es la diferencia entre la frecuencia inmediatamente mayor a la frecuencia de mayor Valor. El valor “c” corresponde al Tamaño del Intervalo La Moda

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34 Datos agrupados en intervalos de Clase Cerrados Limite inferior del Intervalo modal = 64, por que es de mayor Frecuencia C = 4 Intervalo de mayor frecuencia La Moda

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35 Datos agrupados en intervalos de Clase Cerrados Intervalo de mayor frecuencia La Moda

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36 Moda para datos agrupados en intervalos de Clase Cerrados / Abiertos Cuando se trabaja con intervalos cerrados abiertos debemos considerar ahora “El limite Real Inferior” y el tamaño del Intervalo Varía en un dígito. Los demás valores Participan de la misma forma La Moda

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37 La Moda

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38

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39 0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 4 5 6 7 0 1 2 3 Q1 Q2 Q3 Q4 Moda Media Aritmética Mediana Rango Medidas de Tendencia

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40 MEDIDAS DE DISPERSION

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41 Se llaman medidas de dispersión aquellas que permiten retratar la distancia de los valores de la variable a un cierto valor central, o que permiten identificar la concentración de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable. Se trata de coeficiente para variables cuantitativas. Rango Rango Intercuartílico Varianza Muestral Desviación Media Rango Percentil Grafico de Cajas Medidas de Dispersión

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42 Dispersión: Amplitud Total Amplitud Total = Valor Mayor – Valor Menor

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43 Dispersión: Amplitud Cuartílica Amplitud Total = Valor Mayor – Valor Menor Amplitud Total =Q3 – Q1 e e-1 e n N n 4 a L Q1 ) ( - + = e e-1 e n N 3n 2 a L Q3 ) ( - + =

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44 Dispersión: Varianza Poblacional ό2 : Variancia Poblacional µ : Media Poblacional Xi : i-ésimo valor observado N : Tamaño de la población

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45 Dispersión: Desviación Estándar Poblacional ό : Desviación Estándar Poblacional µ : Media Poblacional Xi : i-ésimo valor observado N : Tamaño de la población

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46 Datos Agrupados: fi : Frec. relativa Clase i Xi : Marca Clase i X : Media Aritmética ni : Frec. absoluta Clase i n : Tamaño Muestra k : N° de clases _ å = k i i f 1 2 ) ( S2 = _ Datos NO Agrupados: Dispersión: Varianza Muestral å = n i 1 2 ) ( S2 = _ s2 : Variancia Muestral X : Media Aritmética Xi : i-ésimo valor observado n : Tamaño Muestra n - 1

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47 Datos Agrupados: fi : Frec. relativa Clase i Xi : Marca Clase i X : Media Aritmética ni : Frec. absoluta Clase i n : Tamaño Muestra k : N° de clases _ å = k i i f 1 2 ) ( S = _ ae ne xi xi-1 xk _ x ni nk Datos NO Agrupados: Dispersión: Desviación Muestral å = n i - X X i 1 2 ) ( S = _ s. : Desviación Muestral X : Media Aritmética Xi : i-ésimo valor observado n : Tamaño Muestra n - 1

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48 Datos Agrupados: Datos Agrupados: Dispersión: Desviación Media

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49 RQ = (Q3– Q1) / 2 xQ Desviación/Rango Inter-Cuartílico

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50 Dispersión: Amplitud Centílica e e-1 e n N 10n 100 a L 10º Centil ) ( - + = e e-1 e n N 90n 100 a L ) ( - + = 90º Centil

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51 MEDIDAS DE DISPERSION

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52 Coeficiente de Variación

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53 RP = (P90 – P10) Dispersión: Rango Percentil

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54 Representación visual para describir, simultáneamente, varias características importantes tales como Centro Dispersión Desviación de la asimetría Identificación de las observaciones (valores atípicos) D = Índice de Dispersión = (rangQ3- rangQ1) / (K-1) Gráficos de Cajas

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55 Comparaciones gráficas entre conjuntos de datos 1 2 3 70 80 90 100 110 120 Gráficos de Cajas

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56 a4 > 0 la Distribución de Frecuencias es leptocúrtica a4 < 0 la Distribución de Frecuencias es platicúrtica a4 = 0 la Distribución de Frecuencias es mesocúrtica Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) Pearson propuso el concepto de curtosis calculandolo mediante el coeficiente de curtosis de cuarto orden a4:

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57 k > 0 la Distribución de Frecuencias es leptocúrtica k < 0 la Distribución de Frecuencias es platicúrtica k = 0 la Distribución de Frecuencias es mesocúrtica Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) 0,263 (Q3 - Q1) K = Otra coeficiente para medir curtosis. En función de los percentiles, es el coeficiente de curtosis percentílico k: 1 2 P90 - P10

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58 3. Otros Estadígrafos: Relacionados con la forma de la distribución de los datos (Polígono de Frecuencias). Asimetría (A): Simetría o Asimetría Kurtosis (K): Apuntamiento A= 0 A< 0 A> 0 K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

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59 3. Otros Estadígrafos: Relacionados con la forma de la distribución de los datos (Polígono de Frecuencias). Asimetría (A): Simetría o Asimetría Kurtosis (K): Apuntamiento A= 0 A< 0 A> 0 K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

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60 3. Otros Estadígrafos: Relacionados con la forma de la distribución de los datos (Polígono de Frecuencias). Asimetría (A): Simetría o Asimetría Kurtosis (K): Apuntamiento A= 0 A< 0 A> 0 K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

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61 3. Otros Estadígrafos: Relacionados con la forma de la distribución de los datos (Polígono de Frecuencias). Asimetría (A): Simetría o Asimetría Kurtosis (K): Apuntamiento A= 0 A< 0 A> 0 K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

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62 3. Otros Estadígrafos: Relacionados con la forma de la distribución de los datos (Polígono de Frecuencias). Asimetría (A): Simetría o Asimetría Kurtosis (K): Apuntamiento A= 0 A< 0 A> 0 K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

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63 3. Otros Estadígrafos: Relacionados con la forma de la distribución de los datos (Polígono de Frecuencias). Asimetría (A): Simetría o Asimetría Kurtosis (K): Apuntamiento A= 0 A< 0 A> 0 K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

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64 Leptocúrtica: Cuando la distribución de frecuencias es más apuntada que la normal. Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) K= 0.263

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65 Mesocúrtica: Cuando la distribución de frecuencias es tan apuntada como la normal. Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) K> 0.263

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66 Platicúrtica: Cuando la distribución de frecuencias es menos apuntada que la normal. Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) K< 0.263

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67 Miden la mayor o menor simetría de la distribución. Existen dos medidas de este tipo: Medidas de Asimetría (Sesgo) 1er Coeficiente de Asimetría: Desviación Estándar Media - Moda a1 =

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68 Medidas de Asimetría (Sesgo) a1 > 0 la asimetría de la Distribución de Frecuencias es positiva a1 < 0 la asimetría de la Distribución de Frecuencias es negativa a1 = 0 la Distribución de Frecuencias es simétrica

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69 Medidas de Asimetría (Sesgo) Coeficiente de Asimetría para datos sin agrupar: 3 s × å n 3 i=1 1 (xi-x) 1 a= N

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70 Medidas de Asimetría (Sesgo) Coeficiente de Asimetría para datos agrupados

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71 Asimetría Positiva A< 0

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72 Asimetría Positiva Mo < Me < X

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73 Simetría A= 0

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74 Simetría Mo = Me = X

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76 Ejercicio: Se desea determinar las características de resistencia a la ruptura bajo cargas de tensión del concreto ofrecido por cierto proveedor. Para ello se les solicita 125 probetas de 0,5 pies de diámetro por 1 pie de longuitud. La carga de tensión se mide en lb/pug2. El laboratorio de resitencia de materiales proporciona la tabla de frecuencias Clase Límites Marca Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia de Clase de Clase Absoluta Abs. Acuml. Relativa Relat. Acuml. 1 407,5- 412,5 410 4 4 0,032 0,032 2 412,5- 417,5 415 5 9 0,040 0,072 3 417,5- 422,5 420 8 17 0,064 0,136 4 422,5- 427,5 425 14 31 0,112 0,248 5 427,5- 432,5 430 13 44 0,104 0,352 6 432,5- 437,5 435 19 63 0,152 0,504 7 437,5- 442,5 440 20 83 0,160 0,664 8 442,5- 447,5 445 15 98 0,120 0,784 9 447,5- 452,5 450 12 110 0,096 0,880 10 452,5- 457,5 455 6 116 0,048 0,929 11 457,5- 462,5 460 7 123 0,056 0,984 12 462,5- 467,5 465 2 125 0,016 1,000 Determine: Todas las medidas de localización, escala, simetria y forma

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