5.- CONTEO, PERMUTACION Y COMBINACION

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1 Tema Nº 04: INTRODUCCION A LAS PROBABILIDADES - CONTEO Facultad de Química e Ingeniería Química Ing. Manuel García Pantigozo 2008 - II UNMSM ESTADISTICA APLICADA A LA INGENIERIA

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2 FORMULA DE MULTIPLICACION

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3 CONTEO Si se tienen m elementos de un tipo y n de otro tipo, el número de parejas que se puede formar es: En términos de fórmula: Número total de arreglos = m * n Y para mas de dos eventos tenemos: Número total de arreglos = m * n * o

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4 Autoexamen 5-13 Un fabricante desarrollo 5 bases para lámpara y 4 pantallas que se pueden usar juntas. ¿Cuántos arreglos distintos de base y pantalla se pueden ofrecer? Número total de arreglos = m * n = 5 * 4 = 20

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5 Autoexamen 5-13 Una industria fabrica 3 modelos de receptores estereo, 2 aparatos de casete, 4 bocinas y 3 tornamesas. ¿Cuántos sistemas distintos puede ofrecer esta industria? Número total de arreglos = m*n*o*p Número total de arreglos = 3*2*4*3 = 72

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6 Autoexamen 5-13 Una tienda anuncia que por US$ 20,000.00 se puede adquirir un convertible, un dos puertas o un modelo de cuatro puertas, con elección de cubreruedas deportivos o comunes. ¿Cuántos arreglos diferentes de modelos y cubreruedas puede ofrecer la tienda? Número total de arreglos = m * n = 3 * 2 = 6

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7 FORMULA DE PERMUTACION

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8 PERMUTACION Disposición en orden de un conjunto de objetos en el que hay un primero, un segundo, un tercero, etc. hasta n. P: número de permutaciones n: número total de objetos r: número de objetos que se dispondrá

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9 Ejemplo 1: Se desea ensamblar tres elementos electrónicos en cualquier orden. ¿de cuantas formas diferentes se pueden reunir? : = 6

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10 Auto examen 5-14 ¿a que es igual 6!? = 6*5*4*3*2*1= 720 ¿a que es igual 6!2!/4!3!? = 10 Un operador debe realizar 4 verificaciones de seguridad antes de activar una máquina. No importa el orden en que se realicen las verificaciones. ¿De cuantas formas diferentes se puede realizar las verificaciones el operador?

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11 Auto examen 5-14 Utilizar 10 números del 0 al 9 para crear grupos de código de 4 cifras fin de identificar un articulo de ropa. El código 1083 podría ser una blusa azul, talla media. El grupo código 2031 podría identificar unos pantalones, talla 18,etc. No se permiten repeticiones de los números. Es decir, el mismo número no puede utilizarse dos veces o mas en una secuencia total. Por ejemplo 2256, 2562, o 5559 no se permitirán ¿Cuántos grupos de distintos códigos pueden establecerse?

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12 Auto examen 5-15 Un músico desea escribir una partitura basada solamente en cinco notas (la, si, do, re y mi). Sin embargo, solo tres notas de las cinco se utilizarán en sucesión, como do, la y mi. No se permitirán repeticiones como la, la y mi. 1) ¿Cuantas permutaciones de las cinco notas, tomadas tres cada vez, son posibles? = 5*4*3 = 60 2) Utilizando la formula para permutaciones, ¿Cuántas permutaciones son posibles?

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13 PERMUTACION CON REPETICION Disposición en orden de un conjunto de objetos en el que hay un primero, un segundo, un tercero, etc. hasta n, pero que se permiten las repeticiones. P: número de permutaciones n: número total de objetos r: número de objetos que se dispondrá

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14 Auto examen 5-16 Un músico desea escribir una partitura basada solamente en cinco notas (la, si, do, re y mi). Sin embargo, solo tres notas de las cinco se utilizarán en sucesión, como do, la y mi. Se permitirán repeticiones como la, la y mi. Hay 60 permutaciones sin repetición de tres notas ¿Cuantas permutaciones son posibles si se permiten las repeticiones? 5P3 = 53 = 125

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15 FORMULA DE COMBINACION

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16 COMBINACION Dado un conjunto de n elementos, se denomina combinaciones de tamaño r a todos los conjuntos que se pueden formar con r elementos tomados de entre los n elementos, de modo que cada conjunto difiera de los demás en por lo menos un elemento. P: número de permutaciones n: número total de objetos r: número de objetos que se dispondrá

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17 Ejemplo 2: A un Dpto. de Pinturas le han pedido que diseñe códigos de color para 42 elementos distintos. Se van a utilizar tres de cada uno. ¿serán adecuados siete colores tomados de tres cada vez para codificar las 42 partes mecánicas ? = 35

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18 Auto examen 5-17 Verificar las 56 combinaciones mencionadas en el párrafo anterior. Como un plan alternativo para codificar por color las 42 partes, se sugirió que se colocaran solo dos colores en cada una. ¿Serian adecuados 10 colores para codificar las 42 partes?

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19 ESPACIO MUESTRAL

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20 El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se llama espacio muestral y se representa con el simbolo S. Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E. Ejemplo 3: Cuando el experimento es lanzar un dado: E1={1,2,3,4,5,6} E2={par, impar} Ejemplo 4: Cuando el experimento es lanzar una moneda: E3={sello, cara}

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21 Ejemplo 5: Cuando se seleccionan tres artículos de forma aleatoria de un proceso de fabricación y se clasifican como defectuosos (D) y no defectuosos (N): E4={DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN}

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22 Tercer artículo Segundo artículo Primer artículo Punto muestral Diagrama de Arbol

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23 EVENTO

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24 Evento: subconjunto de un espacio muestral. Ejemplo 6: Evento B cuando el numero de defectuosos es mayor que 1 respecto al espacio muestral E4: E5={DDD, DDN, DND, NDD}

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25 EJERCICIOS

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26 Auto examen 5-17 Verificar las 56 combinaciones mencionadas en el párrafo anterior. Como un plan alternativo para codificar por color las 42 partes, se sugirió que se colocaran solo dos colores en cada una. ¿Serian adecuados 10 colores para codificar las 42 partes?