3.- MEDIDAS DE DISPERSION, ASIMETRIA Y CURTOSIS

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1 Tema Nº 03: MEDIDAS DE DISPERSION, ASIMETRIA Y CURTOSIS Facultad de Química e Ingeniería Química Ing. José Manuel García Pantigozo 2008 - II UNMSM ESTADISTICA DESCRIPTIVA EAI03

Objetivos de Aprendizaje : 

2 Objetivos de Aprendizaje Calcular varias medidas de dispersión para datos originales o no agrupados. Calcular varias medidas de dispersión para datos organizados en una distribución de frecuencias. Explicar las características, usos, ventajas y desventajas de cada una de las medidas de distribución discretas. Calcular y aplicar el coeficiente de variación y del coeficiente de asimetría. Analizar la curtosis de una distribución. EAI03

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3 Se llaman medidas de dispersión aquellas que permiten retratar la distancia de los valores de la variable a un cierto valor central, o que permiten identificar la concentración de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable. Se trata de coeficiente para variables cuantitativas. Rango Rango Intercuartílico Varianza Muestral Desviación Media Rango Percentil Grafico de Cajas Medidas de Dispersión EAI03

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4 Dispersión: Amplitud Total Amplitud Total = Valor Mayor – Valor Menor EAI03

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5 Dispersión: Amplitud Cuartílica Amplitud Total = Valor Mayor – Valor Menor Amplitud Total =Q3 – Q1 e e-1 e n N n 4 a L Q1 ) ( - + = e e-1 e n N 3n 2 a L Q3 ) ( - + = EAI03

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6 Dispersión: Varianza Poblacional ό2 : Variancia Poblacional µ : Media Poblacional Xi : i-ésimo valor observado N : Tamaño de la población EAI03

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7 Dispersión: Desviación Estándar Poblacional ό : Desviación Estándar Poblacional µ : Media Poblacional Xi : i-ésimo valor observado N : Tamaño de la población EAI03

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8 Datos Agrupados: fi : Frec. relativa Clase i Xi : Marca Clase i X : Media Aritmética ni : Frec. absoluta Clase i n : Tamaño Muestra k : N° de clases _ å = k i i f 1 2 ) ( S2 = _ Datos NO Agrupados: Dispersión: Varianza Muestral å = n i 1 2 ) ( S2 = _ s2 : Variancia Muestral X : Media Aritmética Xi : i-ésimo valor observado n : Tamaño Muestra n - 1 EAI03

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9 Datos Agrupados: fi : Frec. relativa Clase i Xi : Marca Clase i X : Media Aritmética ni : Frec. absoluta Clase i n : Tamaño Muestra k : N° de clases _ å = k i i f 1 2 ) ( S = _ ae ne xi xi-1 xk _ x ni nk Datos NO Agrupados: Dispersión: Desviación Muestral å = n i - X X i 1 2 ) ( S = _ s. : Desviación Muestral X : Media Aritmética Xi : i-ésimo valor observado n : Tamaño Muestra n - 1 EAI03

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10 Datos Agrupados: Datos Agrupados: Dispersión: Desviación Media EAI03

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11 RQ = (Q3– Q1) / 2 xQ Desviación/Rango Inter-Cuartílico EAI03

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12 Dispersión: Amplitud Centílica e e-1 e n N 10n 100 a L 10º Centil ) ( - + = e e-1 e n N 90n 100 a L ) ( - + = 90º Centil EAI03

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13 Coeficiente de Variación EAI03

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14 RP = (P90 – P10) Dispersión: Rango Percentil EAI03

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15 Representación visual para describir, simultáneamente, varias características importantes tales como Centro Dispersión Desviación de la asimetría Identificación de las observaciones (valores atípicos) D = Índice de Dispersión = (rangQ3- rangQ1) / (K-1) Gráficos de Cajas EAI03

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16 Comparaciones gráficas entre conjuntos de datos 1 2 3 70 80 90 100 110 120 Gráficos de Cajas EAI03

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17 a4 > 0 la Distribución de Frecuencias es leptocúrtica a4 < 0 la Distribución de Frecuencias es platicúrtica a4 = 0 la Distribución de Frecuencias es mesocúrtica Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) Pearson propuso el concepto de curtosis calculandolo mediante el coeficiente de curtosis de cuarto orden a4: EAI03

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18 k > 0 la Distribución de Frecuencias es leptocúrtica k < 0 la Distribución de Frecuencias es platicúrtica k = 0 la Distribución de Frecuencias es mesocúrtica Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) 0,263 (Q3 - Q1) K = Otra coeficiente para medir curtosis. En función de los percentiles, es el coeficiente de curtosis percentílico k: 1 2 P90 - P10 EAI03

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19 Leptocúrtica: Cuando la distribución de frecuencias es más apuntada que la normal. Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) EAI03

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20 Mesocúrtica: Cuando la distribución de frecuencias es tan apuntada como la normal. Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) EAI03

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21 Platicúrtica: Cuando la distribución de frecuencias es menos apuntada que la normal. Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) EAI03

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22 Miden la mayor o menor simetría de la distribución. Existen dos medidas de este tipo: Medidas de Asimetría (Sesgo) 1er Coeficiente de Asimetría: Desviación Estándar Media - Moda a1 = EAI03

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23 Medidas de Asimetría (Sesgo) a1 > 0 la asimetría de la Distribución de Frecuencias es positiva a1 < 0 la asimetría de la Distribución de Frecuencias es negativa a1 = 0 la Distribución de Frecuencias es simétrica EAI03

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24 Medidas de Asimetría (Sesgo) Coeficiente de Asimetría para datos sin agrupar: 3 s × å n 3 i=1 1 (xi-x) 1 a= N EAI03

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25 Medidas de Asimetría (Sesgo) Coeficiente de Asimetría para datos agrupados EAI03

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26 Asimetría Positiva Mo < Me < X EAI03

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27 Simetría Mo = Me = X EAI03

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29 Ejercicio: Se desea determinar las características de resistencia a la ruptura bajo cargas de tensión del concreto ofrecido por cierto proveedor. Para ello se les solicita 125 probetas de 0,5 pies de diámetro por 1 pie de longuitud. La carga de tensión se mide en lb/pug2. El laboratorio de resitencia de materiales proporciona la tabla de frecuencias Clase Límites Marca Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia de Clase de Clase Absoluta Abs. Acuml. Relativa Relat. Acuml. 1 407,5- 412,5 410 4 4 0,032 0,032 2 412,5- 417,5 415 5 9 0,040 0,072 3 417,5- 422,5 420 8 17 0,064 0,136 4 422,5- 427,5 425 14 31 0,112 0,248 5 427,5- 432,5 430 13 44 0,104 0,352 6 432,5- 437,5 435 19 63 0,152 0,504 7 437,5- 442,5 440 20 83 0,160 0,664 8 442,5- 447,5 445 15 98 0,120 0,784 9 447,5- 452,5 450 12 110 0,096 0,880 10 452,5- 457,5 455 6 116 0,048 0,929 11 457,5- 462,5 460 7 123 0,056 0,984 12 462,5- 467,5 465 2 125 0,016 1,000 Determine: Todas las medidas de localización, escala, simetria y forma EAI03