2010 II - ESTADISTICA - CLASE N� 09

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Tema Nº 09: PRUEBA t-STUDENT (Muestras Pequeñas) Facultad de Química e Ingeniería Química E.A.P. de Química Ing. José Manuel García Pantigozo 2010 - II UNMSM ESTADISTICA A

Objetivos de Aprendizaje : 

2 Objetivos de Aprendizaje Enlistar las principales características de la distribución t de Student. Probar una hipótesis que implica una media, cuando la desviación estándar de la población se desconoce y el tamaño de muestra es pequeño. Probar una hipótesis que implica la diferencia entre dos medias poblacionales cuando se desconocen las desviaciones estándares de la población y los tamaños de la muestra son pequeños. Realizar una prueba de hipótesis para la diferencia entre un conjunto de observaciones en pares, cuando los tamaños de muestra son pequeños. José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE : 

3 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Dada una v.a. cualquiera, si extraemos muestras de tamaño n, y calculamos los promedios muestrales, entonces dichos promedios tienen distribución aproximadamente normal; La media de los promedios muestrales es la misma que la de la variable original. La desviación típica de los promedios disminuye en un factor “raíz de n” (error estándar). José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE : 

4 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Las aproximaciones anteriores se hacen exactas cuando n tiende a infinito. Este teorema justifica la importancia de la distribución normal. Sea lo que sea lo que midamos, cuando se promedie sobre una muestra grande (n>30) nos va a aparecer de manera natural la distribución normal. José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

DISTRIBUCIONES ASOCIADAS A LA NORMAL : 

5 DISTRIBUCIONES ASOCIADAS A LA NORMAL Cuando queramos hacer inferencia estadística hemos visto que la distribución normal aparece de forma casi inevitable. Dependiendo del problema, podemos encontrar otras (asociadas): t- student; F-Snedecor; y X2 (chi cuadrado) Estas distribuciones resultan directamente de operar con distribuciones normales. Típicamente aparecen como distribuciones de ciertos estadísticos. Veamos algunas propiedades que tienen (superficialmente). Para más detalles consultad el manual. Sobre todo nos interesa saber qué valores de dichas distribuciones son “atípicos”. Significación, p-valores,…( se tocara en un tema aparte). José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

CARACTERISTICA DE LA DISTRIBUCION T DE STUDENT : 

6 CARACTERISTICA DE LA DISTRIBUCION T DE STUDENT Es una distribución continua Es de forma de campana y simétrica No hay una distribución t, sino una familia de distribuciones t . Todas tienen la misma media igual a cero, pero sus desviaciones estándares difieren de acuerdo al tamaño de la muestra, hay una distribución para un tamaño de muestra 20, otra para una tamaño 22, y así sucesivamente. La distribución t es la mas extendida y menos aguda en el centro que la distribución normal estándar. A medida que aumenta el tamaño de la muestra n, la curva de la distribución t se aproxima a la de la distribución normal estándar. José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

CARACTERISTICA DE LA DISTRIBUCION T DE STUDENT : 

7 CARACTERISTICA DE LA DISTRIBUCION T DE STUDENT José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL : 

8 PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Ejemplo 01: La experiencia en la investigación de demandas por accidentes en una institución aseguradora revela que en promedio cuesta $60 la realización de los trámites. Este costo se consideró exorbitante en comparación al de otras compañías aseguradoras y se instauraron medidas para reducir costos. A fin de evaluar el impacto de las medidas, se seleccionó una muestra de 26 demandas recientes. Se encontró un costo promedio de $57 y una desviación estándar de $10. Elabore una prueba de hipótesis que permita comprobar si los costos han disminuido, con un 99% de confianza. José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL : 

9 PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL SOLUCIÓN 01: (se utilizará el procedimiento común de prueba de hipótesis en cinco pasos) Paso 1: Plantear la hipótesis nula (H0) y la hipótesis alternativa (H1) La hipótesis nula (H0), es que la media poblacional vale $60. La hipótesis alternativa, (H1) es que la media poblacional vale menos de $60. (H0): µ = $ 60 (H1): µ< $ 60 La prueba es de una cola, ya que solo interesa si hay o no reducción en el costo. Esta desigualdad en la H1 señala hacia la región de rechazo en la cola o extremidad izquierda de la distribución. José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL : 

10 PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Paso 2: Seleccionar el nivel de significación Se usara el nivel 0.01 Paso 3: Proporcionar el estadístico de prueba Tal estadístico es la distribución t de Student, ya que 1) no se conoce la desviación estándar de la población, y 2) el tamaño de muestra es pequeño (menos de 30), la formula es: José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL : 

11 PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Paso 4: Formular la regla de decisión Los valores críticos de t se encuentran en el apéndice del libro y en la tabla a continuación se muestra: r = Grados de Libertad = 25 α = 0.01 t = 2.485 -2.485 Escala de t 0 Región de Aceptación Región de Rechazo α = 0.01 José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

TABLA DE LA DISTRIBUCION  t-Student : 

12 TABLA DE LA DISTRIBUCION  t-Student José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

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PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL : 

14 PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Paso 5: Calcular t y tomar una decisión 57 - 60 10/ t = = -1.53 Puesto que -1.53 se encuentra en la región de aceptación (a la derecha de la región de rechazo), la hipótesis nula que es µ = $ 60 no se rechaza al nivel del 1% (0.01). Esto indica que no hay una reducción de costo promedio en la investigación de una demanda por accidente. La media sigue siendo $ 60. José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL : 

15 PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Ejemplo 02: La longitud promedio de un elemento de equilibrio es de 43 milímetros. Se cree que con los ajustes en la máquina, que producen los elementos, hayan cambiado la longitud. La hipótesis nula, que se probará al nivel de 0.02 es que no hay cambios en la longitud media µ = 43. La hipótesis alternativa es que ha ocurrido un cambio µ ≠ 43 . Se seleccionaron aleatoriamente 12 elementos (n = 12) y se registró su longitud. Las medidas son (en milímetros) 42, 39, 42, 45, 43, 40, 39, 41, 40, 42, 43, y 42. ¿Ha habido un cambio estadísticamente significativo en la longitud media de los elementos). José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL : 

16 PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL SOLUCIÓN 02: (se utilizará el procedimiento común de prueba de hipótesis en cinco pasos) Paso 1: Plantear la hipótesis nula (H0) y la hipótesis alternativa (H1) (H0): µ = $ 43 (H1): µ ≠ $ 43 La prueba es de dos colas, porque la alternativa no indica una dirección. Hay 11 grados de libertad, que se obtiene por n – 1 = 12 -1 = 11. Consultando la tabla tenemos que para una prueba de dos colas, el valor critico es 2.718 . José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL : 

17 PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Paso 2: Seleccionar el nivel de significación Se usara el nivel 0.02 Paso 3: Proporcionar el estadístico de prueba Tal estadístico es la distribución t de Student, ya que 1) no se conoce la desviación estándar de la población, y 2) el tamaño de muestra es pequeño (menos de 30), la formula es: José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL : 

18 PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Paso 4: Formular la regla de decisión Los valores críticos de t se encuentran en el apéndice del libro y en la tabla a continuación se muestra: r = Grados de Libertad = 11 α = 0.02 t = 2.718 -2.718 Escala de t 0 Región de Aceptación Región de Rechazo α/2 = 0.01 2.718 Región de Rechazo α/2 = 0.01 José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL : 

19 PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Paso 5: Calcular t y tomar una decisión 41.5 - 43 1.78/ t = = -2.92 Puesto que -2.92 se encuentra en la región de rechazo (a la izquierda de la región de aceptación), la hipótesis nula que es µ = 43 se rechaza al nivel del 2% (0.02). Esto indica que aparentemente la máquina esta desajustada y esto debe informarse a Control de Calidad. José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

TABLA DE LA DISTRIBUCION  t-Student : 

20 TABLA DE LA DISTRIBUCION  t-Student José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

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PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL : 

22 PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Ejemplo 03: Se han propuesto dos procedimientos para armar un componente pequeño. La pregunta es Que método es mas eficaz, el desarrollado por Manley (que se designa como el Nº 1), o el que se desarrolla por Fox (que se designa como el Nº 2), Para evaluar objetivamente los dos métodos propuestos, se decidió realizar estudios de movimiento y tiempos para algunos componentes. El objetivo de estos estudios es comparar los tiempos medios de ensamblado por unidad para los dos procedimientos . José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL : 

23 PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL SOLUCIÓN 03: Paso 1: Plantear la hipótesis nula (H0) y la hipótesis alternativa (H1) (H0): µ1 = µ2 (H1): µ1 ≠ µ2 El objetivo de estos estudios es de comparar los tiempos medios de ensamblado por unidad para los dos procedimientos. La H0 plantea que no hay diferencia en el tiempo medio de armado entre los procedimientos Nº 1 y Nº 2. En esta aplicación de la distribución t s e supone que : 1) las observaciones en la muestra Nº 1 son independientes de las observaciones en la muestra para el Nº 2 y entre si. 2) Las dos poblaciones son aproximadamente normales 3) Las dos poblaciones tiene variancia igual José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL : 

24 PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Paso 2: Seleccionar el nivel de significación Se usara el nivel 0.10 Paso 3: Proporcionar el estadístico de prueba Tal estadístico es la distribución t de Student, ya que 1) no se conoce la desviación estándar de la población, y 2) el tamaño de muestra es pequeño (menos de 30), la formula es: José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL : 

25 PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Paso 4: Formular la regla de decisión Los valores críticos de t se encuentran en el apéndice del libro y en la tabla a continuación se muestra: r = Grados de Libertad = 5 + 6 – 2 = 9 α = 0.10 t = 1.833 -1.833 Escala de t 0 Región de Aceptación Región de Rechazo α/2 = 0.05 1.833 Región de Rechazo α/2 = 0.05 José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL : 

26 PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Paso 5: Calcular t y tomar una decisión Calculo de la variancias José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL : 

27 PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Paso 5: Calcular t y tomar una decisión Cálculo de la variancias S12= Σx12 - (Σx1)2 n1 n1 - 1 S12=8.5 S22=8.5 José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL : 

28 PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL 4 – 5 t = ( (5 – 1)*8.5+(6 - 1)4.4) 5 + 6 - 2 )( + 1 5 1 6 ) t = - 0.662 José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA OBSERVACIONES POR PARES : 

29 PRUEBA DE HIPOTESIS PARA OBSERVACIONES POR PARES Ejemplo 04: Una estación agrícola experimental de Iowa planea probar la eficacia de dos soluciones prerremontajes para semillas de maíz. El objetivo del experimento es determinar si hay diferencia en la eficacia de las dos soluciones, designadas solución A y solución B. Varias semillas de maíz, como Iowa, Whopper y Tyson Gold, se usarán en el experimento. Se seleccionan un par de semillas Iowa Whopper; una se remoja en la solución A y la otra en solución B. Después se siembran y se registran los tiempos de germinación y crecimiento (en días). Se repite este procedimiento para Tyson Gold y las otra semillas. El número de días necesarios para la germinación y el crecimiento hasta 6 pulgadas se muestra para cada par en la tabla que se presenta a continuación.

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30 SOLUCIÓN 04: Paso 1: Plantear la hipótesis nula (H0) y la hipótesis alternativa (H1) (H0): µd = 0 & (H1): µd ≠ 0 Paso 2: Seleccionar el nivel de significación Se usara el nivel 0.10 Paso 3: Proporcionar el estadístico de prueba José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL : 

31 PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Paso 4: Formular la regla de decisión Los valores críticos de t se encuentran en el apéndice del libro y en la tabla a continuación se muestra: r = Grados de Libertad = 9 – 1= 8 α = 0.10 t = 1.859 -1.859 Escala de t 0 Región de Aceptación Región de Rechazo α/2 = 0.05 1.859 Región de Rechazo α/2 = 0.05 José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL : 

32 PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Paso 5: Calcular t y tomar una decisión Calculo de las diferencias José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

PROBLEMAS PROPUESTOS : 

33 PROBLEMAS PROPUESTOS

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34 Problema 01: La experiencia en la investigación de demandas por accidentes en una institución aseguradora revela que en promedio cuesta $60 la realización de los trámites. Este costo se consideró exorbitante en comparación al de otras compañías aseguradoras y se instauraron medidas para reducir costos. A fin de evaluar el impacto de las medidas, se seleccionó una muestra de 16 demandas recientes. Se encontró un costo promedio de $57 y una desviación estándar de $10. Elabore una prueba de hipótesis que permita comprobar si los costos han disminuido, con un 99% de confianza. Problema 02: La longitud promedio de un elemento de equilibrio es de 43 milímetros. Se cree que con los ajustes realizados esta longitud pudo haber cambiado. Una muestra de 12 elementos reveló una media de 41,5 milímetros con una desviación de 1,78 milímetros. Con un nivel de significación de 0,02, ¿puede decirse que la longitud promedio ha cambiado? José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

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35 Problema 03: Una compañía fabrica máquinas cortadoras de grama. Se han propuesto dos métodos para el ensamblaje de las máquinas. Se desea conocer, dentro de un nivel de confianza del 90% si hay alguna diferencia entre los dos métodos, en cuanto al tiempo en el cual se puede ensamblar una máquina. La tabla que sigue los proporciona los datos muestrales: José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

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36 Problema 04: Por registros pasados se sabe que la duración promedio de unas pilas eléctricas que se fabrican para ser utilizadas en un reloj digital es de 300 días. Hace poco tiempo, el proceso de fabricación fue modificado para darle mayor duración. Para comprobar la efectividad del proceso modificado, se probó una muestra de 20 pilas, y se encontró una duración promedio de 311 días y una desviación estándar de 12 días. A un nivel de significación de 0,05, ¿puede afirmarse que el nuevo proceso aumenta la duración de las pilas? Problema 05: Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en promedio sus representantes de ventas realiza 40 visitas a profesores por semana. Varios de estos representantes piensan que realizan un número de visitas promedio superior a 40. Una muestra tomada al azar con 8 semanas reveló un promedio de 42 visitas semanales y una desviación estándar de 2 visitas. Utilice un nivel de confianza del 99% para aclarar esta cuestión. José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

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37 Problema 06: La gerencia de una fábrica está considerando un nuevo método de armado de su carrito de golf. El método actual requiere de 42,3 minutos de armado. Se incorporó un nuevo método de armado, y sobre una muestra de 24 vehículos, otorgó una media de 40,6 minutos de tiempo de armado, con una desviación de 2,7 minutos. A un nivel de confianza del 90%, ¿puede decirse que el nuevo método reduce e l tiempo de armado? Problema 07: Los registros de una comercializadora de repuestos para vehículos revelaron que la duración promedio de un juego de bujías es de 44.000 kilómetros. Un fabricante de bujías, sin embargo, afirmó que su producto tiene una vida media superior a este valor. El propietario de una flotilla de camiones adquirió 18 bujías, como prueba. Encontró una duración promedio de 42.400 kilómetros y la desviación 1.500. Esta información muestral convenció al propietario. ¿Y a Ud.? José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

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38 Problema 08: Una cadena de talleres para la afinación de motores de automóvil anuncia que su personal puede realizar el servicio completo (cambio de aceite, cambio del filtro de aceite, lavado y engrase de motor) en un promedio de 15 minutos. Sin embargo, la gerencia ha recibido quejas de los clientes en relación al tiempo de servicio. Para verificar la afirmación, la oficina muestreó a 21 automóviles, obteniendo una media de atención de 18 minutos y una desviación de 1 minuto. Utilice un nivel de significación de 0,05 para probar si es razonable la afirmación de la cadena de talleres. Problema 09: Se instala una máquina para llenar botellas pequeñas con 9,0 gramos de medicamento. Se piensa que el peso medio es de menos de 9,0 gramos. Una muestra de llenado se da a continuación. Pruebe la afirmación con un 99% de confianza. 9,2 8,7 8,9 8,6 8,8 8,5 8,7 9,0 José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

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39 Problema 10: La experiencia en la crianza de ciertos pollos ha demostrado que el peso promedio a los cinco meses es de 4,35 libras. A fin de aumentar el peso, un aditivo especial se mezcló con su alimento común. Los pesos de una muestra de pollos se muestra a continuación. En un nivel de significación de 0,01 ¿puede afirmarse que el aditivo aumentó el peso promedio? 4,41 4,37 4,33 4,35 4,30 4,39 4,36 4,38 4,40 4,59 Problema 11: Los pesos netos de las botellas de una muestra que llenó una máquina fabricada por Edne y los pesos netos en una muestra de botellas llenadas por una máquina similar que manufactura Orno, Inc. fueron los siguientes: Edne: 5 8 7 6 9 7 Orno: 8 10 7 11 9 12 14 9 Pruebe al nivel de significación de 0,05 que el peso medio de las botellas que llena la máquina que fabrica Orno es mayor. José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

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40 Problema 12: Una muestra de las calificaciones que presentaron hombres y mujeres en un examen de Estadística se sintetiza a continuación: ¿Son las calificaciones promedios iguales, o por el contrario, existe alguna diferencia entre ellas? Responda a esta pregunta con una prueba estadística de hipótesis que tenga un nivel de confianza del 99%. José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

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41 Problema 13: Un profesor está comparando las notas de dos secciones de Estadística. Ambas secciones tuvieron 60 estudiantes, pero el profesor quiere una conclusión rápida, fundamentado en una muestra pequeña. Así que observó en su planilla las siguientes calificaciones: ¿Se puede concluir, dentro de un nivel de confianza del 95%, que el promedio de notas de las dos secciones es igual? José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

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42 Problema 14: En una universidad, la encargada de bienestar social piensa que la responsabilidad por los estudios de los estudiantes de primer año hace que disminuyan la actividad física. Como esta está muy correlacionada con un correcto peso corporal, tomó una muestra de los pesos de 12 estudiantes, al comenzar el primer año y al finalizar. Los pesos fueron (en kilogramos): Antes 85 -70- 54- 56- 72- 103- 88- 77- 76 -69- 45 -91 Después 87-73-51-56-73-125 -87- 85-75-60-46 -107 Dentro de un nivel de confianza del 99%, ¿puede afirmarse que ha aumentado el peso corporal de los estudiantes durante el primer año? José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com

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