2010 II - ESTADISTICA - CLASE N� 04

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Tema Nº 04: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Facultad de Química e Ingeniería Química E.A.P. de Química Ing. José Manuel García Pantigozo 2010 - II UNMSM ESTADISTICA A

Objetivos de Aprendizaje : 

2 Objetivos de Aprendizaje Definir una distribución de probabilidad. Distinguir entre una distribución probabilística discreta y una distribución probabilística continua. Calcular la media, la variancia y la desviación estándar de una distribución de probabilidad. Elaborar una distribución Binomial, una distribución Hipergeométrica y una distribución de Poisson. Determinar que distribución probabilística emplear en la una situación dada.

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¿Qué es una Distribución Probabilística?

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Una distribución probabilística es la enumeración de todos los resultados de un experimento junto con las probabilidades asociadas. DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS

Distribución Probabilística : 

Distribución Probabilística La distribución de una variable X se define como una descripción del conjunto de valores posibles de X, junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores Para una variable aleatoria discreta la distribución de probabilidad se describe mediante una función de probabilidad, representada por f(x). Donde esta función define la probabilidad de cada valor de la variable analizada

Condiciones Requeridas Para Una Función Discreta : 

Condiciones Requeridas Para Una Función Discreta Cantidad discreta Probabilidad

Función de probabilidad Uniforme Discreta : 

Es la representación más sencilla de distribución de probabilidad, se define como: Función de probabilidad Uniforme Discreta

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8 DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS Características de una distribución probabilística: La probabilidad de un resultado siempre debe estar entre 0 y 1. La suma de todos los resultados mutuamente excluyentes siempre es 1.

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Variable Aleatoria

Variables aleatorias : 

Variables aleatorias Es una descripción numérica del resultado de un experimento aleatorio. De acuerdo a lo anterior las podemos clasificar como discretas o continuas. Las discretas son variable aleatorias con un rango finito (o infinito contable). Las continuas son variables que pueden asumir cualquier valor en un intervalo o conjunto de intervalos. Una forma de determinar si una variable es continua o discreta es imaginarse que los valores de esa variable son los puntos en una recta numérica.

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Una variable aleatoria es un valor numérico determinado por el resultado de un experimento. Ejemplo 1: considere un experimento aleatorio en el que se lanza tres veces una moneda. Sea X el número de caras. Sea H el resultado de obtener una cara y T el de obtener una cruz. El espacio muestral para este experimento será: TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH. Entonces, los valores posibles de X (número de caras) son x = 0, 1, 2, 3, El resultado será: “cero caras” ocurrió una vez, “una cara” ocurrió tres veces, “dos caras” ocurrió tres veces y “tres caras” ocurrió una vez. De la definición de variable aleatoria, la X definida en este experimento, es una variable aleatoria. VARIABLE ALEATORIA

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Una variable aleatoria discreta es una variable que puede tomar sólo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna característica de interés. Ejemplo 2: sea X el número de caras obtenidas al lanzar 3 veces una moneda. Aquí los valores de X son x = 0, 1, 2, 3 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD (V. DISCRETAS) : 

13 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD (V. DISCRETAS) Asigna a cada posible valor de una variable discreta su probabilidad. Recuerda los conceptos de frecuencia relativa y diagrama de barras. Ejemplo Número de caras al lanzar 3 monedas.

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Si se mide algo, como el tamaño de una pieza metálica, se dice que es una variable aleatoria continua. Puede tomar una cantidad infinita de valores dentro de ciertas limitaciones. Ejemplo 3: La presión de un neumático en (lb/pulg2) podría ser 28.0, 28.6, 28.62, 28.624 y así sucesivamente, dependiendo de la exactitud del medidor. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

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15 Definición Es una función no negativa de integral 1. Piénsalo como la generalización del histograma con frecuencias relativas para variables continuas. ¿Para qué lo voy a usar? Nunca lo vas a usar directamente. Sus valores no representan probabilidades. FUNCIÓN DE DENSIDAD (V. CONTINUA)

¿PARA QUÉ SIRVE LA FUNCION DENSIDAD? : 

16 ¿PARA QUÉ SIRVE LA FUNCION DENSIDAD? Muchos procesos aleatorios vienen descritos por variables de forma que son conocidas las probabilidades en intervalos. La integral definida de la función de densidad en dichos intervalos coincide con la probabilidad de los mismos. Es decir, identificamos la probabilidad de un intervalo con el área bajo la función de densidad.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN : 

17 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Es la función que asocia a cada valor de una variable, la probabilidad acumulada de los valores inferiores o iguales. Piénsalo como la generalización de las frecuencias acumuladas. Diagrama integral. A los valores extremadamente bajos les corresponden valores de la función de distribución cercanos a cero. A los valores extremadamente altos les corresponden valores de la función de distribución cercanos a uno. Lo encontraremos en los artículos y aplicaciones en forma de “p-valor”, significación,…

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN : 

18 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Es la función que asocia a cada valor de una variable, la probabilidad acumulada de los valores inferiores o iguales. Piénsalo como la generalización de las frecuencias acumuladas. Diagrama integral. A los valores extremadamente bajos les corresponden valores de la función de distribución cercanos a cero. A los valores extremadamente altos les corresponden valores de la función de distribución cercanos a uno. Lo encontraremos en los artículos y aplicaciones en forma de “p-valor”, significación,…

¿PARA QUÉ SIRVE LA FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN? : 

19 ¿PARA QUÉ SIRVE LA FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN? Contrastar lo anómalo de una observación concreta. Sé que una persona de altura 210cm es “anómala” porque la función de distribución en 210 es muy alta. Sé que una persona adulta que mida menos de 140cm es “anómala” porque la función de distribución es muy baja para 140cm. Sé que una persona que mida 170cm no posee una altura nada extraña pues su función de distribución es aproximadamente 0,5.

¿PARA QUÉ SIRVE LA FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN? : 

20 ¿PARA QUÉ SIRVE LA FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN? Relaciónalo con la idea de cuantil. En otro contexto (contrastes de hipótesis) podremos observar unos resultados experimentales y contrastar lo “anómalos” que son en conjunto con respecto a una hipótesis de terminada. Intenta comprender la explicación de clase si puedes. Si no, ignora esto de momento. Revisita este punto cuando hayamos visto el tema de contrastes de hipótesis.

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21 La media o esperanza matemática es una medida de localización, que indica el valor alrededor del cual fluctúa la variable aleatoria; si ésta es continua, la media se define como: MEDIA DE UNA DISTRIBUCION PROBABILISTICA µ = E(X) = Σ[x*P(X)]

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La variancia describe el grado de dispersión en una distribución. VARIANCIA DE UNA DISTRIBUCION PROBABILISTICA σ2= E(X) = Σ[(X - µ)2*P(X)]

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23 Una persona vende autos nuevos para una empresa. Generalmente negocia el mayor numero de autos los sábados. Ha establecido la siguiente distribución de probabilidad para el numero de autos que espera vender en un sábado en particular. Ejemplo 4 1. ¿Qué tipo de distribución es esta? 2. En un sábado común, ¿Cuántos autos desea vender? 3. ¿Cuál es la variancia de la distribución?

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Es una distribución de probabilidad discreta (las respuestas son mutuamente excluyentes). El numero medio de autos vendidos: µ = Σ[x*P(X)]=0(0.1) +1(0.2)+ 2(0.3)+ 3(0.3)+4(0.1)=2.1 Ejemplo 4 (continuación)

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25 Ejemplo 4 (continuación) σ2= 1.290 σ= 1.136 3. De nuevo es util una tabla para sistematizar los cálculos para la variancia. Su valor es 1.290

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26 Ejemplo 5: Una empresa ofrece tres tamaños de un refresco (pequeño, mediano y grande) como complemento de pizzas. Las bebidas se venden a 50, 75 y 90 centavos de dólar respectivamente. De los pedidos, 30% son para el tamaño pequeño, 50% para el mediano y 20% para el grande. 1.¿Es esta una distribución probabilística discreta? Indique porque si o porque no. 2. Calcule la cantidad media cobrada por el refresco. 3.¿Cual es la variancia del cobro por la bebida? ¿la desviación estándar? Solución 1. Si, la suma de probabilidades es igual a 1.

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27 Ejemplo 6: (continua) Solución 2. Cantidad media cobrada por el refresco. Solución 3:

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28 DISTRIBUCION BINOMIAL

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1ERA CARACTERISTICA: Se ocupa de experimentos en donde cada resultado puede tomar solo una de dos formas. La respuesta de una pregunta del tipo verdadero-falso. Cada resultado es mutuamente excluyente (esto quiere decir que la respuesta no puede ser verdadero y falso al mismo tiempo). También puede ser denotado como éxito y fracaso. DISTRIBUCION PROBABILISTICA BINOMIAL

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DISTRIBUCION PROBABILISTICA BINOMIAL EJEMPLO DE EXPERIMENTOS: Experimento: seleccionar juguete de una línea de producción Resultado: El juguete funciona (éxito) El juguete no funciona (fracaso) Experimento: preguntar a un consumidor si le gusta la coca cola Resultado: Le gusta la coca cola (éxito) No le gusta la coca cola(fracaso)

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2DA CARACTERISTICA: Los datos recopilados son resultado de conteos. Es por esta razón que la distribución binomial se clasifica como discreta. DISTRIBUCION PROBABILISTICA BINOMIAL 3RA CARACTERISTICA: Que la probabilidad de un éxito permanece igual de un ensayo a otro.

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32 DISTRIBUCION PROBABILISTICA BINOMIAL Ejemplo 7: La probabilidad que se adivine la 1era pregunta de una prueba de verdadero o falso en forma correcta (éxito) es 0.5;la probabilidad de adivinar la 2da pregunta (2do ensayo) es 0.5; la probabilidad de éxito en el 3er ensayo es 0.5, y así sucesivamente. La probabilidad que salga 6 al lanzar un dado es 1/6;la probabilidad de que salga 6 de nuevo (2do ensayo) también es 1/6; la probabilidad de éxito en el tercer ensayo es 0.5, y así sucesivamente.

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33 4TA CARACTERISTICA: Es que un ensayo es independiente de otro. No existe un patrón rítmico con respecto a los resultados. DISTRIBUCION PROBABILISTICA BINOMIAL

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34 Ejemplo 8: Experimento aleatorio: n = 3 lanzamientos de una moneda. Probabilidad de éxito en cada lanzamiento (cara) = p. Probabilidad de fracaso en cada lanzamiento (cruz) = 1- p = q.

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DISTRIBUCION PROBABILISTICA BINOMIAL Para elaborar una distribución binomial, sean el número de ensayosr el número de éxitos observadosp la probabilidad de éxito en cada ensayo q la probabilidad de fracaso, que se obtiene por 1- p.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL : 

36 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Función de probabilidad Problemas de cálculo si n es grande y/o p cercano a 0 o 1. Media: μ =n p Varianza: σ2 = n p q

Propiedades de la Distribución Binomial : 

Propiedades de la Distribución Binomial

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38 Ejemplo 9: ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia de 4 hijos exactamente 2 sean niñas?

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39 Ejemplo10: Si una décima parte de personas tiene cierto grupo sanguíneo, ¿cuál es la probabilidad de que entre 100 personas escogidas al azar exactamente 8 de ellas pertenezcan a este grupo sanguíneo?

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40 Ejemplo 11: ¿Y si la pregunta es 8 como máximo?

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41 Ejemplo 12: Calcula la probabilidad de obtener al menos dos seises al lanzar un dado cuatro veces. p = 1/6, q = 5/6, n = 4 Al menos dos seises, implica que nos valen k = 2, 3, 4. P(2) + P(3) + P (4)

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42 Ejemplo 13: Supongamos que la probabilidad de encontrar una estrella de masa m* >10 M en un cúmulo estelar joven es del 4%. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra escogida al azar, entre 10 miembros del cúmulo encontremos 3 estrellas con m* >10 M?

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43 Ejemplo 14: Elige un número entre 1 y 6. Lanzas 3 dados. Si el número que has elegido sale en los 3 dados cobras 3 euros. Si sale en 2 cobras 2 euros. Si sale en un dado cobras 1 euro. Y si no sale en ninguno, pagas 1 euro. ¿Es un juego justo?

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44 TABLA B(n,p)

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48 Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características: En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario`A (fracaso). El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por  p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de `A   es  1- p  y la representamos por  q . El experimento consta de un número  n  de pruebas. Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la Distribución Binomial. A la variable  X  que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos Variable Aleatoria Binomial.

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49 La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n  suponiendo que se han realizado  n  pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener  k-éxitos  y  (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k). La distribución Binomial se suele representar por  B(n,p)  siendo  n  y  p  los parámetros de dicha distribución.

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL : 

50 CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL n = 5 p = 0.1 n = 5 p = 0.5 Media = E(X) = n p = 5 · 0.1 = 0.5 = 5 · 0.5 = 0.25 Desviación estándar 0 .2 .4 .6 0 1 2 3 4 5 X P(X) .2 .4 .6 0 1 2 3 4 5 X P(X) 0

Parámetros de la Distribución Binomial : 

51 Parámetros de la Distribución Binomial Función de Distribución de la v.a. Binomial

Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribución binomial. : 

52 Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribución binomial.

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Ejemplo 15: Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa. Solución : Se trata de una distribución binomial de parámetros B(50, 0'007) y debemos calcular la probabilidad  p(r=1).

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Ejemplo 16: La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes: a)Ninguno sufra la enfermedadb)Todos sufran la enfermedadc)Dos de ellos contraigan la enfermedad Solución : Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0'72)

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56 Ejemplo 17: La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar:a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000b) La varianza y la desviación típica.Solución :

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57 Ejemplo 18: Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos. r = variable que nos define el número de accidentes debidos a errores humanos. Solución a)

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58 r = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores de tipo humano p = p (éxito) = p (un accidente se deba a errores humanos) = 0.75 q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25 Solución a)

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Solución b) Solución c) En este caso cambiaremos el valor de p; n =5 r = variable que nos define el número de accidentes que no se deben a errores de tipo humano

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60 r = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores humanos p = p(probabilidad de que un accidente no se deba a errores humanos) = 0.25 q = p(probabilidad de que un accidente se deba a errores humanos) = 1-p = 0.75

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61 Ejemplo 19 Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de que: a) el vapor se condense en 4 de los tubos, b) en más de 2 tubos se condense el vapor, c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos. n =12 r = variable que nos define el número de tubos en que el vapor se condensa r = 0, 1, 2, 3,...,12 tubos en el que el vapor se condensa Solución a)

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62 r = 0, 1, 2, 3,...,12 tubos en el que el vapor se condensa p =p(se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm)= 0.40 q = p(no se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm) = 1-p=0.60 P(r) = 12! 4!(12 – 4)! (0.404)(0.6012-4) = 0.21284 Solución a)

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P(r)= 1 - 12! 0!(12 – 0)! (0.750)(0.2512-0) + 12! 2!(12 – 2)! (0.752)(0.2512-2) = 0.91656 Solución b) p(r=3,4,..,12,n=12,p=0.4)=p(r=3)+p(r=4)+.+p(r=12)=1-p(r=0,1,2)= 12! 1!(12 – 1)! (0.751)(0.2512-1) + Solución c)

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Ejemplo 20: La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la probabilidad de que; a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB, b) por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB, c)que entre 4 y 6 amplificadores no se excedan de los 2 dB, d)encuentre el número esperado de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2dB y su desviación estándar.

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n =10 r =variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruido excede de 2 dB. Solución a) r = 0, 1, 2,...,10 amplificadores en los que el nivel de ruido excede de los 2 dB p = P(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.15 q = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB =1-p= 0.85

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P(r)= 1- 10! 0!(10 – 0)! (0.150)(0.8510-0) + 0.455705 Solución b) 10! 1!(10 – 1)! (0.151)(0.8510-1) p(r=2,3,4,5,6,7,8,9,10, n=10, p=0.15)= 1- p(x = 0,1) = P(r) = Solución c) n=10 r= variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruido no excede de 2 dB

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r= 0, 1, 2,...,10 amplificadores que su nivel de ruido no excede de los 2 dB p = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.85 q = p(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 1- p = 0.15 P(r)= 10! 4!(10 – 4)! (0.854)(0.1510-4) + 10! 6!(10 – 6)! (0.856)(0.1510-6) = 0.01374897 Solución c) 10! 5!(10 – 5)! (0.855)(0.1510-5) +

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n=10, p=0.15, q=1-p=0.85 Solución d) µ = np = (10)(0.15) = 1.5 = 2 amplificadores

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Ejemplo 21: El gerente de una gran tienda necesita determinar cual es la probabilidad de que 2 de tres clientes que ingresan a la tienda hagan una compra. Él sabe que la probabilidad de que un cliente compre es de 0.3 Cantidad de resultados experimentales Probabilidad de cada resultado experimental en donde 2 de los tres clientes compran Luego 3·0.063 = 0.189, probabilidad de que de 3 clientes que ingresan a la tienda 2 compren

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Ejemplo 22: ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces? El número de aciertos k es 6. Esto es x=6 El número de experimentos n son 10 La probabilidad de éxito p, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda es 50% ó 0.50 La fórmula quedaría: P (k = 6) = 0.205 Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda es de 20.5% .

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Ejemplo 23: ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar un dado ocho veces? Solución: El número de aciertos k es 4. Esto es x=4 El número de experimentos n son 8 La probabilidad de éxito p (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es 1 / 6 (= 0.1666) La fórmula queda: P (k = 4) = 0.026 Es decir, que la probabilidad de obtener cuatro veces el números 3 al tirar un dado 8 veces es de 2.6%.

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Solución : Se trata de una distribución binomial de parámetros B(12, 0.05). Debemos calcular la probabilidad de que x sea igual a k que en este caso es 2. Esto es P (k=2). Busque en la parte izquierda de la tabla n=12, luego en la parte superior p=0.05 . La probabilidad estará en x=2 El resultado es 0.0988 Ejemplo 24: En una fábrica de cámaras el 5% sale con defectos. Determine la probabilidad de que en una muestra de 12 se encuentren 2 cámaras defectuosas.

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Solución : Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0.10). Debemos calcular la probabilidad  P(X=3). El resultado es 0.1285 Ejemplo 25: En una oficina de servicio al cliente se atienden 100 personas diarias. Por lo general 10 personas se van sin recibir bien el servicio. Determine la probabilidad de que en una encuesta a 15 clientes 3 no hayan recibido un buen servicio.

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Ejemplo 26: Los reportes de quejas de clientes indican que el producto XYZ tiene una probabilidad de cumplir con su función del 90%. Si se envía un lote de 18 productos, ¿cuál es la probabilidad de encontrar: 2 que no cumplen? Solución: n=18, =0.10. Los envíos de lotes son independientes. 2 que no cumplen? P(x=2)=?

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Ejemplo 27: Representar la calidad de fumador; Y=1, adulto actualmente fumador Y=2, adulto no fumador Los dos resultados son mutuamente excluyentes y exhaustivos. En 1987, 29% de los adultos de EEUU fumaban cigarros, puros o pipas Se puede enumerar las probabilidades asociadas con los respectivos resultados de Y de la siguiente manera:

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SI FUMA P(Y=1) = p = 0.29 P(Y=0) = 1 – p = 1.00 - 0.29 = 0.71 NO FUMA Según los cálculos, se determina que el 29% de las población adulta de estados unidos en 1987 es fumadora, y el 71% de ella no lo es.

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77 DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

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78 Se aplica al muestreo sin reposición de una población finita, cuyos elementos pueden ser clasificados en dos categorías:Defectuosos (S) y no defectuosos (N-S). N - S S

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA : 

79 DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA N Tamaño de la población S Número de éxitos en la población r Número de éxitos que interesan (0,1,2,3,...) n Tamaño de la muestra C Símbolo de la combinación

ESPERANZA MATEMATICA DE UNA VARIABLE HIPERGEOMETRICA : 

80 ESPERANZA MATEMATICA DE UNA VARIABLE HIPERGEOMETRICA VARIANZA DE UNA VARIABLE HIPERGEOMETRICA σ2= E[(X - µ)2]

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81 Ejemplo 1: Una empresa durante la semana fabricó 50 DVDs (N=50). Operaron sin problemas 40 (S=40) y 10 tuvieron al menos un defecto. Se selecciona al azar una muestra de 5 (n=5). Utilizando la fórmula hipergeométrica ¿Cuál es la probabilidad que cuatro (r=4) de los cinco operarán sin problemas? (Observar que se hace sin reposición y que el tamaño de muestra de 5 es de 10% de la población. Esto es mayor que la condición de 5%).

Solución: : 

82 Solución: N = 50 S = 40 r = 4 n = 5

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83

Solución: : 

84 Ejemplo 2: Una empresa durante la semana fabricó 50 DVDs (N=50). Operaron sin problemas 40 (S=40) y 10 tuvieron al menos un defecto. Se selecciona al azar una muestra de 5 (n=5). Utilizando la fórmula hipergeométrica ¿Cuál es la probabilidad que cuatro (r=3) de los cinco operarán sin problemas? (Observar que se hace sin reposición y que el tamaño de muestra de 5 es de 10% de la población. Esto es mayor que la condición de 5%). Solución: N=50;S= 40;r= 3; n = 5

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85 Ejemplo 3: Se acaba de recibir un embarque de 10 TV. Poco después de recibirlos, el fabricante llamó para informar que por descuido se habían enviado tres aparatos defectuosos. Se decidió probar dos de estos ¿Cuál es la probabilidad que ninguno de los dos este defectuoso?

Solución: : 

86 Solución: N = 10 S = 7 r = 2 n = 2 Pr = (7C2)*(10-7C2-2) (10C2) = 0.466667

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87 Ejemplo 4: Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos?

Solución: : 

88 Solución: N = 10 S = 3 r = 4 n = 2

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89 Ejemplo 5: Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?.

Solución: : 

90 Solución: N = 15; S = 6 ; r = 1,2,3; n = 3 a) Pr = (6C1)*(15-6C6-1)+ (15C3) (6C2)*(15-6C6-2)+ (6C3)*(15-6C6-3)

Solución: : 

91 Ejemplo 6: De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) al menos 2 no exploten? Solución: N = 10; S= 7 ; r = 4 ;n = 4 a)

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92 b) = 0.333333 Pr = 63 210 7 +

Solución: : 

93 Ejemplo 7: a)¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?, b) ¿Cúal es la probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad? Solución: N = 9;S = 4 ;r = 2;n = 5

b) : 

94 b) N= 9; S = 4; r = 0,1 y 2; n = 5

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95 EjERCICIO PROPUESTO: Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra uno, la caja entera se regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso, la caja se embarca. a)¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículos defectuosos?, b)¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo un artículo defectuoso se regresa para verificación?

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96 DISTRIBUCION DE POISSON

DISTRIBUCIÓN DE POISSON : 

DISTRIBUCIÓN DE POISSON También se denomina de sucesos raros. Se obtiene como aproximación de una distribución binomial con la misma media, para ‘n grande’ (n>30) y ‘p pequeño’ (p<0,1). Queda caracterizada por un único parámetro μ (que es a su vez su media y varianza.) Función de probabilidad:

DISTRIBUCIÓN DE POISSON : 

Distribución de Probabilidad Discreta DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Propiedades de la distribución Poisson : 

Propiedades de la distribución Poisson

EJEMPLOS DE VARIABLES DE POISSON : 

EJEMPLOS DE VARIABLES DE POISSON El número de individuos que será atendido un día cualquiera en el servicio de urgencias del hospital clínico universitario. En Málaga hay 500.000 habitantes(n grande) La probabilidad de que cualquier persona tenga un accidente es pequeña, pero no nula. Supongamos que es 1/10.000 Bin (n=500.000,p=1/10.000)≈ Poisson(μ=np=50)

EJEMPLOS DE VARIABLES DE POISSON : 

101 EJEMPLOS DE VARIABLES DE POISSON Sospechamos que diferentes hospitales pueden tener servicios de traumatología de diferente “calidad” (algunos presentan pocos, pero creemos que aún demasiados, enfermos con secuelas tras la intervención). Es dificil compararlos pues cada hospital atiende poblaciones de tamaños diferentes (ciudades, pueblos,…) Tenemos en cada hospital n, nº de pacientes atendidos o nº individuos de la población que cubre el hospital. Tenemos p pequeño calculado como frecuencia relativa de secuelas con respecto al total de pacientes que trata el hospital, o el tamaño de la población,… Se puede modelar mediante Poisson(μ=np)

CARACTERÍSTICAS DE POISSON : 

102 CARACTERÍSTICAS DE POISSON En este tipo de experimentos los éxitos buscados se expresan por unidad de área, tiempo, pieza, etc,: # de defectos de una tela por m2 # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc. # de bacterias por cm2 de cultivo # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc. # de llegadas de barcos a un puerto por día, etc.

CARACTERÍSTICAS DE POISSON : 

103 CARACTERÍSTICAS DE POISSON Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

Solución: a) : 

104 Ejemplo 1: Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos? Solución: a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc. µ = 6 cheques sin fondo por día e = 2.718 P(x)= µx X!eµ = 64 4!e6 = 0.13392

Solución: b) : 

105 x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc. µ = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos Nota: µ siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x. Solución: b) P(x)= µx X!eµ = 1210 10!e12 = 0.104953

Solución: a) : 

106 Ejemplo 2: En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos. Solución: a) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc. µ = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata P(x)= µx X!eµ = 0.61 1!e0.6 = 0.329307

Solución: b) : 

107 x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc. µ = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata. Solución: b) P(x)= 1 - 11 1!e1 = 0.26416 10 0!e1 +

Solución: c) : 

108 x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc. µ= 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata Solución: c)

Ejemplo 3: Cierta enfermedad tiene una probabilidad de ocurrir, p=1/100.000. Calcular la probabilidad de que en una ciudad con 500.000 habitantes haya más de 3 personas con dicha enfermedad. : 

109 Ejemplo 3: Cierta enfermedad tiene una probabilidad de ocurrir, p=1/100.000. Calcular la probabilidad de que en una ciudad con 500.000 habitantes haya más de 3 personas con dicha enfermedad. Si consideramos la v.a. X que contabiliza el número de personas que padecen la enfermedad, es claro que sigue un modelo binomial, pero que puede ser muy bien aproximado por un modelo de Poisson, de modo que X->B (n=500000,p=1/100000) ->X ->Poi(λ=5) Así el número esperado de personas que padecen la enfermedad es E [X] = 5 .Como Var [X] = 5 ,existe una gran dispersión, y no sería extraño encontrar que en realidad hay muchas más personas o menos que están enfermas. La probabilidad de que haya más de tres personas enfermas es: Solución :

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110 P [X>3] = 1 – P[ X ≤ 3 ] P [X>3] = 1 – P[ X = 0] - P[X=1] - P[ X = 2 ] - P[ X = 3 ] P [X>3] = 1 - e-5*0 – e-5*1 - e-5*2 – e-5*3 P [X>3] = 0,735 Solución : (continua)

Ejemplo 4: El número de enfermos que solicitan atención de urgencia en un hospital durante un periodo de 24 horas tiene una media de m = 43.2 pacientes. Unas obras en las instalaciones mermarán las capacidades de atención del servicio, el cual se sabe que colapsará si el número de enfermos excede de 50. ¿Cual es la probabilidad de que colapse el servicio de urgencias del hospital? . : 

111 Ejemplo 4: El número de enfermos que solicitan atención de urgencia en un hospital durante un periodo de 24 horas tiene una media de m = 43.2 pacientes. Unas obras en las instalaciones mermarán las capacidades de atención del servicio, el cual se sabe que colapsará si el número de enfermos excede de 50. ¿Cual es la probabilidad de que colapse el servicio de urgencias del hospital? . Bajo las condiciones del modelo de Poisson, se trata de una distribución P(43.2). La probabilidad solicitada es Solución : Pr(X>50) = 1 – Pr(X≤50) = 1 – F(50) Pr(X>50) = 0.1343

Ejemplo 5: Un equipo tiene dos componentes: A y B. El componente A se rompe, en promedio, cada 400hs; el componente B, cada 600hs. El equipo deja de funcionar cuando se rompe cualquiera de esos dos componentes. ¿Cuál es la probabilidad de que ese equipo funcione por menos de 800hs? : 

112 Ejemplo 5: Un equipo tiene dos componentes: A y B. El componente A se rompe, en promedio, cada 400hs; el componente B, cada 600hs. El equipo deja de funcionar cuando se rompe cualquiera de esos dos componentes. ¿Cuál es la probabilidad de que ese equipo funcione por menos de 800hs? Sea XA la cantidad de tiempo que funciona la máquina A, con distribución exponencial negativa y λA=1/400 y XB la cantidad de tiempo que funciona la máquina B, con distribución exponencial negativa y λB=1/600 . De aquí en adelante, podemos resolver el problema de al menos dos maneras: Solución :

Opción a: La probabilidad de que el sistema dure menos de 800hs es P((XA<800)) U (XB . Esto se debe a que el sistema trabaja “en serie“. Las dos situaciones NO son disjuntas, por lo que la unión debe expresarse como la suma de la probabilidad de cada una, menos la intersección (como son independientes, la intersección se calcula como el producto). : 

113 Opción a: La probabilidad de que el sistema dure menos de 800hs es P((XA<800)) U (XB . Esto se debe a que el sistema trabaja “en serie“. Las dos situaciones NO son disjuntas, por lo que la unión debe expresarse como la suma de la probabilidad de cada una, menos la intersección (como son independientes, la intersección se calcula como el producto). Opción b: Como la duración del equipo viene dada por la del componente que se rompa primero, la distribución de su duración es la del mínimo entre . La probabilidad de que se rompa antes de las 800hs sería integrar eso entre 0 y 800. Al buscar la fórmula para obtener la distribución del mínimo, tener en cuenta que son dos variables independientes con distinta tasa de falla. El resultado final es 0,9643.

Ejemplo 6: Unas galletitas tienen pedacitos de chocolate blanco y pedacitos de chocolate negro. Los pedacitos negros tienen una distribución de Poisson, con una media de 4 pedacitos/galleta; los blancos también tienen una distribución de Poisson pero la media es de 3 pedacitos/galleta. Un paquete de estas galletitas trae 8 unidades. ¿Cuál es la probabilidad de que en el mismo paquete haya al menos 2 galletitas sin ningún pedacito de chocolate? : 

114 Ejemplo 6: Unas galletitas tienen pedacitos de chocolate blanco y pedacitos de chocolate negro. Los pedacitos negros tienen una distribución de Poisson, con una media de 4 pedacitos/galleta; los blancos también tienen una distribución de Poisson pero la media es de 3 pedacitos/galleta. Un paquete de estas galletitas trae 8 unidades. ¿Cuál es la probabilidad de que en el mismo paquete haya al menos 2 galletitas sin ningún pedacito de chocolate? Se puede considerar un proceso Bernoulli el agarrar una galletita y comprobar si tiene algún copito o no.La p de que no tenga copitos es la P de que no tenga blancos Y no tenga negros. Son independientes, así que esa intersección es el producto de ambas probabilidades . Otra opción es considerar una variable que represente el total de copitos ( ); su distribución también será de Poisson y su media será la suma de las media. Solución :

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115 En este caso, El número de veces que se lleva a cabo el experimento es 8 (n=8). Como piden que AL MENOS 2 no tengan copitos, conviene sacar la P de que ninguna tenga copitos y la de que 1 no tenga copitos, sumarlas, y restarlas a 1. Solución : Resultado: 5,44x10-5

Slide 116: 

Ejemplo 7: Determinar la cantidad de personas de una población de 10,000 que se involucra en un accidente vehicular cada año. Solución: El número de personas implicadas sería la siguiente la cual también es la varianza:

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La probabilidad de que nadie en esta población tenga un accidente en un año en particular es La probabilidad de que exactamente una persona tenga como uno es de

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De manera análoga, Debido a que los resultados de X son mutuamente excluyentes y exhaustivos

Ejercicio Propuesto: El número de llamadas que llegan a cierta Central Telefónica en determinado periodo de tiempo sigue un proceso de Poisson de tasa 180 llamadas la hora. La capacidad de la Central Telefónica permite atender un máximo de 5 llamadas por minuto. Calcular:a) La probabilidad de que en un minuto determinado se reciban mas llamadas de las que se pueden atender.b) La probabilidad de que en un intervalo de 5 minutos se produzcan mas de 10 llamadas.c) La probabilidad de que en 2 minutos se produzcan exactamente 4 llamadas.d) El número medio de minutos por hora en que la Central Telefónica podrá atender todas las llamadas recibidas.e) La probabilidad de que no se produzca saturación en ningún minuto a lo largo de una hora. : 

119 Ejercicio Propuesto: El número de llamadas que llegan a cierta Central Telefónica en determinado periodo de tiempo sigue un proceso de Poisson de tasa 180 llamadas la hora. La capacidad de la Central Telefónica permite atender un máximo de 5 llamadas por minuto. Calcular:a) La probabilidad de que en un minuto determinado se reciban mas llamadas de las que se pueden atender.b) La probabilidad de que en un intervalo de 5 minutos se produzcan mas de 10 llamadas.c) La probabilidad de que en 2 minutos se produzcan exactamente 4 llamadas.d) El número medio de minutos por hora en que la Central Telefónica podrá atender todas las llamadas recibidas.e) La probabilidad de que no se produzca saturación en ningún minuto a lo largo de una hora.

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Tema Nº 04: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Facultad de Química e Ingeniería Química Ing. José Manuel García Pantigozo calidadtotal@hotmail.com 2009 - II UNMSM ESTADISTICA A

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