Fractais e Geometria Fractal

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FRACTAIS E GEOMETRIA FRACTAL ,Trabalho realizado por: Afonso Ruas, André Silvestre, Diogo Romeira, Henrique Lopes, Ian Hou e Paulo Pereira 11.º/12.º A1 Apresentado na Semana da Cultura Científica 2017 (24 a 30 de novembro de 2017) no Auditório da Escola Secundária de Tavira: Palestra Interpares de Matemática – 28 de novembro de 2017 Parceria entre os professores de Matemática, José Mesquita e Telma Costa, e a Biblioteca ESJAC

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Fractais e Geometria Fractal Trabalho realizado por: Afonso Ruas, nº1; André Silvestre, nº5; Diogo Romeira, nº8; Henrique Lopes, nº11; Ian Hou, nº12; Paulo Pereira, nº23 Matemática A Agrupamento de Escolas Dr. Jorge Augusto Correia Turma: 11ºA1 1

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Introdução A Geometria Fractal surge em meados do séc. XX quando Benoît Mandelbrot, impulsionado pelo seu amor à matemática e baseando-se em conteúdos e trabalhos anteriormente explorados por outros matemáticos que o antecederam, insere a ideia de fractal no “mundo” matemático. Objetivos: Perceber o que é um fractal; Como surgiu e evoluiu esta área do saber matemático; Como Mandelbrot impulsionou o seu desenvolvimento. 12/02/2018 2

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Parte I Vida e obra de Benoît Mandelbrot; História dos Fractais. 12/02/2018 3

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1. Vida e obra de Benoît Mandelbrot Benoît Mandelbrot nasceu na Polónia em 1924. Aos 11 anos de idade muda-se para Paris. Incentivado pelo seu tio que ensinava matemática na universidade, Mandelbrot ganha interesse pela matemática, focando-se, mais tarde, na Geometria. Entre 1939 e 1947, permanece em França, frequentando diversas universidades, nomeadamente a École Polytechnique onde estuda sob a supervisão de Gaston Julia e Paul Lévy. Entre 1947 e 1949, frequenta a Caltech , onde obtém o mestrado em aeronaútica. 12/02/2018 Fig. 1 – Benoît Mandelbrot (Benoît Mandelbrot, s.d. ) 4

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Em 1952 tira o doutoramento em Ciências Matemáticas na Universidade de Paris. Passa os próximos 3 anos entre França e os Estados Unidos. Após este período, em 1958 , Benoît instala-se nos EUA e Mandelbrot inicia a sua colaboração com a IBM. Aqui ajuda os engenheiros a resolver um problema de ruído ao tentarem transmitir dados informáticos através de linhas telefónicas. Os dados por vezes não chegavam ao destino; as linhas tornavam-se extremamente ruidosas o que não permitia a propagação da informação. Mandelbrot apresenta um modelo explicativo do problema, representando-o graficamente (Fig.2). 12/02/2018 5

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12/02/2018 Fig. 2 - Gráficos de ruído/erros para diferentes escalas de tempo. (Fractais Dimensão Oculta)   Isto recordou-lhe algo que tinha visto em pequeno, um mistério matemático. Fica extremamente fascinado, dedicando-se a certos problemas que pareciam todos ter uma certa semelhança na sua base. Todos se relacionavam por algo, a que Benoît denomina Fractal, inserindo este termo no mundo matemático. 6

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Apesar de inicialmente subestimado, o seu trabalho é aceite e exposto em vários livros publicados pelo matemático. Desenvolve o seu próprio conjunto, o Conjunto de Mandelbrot, baseado em trabalhos de outos matemáticos que o antecederam. Além de trabalhar na IBM durante 35 anos, Mandelbrot foi professor de Matemática, de engenheira e de economia em várias universidades, como em Harvard. Recebeu diversos doutoramentos honorários e prémios. Benoît Mandelbrot morre em 2010, vitima de cancro no pâncreas. 12/02/2018 7

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2. História dos Fractais Há mais de dois mil anos, Euclides introduzia o que hoje conhecemos como Geometria Euclidiana ou Plana. Euclides tentou provar matematicamente que todas as formas da natureza podiam ser reduzidas a formas geométricas simples, como cubos ou prismas, deixando de lado a dimensão. Entre 1857 e 1913 surgiram alguns objetos que se suponha não terem grande significado cientifico denominados “demónios” ou “casos patológicos”, por saírem das categorias usuais de linhas unidimensionais, bidimensionais e planos tridimensionais. 12/02/2018 8

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Em 1870, Karl Weierstrass descreveu uma função que apesar de contínua em todo o seu domínio, não era em nenhuma parte diferenciável, isto é, em nenhum ponto se pode descrever uma tangente à curva. Ainda em 1870, Georg Cantor, matemático russo, criou um método simples de converter uma linha, num intervalo [0,1] de pontos isolados, numa quantidade não numerável de pontos. Fig. 3 - Conjunto de Cantor (Conjunto de Cantor, s.d .)   12/02/2018 9

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Já o italiano, Giuseppe Peano , descreveu, pela primeira vez, uma curva ondulada que tocava em cada ponto do plano. Fig. 4 - Curva de Peano (Curva de Peano , s.d .)   Em 1904, Helge Von Koch , retoma o trabalho de Weierstrass , criou o, atualmente conhecido, Floco de neve de Koch , que é o resultado de infinitas adições de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial. Cada vez que novos triângulos são adicionados, o perímetro cresce, e fatalmente se aproxima do infinito. Fig. 5 - Floco de neve de Koch (Floco de neve de Koch , s.d .)   12/02/2018 10

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Foi em 1935, que Benoit Mandelbot , enquanto trabalhava na IBM, afirmou que afinal aqueles objetos, os “casos patológicos”, eram na verdade fractais. Mandelbrot chegou à Geometria Fractal descrevendo matematicamente a ideia de Euclides e incluindo na análise a questão da dimensão. Nos anos 60, Mandelbrot , com o avanço da computação consegue representar o conjunto de Cantor e é também assim que surge um dos fractais mais famosos, o Conjunto de Mandelbrot . 12/02/2018 11

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Parte II Teoria Fractal; Teoria do Caos; Exploração de alguns fractais famosos. 12/02/2018 12

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3. Teoria Fractal Os Fractais são formas geométricas abstratas de uma beleza incrível, com padrões complexos que se repetem infinitamente, e que representam funções reais ou complexas. A Geometria Fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamentos dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas pela Geometria Euclidiana. Esta é também muito utilizada para a criação de imagens, animações, música, ou até em filmes para reconstituir representações da realidade (relevos montanhosos). Existem dois tipos de fractais: Fractais Geométricos; Fractais Aleatórios. 12/02/2018 13

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3.1.Características dos Fractais Autossimilaridade A autossimilaridade é a simetria através das escalas. Um objeto autossemelhante apresenta sempre a mesma estrutura e o mesmo aspeto a qualquer escala a que seja observado. Neste caso, podemos afirmar que a parte é igual ao todo. É esta irregularidade regular que caracteriza um fractal. Fig. 6 - Autossimilaridade evidente no Conjunto de Mandelbrot (Conjunto de Mandelbrot, s.d .)   12/02/2018 14

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Existem então dois tipos de autossimilaridade Autossimilaridade Exata Autossimilaridade Estatística Complexidade Infinita A complexidade infinita significa que nunca conseguiremos representar totalmente um fractal, visto que a quantidade de detalhes é infinita. Mesmo que um fractal seja ampliado haverá sempre novas reentrâncias e detalhes, que não eram visíveis anteriormente Fig. 7 - Autossimilaridade evidente feto fractal (Feto Fractal, s.d .)   12/02/2018 15

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Dimensão Para melhor compreendermos a dimensão fractal comecemos por calcular as dimensões de figuras ditas perfeitas.       Em cada um destes casos, o expoente indica-nos a dimensão Portanto, o número de partes que constituem a figura, N , é igual ao fator da escala, S , elevado à dimensão, D .   12/02/2018 16

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Mas para calcularmos a dimensão de fractais é um pouco mais complicado. Consideremos então o Triângulo de Sierpinsky . Note-se que em cada novo triângulo formado aparecem 3 novos triângulos mais pequenos (N=3) e que cada um dos lados desses triângulos mede ½ do lado do triângulo original. O comprimento de cada um dos lados destes pode ser multiplicado por 2 para obter o triângulo inicial (S=2).   12/02/2018 17

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Como podemos observar, uma linha, um quadrado ou um cubo, figuras euclidianas, possuem todas elas dimensão inteira. Inversamente, os objetos fractais, apresentam todos eles dimensão fracionária, como no caso do Triângulo de Sierpinsky , ou inteira consoante a sua estrutura. Fig. 8 - Comparação dimensão euclidiana/fractal (Fractais, s.d .) 12/02/2018 18

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4. Teoria do Caos “ O Caos não tem estátua nem figura e não pode ser imaginado; é um espaço que só pode ser conhecido pelas coisas que nele existem e ele contém o universo infinito.” - Frances A. Yates Muitos fenómenos não podiam ser descritos por leis matemáticas. Os fenómenos ditos “caóticos” eram aqueles onde não existia previsibilidade, como por exemplo o gotejar de uma torneira. Atualmente, a Teoria do Caos surgiu com o objetivo de explicar o funcionamento de sistemas complexos e dinâmicos. Fig. 9 - Atrator de Lorenz e a Teoria do Caos (Teoria do Caos) 12/02/2018 19

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É de extrema importância que se tenha bem claro que o Caos não é desordem, mas sim imprevisibilidade, é a busca da ordem no aparente acaso. Há sempre um ordem escondida no Caos. O estudo dos Fractais está ligado à Teoria do Caos, que busca padrões organizados de comportamento dentro de um sistema aparentemente aleatório. Fig. 10 - Efeito Borboleta (Geometria Fractal e Teoria do Caos) Esta teoria obteve mais reconhecimento no início de 1960 devido às descobertas de Edward Lorenz, um meteorologista Americano, quando este percebeu que fenómenos aparentemente simples demonstravam um comportamento extremamente caótico. A este fenómeno Lorenz deu o nome de Efeito Borboleta. 12/02/2018 20

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5.1. Atrator de Lorenz Desenvolvido por Edward Lorenz, este sistema tinha a finalidade de simplificar e melhorar a forma como se representavam os fenómenos meteorológicos na atmosfera. Trata-se de um sistema tridimensional, determinístico e dinâmico que apresenta um comportamento caótico, ou seja, que evolui ao longo do tempo num padrão complexo não repetitivo. Fig. 12 - Atrator de Lorenz ( Atrator de Lorenz, s.d .) Fig. 11 – Evolução do Atrator de Lorenz ao longo do tempo ( Atrator de Lorenz, s.d .) Fig. 13 - Diferentes perspetivas do atrator de Lorenz para a=10, b=28, c=8/3  ( Atrator de Lorenz, s.d .) 12/02/2018 21

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A evolução deste sistema ao longo do tempo é definida por equações algo complexas, três equações diferenciais não lineares em que t corresponde ao tempo. x , y e z definem o estado do sistema. a , b e c são constantes que influenciam o desenvolvimento da estrutura do atractor.   Fig. 13 - Diferentes formas que o atractor de Lorenz adquire para diferentes valores de a,b e c. ( Atrator de Lorenz, s.d .) Fig. 14 – Evolução do Atrator de Lorenz ao longo do tempo ( Atrator de Lorenz, s.d .) 12/02/2018 22

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A noção de que, na meteorologia, perante as mesmas causas são produzidos os mesmos efeitos, não implica que perante causas semelhantes se verifiquem efeitos também semelhantes. Hoje, através de programas de computador avançados podemos confirmar que a mais ínfima alteração nas condições iniciais do sistema origina uma alteração total nas soluções deste a longo prazo. Fig. 15 - Evolução de duas trajetórias (amarela e azul) partindo de dois pontos a uma distância de um do outro (sensibilidade das soluções ás condições iniciais). ( Atrator de Lorenz, s.d .)   12/02/2018 23

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5.2. Curva de Von Koch Em 1906, surgia pela primeira vez, a conhecida Curva de Koch. Construção da Curva: Divisão de um segmento de reta em três partes iguais Em seguida, substitui-se o segmento médio por dois segmentos iguais, de modo a que, o segmento médio e os dois segmentos formem um triângulo equilátero Obteve-se então, 4 segmentos de reta sucessivos não-colineares de igual extensão. 12/02/2018 24

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Repetem-se os passos i. e ii . para cada um dos segmentos indefinidamente A curva de Koch viria mais tarde dar origem ao Floco de Neve de Koch , um fractal muito conhecido Fig.16 – Floco de neve de Koch (Floco de neve, s.d ) Fig.17 – Floco de neve de Koch (Floco de neve, s.d ) 12/02/2018 25

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Como é que varia o número e o comprimento dos lados da curva com as transformações? Por cada nova transformação que se faz, cada lado dá origem a quatro novos lados. 12/02/2018 26 Tab . 1 – Relação entre o número de lados e o comprimento destes na Curva de Von Kock O número de lados de cada figura em função do número de passos é dado pela expressão M n = 3 × 4 n , em que n é o número de passos. Correspondendo a mesma a uma sucessão crescente;  O comprimento dos lados de cada figura em função do número de passos é dado pela expressão N n = 3 −n , e neste caso a sucessão é decrescente. Fig.18 – Formação Floco de neve de Koch (Floco de neve, s.d )

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5.3. Conjunto de Julia O conjunto de Julia é definido como sendo um fractal inserido sobre o plano complexo. Este pode ser interpretado como o conjunto de pontos gerados pela iteração: Em que z é um número complexo e w é uma constante.   Fig. 19 - Exemplo do conjunto de Julia para quando (Conjunto de Julia )     Fig. 20 - Exemplo do conjunto de Julia para quando (Conjunto de Julia )     Fig. 21 - Exemplo do conjunto de Julia para quando (Conjunto de Julia , s.d .)       12/02/2018 27

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5.3.1. Relação com o conjunto de Mandelbrot No Conjunto de Mandelbrot, em cada ponto do plano complexo, o w correspondente é diferente. Deste modo, um Conjunto de Julia específico pode ser definido em cada ponto do Conjunto de Mandelbrot. Este conjunto engloba então todos os Conjuntos de Julia existentes. Fig. 22 - Conjunto de Mandelbrot como um catálogo de conjuntos de Julia (Julia Set)   12/02/2018 28

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5.4. Conjunto de Mandelbrot O conjunto de Mandelbrot corresponde a uma extensão do Conjunto de Julia. Cada ponto do Conjunto de Mandelbrot corresponde a um conjunto de Julia diferente. Este conjunto é apenas definido em computador devido à sua excessiva complexidade. 12/02/2018 29 Fig. 23 - Conjunto de Mandelbrot (Conjunto de Mandelbrot, s.d .)    

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É composto por diversas figuras, habitualmente pretas, sendo a maior delas um cardióide (Fig. 24), localizado no centro do plano complexo. E por uma infinidade de quase-círculos que tangenciam o cardióide e variam de tamanho, com o raio tendendo para zero. A construção deste conjunto baseia-se num processo iterativo da função: onde Z n ( n∈ 0 ) e w são números complexos e Z 0 = 0 .   12/02/2018 30 Fig. 24 - Cardióide (Cardióide, s.d .)  

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É ainda de notar, como em qualquer outro fractal, a autossimilaridade deste conjunto (Fig. 20). Sendo esta a característica das três que define um fractal, a mais evidente no Conjunto de Mandelbrot. 12/02/2018 31 Fig. 25 - Ampliações do Conjunto de Mandelbrot, obtidas por computador (Conjunto de Mandelbrot, s.d .)

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Parte III Geometria Fractal na Natureza; Arte Fractal. 12/02/2018 32

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6. Geometria Fractal na Natureza Quanto mede a costa da Grã-Bretanha? Fig. 26 - Meandros de um rio, organização fractal (Meandro fractal, s.d .) “Depende do que excluímos na medição, porque se medirmos com precisão crescente devemos adicionar o contorno de baías, rochas, grãos de areia e assim sucessivamente até níveis subatómicos. E isto acontece em qualquer medição.” - Benoît Mandelbrot 12/02/2018 33

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Os fractais são formas geométricas abstratas, que podem ser encontrados em todo o mundo natural. Fig. 27 - Objetos fractais na natureza (Geometria fractal na natureza, s.d .) Os fractais presentes na natureza são finitos, característica que os distingue dos fractais matemáticos. Na natureza é evidente a autossimilaridade presente em certos elementos, tais como nas folhas de fetos , num floco de neve… O mesmo acontece na descrição de certos elementos do corpo humano, como na ramificação dos brônquios e dos bronquíolos nos pulmões, e até na descrição do ritmo cardíaco e do sistema circulatório. 12/02/2018 34

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7. Arte Fractal A introdução da Geometria Fractal na matemática trouxe-nos algumas abordagens aos aspetos visuais e estéticos dos fractais, surgindo assim uma nova forma de arte, a arte fractal. A arte fractal pode encontrar aplicações artísticas variadas, começando com detalhes bidimensionais como texturas, imagens e podendo mesmo vir a tomar uma forma tridimensional complexa como é o caso dos sons baseados em fractais, sendo estes então capazes de produzir sons semelhantes aos da natureza. Fig. 28 - Conjunto de Julia (Conjunto de Julia, s.d .) Fig. 29 - Flor fractal (Flor fractal, s.d .) Fig. 30 - Espiral fractal (Espiral fractal, s.d .) 12/02/2018 35

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8. Problema – Aplicação de conhecimentos No final do séc. XIX, Georg Cantor criou um dos fractais mais antigo e famoso de sempre. Este criou um método simples de converter uma linha num “enxame” quase infinito de pontos. Observe a seguinte representação gráfica do Conjunto de Cantor. 12/02/2018 36 Fig. 31 - Conjunto de Cantor A partir da representação gráfica do conjunto, calcula a dimensão fractal deste, baseando-se na expressão que demonstra-mos durante o trabalho.

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Bibliografia Fractais e a geometria da natureza. ( s.d .). Obtido em Abril de 2017, de PRISMA: http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico4.php Fractais e a geometria da naturreza . ( s.d .). Obtido em Abril de 2017, de PRISMA: http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico3.php Fractais: A Chave do Universo. ( s.d .). Obtido em Abril de 2017, de AhDuvido : http://ahduvido.com.br/fractais-a-chave-do-universo Fractal. ( s.d .). Obtido em Abril de 2017, de Wikipédia: https://pt.wikipedia.org/wiki/Fractal Geometria Fractal. ( s.d .). Obtido em Abril de 2017, de Info Escola: http://www.infoescola.com/matematica/geometria-fractal/ Geometria Fractal . ( s.d .). Obtido em Abril de 2017, de Estudo Prático: http://www.estudopratico.com.br/geometria-fractal-caracteristicas-categorias-e-historia/ Geometria Fractal e Aplicações. ( s.d .). Obtido em Abril de 2017, de Faculdade de Ciências da Universidade do Porto: http://www.fc.up.pt/pessoas/jfalves/Teses/Raquel.pdf Geometria Fractal e Teoria do Caos. ( s.d .). Obtido em Abril de 2017, de Universidade de Coimbra: http://www.mat.uc.pt/~mcag/FEA2004/Geometria%20Fractal%20e%20Teoria%20do%20Caos 12/02/2018 39

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Apresentado na Semana da Cultura Científica 2017 (24 a 30 de novembro de 2017) no Auditório da E scola Secundária de Tavira: Palestra Interpares de Matemática – 28 de novembro de 2017 Parceria entre os professores de M atemática, José Mesquita e Telma Costa, e a Biblioteca ESJAC 12/02/2018 41

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