NUMERO DE OURO

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Trabalho realizado por um grupo de alunos na disciplina de Matemática A, com a orientação do professor Vitalino Guerreiro, e cedido à Biblioteca da Escola Secundária Dr. Jorge Augusto Correia - Tavira

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O Número de Ouro:

Ф O Número de Ouro Artur Gomes Leonor Loureiro Rita Trabulo 11º A3 Maio 2011 Matemática A Professor: Vitalino Guerreiro Escola Secundária Dr. Jorge Augusto Correia - Tavira

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1 – O número de ouro 2 – A estrela pentagonal 3 – O rectângulo de ouro 4 – O número de ouro na Arquitectura 5 – O número de ouro e a Sequência de Fibonacci 6 – A espiral de ouro 7 – O número de ouro na Arte 8 – O número de ouro na Natureza Ф

1 - O número de ouro:

1 - O número de ouro O número de ouro ou proporção áurea, na Antiguidade, surge no Papiro de Rhind que se refere a uma «razão sagrada» que se crê ser o número de ouro. Parte do papiro Rhind - Museu Britânico, Londres. (Fonte: http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/prhind.html )

1- O Número de Ouro:

1- O Número de Ouro É um número irracional com propriedades enigmáticas, que surge na Natureza, e em composições artísticas, sendo a sua proporção considerada estética. Representa-se pela letra grega Φ – phi.

1 - O Número de ouro:

1 - O Número de ouro O número de ouro ( Φ) : Φ com 1.000 casas decimais (Fonte: ttp://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/analysis/phi/ ): 1,6180339 88749894848204586834365638117720309179805762862135448 622705260462818902449707207204189391137484754088075386891752 126633862223536931793180060766726354433389086595939582905638 322661319928290267880675208766892501711696207032221043216269 548626296313614438149758701220340805887954454749246185695364 864449241044320771344947049565846788509874339442212544877066 478091588460749988712400765217057517978834166256249407589069 704000281210427621771117778053153171410117046665991466979873 176135600670874807101317952368942752194843530567830022878569 978297783478458782289110976250030269615617002504643382437764 861028383126833037242926752631165339247316711121158818638513 316203840052221657912866752946549068113171599343235973494985 090409476213222981017261070596116456299098162905552085247903 524060201727997471753427775927786256194320827505131218156285 512224809394712341451702237358057727861600868838295230459264 787801788992199027077690389532196819861514378031499741106926 088674296226757560523172777520353613936

1 - O Número de Ouro:

1 - O Número de Ouro A razão num pentágono regular, resulta num número que fascinou o Homem da Antiguidade Clássica e que é conhecido por número de ouro.

2 - O Número de Ouro – Estrela Pentagonal:

2 - O Número de Ouro – Estrela Pentagonal A estrela pentagonal foi construída (pelos Pitagóricos) com base na secção de ouro. Não conseguindo exprimir como quociente entre dois números inteiros a razão entre a diagonal do pentágono regular e o seu lado, chamaram-lhe irracional, tendo sido o primeiro de que se teve consciência que o era. Este número seria o número de ouro, apesar deste nome só lhe ter sido atribuído milhares de anos depois .

3 - O número de ouro O rectângulo de ouro:

3 - O número de ouro O rectângulo de ouro O número de ouro aparece ainda relacionando as dimensões de um rectângulo especial, que se designa rectângulo de ouro. É um rectângulo em que: a razão entre os comprimentos do lado maior e menor é o número de ouro.

3 - O numero de ouro – O rectângulo de ouro:

3 - O numero de ouro – O rectângulo de ouro Outra propriedade: se se dividir este rectângulo num quadrado, com lado igual ao lado menor, o rectângulo mais pequeno é semelhante ao original

3 - O numero de ouro – O rectângulo de ouro:

3 - O numero de ouro – O rectângulo de ouro Os gregos consideravam que este rectângulo, cujos lados possuíam esta relação, apresentavam uma especial harmonia estética, sendo esta uma virtude excepcional.

3 - O Numero de Ouro – O Rectângulo de Ouro:

3 - O Numero de Ouro – O Rectângulo de Ouro Nos cânones estéticos da antiga Grécia, representava a proporção perfeita. É utilizado: No domínio das artes: Na arquitectura; Na pintura; Na publicidade; Nas folhas de papel; E até em objectos, como os cartões de credito.

4 - O número de ouro – Pirâmides de Gizé:

4 - O número de ouro – Pirâmides de Gizé No Egipto as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta esta razão áurea: A razão entre a altura de uma face e a metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro. Para além disto cada pedra era 1,618 vezes menor que a pedra de baixo e a de baixo era 1,618 vezes maior que a de cima.

4 - O número de ouro – Partenon :

4 - O número de ouro – Partenon Construído por volta de 447 e 433 a.C., o Partenon Grego foi edificado baseando-se na razão de ouro. Fídias foi o escultor e o arquitecto encarregado da construção deste templo. A designação adaptada para o número de ouro é a inicial do nome deste arquitecto - a letra grega Φ (Phi maiúsculo).

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São observáveis relações entre os elementos estruturais que obedecem à razão áurea. Partenon de Atenas (Fonte: http://loversofmath.blogspot.com/2008/08/curiosidades-sobre-o-nmero-de-ouro.html )

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A sua estrutura baseia-se num rectângulo de ouro, que circunscreve a fachada.

4 - O número de ouro – Partenon:

4 - O número de ouro – Partenon O número de ouro conferia harmonia e beleza aos objectos. Em busca da beleza, da harmonia e da perfeição estética, Fídias, dedicou-se exaustivamente à proporção áurea. Fídias ( c. 490 - c. 430 a.C.

5 - O número de ouro – Fibonacci:

5 - O número de ouro – Fibonacci No fim da Idade Média havia duas escolas matemáticas: a escola da igreja, mais teórica e exaustiva e a escola do comércio e dos mercadores com uma finalidade mais prática e objectiva à qual pertencia Fibonacci. A contribuição de Fibonacci para o número de ouro está relacionada com a solução do seu problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci , a sequência de números de Fibonacci.

5 - O número de ouro – Fibonacci:

5 - O número de ouro – Fibonacci O problema dos pares de coelhos: Quantos coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em um ano? Através da análise deste problema, Fibonacci obteve uma expressão matemática: F n = F n-2 + F n-1 , Fn é o numero de pares de coelhos no final do mês (Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm41/suc-fib.htm )

5 - O número de ouro – Fibonacci:

5 - O número de ouro – Fibonacci Conclusão: Criou uma sequência de números: 1,1,2,3,5,8,13,21… Onde um número é igual à soma dos dois antecedentes; 0+1=1 1+1=2 1+2=3 8+13=21 A razão entre o número e o seu antecedente vai se aproximando do número de ouro; 1/1=1 3/2=1,5 21/13=1,6153

6 - Espiral de ouro:

6 - Espiral de ouro Um rectângulo de ouro tem a propriedade de, se o dividirmos num quadrado e num rectângulo, o novo rectângulo é também de ouro. Repetido este processo infinitamente e unidos os cantos dos quadrados gerados, obtém-se uma espiral a que se dá o nome de espiral de ouro. (Fonte: http://www.republicaeditorial.com.br/?p=594 )

7 - O número de ouro – Leonardo da Vinci:

7 - O número de ouro – Leonardo da Vinci Utilizou o número de ouro em várias obras, como no Homem Vitruviano : A representação do homem em forma de estrela de cinco pontas, foi baseada em pentágonos formados com a razão de ouro ; (Fonte: http://sites.google.com/site/susymcmarques/hist%C3%B3riadophi )

7 - O número de ouro – Leonardo da Vinci:

7 - O número de ouro – Leonardo da Vinci O umbigo divide a altura do corpo humano em dois segmentos que estão na razão de ouro. O ombro divide a distância entre as extremidades dos dedos da mão e o outro ombro, em dois segmentos que estão na razão de ouro.

7 - O número de ouro – Leonardo da Vinci:

7 - O número de ouro – Leonardo da Vinci No quadro Mona lisa , a cara é um rectângulo de ouro e as suas proporções da cara e as do corpo são calculadas com o mesmo número: desenhando um rectângulo à volta da face, o rectângulo resultante é um rectângulo de ouro; as dimensões do quadro estão representadas na razão de ouro.

7 - O número de ouro – Na arte:

7 - O número de ouro – Na arte O pintor Norte Americano Piet Mondrian, utiliza este número na sua pintura: Composition in red yellow and blue

7 - O número de ouro – Na arte:

7 - O número de ouro – Na arte Leda Atómica (Salvador Dali, 1949) ( Fonte: http://matematicalife.blogspot.com/2010/02/pentagrama.html )

8 - O número de ouro – Na natureza:

8 - O número de ouro – Na natureza Nas plantas: Nos girassóis, em que as sementes formam dois conjuntos de espirais com sentidos diferentes. O número de sementes de cada conjunto é diferente. Mas o curioso é que os números de espirais em cada direcção são (quase sempre) números vizinhos na sequência de Fibonacci (Fonte: http://fasaraiva.multiply.com/journal/item/39 )

8 - O número de ouro – Na natureza:

As pétalas das rosas separam-se por ângulos que são partes fraccionárias de Φ. Essa disposição permite que as pétalas se arranjem de forma compacta para maximizarem a sua exposição à luz. 8 - O número de ouro – Na natureza

8 - O número de ouro – Na natureza:

8 - O número de ouro – Na natureza Nos animais: Existem espirais relacionadas com o número de ouro, como podemos, por exemplo, observar nos moluscos náuticos

8 - O número de ouro – Na natureza:

8 - O número de ouro – Na natureza

- Conclusão :

- Conclusão Representa-se pela letra grega Φ – phi: A sua história perde-se na antiguidade. É símbolo de harmonia, sendo a sua proporção considerada estética. Está presente no que nos rodeia: Na natureza; Na arte; Na arquitectura Nos objectos que utilizamos. Ф

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