SOLUSI PD DENGAN TRANFORMSI LAPLACE

SOLUSI – SOLUSI DARI PERSAMAAN - PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN KOEFISIEN KONSTAN MELALUI TRANSFORMASI LAPLACE : 

08/12/2009 1 SOLUSI – SOLUSI DARI PERSAMAAN - PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN KOEFISIEN KONSTAN MELALUI TRANSFORMASI LAPLACE

APA SAJA YANG AKAN DIBAHAS : 

08/12/2009 2 APA SAJA YANG AKAN DIBAHAS TRANSFORMASI LAPLACE DARI TURUNAN SOLUSI - SOLUSI DARI PERSAMAAN - PERSAMAAN DIFERENSIAL

TRANSFORMASI LAPLACE DARI TURUNAN : 

08/12/2009 3 TRANSFORMASI LAPLACE DARI TURUNAN Nyatakan ℒ { y(x) } dengan Y(s). Kemudian dalam berbagai kondisi yang luas, transformasi laplace dari turunan-ke-n (n = 1, 2, 3, ...) dari y(x) adalah : ℒ d y = s Y(s) – s y(0) – s y’(0) - . . . – sy (0) dx – y (0) ..................................................... sifat (1) jika kondisi awal untuk y(x) pada x = 0 diberikan oleh y(0) = c , y’(0) = c , . . . , y(n – 1)(0) = c .............sifat (2) maka (1) dapat dituliskan ulang sebagai : ℒ d y = s Y(s) – c s - c s – . . . – c s - c (3) dx untuk kasus khusus n = 1 dan n = 2, disederhanakan menjadi : ℒ {y’(x)} = sY(s) – c ...................................................sifat (4) ℒ {y”(x)} = s Y(s)– c s – c

SOLUSI - SOLUSI DARI PERSAMAAN - PERSAMAAN DIFERENSIAL : 

08/12/2009 4 SOLUSI - SOLUSI DARI PERSAMAAN - PERSAMAAN DIFERENSIAL Transformasi laplace digunakan untuk menyelesaiakan soal-soal nilai awal yang diberikan melalui persamaan diferensial linear orde ke-n dengan koefisien-koefisien konstan : d y d y dy b + b + b + b y = g(x) dx dx dx bersama-sama dengan kondisi awal yang dispesifikasikan dalam (2). Pertama-tama, ambilah transformasi laplace pada kedua sisi dari (6), sehingga memperoleh suatu persamaan aljabar untuk Y(s), kemudian selesaikan untuk memperoleh Y(s) secara aljabar, dan kemudian ambilah transformasi laplace inversi untuk memperoleh y(x) = ℒ { Y(s) }. Tidak seperti metode-metode sebelumnya, diamna persamaan diferensial diselesaikan terlebih dahulu dan kemudian kondisi-kondisi awalnya diterapkan untuk memperoleh konstanta-konstantanya, metode transformasi laplace menyelesaikan seluruh soal nilai awal dalam satu langkah.

LANJUTAN............. : 

08/12/2009 5 LANJUTAN............. Ada dua pengecualian : ketika kondisi-kondisi awal tidak diberikan dan ketika kondisi-kondisi awal tidak berada pada x = 0. dalam situasi-situasi yang demikian c hingga c dalam (2) dan (3) tetap bersifat sembarang dan solusi untuk persamaan diferensial (6) diperoleh dalam bentuk yang memilki konstanta-konstanta tersebut. Konstanta-konstanta tersebut kemudian ditentukan secara terpisah pada saat kondisi-kondisi tambahan diberikan.

CONTOH SOAL : 

08/12/2009 6 CONTOH SOAL selesaikan y’ – 5y = 0 ; y(0) = 2 selesaikan y” - y’ - 2y = 4x ; y(0) = 1, y’(0) =4 selesaikan y’” + y’ = e ; ; y”(0) = y’(0) = y(0) = 0 selesaikan y” - 3y’ + 2y = e ; y(1) = 0, y’(1) = 0

PENYELESAIAN : 

08/12/2009 7 PENYELESAIAN 1). dengan mengambil transformasi laplace di kedua sisi dari persamaan diferensial ini dan menggunakan (2), kita memperoleh ℒ {y’} – 5 ℒ {y} = ℒ {0}. Kemudian , dengan menggunakan (4) dengan c = 2, kita memperoleh : [sY(s) – 2] – 5Y(s) = 0 dimana Y(s) = 2 / (s - 5) Akhirnya dengan mengambil tranformasi laplace inversi dari Y(s), kita memperoleh : y(x) = ℒ {Y(s)} = ℒ { 2 / (s – 5 )} = 2 ℒ { 1 / (s – 5)} = 2e

LANJUTAN... : 

08/12/2009 8 LANJUTAN... 2). ℒ {y”} - ℒ {y’} - 2ℒ {y} = ℒ {4x2} [s Y(s) - s - 4] - [sY(s) – 1] - 2Y(s) = 8 / s Y (s) = {(s + 3) / (s - s - 2)} + {8 / [s (s +4s + 8)]} y(x) = ℒ {Y(s)} = ℒ {(s + 3) / (s - s - 2)} + ℒ {8 / [s (s + 4s + 8)]} y(x) = [(5/3)e x – (2/3)e ] + [-3 + 2x – 2x + (1/3)e + (8/3)e ] y(x) = 2e + 2e – 2x + 2x -3

LANJUTAN... : 

08/12/2009 9 LANJUTAN... 3). ℒ {y”’} + ℒ {y’} = ℒ {e } [ s Y(s) – (0)s – (0)s - 0] [sY(s) – 0] = 1 / (s - 1) Y(s) = 1 / [(s – 1)(s + s)] y(x) = ℒ {Y(s)} = ℒ {1 / [(s – 1)(s + s)]} = ℒ {(-1/s) + (1/2) / (s – 1) + [(1/2)s – (1/2) / (s + 1)]} = -1+ (1/2)e + (1/2)cos x – (1/2)sin x

LANJUTAN... : 

08/12/2009 10 LANJUTAN... 4). ℒ {y”} - 3ℒ {y’} + 2ℒ {y}= ℒ {e } [ s Y(s) – sc – c ] – 3 [sY(s) – c ] - 2Y(s) = 1 / (s + 1) Disini c dan c harus tetap memiliki nilai sembarang, karena masing-masing merepresentasikan y(0) dan y’(0) yang belum diketahui, jadi Y (s) = c {(s - 3) / (s - 3s + 2)} + c {1 / (s - 3s + 2)} + 1 / {(s + 1)(s - 3s + 2)} y(x) = c ℒ {[2/(s - 1)] + [-1/( s - 2)} + c ℒ {[(-1)/(s - 1)] + [1/(s – 2)]} + ℒ {[(1/6)/(s + 1)] + [(-1/2)/(s – 1)] + [(1/3)/(s – 2)]} y(x) = c [2e – e ] + c [-e + e ]+ [(1/6)e - (1/2)e +(1/3)e ] y(x) = [2c - c – (1/2)]e + [-c + c + (1/3)]e +(1/6)e = d e + d e + (1/6)e Dimana d = 2c – c – (1/2) dan d = -c + c + (1/3) Karena kondisi awal diberikan pada x = 1 bukan x = 0, maka y = d e + d e + (1/6)e , dengan menerapkan kondisi awal, kita memperoleh d = (-1/2)e dan d = (1/3)e , sehingga y(x) = (-1/2)e + (1/3)e + (1/6)e

TERIMA KASIH : 

08/12/2009 11 TERIMA KASIH