S�NGULER BA�LANGI� VEYA SINIR DE�ER PROBLEMLER�N�N YAKLA�IK ��Z�MLER�

SİNGULER BAŞLANGIÇ VEYA SINIR DEĞER PROBLEMLERİNİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMLERİ: DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM VE ADOMİAN AYRIŞTIRMA METODLARI : 

SİNGULER BAŞLANGIÇ VEYA SINIR DEĞER PROBLEMLERİNİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMLERİ: DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM VE ADOMİAN AYRIŞTIRMA METODLARI Derya ÜNAL

ÖZET : 

ÖZET Bu tezde bazı özel tipte başlangıç değer ve sınır değer problemlerinin, diferansiyel dönüşüm yöntemi ve Adomian ayrıştırma metotları yardımıyla ve Maple 11 kullanılarak çözümleri elde edilmiştir. Bu çalışmada, çözülen denklemlerin çoğu singuler başlangıç değer ve sınır değer problemleridir. Maple 11 ile algoritmalar oluşturularak seri çözümleri elde edilmiş ve farklı noktalar için çözüm grafikleri çizilmiştir.

Slide 3: 

Diferansiyel dönüşüm metodu ile başlangıç değer ve sınır değer problemlerinin cebirsel denklemleri elde edilmekte, recurrence bağıntısı kurularak dönüşüm katsayıları hesaplamaktadır. Böylece yaklaşık çözümlere veya kapalı form seri çözümlere ulaşılabilmektedir. Adomian ayrıştırma metodu ile de başlangıç değer ve sınır değer problemlerinin yaklaşık çözümleri elde edilmektedir, verilen denklem lineer ve nonlineer parçalara ayrılır.

Slide 4: 

Diferensiyel denklem lineer ve nonlineer olmak üzere iki kısma ayrılldığında y(x) lineer kısım; sonsuz toplamına ayrıştırılır.

Slide 5: 

Nonlineer F(y(x,t)) terimi de, An Adomian polinomları olmak üzere Şeklinde ayrıştırma serilerine dönüştürülür. Bu tezde her iki metot yardımıyla bazı özel tipte problemler Maple 11 kullanılarak çözülmüş ve sonuçlar karşılaştırılmıştır.

1. GİRİŞ : 

1. GİRİŞ 1.1. Çalışmanın Kapsamı; 2. mertebeden adi diferansiyel denklemler için singuler başlangıç değer ve sınır değer problemi birçok matematikçi ve fizikçi tarafından çalışılmıştır. Singuler başlangıç değer problemlerinin en önemli tiplerinden biride Lane-Embden tipi denklemleridir.

Slide 7: 

Wazwaz, bu denklemi genelleştirerek aşağıdaki gibi tanımlamıştır ,

Slide 8: 

Singuler başlangıç değer problemlerinin diğer bir tipi Şeklindedir. Bu denklemin genelleştirilmiş hali;

Slide 9: 

(n+1). mertebeden singuler sınır değer problemleri;

Diferensiyel Dönüşüm Metodu : 

Diferensiyel Dönüşüm Metodu Yaklaşık hesaplama yöntemlerinden biri olan diferansiyel dönüşüm metodu, diferansiyel denklemlerin çözümünde büyük kolaylık sağlamaktadır. Diferansiyel denklemlerin seri çözümünü veren bir yöntemdir. Taylor seri açılımındaki katsayılar iteratif yolla elde edilir.

Slide 11: 

Bu tezde Lane Emden tipi ve bazı özel tipteki singuler başlangıç değer ve sınır değer problemleri diferansiyel dönüşüm yöntemi ile çözülmüş , kapalı form çözümleri Maple 11 kullanılarak elde edilmiş ve çözüm grafikleri verilmiştir.

Adomian Ayrıştırma Metodu : 

Adomian Ayrıştırma Metodu Bir diğer yaklaşık yöntemde Adomian ayrıştırma yöntemi olup, Adomian tarafından lineer ve nonlineer problemlerin çözümünde kullanılmıştır. Yöntem hızlı yakınsak bir yaklaşımdır. Bu yöntemde ayrıştırma serileri cinsinden yaklaşık çözümler elde edilir. Çözümler, terimleri kolaylıkla hesaplanabilen yakınsak kuvvet serileri formundadır.

Slide 13: 

Son yıllarda Modifiye Adomian ayrıştırma yöntemi kullanılarak, yeni bir diferansiyel operatör yardımıyla 2.mertebeden singüler başlangıç değer ve sınır değer problemleri çözülmüştür. Modifiye Adomian ayrıştırma yönteminin yakınsaması oranı standart Adomian ayrıştırma yönteminden daha yüksek bulunmuştur.

Slide 14: 

Bu tezde singuler başlangıç değer ve sınır değer problemleri için bir diferansiyel operatör kullanılarak, lineer ve nonlineer terimlere ayrılan denklem operatör formda yazılır. Bu yönteme göre diferensiyel denklemin her iki yanına integral operatörü uygulanır.

Slide 15: 

Nonlineer terimin Adomian polinomları bulunup, Ayrıştırılmış seri çözüm fonksiyonunda yazılarak, y=y0+y1+y2+… seri çözümü elde edilir. Bu serinin tüm terimleri belirlenemediğinden, sonlu sayıda terim kullanılarak denklemlerin yaklaşık sayısal çözümü elde edilebilir.

Slide 16: 

2. Bölümde Başlangıç ve Sınır değer problemlerinin varlık ve teklik teoremlerine yer verilmiş ve singuler Başlangıç Değer ve Singuler Sınır Değer problemlerine değinilmiştir. 3. Bölüm Diferensiyel Dönüşüm metodu ile ilgili temel tanım ve teoremleri ve teoremlerin ispatlarını içermektedir. Aynı bölümde Lane Emden tipi Başlangıç Değer ve Yüksek Mertebeden lineer olmayan bazı sınır değer problemleri bu yöntemle çözülmüştür.

Slide 17: 

4. Bölümde, Adomian Ayrıştırma Yöntemi ve Modifiye Adomian Ayrıştırma metodları incelenmiş ve bazı özel tipte singuler başlangıç değer ve sınır değer problemleri ve yüksek mertebeden başlangıç değer ve sınır değer problemlerinin çözümleri Bölüm 3 de olduğu gibi bu bölümde de Adomian Yöntemi ile hesaplanmıştır. 5. Bölüm sonuç ve öneriler kısmı olup, her iki yöntemle de hesaplanan sonuçların karşılaştırılmaları tablolar yardımıyla varılmıştır.

TEMEL TANIM VE TEOREMLER : 

TEMEL TANIM VE TEOREMLER

Slide 19: 

Başlangıç Değer Problemi tanımı ve Varlık Teklik Teoremi n. mertebeden, formundaki diferansiyel denklem ve noktasında başlangıç şartları verilmişse probleme Başlangıç Değer Problemi denir.

Slide 20: 

Lipschitz şartı Bir fonksiyonu D R² de tanımlı olmak üzere Her (x;u) ve (x;v) R için (K;sabit) eşitsizliğini sağlayacak şekilde K>0 sayısı bulunabiliyorsa f’ye Lipschitz şartını sağlar denir

Teorem : 

Teorem Fonksiyon şeklinde verilsin. R: a≤x≤b, bölgesinde sürekli ve Her (x;u) ve (x;v) R için (K:sabit) Lipschitz şartını sağlasın. başlangıç değer probleminin şeklinde bir tek çözümü vardır ,

Slide 22: 

Sınır Değer Problemi Tanımı ve Varlık Teklik Teoremi Diferansiyel denklemle birlikte verilen ek şartlar birden fazla nokta için tanımlanmışsa bu probleme sınır değer problemi denir. (a,b) R olmak üzere 2. mertebeden basit bir sınır değer problemi; biçimindedir. Burada ya sınır şartları denir.

Teorem : 

Teorem Fredholm Alternatif Teoremi; aralığında sürekli olsunlar. ya, nın herhangi değerleri için

Slide 24: 

tek çözüme sahiptir. Ya da, Sıfır olmayan çözüme sahiptir.

3. DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ : 

3. DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ Lineer olmayan terimler problemlerin çözümlerini oldukça zorlaştırdığı için bir takım lineerleştirme yöntemleri kullanılarak denklem linearize edildikten sonra çözümler elde edilmeye çalışılmaktadır. Diferansiyel dönüşüm metodu sayesinde bu zorluklar ortadan kalkmakta nonlineer terimlerin çözümü kolaylıkla elde edilerek yaklaşık seri çözümlerine ya da kapalı form çözümlere ulaşılabilmektedir.

Slide 26: 

Bu bölümde, Adi diferansiyel denklemlerde başlangıç değer ve sınır değer problemleri göz önünde bulundurulacağından, bir boyutlu diferansiyel dönüşüm yöntemi analiz edilecektir.

Slide 27: 

orijinal fonksiyonunun T-dönüşüm fonksiyonu altındaki görüntüsü; dönüşüm fonksiyonudur ve nın ters diferansiyel dönüşümü de dir.

Slide 28: 

Diferansiyel dönüşüm fonksiyonu ve ters diferansiyel dönüşüm fonksiyonundan şu teoremleri elde edilir: f(x)=cg(x) ise F(k)=cG(k)

Slide 29: 

f(x)=g(x)h(x) ise f(x)=xj ise f(x)=eλx ise

Bir Boyutlu Diferansiyel Dönüşüm Yönetiminin 2. Mertebeden Singuler Başlangıç Değer Ve Sınır Değer Problemlerine Uygulanışı : 

Bir Boyutlu Diferansiyel Dönüşüm Yönetiminin 2. Mertebeden Singuler Başlangıç Değer Ve Sınır Değer Problemlerine Uygulanışı Burada, bir boyutlu diferansiyel dönüşüm metodu singuler başlangıç değer ve sınır değer problemlerine uygulanmış ve seri yada kapalı form çözümler maple 11 yardımıyla elde edilerek sonuçlar grafiklerle gösterilmiştir. Metod Taylor serisi yöntemi olup, katsayıların hesaplanışı alışılagelmiş Taylor yönteminden farklıdır.

Slide 31: 

olması durumunda, BDP’nin seri çözümü elde edilir.

Slide 32: 

olması durumunda, BDP’nin seri çözümü elde edilir.

Slide 33: 

olması durumunda, 0<x≤1 BDP’nin seri çözümü elde edilir.

Slide 34: 

olması durumunda, n=3 için, BDP’ nin seri çözümü elde edilir. .

Yüksek Mertebeden Bazı Lineer Olmayan Sınır Değer Problemleri : 

Yüksek Mertebeden Bazı Lineer Olmayan Sınır Değer Problemleri n=2, m=-2 için lineer sınır değer problemi, SDP’nin seri çözümü elde edilir.

Slide 36: 

n=1, m=1 için lineer sınır değer problemi, y(0)=0, y(1)=cos(1) SDP’nin seri çözümü elde edilir.

Slide 37: 

Diferansiyel dönüşüm yöntemi kullanılarak elde edilen y(x) nümerik çözümünde seçilen x değerleri yerlerine yazıldığında elde edilen sonuçlar ile y(x) çözümüne yakınsak olan cosx için Taylor seri açılımında x değerleri yerlerine yazılarak aşağıdaki tablo oluşturulur. Elde edilen sayısal sonuçların birbirine oldukça yakın olduğu görülür.

ADOMİAN AYRIŞTIRMA METODU : 

ADOMİAN AYRIŞTIRMA METODU Ayrıştırma yöntemi, Adi diferansiyel denklemlere, cebirsel denklemlere, integral denklemlerine, kısmi türevli diferansyel denklemlere, bunların lineer ve nonlineer olanların geniş bir sınıfına uygulanarak yaklaşık çözümleri ve ayrıştırma serileri cinsinden nümerik çözümlerinin bulunmasını kolaylaştıran bir yöntemdir. Çözümler seri formunda elde edilmektedir.

Slide 40: 

Bu tezde singular başlangıç değer ve sınır değer problemlerin çözümünde yeni bir diferansiyel operatör kullanılarak Modifiye Adomian Ayrıştırma Yöntemi uygulanmıştır.

Slide 41: 

Adomian’ın bulduğu bu yöntem genel olarak anlatacağız ve Standart adomian ayrıştırma yönteminden farklı olarak Modifiye Adomian ayrıştırma metodu aşağıda verilmiş, burada yeni bir diferansiyel operatör ve integral operatörü kullanılmıştır.

Adomian Ayrıştırma Yöntemi : 

Adomian Ayrıştırma Yöntemi Lineer veya lineer olmayan bir çok denkleme kolaylıkla uygulanabilen bir seri çözüm yöntemidir. Lineer ve lineer olmayan terimleri içeren, kendisi lineer olmayan bir adi veya kısmi diferansiyel operatör F, verilen fonksiyon da “g” olsun.

Slide 43: 

ayrıştırılmış seri çözüm fonksiyonu elde edilir.

Slide 44: 

n=1,2,3…, değerleri için, İndirgeme bağıntısı ile un terimleri hesaplanır .

Slide 45: 

fonksiyonu kullanılarak ardışık işlemlerle çözüme ulaşılır fakat seri sonsuza gittiğinden, Kısmi toplamlar dizisi yaklaşık çözüm olarak ele alınır.

Adomian Polinomlar : 

Adomian Polinomlar adomian polinomları olmak üzere nonlineer terimi serisi cinsinden ifade edilir.

Slide 47: 

Adomian polinomların ayrıştırılmış hali kaynaklarda,

Slide 48: 

Özet olarak, , verilen denklemin başlangıç ve sınır şartları da göz önüne alınarak, lineer diferansiyel operatör yardımıyla denklem, operatör formda yazılır. Adomian polinomları hesaplanır ve seri çözümünün terimleri bulunur.

Slide 49: 

Tezimizde kullanacağımız bazı nonlineer terimler için Adomian polinomların elde edilişleri verilmiştir.

Adomian Ayrıştırma Metodunun Singuler Başlangıç Değer Ve Sınır Değer Problemlerine Uygulanışı : 

Adomian Ayrıştırma Metodunun Singuler Başlangıç Değer Ve Sınır Değer Problemlerine Uygulanışı olması durumunda, BDP’nin seri çözümü integral operatörü kullanılarak AAY ile elde edilir.

Slide 51: 

olması durumunda, BDP’nin seri çözümü integral operatörü kullanılarak AAY ile elde edilir.

Slide 52: 

olması durumunda, 0<x≤1 BDP’nin Seri çözümü İntegral operatörü kullanılarak AAY ile elde edilir.

Slide 53: 

olması durumunda, BDP’nin y(x)= x5 Seri çözümü İntegral operatörü kullanılarak AAY ile elde edilir. .

Slide 54: 

olması durumunda, n=3 için, BDP’ nin seri çözümü integral operatörünü kullanılarak AAY ile elde edilir. .

(n+1). Mertebeden Nonlineer Singuler Sınır Değer Problemleri : 

(n+1). Mertebeden Nonlineer Singuler Sınır Değer Problemleri olması durumu y(0)=0, y(1)=cos(1) SDP’ nin y(x)=cosx seri çözümü integral operatörü kullanılarak AAY ile elde edilir.

Slide 56: 

olması durumunda, SDP’nin y(x)=-1.3863-0.2500387060x2+0.031250x4-0.0051400286x6+0.0009678120x8-0.0002185884x10-0.000047342x12-0.0000085345x14+0.00000154670x16+… seri çözümü integral operatörü kullanılarak AAY ile elde edilir.

Slide 57: 

olması durumunda, SDP’nin Seri çözümü AAY ile elde edilir. .

SONUÇ VE TARTIŞMA : 

SONUÇ VE TARTIŞMA Bu tez çalışmasında Lineer ve lineer olmayan bazı özel tipte singuler başlangıç değer ve sınır değer problemleri, oldukça sık tercih edilen diferansiyel dönüşüm metodu ve Adomian ayrışım metodu kullanılarak Maple 11 yardımıyla çözülmüştür.

Slide 59: 

Bu bölümde, Bölüm 3 ve Bölüm 4 de Diferansiyel Transform ve Adomian Yöntemleri ile çözülen bazı problemlerin sonuçları karşılaştırma yapmak amacıyla Tablolarla gösterilmiştir. Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi ve Adomian Ayrışım Yöntemi ile çözümleri elde edilen singüler başlangıç değer ve sınır değer problemleri aşağıda sıralanmıştır. Elde edilen sonuçlar tablo ve grafik üzerinde karşılaştırılmıştır.

Slide 60: 

Uygulama 1, Uygulama 2,

Slide 61: 

Uygulama 3, Uygulama 4, n=3 için,

Slide 62: 

Uygulama 5, n=2 ve m= ­2 durumu Uygulama 6, n=1, m=1 için lineer sınır değer problemi:

Slide 64: 

Uygulama 4. Başlangıç değer problemlerinin her iki yöntemle de çözümleri Şekilde, nokta ile gösterilen grafik diferansiyel dönüşüm ile elde edilen çözümün grafiği, düz çizgi ile gösterilen grafik ise adomian ayrıştırma yöntemi ile elde edilen çözümün grafiğidir.

Slide 65: 

Şekilde, nokta ile gösterilen grafik diferansiyel dönüşüm ile elde edilen çözümün grafiği, düz çizgi ile gösterilen grafik ise adomian ayrıştırma yöntemi ile elde edilen çözümün grafiğidir Uygulama 5. Sınır değer probleminin her iki yöntemle de çözümleri

Slide 66: 

Grafiklerden de anlaşılacağı gibi her iki yöntemin de değerleri oldukça birbirine yakın çıkmaktadır. Tezde kullanılan tüm denklemlerin Maple 11 çözümleri Ek kısmında yer almaktadır.