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Ensino Superior Matemática Básica Unidade 4.1 – Estudo de Funções Amintas Paiva Afonso

Funções : 

Funções Amintas Paiva Afonso

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O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática.

A idéia de função… : 

A idéia de função… Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles... que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função.

Em nosso dia-a-dia temos muitos exemplos de funções: : 

Em nosso dia-a-dia temos muitos exemplos de funções: O tempo de viagem é função, entre outras coisas, da distância percorrida. A altura de uma criança é função de sua idade; O consumo de combustível é função, entre outras coisas, da velocidade. Perímetro de um triângulo é função da medida de seus lados.

O conceito de função na história... : 

O conceito de função na história... René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês porpôs a utilização de um sistema de eixos para localizar pontos e representar graficamente as equações. Galileu Galilei (1564-1642), astrônomo e matemático italiano iniciou o método experimental a partir do qual se pode estabelecer uma lei que descreve relações entre as variáveis de um fenômeno.

A função é um modo especial de relacionar grandezas. : 

A função é um modo especial de relacionar grandezas. Duas grandezas x e y se relacionam de tal forma que: x pode assumir qualquer valor em um conjunto A dado. a cada valor de x corresponde um único valor y em um dado conjunto B. os valores que y assume dependem dos valores assumidos por x.

Temos várias maneiras para representar a idéia de função. : 

Temos várias maneiras para representar a idéia de função.

Representação gráfica : 

Representação gráfica No dia-a-dia utilizamos esse tipo de representação em vários setores .

Algumas funções especiais: : 

Algumas funções especiais:

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A = {1, 2}; B = {2, 3, 4} A x B = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} A x B = { (x, y) | x  A e y  B} Produto Cartesiano

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Uma função (ou aplicação) f é uma lei segundo a qual cada elemento x em um conjunto A está associado a exatamente um elemento, chamado f(x), em um conjunto B. Definição de função

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Não é função de A em B É função de A em B Definição de função através de conjuntos

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Não é função de A em B É função de A em B Noção de função através de conjuntos

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Im(f) D(f) = A CD(f) = B Domínio, Contradomínio e Conjunto-Imagem

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Para que uma curva num plano cartesiano seja gráfico de uma função y = f(x), nenhuma reta vertical deve interceptá-la mais de uma vez. Teste da reta vertical

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D = {x  IR| –3  x  4 e x  1} e Im = {y  IR| –2 < y  3} Domínio e imagem através do gráfico

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Seja f uma função de A em B. Denominamos raiz (ou zero) da função f todo elemento de A para o qual temos f(x) =0. Interpretação geométrica das raízes de uma função raiz raiz

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Não é injetora. É sobrejetora É injetora. Não é sobrejetora Injeção, sobrejeção e bijeção a) b)

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É injetora É sobrejetora  É bijetora Injeção, sobrejeção e bijeção c)

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Uma função f(x) é injetora se nenhuma reta horizontal interceptar seu gráfico em mais de um ponto. Teste da reta horizontal para verificar se uma função é injetora

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Função crescente e Função decrescente

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Função crescente e Função decrescente

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Função crescente e Função decrescente

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GRÁFICO PARA X  0 GRÁFICO COMPLETO Os gráficos das funções pares são simétricos em relação ao eixo das ordenadas. Função par

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Função ímpar Gráfico para x ³ 0

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Os gráficos das funções ímpares são simétricos em relação à origem do sistema cartesiano ortogonal. Função ímpar

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Sejam f e g duas funções quaisquer. Denomina-se função composta de g com f a função h definida por h(x) = g(f(x)). Esquema para a composição de funções

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Os gráficos de f e f –1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta y = x). Simetria das funções inversas