PROYECTO_ECUACIONES_final

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REPASO DE CALCULO DIFERENCIAL INTEGRAL INTEGRANTES : EDGAR LOPEZ RUIZ GUILLERMO GONZALEZ MONCADA PABLO SANTIAGO ROSALES

RECTA TANGENTE A UNA CURVA :

RECTA TANGENTE A UNA CURVA Donde h tiende a cero...

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Este límite representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en un punto x cualquiera perteneciente al dominio de f(x) f ’(x) PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO X CUALQUIERA

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ECUACIÓN DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO X=a Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábloa y=x2 en el punto (-2,4) ejercicio

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TANGENTE VERTICAL Si una curva f(x) posee una tangente vertical en x=a de su dominio, entonces se cumple:

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SE UTILIZAN PARA HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN SIN NECESIDAD DE HALLAR EL LÍMITE CUANDO h TIENDE A 0…. Permiten encontrar f ’(x) de forma rápida. REGLAS DE DERIVACIÓN

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NOTACIÓN

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REGLAS DE DERIVACIÓN Derivada de una función de la forma f(x)=xn

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REGLAS DE DERIVACIÓN Regla del múltiplo constante K ,de la forma: g(x) = K . f(x)

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REGLAS DE DERIVACIÓN Regla de la suma algebraica de funciones:

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PROBLEMA1 Encuentre la derivada de las siguientes funciones:

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PROBLEMA2 ¿En qué puntos la siguiente función tiene una recta tangente con pendiente horizontal ?

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PROBLEMA3 Halle el punto en el cual la recta tangente a la curva dada es paralela al eje x

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CONSIDERACIÓN Si la derivada es nula en un punto de un intervalo (mtan=0), f(x) presentará una tangente horizontal en ese punto. Si f´(c) = 0, f(x) tendrá una tangente horizontal en x=c

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TEOREMA Si f(x) es DERIVABLE en x=a, entonces necesariamente es CONTINUA en ese punto El recíproco no necesariamente es cierto

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PROBLEMA4 ¿En qué puntos del dominio la función representada puede ser?: a. ¿Derivable? b. ¿Continua pero no derivable? c. ¿Ni continua ni derivable?

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DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL Si f(x) = ex, entonces f ´ (x) = ex

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REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

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PROBLEMA5 Encuentre la derivada de las siguientes funciones:

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Regla del producto de funciones: Ejemplo: f(x)=x3cos(x) F(x)=ex.tanx REGLAS DE DERIVACIÓN

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Regla del cociente de funciones: REGLAS DE DERIVACIÓN Ejemplos: f(x)=x3 / cos(x) F(x)=3ex/(tanx-2)

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PROBLEMA6 Aplique las reglas de derivación para hallar f ´ :

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PROBLEMA 6 -RESPUESTAS

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PROBLEMA7 Aplique las reglas de derivación para hallar f ´ :

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PROBLEMA 8 aplique las reglas de derivación para hallar la derivada de las funciones dadas :

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PROBLEMA 9 Un problema interesante… Dada f(x) y las condiciones que se indican, encuentre f’(4)

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REFLEXIONES El más preciado derecho en el mundo es el derecho a estar equivocado. (Harry Weinberger, 1917)

La integral :

29 La integral Determina la antiderivada más general. Interpreta la integral y su relación con la derivada. Define la integral definida. Calcula áreas de regiones limitadas en el plano.

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31 Antiderivadas Definición: Una función F se llama antiderivada de una función f en un intervalo I si la derivada de F es f, esto es F´(x) = f(x) para todo x en I.

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32 Teorema: Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria. Teorema: Si dos funciones P y Q son antiderivadas de una función f en un intervalo I , entonces P(x) = Q(x) + C, ( C constante) para todo x en I.

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33 INTERPRETACION GEOMETRICA

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34 INTERPRETACION GEOMETRICA

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35 INTERPRETACION GEOMETRICA

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36 INTERPRETACION GEOMETRICA

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37 Ejemplo 1 Encuentre la antiderivada más general de cada una de las siguientes funciones.

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38 Función Antiderivada particular

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39 CALCULO DE ÁREAS INTEGRAL DEFINIDA Y

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41 Definición : El área de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:

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42 Integrando Limite superior El procedimiento para calcular integrales se llama por si mismo integración. Limite Inferior

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43 2° Teorema Fundamental del Cálculo Si f es una función continua en [a, b] y F una antiderivada de f en [a, b], entonces: Esta regla convierte al cálculo de integrales definidas en un problema de búsqueda de antiderivadas y evaluación.

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44 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 1. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y  y  son constantes, se tiene: Propiedad de linealidad

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45 Si existen las integrales de la izquierda, también existe la integral de la derecha: Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración

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46 La propiedad anterior es aplicada cuando la función está definida por partes y cuando es seccionalmente continua. Ejemplo: Si y se quiere hallar:

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47 Y representa el área de un rectángulo de altura h y longitud de base (b – a). 3.

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48 DEFINICIONES: Sea f una función integrable en [a, b], entonces:

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49 Definición: Sea f una función contínua tal que: f(x) 0 en [a, b] y S={(x, y)/ axb, 0yf(x)} Se denota por A(S) y se llama área de la región definida por S al número dado por:

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50 y = f(x) dx dA = f(x)dx f(x) a b

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51 Ejemplo 1: Calcular el área de la región: S={(x, y)/ 0  x  2, 0  y  x2 + 1}

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52 x = g(y) dA = g(y)dy g(y)

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53 Ejemplo 2: Hallar el área de la región limitada por y = 2x, y = (x-2)2 + 1, x = 3 y el eje X, tal como lo muestra la figura.