SEQuencia

S E Q Ü Ê N C I A O U S U C E S S ÃO : 

S E Q Ü Ê N C I A O U S U C E S S ÃO CURIOSIDADE A seqüência infinita (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...) é conhecida como seqüência de Fibonacci (homenagem ao matemático Leonardo de Pisa, apelidado de Fibonacci). Esta seqüência manifesta-se numa série de fenômenos. Em Botânica, por exemplo, ela se revela no desdobramento dos galhos de uma árvore que ocorre de acordo com a evolução dessa seqüência: o caule inicial dá origem a 2 outros, estes desdobram-se em 3, aos quais surgem 5 que originam 8, e assim por diante.

SEQÜÊNCIA OU SUCESSÃO : 

SEQÜÊNCIA OU SUCESSÃO É todo conjunto de elementos, numéricos ou não, colocados numa determinada ordem. Em uma seqüência, o primeiro termo é indicado por a1, o segundo por a2, ..., o enésimo por an. (a1, a2, a3, ..., an, ...) De modo geral, uma seqüência pode ser: FINITA: Possui um número limitado de elementos. Ex.: A seqüência dos divisores positivos de 6. (1, 2, 3, 6) INFINITA: Possui um número ilimitado de elementos. Ex.: A sequência dos números naturais ímpares. (1, 3, 5, 7, ...)

Termo Geral: : 

Termo Geral: Exprime o termo geral an em função de sua posição. Ex.: Compor a seqüência de termo geral an = 2n + 1 an = 2n + 1

Fórmula de Recorrência : 

Fórmula de Recorrência Exprime cada termo em função do seu termo anterior.

Exercícios : 

Exercícios 1) Escrever os quatro primeiros termos da seqüência : an= n2 - n .

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2) Determine os três primeiros termos da seqüência : a1 = an = an- 1 +

SOMATÓRIO : 

SOMATÓRIO Para simplificar a indicação de uma série usamos a letra grega  (sigma), chamada sinal de somatória = a1 + a2 + a3 + ...+ a K Somatório de termo geral an com n variando de 1 até k

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Ex.: a) = 2.1 + 2.2 + 2.3 + 2.4 = 20 b) = (2+1) + (3+1) + (4+1) + (5+1) = 18 OBSERVAÇÃO: Os números k e n são chamados limites do somatório e é fácil verificar que o número de termos de é igual a (k  n + 1)

P R O G R E S S Ã O A R I T M É T I C A : 

P R O G R E S S Ã O A R I T M É T I C A Chama-se de progressão aritmética (P. A.) a toda seqüência, na qual cada termo, a partir do segundo, é igual a soma do antecedente, com uma constante chamada razão (dada). Ex.: 1) (2, 5, 8, 11, ...) P.A. de r = 3 2) (10, 8, 6, 4, ...) P.A. de r = 2 3) (3, 3, 3, 3, ...) P.A. de r = 0

CLASSIFICAÇÃO : 

CLASSIFICAÇÃO As progressões aritméticas quanto à sua variação se classificam em : Crescente – quando a razão for maior que zero. Decrescente – quando a razão for menor que zero. Constante – quando a razão for igual a zero.

NOTAÇÕES ESPECIAIS : 

NOTAÇÕES ESPECIAIS Quando procuramos obter uma P.A. com 3 ou 4 ou 5 termos é muito prática a notação seguinte para 3 termos: (x, x + r, x + 2r) ou (x  r, x, x + r) para 4 termos: (x, x + r, x + 2r, x + 3r) ou (x-3y,x-y,x+y,x+3y) e y = 2r para 5 termos: (x, x + r, x + 2r, x + 3r, x + 4r) ou (x  2r, x  r, x, x + r, x + 2r)

TERMO GERAL : 

TERMO GERAL Na progressão aritmética em que o 1º termo é a1, a razão r, o número de termo n, o termo de ordem n é dado por: an = a1 + (n  1)r

Demonstração: : 

Demonstração: Seja a seqüência (a1, a2, a3, ..., an) Como cada termo, a partir do 2º termo, é o anterior mais a razão, temos: a2 = a1 + r a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r a4= a3 + r = a1 + r + r + r = a1 + 3r . . . an = a1 + (n  1)r

PROPRIEDADES : 

PROPRIEDADES P1. Em uma P.A. cada termo, com exceção dos extremos, é medida aritmética entre o seu antecedente e o seu consequente. Ex.: (2, 4, 6, 8, 10, ...) 4 = P2. Numa P.A. limitada, a soma de dois termos equidistantes dos extremos, é igual à soma dos extremos.

Exercícios : 

Exercícios 1) Determine o valor de x sabendo que 4x - 1,3x + 6 e 6x + 1 são nessa ordem termos consecutivos de uma P.A.

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2) Determine três números positivos em P.A. , sabendo – se que seu produto é 120 e sua soma é 18.

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3) As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em P.A. . Sabendo-se que a hipotenusa mede 10 cm , calcule as medidas dos catetos .

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3) Em uma P.A . , tem-se a1 = 4 e o a5 =36 Determinar : a) a razão dessa P.A. b) o 10º termo c) o número de termos quando o ultimo termo é 116.

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4) Em uma P.A . a5 = 30 e a16 = 118 . Calcular : a) a1 b) a razão c) o 10º termo

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5) Em uma P.A. , a soma do 2º com o 5º termo é 23 , e a soma do 3º com o 7 º termo é 32 , determine os três primeiros termos dessa P.A.

UMA IDÉIA BRILHANTE : 

UMA IDÉIA BRILHANTE Conta-se que o alemão Johann Carl Gauus (1777-1855) cursava a terceira série,com 9 anos de idade , quando determinou a fórmula para encontrar a soma dos termos de uma P.A. Afim de manter o silêncio da sala , o professor solicitou a seus alunos que fizessem a soma de todos os números de 1 a 100.Para surpresa do professor Gauss obteve o resultado correto em poucos minutos , escrevendo simplesmente 5.050 no caderno , enquanto os outros alunos trabalhavam duramente ,realizando à soma termo a termo

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Para justificar a solução, Gauss escreveu a soma solicitada com as parcelas em ordem crescente e, depois , com as parcelas em ordem decrescente.Assim explicou que a soma de 1 com 100 ,de 2 com 99 ,de 3 com 98 e assim por diante até a soma de 50 com 51 sempre era igual a 101 . O que resultava em 50 parcelas de 101 .Portanto o resultado desejado era 50 x 101 , ou 5.050 . Gauss tornou-se o maior matemático de sua época e um dos mais brilhantes de todos os tempos .na situação descrita o que ele fez foi calcular a soma dos termos da P.A. ( 1,2,3,4,...100).

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. FINITA : 

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. FINITA Sejam a P.A. finita (a1, a2, a3, ..., an  2, an  1, an) e Sn a soma dos termos dessa P.A. Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an -2+ a n-1 + an + Sn = an + an -1 + an -2 + ... + a3 + a2 + a1 2Sn = (a1 + an) + (a2+ an-1) + (a3 + an-2) + ... Como a3 e an-2 e a2 e an -1 são equistantes dos extremos, suas somas são iguais a (a1 + an); logo: 2Sn = (a1+ an) +(a1 + an) +(a1 + an) + ... 2Sn = (a1 + an )n Sn = (a1 +an)n/2 Em que: a1 é o primeiro termo; an é o enésimo termo; n é o número de termos; Sn é a soma dos termos.

Exercícios : 

Exercícios 1) A soma dos n primeiros termos de uma P.A.é , n2 + 2n , determine os primeiros termos da P.A.

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2) Resolver a equação 4 x .4x+1 .4x+2 . ...4x+30 =1 ,em R .

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3)

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4)

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Resolução

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA : 

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Uma seqüência de números reais é chamada progressão geométrica, quando cada um de seus termos, a partir do segundo, é igual ao produto do anterior por uma constante q dada, chamada razão da P.G. Ex.: 1) (2, 4, 8, 16, 32, ...) P.G. de q = 2 2) (18, 6, 2, , ...) P.G. de q = 1/3

CLASSIFICAÇÃO : 

CLASSIFICAÇÃO 1. Crescente (5, 10, 20, ...)  a 1> 0 e q > 1 (2, 1, , ...)  a 1 < 0 e 0 < q < 1 2. Decrescente (32, 16, 8, 4, ...)  a 1 > 0 e 0 < q < 1 (2, 4, 8, 16, ...)  a 1 < 0 e q > 1 3. Alternada ou Oscilante (8,  16, 32, 64, ...)  q < 0 4. Constante (2, 2, 2, ...)  q = 1 5. Singular (5, 0, 0, 0, ...)  a 1  0 e q = 0

TERMO GERAL : 

TERMO GERAL Se (a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...) é uma P.G. de razão q, temos: a 2 = a 1 . q a 3 = a 2 . q = a 1 . q 2 a4 = a3 . q = a1 . q3 e assim por diante, obteríamos a10 = a 1 . q9 Em geral, an = a1 . qn-1 que é a fórmula do termo geral de uma P.G. de razão q. ATENÇÃO: an = ak . qn-k

NOTAÇÕES ESPECIAIS : 

NOTAÇÕES ESPECIAIS Para obtenção de uma P.G. com 3 ou 4 ou 5 termos é muito prática a notação seguinte: 3 termos (x, xq, xq2) ou ( x/q , x, xq) 4 termos (x, xq, xq2, xq3) ou ( x/y3, x/y, xy,xy3 ) e q =y 2 5 termos (x, xq, xq2, xq3, xq4) ou (x/q2 , x/q, x, xq , xq2)

PROPRIEDADES : 

PROPRIEDADES P1. Em uma P.G. cada termo, com exceção dos extremos, é a média geométrica entre o seu antecedente e o seu conseqüente. Ex.: (2, 4, 8, 16, 32 ...) 4 2 = 2 . 8 8 2 = 4 . 16 P2. Em uma P.G. limitada o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos. Ex.: (2, 4, 8, 16, 32, 64 ...) 2 . 64 = 4 . 32 = 8 . 16

EXERCICIOS : 

EXERCICIOS 1) Determine quantos termos tem a P G ( 6, 18 ,...1458)

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2) Qual é o primeiro termo de uma P.G. na qual o 11º termo é 3072 e a razão é 2 ?

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3) Calcule o 10 º termo da P.G. (1,5,...).

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4) Numa P.G. o primeiro termo é 4 e o quarto termo é 4000 .Qual é a razão dessa P.G.?

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5) Interpolando-se 5 meios geométricos positivos entre 2 e 1458 , obtém-se uma P.G. De razão q . Determine o primeiro termo a ser interpolado.

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6) Determine x para que a seqüência (2x+1,3x-6,4x-8) seja uma P.G.

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7) Sendo a seqüência y, 5 , 8 uma P.A . E a seqüência y-1 , 4 , x uma P.G. , determine o valor de x + y .

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8) Três números estão em PG. De forma que o produto deles é 729 e a soma é 39 . Calcule os três números .

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9) Numa P.G crescente de quatro termos seu produto vale 4096 . Determine a razão sabendo que a soma dos meios é 20.

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA : 

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA Dadas a P.G. (a1, a2, a3, ..., an) de razão q  0 e q  1, a soma Sn de seus n termos pode ser dado por:

Demonstração : 

Demonstração Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an, (multiplicando por q) q . Sn = a1 . q + a2..q + ... + an.q + an . q Encontrando a diferença entre q . Sn e Sn, vem: q . Sn  Sn = an . q  a1 S n(q  1) = a n . q  a 1 S n(q  1) = a1 . q n-1 . q  a1 Sn(q – 1) = a1qn –a1 Sn (q – 1 ) = a1 ( qn – 1)

EXERCÍCIOS : 

EXERCÍCIOS 1) Obtenha a soma dos seis primeiros termos da P.G.(7,14 ...)

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2) Numa P.G. a soma dos termos é 728 . Sabendo an = 486 e q = 3 , calcule o 1º termo dessa P.G.

LIMITE DA SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA : 

LIMITE DA SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA Dada a P.G. (4, 2, 1, , , , ...) cuja razão é 1/2 . Observe o que acontece quando calculamos S1, S2 e S3 etc .. S1 = 4 S2 = 4 + 2 = 6 S3 = 4 + 2 + 1 = 7 S4 = 4 + 2 + 1 + 1/2 = 7,5 S5 = 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 = 7,75 S6 = 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8= 7,875 S7= 4 + 2 + 1 + 1/2 +1/4 +1/8 +1/16 = 7,9375 S8 = 4 + 2 + 1 + 1/2 +1/4 +1/8 + 1/16+1/32 = 7,96875

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Quanto mais termos somarmos, mais a soma fica próxima de 8. É possível demonstrar que, de fato, estas somas não assumem o valor 8. Em caso como este, dizemos que 8 é o valor limite das somas Sn, quando n (o número de termos) torna-se muito grande. Mas isto não acontece para qualquer P.G. só acontece com aquelas cuja razão pertence ao intervalo ]1, 1[. Nesses casos, o limite pode ser calculado diretamente pela fórmula:

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Nessa fórmula a letra S representa o limite das somas Sn, a1 representa o primeiro termo e q, a razão da P.G. Considerando novamente a P.G. (4 + 2 +1 , ...), temos a1 = 4 e q =1/2 .  S = 8

EXERCÍCIOS : 

EXERCÍCIOS 1) Determine solução da equação :

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2) Os raios de infinitos círculos são dados pelos termos da P.G. (6,3,3/2...). Calcule a soma das áreas desses círculos.

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