Bilangan Rill

Views:
 
Category: Entertainment
     
 

Presentation Description

Mengenai

Comments

Presentation Transcript

BILANGAN RIIL ? : 

BILANGAN RIIL ? 3 + 7,3 = …..

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Sifat-Sifat Aljabar pada R Pada himpunan R dari bilangan-bilangan riil terdapat dua operasi biner yang dilambangkan dengan + dan . dimana masing-masing disebut penjumlahan dan perkalian. Operasi-operasi itu memenuhi sifat-sifat sebagai berikut: (A1) (sifat komutatif pada penjumlahan) a + b = b + a, untuk setiap a, b di R (A2) (sifat asosiatif pada penjumlahan) (a + b) + c = a + (b + c), untuk setiap a, b, c di R (A3) (keberadaan/eksistensi sebuah elemen nol) Terdapat sebauh elemen 0 di R sedemikian hingga 0 + a = a dan a + 0 = a, untuk setiap a di R (A4) (keberadaan/eksistensi elemen negatif) Untuk setiap a di R terdapat sebuah elemen – a di R sedemikian hingga a + (-a) = 0 dan (-a) + a = 0

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Sifat-Sifat Aljabar pada R (M1) (sifat komutatif dari perkalian) a.b = b.a, untuk setiap a, b di R (M2) (sifat asosiatif dari perkalian) (a.b).c = a.(b.c), untuk setiap a, b, c di R (M3) (keberadaan/eksistensi sebauh elemen satuan) Terdapat sebuah elemen 1 di R yang berbeda dengan 0 sedemikian hingga 1.a = a dan a.1 = a (M4) (keberadaan/eksistensi elemen kebalikan pada perkalian) untuk setiap a  0 di R terdapat sebuah elemen di R sedemikian hingga a. = 1 dan .a = 1 (D1) (sifat distributif kiri dari perkalian terhadap penjumlahan) a.(b + c) = (a.b) + (a.c), untuk setiap a, b, c di R (D2) (sifat distributif kanan dari perkalian terhadap penjumlahan) (b + c).a = (b.a) + (c.a), untuk setiap a, b, c di R

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Teorema I: (a) Jika z, a  R sedemikian hingga z + a = a, maka z = 0. (b) Jika u, b  R dan b  0 sedemikian hingga jika u.b = b maka u = 1.

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Bukti: Bagian (a) Dari sifat (A4), a + (-a) = 0. Jika kedua ruas dari hipotesa z + a = a ditambah (-a) diperoleh: (z + a) + (-a) = a + (-a) (z + a) + (-a) = 0 (A4) z + (a + (-a)) = 0 (A2) z + 0 = 0 (A4) z = 0 (A3)

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Bukti: Bagian (b) Dari sifat (M4), b.1/b = 1. Jika kedua ruas dari hipotesa u.b = b dikali 1/b diperoleh: (u.b).1/b = b.1/b (u.b).1/b = 1 (M4) u.(b. 1/b) = 1 (M2) u.1 = 1 (M4) u = 1 (M3)

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Teorema II: (a) Jika a, b  R sedemikian hingga a + b = 0, maka b = -a. (b) Jika a, b  R dan a  0 sedemikian hingga a.b = 1 maka b = 1/b

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Bukti:Bagian (a) Dari sifat (A3) dan (A4), yakni b = b + 0 dan a + (-a) = 0, maka diperoleh: b = b + 0 (A3) b = b + (a + (-a)) (A4) b = (b + a) + -a (A2) b = (a + b) + -a (A1) b = 0 + -a (hipotesa) b = -a (A3) Jadi terbukti: jika a + b = 0  b = -a.

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Bukti:Bagian (b) Dari sifat (M3) dan (M4), yakni b = b.1 dan a.1/a = 1, maka diperoleh: b = b.1 (M3) b = b.(a.1/a) (M4) b = (b.a).1/a (M2) b = (a.b).1/a (M1) b = 1.1/a (hipotesa) b = 1/a (M3) Jadi terbukti: a.b = 1  b = 1/b.

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Teorema III: Misalkan a, b  R sembarang. Maka (a) Persamaan a + x = b mempunyai penyelesaian tunggal x = (-a) + b. (b) Jika a  0, persamaan a.x = b mempunyai penyelesaian tunggal x = 1/a.b.

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Bukti:Bagian (a) Misalkan x = (-a) + b adalah penyelesaian dari a + x = b, maka a + x = a + ((-a) + b) (x = (-a) + b) = (a + (-a)) + b (A2) = 0 + b (A4) = b (A3) hal ini munjukkan bahwa x = (-a) + b merupakan penyelesaian dari a + x = b.

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Bukti: (lanjutan Bagian (a)) Kemudian akan ditunjukkan ketunggalan-nya, misalkan ada pemecahan lain x1 merupakan penyelesaian dari a + x = b, yaitu: a + x1 = b, maka diperoleh x1 = x 1 + 0 (A3) = x1 + (a + (-a)) (A4) = (x1 + a) + (-a) (A2) = (a + x1) + (-a) (A1) = b + (-a) (a + x1 = b) = (-a) + b (A1) Karena x1 = (-a) + b, hal ini menunjukkan bahwa x dan x1 adalah tunggal.

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Bukti: Bagian (b) Misalkan x = 1/a. b adalah penyele-saian dari a.x = b, maka a.x = a.(1/a.b) (x =1/a.b) = (a.1/a).b (M2) = 1. b (M4) = b (M3) hal ini munjukkan bahwa x =1/a.b merupakan penyelesaian dari a.x = b.

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Bukti: (Lanjutan Bagian (b)) Kemudian akan ditunjukkan ketung-galannya, misalkan ada pemecahan lain x2, yaitu a.x2 = b, maka dipero-leh x2 = x2.1 (M3) = x2.(a.1/a) (M4) = (x2.a).1/a (M2) = (a.x2).1/a (M1) = b.1/a (a.x1 = b) = 1/a.b (M1) Karena x2 = 1/a.b, hal ini menunjuk-kan x dan x2 adalah tunggal.

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Teorema IV: (Penggunaan Sifat Distributif) Misalkan a  R sembarang, maka (a) a.0 = 0 (b) (-1). a = -a (c) -(-1) = 1 (d) (-1).(-1) = 1

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Bukti: Bagian (a) Dari sifat (M3), yakni a.1 = a. Maka diperoleh a + a.0 = a.1 + a.0 (M3) a + a.0 = a.(1 + 0) (D1) a + a.0 = a.1 (A3) a + a.0 = a (M3) a.0 = (-a) + a (teorema ?) = 0 (A4)

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Bukti: Bagian (b) a + (-1)a = 1.a + (-1)a (M3) a + (-1)a = (1 + (-1))a (D2) a + (-1)a = 0.a (A4) a + (-1)a = 0 (teorema ?) (-1)a = (-a) + 0 (teorema ?) (-1)a = -a (A3)

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Bukti: Bagian (c) Dari sifat (A4), yakni (-a) + a = 0. Maka diperoleh -(-a) + 0 = -(-a) + ((-a) + a) (A4) -(-a) = (-(-a) + (-a)) + a (A3, A2) -(-a) = 0 + a (A4) -(-a) = a (A3)

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Bukti: Bagian (c) Dari sifat (A4), yakni (-a) + a = 0. Maka diperoleh -(-a) + 0 = -(-a) + ((-a) + a) (A4) -(-a) = (-(-a) + (-a)) + a (A3, A2) -(-a) = 0 + a (A4) -(-a) = a (A3)

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Bukti: Bagian (d) (-1).a = -a (teorema ?) (-1).(-1) = -(-1) (ambil a = -1) = 1 (teorema ?)

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Teorema V: Hasil Penting dari Sifat Aljabar) Misalkan a, b, c  R sembarang. (a) jika a  0 maka 1/a  0 dan 1/(1/a) = a. (b) jika a.b = a.c, a  0 maka b = c. (c) jika a.b = 0 maka a = 0 atau b = 0.

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Bukti: Bagian (a) Dari sifat (M4), jika diberikan a  0 maka terdapat 1/a di R. Andaikan 1/a = 0, dari teorema ? diperoleh a.1/a = 0. Dilain pihak dari sifat (M4) ini juga a.1/a = 1, ini mengakibatkan bahwa 0 = 1, hal ini kontradiksi dengan (M3), yaitu 1  0. Karenanya pengandaian 1/a = 0 salah. Jadi haruslah 1/a  0. Dan karena 1/a  0, serta 1/a.a = 1, maka menurut teorema ?, a = 1/(1/a). (terbukti)

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Bukti: Bagian (b) Jika a.b = a.c, dari teorema ?, maka b = 1/a.(a.c). Akibatnya b = (1/a.a).c (M2) b = 1.c (M4) b = c (M3) (terbukti)

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Bukti: Bagian (c) Jika a  0 dan a.b = 0, maka diperoleh a.b = 0 = a.0 (teorema ?) Jadi a.b = a.0. karena a  0 dan a.b = a.0, maka b = 0 (teorema ?) Dengan cara yang sama, jika b  0 dan a.b = 0 maka diperoleh a.b = 0 = 0.b (teorema ?) karena b  0 dan a.b = 0.0, maka a = 0 (teorema ?) Jadi dapat disimpulkan, jika a.b = 0 maka a = 0 atau b = 0. (terbukti)

BILANGAN IRASIONAL ??? : 

9/10/2009 BILANGAN IRASIONAL ??? Teorema: Tidak terdapat sebuah bilangan rasional r sedemikian hingga r2 = 2.

BILANGAN IRASIONAL ??? : 

9/10/2009 BILANGAN IRASIONAL ??? Bukti: (Dengan kontradiksi), andaikan tidak demikian, berarti terdapat r di Q sedemikian hingga r2 = 2. r di Q sehingga dapat ditulis dalam bentuk p/q dimana p, q di Z dan q  0, serta asumsikan p dan q tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1. (jika p dan q mempunyai faktor persekutuan selain 1 berarti p dan q dapat dibagi dengan faktor sekutu tersebut tanpa mengubah nilai p/q). Akibatnya diperoleh 2 = r2 = (p/q)2 = p2/q2 atau p2 = 2 q2 karena p2 = 2 q2 maka p2 genap. Akibatnya p juga genap (karena jika p ganjil, misalkan p = 2n + 1, nZ maka p2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 ganjil). karena diasumsikan tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1 dan p genap maka haruslah q ganjil. Misalkan p = 2n, nZ maka 2q2 = 4n2. Sehingga q2 = 2n2 genap, akibatnya q genap, hal ini terjadi pertentangan dengan q ganjil. Jadi pengandaian r adalah bilangan rasional haruslah dingkari, yaitu tidak terdapat r di Q sedemikian r2 = 2.

Latihan ??? : 

9/10/2009 Latihan ??? 1. Selesaikan dan sederhanakan persa-maan berikut, jelaskan kebenaran setiap langkah dengan sifat-sifat dan teorema yang digunakan (a) 2x + 5 = 8 (b) 2x + 6 = 3x + 2 (c) x2 = 2x (d) (x – 1)(x + 2) = 0 2. Buktikan bahwa jika a, b di R, maka (a) –(a + b) = (-a) + (-b) (b) (-a).(-b) = a.b (c) 1/(-a) = -(1/a), jika a  0 (d) –(a/b) = (-a)/b, jika b  0 3. Jika a di R memenuhi a.a = a, buktikan hanya dipenuhi a = 0 atau a = 1. 4. Jika a  0 dan b  0, tunjukkan bahwa 1/(ab) = (1/a).(1/b).

Latihan ??? : 

9/10/2009 Latihan ??? 5. Gunakan argumentasi untuk menunjukkan bahwa tidak terdapat bilangan rasional s sedemikian hingga s2 = 6. 6. Dengan modifikasi dari argumentasi, tunjukkan bahwa tidak terdapat bilangan rasional t sedemikian hingga t3 = 3. 7. Tunjukkan bahwa jika s di R adalah bilangan irrasional dan r  0 bilangan rasional, maka (a) r + s bilangan irrasional (b) rs bilangan irrasional. 8. Jika x dan y bilangan-bilangan rasional, tunjukkan (a) r + s bilangan rasional (b) rs bilangan rasional.

Latihan ??? : 

9/10/2009 Latihan ??? 9. Misalkan B adalah sebuah operasi biner pada R. Katakan bahwa B: (i) komutatif jika B(a, b) = B(b, a), a, b  R (ii) assosiatif jika B(a, B(b, c)) = B(B(a, b), c) a, b  R (iii) mempunyai sebuah identitas jika terdapat sebuah elemen e di R sedemikian hingga B(a, e) = a = B(e, a) untuk semua a di R. Tentukan mana dari sifat-sifat di atas dipenuhi untuk operasi biner, yang didefinisikan untuk semua a, b di R, dengan (a) B1(a, b) = (a + b) (b) B2(a, b) = (ab) (c) B3(a, b) = a - b (d) B4(a, b) = 1 + ab

BILANGAN RIIL ? : 

9/10/2009 BILANGAN RIIL ? Bukti: Bagian (c) Jika a  0 dan a.b = 0, maka diperoleh a.b = 0 = a.0 (teorema ?) Jadi a.b = a.0. karena a  0 dan a.b = a.0, maka b = 0 (teorema ?) Dengan cara yang sama, jika b  0 dan a.b = 0 maka diperoleh a.b = 0 = 0.b (teorema ?) karena b  0 dan a.b = 0.0, maka a = 0 (teorema ?) Jadi dapat disimpulkan, jika a.b = 0 maka a = 0 atau b = 0. (terbukti)

Recommending a Strategy : 

9/10/2009 Recommending a Strategy Ideas for Today and Tomorrow 1

Vision Statement : 

Vision Statement State the vision and long term direction 2

Goal and Objective : 

Goal and Objective State the desired goal State the desired objective Use multiple points if necessary 3

Today’s Situation : 

Today’s Situation Summary of the current situation Use brief bullets, discuss details verbally 4

How Did We Get Here? : 

How Did We Get Here? Any relevant historical information Original assumptions that are no longer valid 5

Available Options : 

Available Options State the alternative strategies List advantages & disadvantages of each State cost of each option 6

Recommendation : 

Recommendation Recommend one or more of the strategies Summarize the results if things go as proposed What to do next Identify Action Items 7

authorStream Live Help