SIMULACION MONTECARLOS

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SIMULACION MONTE CARLO:

SIMULACION MONTE CARLO

Que es la simulación Monte Carlo?:

Que es la simulación Monte Carlo? Método computacional usado para estudiar el comportamiento de sistemas matemáticos, físicos o de cualquier índole, a partir del uso de muestreo estadístico, números aleatorios y pseudo-aleatorios. Es iterativo -> requiere cálculos por computador. Las técnicas de Monte Carlo pueden ser usadas para encontrar soluciones aproximadas a problemas discretos y cuantitativos, con o si incertidumbre.

Orígenes:

Orígenes Se atribuye a Stanislaw Ulam, matemático polaco que trabajo para John von Neumann en el proyecto Manhattan durante la segunda guerra mundial y contribuyo junto con Edward Teller en el diseño de la bomba de Hidrogeno en 1951. Ulam no inventó el muestreo estadístico, pero reconoció la el potencial de los computadores electrónicos para automatizar el proceso. Trabajando con John von Neuman y Nicholas Metropolis, desarrollo algoritmos de implementación y exploró formas de convertir problemas no aleatorios en formas aleatorias para ser solucionados via muestréo estadístico. Ulam y Metropolis publican el primer paper en 1949.

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En este curso, usaremos la simulación Monte Carlo para el tratamiento de problemas y modelos con incertidumbre. Partiremos de modelos matemáticos que describan un problema o situación y a los cuales se les incorporarán componentes probabilisticos.

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Riesgo : es un efecto aleatorio propio del sistema bajo análisis. Se puede reducir alterando el sistema. Incertidumbre es el nivel de ignorancia del evaluador acerca de los parámetros que caracterizan el sistema a modelar. Se puede reducir a veces con mediciones adicionales o mayor estudio, o consulta a expertos. La Variabilidad Total es la combinación de riesgo e incertidumbre. Hay dos componentes que pueden generar aleatoriedad en un modelo.

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Tanto el riesgo como la incertidumbre se describen mediante variables aleatorias que hacen parte de las variables presentes en el modelo.

Para que queremos modelar la variabilidad?:

Para que queremos modelar la variabilidad? El riesgo no es algo que se "sufre", el riesgo es algo que se puede administrar.

Fundamentos de probabilidad para simulación.:

Fundamentos de probabilidad para simulación. Variables Aleatorias Distribuciones de probabilidad Ley de los grandes números. Teorema del límite central.

Fundamentos de probabilidad para simulación.:

Fundamentos de probabilidad para simulación. Variables Aleatorias Distribuciones de probabilidad Ley de los grandes números. Teorema del límite central.

Variables Aleatorias:

Variables Aleatorias Una Variable aleatoria X es una función cuyos valores son números reales y dependen del “azar”. Para caracterizar las variables aleatorias se utilizan las distribuciones de probabilidad.

Ejemplo (Valor Experado) Probabilistico / Monte Carlo:

Ejemplo (Valor Experado) Probabilistico / Monte Carlo En el cuadro inferior se muestra un análisis histórico de 200 días sobre el número de consultas diarias realizadas a un sistema de información empresarial (EIS) residente en un servidor central. La tabla incluye el número de consultas diarias (0 a 5) junto con las frecuencias absolutas(número de días que se producen 0, 1, ..., 5 consultas), Calcular frecuencias relativas (10/200 = 0,05,...), y las frecuencias relativas acumuladas. Consultas EIS Fr Ab. (Dias) 0 10 1 20 2 40 3 60 4 40 5 30 200

Ejemplo (Valor Experado) Probabilistico / Monte Carlo:

Ejemplo (Valor Experado) Probabilistico / Monte Carlo Podemos interpretar la frecuencia relativa como la probabilidad de que ocurra el suceso asociado , en este caso, la probabilidad de un determinado número de consultas (así, p.e ., la probabilidad de que se den 3 consultas en un día sería de 0,30), por lo que la tabla anterior nos proporciona la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria discreta (la variable aleatoria es el número de consultas al EIS, que sólo puede tomar valores enteros entre 0 y 5).

Ejemplo (Valor Experado) Probabilistico / Monte Carlo:

Ejemplo (Valor Experado) Probabilistico / Monte Carlo Supongamos que queremos conocer el número esperado (o medio) de consultas por día. La respuesta a esta pregunta es fácil si recurrimos a la teoría de la probabilidad: Denotando por X a la variable aleatoria que representa el número diario de consultas al EIS, sabemos que: Por otra parte, también podemos usar simulación de Monte Carlo para estimar el número esperado de consultas diarias

Fundamentos de probabilidad para simulación.:

Fundamentos de probabilidad para simulación. Variables Aleatorias Distribuciones de probabilidad Ley de los grandes números. Teorema del límite central.

Distribución de probabilidad:

Distribución de probabilidad Una distribución de probabilidad describe el rango de valores que puede tomar una variable aleatoria y la probabilidad asignada a cada valor o rango de valores.

Distribuciones de probabilidad:

Distribuciones de probabilidad Discretas Una variable aleatoria representada mediante una distribución discreta de probabilidad puede tomar un valor de entre un conjunto de valores, cada uno de los cuales tiene asignada una determinada probabilidad de ocurrencia. Ejemplos: Binomial, Geométrica, Poisson, Discreta.

Ejemplo:

Ejemplo Supongamos que trabajamos en un gran almacén informático, y que nos piden consejo para decidir sobre el número de licencias de un determinado sistema operativo que conviene adquirir. Las licencias se suministrarán con los ordenadores que se vendan durante el próximo trimestre, y es lógico pensar que en pocos meses habrá un nuevo sistema operativo en el mercado de características superiores. Cada licencia de sistema operativo le cuesta al almacén un total de 75 Euros, mientras que el precio al que la vende es de 100 Euros. Cuando salga al mercado la nueva versión del sistema operativo, el almacén podrá devolver al distribuidor las licencias sobrantes, obteniendo a cambio un total del 25 Euros por cada una. Basándose en los datos históricos de los últimos meses, los responsables del almacén han sido capaces de determinar la siguiente distribución de probabilidades por lo que a las ventas de licencias del nuevo sistema operativo se refiere:

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N° Lic Vendidas Probabilidad 100 0.30 150 0.20 200 0.30 250 0.15 300 0.05

Distribuciones de probabilidad:

Distribuciones de probabilidad Continuas Una variable aleatoria representada mediante una distribución continua de probabilidad puede tomar cualquier valor dentro de un rango determinado. Ejemplos: Normal, Lognormal, Uniforme, Triangular, Histograma

Distribuciones de probabilidad:

Distribuciones de probabilidad No Limitadas La variable aleatoria puede tomar valores entre +infinito y –infinito (ejemplos: Normal, Logística). Limitadas Los valores de la variable aleatoria quedan confinados entre dos valores extremos (ejemplos: Binomial, Beta, Uniforme, Triangular, Histograma). Parcialmente Limitadas Los valores de la variable aleatoria quedan limitados en uno de los extremos de la distribución (ejemplos: Poisson, Exponencial).

Distribuciones de probabilidad:

Distribuciones de probabilidad Paramétricas La distribución de probabilidad se ajusta a la descripción matemática de un proceso aleatorio que cumple con determinados supuestos teóricos . Los parámetros que definen la distribución en general no guardan relación intuitiva con la forma de la distribución. Ejemplos: Normal, Lognormal, Exponencial, Beta.

Distribuciones de probabilidad:

Distribuciones de probabilidad No Paramétricas Los parámetros que se usan para definir estas distribuciones describen la forma de la distribución. No se apoyan en una teoría que describa el proceso de generación de valores aleatorios. Ejemplos: Triangular, Histograma, General, Uniforme, Acumulada

Distribuciones de probabilidad:

Distribuciones de probabilidad Subjetivas El uso de estas distribuciones de probabilidad es la única alternativa para describir una variable aleatoria cuando: 1. No hay una base de antecedentes. 2. Los datos del pasado no son relevantes. 3. Los datos son escasos y no cubren todo el rango de posibles valores. 4. Es demasiado caro generar datos. 5. Generar valores llevaría demasiado tiempo

DISTRIBUCIONES NO PARAMETRICAS:

DISTRIBUCIONES NO PARAMETRICAS

Uniforme:

Uniforme Todos los valores dentro del rango factible tienen la misma densidad de probabilidad. Parámetros : Uniform ( min , max ) Aplicaciones: U(0,1) se usa en la generación de los valores de todas las demás distribuciones de probabilidad en el muestreo aleatorio. Es una aproximación muy cruda para usar como estimación de la incertidumbre percibida de un parámetro

Histograma:

Histograma Aplicaciones: representar la forma de la distribución de una serie de datos o la opinión de un experto acerca de la forma de la distribución de una variable. Parámetros: Histogram (min, max, {p i }) Todos los intervalos de la distribución tienen el mismo “ancho”. Histograma

DISTRIBUCIONES PARAMETRICAS:

DISTRIBUCIONES PARAMETRICAS

Normal:

Normal Aplicaciones: una variedad de situaciones, como se desprende del Teorema Central del Límite. Es útil en finanzas pues la suma o diferencia de distribuciones Normales resulta también en una distribución Normal con parámetros que pueden ser determinados a partir del TCL. Parámetros: Normal ( mu,sigma )

Normal:

Normal La mayoría de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales, físicas y biológicas, son continuas y se distribuyen según la distribución de probabilidad Normal, que tiene la siguiente expresión analítica : Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviación típica.

Normal:

Normal La distribución de probabilidad Normal, tiene forma de campana Para una variable aleatoria X , que se distribuye normalmente con media : μ y desviación típica : σ , la probabilidad de que la variable X esté comprendida entre los valores a y b es el área teñida de rojo en la siguiente figura

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Esta probabilidad analíticamente se puede calcular así: Como el cálculo de esta integral es laborioso, para calcular el área se realiza el siguiente cambio de variable:

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Este cambio origina una distribución normal estándar de media μ = 0 y desviación típica σ = 1 cuya función de densidad es :

Estimación subjetiva de los parámetros de una Normal:

Estimación subjetiva de los parámetros de una Normal Media: Valor más probable Desvío: el intervalo +/- 2*sigma contiene el 95% de los valores, por lo tanto: Sigma: (máximo - más probable) / 2

Lognormal:

Lognormal Aplicaciones: modelar variables que son el producto de una cantidad de otras variables aleatorias que ocurren naturalmente. Generalmente brinda una buena representación de variables que se extienden de 0 a +inf y que tienen un sesgo positivo. Parámetros: Lognormal ( mu,sigma ) Se usan como parámetros la media aritmética y el desvío standard de los datos disponibles.

Condiciones subyacentes de una distribución Lognormal:

Condiciones subyacentes de una distribución Lognormal La variable aleatoria puede tomar valores que aumentan sin límites pero no puede tomar valores negativos. La variable aleatoria tiene un sesgo positivo (modo < media) con la mayor parte de los valores cerca del límite inferior. El logaritmo natural de la variable se ajusta a una distribución Normal.

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