DISTRIBUCION BINOMIAL

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DISTRIBUCION BINOMIAL:

DISTRIBUCION BINOMIAL Daniel Bernoulli matemático, estadístico, físico y médico holandés-suizo.

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La distribucion binomial o de Bernoulli La distribucion binomial esta asociada a experimentos del siguiente tipo: - Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos solo la posibilidad de éxito o fracaso. - La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de la obtención de éxito o Fracaso en las demás ocasiones. - La probabilidad de obtener éxito o fracaso siempre es la misma en cada ocasión.

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Ejemplo Tiramos un dado 7 veces y contamos el numero de cincos que obtenemos. .Cual es la probabilidad De obtener tres cincos?. Este es un típico ejemplo de distribucion binomial, pues estamos repitiendo 7 veces el experimento De lanzar un dado. .Cual es nuestro éxito?.

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Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos. El fracaso, por tanto, será no sacar 5, sino sacar cualquier otro numero . Por tanto, Éxito = E = “sacar un 5” = ⇒ p(E) = 1/6 Fracaso = F = “no sacar un 5” = ⇒ p(F) = 5/6 Para calcular la probabilidad que nos piden, fijémonos en que nos dicen que sacamos 3 cincos y por lo tanto tenemos 3 éxitos y 4 fracasos, .de cuantas maneras pueden darse estas posibilidades ?.

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Podríamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sin sacar cinco, es decir: EEEFFFF Pero también podríamos sacar EFEFFFE, es decir que en realidad estamos calculando de cuantas maneras se pueden ordenar 4 fracasos y 3 éxitos. Recordando las técnicas combinatorias, este problema se reduce a calcular las permutaciones con elementos repetidos : p 7 3,4 = 7! _____ 3! . 4! = 7.6.5 _______ 3.2.1 = 35 FORMAS.

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Y por tanto, como p(E) = 1/6 y tengo 3 éxitos y p(F) = 5/6 y tengo 4 fracasos: p(tener 3 éxitos y 4 fracasos) = 35 . 1/6 . 1/6 . 1/6 . 5/6 . 5/6 . 5/6 . 5/6 = 00781 Formalizando lo obtenido, en una variable binomial con 7 repeticiones y con probabilidad de éxito 1 6 la probabilidad de obtener 3 éxitos es 0’0781, y lo expresaríamos: ___ ,

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Bin 7; 1/6 , Entonces p(x=3) = o.0787 Como repetir este proceso sería bastante penoso en la mayoría de los casos, lo mejor es recurrir a la siguiente formula que expresa la probabilidad de obtener cierto numero de éxitos en una distribucion binomial:

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Definición de distribucion binomial: Si realizamos n veces un experimento en el que podemos obtener éxito, E, con probabilidad p y fracaso, F, con probabilidad q ( q = 1 − p), diremos que estamos ante una distribucion binomial de parámetros n y p, y lo representaremos por Bin ( n;p). En este caso la probabilidad de obtener k éxitos viene dada por: p(X = k) = n k ・ pk ・ q(n−k) Nota: Observar que las probabilidades de éxito y fracaso son complementarias, es decir , q = 1-p y p =1-q , por lo que basta saber una de ellas para calcular la otra.

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