4_Relasi_dan_Fungsi

Views:
 
Category: Entertainment
     
 

Presentation Description

gddd

Comments

Presentation Transcript

Matriks, Relasi, dan Fungsi: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 1 Matriks, Relasi, dan Fungsi Matematika Diskrit

Slide 2: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 2

Slide 3: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 3

Slide 4: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 4

Slide 5: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 5

Slide 6: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 6

Slide 7: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 7

Slide 8: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 8

Slide 9: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 9

Slide 10: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 10

Slide 11: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 11

Slide 12: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 12

Slide 13: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 13

Slide 14: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 14

Slide 15: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 15

Slide 16: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 16

Slide 17: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 17

Slide 18: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 18

Slide 19: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 19

Slide 20: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 20

Slide 21: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 21

Slide 22: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 22

Slide 23: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 23

Slide 24: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 24

Slide 25: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 25

Slide 26: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 26

Slide 27: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 27

Slide 28: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 28

Slide 29: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 29

Slide 30: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 30

Slide 31: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 31

Slide 32: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 32

Slide 33: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 33

Slide 34: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 34

Slide 35: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 35

Slide 36: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 36

Slide 37: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 37

Slide 38: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 38

Slide 39: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 39

Slide 40: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 40

Slide 41: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 41

Slide 42: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 42

Slide 43: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 43

Slide 44: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 44

Slide 45: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 45

Slide 46: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 46

Slide 47: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 47

Slide 48: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 48

Slide 49: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 49

Slide 50: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 50

Slide 51: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 51

Slide 52: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 52

Slide 53: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 53

Slide 54: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 54

Slide 55: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 55

Slide 56: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 56

Slide 57: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 57

Slide 58: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 58

Slide 59: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 59

Slide 60: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 60

Slide 61: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 61

Slide 62: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 62

Slide 63: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 63

Slide 64: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 64

Slide 65: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 65

Slide 66: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 66

Slide 67: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 67

Slide 68: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 68

Slide 69: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 69

Slide 70: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 70

Slide 71: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 71

Slide 72: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 72

Slide 73: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 73

Relasi Kesetaraan: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 74 Relasi Kesetaraan DEFINISI. Relasi R pada himpunan A disebut relasi kesetaraan ( equivalence relation ) jika ia refleksif, setangkup dan menghantar.

Slide 75: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 75 Secara intuitif, di dalam relasi kesetaraan, dua benda berhubungan jika keduanya memiliki beberapa sifat yang sama atau memenuhi beberapa persyaratan yang sama. Dua elemen yang dihubungkan dengan relasi kesetaraan dinamakan setara ( equivalent ).

Slide 76: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 76 Contoh: A = himpunan mahasiswa, R relasi pada A: ( a , b )  R jika a satu angkatan dengan b . R refleksif: setiap mahasiswa seangkatan dengan dirinya sendiri R setangkup: jika a seangkatan dengan b , maka b pasti seangkatan dengan a . R menghantar: jika a seangkatan dengan b dan b seangkatan dengan c , maka pastilah a seangkatan dengan c . Dengan demikian, R adalah relasi kesetaraan.

Relasi Pengurutan Parsial : 

IF2151/Relasi dan Fungsi 77 Relasi Pengurutan Parsial DEFINISI. Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi pengurutan parsial ( partial ordering relation ) jika ia refleksif, tolak-setangkup, dan menghantar. Himpunan S bersama-sama dengan relasi R disebut himpunan terurut secara parsial ( partially ordered set , atau poset ), dan dilambangkan dengan ( S , R ).

Slide 78: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 78 Contoh: Relasi  pada himpunan bilangan bulat adalah relasi pengurutan parsial. Alasan: Relasi  refleksif, karena a  a untuk setiap bilangan bulat a; Relasi  tolak-setangkup, karena jika a  b dan b  a , maka a = b; Relasi  menghantar, karena jika a  b dan b  c maka a  c .

Slide 79: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 79 Contoh: Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat adalah relasi pengurutan parsial. Alasan: relasi “habis membagi” bersifat refleksif, tolak-setangkup, dan menghantar.

Slide 80: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 80 Secara intuitif, di dalam relasi pengurutan parsial, dua buah benda saling berhubungan jika salah satunya -- lebih kecil (lebih besar) daripada, - atau lebih rendah (lebih tinggi) daripada lainnya menurut sifat atau kriteria tertentu.

Slide 81: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 81 Istilah pengurutan menyatakan bahwa benda-benda di dalam himpunan tersebut dirutkan berdasarkan sifat atau kriteria tersebut. Ada juga kemungkinan dua buah benda di dalam himpunan tidak berhubungan dalam suatu relasi pengurutan parsial. Dalam hal demikian, kita tidak dapat membandingkan keduanya sehingga tidak dapat diidentifikasi mana yang lebih besar atau lebih kecil. Itulah alasan digunakan istilah pengurutan parsial atau pengurutan tak-lengkap

Klosur Relasi (closure of relation): 

IF2151/Relasi dan Fungsi 82 Klosur Relasi ( closure of relation ) Contoh 1: Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)} pada himpunan A = {1, 2, 3} tidak refleksif. Bagaimana membuat relasi refleksif yang sesedikit mungkin dan mengandung R ?

Slide 83: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 83 Tambahkan (2, 2) dan (3, 3) ke dalam R (karena dua elemen relasi ini yang belum terdapat di dalam R ) Relasi baru, S , mengandung R , yaitu S = {(1, 1), (1, 3), (2, 2) , (2, 3), (3, 2), (3, 3) } Relasi S disebut klosur refleksif ( reflexive closure ) dari R .

Slide 84: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 84 Contoh 2: Relasi R = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 3)} pada himpunan A = {1, 2, 3} tidak setangkup. Bagaimana membuat relasi setangkup yang sesedikit mungkin dan mengandung R ?

Slide 85: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 85 Tambahkan (3, 1) dan (2, 3) ke dalam R (karena dua elemen relasi ini yang belum terdapat di dalam S agar S menjadi setangkup). Relasi baru, S , mengandung R : S = {(1, 3), (3, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3), (3, 3)} Relasi S disebut klosur setangkup ( symmetric closure ) dari R .

Slide 86: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 86 Misalkan R adalah relasi pada himpunan A . R dapat memiliki atau tidak memiliki sifat P , seperti refleksif, setangkup, atau menghantar. Jika terdapat relasi S dengan sifat P yang mengandung R sedemikian sehingga S adalah himpunan bagian dari setiap relasi dengan sifat P yang mengandung R , maka S disebut klosur ( closure ) atau tutupan dari R [ROS03].

Klosur Refleksif: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 87 Klosur Refleksif Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan A . Klosur refleksif dari R adalah R   , yang dalam hal ini  = {( a , a ) | a  A }.

Slide 88: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 88 Contoh: R = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)} adalah relasi pada A = {1, 2, 3} maka  = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}, sehingga klosur refleksif dari R adalah R   = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)}  {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}

Slide 89: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 89 Contoh: Misalkan R adalah relasi {( a , b ) | a  b } pada himpunan bilangan bulat. Klosur refleksif dari R adalah R   = {( a , b ) | a  b }  {( a , a ) | a  Z } = {( a , b ) | a , b  Z }

Klosur setangkup: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 90 Klosur setangkup Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan A . Klosur setangkup dari R adalah R  R -1 , dengan R -1 = {( b , a ) | ( a , b ) a  R }.

Slide 91: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 91 Contoh: R = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 3)} adalah relasi pada A = {1, 2, 3}, maka R -1 = {(3, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3)} sehingga klosur setangkup dari R adalah R  R -1 = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 3)}  {(3, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3)} = {(1, 3), (3, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}

Slide 92: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 92 Contoh: Misalkan R adalah relasi {( a , b ) | a habis membagi b } pada himpunan bilangan bulat. Klosur setangkup dari R adalah R  R -1 = {( a , b ) | a habis membagi b }  {( b , a ) | b habis membagi a } = {( a , b ) | a habis membagi b atau b habis membagi a }

Klosur menghantar: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 93 Klosur menghantar Pembentukan klosur menghantar lebih sulit daripada dua buah klosur sebelumnya. Contoh: R = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (3, 2)} adalah relasi A = {1, 2, 3, 4}. R tidak transitif karena tidak mengandung semua pasangan ( a , c ) sedemikian sehingga ( a , b ) dan ( b , c ) di dalam R . Pasangan ( a , c ) yang tidak terdapat di dalam R adalah (1, 1), (2, 2), (2, 4), dan (3, 1).

Slide 94: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 94 Penambahan semua pasangan ini ke dalam R sehingga menjadi S = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (3, 2), (1, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 1)} tidak menghasilkan relasi yang bersifat menghantar karena, misalnya terdapat (3, 1)  S dan (1, 4)  S , tetapi (3, 4)  S .

Slide 95: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 95 Kosur menghantar dari R adalah R * = R 2  R 3  …  R n Jika M R adalah matriks yang merepresentasikan R pada sebuah himpunan dengan n elemen, maka matriks klosur menghantar R * adalah

Slide 96: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 96

Aplikasi klosur menghantar: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 97 Aplikasi klosur menghantar Klosur menghantar menggambarkan bagaimana pesan dapat dikirim dari satu kota ke kota lain baik melalui hubungan komunikasi langsung atau melalui kota antara sebanyak mungkin [LIU85].

Slide 98: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 98 Misalkan jaringan komputer mempunyai pusat data di Jakarta, Bandung, Surabaya, Medan, Makassar, dan Kupang. Misalkan R adalah relasi yang mengandung ( a , b ) jika terdapat saluran telepon dari kota a ke kota b .

Slide 99: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 99

Slide 100: 

IF2151/Relasi dan Fungsi 100 Karena tidak semua link langsung dari satu kota ke kota lain, maka pengiriman data dari Jakarta ke Surabaya tidak dapat dilakukan secara langsung. Relasi R tidak menghantar karena ia tidak mengandung semua pasangan pusat data yang dapat dihubungkan (baik link langsung atau tidak langsung). Klosur menghantar adalah relasi yang paling minimal yang berisi semua pasangan pusat data yang mempunyai link langsung atau tidak langsung dan mengandung R .