ELIPSE

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Lic. Educ.OLBER TICONA RIOS 1 Licenciado en Educación: Olber Ticona Rios

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Lic. Educ.OLBER TICONA RIOS 2 La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Si F y F' son dos puntos del plano y d es una constante mayor que la distancia FF', un punto M pertenecerá a la elipse, si: FM +F´M = d = 2a donde “a” es el semieje mayor de la elipse

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Lic. Educ.OLBER TICONA RIOS 3 ELEMENTOS DE UNA ELIPSE L 1 : Eje normal (eje menor): B 1 B 2 =2b L ; Eje focal (eje mayor): V 1 V 2 =2a F 1 y F 2 Focos(F 1 F 2 ) = 2c d 1 y d 2 Directrices TU Lado Recto MI Cuerda Focal PF 1 y PF 2 Radio Vector RE Diámetro C Centro

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Lic. Educ.OLBER TICONA RIOS 4 La excentricidad de una elipse es el cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor; se encuentra entre cero y uno. e = c/a. (0 < e < 1) La excentricidad determina la forma de una elipse; la elipse será más redondeada cuanto más se acerque la excentricidad a cero. Excentricidad de una elipse

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Lic. Educ.OLBER TICONA RIOS 5 La elipse es un caso especial de Hipocicloide , en donde R = 10, r = 5, d = 1. La "elipse" es un Hipocicloide , según se puede visualizar en la figura de lado derecho En un Hipocicloide el circulo excéntrico gira al interior de la circunferencia ; en cambio en un Epicicloide el circulo gira al exterior de la circunferencia, y en un Cicloide el circulo gira en un plano. Los hipocicloides son una clase especial de "hipotrocoides", los cuales a su vez son una clase particular de ruleta . Hipocicloide

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Lic. Educ.OLBER TICONA RIOS 6 Ecuación de una elipse La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas , con centro en el origen, es: donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (“a” corresponde al eje de las abscisas , “b” al eje de las ordenadas ). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo “e” la excentricidad y “a” el semieje mayor . Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h, k), la ecuación es: En coordenadas polares una elipse viene definida por la ecuación: Y finalmente, en ecuaciones paramétricas las expresiones son: con             , y donde el ángulo θ se puede interpretar como el ángulo polar

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Lic. Educ.OLBER TICONA RIOS 7 ECUACION DE LA ELIPSE DE CENTRO EN EL ORIGEN Y EL EJE FOCAL EN EL EJE Y V 1 (0;-a) y V 2 (0;a) son los vértices de la elipse. B 1 (b;0) y B 2 (-b; 0) son los extremos del eje menor. F 1 (0; -c) y F 2 (0;c) son los focos

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Lic. Educ.OLBER TICONA RIOS 8 ECUACION DE LA ELIPSE DE CENTRO EN EL ORIGEN Y EL EJE FOCAL EN EL EJE X V 1 (-a;0) y V 2 (a;0) son los vértices de la elipse. B 1 (0;b) y B 2 (0;-b) son los extremos del eje menor. F 1 (-c;0) y F 2 (c;0) son los focos

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Lic. Educ.OLBER TICONA RIOS 9 ECUACION DE LA ELIPSE DE CENTRO c(h;k) Y EL EJE FOCAL EN EL EJE X V 1 (h-a;k) y V 2 (h+a;k) son los vértices de la elipse. B 1 (h;k+b) y B 2 (h;k-b) son los extremos del eje menor. F 1 (h-c;k) y F 2 (h+c;k) son los focos

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Lic. Educ.OLBER TICONA RIOS 10 ECUACION DE LA ELIPSE DE CENTRO c(h;k) Y EL EJE FOCAL EN EL EJE Y V 1 (h;k-a) y V 2 (h;k+a) son los vértices de la elipse. B 1 (h-b;k) y B 2 (h+b;k) son los extremos del eje menor. F 1 (h;k-c) y F 2 (h;k+c) son los focos

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Lic. Educ.OLBER TICONA RIOS 11 d(B 1 F 1 )=d(B 1 F 2 )= a d(B 2 F 1 )=d(B 2 F 2 )=a d(CL 1 )=d(CL 2 )= a/e c = a.e 0< e< 1 ó e= c/a < 1 EN TODA ELIPSE SE CUMPLE

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Lic. Educ.OLBER TICONA RIOS 12 Recta tangente a una elipse La recta tangente a una elipse, con centro en (h, k), en el punto M (X 1 ,Y 1 ) tiene como ecuación: Área interior de una elipse El área de la superficie interior de una elipse es: Siendo a y b los semiejes. Longitud de una elipse El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie .

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Lic. Educ.OLBER TICONA RIOS 13 Ejemplo 1 Hallar la ecuación canónica de la elipse Trazar su gráfica identificando los vértices, los focos, el centro y la excentricidad. Solución Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado de la expresión en ambas variables “x” e “y”.

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Lic. Educ.OLBER TICONA RIOS 14 De donde obtenemos que el centro es (1;-2), el valor de a=4       (“a”   es la longitud mayor, esto nos dice que la elipse es vertical), el valor de b=2    y el valor de “c”   está dado por : Y así, los focos están dados por y los vértices por (1;-6) y (1;2). Por último, la excentricidad es

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Lic. Educ.OLBER TICONA RIOS 16 Ejemplo 2 Hallar la solución canónica de la elipse con vértices (3;1) y (3;9) y el eje menor de longitud 6u Como la longitud del eje menor es de 6u, entonces b=3. Como los vértices están en (3;1) y (3;9), entonces el centro está en (3,5), El eje mayor de la elipse es vertical (los valores que varían son del eje Y, El eje mayor mide 8u entonces a=4 En: a 2 = b 2 - c 2 c 2 =16 – 9 Directriz: d 1 : y= 10,4 d 2 : y= -0,4 Solución

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Lic. Educ.OLBER TICONA RIOS 18 Ecuación del diámetro de una elipse canónica Ecuación del diámetro de una elipse ordinaria

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Lic. Educ.OLBER TICONA RIOS 19 Analiza la siguientes ecuaciones canónicas de la Elipse. Determina el tipo de cónica del que se trata y calcula sus elementos: semiejes, semidistancia focal, coordenadas de vértices y focos y excentricidad.