O Número de Ouro - Roberta UCG

O Número de Ouro : 

O Número de Ouro Este número é indicado como a máxima expressão da harmonia, do equilíbrio e da beleza.

Objetivo: 

Objetivo Um dos maiores problemas do ensino hoje é a dissociação dos conteúdos teóricos com problemas simples e corriqueiros do dia a dia. A conseqüência desse ensino aparentemente fora do mundo real é a desmotivação, ocasionando, além do desinteresse pelo conteúdo estudado, memorização superficial, já que há pouca aplicação prática além da avaliação rotineira. Objetivando suprir parte deste problema, propomos relacionar conteúdos matemáticos com situações com as quais nos deparamos no cotidiano.

Introdução: 

Introdução Ao olharmos para o mundo que nos rodeia e para sua evolução, por vezes, não nos apercebemos de como a matemática está presente em muitas das suas áreas, como por exemplo: economia, medicina, pintura, indústria, biologia, arquitetura, etc. Acreditamos que desde os tempos primitivos o ser humano tem permanecido em “estado de indagação” sobre a harmonia e beleza do Universo. E é este “estado” que o fez procurar e estabelecer uma ordem e comparação entre os objetos que o rodeiam. No processo de comparação é necessário um critério especial, denominado medida. Como a beleza é subjetiva, o ser humano procura demonstrar sua harmonia a partir de medidas comparativas, estabelecidas como proporções. Na tentativa de estabelecer proporções é que se chegou ao Número de Ouro, número irracional misterioso e enigmático que surge numa infinidade de elementos da natureza e da criação do homem, na forma de uma razão.

Conteúdo : 

Conteúdo Simetrias Proporcionalidade Equação do 2° grau Seqüências numéricas Secção áurea Figuras geométricas História da Matemática Artes

Vejamos como obter o número de ouro: : 

Vejamos como obter o número de ouro: a) Tomemos um segmento AB, tal que a med (AB) = 1u b) Com um ponto C vamos dividir este segmento em duas partes. De quantas maneiras poderíamos dividir este segmento? Tomando-se a med (AB) = 1, med (AC) = x e med (CB) = 1 – x temos:

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Logo : Aplicando a propriedade fundamental das proporções: E em seguida a propriedade distributiva : Resolvendo a equação, teremos: Daí tem que é um número irracional denominado Secção Áurea. Voltando à proporção:

O número de ouro é considerado especial por ter propriedades matemáticas interessantes, como:   : 

O número de ouro é considerado especial por ter propriedades matemáticas interessantes, como: P 1 ) Somando 1 ao número obtém-se seu quadrado: P 2 ) Subtraindo 1 de , obtém-se seu inverso (razão áurea): P 3 ) Subtraindo 2 de , obtém-se o seu inverso :

Por que esse número é tão apreciado por artistas, arquitetos, projetistas e músicos? Porque a proporção áurea está presente no mundo por uma razão matemática existente na natureza… Vamos conferir? : 

Por que esse número é tão apreciado por artistas, arquitetos, projetistas e músicos? Porque a proporção áurea está presente no mundo por uma razão matemática existente na natureza… Vamos conferir?

O Número de Ouro nas figuras geométricas e nos objetos atuais : 

O Número de Ouro nas figuras geométricas e nos objetos atuais Triângulo de ouro É um triângulo isósceles ABC com ângulos da base de 72° e ângulo do ápice de 36°. O triângulo áureo é encontrado no "pentagrama místico". A partir do triângulo áureo podemos desenhar uma espiral logarítmica.

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Retângulo de ouro É o retângulo que tem os seus lados a e b na razão áurea a/b = 1,618034, portanto, o lado menor (b) é o segmento áureo do lado maior (a). A construção do retângulo áureo é simples. Basta seguir o esquema: O retângulo AHCG é áureo

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Pentágono Do latim - pentagonum, do grego - pénta (cinco) + gon, de gônia (ângulo): é um polígono que possui 5 vértices, 5 lados e 5 ângulos. Um pentagrama regular é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, também está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea. A razão entre as medidas das áreas dos dois pentágonos é igual a quarta potência da razão áurea.

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O Pentagrama A figura contém dois pentágonos regulares (um no centro, claramente visível, outro obtido unindo-se os vértices situados sobre a circunferência), diversos triângulos Áureos (como logo veremos, um número infinito deles), um extraordinário conjunto de segmentos que mantêm a proporção áurea nos locais mais inesperados e, para coroar o conjunto, o pentagrama, a estrela de cinco pontas desenhada em azul, um dos símbolos mais antigos cultivados pela humanidade. O pentagrama “é considerado ao mesmo tempo mágico e divino” por diversas culturas.

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Decágono Do grego - dekágonos, déka (dez) + gonia (ângulo), do latim - decagonu; é o polígono de dez vértices, dez lados e dez ângulos. Um fato de conhecimento dos antigos geômetras era que a razão do raio do círculo de um decágono regular para um dos lados é a razão áurea.  Igualmente, se dividirmos os 360º de uma circunferência em dez ângulos iguais, estaremos perante o ângulo interno do decágono regular que não se trata mais do que o ângulo do vértice de um triângulo áureo. Conseqüentemente, o decágono regular não é mais do que a justaposição de dez triângulos áureos, o que explica a razão áurea entre o seu lado e o raio do círculo onde está inscrito.

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Espiral de ouro Uma propriedade interessante do retângulo de ouro é que se o dividirmos num quadrado e num retângulo, o retângulo obtido é também de ouro, processo que pode ser repetido indefinidamente mantendo-se esta propriedade. Se seguidamente unirmos os cantos dos quadrados obtidos estamos perante uma espiral a que se denominada espiral de ouro.

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Triângulo de Pascal Este é um triângulo aritmético formado por números que possuem diversas relações entre si. Ao efetuarmos a soma de cada uma das diagonais, obtem-se a sucessão dos números de Fibonacci.

Sólidos regulares e suas relações com o número Fi : 

Sólidos regulares e suas relações com o número Fi Um sólido, ou poliedro (do grego “pulúedros”, ou “aquele que tem muitas faces”) é dito “regular” quando todas as suas faces são idênticas e formadas por polígonos regulares. Exemplos : tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Estes poliedros regulares foram estudados por Platão quatrocentos anos antes de Cristo e por isso são conhecidos como “sólidos platônicos”. Mas o que têm eles a ver com a razão Áurea?

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Uma montagem que, aparentemente, nada tem de especial exceto pelo fato de ser formada por três retângulos Áureos idênticos.

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Objetos Atuais Atualmente essa proporção ainda é muito usada. Ao padronizar internacionalmente algumas medidas usadas em nosso dia-a-dia, os projetistas procuraram "respeitar" a proporção divina. Algumas das correntes místicas acreditam que objetos cujas dimensões sejam relacionadas a Phi, harmonizam-se com a glândula pineal o que provocaria ou estimularia uma sensação de beleza e harmonia no ser humano. O marketing e o design também foram buscar o número de ouro para conceber alguns dos nossos objetos quotidianos

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E já que falamos na era moderna, repare na Figura que mostra três aparelhos de reprodução de música no formato MP3 (“MP3 players”), o Ipod da Apple, o H10 da iRiver e o Zen da Creative. Qual deles lhe parece mais atraente? Nenhum deles tem a forma de um retângulo Áureo. O Zen parece “achatado” (razão entre lados de 1:1,47) enquanto o H10 é demasiadamente “espichado” (razão 1:1,75). Já o iPod, com sua relação de 1:1,67 (a que mais se aproxima da relação Áurea, de 1:1,618) parece o mais bem proporcionado. Será esta a razão de seu sucesso? (os cartões de crédito como já mencionamos são um retângulo Áureo quase perfeito, mas não acredito que seja esta a razão de sua popularidade...) Três reprodutores de MP3

Número de Ouro na natureza : 

Número de Ouro na natureza O problema da reprodução de coelhos de Leonardo Fibonacci:

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Na seqüência de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…) a soma do primeiro termo e do segundo termo dá o terceiro termo, e assim por diante… Examinando as razões entre os termos na seqüência de Fibonacci (para cada par da seqüência, dividi-se o segundo termo pelo primeiro), verificamos que os valores oscilam em torno de 1,62. Após a primeira dúzia de termos, a razão é 1,618056 , o número de ouro!

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Já reparou que muitas flores têm 5 pétalas, que nós temos 2 mãos, cada uma com 5 dedos e cada dedo se divide em 3 partes?…e que o abacaxi tem 8 diagonais num sentido e 13 no outro? Porque será que as margaridas têm geralmente 34, 55 ou 98 pétalas? Coincidência ou não todos estes números fazem parte da sucessão de Fibonacci. Hoje sabemos que o aparecimento desses números na natureza se dá devido ao resultado de um processo físico de crescimento das plantas e dos frutos . Consegue-se ver: 2 mãos cada uma com... 5 dedos, cada um tem... 3 partes separadas por... 2 nós

Estes números também podem ser vistos na organização das sementes: : 

Estes números também podem ser vistos na organização das sementes: Distribuição de sementes e espiral de Fibonacci

Veja como nos legumes couve-flor e brócolis se podem encontrar exemplos de espirais de Fibonacci. : 

Veja como nos legumes couve-flor e brócolis se podem encontrar exemplos de espirais de Fibonacci. Couve-flor e brócolis

Um caracol ou um bichinho minúsculo chamado náutilo, que nasce grudado a um grão de areia no fundo do mar, vão construindo suas casinhas na medida em que crescem. A seqüência dessas câmaras é uma espiral e, portanto, tem a proporção áurea. : 

Um caracol ou um bichinho minúsculo chamado náutilo, que nasce grudado a um grão de areia no fundo do mar, vão construindo suas casinhas na medida em que crescem. A seqüência dessas câmaras é uma espiral e, portanto, tem a proporção áurea.

Outros exemplos da natureza? As formações dos cristais de rocha e de gelo, a estrela do mar, a teia de aranha, os rabos dos cavalos marinhos, os flocos de neve, a forma da nossa galáxia, os furacões! : 

Outros exemplos da natureza? As formações dos cristais de rocha e de gelo, a estrela do mar, a teia de aranha, os rabos dos cavalos marinhos, os flocos de neve, a forma da nossa galáxia, os furacões!

Uma flor matematicamente perfeita: 

Uma flor matematicamente perfeita

A forma pentagonal regular da Hoya Carnosa : 

A forma pentagonal regular da Hoya Carnosa

O número de ouro nos animais : 

O número de ouro nos animais

O Número de Ouro no Corpo Humano : 

O Número de Ouro no Corpo Humano As leis matemáticas também estão inseridas no homem. O corpo humano possui uma certa simetria, ocupa espaço e tem peso; seus membros movem-se de acordo com certas regras. Vale uma visita às medidas do corpo, sua geometria, relações entre essas medidas. O homem não se satisfaz com impressões. Desconfia de sua intuição e, não conseguindo explicar a beleza por critérios literários, procurou uma lei matemática que regesse a beleza universal. Foi então que se orientou para as proporções. Se a harmonia não se mede, o mesmo não sucede com a proporção, que é mensurável. A partir desta pôde definir-se um padrão, um módulo que, desde a Antiguidade, serve de medida aos escultores, aos desenhistas, aos arquitetos. Este padrão tem a vantagem de ser universal, e de se encontrar, bem entendido, no próprio homem.

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Estas proporções estruturam o corpo humano; no rosto, por exemplo, se a distância da base do queixo às sobrancelhas for igual a 1, encontramos 0,618 entre as sobrancelhas e o cimo da testa. Do mesmo modo, se tomarmos como 1 a distância desde a fenda bucal até a base do queixo, deveríamos obter 0,618 desde a base do nariz até a fenda bucal, e assim sucessivamente nas diversas relações entre os vários segmentos.

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Esta gravura, conhecida por “Vitruvian Man”, pertencente aos apontamentos de Leonardo da Vinci e demonstra a existência das proporções da Razão de Ouro no corpo humano.

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Vamos ver se você é matematicamente perfeito (a)? mede a tua altura e depois divide pela altura do teu umbigo até ao chão; divide o maior valor pelo menor. mede o seu braço inteiro e depois divide pelo tamanho do teu cotovelo até ao dedo. mede os teus dedos, ele inteiro dividido pela dobra central até à ponta ou da dobra central até à ponta dividido pela segunda dobra. mede a tua perna inteira e divide pelo tamanho do teu joelho até ao chão. a altura do teu crânio dividido pelo tamanho da tua mandíbula até ao alto da cabeça. da tua cintura até á cabeça e depois só o tórax. Se os resultados obtidos foram 1,618, sorria você é matematicamente perfeito!

O Número de Ouro na arquitetura : 

O Número de Ouro na arquitetura A geometria aparece com grande freqüência na arquitetura, permitindo beleza e harmonia nas mais variadas obras. O retângulo de Ouro, construído a partir do Número de Ouro, é considerado a mais estética das formas retangulares e é utilizado pelo homem na arquitetura. Mas, a história deste enigmático número perde-se na antiguidade. No Egito as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea: a razão entre a altura de uma face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro.

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Construído muitas centenas de anos depois (entre 447 e 433 a. C.), o Partenon Grego ou o Templo das Virgens, templo representativo do século de Péricles é uma das obras arquitetónicas mais admiradas da antiguidade, contém a Razão de Ouro no retângulo que contêm a fachada (Largura / Altura). Isto revela a preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa. O escultor e arquiteto encarregado da construção deste templo foi Fídias.

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Outras obras arquitetónicas onde esta razão está presente, são: a Catedral de Notre Dame (em Paris) e a Basílica de Santa Maria Novella (em Florença).

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No entanto, esta razão não está apenas presente em obras arquitetónicas da antiguidade, como exemplo disso temos o atual Edifício das Nações Unidas.

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Unidade de habitação, Marseilles, Fr. 1946, por Lê Corbusier

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Torre CN, Toronto, Canadá Engineering Plaza, Califórnia, EUA

O número de Ouro na arte e na música : 

O número de Ouro na arte e na música A proporção áurea foi muito usada na arte. Na história da arte renascentista a perfeição da beleza em quadros foi bastante explorada com base nesta constante. Vários pintores e escultores lançaram mão das possibilidades que a proporção os dava de retratar a realidade com mais perfeição.

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Anunciação, Leonardo da Vinci

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A Última Ceia, Leonardo da Vinci

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A Mona Lisa, ou La Gioconda, Leonardo da Vinci

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O Sacramento da Última Ceia, Salvador Dali

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Na literatura o número de ouro encontra sua aplicação mais notável no poema épico grego Ilíada, de Homero, que narra os acontecimentos dos últimos dias da Guerra de Tróia. Quem o ler notará que a proporção entre as estrofes maiores e as menores dá um número próximo ao 1,618, o número de ouro. Luís de Camões na sua obra Os Lusíadas, colocou a chegada à Índia no ponto que divide a obra na razão de ouro. Virgílio em sua obra Eneida construiu a razão áurea com as estrofes maiores e menores.

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Na música , existem artigos que relacionam as composições de Mozart, Bethoveen (Quinta Sinfonia), Schubert e outros com a razão áurea. Pode-se verificar que até mesmo a construção de instrumentos, como exemplo, o violino, está relacionado com a proporção áurea.

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Veja como este violoncelo, com estas medidas, tem relações métricas que são relações áureas. Os amantes da música podem ficar, a saber, que mesmo Stradivarius utilizava o número de Ouro na construção dos seus famosos violinos, bem como muitos outros artistas compunham os elementos das suas obras de acordo com essa razão.

Os números de Fibonacci na espiral musical : 

Os números de Fibonacci na espiral musical

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Mais curiosidades… Qualquer peça que se quebre na metade poderá ser recomposta, mas se atingir a marca de 1/ φ não terá conserto; O ciclo menstrual da mulher é de 28 dias, portanto 1/ φ de 28 será 17,5 dias, onde é a fase final de amadurecimento, sendo garantida a fertilização; Uma planta frutífera estará com as mais saborosas frutas exatamente quando atingir 1/ φ de carga total; Entre os bovinos a desmama ocorre aos 8 meses. Sua alimentação é à base de leite, mas quando atinge 1/ φ deste período começa a procurar outros alimentos.

Conclusão: 

Conclusão Relacionando conteúdos matemáticos com o cotidiano do aluno encontramos um caminho para torná-la mais importante e atraente para eles. Sem dúvida, a Matemática tem um valor unitário. Mas justamente a sua importância como um instrumento em praticamente todas as áreas do conhecimento, principalmente nas ciências, proporcionou que muito do conteúdo matemático, que comparece nos currículos, fosse tratado de modo mais abrangente e integrado nas demais disciplinas e com o dia-a-dia do aluno. Neste estudo levantamos dados existentes sobre o assunto, de modo a torná-lo mais compreensível, prazeroso e curioso aos olhos de uma pessoa que nunca ouviu falar do número de ouro, demonstrando que muitas coisas no nosso dia a dia contêm matemática. Esperamos ter estimulado muitos jovens que um dia se sentiram frustrados com a Matemática, a procurar conhecer melhor essa ciência, tão universal e antiga quanto a própria humanidade.

Bibliografia: 

Bibliografia Número de Ouro e secção Áurea: considerações e sugestões para sala de aula / Maria Salett Biembengut. – Blumenau/SC: Ed. da FURB, 1996. RPM – Revista do Professor de Matemática Sites da internet : http://pt.wikipedia.org/wiki/Matematica http://www.bpiropo.com.br http://www.profcardy.com http://www.somatematica.com.br/