Análise de Erros - O que podemos aprender com os erros dos alunos

Views:
 
Category: Education
     
 

Presentation Description

No description available.

Comments

Presentation Transcript

Slide 1:

1

UNIVERSIDADE CATOLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA:

UNIVERSIDADE CATOLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA Análise de Erros: o que podemos aprender com a respostas dos alunos 2 Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury Denize Pereira Mendes Klicia Rayane Ferreira dos Santos Luciana Medeiros Batista Rodrigo Ferreira de Melo GOIÂNIA, 28-31/10/2008

Helena Noronha Cury:

Helena Noronha Cury Helena Noronha Cury concluiu o doutorado em Educação pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul em 1995. Publicou 42 artigos em periódicos especializados e 67 trabalhos em anais de eventos. Possui 5 capítulos de livros e 4 livros publicados. Possui 37 itens de produção técnica. Orientou 12 dissertações de mestrado, além de ter orientado 10 trabalhos de iniciação científica e 70 trabalhos de conclusão de curso nas áreas de Educação e Matemática. Recebeu 1 prêmio e/ou homenagem. Entre 2001 e 2007 coordenou 2 projetos de pesquisa. Atua na área de Educação, com ênfase em Educação Matemática. Em seu currículo Lattes os termos mais freqüentes na contextualização da produção científica, tecnológica e artístico-cultural são: Ensino de matemática, Análise de erros, Avaliação, Ensino superior, Educação Matemática, Cálculo Diferencial e Integral, Modelagem matemática, Geometria Plana, Concepções e Informática e matemática. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 3

Introdução:

Introdução Ao corrigir qualquer prova, teste ou trabalho de Matemática, muitas vezes o professor costuma apontar os erros cometidos pelos alunos, passando pelos acertos como se estes fossem esperados. Mas quem garante que os acertos mostram o que o aluno sabe? E quem diz que os erros evidenciam somente o que ele não sabe? Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 4

Slide 5:

A análise das respostas, além de ser uma metodologia de pesquisa, pode ser, também, enfocada como metodologia de ensino, se for empregada em sala de aula. A análise das produções dos estudantes não é um fato isolado na prática do professor; ela é – ou deveria ser – um dos componentes dos planos pedagógicos das instituições e dos planos de aula dos docentes, levando em conta os objetivos do ensino de cada disciplina. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 5

Slide 6:

Saber como metodologia de pesquisa e de ensino. 20 anos de estudos para chegar neste livro. Divíde-se em 6 capítulos Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 6

Slide 7:

Capítulo I São apresentadas obras, como as de Thorndike , Hadamard , Krutetskii , Newell e Simon, Brousseau , Borasi , para situar cada uma das vertentes investigativas que subsidiaram muitas pesquisas. Capítulo II É feita uma revisão de trabalhos que analisam as respostas dos alunos a questões matemáticas, em testes e provas aplicadas em sala de aula, em situações de pesquisas ou, ainda, em exames oficiais, procurando agrupá-los de acordo com alguns critérios. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 7

Slide 8:

Capítulo III São apresentados alguns resultados de pesquisas com calouros de cursos de Ciências Exatas, com discussão dos erros cometidos pelos alunos, apontando para futuros professores de Matemática ou para os que estão em formação continuada em cursos de Pós-Graduação, dificuldade que, muitas vezes não são levadas em conta na Educação Básica. Capítulo IV É detalhada a metodologia empregada em pesquisas já realizadas, propondo uma analogia com a Análise de Conteúdo, abordagem usada principalmente em investigações qualitativas. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 8

Slide 9:

Capítulo V São apresentadas sugestões de atividades para uso dos erros em salas de aula do Ensino Fundamental, Médio ou Superior, em especial para cursos de Licenciatura em Matemática. Capítulo VI Sugestão de algumas ações em cada instituição de Educação Básica ou Superior, para desenvolver novas investigações sobre análise da produção escrita dos alunos. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 9

As ideias dos precursores:

As ideias dos precursores Capítulo 1

No capítulo 1 a autora escolhe alguns autores de sua preferência, são eles: :

No capítulo 1 a autora escolhe alguns autores de sua preferência, são eles: Edward Thorndike Hamamard Krutetskii Newell e Simon Brousseau Raffaella Borasi

Slide 12:

A análise de erros, como abordagem de pesquisa, tem pontos de contato com temas da Educação, da Educação Matemática e da própria Matemática.

Explicando os problemas do desenvolvimento da educação matemática como ciência, Krygowska (1971) afirma::

Explicando os problemas do desenvolvimento da educação matemática como ciência, Krygowska (1971) afirma: “A Didática da Matemática está na fronteira se desenvolvendo como uma típica disciplina da Matemática. Por um lado, a Educação Matemática desenvolveu-se na fronteira da matemática, de sua filosofia e sua historia; por outro lado, na fronteira da pedagogia e da psicologia”

Howson(1973), fala sobre os temas que deviria ser abordados na Educação Matemática como uma área de formação::

Howson(1973), fala sobre os temas que deviria ser abordados na Educação Matemática como uma área de formação: “A Educação Matemática. é um tópico totalmente diferente, em natureza, da matemática.Embora na haja deficiência de teorias na primeira, há uma notável falta de teoremas, pois , efetivamente não há um sistema axiomático aceito que modelado pelo processo educacional.

Howson também cita::

Howson também cita: “Nos anos seguintes serão incorporados ao campo da Edu. Matemática: Psicologia, Linguagem, processo de ensino-apredizagem,história e filosofia da Matemática , avaliação em Matemática, atividades extracurriculares em Matemática e novas tecnologias aplicadas ao ensino de Matemática “É possível descrever conceitos pedagógicos com a mesma objetividade com que definimos conceitos matemáticos?”

Edward Thorndike e o início das pesquisas sobre erros:

Edward Thorndike e o início das pesquisas sobre erros Teve os trabalhos com animais no inicio “A aprendizagem é simplesmente o estabelecimento de um elo no sistema nervoso entre um estímulo ou uma situação e uma resposta.” (S →R ) Suas experiências na área da Psicologia Experimental com animais afastaram a Psicologia da prática escolar. Escreveu “The Psychology of Arithmetic”,obra referencia para análise de erros.

Slide 17:

Seja breve no próximo slide

Slide 18:

Pegue 1000, Adicione 40, Mais 1000, Mais 30, Mais um vez 1000, Mais 20, Mais 1000, e mais 10

Lei do Exercício:

Lei do Exercício Onde o aluno se stressa em realizar diversas operações repetitivas visualmente, o que leva ao erro. Não pelo raciocínio errado, mas sim pela escrita e fica desanimado.

Lei do Efeito (principio do reforço):

Lei do Efeito (principio do reforço) “As conexões acompanhadas ou seguidas de estados de satisfação tendem a fortalecer-se; as conexões acompanhadas ou seguidas de estados de aborrecimentos, tendem a enfraquecer-se.”

Hadamard e os processos de invenção em Matemática:

Hadamard e os processos de invenção em Matemática Foi um dos pioneiros da análise de erros, mostrou a importância da Psicologia para entender os processos de criação e descoberta dos matemáticos. Seu alvo de estudo foi as relações entre o consciente e o inconsciente no processo de invenção em Matemática. Cita: “Demonstrações matemáticas extensas, não são nada mais que uma acumulação de raciocínios curtos, lógicos e análogos aos simples. Cita um exemplo em que ao tentar dormir resolve um problema que já vinha tentando resolver (inconsciente).

Slide 22:

Há uma certa dificuldade lidar com essas teorias, por que envolve duas ciências. Deveria ser desenvolvida por alguém que fosse psicólogo e matemático. Assim buscar respostas e erros é necessário compreender a estrutura do conteúdo matemático em si (análise de um matemático). Assim fazer perguntas psicologicamente interessantes (análise de um psicólogo). Fazendo a psicologia da matemática. Pg 24 Ele aponta quatro estágios da invenção: Preparação, incubação, iluminação e apresentação precisa do resultado.

Vadim Andreevich Krutetskii e as habilidades matemáticas:

Vadim Andreevich Krutetskii e as habilidades matemáticas Vadim pergunta: por que se deve assumir que os escores de teste são a única – ou melhor – fonte de informação sobre habilidades matemáticas? Dirigiu suas pesquisas para a estrutura e formação das habilidades matemáticas, com metodologias variadas e participação de alunos,pais e professores. Critica o uso de testes para avaliar o raciocínio do aluno. O teste não é capaz de avaliar os caminhos percorridos para chegar há uma solução. Enfatiza a importância de se analisar o processo e não apenas o produto. Assim pode se aproveitar os erros para questionar com os estudantes.

Metas a serem atingidas em seus estudos:

Metas a serem atingidas em seus estudos Caracterizar a atividade do alunos matematicamente talentosos ao resolverem problemas matemáticos Criar métodos experimentais para investigar o talento matemático Esclarecer as diferenças tipológicas na estrutura das habilidades e avaliar diferenças de idade nas manifestações matemáticas dos estudantes.

Vadim e sua equipe realizaram estudos de 1955 a 1966, envolvendo::

Vadim e sua equipe realizaram estudos de 1955 a 1966, envolvendo: Experiências com grupos de alunos talentos ou não. Períodos longos e curtos Observações até do “pensar em voz alta” Discussões com os alunos, pais, professores e amigos Aplicação de questionários a professores de Matemática e Matemáticos (com o objetivo de compreender o que entendiam por “habilidades matemática”)

Newell e Simon e a análise dos protocolos de resolução:

Newell e Simon e a análise dos protocolos de resolução Abordam Psicologia Cognitiva Seus estudos vêem o ser humano como um processador de informação Esses autores criam um programa que simula o comportamento de um pessoa ao resolver um problema Criam um software “LOGIC THEORIST”(LT) , faz demonstrações para teoremas de Lógica Simbólica. O soft é alimentado com os axiomas dos Principia Mathematica

Slide 27:

Para a comparação do soft LT e o de um sujeito exercitando a mesma função, foram impressos alguns resultados intermediários Para compará-los com os passos que um solucionador de problemas produziria usando o lápis e papel ou pensamento em voz alta

Guy Brousseau e os erros constituídos em obstáculos.:

Guy Brousseau e os erros constituídos em obstáculos. Faz uma análise das dificuldades de conhecer um determinado conteúdo, independente de quaisquer imperativos de idade, sexo, nível de escolaridade “No fundo , ato de conhecer se dá-se contra um conhecimento anterior, destruindo conhecimentos mal estabelecidos”. Aqui o autor se refere aos erros que são baseados em um conhecimento prévio que não foi adequadamente generalizado ou transporto para uma nova situação.

Slide 29:

“Na verdade, os obstáculos que surgem para o matemático, no processo de criação de um determinado conhecimento, nem sempre são divulgados, pois as refutações levantadas por ele [...] não são apresentadas no momento da formalização, quando todos os pontos questionáveis já foram esclarecidos.

Slide 30:

“O erro não é somente o efeito da ignorância, da incerteza, do acaso [...], mas efeito de um conhecimento anterior, que tinha seu interesse, seu sucesso, mas que agora se revela falso, ou simplesmente inadaptado...” É o caso em que o aluno considera que a raiz quadrada de uma soma é a soma das raízes quadradas das parcelas.

Slide 31:

O aluno já “salvou” essa visualização Não tenta desenvolver as habilidades já conhecidas, talvez colocar a soma das raízes em forma de potência. Pg. 34

Slide 35:

O aluno constrói esse conhecimento relacionado-o com outros, em diferentes contextos, tentando adaptá-lo as novas situações e resistindo em abandoná-lo.

Raffaella Borasi e a taxionomia do uso dos erros:

Raffaella Borasi e a taxionomia do uso dos erros Grande pesquisadora e referência na área de estudo de erros Graduada em Matemática, aprofundou seus estudos em história e filosofia da ciência (visão humanista e construtivista da matemática) Seu trabalho era reforma da Educação nos E.U.A Sugeria em seus trabalhos, que os professores abandonasse a simples transmissão de conhecimentos e tentar, encorajar os alunos a explorar e verbalizar suas ideias e argumentar.

Slide 37:

Sua ideia é usar determinado erro para questionar se o resultado incorreto pode verificar-se, ao invés de tentar eliminá-lo. Exemplo Proponha ao aluno investigar se há algumas frações em que esse “regra” da adição, por eles inventada , funcione. Faz com que o aluno revise o conteúdo e veja a regra correta Ele percebe que havia decorado uma regra e a esquecido,posteriormente ,prendendo-se simplesmente a uma “sobregeneralização” da regra da multiplicação de frações.

Slide 38:

As ideias desses precursores da análises de erros vêm sendo retomadas, aprofundadas, modificadas e iluminadas por novas teorias, de acordo com as concepções dos investigadores e os objetivos de suas pesquisas.

Fixe seus olhos no texto abaixo e deixe que a sua mente leia corretamente o que está escrito.:

Fixe seus olhos no texto abaixo e deixe que a sua mente leia corretamente o que está escrito. 35T3 P3QU3N0 T3XTO 53RV3 4P3N45 P4R4 M05TR4R COMO NO554 C4B3Ç4 CONS3GU3 F4Z3R CO1545 1MPR3551ON4ANT35! R3P4R3 N155O! NO COM3ÇO 35T4V4 M310 COMPL1C4DO, M45 N3ST4 L1NH4 SU4 M3NT3 V41 D3C1FR4NDO O CÓD1GO QU453 4UTOM4T1C4M3NT3, S3M PR3C1S4R P3N54R MU1TO, C3RTO? POD3 F1C4R B3M ORGULHO5O D155O! SU4 C4P4C1D4D3 M3R3C3! P4R4BÉN5!

Alguns exemplos de trabalhos sobre análise de erros em questões matemática:

Alguns exemplos de trabalhos sobre análise de erros em questões matemática Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 40

Slide 41:

Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 41

Exemplos de Classificação e Análise de erros: Uma Pesquisa com calouros de curso superior :

Exemplos de Classificação e Análise de erros: Uma Pesquisa com calouros de curso superior Análise realizada com 368 alunos calouros de nove instituições de Ensino Superior brasileiras, em disciplinas de Matemática que foi desenvolvida por 14 docentes de cursos da área de ciências exatas como Licenciatura em Matemática, Engenharia, Arquitetura e Ciências da Computação, em disciplinas de primeiro semestre desses cursos. Algumas turmas de Cálculo I, outras de Álgebra Linear e Geometria Analítica, outras ainda de Fundamentos da Matemática. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 42

Slide 43:

O objetivo da investigação é não só analisar e classificar os erros como também desenvolver estratégias de ensino que possa auxiliar nas dificuldades. Devido a evasão em turmas de cálculo. Foram elaborada 12 questões de múltipla escolha, envolvendo conteúdos de Educação Básica, o teste foi aplicado nas primeiras duas semanas de curso. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 43

Foi escolhido duas questões para analisar: :

Foi escolhido duas questões para analisar: A primeira teve o maior número de acertos (54%) 1ª Questão - Um produto dói revendido por R$ 1.035,00, com um lucro de 15% sobre o preço de compra. Esse produto foi adquirido por: a) R$ 1.020,00 b) R$ 1.000,00 c) R$ 935,00 d) R$ 900,00 e) R$ 835,00 Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 44

Slide 45:

Proposta: assinalar a resposta correta. Foram encontradas 134 respostas com desenvolvimento, e estas foram analisadas. Categorizou os erros em 9 classes. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 45

Slide 46:

Classe A: Corresponde às resoluções corretas. Foram encontrada várias maneiras de se chegar ao resultado. - A maior parte dos 104 estudantes apresentou a seguinte resolução: 1035 – 115 x – 100 x = 900 Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 46

Slide 47:

Outros expressaram uma proporção 103.500= 115x x = 900 Por tentativa calculando 10% de cada valor e dividindo depois por 2 (ou seja calculando os 5%) e somando as percentagens. E quando encontrarem 1035 assinalaram. - Outro aluno x + x.0,15 = 1035 1,15x = 1035 x = 900 Outro ainda V = L + C; L =V – C; C = 900 Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 47

Slide 48:

Classe B: Corresponde a 16 respostas Foi calculado 15% de 1035 - Calcularam a percentagem e depois diminuíram obtendo R$ 879,75. Assinalando a mais próxima que é R$ 835,00 - Calculou 10% depois dividiu por 2 e somou com os 10% errando na adição. - 7 dos alunos expressou a proporção: . Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 48

Slide 49:

Classe C : Corresponde a apenas 2 soluções efetuaram a divisão de R$ 1035,00 por 15. Obtiveram R$ 69,00; - Um diminuiu este valor de R$ 1035,00 obtendo R$ 960,00 e assinalou R$ 935,00 - Outro errou a conta armada de dividir encontrando 9 e concluindo pela resposta R$ 900,00 Classe D: Corresponde a 2 soluções efetuaram o cálculo 1.035 – 0,15. Esse erro é bastante comum em problemas de diferencial no cálculo I. Os alunos consideram 15% como 0,15 não levando em conta o enunciado do problema. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 49

Slide 50:

Classe E : Corresponde a 10 resoluções com o mesmo padrão de erro. 1.035 – 175 x – 115 1.035 – 110% x – 100% 1.035 – 15 1000 – x Além dessas haviam outras, impossíveis de entender qual o caminho seguido. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 50

Slide 51:

2ª Questão - a escolhida foi a com menor número de acertos (17%) O conjunto solução em R, da equação é: a) {-4, -5} b) {-5} c) {-4} d) {4} e) {5} Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 51

Slide 52:

Nessa questão apenas 63 alunos assinalaram a resposta correta, sendo que 134 do total de 368 calouros não assinalaram qualquer alternativa. Desta amostra só 78 alunos desenvolveram o cálculo, destes 13 acertaram e os outros 50 ou fizeram cálculos mentais ou chutaram. Da mesma forma que a primeira foram classificadas em classes e da soluções apresentadas apontou grande variedades de resposta totalizando 19 e foi refinada obtendo 7. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 52

Slide 53:

Classe A: Corresponde a 13 respostas corretas - De uma forma geral os alunos encontraram o denominador comum do lado esquerdo da igualdade e empregaram o procedimento padrão, somando as frações algébricas e depois ao identificar a igualdade de denominadores dos dois lados, trabalharam somente com os numeradores e obtiveram facilmente o resultado. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 53

Slide 54:

Classe B: Corresponde a 31 respostas. - Tentaram encontrar as raízes de um polimômio de segundo grau usando fórmula de Bhaskara . - Alguns multiplicaram os denominadores das frações do lado esquerdo e depois tentaram resolver a equação 2x 2 +19x+45=0. - Outros apenas reconheceram a expressão polinomial de segundo grau do denominador do lado direito e usaram o mesmo artifício, - Outro calculou corretamente as duas raízes, mas ao encontrar , escreveu “não existe”, evidenciando a dificuldade de reconhecer os elementos dos conjuntos numéricos. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 54

Slide 55:

Classe C: Corresponde a 16 respostas - Tentaram responder a questão por tentativa, substituindo os valores dados como elementos dos conjuntos soluções, mas erram os cálculos com racionais. Classe D : Correspondem as 14 soluções que os alunos - os alunos não sabem adicionar frações algébricas. Neste caso, do lado esquerdo da igualdade, surgiram frações obti­das por: adição de numeradores e denominadores; adição de numeradores e multiplicação de denominadores; multipli­cação de numeradores e de denominadores e adição de nu­meradores, simplesmente igualando a resposta ao numera­dor do lado direito. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 55

Slide 56:

Classe E: Corresponde às 6 respostas em que os estudantes tentaram multiplicar extremos e meios da "proporção". Se tivessem efetuado corretamente a adição das frações do lado esquerdo, poderiam ter usado esse artifício, ainda que demorado. - Os alunos "criaram" regras para essa operação, tendo um deles, por exemplo, escrito: 2x+10+4x+18-4x 2 -19x-45=0 Ou seja, multiplicou o número 2, numerador do segundo membro, por cada denominador do primeiro membro e, em seguida, somou os numeradores do lado esquerdo e multiplicou pelo denominador do direito, ainda "passando para o primeiro membro" e igualando a zero. Classe F: Corresponde às 4 soluções em que os alunos não souberam multiplicar polinômios, especialmente porque pareciam desconhecer a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. - um estudante multiplicou todos os denominadores (tendo, ainda, se enganado ao copiar o número 19), obtendo: (x + 5).(2x + 9)(2x 2 + 9x + 45) = 2x 2 + 2x 3 + 10x 2 + 45 Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 56

Slide 57:

Classe G: Corresponde às 10 soluções para as quais não foi identificado um padrão; cada exemplo representa um caso a par­te. - Um dos alunos parece ter, também, pensado em multiplicar extremos e meios, porque começou escrevendo 2(-2x 2 +19x+45), talvez somando os numeradores das frações do lado esquerdo da igualdade e multiplicando pelo denominador do segundo membro, mas em seguida igualou essa expressão a zero e tentou usar a fórmula de Bhaskara . Quando não conseguiu uma resposta - porque não soube utilizar a referida fórmula - desenhou um boneco enforcado na ponta do símbolo da raiz quadrada. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 57

Slide 58:

A tendência observada foi a de usar sempre a fórmula de Bhaskara quando relacionada com uma expressão polinomial, Esse erro aparece freqüentemente em avalia­ções de Cálculo. Hoch e Dreyfus (2004), em uma pesquisa com alunos do Ensino Médio, buscam entender o efeito do uso de parênteses no emprego do que chamam de "sentido da estrutura"2. Primeiramente, os autores explicam que uma estrutura algébrica pode ser definida em termos de forma ou ordem, acrescentando que qualquer expressão ou sentença algébrica representa uma estrutura algébrica. Em seguida, definem "sentido de estrutura" Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 58

Outro exemplo de dificuldades em Cálculo: derivadas e integrais :

Outro exemplo de dificuldades em Cálculo: derivadas e integrais Preocupação com esses níveis de ensino levou, à extensão, a os cur­sos de formação de professores de Matemática. Outros exemplos de análise de erros em turmas de calouros de cursos da área de Ciências Exatas. Produções de alunos de um curso de Engenharia, na disciplina de Cálculo Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 59

Slide 60:

Enunciado : Apresentando o desenvolvimento, calcule a derivada da função dada por Todos os alunos derivaram corretamente a expressão 3x 2 e aplicaram a regra da derivada da soma, obtendo as parcelas para a função derivada. Mas dos 23 alunos que responderam, 13 cometeram algum erro ao derivar a segunda função-parcela. Seus erros foram classificados em dois tipos: - aqueles originados pela incorreta derivação de - os causados por uso equivoca­do de propriedades das operações empregadas. 1º caso – um aluno viu a função raiz cúbica como uma composta, Escreveu , tentou usar a regra da cadeia, mas não o fez corretamente. - Outro aluno derivou apenas o radicando e esqueceu de derivar a função raiz. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 60

Slide 61:

2º caso – alguns estudantes encontraram uma resposta, às vezes correta, mas tentaram " simplificá-Ia " e acabaram fazendo manipulações algébricas de forma errada, como substituir x por um número ou escrever como . Como exemplo de dificuldades, apresento a solução dada por um aluno: , Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 61

Slide 62:

Vê-se que a regra da derivada da função potência foi erroneamente empregada, e, além disso, ao final, o estudante "jogou" o radical para o denominador. Pode-se tecer a hipótese de que, em aprendizagens anteriores, esse aluno tenha recebido a "ordem" de apresentar as potências com expoentes fracionários como raízes e, de preferência, no denominador. Moreira e David (2005) dizem que" o licenciado volta à escola na condição de professor, de posse de um conhecimento sobre os números racionais e reais profundamente dis­tanciado das formas [...] em que poderia ser utilizado na sua prática pedagógica escolar" (p. 99). Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 62

Slide 63:

3ª prova aplicada a esses alunos de Cálculo A, é: Calcule Os erros encontrados foram dos seguintes tipos: 1) desconhecimento de método de integração que poderia ser empregado, no caso, a integração por partes. - Alguns alunos procuraram usar substituição de variáveis, mas não conseguiram obter resultado; 2) dificuldades na escolha de u e dv para poder aplicar a regra ; 3) erro por falsa generalização; alguns estudantes, sabendo que consideraram que Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 63

Slide 64:

Para cada erro detectado e classificado nessas pesquisas com alunos de Cálculo, poderia ser modificada a metodologia de trabalho, buscando maneiras de desafiar os estudantes. As­sim, este capítulo apresentou uma listagem de problemas de alunos, mas pode também ser considerado uma fonte de idéias para criar atividades, elaborar novas estratégias, usar metodo­logias e recursos diversos, enfim, desenvolver uma prática que venha ao encontro das necessidades dos estudantes, em qual­quer nível de ensino. Algumas sugestões são apontadas no Capítulo V, levando em conta erros aqui destacados. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 64

Análise de conteúdo das respostas: uma visão da metodologia empregada:

Análise de conteúdo das respostas: uma visão da metodologia empregada Uma das coisas mais preocupantes, para quem vai fazer uma pesquisa, é a escolha exata do modo de analisar os dados. Nas pesquisas qualitativas, que se referem às Ciências Sociais e Humanas , uma das opções é fazer uma análise de conteúdo. A autora percebe, portanto que estava analisando o conteúdo da produção em suas pesquisas, empregando uma metodologia de analise de dados conhecida como analise de conteúdo. A análise de conteúdo é usada quando se quer ir além dos significados, da leitura simples do real. Aplica-se a tudo que é dito em entrevistas ou depoimentos ou escrito em jornais, livros, textos ou panfletos, como também a imagens de filmes, desenhos, pinturas, cartazes, televisão e toda a comunicação não verbal: gestos, posturas, comportamentos e outras expressões culturais. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 65

Slide 66:

Tudo o que é dito, visto ou escrito pode ser submetido à análise de conteúdo. Em suma, a análise de conteúdo é um conjunto de técnicas de análise das comunicações ( Bardin , 1979). Segundo Barros e Lehfeld (1996:70), "é atualmente utilizada para estudar e analisar material qualitativo, buscando-se melhor compreensão de uma comunicação ou discurso, de aprofundar suas características gramaticais às ideológicas e outras, além de extrair os aspectos mais relevantes". É técnica que não tem modelo pronto: constrói-se através de uma vai-e-vem contínuo e tem que ser reinventada a cada momento, conforme Bardin (1979:31). Também é esta a opinião de Joel Martins, in Fazenda (1994:58) "na pesquisa qualitativa, uma questão metodológica importante é a que se refere ao fato de que não se pode insistir em procedimentos sistemáticos que possam ser previstos, em passos ou sucessões, como uma escada em direção à generalização." Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 66

Slide 67:

A história da analise de conteúdo, como método de investigação sistematizado, com regras e princípios, teve sua origem na analise de jornais (escola de Jornalismo de Colúmbia, EUA) e se intensificou durante as duas Grandes Guerras Mundiais (analisar as propaganda). Atualmente, todas as áreas utilizam a analise de conteúdos, pois o ato de se expressar (frase, quadro, musica ou um texto) pode ser analisado de varias formas, e a analise de conteúdo é uma delas. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 67

As etapas da análise :

As etapas da análise A autora Helena Noronha Cury busca em alguns autores que utilizam essa metodologia para caracterizar como tal a analise qualitativa dos erros. Bardin : Designa-se sob o termo de análise de conteúdo: Um conjunto de técnicas de análise das comunicações visan­do obter, por procedimentos, sistemáticos e objetivos de descrição do conteúdo das mensagens, indicadores (quantitativos ou não) que permitam a inferência de conhecimentos relativos às condições de produção/recepção (variáveis inferidas) destas mensagens. (p. 42) . Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 68

A análise de conteúdo se realiza em três momentos: a pré-análise, a exploração do material e o tratamento dos resultados: a inferência e a interpretação. :

A análise de conteúdo se realiza em três momentos: a pré-análise, a exploração do material e o tratamento dos resultados: a inferência e a interpretação. Pré-análise Este momento é o de organizar o material, de escolher os documentos a serem analisados, formular hipóteses ou questões norteadoras, elaborar indicadores que fundamentem a interpretação final. O primeiro contato com os documentos se constitui no que Bardin (1979:96) chama de "leitura flutuantes". É a leitura em que surgem hipóteses ou questões norteadoras, em função de teorias conhecidas. Escolhido os documentos, delimita o corpus (conjunto de produções textuais sobre o qual o pesquisador se debruça) Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 69

Slide 70:

Exploração do material Esta é a etapa mais longa e cansativa. É a realização das decisões tomadas na pré-análise. É o momento da codificação – em que os dados brutos são transformados de forma organizada e "agregadas em unidades, as quais permitem uma descrição das características pertinentes do conteúdo", segundo Holsti , apud Bardin (1979: 104). Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 70

Slide 71:

Tratamento dos resultados Consiste na descrição das categorias, que pode ser feita por meio da apresentação de tabelas ou quadros, além disso é conveniente produzir um texto síntese. O objetivo maior é ir além co conteúdo manifesto dos documentos, é atingir compreensão mais aprofundada do conteúdo das mensagens mediante inferência e interpretação. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 71

Exemplo de análise de conteúdo de respostas. :

Exemplo de análise de conteúdo de respostas. Levantamento de erros cometidos por alunos de um curso de engenharia química, em calculo 1 com 17 alunos, onde uma das questões solicitava o esboço do gráfico da função de R em R definida por: Todos responderam a pergunta Definição dos tipos de soluções. Categorias de erros: . Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 72

Slide 73:

Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 73 esboço incorreto do gráfico de f(x) = 1/x esboço incorreto do gráfico de f(x) = x 2 ; esboço incorreto do gráfico de f(x) = e x ; não-atendimento da condição da unicidade da imagem, quando o aluno atribui, a um mesmo valor da variável independente, mais de um valor para a variável dependente; não-diferenciação entre intervalo aberto e fechado, quando o aluno indica com uma bola aberta 1 um ponto que pertence ao gráfico ou com uma bola fechada um ponto que não pertence.

Slide 74:

QUADRO 4 - Distribuição dos tipos de erros . A pesquisa contou com a participação de uma bolsista, pois a cada classe de erro é descrita e ilustrada com exemplos, criando assim uma lei para poder representar a classe com o Software Maple V, de modo que o relatório de sua pesquisa pudesse ser ilustrado com as diferentes soluções dos estudantes. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 74

Erros cometidos: :

Erros cometidos: Figura 1- Gráfico com todos os tipos de erro detectados na pesquisa Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 75

Slide 76:

Figura 2 – Erro no gráfico f(x)= Representação gráfica com erros em 0≤;x<1 Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 76

Slide 77:

Figura 3 - Erro na representação da função exponencial Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 77

Slide 78:

Figura 4 - Exemplo de gráfico com erros relacionados ao conceito de função Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 78

Slide 79:

Qualquer correção de prova é uma análise, com categorias previamente determinadas(gabaritos), portanto a simples correção não configura uma pesquisa. Na análise das respostas dos alunos, o importante não é o acerto ou erro em si (pontuados na avaliação), mas as formas de se apropriar de um determinando conhecimento, que emergem na produção escrita e que podem evidenciar dificuldades de aprendizagem. Apenas a classificação e a contagem do numero de respostas de cada tipo, a investigação fica muito pobre, não trazendo beneficio a alunos e professores. No entanto quando se procura entender as formas como o aluno produziu a resposta, certa ou errada, o trabalho pode contribuir para a construção de novos patamares de conhecimento. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 79

Uma interpretação para os resultados. :

Uma interpretação para os resultados. Assim pode ser compreendido o conhecimento do gráfico de uma função: como uma imagem que pode revelar o que acon­tece com uma situação por ela modelada, onde há picos, onde há interrupções, onde cresce, onde decresce. Por isso, julgo que o aluno de Cálculo deveria perder as "muletas" representadas pe­las tabelas, em que indica valores de x (em geral inteiros e positi­vos) e y/ para depois esboçar, toscamente, um gráfico que não mostra todo o potencial da função, porque foi truncado pelas escolhas dos valores de x. Se o estudante tem a noção do comportamento do gráfico de uma função, ele pode antever o que acontece em determinados pontos, saber onde ela é contínua, onde é derivável, etc. Na turma em questão, tendo o auxílio da bolsista de Iniciação Científica, foi possível, após correção e devolução das provas, estabelecerem horários para sessões de estudo, abertas para todos os alunos interessados em discutir suas dúvidas. A princípio timidamente/ depois com mais entusiasmo, os alunos foram formando grupos e trabalhando nas atividades propostas. Em primeiro lugar/ cada aluno deveria responder às seguintes questões: Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 80

Slide 81:

a) O que você acredita que entendeu sobre funções e gráficos? Dê um exemplo de algum tópico que ficou bem claro, explicando detalhadamente como resolve um determinado exercício sobre o assunto; b) O que você não entendeu sobre funções e gráficos? De­talhe suas dúvidas, dando exemplos de exercícios que você não conseguiu resolver porque não compreendeu o conteúdo/ mostrando o ponto a partir do qual você não soube mais ir adiante; c) Analise a resolução das questões de sua prova e a correção feita, tente refazer os exercícios e explique as razões pelas quais você cometeu algum dos erros apontados. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 81

Slide 82:

Com o relato de cada aluno, foi possível acompanhar passo a passo as suas dificuldades, atendendo em grupo aqueles que tinham dúvidas semelhantes e individualmente os que tinham questões específicas. - Matéria lúdico trabalhando em sala de aula(batalha naval) que não atingiu seu objetivo(compreender o plano cartesiano). - Alunos no laboratório de informática para construção dos gráficos utilizando programas matemáticos. Enfim, nesse exemplo podemos verificar a analise de erros como metodologia de pesquisa e também como metodologia de ensino, visto que, com base nos erros cometidos pelos alunos, foi possível retomar conceitos e elaborar estratégias que lhes permitiram superar dificuldades de aprendizagem do conteúdo "funções". Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 82

Sugestões para o uso da análise de erros no ensino de Matemática:

Sugestões para o uso da análise de erros no ensino de Matemática Apresento algumas situações em que os erros podem ser usados como estratégias de ensino: 1) Uma resposta incorreta dada pro um aluno ao ser questionado em aula. (verificar se há muitos estudantes com a mesma dificuldade), exemplo: uma placa quadrada de metal, de espessura desprezível e medida do lado igual a 10 cm, é aquecida e dilata-se uniformemente, de maneira que o comprimento de cada lado tem um acréscimo de 2%. Calcule o acréscimo percentual na área. acréscimo do lado é de 0,02, a idéia que 2$ significa 2/100. Sugestão: propor ao aluno que resolvam o exercício para diferentes valores de lado, ou seja, que calculem o acréscimo de 2% se o lado mede 5 cm,1cm,0,1 cm. Neste momento questiona o que aconteceria caso se continuasse a diminuir o valor do lado, chegando, por exemplo, a 0.01 cm. Essa é uma estratégia ad hoc , porque o erro surge em uma intervenção oral do aluno. No laboratório de informática poderia verificar muitos valores, solicitando o calculo da área, como uma forma de compreender melhor o acréscimo no lado. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 83

Slide 84:

Outra situação descrita por Lopes (1998), ao solicitar a alunos de 12 ou 13 anos, o calculo de 2 -3 varias respostas como : -8,8,-6,-1,. Considerando cada resposta indicada uma hopotese feita a resperito da potencia negativa, ele pergunta ao aluno qual seria o resultado de 3 -2 , para os que consideram 2 -3 =-8, e alguém responde que seria -9.Lopes sugere que descreve o caso geral para cada hipótese. Como H: a -n = -na. Ele afirma que os erros são aceitos provisoriamente, e o aluno participa analise de suas próprias respostas. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 84

Slide 85:

Uma segunda situação em que se podem aproveitar as respostas dos alunos é quando há trabalhos escritos e se pode planejar, com base em um erro, uma atividade de exploração, a ser desenvolvida pelos próprios alunos ou por estudantes de nível superior. Um exemplo de erro no ensino fundamental, mas também encontrados nos alunos universitários é: . Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 85

Slide 86:

Borasi e Michaelsen (1985) trabalharam com esse erro, eles falam que o aluno deve ter simplesmente ter considerado a fração como dois números naturais separados por um traço, eles também fala que esse erro surge a partir do estudo da multiplicação de frações. Bathel (1994) detectou Esse erro a alunos do ensino fundamental em alunos de 5° serie. Então se pode pensar que os alunos estão ‘sobre generalizando “a regra para o produto de duas frações cujos denominadores os primos entre si. Sugestão para alunos de Álgebra de um curso de formação de professores: demonstração no quadro negro. Borasi e Michaelsen sugeriram : Pode ser valido, para os alunos, se envolverem em exercícios semelhantes, de acordo com suas habilidades. Por exemplo, estudantes mais jovens ou com mais dificuldades poderiam aproveitar com o envolvimento na comparação dos resultados obtidos pela adição de frações com as duas regras diferentes. Isso pode gerar dados para serem observados e organizados, de forma a reconhecer padrões, (p.62) Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 86

Slide 87:

A proposta de Carman (1971), que usa a expressão “ misteak ” , operação incorreta que leva a um resultado correto. Essa idéia também é citada por Borasi e por Mancera , é o que Carman chama de “cancelamento excêntrico” Exemplo:um aluno faltou a aula sobre simplificação de fraçoes e , quando voltou à escola, viu no caderno de um colega a igualdade . Analisando esse exemplo o aluno concluiu que simplificar consiste em “cortar” o algarismo da unidade, no numerador, com o algarismo, igual das dezenas no denominador. Mas qual seria os outros casos? A solução desse problema leva a equação, com a, b e c naturais , 1 ≤ a,b,c ≤ 9. (demonstração no quadro negro) Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 87

Slide 88:

Nessa proposta poderia ter utilizado um software para facilitar. A investigação sobre as conseqüências de aceitar um resultado incorreto e criar um conhecimento novo sobre o conteúdo em questão. Outra situação e trabalhar com erros: onde os alunos têm maiores dificuldades de aprendizagem ou com os quais desenvolvem maiores habilidades matemáticas. Kirshner e Awtry (2004), apontam a tendência dos alunos em gerar “padrões de transformações incorretas de expressões” e investigam o papel, na aprendizagem de Algebra , da “saliência visual”, conceituada como “sentido estético da forma”. Exemplo: Com o erro já citado , dessa forma estaria relacionado à saliência da expressão da raiz do produto, que se apresenta como um obstáculo à aceitação do fato de que a raiz quadrada da soma não é igual à soma das raízes quadradas das parcelas. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 88

Slide 89:

Idéia apresentada em Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), que se refere a uma quadro de potencia. Sugere o autor completar a tabela e buscar regularidades entre os numeros de cada linha e os de cada coluna, alem de explorarem conceitos de Agebra Linear, tais como a forma geral de um elemento de uma matriz quadrada. Indicando por a ij (0 ≤ i,j ≤ n ) um elemento da matriz n x n pelo quadro , a ij pode ser escrito como um produto de potenciação. Conteudo que tem gerado muitos erros. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 89

Slide 90:

Outra atividade que os alunos tem grande dificuldade é a regra da derivada aplicada no quociente. E freqüentes os alunos fazerem isso aqui:derivar a função dada por (demonstração no quadro). Erro na área da informática Allevato (2004) discute uma situação de aprendizagem em que alunos, digitando leis de funções no software winplot obtinham gráficos errados porque haviam esquecido ou utilizado errado os parênteses. A autora comenta: vários detalhes deste conjunto de dados me fizeram repensar sobre esta dificuldade dos alunos em reconhecer se é necessário ou não colocar parênteses na digitação da formula de uma função. (p. 13) Isso é um erro comum no meio tecnológico. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 90

Considerações finais:

Considerações finais a análise de erros é uma abordagem de pesquisa – com fundamentações teóricas variadas, objetivos distintos e participação de estudantes de todos os níveis de ensino nas amostras –, mas também é uma metodologia de ensino, podendo ser empregada quando se detecta dificuldades na aprendizagem dos alunos e se quer explorá-las em sala de aula. Mas como detectar essas dificuldades, refletir sobre elas e criar atividades apoiadas nos erros, não aceitando a exigência de tais erros ? Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 91

Slide 92:

Discutir erros não é tarefa fácil. É responsabilidade dos formadores de professores quebrar a cadeia de mal-entendidos e proporcionar aos futuros docentes de Matemática a oportunidade de olharem seus próprios erros. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 92

Slide 93:

Em 1980, um grupo de professores do IREM de Grenoble , França propôs a alunos de cerca de oito anos de idade o seguinte problema: “Em um barco, há 26 carneiros e 10 cabras. Qual é a idade do capitão?”. Dos 97 estudantes questionados, 76 deles responderam que o capitão tinha 36 anos” Com o “susto”, os pesquisadores de Grenoble resolveram refazer a experiência, propondo outros enunciados do mesmo tipo, aumentando a amostra e a faixa etária dos alunos, e continuaram se surpreendendo como o que Baruk (1985) chama de “terrível aceitação do inevitável” Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 93

Slide 94:

O que se pode refletir, com base nas considerações que aponto nesse capítulo final? a falta de discussões sobre erros em cursos de formação de professores o erro é fonte de saberes, é um saber, enquistado, resistente, apontando para algum problema que exige atenção. As pesquisas sobre erros na aprendizagem de Matemática devem fazer parte do processo de formação dos futuros professores. o estudo dos erros poderia “proporcionar chaves sobre quais estratégias resultam mais convenientes na hora de levar adiante os processos de ensino e aprendizagem em Matemática”. Abrate, Pochulu e Vargas (2006, p16) Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 94

Slide 95:

Efetivamente, se os futuros professores têm concepções negativas sobre erros, se não aceitam sua ocorrência, como poderão ajudar seus alunos a superar o sentimento negativo em relação aos erros? Em cursos de formação inicial ou continuada de professores, é possível e desejável criar grupos de estudo para refletir sobre erros. Araújo e Borba (2004, p. 38): “Um trabalho em grupo permite que diversos focos sejam escolhidos, diversos procedimentos sobre o mesmo foco sejam utilizados, proporcionando uma perspectiva mais global de um fenômeno estudado”. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 95

Slide 96:

Ao compartilhar com os leitores essas informações, experiências, reflexões e propostas sobre análise de erros, espero ter contribuído para que essa abordagem venha a se firmar como uma tendência em Educação Matemática, com novos estudos e experiências que, no futuro, possam gerar novas produções sobre o tema. Análise de erros - O que podemos aprender com a respostas dos alunos – Helena Noronha Cury 96