Chuong 1 - 2

Views:
 
Category: Entertainment
     
 

Presentation Description

No description available.

Comments

Presentation Transcript

Phương pháp tính:

1 Phương pháp tính

Chương 1: Một số phương pháp tính toán trong đại số tuyến tính:

2 Chương 1: Một số phương pháp tính toán trong đại số tuyến tính 1.1. Ma trận và định thức Định thức của một ma trận Ma trận A= (1.1) det A= , với j bất kỳ, 1  j  n (1.2a) det A= , với i bất kỳ, 1  i  n (1.2b)

Slide 3:

3 Định lý: nhân 1 hàng hoặc 1 cột của ma trận A với 1 số khác 0, sau đó đem cộng các thành phần tương ứng vào một hàng hoặc một cột khác của ma trận đó thì giá trị của định thức không thay đổi B = (1.3) Áp dụng CT (1.2a) với j = 1 ta được det A = det Tiếp tuc  det A = det = det =

Slide 4:

4 Các bước chuyển từ ma trận A về ma trận B Xét 2 hàng đầu của ma trận A : Nhân hàng đầu với 1 số rồi cộng kết quả đó vào hàng thứ 2 sao cho b 21= 0 (  0)  số đó là – Các thành phần còn lại của hàng thứ 2 sẽ là: , j = 1,2,…n Tiếp tục với hàng thứ 3, 4, …cho đến hàng thứ i , j = 1,2,…n (1.4)

Slide 5:

5 Theo (1.2), với j = 1 det A =  det A = det Lặp lại với  det A = ở hàng thứ i: Thay cho ký hiệu và công thức (1.4) ta dùng (1.5)

Slide 6:

6  det A = det

Slide 7:

7 2. Ma trận nghich đảo là ma trận nghich đảo của ma trận A  Cách tìm mt nghich đảo C1: tính giá trị phần bù đại số , i,j=1,2,…,n (1.6) C2: Viết thêm mt I vào bên phải ma trận A (1.7)

Slide 8:

8 Sau khi biến đổi (1.8) Cách tìm ta áp dụng công thức (1.5) B1: chia hàng đầu của (1.7) cho

Slide 9:

9 B2: nhân hàng 1 với rồi cộng vào hàng 2  j=2,3,…,n+1 Tiếp tục áp dụng với hàng thứ l Vậy có 2 bước tìm mt nghich đảo Với mỗi hàng thứ l, chia tất cả cho ,j=l,…,n+l Với mỗi i=1,2,…,n; i l ta thay bằng  Tìm trở thành tìm (1.9)

1.2. Hệ phương trình đại số tuyến tính Công thức Kramer:

10 1.2. Hệ phương trình đại số tuyến tính Công thức Kramer Cho hệ pt sau: (1.10) Hệ pt này có thể viết dưới dạng: A= x= b= det A 0 thi (1.10) có nghiệm tính theo CT

Slide 11:

11 Có thể viết cách khác:

Slide 12:

12 Phương pháp trực tiếp Phương pháp khử dùng ma trận nghịch đảo Ý tưởng: Thêm ma trận I vào bên phải của ma trận A ta được ma trận [A,I] dạng (1.7). Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp lên các hàng của ma trận [A,I] cho đến khi [A,I] ở dạng (1.8). Khi đó nghiệm của phương trình (1.10): 

Slide 13:

13 b) Phương pháp khử Gauss Cho hệ pt đại số tuyến tính sau: (1.11) G/sử ta áp dụng CT (1.5) cho TH l =1 lên (1.11) ta được (1.12) Tiếp tục, nếu thì (1.12) được đưa về dạng

Slide 14:

14 Tiếp tục cho đến n-1 lần: Nghiệm của hệ pt là: (1.14)

Slide 15:

15 c) Phép khử Jordan Tương tự phép khử Gauss chỉ khác là ở bước thứ l các thành phần bên trên và bên dưới đều được đưa về 0. Kết quả ta có hệ pt  Nghiệm của hệ pt là:

Slide 16:

16 d) Phương pháp Cholesky ( giải pt 1.10 ) Đk: Ma trận A=LU Ma trận ; Ma trận Đặt Ux=y  Ly=b. Do đó ta có 2 hệ pt cần giải

Slide 17:

17 Hệ thứ nhất: nghiệm của hệ này là: Hệ thứ 2: nghiệm của hệ này là:

Slide 18:

18 Tìm LU=A  x = Nhận thấy Cột thứ nhất của L: Hàng thứ 2 của U: Cột thứ 2 của L:

Slide 19:

19 Hàng thứ i của U và cột thứ j của L

Slide 20:

20 2. Phương pháp lặp -Tính chéo trội: a) Phương pháp lặp Gauss-Seidel Cho hệ phương trình Biến đổi

Slide 21:

21 Tổng quát: Bước xuất phát Các bước lặp tiếp theo được tính theo công thức k= 0,1,2,…

Slide 22:

22 (  là một số dương nhỏ chọn trước một cách bất kỳ)

Slide 23:

23 b, Phương pháp lặp Jacobi G/t ma trận A có tính chéo trội. Ma trận A= D+L+U Viết lại phương trình (1.10) như sau:

Slide 24:

24

Slide 25:

25 (1.16)  Công thức tính

Slide 26:

26 Ví dụ

Slide 27:

27 c) Phương pháp nới lỏng Đưa (1.10) về dạng: G/s xuất phát từ Thay vào hệ pt trên

Slide 28:

28 Chọn Thay đổi biến một lượng  Pt thứ k: Các hàng khác: sai số hàng thứ i thay đổi 1 lượng tiếp tục quá trình trên cho đến khi đủ nhỏ thì dừng

CHƯƠNG 2. XẤP XỈ NGHIỆM CỦA PT VÀ HỆ PT PHI TUYẾN:

29 CHƯƠNG 2. XẤP XỈ NGHIỆM CỦA PT VÀ HỆ PT PHI TUYẾN 2.1. PT phi tuyến Xấp xỉ ban đầu  (x) = 0 (2.1) Định lý: Nếu (x) là một hàm thực liên tuc trên [a,b] (a<b), có (a) (b)<0, thì tồn tại ít nhất một nghiệm r của (x) trong khoảng [a,b] Một số thuật toán tìm xấp xỉ ban đầu cho nghiệm thực của pt:

Slide 30:

30 Nguyên lý Decart: Số nghiệm dương của pt (2.2) bằng hoặc kém hơn một số chẵn số lần đổi dấu trong dãy hệ số của phương trình đó, những hệ số là số không không tính đến. Số nghiệm âm của phương trình (2.2) bằng hoặc kém hơn một số chẵn số lần đổi dấu trong hệ số của phương trình  (-x) = 0 Nếu phương trình là đầy đủ, thì số nghiệm âm bằng số lần giữ nguyên dấu trong hệ số của phương trình hoặc kém hơn nó một số chẵn

Slide 31:

31 Lược đồ Horner Phương pháp này được phân tích như sau:

Slide 32:

32

Slide 33:

33 2. Một số phương pháp lặp a) Phương pháp chia đôi: Ý tưởng: Cho pt f(x)=0, liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b)<0. Theo định lý * trên [a,b] pt có ít nhất 1 nghiệm  .

Slide 34:

34

Slide 35:

35 b) Phương pháp dây cung Lấy giao điểm của đoạn thẳng nối hai điểm (a, (a)) và (b,(b)) với trục hoành. Có 3 khả năng xảy ra: 1. (c)=0, tức nghiệm của pt chính là c 2. (c). (b)>0, tức (c), (b) cùng dấu, như vậy (c) khác dấu với (a)  nghiệm nằm trong khoảng [a,c] 3. (a). (c)>0, tức (a), (c) cùng dấu, như vậy (c) khác dấu với (b)  nghiệm nằm trong khoảng [c,b]

Slide 36:

36 c) Phương pháp lặp đơn

Slide 37:

37

Slide 38:

38

Slide 39:

39 d) Phương pháp lặp Newton-Raphson

Slide 40:

40

Slide 41:

41

Slide 42:

42

Slide 43:

43 e) Phương pháp tiếp tuyến Ta thay Thì ta được phương pháp tiếp tuyến và chọn bất kỳ gần nghiệm x

Slide 44:

44 2.2. Hệ phương trình phi tuyến Cho hệ pt phi tuyến (2.4)

Slide 45:

45 1. Phương pháp lặp Đưa hệ pt (2.4) về dạng Nếu có

Slide 46:

46 Tại lân cận nghiệm thì phương trình lặp đơn

Slide 47:

47 2. Phương pháp lặp Seidel Với điều kiện (2.4), xuất phát từ bước lặp ban đầu Bước lặp được tính theo công thức

Slide 48:

48 3. Phương pháp lặp Newton_Raphson

Slide 49:

49

Slide 50:

50

Slide 51:

51

Chương 3:

52 Chương 3 Nội suy và xấp xỉ hàm số

3.1. Số gia hữu hạn:

53 3.1. Số gia hữu hạn Cho giá trị của hàm số (x) tại các điểm mốc Là …, 1. Số gia hữu hạn tiến - Số gia hữu hạn tiến bậc 1 của hàm (x) tại điểm x là

Slide 54:

54 Số gia hữu hạn tiến bậc 2 và bậc cao hơn: ………………………………………………………. k=1,2,…

Slide 55:

55 Hoặc là một số (hệ số binôm)

Slide 56:

56 2. Số gia hữu hạn lùi Số gia hữu hạn lùi bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm  (x) tại điểm x ………………………………………………………………

Slide 57:

57 3. Số gia hữu hạn trung tâm Số gia hữu hạn trung tâm bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm  (x) tại điểm x ……………………………………………………

3.2. Các bảng số gia:

58 3.2. Các bảng số gia Bảng số gia hữu hạn tiến

Bảng số gia hữu hạn lùi:

59 Bảng số gia hữu hạn lùi

Slide 60:

60

3.3. Các phương pháp nội suy:

61 3.3. Các phương pháp nội suy 1. Nội suy với mốc cách đều xét cách biểu diễn một đa thức theo số gia hữu hạn Nếu thay cho việc dùng biến x khi các mốc cách đều ta dùng biến Thì các mốc được thay thế bằng u = -m , -m+1, … , 0 , 1 , … , m

Nội suy Gregory-Newton tiến:

62 Nội suy Gregory-Newton tiến Ta dùng một loại đa thức được gọi là đa thức giai thừa

Slide 63:

63 Khi đó, theo định nghĩa (3.1), số gia hữu hạn tiến bậc 1 của u[k] Tương tự

Slide 64:

64

Slide 65:

65

Slide 66:

66 Nếu |  (N+1) (x)|<M 1 , M 1 là một số dương đủ nhỏ thì công thức nội suy Gregory-Newton tiến với sai số E N là  i y 0 =  i P N ( x 0 ), i =0, 1, 2, …, N y j = P N ( x j ) =  ( x j ) , j = 0, 1, 2, …, N, x 0 <  < x N Tại điểm x = x 0 + ph

Nội suy Gregory-Newton lùi:

67 Nội suy Gregory-Newton lùi Ta dùng một loại đa thức được gọi là đa thức giai thừa

Slide 68:

68 Khi đó, theo định nghĩa (3.2), số gia hữu hạn lui bậc 1 của u [k] Tương tự Ta nhận thấy u 1 = u [1] , u 2 = u(u+1)-u = u [2] - u [1] , u 3 = u(u+1)(u+2) + 3u(u+1) + u = u [3] -3 u [2] + u [1]

Slide 69:

69 Tức là u k có thể biểu diễn thành một đa thức của các đa thức giai thừa u [i] , i = 1, 2, …, k và do P N (x) = P N ( x 0 + uh ) Là một đa thức bậc N của u [i] , cho nên ta có thể viết Tính c 0 , c 1 ,…,c N : Tại thời điểm x=x 0 hay u=0 ta tính P N (x) và  k P N (x)

Slide 70:

70  Như vậy:

Slide 71:

71 Nếu |  (N+1) (x)|<M 1 , M 1 là một số dương đủ nhỏ thì công thức nội suy Gregory-Newton lui với sai số E N là  i y 0 =  i P N ( x 0 ), i =0, 1, 2, …, N y j = P N ( x j ) =  ( x j ) , j = 0, 1, 2, …, N, x 0 <  < x N Tại điểm x = x 0 + ph

Nội suy Gauss:

72 Nội suy Gauss Gauss tiến: Nếu số hạng cuối cùng là (u+k-1) [2k]  2k y o /(2k)! thì sai số là: Nếu số hạng cuối là thì sai số là

Slide 73:

73 Gauss lùi Nếu số hạng cuối cùng là thì sai số là: Nếu số hạng cuối là thì sai số là

Slide 74:

74 2. Nội suy với mốc không cách đều Nội suy Lagrange Trên đoạn a≤x≤b cho một lưới các điểm chia (điểm nút) x i , i = 0, 1, 2, …, n: a ≤ x 0 , x 1 , x 2 , …, x n ≤ b tại các nút x i cho giá trị của hàm số y = f(x) là y i = f(x i ), i = 0, 1, 2, …, n

Slide 75:

75

Slide 76:

76

Slide 77:

77

Slide 78:

78 Nội suy bằng đa thức Newton

Slide 79:

79

Slide 80:

80

Slide 81:

81

Slide 82:

82 Phương pháp xấp xỉ bình phương cực tiểu Giả sử có 2 dạng đại lượng x và y có liên hệ phụ thuộc nhau theo một dạng đã biết: y = a + bx + cx 2 + …. Chưa biết các giá trị cụ thể a, b, c … Các cặp giá trị tương ứng (x i , y i ) đã biết:

Slide 83:

83 Trường hợp y = a + bx Ta có y i – a – bx i =  i i = 1, 2, 3, …., n Là các sai số tại x i , do đó: S =  (y i – a – bx i ) 2 là tổng bình phương của các sai số S phụ thuộc a, b, còn x i , y i đã biết Xác định a, b sao cho S bé nhất  a,b là nghiệm của hệ pt:  na + b  x i =  y i a  x i + b  x i 2 =  x i y i

Slide 84:

84 Trường hợp: y = a + bx + cx 2 Thì a, b, c là nghiệm của hệ chính tắc:  na + b  x i + c  x i 2 =  y i a  x i + b  x i 2 + c  x i 3 =  x i y i a  x i 2 + b  x i 3 + c  x i 4 =  x i 2 y i

Chương 4. Xấp xỉ đạo hàm, tích phân và nghiệm pt vi, tích phân:

85 Chương 4. Xấp xỉ đạo hàm, tích phân và nghiệm pt vi, tích phân 4.1. Tính đạo hàm

authorStream Live Help