1.3.3 Continuidad de funciones

1.3.3 CONTINUIDAD DE FUNCIONES : 

1.3.3 CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Definición : 

Definición Una función f es continua e un número a si se satisfacen las tres condiciones siguientes:

Observación : 

Observación Con una de las tres condiciones, de la definición anterior que no se cumplan, la función no es continua en a, entonces se dice que es DISCONTINUA en a o que tiene una discontinuidad en a.

Ejemplos : 

Ejemplos En las figuras siguientes aparecen las gráficas de varias funciones que no son continuas en el número real a y se indican los nombres que se dan a tales discontinuidades

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Discontinuidad de salto

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Discontinuidad infinita a) b) c)

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a) b) c)

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a) No esta definida en a b) c) Discontinuidad evitable

Discontinuidad evitable : 

Discontinuidad evitable a) b) c)

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f(a) a) f esta definida en a, pero no en un intervalo que la contenga b) c)

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La función es continua en x≥0 pero con x≠9. En 9 la función es DISCONTINUA

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Ejemplo La función es continua en x≥0

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El criterio de continuidad busca saber si la función es continua en un punto en particular, sin la necesidad de elaborar una gráfica.

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En el siguiente ejemplo se busca determinar si la función es continua en el un punto en particular (este punto es: x=2) Debemos verificar que se cumplen los tres incisos de la definición anterior, con uno de ellos que no se cumpla, la función no es continua en x=2 1er. Paso. Debemos verificar que f esta definida en un intervalo abierto que contiene a x=2 ¿F(x) es continua en x=2?

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Entonces, la función no esta definida en x=2, por lo tanto no se cumple el primer inciso de la definición de función continua. 2do. Paso. Debemos verificar que el límite existe Se tienen una indeterminación, para quitarla se puede manipular algebraicamente la función El límite existe

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3er. Paso Existe indeterminación La función NO es continua en x=2, Pero únicamente en este punto (x=2). Así que la función puede ser continua en cualquier otro punto

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En el siguiente ejemplo se busca determinar si la función es continua en el un punto en particular (este punto es: x=1) 1er. Paso. Es evidente que se cumple el inciso a de la definición de continuidad. 2do. Paso. Debemos verificar que existe ¿F(x) es continua en x=1? El límite existe

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3er. Paso La función SI es continua en x=1

Función a trazos : 

Función a trazos ¿Será continua en x=-1? Es una sola función definida en con dos expresiones ¿Cuál de las dos utilizamos? Recordemos que la función se debe evaluar por la izquierda y por la derecha. En la primera función observamos que se evalúa por ambos lados, es por ello que utilizaremos dicha función El límite existe -2≠6 La función NO es continua en x=-1, Pero únicamente en este punto .

La gráfica quedaría de la siguiente manera: : 

La gráfica quedaría de la siguiente manera: Lo que logramos observar en la gráfica, es que existe continuidad en x ≠-1 menos en el punto x=-1, donde el valor es de 6

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¿Será continua en x=4? Recordemos que la función se debe evaluar por la izquierda y por la derecha. En la primera función observamos que se evalúa por ambos lados, es por ello que utilizaremos dicha función Se resuelve el límite Se tienen una indeterminación, para quitarla se puede manipular algebraicamente la función El límite existe 6=6 La función SI es continua en x=4

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¿Será continua en x=1? a) Se debe evaluar que exista el límite por la izquierda y por la derecha b)Y que ambos límites sean iguales a) b) 1=1 La función SI es continua en x=1

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