역학 (Mechanics) : 역학 (Mechanics) 전산물리 입문 (물리 212) 2004.9.20 오종훈
상미분방정식 : 상미분방정식 상미분방정식
한 변수가 다른 변수에 따라 어떻게 변화하는 지를 기술하는 수학적 모델.
x’=dx/dt = f m(x, t) x 상태변수, m 맺음변수
상미분방정식의 예
고전역학의 뉴턴 운동방정식
예: 잦아든 비선형 흔들이 dissipative nonlinear pendulum
m l2 x’’ = T = - m d x’ - m g l sin x
-> x’ = p
p’ = - d p - w02 sin x, w02 =g/l
이차 상미분방정식-> 이차원의 1차 상미분방정식으로 변환. (일반화됨)
해밀튼의 방정식, 화학/생물학/생태학의 속도식
비선형 및 복잡계연구와 분자동역학 (MD) 계산의 핵심
상미분방정식의 초기값문제 : 상미분방정식의 초기값문제 상미분방정식 진화
복잡계의 동력학과 스스로짜임 (self-organization) 실험실의 핵심 엔진
초기값 문제 (Initial Value Problem)
상미분방정식 x’=dx/dt = f m (x, t)
초기값 x0가 시간 t0에 주어짐-
-> 해 x(t)=f m(x,t; x0, t0) 는 어떻게 구하는 가?
해의 존재, 유일성, 미분성
f 가 “충분히 미분가능” 하면 O.K. (대부분의 물리 상미방계)
-> 시간에 대해 앞과 뒤 모든 방향으로 유일해가 존재
->결정계 Deterministic system
수치적분알고리듬들 : 수치적분알고리듬들 상미분방정식의 수치 적분
비교적 잘 확립된 수치해석문제로 다양한 풀이법이 존재.
1차원 풀이법이 자연스럽게 고차원으로 확장됨.-> 1차원만 고려.
아이디어
미분 x’ ~ 차분 Dx/Dt 근사를 통해 띄엄 띄엄 시간에 대한 근사 궤도를 만듬.
Dt가 작아지는 극한에서 정확한 수치적분가능.
다양한 풀이법
오차의 차수, single-step 과 multi-step
adaptive, stiff, geometric방법들
Q:
다양한 풀이법 중 어떤 것을 사용? 문제에 따른 “좋은” 풀이법은?
몇 개의 좋은 수치적분 풀이법이 동력학계의 연구에서 성공적으로 이용됨. 그러나 선택은 문제에 따라 달라짐.
Euler의 수치적분방법 : Euler의 수치적분방법 Euler 방법
가장 쉽고 직관적인 방법
dx -> D x, dt -> D t 로 근사하고 D x = f(x,t) D t 를 현재 x 값에 더해줌,
Dx-> 0 극한에서 좋은 근사
테일러 전개로 유도됨.
알고리듬:
D x = f D t = f h
오차의 분석 : 오차의 분석 Euler방법
Local error = xk+1 - x(tk+1) = O(h2)
Global error = supk | x (tk) - xk|
대략 기대 오차 ~ O (h 2 * 1/h) ~ O(h) --> 0 (h->0)
* f의 성질에 따라 달라질 수도 있음.
Euler방법은 쉽고, 직관적임.
그러나 부정확하고, 느림.
h가 작지 않는 경우 적분오차가
시간이 갈수록 동역학을 왜곡.
예: 보존계 -> 불안정계.
오차를 줄이는 다양한 수치적분방법
고차원, multi-step, adaptive 등
실제 많이 쓰이는 수치적분방법들 : 실제 많이 쓰이는 수치적분방법들 Runge-Kutta방법
Single-step방법, 4차방법 (오차~ O(h5) )이 가장 많이 이용됨.
몇개 시간점에서의 x 근사값을 결합하여 테일러 전개의 저차항을 없앰.
비교적 간단하고 빨라 가장 많이 이용됨. *가장 최적?
Bulirsch-Stoer 방법
Adaptive하게 스텝크기를 변화함으로서 최적화하는 방법.
큰 스텝크기와 최소한의 계산으로 매우 정확한 해와 우수한 오차조절기능.
매끈한 (smooth) 계에서만 잘 되고, 특이점에서 문제.
Predictor-Corrector 방법들
Multi-step 방법, xk+1 = F ( xk, xk-1, ..., x0)
Implicit와 explicit방법 두 개를 섞음 Adams-Bashforth + Adams-Moulton
하나는 predictor (근사 추정)로 다른 것은 corrector (refinement)로 씀.
NRC와 IMSL
기본적인 풀이법들을 제공함. NRC의 경우 책과 Source code와 함께 제공.
W. H. Press et al, Numerical Recipes in C, Cambridge U. Press, 1992 (2nd ed.)
Runge-Kutta 방법 : Runge-Kutta 방법 아이디어
몇 시간 스텝에서 Euler와 유사한 방법으로 정보를 얻은 다음 스텝의 해를 구함
기본적으로 테일러 전개를 고차원까지 해서 계수를 맞추어 저차항 오차를 없앰
4차 Runge-Kutta
Local error ~ O(h5)
많은 ODE문제의 workhorse
ODE에 대해 잘 모를 때.
계산 효율성이 문제가 덜 될 때.
흔들이 Pendulum : 흔들이 Pendulum Galileo, 1581
피사 성당의 흔들리는 램프의 운동에서 주기성 관찰
흔들이의 문제
주기운동의 규칙성 -> 시계의 원리
물리 소개 시 많이 인용되는 전형적인 역학 시스템의 패러다임
많은 물리 문제가 흔들이의 문제와 연관됨.
최근 카오스 (chaos) 계 연구의 대두와 함께 주요 연구 대상으로 떠오름.
Solving ODE’s : Solving ODE’s Matlab includes a number of functions to solve Ordinary Differential Equations (ODE’s), including Initial Value Problems (IVP’s), Boundary Value Problems (BVP’s) and Partial Differential Equations (PDE’)
Let’s consider a simple IVP in the form of a familiar ODE (Pendulum):
Matlab’s ode23() and ode(45) functions use the Runge-Kutta-Fehlberg method to solve ODE’s expressed as:
Solving an ODE: setup : Solving an ODE: setup We can convert an Nth order ODE into N first order ODE’s using a simple algorithm:
In more compact forms: or
Matlab ode45( ) Syntax : Matlab ode45( ) Syntax [T,Y] are the returned values and each row defines a value of t where the solution is computed along with the corresponding solutions, yi , in successive columns.
But we need to provide a function to compute f(t,y) whenever ode45( ) needs it…
We also need to specify the start and end times and initial conditions in the arguments to ode45( ) >> help ode45
ODE45 Solve non-stiff differential equations, medium order method.
[T,Y] = ODE45(ODEFUN,TSPAN,Y0) with TSPAN = [T0 TFINAL] integrates the
system of differential equations y' = f(t,y) from time T0 to TFINAL with
initial conditions Y0. Function ODEFUN(T,Y) must return a column vector
corresponding to f(t,y). Each row in the solution array Y corresponds to
a time returned in the column vector T. To obtain solutions at specific
times T0,T1,...,TFINAL (all increasing or all decreasing), use
TSPAN = [T0 T1 ... TFINAL].
(truncated)
rhs( ) function for ode45( ) : rhs( ) function for ode45( ) m-function will compute f(t,y) for ode45( )
returns the RHS column vector NOTE: If you need to pass parameter values to compute the RHS (e.g, zeta or g(t)), these can be added to the ode45( ) function call (see help ode45)
Solving the Problem… : Solving the Problem… Note the sizes of the returned variables
You can plot either column of yy as needed
How would you construct a phase plane plot (e.g., y versus y’)? >> [tt,yy]=ode45('rhs', [0 35],[1 0]');
>> whos
Name Size Bytes Class
tt 205x1 1640 double array
yy 205x2 3280 double array
Grand total is 615 elements using 4920 bytes
>> plot(tt,yy(:,1)) See help ode45 for more options You supply this m-function…
A More Interesting RHS… : A More Interesting RHS… Note how g(t) is formed here Result is familiar square pulse with ringing oscillations
Nonlinear Pendulum : Nonlinear Pendulum
Nonlinear Pendulum 초기화면 : Nonlinear Pendulum 초기화면 Tyle Style
간단한 흔들이 Simple Pendulum : 간단한 흔들이 Simple Pendulum 비선형 흔들이 (nonlinear pendulum)
x’’ + sin x = 0
=>
x’ = p
p’ = - sin x, (w02 =1)
해석적으로 풀기 어려움.
선형 흔들이
작은 진폭의 떨기의 경우 근사 x<<1
=> x’ = p ---> 해: x(t) = a sin t + b cos t
p’ = - x Q: 비선형의 경우는 운동을 어떻게 이해하나? 2차 상미분방정식 2차원 1차 상미분방정식 x m l2 x’’ = T = - m g l sin x
위상공간 : 위상공간
위상공간
계의 상태를 나타내는 변수들로 이루어진 좌표계 공간.
공간상의 각 점은 계의 상태를 나타냄.
예: 흔들이 - 각도, 각속도 p x p 위상공간 phase space 궤도
Orbits
Trajectories 위상그림 phase portraits
- 대역적 운동의 대표적 모양을 보여주는 궤도들의 모임 기하학적, 정성적, 대역적 접근
비선형 흔들이의 위상동역학 : 비선형 흔들이의 위상동역학 모형: x’ = p, p’ = - sin x
탐구할 주 내용
이 그림을 그려내고 정성적, 기하학적으로 운동을 이해하기.
Separatrix (흔들이가 꼭대기에서 정시상태에서 시작할 때 만들어 내는 특수 궤도)의 역할을 이해하기.
비선형 흔들이 - 마찰 : 비선형 흔들이 - 마찰 모형
운동
마찰에 의한 운동에너지의 감소로 흔들이가 궁극적으로 정지함.
x’ = p, p’ = - d p - sin x Q: 운동의 성질이 마찰이 없을 때와 어떻게 달라지나? x Nonlinear, damped pendulum x’ = p, p’ = - d p - sin x, d=0.5
끌개 : 끌개 끌개 (attractor)
위상공간에서 주위의 궤도들을 모두 끌어당기는 집합.
끌개의 기하학적 구조가 오랜 시간후의 동력학을 결정함.
Point 점 정상상태 steady state
Limit Cycle 닫힌 곡선 주기운동 periodic
Quasiperiodic 도넛모양 여러 주기의 준주기운동
야릇한 끌개 (strange attractor): 프랙탈상에서 카오스 운동.
끌개의 계산방법: 초기조건을 여러 개 잡아 궤도를 수치적분.
끄는 유역 : 끄는 유역 끄는 유역 (basin of attraction)
주어진 끌개로 흘러 들어가는 초기값들의 모음.
끄는 유역의 경계 (basin boundary)
계산방법
Saddle 평형점에서 선형화된 방정식 x’ = p, p’ = - d p + x 에서 안정한 방향과 불안정한 방향을 구함.
안정된 방향 (불안정한 방향)의 선분상에서 Saddle에 충분히 가까운 한 점을 골라 시간에 따라 뒤로 (앞으로) 수치적분. saddle
Nonlinear damped pendulum : Nonlinear damped pendulum 모형
탐구할 주 내용.
끌개를 찾아 기하학적 모양을 알아내기.
위상 그림 (phase portrait)를 그려내기.
끌개의 끄는 유역 (basin of attraction)을 찾기.
Q: 이 경우 Separatix의 역할은?
x’ = p, p’ = - d p - sin x
주기적으로 흔들어준 흔들이 : 주기적으로 흔들어준 흔들이 모형
주 변수
F : 힘의 크기
w : 힘의 각 진동수
d : 마찰에 의한 감쇠율
탐구할 주 내용
w와 d를 고정시키고 F를 변화시켜나갈 때 동역학의 변화는?
Q: 불규칙한 운동의 이면에 자리한 질서구조는?
Q: 야릇한 끌개는 어떤 구조를 가지고 있나?
x’ = p, p’ = - d p - sin x+ F cos w t
흔들이의 운동 : 흔들이의 운동 F=1.1, w=0.7, d=0.5
주기적 떨기
Limit cycle
고정점 (fixed point) Tyle Style
흔들이의 운동 : 흔들이의 운동 F=1.15, w=0.7, d=0.5
주기 2를 가진 떨기
두 겹의 Loop로 된 Limit cycle
주기 2의 궤도 (period 2 orbit) Tyle Style
흔들이의 운동 : 흔들이의 운동 F=1.25, w=0.7, d=0.5
주기가 없이 불규칙적인 떨기
많은 수의 Loop로 이루어진 궤적
야릇한 끌개 (strange attractor) Tyle Style
흔들이의 운동 : 흔들이의 운동 F=1.45, w=0.7, d=0.5
주기적 회전
한 개의 nontrivial loop
참고문헌 : 참고문헌 오종훈, 전산물리, 경문사, 서울, 2002.
G.L. Baker and J.P.Gollub, Chaotic Dynamics, 2nd edition, Cambridge U. Press, 1996.
J.D. Faires and R. L. Burden, Numerical Methods, PWS Publ., Boston, 1993.
W.H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B.P. Flannery, Cambridge U. Press, 1992.
Homework : Homework ODE45() 함수를 이용하여 다음의 경우에 해당하는 그래프를 얻어보자
Pendulum without friction
Pendulum with friction at
Over-damped oscillation
Under-damped oscillation
Critically-damped oscillation
카오스 도우미: 카오스의 세계 : 카오스 도우미: 카오스의 세계
규칙성의 세계 : 규칙성의 세계 자연의 규칙성
과학: 자연현상의 질서구조를 근원적, 보편적으로 이해하려함
시계추에서 행성의 운동까지
주기성을 포함한 규칙성의 이해
라플라스의 결정론적 세계관 뉴튼 역학* * 인류역사상 3 대 최대 발견, Physics World, 1999
* Newton: Einstein과 더불어 최고의 물리학자 중 하나 물질, 힘, 운동의 체계적, 종합적 기술
야릇한 끌개의 원조: 로렌쯔 끌개 : 야릇한 끌개의 원조: 로렌쯔 끌개 Edward Lorenz, 1963 - MIT 기상학자
지구 대기의 대류모델의 방정식 연구 중 발견
Lorenz끌개- 카오스운동, 야릇한 끌개
Royal McBee" computer x' = s(y - x)
y' = rx - y - xz
z' = -bz + xy
카오스의 질서구조 - 야릇한 끌개 : 카오스의 질서구조 - 야릇한 끌개 야릇한 끌개 /기이한 끌개/별난 끌개(strange attractor)
규칙적 끌개가 아닌 위상공간위에서의 기하학적 구조
주위의 궤도들을 모두 끔.-> 점근동역학을 지배.
e.g. Rossler 끌개
늘림 (stretching) + 접힘 (folding)의 끊임없는 반복
프랙탈구조(비정수프랙탈차원)상의 카오스동역학 (양의 Lyapunov지수값)
e.g. Rossler끌개의 띠 구조는
Cantor 집합.
x' = - y - z
y' = x + a y
z' = b + z (x - c) O.E. Rossler, 1976 x y z Poincare 자름
카오스의 여러 예들 : 카오스의 여러 예들 물리/화학계
주기적 힘을 받는 시계추 , 두 개의 결합된 흔들이, 초전도조셉슨소자
기상현상 <예:태풍진로>
유체계: 유체흐름, Rayleigh-Benard 대류, Couette-Taylor 흐름 <예: 유체흐름>
태양계의 삼체문제 <예: 삼체운동>
화학반응계: Belousov-Zhabotinski반응
가속입자,FEL 플라즈마
비선형 전자회로계: van der Pol모델
기계시스템: Buckling, Duffing 모델, 배흔들림
지질학:Magnetic dynamo, 지진모델 <예: 자기흔들이>
생물학계
심장박동
냄새인지, 시각피질
신경소자, 신경회로망모델 <예: 신경계>
생체막이온통로
생태학모델: 먹이천적모델, 전염병, 생태계
면역학모델
기타
수도꼭지의 물흐름
경제, 경영, 사회학모델
카오스 장난감 <예: 카오스장난감> 다음
태풍의진로 : 태풍의진로 돌아가기
난류로의 전이 : 난류로의 전이 돌아가기
신경 세포의 카오스 : 신경 세포의 카오스 돌아가기
Chaotic Toy : Chaotic Toy 돌아가기
물리학에서 풀리지 않은 10대 문제 : 물리학에서 풀리지 않은 10대 문제 Quantum gravity
Understanding the nucleus
Fusion energy
Glassy materials
High-temperature superconductivity
Solar magnetism
Climate change
Turbulence
Complexity
Consciousness
Physics World, 1999
21세기 현대과학의 8대 과제들 : 21세기 현대과학의 8대 과제들 Aritificial Brain
Dark Matter
Theory of Everything
Predicting the Weather
Conquering the Virus
Decoding Human Proteins
Quantum Computers
Solving Global Warming Donga Science, 2000.8.3 Neural Networks
High Energy Physics, Astrophysics
Quantum Gravity, String Theory
Complex Systems, Chaos
Protein Folding
Spin Science
Fusion Energy
카오스 참고문헌 : 카오스 참고문헌 대중서적
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