ECUACIONES LOGARITMOS Y PROGRESIONES.

Views:
 
Category: Education
     
 

Presentation Description

No description available.

Comments

Presentation Transcript

Slide 1: 

CAPITULO INTRODUCTORIOECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Por: Ing. M.Sc. Ruperto León R. Una ecuación de segundo grado es: y cuya solución esta dada por:

Ejemplo. Resolver la ecuación: : 

Ejemplo. Resolver la ecuación: Para esta ecuación se tiene: Reemplazando en: a = 4 b = 9 c = 2. Se tiene, entonces: La ecuación tiene dos raíces y ambas satisfacen la igualdad.

Ejemplo. La ecuación que se propone resolver a continuación es la resultante de un flujo de caja de un proyecto: : 

Ejemplo. La ecuación que se propone resolver a continuación es la resultante de un flujo de caja de un proyecto: Resolver la siguiente ecuación: Reduciendo la ecuación a un común denominador y ordenando términos, se tiene: Si x = (1 + i), se tiene la ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, en la que: a = 1.600 b = -10.000 c = 10.000 Se resuelve la ecuación aplicando la fórmula:

Slide 4: 

Pero. x = (1 + i) Luego: 1 + i = 5 y 1 + i = 1.25. Desarrollando las dos ecuaciones, se tiene: 1 + i = 5 i = 5 - 1 = 4, que multiplicado por 100 nos da 400% 1 + i = 1.25 i = 1.25 - 1 = 0.25 que multiplicado por 100 nos da 25%. Se tiene, entonces:

1. DEFINICIÓN : 

1. DEFINICIÓN El logaritmo de un número positivo N en base b, (b es positivo y distinto de la unidad) es el exponente x al que se debe elevar la base para obtener dicho número; es decir: donde: b > 0, b  1, N > 0 ECUACIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES Por: Ing. M.Sc. Ruperto León R.

2. SISTEMAS DE LOGARITMOS : 

2. SISTEMAS DE LOGARITMOS Como b es un número positivo cualquiera (b1) existen infinitos sistemas de logaritmos, de los cuales los más utilizados son: Logaritmos Decimales. Su base es 10: La base 10 se sobreentiende. Logaritmos naturales o neperianos. Su base es e = 2.718281828459...

3. PROPIEDADES GENERALES : 

3. PROPIEDADES GENERALES 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1.

3. PROPIEDADES GENERALES : 

2. 3. 4. 5. 6. 7. 1. 3. PROPIEDADES GENERALES

4. CAMBIO DE BASE DE UN SISTEMA DE LOGARITMOS A OTRA BASE. : 

4. CAMBIO DE BASE DE UN SISTEMA DE LOGARITMOS A OTRA BASE.

4. CAMBIO DE BASE DE UN SISTEMA DE LOGARITMOS A OTRA BASE. : 

4. CAMBIO DE BASE DE UN SISTEMA DE LOGARITMOS A OTRA BASE. Ejemplo:

5. FUNCIÓN EXPONENCIAL : 

5. FUNCIÓN EXPONENCIAL Dado un número bR y b  1, se llama función exponencial en la base b a la que se expresa como: f(x) = bx.

6. PROPIEDADES : 

6. PROPIEDADES 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

6. PROPIEDADES : 

6. PROPIEDADES 1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. 4. 5.

Slide 14: 

6. 7. 8. 6. 7. 8.

Ejemplo: Calcular el valor de x, en la siguiente ecuación: : 

Ejemplo: Calcular el valor de x, en la siguiente ecuación: Aplicando logaritmos a ambos miembros de la igualdad, ésta subsiste. que es el logaritmo de una potencia

PROGRESIONES : 

PROGRESIONES Por: Ing. M.Sc. Ruperto León R.

1. SUCESION. : 

1. SUCESION. Es un conjunto ordenado de números, cada uno de los cuales se puede obtener del que le precede mediante la aplicación de alguna ley de formación simple y reciben el nombre de progresiones aritméticas, geométricas o armónicas. Ejemplo: 1, 3, 5, 7, ...................(2n – 1) –2, 4, –8, 16,...................( –2)n

2. PROGRESIONES ARITMETICAS. (P. A.) : 

2. PROGRESIONES ARITMETICAS. (P. A.) t1 , t2 , t3 , ..... , tn-1 , tn Una P. A. o por diferencia, es una sucesión en la cual cada termino después de 1º se obtiene sumando un número fijo llamado RAZON (r) - Si r > 0  P. A. CRECIENTE: 3, 10, 17, 24....; r = 7 > 0. - Sí r < 0  P. A. DECRECIENTE: 18, 15, 12, 9....; r = 3 < 0.

3. RAZON DE UNA P. A. : 

3. RAZON DE UNA P. A. r = tn – tn-1

4. ULTIMO TERMINO DE UNA P. A. : 

4. ULTIMO TERMINO DE UNA P. A.

5. SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA P. A. : 

5. SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA P. A. ó Sn = (semisuma de un par cualquiera de elementos equidistantes)  n.

6. MEDIOS ARITMETICOS DE UNA P. A. : 

6. MEDIOS ARITMETICOS DE UNA P. A. Medios Aritméticos Extremos t1 , t2 , ... , tn-1 , tn En una P. A. finita el primer y último términos se denominan extremos (t1 y tn); y todos los demás términos comprendidos entre sus extremos reciben el nombre de medios Aritméticos.

7. INTERPOLACION DE MEDIOS ARITMETICOS : 

7. INTERPOLACION DE MEDIOS ARITMETICOS Se refiere a insertar varios medios aritméticos entre dos extremos formando una progresión y que contiene tantos medios aritméticos como los que se deseen incluir. NOTACION: t1 = primer término tn = ultimo término n = número de términos r = razón o diferencia común sn = suma de todos los n términos

8. PROGRESIONES GEOMETRICAS (P. G.) : 

8. PROGRESIONES GEOMETRICAS (P. G.) t1 , t2 , t3 , ..... , tn-1 , tn Una P. G. O por cociente, es una sucesión en la cual cada término después del 1º se obtiene multiplicando el anterior por un número constante llamado razón. (q) - Si q > 1 , la P. G. es CRECIENTE : 2, 6, 18, 54 ; (q = 3) - Si q < 1 , la P. G. es DECRECIENTE: 24, 12, 6, 3 ; (q = 1/2) - Si q < 0 , la P. G. es OSCILANTE : 16, -8, 4, -2 ; (q = -1/2)

9. RAZON : 

9. RAZON Sea la P. G.: t1 , t2 , t3, ... tn-1, tn

10. ULTIMO TERMINO DE UNA P. G. : 

10. ULTIMO TERMINO DE UNA P. G. tn = t1 qn-1

11. SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA P. G. : 

11. SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA P. G. Si multiplicamos por q a la ecuación tn = t1 qn-1 tenemos; tnq = t1qn y reemplazando en tenemos:

12. INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS : 

12. INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS Consiste en insertar tantos medios geométricos como los que se desee entre dos extremos, formando una P. G. Para esto es fundamental conocer la razón:

13. SUMA DE UNA P. G. DECRECIENTE CON INFINITOS TERMINOS : 

13. SUMA DE UNA P. G. DECRECIENTE CON INFINITOS TERMINOS Esta suma se obtiene con:

EJERCICIOS PROPUESTOS : 

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Dada la P. A.: 2, 6, 10, encontrar el 8º término Solución.

Ejemplo. Encuentre el doceavo término de la siguiente progresión: 3, 12, 48, 192,... : 

Ejemplo. Encuentre el doceavo término de la siguiente progresión: 3, 12, 48, 192,... En primer lugar se determina si la progresión es aritmética o geométrica, para lo cual comparamos al menos dos términos de sus anteriores. 12 - 3 = 9 12/3 = 4 48 - 12 = 36 48/12 = 4 Los resultados indican que es una progresión geométrica, cuya razón es 4. Mediante la ecuación an = arn-1 se tiene: a12 = 3x412-1. En forma analítica la ecuación se resuelve aplicando logaritmos y sus propiedades a ambos miembros de la igualdad. log a12 = log 3 + (12 - 1) log 4 log a12 = 0,4771 + 11x0,6021 log a12 = 7.0998 a12 = antilogaritmo (7.0998) a12 = 12.582.298.20.

Ejemplo. En la progresión: 2, 2/3, 2/9, 2/27..., encuentre la razón y el octavo término. : 

Ejemplo. En la progresión: 2, 2/3, 2/9, 2/27..., encuentre la razón y el octavo término. La razón se halla dividiendo un término cualquiera entre el término anterior. El octavo término se halla aplicando la expresión an = arn-1. Aplicando logaritmos, se tiene: Se encuentra el antilogaritmo vulgar de -3.388 = 0.0009. Este ejercicio corresponde a la progresión geométrica decreciente, que se caracteriza porque la razón es una fracción propia, es decir, aquella en que el numerador es menor que el denominador.

Ejemplo. Encuentre el número de términos que hay en la siguiente progresión: 2, 4, 8, 16, ... , 1.048.576. : 

Ejemplo. Encuentre el número de términos que hay en la siguiente progresión: 2, 4, 8, 16, ... , 1.048.576. En primer lugar se halla la razón, dividiendo un término cualquiera entre el término anterior. 4/2 = 2 = r. Se reemplazan los valores en la expresión an = arn-1 y se despeja n. 1.048.576 = 2 x 2n-1 524.288 = 2n-1 La ecuación anterior es una ecuación exponencial, que se resuelve aplicando logaritmos a ambos miembros de la igualdad. log 524.288 = (n - 1) log2 Despejando (n - 1), se tiene:

Ejemplo. Hallar la suma de los 6 primeros términos de la progresión geométrica: 3, 9, 27, ... : 

Ejemplo. Hallar la suma de los 6 primeros términos de la progresión geométrica: 3, 9, 27, ... Hallemos el sexto término a6 = 3 x 36-1 = 3 x 35 = 729

authorStream Live Help