AST5220 2 print

AST5220 – forelesning 2Parameter-estimering og CosmoMC: 

AST5220 – forelesning 2 Parameter-estimering og CosmoMC Hans Kristian Eriksen 24. januar 2007

Plan for andre forelesning: 

Plan for andre forelesning Første time – introduksjon til parameter-estimering: Eksempler på fysiske effekter som påvirker power spekteret Markov Chain Monte Carlo og CosmoMC Eksempel: Lineær parameter-tilpasning Mer generelt: Maximum likelihood Markov Chain Monte Carlo (MCMC) Andre time – praktiske eksempler CosmoMC – fra CMB-spektrum til kosmologi Parameter-filer Resultat-filer Hvordan kjøre jobber på Titan Batch script Submitte jobber Hvordan følge med på hva som skjer under kjøring

Noen fysiske effekter som påvirker CMB-spekteret: 

Noen fysiske effekter som påvirker CMB-spekteret

Oversikt over CMB-spekteret : 

Oversikt over CMB-spekteret Inflasjon Lyd-bølger Diffusjon Geometri Baryoner Initial-betingelser Konsistens-sjekk

Hoved-idé 1: Gravitasjon vs. trykk: 

Hoved-idé 1: Gravitasjon vs. trykk Det tidlige univers var fylt av baryonsk materie (gule kuler) og fotoner (rød fjær) som vekselvirket i et gravitasjons-potensial satt opp av mørk materie (blå) Materie-konsentrasjoner tiltrekker hverandre pga. gravitasjon Men når tettheten øker, så øker også trykket  frastøtning

Hoved-idé 1: Gravitasjon vs. trykk: 

Hoved-idé 1: Gravitasjon vs. trykk Universet består av et helt landskap av potensial-brønner og -topper Baryon-foton-plasmaet oscillerer i dette potensial-landskapet Lyd-bølger propagerer gjennom universet Baryon-tettheten korresponderer direkte til CMB-temperatur Områder med høy tetthet blir varme flekker i et CMB-kart Områder med lav tetthet blir kalde flekker i et CMB-kart

Hoved-idé 2: Horisonten og akustikk: 

Hoved-idé 2: Horisonten og akustikk

Hoved-idé 2: Horisonten og akustikk: 

Hoved-idé 2: Horisonten og akustikk Fourier-dekomponér tetthets-feltet, og se på en enkelt mode Husk fra AST4220: Horisonten er så langt lyset går siden Big Bang Gravitasjon kan kun virke innenfor en radius på ~ct Hvis horisonten er mye mindre enn bølge-lengden, skjer ingenting!

Hoved-idé 2: Horisonten og akustikk: 

Hoved-idé 2: Horisonten og akustikk Fourier-dekomponér tetthets-feltet, og se på en enkelt mode Husk fra AST4220: Horisonten er så langt lyset går siden Big Bang Gravitasjon kan kun virke innenfor en radius på ~ct Hvis horisonten er mye større enn bølge-lengden, begynner moden å oscillere! ct

Hoved-idé 2: Horisonten og akustikk: 

Hoved-idé 2: Horisonten og akustikk Inflasjon setter opp et flatt spektrum av fluktuasjoner Rett etter inflasjon er horisonten liten Bare små skalaer begynner å prosesseres Tiden går, og større og større skalaer begynner å oscillere Så, en dag inntreffer rekombinasjon, og CMB-bildet ”fryses”

Hoved-idé 2: Horisonten og akustikk: 

Hoved-idé 2: Horisonten og akustikk En kompresjon To kompresjoner En dekompresjon To dekompresjoner Uprosessert Spørsmål: Hva kan disse fluktuasjonene fortelle oss om prosessene som virker i universet?

Inflasjon fra lave l-er: 

Inflasjon fra lave l-er Størrelsen til horisonten ved rekombinasjon er omtrent 2° på himmelen i dag Fra forrige time husker vi at dette tilsvarer multipoler l ~ 180° / 2° ~ 100 Skalaer større enn disse er bare svakt prosessert av gravitasjon og trykk CMB-feltet på l < 50 er et ”direkte” bilde av fluktuasjonene fra inflasjon! Noen forutsigelser fra inflasjon: Fluktuasjonen skal være Gaussiske og isotrope Spekteret skal være nesten skala-invariant Det bør ikke være noen karakteristisk skala Fluktuasjonene skal være like sterke på alle skalaer (dvs. flatt spektrum) De passende parameterne for å beskrive initial-betingelsene fra inflasjon er en amplitude A en helnings-parameter (tilt) ns, som bør være nær 1 Ved å tilpasse en rett linje til (log-)spekteret for l mindre enn 50, får vi et direkte estimat av A og ns! Mer eller mindre: log Cl = ns log (l / l0) + A

Rommets geometri fra første topp: 

Rommets geometri fra første topp Ifølge GR propagerer lys langs geodeter i rommet I flatt rom er dette rette linjer I åpne rom divergerer geodetene I lukkede rom konvergerer geodetene

Rommets geometri fra første topp: 

Rommets geometri fra første topp Anta at vi kjenner: størrelsen til horisonten ved rekombinasjon Gitt av plasmaets egenskaper (trykk, tetthet etc.) avstanden til siste spredningsflate Gitt av universets ekspansjons-historie Universets geometri er da gitt ved horisontens vinkel-størrelse Første akustiske topp er en standard-målestokk for horisontens størrelse Hvis første topp ligger ved l ~220, så er universet flatt Hvis første topp ligger ved l > 220, så er universet åpent Hvis første topp ligger ved l < 220, så er universet lukket Horisont Avstand til siste spredningsflate Flatt Lukket Åpent

Rommets geometri fra første topp: 

Rommets geometri fra første topp Lav tetthet Høy tetthet

Baryon-tettheten fra øvrige topper: 

Baryon-tettheten fra øvrige topper Baryon-tettheten kan måles svært nøyaktig fra høyere-ordens topper Idé: Mer baryoner innbærer tyngre lodd Loddet faller dypere Hvis det er lite baryoner, så påvirker de ikke gravitasjons-potensialet Symmetriske oscillasjoner omkring likevekts-tilstand Hvis det er mye baryoner, så øker de potensialet ved kompresjoner Kompresjoner sterkere enn dekompresjoner Men power spekteret bryr seg ikke om tegn!  Første og tredje topp sterkere enn andre og fjerde!

Baryoner fra øvrige topper: 

Baryoner fra øvrige topper Mye baryoner Lite baryoner

Eksponentiell dempning ved høye l’er: 

Høye l’er tilsvarer fysisk ”veldig små” skalaer De opprinnelige fluktuasjonene fra inflasjon blir vasket ut av foton-diffusjon Power spekteret dempes eksponentielt med l Den nøyaktige dempnings-raten avhenger av alle kosmologiske parametere Eksponentiell dempning ved høye l’er

Slide19: 

Eksponentiell dempning ved høye l’er Høye l’er tilsvarer fysisk ”veldig små” skalaer De opprinnelige fluktuasjonene fra inflasjon blir vasket ut av foton-diffusjon Power spekteret dempes eksponentielt med l Den nøyaktige dempnings-raten avhenger av alle kosmologiske parametere Eksempel: Høy baryon-tetthet  kort fri veilengde for fotoner  mindre diffusjon Høy-l-spekteret gir oss en konsistens-sjekk på andre parameter-estimater

Oppsummering av hoved-effekter: 

Oppsummering av hoved-effekter Den kosmiske bakgrunns-strålingen ble dannet da temperaturen i universet falt under 3000° K, omtrent 380,000 år etter Big Bang Gass-dynamikken på den tiden bestemmer egenskapene til CMB-fluktuasjonene Hoved-effekter som påvirker CMB-spekteret: Inflasjon  amplitude og tilt til første fluktuasjoner Gravitasjon vs. strålingstrykk  lyd-bølger  akustiske topper Høy baryon-tetthet  tungt lodd i bølgene  sterke kompresjoner  odde topper sterkere enn partall-topper Foton-diffusjon på små skalaer  eksponentiell dempning på høye l’er Mange andre effekter også, men generelt mer komplisert og mindre intuitive... Poeng: Koder som CAMB kan benytter slik informasjon til å beregne power spekteret for gitte kosmologiske parametere Vi kan gjøre parameter-estimering ved å tilpasse CAMB-kurver til observasjoner!

Parameter-estimering og Markov Chain Monte Carlo: 

Parameter-estimering og Markov Chain Monte Carlo

Målinger av CMB-spekteret: 

Målinger av CMB-spekteret Hvordan finne de parameterne og modellen som best beskriver dataene?

Eksempel: Lineær modell: 

Eksempel: Lineær modell Start med en enkel modell: d er obsverte data a og b er parametere vi ønsker å estimere  er Gaussisk støy med null gjennomsnitt, og 2 varians Modell: a = 1 b = 2  = 3

Eksempel: Lineær modell: 

Eksempel: Lineær modell Vanlig kriterium for ”best-fit” – justér de frie parameterne slik at kvadrat-avviket blir minimalisert: Dette garanterer at ingen observerte punkter blir liggende altfor langt borte fra den tilpassede funksjonen, dersom modellen er korrekt Løsning finnes ved å derivere 2 med hensyn på a og b, og løse systemet: Modell: a = 1 b = 2  = 3 Estimat: a = 0.76 b = 3.62

Generelt: Maximum likelihood: 

Generelt: Maximum likelihood -tilpasning er et spesial-tilfelle av maximum-likelihood-estimering Likelihooden er generelt definert som funksjonen der de frie parameterne er , mens dataene d holdes fast Eksempel: Sannsynlighets-distribusjonen for en gaussisk variabel er Siden logaritmen er en monotont økende funksjon, så er maximum-likelihood-løsningen er gitt ved

Posterior-distribusjonen: 

Posterior-distribusjonen Vi er ikke bare interessert i de mest sannsynlige parameter-verdiene, men også usikkerhetene i disse. Mer generelt, vi er interessert i (posterior-) distribusjonen Posterior-distribusjon = = ”Sannsynlighets-fordelingen for parametere gitt data” Likelihood = = ”Fordeling for data gitt parametere” Kjenner vi posterioren, vet vi alt som dataene forteller oss om parameterne Best-fit parametere = maksimum posterior Usikkerheter = 68% konfidens- intervaller

Bayes’ teorem: 

Bayes’ teorem Hvordan beregne posterior-distribusjonen? Bayes’ teorem sier at Posterior = Hva vet vi om parameterne etter eksperimentet? Likelihood = Hva sier de nåværende dataene om parameterne? Prior = Hva trodde vi om parameterne før vi gjorde eksperimentet? Evidens = Hvor godt passer dataene til modellen, integrert over parametere? (Merk: Avhenger ikke av de frie parameterne!) Dette gir den numeriske oppskriften på hvordan beregne posterioren Men hvordan beregne den algoritmisk?

Slide28: 

Metode 1: Grid-beregning Hvis antall parametere er mindre eller lik fire: Beregn et grid Gir en regulær funksjon som er enkel å jobbe med Svært enkel ”algoritme” Problem: Antall grid-punkter øker eksponentielt med antall parametere! Eksempel: 100 punkter i to parametere = 1002 = 10,000 evalueringer Eksempel: 100 punkter i seks parametere = 1006 = 100 milliarder evalueringer!

Slide29: 

Metode 2: Sampling Anta at det er mulig å trekke samples fra I så fall, produser f.eks. 100,000 samples, og lag et histogram! Dette histogrammet konvergerer mot med antall samples Fordel: Mesteparten av beregnings-kostnadene tilbringes nær toppen til distribusjonen. Men hvordan trekker man fra kompliserte, ikke-standard distribusjoner?

Sampling ved Markov Chain Monte Carlo (MCMC): 

Sampling ved Markov Chain Monte Carlo (MCMC) MCMC = en veldig enkel metode for å sample fra vilkårlinge distribusjoner Metropolis-algoritmen: Velg en overgangs-regel fra ett punkt til et annet Eks: i+1 = i + N(0,2) Velg et start-punkt Foreslå et nytt punkt ifølge regel Flytt til foreslått punkt med sannsynlighet Iterér 3 and 4

CosmoMC: 

CosmoMC Dagens kosmologiske standard-sampler heter CosmoMC, skrevet av Antony Lewis Denne koden består av flere deler: En Metropolis-sampler som beskrevet på forrige slide Brukeren velger hvilke kosmologiske parametere som skal inkluderes Overgangsregelen er en multivariat Gaussisk distribusjon CAMB Oversetter foreslåtte kosmologiske parametere til spektrum Likelihood-koder produsert av forskjellige eksperimentelle grupper CMB-data: WMAP, BOOMERanG, Acbar, CBI... Stor-skala-strukturer: 2dF, SDSS Priors fra andre eksperimenter, som Hubble-konstanten, universets alder etc. Etter typisk ett døgns kjøre-tid på ~8 prosessorer får man ut posterior-distribusjonen for de gitte parameterne og data-settene

Eksempel: Amplitude og tilt fra CosmoMC: 

Eksempel: Amplitude og tilt fra CosmoMC Kjøring av CosmoMC med WMAP-data alene, med standard seks-parameter-modell, {Ωb, Ωcdm, h, ns, A, } Kjede for 1000 {ns, A} –samples Distribusjonen fås ved å lage et 2D histogram fra disse Marginale distribusjoner for ns og A individuelt fås ved å lage 1D histogrammer fra de samme samplene.

Oppsummering: 

Oppsummering Kosmologiske parametere påvirker CMB-power spekteret Ved å tilpasse CAMB-type spektra til observerte data, kan vi rekonstruere disse parameterne Målet for analysen er sannsynlighets-distribusjonen Dette kalles posterior-distribusjonen Posterioren er gitt ved Bayes’ teorem, For å kartlegge denne funksjonen bruker man i dag Markov Chain Monte Carlo-metoder Den mest brukte koden innen kosmologi i dag er CosmoMC