Függvények határértéke és folytonossága

Views:
 
Category: Entertainment
     
 

Presentation Description

No description available.

Comments

Presentation Transcript

Függvények határértéke és folytonossága:

Függvények határértéke és folytonossága

1. Feladat:

1. Feladat Határozzuk meg az alábbi függvény határértékét az x=0; x=3 és x=-2 pontokban és a végtelenben!

Megoldás:

Megoldás Kezdjük a végtelenben vett határértékkel! Ha a vizsgálandó függvény két polinom hányadosa és a határértéket a végtelenben keressük, akkor a sorozatokhoz hasonlóan a megoldáshoz minden esetben ki kell emelnünk a számlálóból és a nevezőből is a legmagasabb fokú tagot. Egyszerűsítsünk! A határérték innen már tagonként vizsgálható.

Slide4:

Gondod van valamelyik tárggyal a lentiek közül? Hidd el, nem nehezek, csak egy jó tanár kell hozzá! Készülj fel a vizsgákra az oldal szerkesztőjénél és a siker nem marad el! Egyéni felkészítés hatékonyan, gyorsan, rugalmas időbeosztással! Próbáld ki!

Megoldás:

Megoldás Ha a határértéket egy konkrét pontban akarjuk megadni, akkor első lépésként mindig próbáljuk meg behelyettesíteni a függvénybe az adott pontot. Jelen esetben az x=0-t. Folytassuk az x=0 ponttal! Ha a behelyettesítéssel egy konkrét számot kapunk, akkor a kapott szám a keresett határérték, azaz jelen esetben:

Slide6:

Gondod van valamelyik tárggyal a lentiek közül? Hidd el, nem nehezek, csak egy jó tanár kell hozzá! Készülj fel a vizsgákra az oldal szerkesztőjénél és a siker nem marad el! Egyéni felkészítés hatékonyan, gyorsan, rugalmas időbeosztással! Próbáld ki!

Megoldás:

Megoldás Folytassuk az x=3 ponttal! Első lépésként próbáljuk meg be helyettesíteni a 3-at! Mivel ebben az esetben a nevező 0 lenne, így behelyettesítéssel nem lehet meghatározni a határértéket. Ilyen esetben a második lépés, hogy megpróbáljuk a kifejezést átalakítani oly módon, hogy be tudjunk helyettesíteni. Ha egy kifejezés két másodfokú polinom hányadosa, akkor jusson eszünkbe az alábbi átalakítási lehetőség. A fenti azonosság alapján a másodfokú kifejezések szorzattá alakíthatók a gyökeik felhasználásával. Oldjuk meg a számlálóban és a nevezőben lévő másodfokú egyenleteket 0-ra és a gyökök segítségével végezzük el az átalakítást! Egyszerűsítsünk!

Megoldás:

Megoldás Próbáljunk meg újra behelyettesíteni az x=3-at!

Slide9:

Gondod van valamelyik tárggyal a lentiek közül? Hidd el, nem nehezek, csak egy jó tanár kell hozzá! Készülj fel a vizsgákra az oldal szerkesztőjénél és a siker nem marad el! Egyéni felkészítés hatékonyan, gyorsan, rugalmas időbeosztással! Próbáld ki!

Megoldás:

Megoldás Következzen az x=-2 pont! Első lépésként próbáljuk meg a behelyettesítést! Ismét 0 lenne a nevező, ezért próbálkozzunk a kifejezés átalakításával oly módon, ahogy az előbb is tettük. Próbálkozzunk újra az x=-2 behelyettesítésével! Továbbra is 0 a nevező. Ha átalakítások révén sem tudunk behelyettesíteni, akkor a harmadik lépésként szorzattá bontjuk a kifejezést. A szorzat első tagjába be tudunk helyettesíteni. Jól látszik, hogy a törtbe a nevezője miatt nem tudunk behelyettesíteni. Ilyen esetben ábrázoljuk a törtet.

Megoldás:

Megoldás -2 Ha egy kifejezésbe nem tudunk behelyettesíteni, mert 0-val kellene osztani, akkor vizsgáljuk a kifejezés határértékét jobbról és balról külön! Ha jobb oldalról (a pozitív számok felől) vizsgáljuk a függvényt, akkor láthatjuk, hogy a függvény a végtelenbe tart. Ha bal oldalról (a negatív számok felől) vizsgáljuk a függvényt, akkor láthatjuk, hogy a függvény a negatív végtelenbe tart. Tehát a vizsgált tört határértéke attól függ, hogy melyik oldalról vizsgáljuk. Ezt a következőképp jelöljük:

Megoldás:

Megoldás Térjünk vissza a vizsgált függvényhez! Mivel az előbb arra jutottunk, hogy a tört határértéke attól függ, hogy melyik oldalról nézzük, a függvény határértékét is külön kell vizsgálni ennek megfelelően. A szorzat első tagjánál elvégezhetjük a behelyettesítést! Az eredmény alapján tehát a függvény jobb oldalról a negatív végtelenbe, bal oldalról pedig a pozitív végtelenbe tart. Fontos tétel, hogy egy függvénynek csak akkor van határértéke egy adott pontban, ha van jobb és van bal oldali határértéke és a kettő azonos. Jelen esetben a jobb és bal oldali határértékek különböznek, így a függvénynek nincs határértéke az x=-2 pontban.

Slide13:

Gondod van valamelyik tárggyal a lentiek közül? Hidd el, nem nehezek, csak egy jó tanár kell hozzá! Készülj fel a vizsgákra az oldal szerkesztőjénél és a siker nem marad el! Egyéni felkészítés hatékonyan, gyorsan, rugalmas időbeosztással! Próbáld ki!

2. Feladat:

2. Feladat

Megoldás:

Megoldás Ha egy függvény határértékét az x=0 pontban vizsgáljuk és a függvényben megjelenik egy szögfüggvény, akkor az esetek nagy részében az alábbi tételt kell használnunk: A tétel alkalmazásához az szükséges, hogy a tört másik részében az álljon, ami a szinuszon belül van. Esetünkben arra lenne szükség, hogy a sin5x alatt 5x álljon, a sin8x felett pedig 8x. Ezt a legkönnyebben úgy tudjuk elérni, hogy oda írjuk ezeket a tagokat, ahol látni szeretnénk őket. Írjuk fel a törtet szorzat alakban! Ez egy szimpatikus forma, de sajnos az előbbi lépésben megváltoztattuk a kifejezés értékét.

Megoldás:

Megoldás Ebben a felírásban jól látszik, hogy x-el lehet egyszerűsíteni, tehát olyan, mintha az x ott sem lenne. Hagyjuk azonban ott! Ha az x-szel csak gondolatban egyszerűsítünk, akkor jól látszik, hogy azzal, hogy „beleírtunk” a kifejezésbe, lényegében csak annyit tettünk, mintha megszoroztuk volna az eredeti függvényt 8/5-del. Ezt úgy tudjuk korrigálni, hogy megszorozzuk a függvényt 5/8-dal. Tegyük meg! Ezzel helyreállítottuk a kifejezés eredeti értékét, és tudjuk alkalmazni a feladat elején bemutatott tételt annak köszönhetően, hogy az előbb nem egyszerűsítettünk x-szel.

Slide17:

Gondod van valamelyik tárggyal a lentiek közül? Hidd el, nem nehezek, csak egy jó tanár kell hozzá! Készülj fel a vizsgákra az oldal szerkesztőjénél és a siker nem marad el! Egyéni felkészítés hatékonyan, gyorsan, rugalmas időbeosztással! Próbáld ki!

3. Feladat:

3. Feladat

Megoldás:

Megoldás Mivel a határértéket egy konkrét pontban, az x=5 pontban keressük, első lépésként próbáljunk meg behelyettesíteni. Láthatjuk, hogy a nevező 0 lenne, így második lépésként próbáljuk meg átalakítani a kifejezést. Ha egy kifejezésben megjelenik a gyök, akkor gyakran a kifejezés gyöktelenítése jelent megoldást. Ennek részleteit a sorozatoknál láthattad, így itt most csak az alkalmazás következik. Bontsuk fel a zárójelet! Alakítsuk át a nevezőben lévő kifejezést! Ha a számlálóban kiemelünk (-1)-et, akkor tudunk egyszerűsíteni. Ennél egyszerűbb alakra nem tudjuk hozni a kifejezést. Próbálkozzunk meg újra a behelyettesítéssel!

Megoldás:

Megoldás

Slide21:

Gondod van valamelyik tárggyal a lentiek közül? Hidd el, nem nehezek, csak egy jó tanár kell hozzá! Készülj fel a vizsgákra az oldal szerkesztőjénél és a siker nem marad el! Egyéni felkészítés hatékonyan, gyorsan, rugalmas időbeosztással! Próbáld ki!

4. Feladat:

4. Feladat

Megoldás:

Megoldás A függvények esetében is érvényes az a sorozatoknál megtanult tétel, mely szerint: Abból vehetjük észre, hogy erre van szükségünk, hogy észre vesszük, hogy a kifejezés egy hatvány, melynek alapjában és kitevőjében is megjelenik az „x”. Ilyen esetekben mindig a fenti tételt kell használni. A sorozatoknál megtanultuk, hogy első lépésben azt kell elérni, hogy a kifejezés alapjában megjelenjen az 1-es. Ezt úgy tudjuk elérni, hogy kiemeljük az „x-es” kifejezést a hatvány alapjában. Azaz jelen esetben az x 3 -t. Egyszerűsítsünk! Mivel egy törtet tagonként hatványozhatunk, illetve tagonként vehetjük a határértékét, írjuk át a kifejezést ennek megfelelően!

Megoldás:

Megoldás Mivel a számlálóban lévő 1-nek minden hatványa 1, így az alábbi határértéket kell meghatároznunk: Így már csak a nevezővel kell foglalkoznunk, ahol a tételünk alkalmazásához az is kell, hogy az egyes után pozitív előjel álljon. Ezt a sorozatoknál bemutatottak alapján az alábbi módon érhetjük el: Érdemes megszabadulni a törttől oly módon, hogy tudjuk, hogy a nevezőben lévő hatvány negatív hatványnak felel meg, azaz:

Megoldás:

Megoldás Ez a felírás már hasonlít a tételünkre, azonban a tétel alkalmazásához az is kell, hogy a nevezőben és a kitevőben azonos kifejezés álljon. Ehhez további átalakításra van szükség, amihez emlékeztetőül idézzük fel a hatványozás alábbi azonosságát! Tehát hatványt úgy hatványozunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Ennek alapján írjuk fel szorzatként a kifejezés kitevőjét és alkalmazzuk a bemutatott azonosságot! Ezzel sikerült elérnünk, hogy a kifejezés nevezőjében és kitevőjében ugyanaz álljon. Itt már alkalmazhatjuk a tételünket!

Megoldás:

Megoldás

Slide27:

Gondod van valamelyik tárggyal a lentiek közül? Hidd el, nem nehezek, csak egy jó tanár kell hozzá! Készülj fel a vizsgákra az oldal szerkesztőjénél és a siker nem marad el! Egyéni felkészítés hatékonyan, gyorsan, rugalmas időbeosztással! Próbáld ki!

5. Feladat:

5. Feladat Adjuk meg az A és B paraméterek azon értékeit, amelyekre az alábbi függvény folytonos!

Megoldás:

Megoldás A függvények folytonosságát pontonként lehet vizsgálni. Egyszerűen fogalmazva egy függvény akkor folytonos, ha a felrajzolásához nem kell felemelni a ceruzát. A megadott függvény három szakaszból áll. Az egyes szakaszokban lévő függvények folytonosak. Ilyenkor tehát azt kell biztosítani, hogy a függvény abban a pontban is folytonos legyen, ahol „átlép” egyik szakaszából a másikba. Ez jelen esetben az x=0 pont. Egy függvény akkor folytonos egy adott pontban, ha ott a függvény értéke megegyezik a határértékével. Azaz képletszerűen egy függvény folytonos egy tetszőleges x 0 pontban, ha Jelen esetben az x 0 pont a x=0 pont. Adjuk meg a függvény értékét ebben a pontban! A megadott függvény szerint a függvény értéke x=0 pontban B, azaz:

Megoldás:

Megoldás Ahhoz, hogy a függvény folytonos legyen ennek az értéknek meg kell egyeznie a függvény határértékével az x=0 pontban. Korábban láthattuk, hogy egy függvénynek akkor van egy adott pontban határértéke, ha jobb és bal oldali határértékek megegyeznek. Határozzuk meg a jobb és bal oldali határértékeket! Ha balról, azaz a negatív számok felől közeledünk a vizsgált x=0 ponthoz, akkor a függvény határértéke az alábbi: Első lépésben próbáljunk meg behelyettesíteni. Láthatjuk, hogy a nevező 0 lenne. Sajnos nincs lehetőség a függvény átalakítására sem, ezért a határérték meghatározásához ábrázoljuk a kitevőben lévő 1/x függvényt! 1/x Az ábrán láthatjuk, hogy ha balról közeledünk az x=0 ponthoz, akkor a függvény a negatív végtelenbe tart, így a keresett határérték:

Megoldás:

Megoldás Most nézzük meg a függvény határértékét a pozitív számok felől, azaz jobbról! Mivel a határértéket az x=0 pontban keressük és a függvényben megjelenik egy szögfüggvény, eszünkbe kell jutnia az alábbi nevezetes határértéknek: Emeljük ki a számlálóbál az A-t, a nevezőből pedig az x-et! Írjuk fel a törtet szorzat alakban! Itt már alkalmazhatjuk a tételünket. A szorzat harmadik tagjába pedig be lehet helyettesíteni.

Megoldás:

Megoldás Arra jutottunk, hogy a jobb oldali határérték A/2, míg a bal oldali határérték 1. Ahhoz, hogy a függvénynek legyen határértéke az x=0 pontban, a jobb és bal oldali határértékeknek meg kell egyezniük, azaz Ebből következően az A=2 feltételnek teljesülnie kell, hogy létezzen a függvénynek határértéke az x=0 pontban. Ahhoz azonban, hogy a függvény folytonos is legyen, arra is szükség van, hogy a határérték megegyezzen a függvény x=0 pontban felvett értékével, amit korábban kiszámoltunk, hogy B. A függvény határértékét és a függvény értékét egyenlővé téve kapjuk, hogy B=1. Az eredmények alapján tehát, ha A=2 és B=1, akkor a függvény folytonos az x=0 pontban.

Slide33:

Gondod van valamelyik tárggyal a lentiek közül? Hidd el, nem nehezek, csak egy jó tanár kell hozzá! Készülj fel a vizsgákra az oldal szerkesztőjénél és a siker nem marad el! Egyéni felkészítés hatékonyan, gyorsan, rugalmas időbeosztással! Próbáld ki!

authorStream Live Help