Hoja de actividades de Polinomios: Hoja de actividades de Polinomios Soluciones Juan José Expósito Jubete IES Juan José Gómez Quintana


Slide2: 2 Ejercicio 1. Sea el polinomio: P(x) = 5x – 3 + x5 + 2x2 + 3x4 – 2x2 – 3x + 5 – x5 – 4x3 ¿Está reducido? Redúcelo. ¿Es completo? ¿Porqué? ¿Está ordenado? Ordénalo. Halla el valor numérico del polinomio para x=–1? El polinomio reducido y ordenado será: P(x) = 3x4 – 4x3 + 2x +2 El polinomio no es completo. Le falta el término x2. El valor numérico para x=–1, será: P(–1) = 3 (–1)4 – 4 (–1)3 + 2 (–1) + 2 = 3 + 4 – 2 + 2 = 7 Como podéis observar es un polinomio de grado 4. (No 5 como parecía de inicio) Hemos sustituido en el polinomio reducido, no en el inicial, porque, evidentemente, resulta más sencillo Agrupamos términos semejantes P(x) = (5 – 3)x + (– 3 + 5) + (1 – 1)x5 + (2 – 2)x2 + 3x4 – 4x3 El polinomio reducido será: P(x) = 2x + 2 + 3x4 – 4x3 Juanjo Expósito


Slide3: 3 Ejercicio 3. Sean los polinomios: P(x) = 3x4 – 3x3 – 5x + 4 Q(x) = 3x3 + 2x2 – 6x + 5 Halla: a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x) c) 2P(x) – 3Q(x) a) P(x) +Q(x) = 3x4 – 3x3 – 5x + 4 + 3x3 + 2x2 – 6x + 5 P(x) +Q(x) = 3x2 + 2x2 – 11x + 9 P(x) –Q(x) = 3x4 – 6x2 – 2x2 + x – 1 b) P(x) –Q(x) = 3x4 – 3x3 – 5x + 4 – 3x3 – 2x2 + 6x – 5 c) 2P(x) –3Q(x) = 2(3x4 – 3x3 – 5x + 4) – 3(3x3 + 2x2 – 6x + 5) 2P(x) –3Q(x) = 6x4 – 6x3 – 10x + 8 – 9x3 – 6x2 + 18x – 15 2P(x) –3Q(x) = 6x4 – 15x3 – 6x2 + 8x – 7 Juanjo Expósito


Slide4: 4 Ejercicio 4. Sean los polinomios: P(x) = 3x4 – 2x2 – 3x +5 y Q(x) = – x2 + 2x – 3 Halla: P(x).Q(x) 3x4 +0x3 –2x2 –3x +5 –x2 +2x –3 – 9x4 +0x3 +6x2 +9x – 15 +6x5 +0x4 – 4x3 – 6x2 +10x – 3x6 +0x5 +2x4 +3x3 – 5x2 – 7x4 – x3 – 5x2 +19x – 15 +6x5 – 3x6 x Haz clic una vez y espera, la multiplicación se hará paso a paso. Juanjo Expósito


Slide5: 5 Ejercicio 5. Realiza la siguiente división de polinomios y comprueba el resultado mediante la prueba de la división: a) (6x4 + x3 + 28x2 + 3) : (3x2 – 4x + 2) 6x4 +x3 +28x2 +0x +3 3x2 –4x +2 6x4 3x2 = 2x2 2x2 –4x2 +8x3 –6x4 +9x3 +24x2 +0x a) 9x3 3x2 = 3x +3x –6x +12x2 –9x3 +36x2 –6x +3 36x2 3x2 = 12 +12 –24 +48x –36x2 +42x –21 cociente resto Haz clic una vez y espera, la división se hará paso a paso. Juanjo Expósito


Slide6: 6 Ejercicio 5. Realiza la siguiente división de polinomios y comprueba el resultado mediante la prueba de la división: b) ( 4x5 – 4x4 – 11x3 + 22x2 – 5 ) : ( 2x2 + x – 4 ) 4x5 –4x4 –11x3 +22x2 +0x 2x2 +x –4 4x5 2x2 = 2x3 2x3 +8x3 –2x4 –4x5 –6x4 –3x3 +22x2 b) –6x4 2x2 = –3x2 –3x2 –12x2 +3x3 –6x4 10x2 +0x 10x2 2x2 = 5 +5 –5x –10x2 –5x +15 cociente resto –5 –5 +20 Haz clic una vez y espera, la división se hará paso a paso. Juanjo Expósito


Slide7: 7 Ejercicio 6. Efectúa las siguientes operaciones y reduce términos semejantes: a) ( 2x – 3 ).( x + 5 ) – ( x2 + 5x – 8 ) – ( 3x + 2 ).( x – 4 ) (2 – 1 – 3)x2 + (10 – 3 – 5 + 12 – 2)x + (– 15 + 8 + 8) = a) 2x2 + 10x – 3x – 15 – x2 – 5x + 8 – 3x2 + 12x – 2x + 8 = (2x2 + 10x – 3x – 15) – (x2 + 5x – 8) – (3x2 – 12x + 2x – 8) = Multiplicamos los dos primeros paréntesis y los dos últimos, haciendo uso de la propiedad distributiva: Cambiamos el signo de todos los términos de los paréntesis con signo menos delante: Agrupamos términos semejantes y sumamos los coeficientes: –2x2 + 12x + 1 resultado final Juanjo Expósito


Slide8: 8 a) b) c) ( a – 2b )2 =(a)2 – 2.(a).(2b) + (2b)2 = a2 – 4ab + 4b2 (3x – 2a).(3x + 2a) =(3x)2 – (2a)2 = 9x2 – 4a2 Ejercicio 7. Desarrolla los siguientes productos notables: 2 1 2 a + 2 1 2 a + 1 2 = a2 + a + 1 2 2 2.a 2 12 22 1 4 = (a)2 + 2.(a). + = a2 + + a) ( a – 2b )2 b) ( 3x – 2a ).( 3x + 2a ) c) Juanjo Expósito


Slide9: 9 Ejercicio 8. Efectúa las siguientes operaciones y reduce términos semejantes: a) ( 2x – 3 )2 + ( 2x – 3 ).( 2x + 3 ) – x.( 8x – 2 ) (4 + 4 – 8)x2 + (– 12 + 2)x + (9 – 9)= a) 4x2 – 12x + 9 + 4x2 – 9 – 8x2 + 2x = (4x2 – 12x + 9) + (4x2– 9) – 8x2 + 2x= Desarrollamos haciendo uso de los productos notables y multiplicando paréntesis utilizando la propiedad distributiva: Quitamos paréntesis. Como son positivos no cambia el signo de los términos: Agrupamos términos semejantes y sumamos los coeficientes: – 10x Juanjo Expósito


Slide10: 10 Ejercicio 8. Expresa como producto de factores: b) a2 – 9b2 c) x2 + 10x + 25 b) Lo primero que vemos es que tenemos una diferencia de cuadrados: (a)2 – (3b)2 Entonces se puede poner como suma por diferencia: (a)2 – (3b)2 = (a + 3b)(a – 3b) c) Lo primero que vemos es que no tenemos ningún factor común en los tres términos, por tanto no podemos sacar factor común. Pero vemos que son tres términos y dos de ellos son cuadrados de dos monomios de la forma: (x)2 – 10x + (5)2 Sólo nos falta comprobar que el tercer término es el doble producto del primero por el segundo y vemos que se trata del cuadrado de una diferencia : (x)2 – 2(x)(5) + (5)2 = (x – 5)2 Juanjo Expósito


Slide11: 11 Ejercicio 10. Expresa como producto de factores: a) 10x3y – 5x2y2 + 15x2y a) 5x2y (2x – y + 3) Lo primero que vemos es que hay factores comunes en todos los términos, por tanto podemos sacar factor común: Podemos extraer el factor 5x2y: Quedando definitivamente: 10x3y 5x2y 5x2y2 5x2y 15x2y 5x2y 5x2y – + Juanjo Expósito


Slide12: 12 Ejercicio 11. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) b) c) d) 3a2b ab = 3a 3a2b ab 3x – 6y 9x 3x – 6y 9x = 3(x – 2y) 9x = x – 2y 3x 4x + 4y x + y 4(x + y) x + y = = 4 x2 – 4 3x + 6 = (x – 2)(x – 2) 3(x + 2) = x – 2 3 4x + 4y x + y x2 – 4 3x + 6 a) b) c) d) Juanjo Expósito


Slide13: 13 a) z2 + 6z + 9 z2 - 9 (z)2 + 2.(z).(3) + (3)2 (z)2 - (3)2 = = (z + 3)2 (z + 3)(z - 3) = z + 3 z - 3 b) 6xy - 3y2 4x2 - y2 = (2x)2 - (y)2 3y(2x - y) (2x + y).(2x - y) = 3y(2x - y) = 2x + y 3y c) 2b3 - 8bc4 3b + 6c2 = 2b(b2 - 4c4) 3(b + 2c2) = 2b(b + 2c2)(b - 2c2) 3(b + 2c2) = 2b(b - 2c2) 3 d) 4x4 - 12x2z + 9z2 (4x4 - 9z2) (10x2 - 15z) = (2x2 - 3z)2 (2x2 + 3z) (2x2 - 3z).5.(2x2 – 3z) 1 5 (2x2 + 3z) = Ejercicio 11. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas : z2 + 6z + 9 z2 - 9 4x2 - y2 6xy - 3y2 2b3 - 8bc4 3b + 6c2 4x4 - 12x2z + 9z2 (4x4 - 9z2) (10x2 - 15z) a) b) c) d) Juanjo Expósito