Ejercicios de distribución normal estándar y área bajo la curva

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autora Luz Hernández

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slide 1:

1. Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de 14.0 a Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p75 ≤ x ≤ 90 z z p75 ≤ x ≤ 90 0.7611 – 0.3594 0.4017 b Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor. px ≤ 75 z px ≤ 75 0.3594 c Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0 p55 ≤ x ≤ 70 z z p55 ≤ x ≤ 70 0.2389 – 0.0367 0.2022 2. Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en Down River Federal Savings tiene una distribución normal una media de 70000 y una desviación estándar de 20000. Esta mañana se recibió una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que: EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR µ 80 σ 14 z Probabilidad acumulada. 0.7611 0.3594 Probabilidad acumulada. 0.3594 Probabilidad acumulada. 0.2389 0.0367 µ 7000 σ 2000 z EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR 75 80 90 μ 75 80 μ 55 70 80 μ

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a El monto solicitado sea de 80000 o superior px≥80000 z – px ≥ 80000 1 – 0.6915 0.3085 b El monto solicitado oscile entre 65000 y 80000 p65000 ≤ x ≤ 80000 z – z – p65000 ≤ x ≤ 80000 0.6915 – 0.4013 0.2902 c El monto solicitado sea de 65000 o superior. px≥65000 z – px ≥ 65000 1 –0.4013 0.5987 3. Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de 250000 habitantes la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5 minutos. Probabilidad acumulada. 0.6915 Probabilidad acumulada. 0.6915 0.4013 Probabilidad acumulada. 0.4013 µ 38.3 min. σ 7.5 min. z EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR 70000 80000 μ 65000 70000 80000 μ 65000 70000 μ

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a ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos p x≤30 z – p x ≤ 30 0.1335 13.35 b ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos p30 ≤ x ≤ 35 z – z – p30 ≤ x ≤ 35 0.3300 – 0.1335 0.1965 19.65 c ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos p30 ≤ x ≤ 40 z – z – p30 ≤ x ≤ 40 0.5910– 0.1335 0.4575 45.75 4. Una distribución normal tiene una media de 80 y una desviación estándar de 14. Determine el valor por encima del cual se presentará 80 de las observaciones. Probabilidad acumulada. 0.1335 Probabilidad acumulada. 0.3300 0.1335 Probabilidad acumulada. 0.5910 0.1335 µ 80 σ 14 Probabilidad acumulada. 80 .8000 z EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR 30 38.3 μ 30 35 38.3 μ 30 38.3 μ

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En este ejemplo ya no se tiene que calcular la probabilidad área entre valores dados de x sino que se tiene que calcular el o los valores de x a partir de porcentajes ó probabilidades que representan el valor de z. Y para encontrar el valor de x tenemos que sustituir el valor de z en la formula y después despejar x. Al conocerse el porcentaje del cual queremos obtener un valor x en este caso 80 se debe tomar en cuenta que este 80 también representa una probabilidad de .8000 esta probabilidad se la vamos a restar a 1 porque lo que queremos saber es a partir de qué valor de x empieza ese 80 de observaciones es decir por encima de ese valor. Entonces tenemos que: 1 – 0.8000 0.2000. Este resultado que también es una probabilidad la tenemos que localizar en una tabla de probabilidades acumuladas de la distribución normal estándar y así encontraremos el valor z que le corresponde al ubicar este valor lo podemos sustituir en la formula y encontrar x. a Buscar en la tabla de probabilidades de la distribución normal estándar el valor de z que tenga la probabilidad .2000 o la probabilidad que más se le acerque a esta. b El valor de z que corresponde a esta probabilidad es -0.84. c Ahora ya se puede sustituir z en la formula y encontrar el valor de x. -0.84 -0.84 14 x – 80 -11.76 x – 80 -11.76 + 80 x z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 … … … … … … … … … … … … … … … … − 0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 − 0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 − 0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 − 0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 − 0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 … … … … … … … … 80 ó 0.8000 20 ó 0.2000 X X z

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x 68.24 5. Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond Virginia tiene una distribución normal con una media de 1200 y una desviación estándar de 225. Al fabricante le gustaría establecer niveles de inventario de manera que solo haya 5 de probabilidad de que se agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de inventario 1 - 0.0500 0.9500 Valor z 1.65 1.65 – x 1571.25 6. En 2004 y 2005 el costo medio anual para asistir a una universidad privada en Estados Unidos era de 20082. Suponga que la distribución de los costos anuales se rigen por una distribución de probabilidad normal y que la desviación estándar es de 4500. El 95 de los estudiantes de universidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad X 68.24 EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR µ 1200 σ 225 Probabilidad acumulada. 5 .0500 z z 5 ó 0.0500 µ 20082 σ 4500 Probabilidad Valor acumulada.de z 95 .9500 z X 1571.25

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1.64 – x 27462. 7. El fabricante de una impresora láser informa que la cantidad media de páginas que imprime un cartucho antes de reemplazarlo es de 12200. La distribución de páginas impresas por cartucho se aproxima a la distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 820 páginas. El fabricante desea proporcionar lineamientos a los posibles clientes sobre el tiempo que deben esperar que les dure un cartucho. ¿Cuántas páginas debe indicar el fabricante por cartucho si desea obtener 99 de certeza en todo momento 1 -0.99 0.01 Valor z - 2.33 - 2.33 – z X 27462 75 95 ó 0.9500 EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR z 99 ó 0.9900 µ 12200 σ 820 Probabilidad acumulada. 99 .9900 z

slide 7:

x 10289.4 Lind D. A. W. G. Marchal y S. A. Wathen. 2008. Estadística aplicada a los negocios y a la economía. 13 a ed. México: McGraw-Hill. 239 - 242. BIBLIOGRAFÍA X 14110.6

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