Fundamentos de Matematicas-MEGALIBROS

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS ESPOL Para Bachillerato LÓGICA-NÚMEROS-FUNCIONES-TRIGONOMETRÍA-MATRICES-GEOMETRÍA PLANA GEOMETRÍA DEL ESPACIO-VECTORES-GEOMETRÍA ANALÍTICA-ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS Para Bachillerato ISBN 9978-310-31-2 ISBN 978-9978-310-31-1 9 789978 310311 Instituto de Ciencias Matemáticas Presión 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 59 68 77 86 95 104 113

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El Instituto de Ciencias Matemáticas ICM de la Escuela Superior Politécnica del Litoral responsable de la enseñanza de una de las ciencias básicas del conocimiento humano tiene como parte de su Misión: “Definir lineamientos y elevar el nivel de la Educación Matemática en el país” consecuente con este principio ha creído conveniente diseñar y desarrollar el presente texto como un apoyo dirigido a los estudiantes del Bachillerato. Este libro revisa temas básicos de nivel secundario y por su amplitud y profundidad constituye una guía necesaria dentro de su proceso de aprendizaje. El presente texto ha sido estructurado de tal manera que sea de fácil lectura y comprensión asequible para estudiantes de colegios que requieran fortalecer su formación matemática preparándose así para enfrentar los retos que la vida universitaria les depare. Los profesores podrán encontrar una ayuda didáctica en la organización y el contenido de sus clases de tal manera que se logre homogeneidad en la simbología y lenguaje matemáticos utilizados. Además el colorido de sus páginas facilita la visualización de los capítulos y temas tratados. Los ejercicios resueltos tienen como objetivo que el estudiante profundice sus conocimientos conforme los va adquiriendo y han sido desarrollados de manera tal que progresivamente se los aplique empezando por lo más elemental hasta llegar a lo más complejo. Adicionalmente la orientación del texto fomenta la investigación de los temas tratados avanzando así en el conocimiento hacia su consolidación. La cristalización de esta obra se debe a la calidad académica de un equipo de profesores del ICM integrado por los ingenieros Miriam Ramos Guillermo Baquerizo y Soraya Solís quienes con tesón esfuerzo y largas horas de trabajo plasmaron este texto. En esta era de continuo cambio tecnológico las Matemáticas son más importantes que nunca. Cuando los estudiantes terminen sus estudios de Bachillerato el uso de las Matemáticas en la etapa universitaria y luego en su trabajo y en la vida diaria les permitirá operar equipos de computación planificar horarios y programas leer e interpretar datos comparar precios administrar finanzas personales y ejecutar otros trabajos de resolución de problemas sobre cualquier tema. Todo lo que se aprenda en Matemáticas y la manera en que se adquiera ese conocimiento le proporcionará a los estudiantes de nuestro país una satisfacción personal y una excelente preparación para afrontar un futuro exigente y en constante cambio. Prólogo

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A las autoridades de la ESPOL. A los directivos del ICM. Al aporte significativo de las señoritas estudiantes Janett Loja y Evelyn Peña como responsables del proceso de digitalización de la información. Agradecimientos A los estudiantes de Bachillerato que requieren profundizar sus conocimientos matemáticos y forjar las bases necesarias para acceder con paso firme al nivel superior de estudios. Dedicatoria

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CAPÍTULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS Introducción....................................................................... 7 1.1 PROPOSICIONES................................................................... Proposición.................................................................. Valor de verdad................................................................... Tabla de verdad................................................................... 8 9 10 10 1.2 OPERADORES LÓGICOS........................................................ Negación............................................................................ Conjunción....................................................................... Disyunción.................................................................... Disyunción exclusiva............................................................ Condicional..................................................................... Recíproca inversa contrarrecíproca....................................... Condiciones necesarias y suficientes...................................... Bicondicional..................................................................... 11 12 13 14 14 15 16 17 19 1.3 PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS.......................... Proposiciones simples y compuestas...................................... 20 20 1.4 FORMAS PROPOSICIONALES................................................ Variables proposicionales...................................................... Formas proposicionales........................................................ Tautología contradicción contingencia.................................... Implicación lógica................................................................ Equivalencia lógica.............................................................. 22 22 22 23 24 25 Tabla de Contenido

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1.5 PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LÓGICOS....................... Leyes de los operadores fundamentales Conjunción y Disyunción........ Leyes de los operadores Negación Condicional y Bicondicional..... Leyes de las Implicaciones Lógicas........................................... 25 26 26 27 1.6 RAZONAMIENTOS................................................................. Razonamientos.................................................................... Validez de un razonamiento....................................................... 29 29 30 1.7 DEMOSTRACIONES............................................................... 1.7.1 Demostraciones directas................................................... 1.7.2 Demostraciones por contraposición.................................... 1.7.3 Demostraciones por contraejemplo.................................... 1.7.4 Demostraciones por reducción al absurdo........................... 33 33 34 35 36 1.8 CONJUNTOS.......................................................................... Conjunto........................................................................... Cardinalidad...................................................................... 1.8.1 Conjuntos relevantes................................................. 39 39 40 40 1.9 CUANTIFICADORES.............................................................. Cuantificador Universal........................................................ Cuantificador Existencial...................................................... Subconjunto....................................................................... Conjunto Potencia................................................................ 1.9.1 Relaciones entre conjuntos........................................... Igualdad entre conjuntos............................................. Conjuntos disjuntos e intersecantes.............................. 41 42 42 42 43 44 44 44 1.10 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS..................................... Unión entre conjuntos.......................................................... Intersección entre conjutos................................................... Diferencia entre conjuntos.................................................... Diferencia simétrica entre conjuntos...................................... Complementación de conjuntos............................................. 44 45 45 45 46 46 1.11 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Leyes de las operaciones fundamentales Unión e Intersección Otras leyes........................................................................ 47 47 48

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1.12 PREDICADOS...................................................................... Predicados de una variable................................................... Conjunto de verdad de un predicado....................................... Leyes de los conjuntos de verdad de predicados....................... Valor de verdad de proposiciones con cuantificadores............... 1.12.1 Leyes de los Cuantificadores........................................ 53 53 54 55 56 57 1.13 PARES ORDENADOS Y PRODUCTO CARTESIANO............ Par Ordenado....................................................................... Producto Cartesiano.............................................................. Plano Cartesiano................................................................... Cardinalidad del producto cartesiano....................................... Propiedades del producto cartesiano....................................... 58 59 59 59 60 61 1.14 RELACIONES....................................................................... Relación.............................................................................. Dominio de una Relación...................................................... Rango de una Relación......................................................... Representación sagital de una relación................................... 61 62 65 65 66 1.15 FUNCIONES....................................................................... Función........................................................................... Variable independiente....................................................... Variable dependiente......................................................... 1.15.1 Tipos de funciones................................................... Función Inyectiva...................................................... Función Sobreyectiva................................................. Función Biyectiva...................................................... Función Inversible..................................................... Función Inversa........................................................ Función Compuesta................................................... 67 68 68 68 70 70 71 72 72 73 73 CAPÍTULO 2 NÚMEROS REALES Introducción.......................................................................... 111 2.1 REPRESENTACIÓN DECIMAL................................................. Representación decimal de números racionales................... Representación decimal de números irracionales................. 113 114 115 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 79

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2.5 CONCEPTOS ASOCIADOS AL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS............................................................................. Divisores y Múltiplos de un número entero............................. Número Primo.................................................................... Número Compuesto............................................................ Teorema fundamental de la Aritmética.................................. Máximo Común Divisor........................................................ Mínimo Común Múltiplo....................................................... Números Pares e Impares................................................... 123 123 124 124 125 125 126 127 2.6 EXPRESIONES ALGEBRAICAS............................................... Expresión algebraica........................................................... 2.6.1 Propiedades de las fracciones....................................... 2.6.2 Propiedades de los exponentes.................................... 2.6.3 Productos notables..................................................... 2.6.4 Factorización............................................................. 2.6.5 Racionalización.......................................................... 129 129 130 133 137 139 144 2.7 VALOR ABSOLUTO................................................................ Tipos de intervalo.............................................................. Intervalo cerrado............................................................... Intervalo abierto................................................................ Intervalo semiabierto/semicerrado....................................... Intervalo con extremos infinitos.......................................... Valor absoluto.................................................................... Propiedades del valor absoluto............................................ 146 147 147 147 147 147 148 149 2.4 RELACIÓN DE ORDEN............................................................ 2.4.1 Relación de orden de números enteros.......................... Orden en ................................................................ 2.4.2 Relación de orden de números reales............................ Tricotomía de los Números Reales................................ 121 121 121 122 122 2.3 OPERACIONES ENTRE NÚMEROS REALES............................ Adición............................................................................ Multiplicación.................................................................... 119 120 120 2.2 OPERACIONES BINARIAS.................................................... Operación binaria............................................................... 2.2.1 Propiedades de las operaciones binarias ....................... 117 117 117

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2.8 ECUACIONES........................................................................ Identidad........................................................................ Ecuación.......................................................................... Propiedades de las igualdades............................................. 2.8.1 Ecuaciones lineales.................................................... 2.8.2 Ecuaciones cuadráticas.............................................. Fórmula general................................................................. Suma Algebraica de las Raíces de la Ecuación Cuadrática. Producto Algebraico de las Raíces de la Ecuación Cuadrática. 2.8.3 Ecuaciones con valor absoluto..................................... 2.8.4 Ecuaciones con radicales............................................ 2.8.5 Planteo de ecuaciones............................................... 154 154 155 155 156 159 161 166 166 167 168 170 2.9 INECUACIONES.................................................................... Desigualdad..................................................................... Inecuación..................................................................... 2.9.1 Inecuaciones lineales................................................. 2.9.2 Inecuaciones cuadráticas............................................ Propiedades de las desigualdades................................. 2.9.3 Inecuaciones con valor absoluto.................................. 2.9.4 Planteo de inecuaciones.............................................. 178 178 178 179 181 182 183 187 2.10 INDUCCIÓN MATEMÁTICA.................................................. 2.10.1 Axiomas de Peano.................................................... 2.10.2 Teorema de inducción............................................... Teorema de Inducción.............................................. 190 190 191 191 2.11 TÉCNICAS DE CONTEO........................................................ Factorial............................................................................ Combinatoria..................................................................... Propiedades de las Combinatorias........................................ 2.11.1 Principio de la suma................................................ 2.11.2 Principio de la multiplicación..................................... 2.11.3 Permutaciones y combinaciones................................ Permutaciones........................................................ Combinaciones........................................................ 196 196 197 198 199 200 202 203 204 2.12 TEOREMA DEL BINOMIO..................................................... Teorema del Binomio........................................................ 206 207 2.13 SUCESIONES..................................................................... Sucesión......................................................................... Progresiones Aritméticas..................................................... Progresiones Geométricas................................................... 210 211 212 218 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 225

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3.3 TIPOS DE FUNCIONES ........................................................... 3.3.1 Funciones Inyectivas.................................................. Función Inyectiva....................................................... Criterio de la recta horizontal...................................... 3.3.2 Funciones Sobreyectivas............................................ Función Sobreyectiva................................................. 3.3.3 Funciones Crecientes................................................. Función Creciente...................................................... Función Estrictamente Creciente.................................. 3.3.4 Funciones Decrecientes.............................................. Función Decreciente................................................... Función Estrictamente Decreciente.............................. Función Monótona.............................................................. 3.3.5 Funciones Pares o Impares.......................................... Función Par............................................................... Función Impar........................................................... 3.3.6 Funciones Periódicas.................................................. Función Periódica....................................................... 3.3.7 Funciones Acotadas................................................... Función Acotada........................................................ 259 260 260 260 261 261 261 262 263 264 264 265 266 266 266 267 267 267 269 269 CAPÍTULO 3 FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Introducción......................................................................... 251 3.1 FUNCIONES DE VARIABLE REAL............................................ Función de una variable real............................................... Dominio de una función de variable real.............................. Rango de una función de variable real................................. 251 252 253 254 3.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES............................. Gráfica de una función de variable real................................... Criterio de la recta vertical.................................................... 256 257 257 3.4 ASÍNTOTAS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL............................................................................... Asíntota Horizontal............................................................ Asíntota Vertical................................................................ 271 272 272 3.5 FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS............................... Aplicaciones de funciones definidas por tramos..................... 273 275 3.6 TÉCNICAS DE GRAFICACIÓN DE FUNCIONES..................... Desplazamientos............................................................... Reflexiones...................................................................... Compresiones o alargamientos............................................ Valores absolutos.............................................................. 275 276 278 280 282

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3.7 FUNCIONES LINEALES....................................................... Funciones Lineales............................................................. Rango de una Función Lineal............................................... Aplicación de funciones lineales........................................... 284 285 286 287 3.8 FUNCIONES CUADRÁTICAS................................................ Funciones Cuadráticas........................................................ 3.8.1 Forma canónica de la función cuadrática....................... 3.8.2 Rango de la función cuadrática................................... 3.8.3 Forma Factorizada de la Función Cuadrática.................. 3.8.4 Gráfica de la Función Cuadrática.................................. Aplicación de funciones cuadráticas..................................... 289 289 290 290 291 292 295 3.9 OPERACIONES CON FUNCIONES DE VARIABLE REAL............. Operaciones con Funciones................................................ Propiedades de las operaciones sobre los tipos de funciones....... Composición de Funciones de Variable Real........................... 296 296 297 302 3.10 FUNCIONES ESPECIALES.................................................... Función Valor Absoluto....................................................... Función Signo................................................................... Función Escalón................................................................ Función Máximo Entero o Entero Mayor................................ 304 305 305 306 306 3.11 FUNCIÓN INVERSA DE UNA FUNCIÓN BIYECTIVA................ Función Biyectiva............................................................... 311 312 3.12 FUNCIONES POLINOMIALES.............................................. Función Polinomial............................................................ 3.12.1 Gráficas de Funciones Polinomiales............................ Función Potencia........................................................... Cero de Multiplicidad m................................................. Teorema del Valor intermedio.......................................... 3.12.2 Operaciones con funciones polinomiales..................... Función racional............................................................ División Sintética.......................................................... Teorema del residuo...................................................... Teorema del factor........................................................ Forma anidada de una función polinomial....................... 3.12.3 Raíces de una ecuación polinómica............................ Teorema del número de ceros........................................ Regla de los signos de Descartes.................................... Teorema de los ceros racionales..................................... 314 315 315 315 317 319 320 322 322 324 326 327 328 328 328 329

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CAPÍTULO 4 TRIGONOMETRÍA Introducción.............................................................................. 397 4.1 ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS..................................................... Semirrecta....................................................................... Ángulo............................................................................. 4.1.1 Unidades angulares.................................................... Ubicación de los ángulos respecto a su medida............. 4.1.2 Clases de ángulos........................................................ Coterminales....................................................... Consecutivos............................................................. Adyacentes............................................................... Complementarios....................................................... Suplementarios......................................................... Opuestos por el vértice................................................ 4.1.3 Relación entre grados sexagesimales y radianes.............. 398 398 398 400 401 402 402 402 402 403 403 403 403 4.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES..................... Funciones trigonométricas................................................... Valores de las funciones trigonométricas de ángulos notables........ 406 407 411 4.3 GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS...................... Función Seno.................................................................... Función Coseno................................................................. Función Tangente.............................................................. Función Cotangente........................................................... Función Secante................................................................ Función Cosecante............................................................. 412 413 414 422 423 429 429 4.4 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS........................... Función seno inverso........................................................... Función coseno inverso........................................................ 430 430 431 3.13 FUNCIONES EXPONENCIALES.............................................. Función Exponencial........................................................... 3.13.1 Función Exponencial Natural...................................... Aplicación de la función exponencial............................ 332 333 338 340 3.14 FUNCIONES LOGARÍTMICAS............................................... Función Logarítmica........................................................... 3.14.1 Función Logaritmo Natural........................................ 3.14.2 Función Logaritmo Común........................................ 3.14.3 Propiedades de los logaritmos.................................. 3.14.4 Ecuaciones e inecuaciones exponenciales................... 3.14.5 Ecuaciones e inecuaciones logarítmicas...................... 342 343 347 347 352 354 359 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 367

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4.5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS....................................... Identidades Cocientes........................................................ Identidades Recíprocas....................................................... Identidades Pitagóricas....................................................... Identidades Pares o Impares............................................... Identidades de suma y diferencia de medidas de ángulos...... Identidades de ángulo doble................................................ Identidades de ángulo mitad............................................... Identidades de suma a producto........................................... Identidades de producto a suma.......................................... 436 436 436 437 437 440 446 447 451 452 CAPÍTULO 5 MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES. Introducción....................................................................... 475 4.6 ECUACIONES E INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS............... Ecuaciones trigonométricas................................................. Inecuaciones trigonométricas.............................................. 455 456 463 5.1 MATRICES.......................................................................... Matriz ............................................................................... Igualdad entre matrices...................................................... 5.1.1 Clases de matrices...................................................... Matriz fila.................................................................. Matriz columna.......................................................... Matriz rectangular...................................................... Matriz cuadrada......................................................... Matriz triangular superior............................................ Matriz triangular inferior.............................................. Matriz nula................................................................ Matriz diagonal.......................................................... Matriz escalar............................................................. Matriz identidad......................................................... 5.1.2 Operaciones con matrices............................................. Suma entre matrices................................................... Propiedades........................................................... Multiplicación de una matriz por un escalar..................... Propiedades........................................................... Multiplicación entre matrices....................................... Propiedades........................................................... Transposición de una matriz......................................... Matriz simétrica......................................................... 476 476 478 478 478 478 479 479 479 480 480 480 480 480 481 481 481 482 483 485 486 488 488 Función tangente inversa.................................................... Función cotangente inversa................................................. Función secante inversa...................................................... Función cosecante inversa.................................................. 431 431 432 432 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 467

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5.4 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES EN EL PLANO S.E.N.L........................................................................... Sistemas de ecuaciones no lineales..................................... 524 524 CAPÍTULO 6 NÚMEROS COMPLEJOS Introducción.............................................................................. 555 6.1 NÚMEROS COMPLEJOS........................................................... Números complejos............................................................ 556 557 5.5 SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES EN EL PLANO S.I.L. Conjunto factible............................................................... Programación lineal............................................................ 528 529 532 5.6 SISTEMAS DE INECUACIONES NO LINEALES S.I.N.L............. Sistemas de inecuaciones no lineales.................................. 535 535 6.2 OPERACIONES...................................................................... Suma entre números complejos.......................................... Propiedades...................................................................... Multiplicación de un número complejo por un valor real............... Propiedades...................................................................... Multiplicación entre números complejos................................ 560 561 561 561 561 562 5.2 DETERMINANTES.................................................................. Teorema 5.1...................................................................... Teorema 5.2...................................................................... Propiedades de los determinantes...................................... 495 496 496 499 5.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.................................... Sistemas de ecuaciones lineales........................................... Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales......... Representación de un sistema de ecuaciones lineales en forma de matriz aumentada................................................................... S. E. L. homogéneos............................................................ Solución de un S. E. L.......................................................... Métodos de Gauss y de Gauss Jordan................................... S. E. L. consistentes e inconsistentes........................................ Regla de Cramer................................................................. Teorema resumen.............................................................. 506 507 507 508 508 508 510 510 519 523 Matriz antisimétrica.................................................... Propiedades de la transposición de matrices............. Inversa de una matriz................................................. Propiedades de la inversa de una matriz.................... 488 489 491 492 Propiedades...................................................................... División entre números complejos........................................ 562 563 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 539

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6.4 NOTACIÓN DE EULER............................................................. Multiplicación entre números complejos............................... División entre números complejos....................................... Potenciación de números complejos..................................... Radicación de números complejos....................................... 566 568 568 568 573 6.3 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA............................................ Módulo y argumento de un número complejo......................... 565 566 6.5 APLICACIONES..................................................................... Funciones hiperbólicas........................................................ Funciones polinomiales....................................................... Teorema fundamental del Álgebra........................................ Otras aplicaciones.............................................................. EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 577 577 579 579 580 583 CAPÍTULO 7 GEOMETRÍA PLANA Introducción.............................................................................. 589 7.1 FIGURAS GEOMÉTRICAS........................................................ Punto............................................................................. Recta.............................................................................. Plano............................................................................... Puntos colineales............................................................... Puntos coplanares.............................................................. Semirrecta o rayo............................................................... Segmento de recta............................................................. Semiplano...................................................................... Convexidad...................................................................... Figuras autocongruentes..................................................... Figuras no autocongruentes................................................. 590 590 590 591 591 591 591 591 591 591 592 593 7.2 RECTAS EN EL PLANO............................................................ Perpendicularidad.......................................................... Propiedades de la perpendicularidad entre rectas................ Paralelismo...................................................................... Propiedades del paralelismo entre rectas............................. Propiedades de la perpendicularidad paralelismo e intersección entre rectas................................................................................. Rectas oblicuas.................................................................. 593 594 594 595 595 596 596 7.3 ÁNGULOS.............................................................................. Ángulos opuestos por el vértice............................................ Ángulos externos............................................................... Ángulos internos................................................................ Ángulos correspondientes................................................... Ángulos alternos externos................................................... 596 596 597 597 597 597

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7.4 POLIGONALES Y POLÍGONOS................................................. Poligonal...................................................................... Polígono Simple.................................................................. Diagonal.......................................................................... Nombres de polígonos de acuerdo a su número de lados............... Propiedades de los polígonos................................................ Polígono regular................................................................. 599 599 600 600 601 601 602 7.5 TRIÁNGULOS........................................................................ Triángulos........................................................................ Clasificación de triángulos por la longitud de sus lados.................. Clasificación de triángulos por la medida de sus ángulos.............. Propiedades de los triángulos.............................................. Rectas y puntos notables en el triángulo.............................. Bisectriz........................................................................ Incentro........................................................................ Circunferencia inscrita.................................................... Mediatriz....................................................................... Circuncentro.................................................................. Circunferencia circunscrita............................................... Altura........................................................................... Ortocentro.................................................................... Mediana...................................................................... Baricentro................................................................. Centro de gravedad........................................................ 603 604 604 604 605 605 606 606 606 606 606 606 606 606 607 607 607 7.6 SEMEJANZA Y CONGRUENCIA................................................ Teorema de Thales............................................................. Corolario del Teorema de Thales............................................ Semejanza y Congruencia de Polígonos.................................. Polígonos semejantes..................................................... Polígonos congruentes.................................................... Congruencia y semejanza de Triángulos.................................. Criterios para la congruencia de triángulos......................... Criterio LAL Lado-Ángulo-Lado.................................. Criterio ALA Ángulo-Lado-Ángulo............................... Criterio LLL Lado-Lado-Lado..................................... Criterios para la semejanza de triángulos.......................... Criterio AA Ángulo-Ángulo....................................... Criterio ALL Ángulo-Lado-Lado................................. Criterio LLL Lado-Lado-Lado..................................... 608 609 609 610 611 611 612 612 612 612 612 612 612 613 613 Ángulos alternos internos.................................................... Ángulos conjugados externos.............................................. Ángulos conjugados internos............................................... Propiedades de los ángulos.................................................. 597 597 597 598

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7.7 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS............................................... Teorema 7.2: De Pitágoras.................................................... Teorema 7.3....................................................................... Teorema 7.4....................................................................... Teorema 7.5: Ley de los Senos............................................. Teorema 7.6: Ley de los Cosenos.......................................... 7.7.1 Triángulos Rectángulos............................................... Ángulo de elevación y ángulo de depresión.................... 7.7.2 Triángulos Acutángulos u Obtusángulos........................ 617 618 618 618 619 620 621 622 628 7.8 CUADRILÁTEROS................................................................... Cuadrilátero............................................................... Paralelogramo................................................................. Propiedades de los paralelogramos.................................. Paralelogramos más utilizados............................................. Rectángulo................................................................... Cuadrado..................................................................... Rombo..................................................................... Romboide.................................................................... Trapecio.......................................................................... Trapezoide....................................................................... 635 635 635 635 636 636 636 636 636 636 636 7.9 PERÍMETRO Y ÁREA DE UN POLÍGONO................................... Perímetro de un polígono................................................... Superficie y área................................................................. Perímetro y área de polígonos más conocidos....................... Cuadrado.................................................................... Rectángulo................................................................... Triángulo................................................................. Paralelogramo............................................................ Rombo.................................................................... Trapecio.................................................................... 638 638 638 639 639 639 639 639 639 639 7.10 CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO.............................................. Circunferencia y círculo ...................................................... Elementos de la circunferencia y el círculo........................... Radio....................................................................... Cuerda........................................................................ Diámetro.................................................................... Arco.......................................................................... Secante........................................................................ Tangente..................................................................... Ángulos en la circunferencia................................................. Ángulo central................................................................ Ángulo inscrito............................................................... Ángulo interior................................................................ Ángulo exterior............................................................... Ángulo semi-inscrito........................................................ 645 645 645 646 646 646 646 646 646 648 648 649 649 649 649

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7.11 POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIAS........................................ Polígono inscrito o circunscrito............................................ Apotema.......................................................................... 654 655 655 7.12 FIGURAS CIRCULARES......................................................... Sector circular.................................................................... Segmento circular............................................................... Corona o anillo circular......................................................... Área del círculo................................................................... Área del sector circular......................................................... Área del segmento circular................................................... Área de la corona circular..................................................... 657 657 658 658 659 660 661 661 CAPÍTULO 8 GEOMETRÍA DEL ESPACIO Introducción............................................................................... 681 8.1 FIGURAS EN EL ESPACIO....................................................... Figuras no contenidas en el plano.......................................... 682 682 8.2 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO......................................... Rectas alabeadas............................................................... Posiciones de una recta respecto a un plano......................... Planos paralelos................................................................ Ángulo diedro.................................................................... Ángulo poliedro.................................................................. 683 683 684 684 685 685 8.3 CUERPOS GEOMÉTRICOS....................................................... Poliedro.......................................................................... Propiedades de un poliedro convexo............................. Diagonal del poliedro ....................................................... Nombre de poliedros según el número de caras.................. Poliedro Regular................................................................. Tipos de poliedros regulares .............................................. Tetraedro regular....................................................... Hexaedro regular....................................................... Octaedro regular........................................................ Dodecaedro regular.................................................... Icosaedro regular....................................................... 686 686 687 688 688 688 688 688 688 689 689 689 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 673

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8.4 PRISMAS............................................................................... Prisma ................................................................ Generatriz.................................................................. Altura del prisma............................................................ Prisma recto.................................................................. Prisma recto regular....................................................... Prisma oblicuo............................................................... Paralelepípedo............................................................... Ortoedro.................................................................. 689 690 690 690 690 690 691 691 691 8.5 PIRÁMIDES........................................................................... Pirámide......................................................................... Pirámide recta.................................................................... Pirámide regular................................................................. Apotema de la pirámide....................................................... Pirámide truncada.............................................................. 693 693 693 693 694 694 8.6 ÁREAS DE POLIEDROS........................................................... Tipos de áreas de prismas y pirámides................................. Área de poliedros regulares............................................... Áreas de las superficies de un prisma recto............................. Áreas de las superficies de una pirámide regular..................... Áreas de las superficies de una pirámide truncada regular........ 694 695 695 695 695 696 8.7 VOLUMEN DE POLIEDROS...................................................... Volumen del paralelepípedo recto rectangular.......................... Volumen del cubo............................................................... Volumen de una pirámide ................................................... Volumen de una pirámide truncada....................................... 701 701 701 702 703 8.8 CUERPOS DE REVOLUCIÓN.................................................... Superficie de revolución..................................................... Sólido de revolución............................................................ Cuerpos de revolución......................................................... Cilindro recto................................................................. Cono recto.................................................................... Cilindro de revolución...................................................... Cono de revolución......................................................... Área de la superficie lateral y de la superficie total de un cilindro recto Área de la superficie lateral y de la superficie total de un cono recto Cono truncado................................................................... Cono truncado de revolución................................................ Esfera sólida y superficie esférica........................................... Esfera sólida de revolución.................................................... Elementos de la esfera sólida y la superficie esférica............... Radio......................................................................... Diámetro..................................................................... Casquete esférico........................................................... 707 707 708 708 708 708 709 709 709 709 713 713 714 714 714 715 715 715

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CAPÍTULO 9 VECTORES EN EL ESPACIO Introducción................................................................................ 745 9.1 VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.............................. Magnitudes escalares ........................................................ Magnitudes vectoriales....................................................... Vector en el espacio............................................................. Magnitud de un vector..................................................... Vector cero.................................................................... Vectores iguales................................................................. 745 746 746 747 749 749 749 9.2 OPERACIONES ENTRE VECTORES........................................... Suma vectorial................................................................... Propiedades................................................................. Resta vectorial................................................................... Multiplicación de un vector por un escalar................................ Propiedades................................................................. Vectores paralelos.............................................................. Combinación lineal.............................................................. Espacio vectorial................................................................. Producto escalar................................................................. Propiedades................................................................. Medida del ángulo entre dos vectores...................................... Teorema 9.1: Ángulo formado entre dos vectores....................... Vectores ortogonales.......................................................... Teorema 9.2: Desigualdad de Cauchy-Schwarz......................... Desigualdad triangular........................................................ Norma de un vector............................................................. 750 750 751 752 753 753 754 756 756 759 759 760 760 760 762 763 764 9.3 VECTORES UNITARIOS.......................................................... Vector unitario................................................................... Proyecciones escalares y vectoriales...................................... Proyección vectorial............................................................ Proyección escalar.............................................................. 765 765 765 765 766 Huso esférico................................................................ Plano secante............................................................... Plano tangente.............................................................. Volúmenes de cuerpos de revolución..................................... Cilindro................................................................. Cono............................................................................ Cono truncado............................................................... Esfera sólida............................................................... 715 715 715 715 715 716 716 716 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 739

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9.4 PRODUCTO VECTORIAL......................................................... Producto vectorial................................................................ Propiedades............................................................... Teorema de la Norma del Producto Cruz.................................. Producto cruz de vectores i j k........................................... 769 769 770 771 771 9.5 APLICACIONES GEOMÉTRICAS DEL PRODUCTO VECTORIAL........... Área de la superficie de un paralelogramo............................. Volumen de un paralelepípedo............................................... Producto mixto.................................................................... 773 773 778 779 CAPÍTULO 10 GEOMETRÍA ANALÍTICA Introducción.......................................................................... 785 10.1 RECTAS EN EL PLANO........................................................... Recta............................................................................ 10.1.1 Distancia entre dos puntos.......................................... Distancia entre dos puntos........................................... 10.1.2 Punto medio de un segmento de recta........................ Teorema de: Punto medio de un segmento de recta.................. 10.1.3 Ecuación de la recta................................................... Ecuaciones paramétricas de la recta.............................. Forma simétrica de la ecuación de la recta....................... Forma general de la ecuación de la recta....................... Vector normal........................................................... 10.1.4 Pendiente de una recta............................................... Pendiente de una recta............................................... Ecuación de la recta punto – pendiente............................. Rectas paralelas........................................................ Rectas coincidentes................................................... Rectas secantes........................................................ Teorema de: Pendiente de rectas paralelas ......................... Teorema de: Pendiente de rectas perpendiculares ................. 10.1.5 Distancia de un punto a una recta................................. 786 786 787 788 789 790 793 794 795 795 796 798 798 800 804 804 804 804 806 807 10.2 SECCIONES CÓNICAS........................................................... 10.2.1 Circunferencia.......................................................... Circunferencia.......................................................... Forma canónica de la ecuación de una circunferencia.... Forma general de la ecuación de una circunferencia...... Cálculo de los elementos de una circunferencia............ Ecuación de la recta tangente a una circunferencia...... 811 813 813 813 814 817 819 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 781

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10.2.2 Parábola................................................................. Parábola.................................................................. Eje de simetría.......................................................... Vértice................................................................. Lado recto................................................................. Forma canónica de la ecuación de la parábola.................... Forma general de la ecuación de una parábola................. 834 834 834 834 834 834 837 10.2.3 Elipse...................................................................... Elipse................................................................... Eje mayor........................................................... Semieje mayor y semidistancia focal...................... Centro......................................................... Vértices............................................................. Lado recto.......................................................... Semieje menor.................................................... Excentricidad................................................... Cálculo de la longitud del eje menor.............................. Forma canónica de la ecuación de una elipse................. Ecuación de una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas............................................................ Eje mayor horizontal............................................ Eje mayor vertical............................................... Forma general de la ecuación de una elipse................. 844 844 844 844 844 844 844 844 844 844 845 846 846 846 846 10.2.4 Hipérbola................................................................ Hipérbola........................................................... Eje transverso.................................................... Eje conjugado.................................................... Centro............................................................ Distancia focal................................................... Vértices........................................................ Semieje conjugado............................................. Lado recto......................................................... Excentricidad................................................... Forma canónica de la ecuación de una hipérbola ........... Ecuación de la hipérbola con ejes paralelos a los ejes de coordenadas........................................................... Eje horizontal.......................................................... Eje vertical.............................................................. Asíntotas oblicuas de una hipérbola.............................. Hipérbola cuyo centro es O0 0............................ Hipérbola cuyo centro es Oh k........................... Eje transverso horizontal................................. Eje transverso vertical.................................... Hipérbolas conjugadas.............................................. Rectángulo auxiliar..................................................... Hipérbolas equiláteras............................................... Forma general de la ecuación de una hipérbola.............. 851 851 851 851 852 852 852 852 852 852 852 853 853 854 854 855 855 855 855 855 855 855 856

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CAPÍTULO 11 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES Introducción............................................................................... 875 Primera fase: Los censos................................................. Segunda fase: De la descripción de los conjuntos de la aritmética política..................................................................... Tercera fase: Cálculo de probabilidades.............................. 875 875 876 11.1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA................................................. Estadística descriptiva........................................................ Estadística inferencial......................................................... Método estadístico............................................................. Errores estadísticos comunes............................................. Sesgo.......................................................................... Datos no comparables.................................................... Proyección descuidada de tendencias................................ Muestreo incorrecto........................................................ Conceptos básicos.............................................................. Elemento o ente................................................................. Población......................................................................... Población finita.............................................................. Población infinita............................................................ Muestra.......................................................................... Variable.......................................................................... Variables Cuantitativas....................................................... Discretas.................................................................... Continuas................................................................... Variables Cualitativas o Atributos........................................ Ordinales.................................................................... Nominales................................................................... Clasificación de las variables............................................... Variables unidimensionales............................................. Variables bidimensionales............................................... Variables multidimensionales.......................................... Escala de medición de variables.......................................... Tipos de medidas.......................................................... 876 877 877 877 878 878 878 878 878 878 878 879 879 879 879 879 879 879 879 879 879 880 880 880 880 880 880 880 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 869 10.2.5 Lugares geométricos.................................................. 10.2.6 Excentricidad............................................................ 862 868

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11.5 MEDIDAS DE DISPERSIÓN................................................ Rango......................................................................... Varianza................................................................. Desviación Típica............................................................ 900 900 900 900 11.4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y NO CENTRAL............ Media aritmética............................................................ Mediana....................................................................... Moda.......................................................................... Medidas de tendencia no centrales........................................ Cuartiles................................................................... Deciles........................................................................ Percentiles................................................................ 894 894 895 896 898 898 898 898 11.6 PROBABILIDADES.............................................................. Experimento aleatorio......................................................... Espacio muestral................................................................ Evento o suceso.................................................................. Eventos mutuamente excluyentes........................................ Eventos complementarios..................................................... Probabilidad clásica............................................................ 901 902 902 903 903 904 904 11. 7 CONJUNTOS Y PROBABILIDADES....................................... Unión......................................................................... Intersección............................................................... Complemento............................................................. Subconjunto............................................................. Propiedades............................................................ Diagrama de árbol............................................................. Triángulo de Pascal............................................................ 907 907 907 908 908 910 912 920 11.3 GRÁFICOS DE REPRESENTACIÓN................................... Histograma............................................................. Poligonal de frecuencias................................................. Diagrama de tallo y hojas.............................................. 890 890 891 892 11.2 ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS..................................... Tablas de frecuencia........................................................... Tabla de tipo I................................................................ Tabla de tipo II.............................................................. Tabla de tipo III Tabla de intervalos............................. Tabla de distribución de frecuencias...................................... Frecuencia absoluta........................................................ Frecuencia absoluta acumulada........................................ Frecuencia relativa......................................................... Frecuencia relativa acumulada........................................ Modelos de tablas estadísticas............................................. 881 881 881 881 883 884 884 884 884 884 885

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Apéndice A Postulados de Euclides................................................ 933 Apéndice B Postulados.............................................................. Postulados de Cavalieri............................................... 935 935 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 927 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS.................................................. 937 GLOSARIO DE TÉRMINOS.................................................... BIBLIOGRAFÍA................................................................ 945 949

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1 Introducción Para que se pueda tener una idea global de esta obra a continuación se presenta un enfoque panorámico de sus componentes. El material del libro incluye: Tabla de Contenido: Representa el detalle del índice temático de esta obra para que el lector pueda ubicar de manera rápida los tópicos de su interés. Once Capítulos: Los cuales han sido seleccionados en base a las exigencias actuales del conocimiento que debe adquirir un estudiante del bachillerato. Cada capítulo se puede diferenciar del resto ya que se han utilizado colores distintos. Glosario de Términos: Contiene el significado de expresiones que se utilizan en este texto con el propósito de no dejar dudas o imprecisiones.

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2 Los once capítulos a los cuales se hace referencia son: • Lógica y Conjuntos: Con el uso de la Lógica Matemática como lenguaje se establecen criterios de verdad se emplean métodos de análisis y razonamiento y se usan implicaciones y equivalencias lógicas para conocer cómo se realiza una demostración. Considerando que los conjuntos constituyen uno de los conceptos básicos de las matemáticas se puede obtener una descripción detallada de los fundamentos de la Teoría de Conjuntos. Ambos conceptos se enlazan de manera lógica para plantear el tema de funciones sobre conjuntos finitos tema de trascendental importancia en el conocimiento matemático. • Números Reales: En la parte aritmética se desea que el estudiante recuerde las operaciones fundamentales sobre los números un tema relevante lo constituyen la manipulación de fracciones y los radicales. Cuando se utiliza el Álgebra se espera que el estudiante adquiera destrezas mínimas como objeto de estudio de cantidades que pueden considerarse en la forma más general posible. El planteo y resolución de problemas es fundamental en la formación profesional del futuro ingeniero. • Funciones de una Variable Real: El concepto de función se refiere a toda correspondencia matemática que cumpla con las condiciones de existencia y unicidad. Se tratan los diferentes tipos y características que las funciones poseen haciendo especial énfasis en su graficación como requisito indispensable para los cursos de cálculo. Las aplicaciones de este tema merecen especial atención pues se reconocerá la utilidad particular de las funciones lineales cuadráticas exponenciales y logarítmicas en diversas situaciones que ocurren a nuestro alrededor. • Trigonometría: Las razones trigonométricas son la base fundamental de numerosas aplicaciones matemáticas y físicas por ello en este capítulo se conocerá el significado de cada una comprobando sus propiedades y relaciones en las denominadas identidades trigonométricas. Nuevamente el enfoque gráfico es prioritario para el estudio de las funciones trigonométricas y sus correspondientes inversas. • Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones: Para el modelamiento de múltiples ecuaciones se introduce el concepto de matriz con sus diferentes clasificaciones. La aplicación del determinante nos permitirá distinguir entre matrices singulares y regulares así como resolver sistemas de ecuaciones lineales. Mientras que para resolver sistemas de ecuaciones no lineales y de inecuaciones se utilizará el análisis gráfico propuesto en el capítulo de Funciones de una Variable Real. • Números Complejos: Se ha considerado este capítulo por la limitación de los números reales para resolver raíces de índice par de números negativos ampliando los conceptos ya tratados en el capítulo de Números Reales. También se muestra la relación que tienen estos números con las funciones exponenciales logarítmicas y trigonométricas.

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3 • Geometría Plana: El estudio de la geometría en el plano es de fundamental importancia ya que a partir de subconjuntos no vacíos se pueden establecer sus relaciones y propiedades así como calcular perímetros y áreas de superficies que utilizamos en nuestra vida diaria. • Geometría del Espacio: La profundización en esta parte de la geometría proveerá las referencias necesarias para construir cuerpos en tres dimensiones identificando sus elementos principales y estableciendo las expresiones necesarias para el cálculo de áreas de superficies laterales superficies totales y volúmenes. • Vectores: Se realiza un análisis vectorial en el plano y en el espacio con las diferentes operaciones permitidas entre ellos o con valores escalares. Se introducen los conceptos de combinación lineal y espacio vectorial fundamentos de un curso de Álgebra Lineal así como la aplicación geométrica del producto punto y producto cruz. • Geometría Analítica: En este capítulo se estudiarán definiciones y propiedades de figuras en el plano partiendo del planteamiento de igualdades condicionadas que llevarán a identificar lugares geométricos de rectas y cónicas estudiando sus gráficas elementos y características principales. • Estadística y Probabilidades: Aunque este tema puede resultar bastante extenso solamente nos enfocaremos en la estadística descriptiva y daremos una breve introducción a la teoría de Probabilidades. Se podrá organizar un conjunto de datos en forma tabular y realizar su representación gráfica encontrar las medidas de tendencia central y de dispersión y se utilizarán los conceptos del capítulo referente a Conjuntos para encontrar los elementos que corresponden a eventos de espacios muestrales y la probabilidad de su ocurrencia. Cada capítulo presenta el siguiente esquema: Introducción al tema: En donde el lector obtiene una referencia apropiada de cada capítulo mediante antecedentes históricos y biográficos así como de su importancia y trascendencia en las matemáticas.

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4 Normalmente esta introducción tiene la foto de un personaje que distingue de manera adecuada el tema que se comenzará a analizar. La foto incluye el nombre del personaje país de origen y período de vida. Inducción a la sección: En búsqueda de la coherencia con el propósito del nuevo material de lectura se prepara al lector con nexos para las diferentes secciones. Secciones: Cada capítulo ha sido dividido en temas de acuerdo a los conceptos que se pretende analizar. Estas agrupaciones denominadas secciones muestran de manera detallada cada tópico con la profundidad y aplicación que el caso amerita. También se puede contrastar con lo que se supone el lector ya conoce sobre el tema. Cada sección se encuentra numerada según corresponda al capítulo que se está analizando. Objetivos: Al iniciar cada sección el profesor puede plantear de manera específica en conjunto con sus estudiantes lo que se pretende lograr al finalizar la lectura de cada una de ellas. El cumplimiento de tales objetivos confirmará la comprensión de los diferentes conceptos.

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5 Teoremas: Proporcionan el material necesario para complementar la importancia del marco teórico de definiciones y demostraciones. Ejemplos resueltos: Representan aplicaciones concretas y directas a partir del análisis de cada tema. La complejidad de los mismos guarda un orden creciente en una misma sección. Algunos de los ejemplos seleccionados tienen relación con otras ramas de las ciencias y con la vida real. Definiciones: Estas declaraciones representan las propiedades y los significados más relevantes que el lector no debe olvidar.

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6 Ejercicios propuestos: Al finalizar cada capítulo se plantean ejercicios organizados por sección los mismos que tienen diversos grados de dificultad y se presentan en forma de preguntas de tipo Verdadero/Falso Opción Múltiple y de Desarrollo. La finalidad de estos ejercicios es promover el trabajo independiente y la autocrítica por parte del estudiante. En la parte final del texto se muestran las respuestas a los ejercicios propuestos exceptuando aquellos que requieren demostraciones o construcción de tablas y gráficas.

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7 pág. Todos estamos familiarizados con la idea de que algunas personas poseen una mentalidad lógica mientras que otras no. No siempre resulta sencillo seguir razonamientos o argumentos extensos para obtener conclusiones válidas. Nosotros trabajamos con argumentos dentro de la lógica aristotélica donde todo argumento debe ser o verdadero o falso no existe una tercera posibilidad. Para poder manejar y operar entre estos argumentos el lenguaje usual puede resultar ambiguo respecto a la validez de los argumentos. La frase: “Pon el sobre que te sobre sobre la mesa” sugiere que la palabra sobre tiene tres diferentes significados en la misma oración. Por ello se necesita de un lenguaje que sea más preciso: la lógica simbólica. Su propósito consiste en establecer un nuevo lenguaje el cual se pueda utilizar para simplificar el análisis de argumentos lógicos complicados. La lógica simbólica es la rama de las matemáticas que nos permite reconocer la validez de una argumentación así como también nos proporciona las herramientas de razonamiento necesarias para elaborar demostraciones irrefutables y convincentes. Una parte importante de las matemáticas son las definiciones éstas en general no responden a la pregunta ¿qué es sino a la pregunta ¿qué características tiene Además las definiciones tienen una parte conceptual ¿qué significa y una parte operativa ¿cómo se trabaja. Leibniz fue el primero en concebir este planteamiento cuando a la edad de 14 años intentó reformar la lógica clásica. En 1666 deseaba crear un método general en el cual todas las verdades de la razón serían reducidas a una especie de cálculos llamando a la lógica simbólica “característica universal”. El sueño de Leibniz no se realizó hasta que Boole separó los símbolos presentes en las operaciones matemáticas de los conceptos sobre los cuales operaban y estableció un sistema factible y sencillo de lógica simbólica. Capítulo 1 Lógica y Conjuntos Introducción Gottfried Leibniz matemático alemán 1646-1716

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8 pág. En 1854 Boole expuso sus ideas en su obra “An Investigation of the Laws of Thought” Investigación de las Leyes del Pensamiento. Desgraciadamente este trabajo no recibió buena aceptación y no fue sino hasta que los ingleses Bertrand Russell 1872-1970 y Alfred North Whitehead 1861-1947 utilizaron la lógica simbólica en su obra “Principia Mathematica” 1902 que el mundo de la matemática dio importancia a las ideas propuestas inicialmente por Leibniz alrededor de 250 años antes. El álgebra booleana constituye un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Es usada ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora el hardware trabaja con diferencias de voltaje las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. En este capítulo se tratará de responder a la pregunta ¿cómo podemos llegar a ser más lógicos Se pretende aplicar la lógica no solamente en el estudio de las ciencias sino también en la vida cotidiana. Es necesario poder comunicarse de manera inteligente con los demás se requiere adquirir capacidad para analizar los argumentos de nuestros dirigentes y legisladores necesitamos ser consumidores inteligentes para analizar las aseveraciones de los anunciantes. Bien sea que nos agrade o no la lógica es una parte importante del mundo que nos rodea y en este capítulo sentaremos las bases que nos ayudarán a ser definitivamente más lógicos. 1.1 Proposiciones Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dadas varias oraciones identificar cuáles son proposiciones y cuáles no justificando adecuadamente su respuesta. Identificar oraciones que representan proposiciones. George Boole matemático inglés 1815-1864 Señales de voltaje digitales que alimentan el hardware del computador. 1 0 1 0 v t

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 9 pág. Definición 1.1 Proposición Una proposición es una unidad semántica que o sólo es verdadera o sólo es falsa. La lógica es un método de razonamiento que no acepta conclusiones erróneas. Esto se puede lograr definiendo en forma estricta cada uno de los conceptos. Todo debe definirse de tal forma que no dé lugar a dudas o imprecisiones en la veracidad de su significado. Nada puede darse por supuesto y las definiciones de diccionario no son normalmente suficientes. Por ejemplo en el lenguaje ordinario un enunciado u oración se puede definir como “una palabra o grupo de palabras que declara pregunta ordena solicita o exclama algo unidad convencional del habla o escritura coherente que normalmente contiene un sujeto y un predicado que empieza con letra mayúscula y termina con un punto”. Sin embargo en lógica simbólica una oración tiene un significado mucho más específico y se llama proposición. Los elementos fundamentales de la lógica son las proposiciones. Por ello las oraciones que no son falsas ni verdaderas las que son falsas y verdaderas al mismo tiempo o las que demuestran algún tipo de imprecisión carecen de sentido no son objeto de estudio de la lógica. Ejemplo 1.1 Oraciones que son proposiciones. 5 es un número primo. ฀ 17 ฀ 38 ฀21. Todos los números enteros son positivos. Vicente Rocafuerte fue Presidente del Ecuador. Las oraciones anteriormente expuestas son proposiciones ya que son verdaderas o falsas. Todas ellas pueden ser calificadas por el lector con precisión y sin ambigüedades o subjetivismo. Usualmente las primeras letras del alfabeto español en minúscula se usan para representar proposiciones. Ejemplo 1.2 Representación simbólica de proposiciones. 5 es un número primo puede ser representada por la letra a de la forma: a: 5 es un número primo.

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10 pág. Ejemplo 1.3 Oraciones que no son proposiciones. Lava el auto por favor. Hola ¿cómo estás ¡Apúrate La conceptualización cambia lo absurdo en azul. x ฀ 5 ฀9. ¡Mañana se acabará el mundo Las primeras cuatro oraciones no son proposiciones porque no se puede establecer su valor de verdad. Generalmente las oraciones imperativas exclamativas e interrogativas no son proposiciones. El quinto enunciado no es una proposición ya que el valor de x no es preciso y por lo tanto no se puede establecer su valor de verdad. La sexta oración no es una proposición porque su valor de verdad no se puede determinar. Definición 1.2 Valor de verdad El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Éste puede ser verdadero o falso. Usualmente al valor verdadero se lo asocia con: 1 V T True mientras que el valor falso se lo asocia con: 0 F False. Se podría utilizar cualquiera de ellas pero la convención a seguir en el texto será el uso de 0 y 1 tomando como referencia el sistema de numeración binario. En el ejemplo 1.1 podemos observar que el valor de verdad de la segunda proposición es VERDADERO mientras que el valor de verdad de la tercera proposición es FALSO. Verdad y falsedad pueden considerarse simplemente como los valores lógicos de la unidad semántica descriptiva con sentido completo. Ese valor es lo que más nos interesa sobre una proposición. Definición 1.3 Tabla de verdad Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una proposición. Las tablas de verdad sirven para mostrar los valores las relaciones y los resultados posibles al realizar operaciones lógicas.

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 11 pág. Ejemplo 1.4 Construcción de tablas de verdad. a 0 1 La cantidad de combinaciones filas de la tabla de verdad depende de la cantidad de proposiciones presentes en la expresión lógica. a b 0 0 1 1 0 1 0 1 a b c 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1.2 Operadores Lógicos Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dada la definición de los operadores lógicos interpretar el comportamiento de estos operadores mediante su tabla de verdad. Dado un texto traducirlo al lenguaje simbólico identificando operadores lógicos y proposiciones presentes. Dada una proposición en el lenguaje simbólico interpretar su mensaje en lenguaje natural. Dada una condicional de proposiciones realizar parafraseos con las diferentes expresiones gramaticales existentes. Dada una condicional de proposiciones determinar su recíproca inversa y contrarrecíproca. Dada una proposición condicional verdadera analizar sus condiciones necesarias y suficientes. En nuestro lenguaje común usamos frecuentemente proposiciones más complejas no tan simples o elementales.

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12 pág. Surge entonces la necesidad de definir los nexos de estas proposiciones a los cuales se denominan conectores u operadores lógicos. Gramaticalmente estos nexos en su mayoría son denominados partes invariables de la oración. Definición 1.4 Negación Sea a una proposición la negación de a representada simbólicamente por a es una nueva proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: a a 0 1 1 0 Cuadro 1.1: Tabla de Verdad de la Negación. Este operador lógico cambia el valor de verdad de una proposición: si a es una proposición verdadera a es falsa si a es una proposición falsa a es verdadera. La negación se presenta con los términos gramaticales: “no” “ni” “no es verdad que” “no es cierto que”. Ejemplo 1.6 Negación de proposiciones. Si se tiene la proposición: a: Tengo un billete de cinco dólares. La negación de a es: a: No tengo un billete de cinco dólares. Ejemplo 1.7 Negación de proposiciones. Si se tiene la proposición: a: No quiero hacer el viaje. La negación de a es: a: Quiero hacer el viaje. Ejemplo 1.5 Proposiciones que no son simples. • No te encontré en tu casa. • Fui al banco y estaba cerrado. • Tengo una moneda de cinco centavos o una de diez centavos. • El carro de Juan o es azul o es negro. • Si me gano la lotería entonces me compro una casa. • Estudio en la ESPOL si y sólo si me esfuerzo.

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 13 pág. Ejemplo 1.9 Conjunción de proposiciones. Definición 1.5 Conjunción Sean a y b proposiciones la conjunción entre a y b representada simbólicamente por a b es una nueva proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: a b a b 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 Cuadro 1.2: Tabla de Verdad de la Conjunción. Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva en la cual la proposición resultante será verdadera solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es verdadero. En español la conjunción copulativa se presenta con los términos gramaticales: “y” “pero” “mas” y signos de puntuación como: la coma el punto y el punto y coma. Ejemplo 1.8 Conjunción de proposiciones. Si se tienen las proposiciones: a: Obtengo buenas notas. b: Gano una beca. La conjunción entre a y b es: a b: Obtengo buenas notas y gano una beca. Si se tienen las proposiciones: a: Trabajo mucho. b: Recibo un bajo sueldo. La conjunción entre a y b se puede expresar como: a b: Trabajo mucho pero recibo un bajo sueldo.

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14 pág. Definición 1.6 Disyunción Sean a y b proposiciones la disyunción entre a y b representada simbólicamente por a b es una nueva proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: a b a b 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 Cuadro 1.3: Tabla de Verdad de la Disyunción. Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva en la cual la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es falso. En español la disyunción se presenta con el término gramatical “o”. Ejemplo 1.10 Disyunción de proposiciones. Si se tienen las proposiciones: a: Tengo un libro de Trigonometría. b: Tengo un libro de Álgebra. La disyunción entre a y b es: a b: Tengo un libro de Trigonometría o uno de Álgebra. Como se podrá notar en este ejemplo existe la posibilidad de poseer ambos libros razón por la cual esta disyunción recibe el nombre de disyunción inclusiva. En el lenguaje español suelen presentarse situaciones que son mutuamente excluyentes entre sí. La expresión “o estoy en Quito o estoy en Guayaquil” denota la imposibilidad de estar físicamente en Quito y Guayaquil al mismo tiempo. Definición 1.7 Disyunción exclusiva Sean a y b proposiciones la disyunción exclusiva entre a y b representada simbólicamente por a b es una nueva proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: a b a b 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 Cuadro 1.4: Tabla de Verdad de la Disyunción Exclusiva.

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 15 pág. Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva en la cual la proposición resultante será verdadera cuando solamente una de ellas sea verdadera. En español la disyunción exclusiva se presenta con el término gramatical “o” “o sólo” “o solamente” “o... o...”. La disyunción exclusiva a b puede expresarse como: a ฀ b ฀ a ฀ b Ejemplo 1.11 Disyunción exclusiva de proposiciones. Si se tienen las proposiciones: a: Estoy en Quito. b: Estoy en Guayaquil. La disyunción exclusiva entre a y b es: a b: O estoy en Quito o estoy en Guayaquil. Definición 1.8 Condicional Sean a y b proposiciones la condicional entre a y b representada simbólicamente por a b es una nueva proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: a b a b 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 Cuadro 1.5: Tabla de Verdad de la Condicional. Este operador lógico también se denomina enunciación hipotética o implicación. En la proposición a b a es el antecedente hipótesis o premisa b es el consecuente conclusión o tesis y la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad del antecedente sea verdadero y el valor de verdad del consecuente sea falso. En español la proposición a b se puede encontrar con los siguientes términos gramaticales: “si a entonces b” “a sólo si b” “a solamente si b” “b si a” “si a b” “b con la condición de que a” “b cuando a” “b siempre que a” “b cada vez que a” “b ya que a” “b debido a que a” “b puesto que a” “b porque a” “se tiene b si se tiene a” “sólo si b a” “b pues a” “cuando a b” “los a son b” “a implica b” o cualquier expresión que denote causa y efecto.

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16 pág. Ejemplo 1.12 Condicional de proposiciones. Si se tienen las proposiciones: a: Juan gana el concurso. b: Juan dona 10 000. La condicional entre a y b es: a b: Si Juan gana el concurso dona 10 000. Parafraseando la condicional tenemos: • Juan gana el concurso sólo si dona 10 000. • Juan dona 10 000 si gana el concurso. • Si Juan gana el concurso entonces dona 10 000. • Juan dona 10 000 puesto que gana el concurso. • Juan dona 10 000 debido a que gana el concurso. • Juan dona 10 000 siempre que gane el concurso. • Cuando Juan gane el concurso dona 10 000. • Juan dona 10 000 porque gana el concurso. En base a este ejemplo nos podemos preguntar: ¿cuándo se quebrantará la promesa de Juan Esto será únicamente cuando Juan gane el concurso y no done el dinero. Existen otras proposiciones relacionadas con la condicional a b las cuales se denominan: recíproca inversa y contrarrecíproca o contrapositiva. La Recíproca es representada simbólicamente por: b a. La Inversa es representada simbólicamente por: a b. La Contrarrecíproca es representada simbólicamente por: b a. Ejemplo 1.13 Variaciones de la condicional. A partir de la proposición: “Si es un automóvil entonces es un medio de transporte”. La Recíproca sería: “Si es un medio de transporte entonces es un automóvil”. La Inversa sería: “Si no es un automóvil entonces no es un medio de transporte”. La Contrarrecíproca sería: “Si no es un medio de transporte entonces no es un automóvil”.

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 17 pág. Cabe anotar que una proposición puede ser reemplazada por su contrarrecíproca sin que se afecte su valor de verdad lo cual no se cumple con la recíproca o la inversa. A continuación se verifica este hecho en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.14 Variaciones de la condicional. A partir de la proposición: “Si un número es divisible para 6 entonces es divisible para 3”. La Recíproca sería: “Si un número es divisible para 3 entonces es divisible para 6”. La Inversa sería: “Si un número no es divisible para 6 entonces no es divisible para 3”. La Contrarrecíproca sería: “Si un número no es divisible para 3 entonces no es divisible para 6”. Relacionadas a la enunciación hipotética surgen las nociones de condición necesaria y condición suficiente y puede afirmarse con propiedad que mucha gente tiene integrada estas nociones a su lenguaje cotidiano tal como se ilustra en el siguiente caso. Ejemplo 1.15 Introducción a las condiciones necesarias y suficientes. Un profesor presenta este problema a sus estudiantes: “Un hacendado tiene un cierto número de reses de tal forma que: si las agrupa de 2 en 2 le sobra 1 si las agrupa de 3 en 3 le sobra 1 pero si las agrupa de 4 en 4 no le sobran. Entonces ¿podría indicar usted el número de reses que tiene el hacendado”. El razonamiento que presentaron los estudiantes a este problema fue: “Si el hacendado las agrupa de 2 en 2 sobra 1 por lo tanto no es múltiplo de 2. Si las agrupa de 3 en 3 sobra 1 por lo tanto no es múltiplo de 3. Pero si las agrupa de 4 en 4 no le sobran por lo tanto es múltiplo de 4. Mmmmm… pero algo anda mal porque si el número de reses es múltiplo de 4 también debe ser múltiplo de 2 debido a que 4 es múltiplo de 2. Luego el problema está mal planteado”.

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18 pág. Esto significa que las condiciones se contradicen y el problema tiene condiciones que no se pueden dar. Por lo tanto no hay forma de determinar el número de reses del hacendado. Analizando este problema desde el punto de vista lógico y suponiendo que n es un entero positivo bien definido se tendrá la siguiente propiedad: “Si n es múltiplo de 4 entonces n es múltiplo de 2” la cual se puede expresar como a b donde a: n es múltiplo de 4 y b: n es múltiplo de 2. Al ser la proposición a b verdadera la condición “n es divisible para 4” es suficiente para que “n sea divisible para 2” es decir que basta que n sea divisible para 4 para que ese mismo n sea divisible para 2. Esto significa que a es condición suficiente para b. Por otro lado la condición “n es divisible para 2” es necesaria para que “n sea divisible para 4” es decir que se requiere que n sea divisible para 2 para que ese mismo n sea divisible para 4. Esto significa que b es condición necesaria para a. Una misma proposición puede ser condición suficiente para varias proposiciones y viceversa. Una misma proposición puede ser condición necesaria para distintas proposiciones. Ejemplo 1.17 Identificación de condiciones necesarias y suficientes. Si consideramos que la siguiente proposición es verdadera: “Si estudias aprobarás el curso”. Podemos afirmar que es suficiente estudiar para aprobar el curso. Así mismo es necesario aprobar el curso como consecuencia de haber estudiado. Cuando la proposición a b es verdadera se puede parafrasear de la siguiente manera: “basta a para que b” “se necesita b para a” “para que suceda a es necesario que suceda b” “b con la condición de que a”. Ejemplo 1.16 Condiciones necesarias y suficientes. Las siguientes proposiciones son verdaderas: “Si n es divisible para 16 n es divisible para 2”. “Si n es divisible para 8 n es divisible para 2”. “Si n es divisible para 16 n es divisible para 8”. Parafraseando las proposiciones anteriores se tiene: “n es divisible para 16” es condición suficiente para que “n sea divisible para 2”. “n es divisible para 2” es condición necesaria para que “n sea divisible para 8”. “n es divisible para 8” es condición necesaria para que “n sea divisible para 16”.

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 19 pág. Definición 1.9 Bicondicional Sean a y b proposiciones la bicondicional entre a y b representada simbólicamente por a b es una nueva proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: a b a b 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 Cuadro 1.6: Tabla de Verdad de la Bicondicional. Este operador lógico también se denomina doble implicación. La proposición a b será verdadera cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean iguales. También se puede observar que la proposición a b será falsa cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean diferentes. En español la proposición a b se puede encontrar con los siguientes términos gramaticales: “a si y sólo si b” “a si y solamente si b” “a implica b y b implica a” “a cuando y sólo cuando b”. Ejemplo 1.19 Bicondicional de proposiciones. Dadas las proposiciones: a: Un triángulo es equilátero. b: Un triángulo es equiángulo. La bicondicional entre a y b es: a b: Un triángulo es equilátero si y sólo si es equiángulo. Ejemplo 1.18 Identificación de condiciones necesarias y suficientes. Si ahora suponemos que la siguiente proposición es verdadera: “Aceptaré el trabajo con la condición de que me traten bien”. Podemos afirmar que es suficiente que me traten bien para aceptar el trabajo. Por otra parte es necesario aceptar el trabajo como consecuencia de que me traten bien.

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20 pág. 1.3 Proposiciones simples y compuestas Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dado un texto que contenga proposiciones simples y operadores lógicos representar simbólicamente la proposición compuesta correspondiente. Dada una proposición compuesta determinar su valor de verdad conociendo el valor de verdad de las proposiciones simples que la conforman. Dado el valor de verdad de una proposición compuesta determinar el valor de verdad de las proposiciones simples que la conforman. Definición 1.10 Proposiciones simples y compuestas Proposiciones simples son aquellas que no poseen operador lógico alguno. Las proposiciones compuestas están formadas por otras proposiciones y operadores lógicos. Ejemplo 1.20 Traducción al lenguaje simbólico. Traduzca al lenguaje simbólico la proposición: “Si la seguridad privada es efectiva disminuyen los índices de asalto en la ciudad y el turismo se desarrolla. Los índices de asalto no disminuyen pero la seguridad privada es efectiva. Entonces el turismo no se desarrolla”. Solución: Se pueden identificar las siguientes proposiciones simples: a: La seguridad privada es efectiva. b: Los índices de asalto disminuyen en la ciudad. c: El turismo se desarrolla. Los operadores lógicos que se encuentran presentes en esta proposición compuesta son la condicional la conjunción y la negación. La traducción es: a b c b a c Nótese la importancia del uso de los signos de agrupación para preservar la idea original del enunciado.

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 21 pág. Ejemplo 1.22 Determinación de valores de verdad. Determine el valor de verdad de las proposiciones a b c si la proposición a b c es FALSA. Solución: El operador principal de esta proposición compuesta es la condicional. Dado que esta implicación tiene un valor de verdad falso únicamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso se obtiene que: a b debe ser verdadero y c debe ser falso. Estos valores lógicos se obtienen si y sólo si a es verdadero b es falso y c es falso con lo cual quedan determinados los valores de verdad. Ejemplo 1.21 Determinación de valores de verdad. Bajo la suposición de que los valores de verdad de las proposiciones simples a b c y d son respectivamente 0 0 1 1 indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones compuestas: a a b c d b c a b d Solución: a 0 0 1 0 0 0 1 0 0 El valor de verdad de esta proposición es falso. b 1 0 0 1 0 0 1 0 1 El valor de verdad de esta proposición es verdadero.

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22 pág. 1.4 Formas Proposicionales Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Identificar la diferencia entre proposiciones y formas proposicionales. Dada una forma proposicional construir la tabla de verdad que la describe. Reconocer los diferentes tipos de formas proposicionales. Identificar implicaciones y equivalencias lógicas. p constituye una variable proposicional cuando puede representar a una proposición simple o compuesta. El valor de verdad de p será desconocido mientras no se especifique el valor de verdad de las proposiciones involucradas. Usualmente las últimas letras en minúscula del alfabeto español p q r etc. se usan para representar variables proposicionales. Definición 1.11 Formas Proposicionales Se denominan formas proposicionales a las estructuras constituidas por variables proposicionales y los operadores lógicos que las relacionan. Estas formas proposicionales se representan con las letras mayúsculas del alfabeto español A B C … Observaciones • Las formas proposicionales no tienen valor de verdad conocido y por lo tanto no serán consideradas proposiciones. Si cada variable proposicional es reemplazada por una proposición simple o compuesta la forma proposicional se convierte en una proposición. • Si reemplazamos a las variables proposicionales por proposiciones verdaderas o falsas el número de proposiciones que se generan es 2 n siendo n el número de variables proposicionales. • Las formas proposicionales pueden ser conectadas con operadores lógicos para formar nuevas formas proposicionales. Dadas A y B los símbolos A A B A B A B A B y A B representan nuevas formas proposicionales.

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 23 pág. Ejemplo 1.23 Tabla de verdad de una forma proposicional. Dada la siguiente forma proposicional: A: p q r p r Debido a la presencia de las 3 variables proposicionales p q y r existirán 2 3 proposiciones posibles en la tabla de verdad de A. Cuando las variables proposicionales p q y r toman los valores de verdad 1 0 y 1 respectivamente se puede apreciar que la proposición resultante es verdadera. p q r p q p r p p q r p A 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 → Definición 1.12 Tautología Contradicción Contingencia Dada la estructura lógica de una forma proposicional: • • • Si se tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales se dice que es una TAUTOLOGÍA. Si se tienen solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales se dice que es una CONTRADICCIÓN. Si se tienen algunas proposiciones verdaderas y otras falsas para los valores de verdad de las variables proposicionales se dice que es una CONTINGENCIA.

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24 pág. Partiendo de estas definiciones la forma proposicional A del ejemplo anterior constituye una contingencia mientras que la forma proposicional B: p p es una tautología y la forma proposicional C: p p es una contradicción. Observe: Definición 1.13 Implicación lógica Sean A y B dos formas proposicionales se dice que A implica lógicamente a B denotado por A B si y sólo si A B es una tautología. Ejemplo 1.24 Implicación Lógica. La forma proposicional tautológica: p q p se puede traducir al lenguaje común como “si se tiene p de cualquier manera q se seguirá teniendo p”. p q q p p q p 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 Ejemplo 1.25 Implicación Lógica. La forma proposicional tautológica: p q q r p r se puede traducir al lenguaje común como “si cada vez que se tiene p se tiene q y cada vez que se tiene q se tiene r entonces cada vez que se tiene p se tiene r”. p q r p q q r p r p q q r p q q r p r 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p p B p p C p p 0 1 1 0 1 1 0 0 En este punto podemos resumir lo siguiente: a ฀ 1 significa que la proposición a es verdadera. p ฀ ฀ 1 significa que la variable proposicional p puede ser reemplazada solamente por proposiciones verdaderas. A ฀ 1 significa que la forma proposicional A es tautológica.

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 25 pág. Definición 1.14 Equivalencia lógica Sean A y B dos formas proposicionales se dice que A es equivalente lógicamente a B denotado por A B si y sólo si A B es una tautología. Cuando se requiere sustituir una estructura por otra que sea equivalente alternativamente el símbolo se lo reemplaza por . Ejemplo 1.26 Equivalencia Lógica. La forma proposicional: p q q p se puede traducir al lenguaje común como “cada vez que se tiene p se tiene q” y es lógicamente equivalente a “cuando no se tiene q entonces no se tiene p”. p q p q p q q p p q q p 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Ejemplo 1.27 Equivalencia Lógica. La forma proposicional: p q p q se puede traducir al lenguaje común como “no es cierto que se tiene p o q” y es lógicamente equivalente a “ni se tiene p ni se tiene q”. p q p q p q p q p q p q p q 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1.5 Propiedades de los operadores lógicos Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Emplear propiedades de los operadores lógicos para modificar estructuras lógicas. Dada una propiedad de los operadores lógicos demostrarla empleando tablas de verdad y otras propiedades.

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26 pág. Las operaciones lógicas definidas entre las formas proposicionales y algunas de sus más importantes propiedades se incluyen en las denominadas Leyes del Álgebra de Proposiciones o Leyes Lógicas. A continuación se presentan las de uso más frecuente: CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN p q q p Conmutativa p q q p p q r p q r Asociativa p q r p q r p p ฀p Idempotencia p p ฀p p 1 ฀p Identidad p 0 ฀p p 0 ฀0 Absorción p 1 ฀1 Cuadro 1.7: Leyes de los Operadores Fundamentales Conjunción y Disyunción. 0 ฀1 1 ฀0 Negación p p Doble Negación o Involutiva p q r p q p r p q r p q p r Distributivas p q p q p q p q De Morgan p p 1 Tercero Excluido p p 0 Contradicción p q q p Contrapositiva o Contrarrecíproca p q p q p q p q p q p q Implicación p r q r p q r p q p r p q r p q r p q r Exportación p q p q 0 Reducción al Absurdo p ฀ q p q q p p ฀ q q ฀p Equivalencia Cuadro 1.8: Leyes de los Operadores Negación Condicional y Bicondicional.

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 27 pág. FORMA SIMBÓLICA TAUTOLOGÍA p p Trivial p p q Adición p q p Simplificación p q p q Modus Ponendo Ponens Suposición del Antecedente p q q p Modus Tolendo Tollens Negación del Consecuente p q p q Silogismo Disyuntivo p q r s p r q s p q r s p r q s Dilemas Constructivos p q q r p r p q q r p r Transitividad o Silogismo Hipotético Cuadro 1.9: Leyes de las Implicaciones Lógicas. Para demostrar estas propiedades u otras se pueden emplear tablas de verdad o utilizar algunas de las propiedades más elementales como se verá a continuación en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.28 Demostración de propiedades de los operadores lógicos. Si se requiere demostrar la equivalencia lógica: p q r ฀ p q r se puede emplear tablas de verdad o propiedades de los operadores lógicos. Solución: Empleando tablas de verdad se construyen las respectivas combinaciones para las variables proposicionales involucradas en la forma proposicional. Para el efecto se denominará A: p q r B: p q r tal como se muestra en la siguiente tabla: p q r p q p q r q r p q r A B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

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28 pág. Puesto que p q r p q r es una tautología se concluye que existe una equivalencia lógica entre estas dos formas proposicionales con lo cual se obtiene la demostración requerida. Empleando propiedades de los operadores lógicos se debe transformar la estructura de una de las formas proposicionales o de ambas hasta establecer la equivalencia lógica requerida. En este ejemplo se trabajará sobre la forma proposicional A hasta obtener la estructura de la segunda. p q r ฀ p q r Por la Ley de la Implicación. ฀ p q r Por la Ley de De Morgan de la Conjunción. ฀ p q r Por la Ley Asociativa de la Disyunción. ฀ p q r Por la Ley de la Implicación. p q r ฀ p q r Por la Ley de la Implicación. Con esto se concluye que las dos formas proposicionales son equivalentes entre sí. Las propiedades de los operadores lógicos también son útiles cuando se requiere expresar ideas o enunciados de una forma inequívoca y precisa. Ejemplo 1.29 Aplicación de propiedades de los operadores lógicos. Considere las siguientes proposiciones simples: a: El clima es propicio. b: La tierra es fértil. c: La flor crecerá. Se quiere negar la proposición compuesta: “Si el clima es propicio y la tierra es fértil la flor crecerá”. Solución: La traducción del enunciado original es: a b c La negación de la proposición anterior es: a b c a b c Por la Ley de la Implicación. a b c Por la Ley de De Morgan de la Disyunción. a b c Por la Ley de la Doble Negación. b c a Por la Ley Conmutativa de la Conjunción.

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 29 pág. Por lo tanto la negación de la proposición podrá expresarse con cualquiera de las siguientes frases equivalentes: “El clima es propicio y la tierra es fértil pero la flor no crecerá”. “La tierra es fértil la flor no crecerá y el clima es propicio”. Aunque al lector le agrade una de ellas más que la otra desde el punto de vista lógico las dos representan la negación del enunciado original. 1.6 Razonamientos Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Reconocer la estructura de un razonamiento. Dado un razonamiento establecer su validez empleando tablas de verdad. Dado un razonamiento establecer su validez empleando las Leyes del Álgebra de Proposiciones. Definición 1.15 Razonamientos Son proposiciones compuestas que pueden ser representadas por la conjunción de proposiciones denominadas premisas o hipótesis la condicional como operador lógico principal y una proposición final denominada conclusión. Las premisas o hipótesis corresponden al antecedente de la implicación mientras que la conclusión es su consecuente. Condicional OPERADOR LÓGICO Conjunción de hipótesis ANTECEDENTE H 1 ฀ H 2 ฀ H 3 ... ฀ H n Conclusión CONSECUENTE C

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30 pág. La lógica simbólica se ocupa de analizar la validez de los razonamientos no nos puede decir si la información contenida en una hipótesis es verdadera o falsa. Los términos válido y no válido se refieren a la estructura del razonamiento no a la veracidad o falsedad de las proposiciones. El punto importante a recordar es que la veracidad o falsedad de las premisas y la conclusión no determinan la validez del razonamiento. Definición 1.16 Validez de un razonamiento Un razonamiento es válido cuando la forma proposicional que representa su estructura lógica es una tautología. Si dicha forma proposicional es una contradicción o contingencia entonces el razonamiento no es válido en cuyo caso se denomina falacia. Ejemplo 1.30 Determinación de la validez de un razonamiento. Determine si el siguiente razonamiento es válido: “Si Pablo recibió el e-mail entonces tomó el avión y estará aquí al mediodía. Pablo no tomó el avión. Luego Pablo no recibió el e-mail”. Solución: Se procede primero a identificar las proposiciones simples: a: Pablo recibió el e-mail. b: Pablo tomó el avión. c: Pablo estará aquí al mediodía. Luego se identifican las hipótesis y la conclusión: H 1 : a b c H 2 : b C: a A partir de estas proposiciones pueden obtenerse las siguientes formas proposicionales: H 1 : p q r H 2 : q C: p Con lo cual la estructura lógica del razonamiento sería: H 1 H 2 C p q r q p

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 31 pág. p q r q r H 1 p q r H 2 q H 1 H 2 C p H 1 H 2 C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Puesto que la forma proposicional resultó tautológica podemos concluir que el razonamiento es válido. Otro método para determinar la validez de este razonamiento consiste en la utilización de las propiedades de los operadores lógicos: p q r q p p q r q p Por la Ley de la Implicación. p q r q p Por la Ley de la Implicación. p q r q p Por la Ley de De Morgan de la Conjunción. p q r q p Por la Ley de De Morgan de la Disyunción. p q r q p Por la Ley de la Doble Negación. p q r q p Por la Ley de De Morgan de la Conjunción. p q p r q p Por la Ley Distributiva de la Conjunción. p q p r p q Por la Ley de De Morgan de la Conjunción. p q p q p r Por la Ley Asociativa de la Disyunción. 1 p r Por la Ley del Tercero Excluido. 1 Por la Ley de Absorción de la Disyunción. Ejemplo 1.31 Determinación de la validez de un razonamiento. Determine si el siguiente razonamiento es válido: “Si el crimen ocurrió después de las 04h00 entonces Pepe no pudo haberlo cometido. Si el crimen ocurrió a las 04h00 o antes entonces Carlos no pudo haberlo cometido. El crimen involucra a dos personas si Carlos no lo cometió. Por lo tanto el crimen involucra a dos personas”.

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32 pág. Solución: Se procede primero a identificar las proposiciones simples: a: El crimen ocurrió después de las 04h00. b: Pepe pudo haber cometido el crimen. c: Carlos pudo haber cometido el crimen. d: El crimen involucra a dos personas. Luego se identifican las hipótesis y la conclusión: H 1 : a b H 2 : a c H 3 : c d C: d A partir de estas proposiciones pueden obtenerse las siguientes formas proposicionales: H 1 : p q H 2 : p r H 3 : r s C: s Con lo cual la estructura lógica del razonamiento sería: H 1 ฀ H 2 ฀ H 3 C p q p r r s s Puesto que la forma proposicional resultó una contingencia podemos concluir que el razonamiento no es válido falacia lógica. p q r s q H 1 p q p r H 2 p r H 3 r s H 1 H 2 H 3 H 1 H 2 H 3 C 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 33 pág. 1.7 Demostraciones Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Aplicar las propiedades y el álgebra de las proposiciones para realizar demostraciones lógicas empleando técnicas directas técnicas de contraposición contraejemplos y reducción al absurdo. En matemáticas a menudo nos ocupamos de la demostración lógica de ciertas afirmaciones. Cualquier sistema lógico debe empezar con algunos términos fundamentales definiciones y axiomas o postulados. A partir de ello se pueden deducir por razonamientos válidos otras afirmaciones. Para llegar a demostrar algo es necesario justificar cada paso de la demostración de manera lógica. 1.7.1 Demostraciones Directas También denominadas “marcha adelante”. Si queremos demostrar que p q examinamos los elementos que aparecen en p y con la atención puesta en q intentamos deducir q a partir de una secuencia de pasos lógicos que comience en p y termine en q. Ejemplo 1.32 Demostración Directa. Demostrar la Ley del MODUS PONENDO PONENS p q p q utilizando el método de demostración directa. Solución: Aplicamos en dos oportunidades la Ley de la Implicación: a b ฀ a b p q p q p q p q Aplicamos la Ley de De Morgan de la Conjunción: a b ฀ a b p q p q Aplicamos la Ley de De Morgan de la Disyunción: a b ฀ a b p q p q Aplicamos la Ley Involutiva Doble Negación: a ฀ a p q p q

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34 pág. Aplicamos la Ley Conmutativa de la Disyunción: a b ฀ b a p p q q Aplicamos la Ley Distributiva: a b c ฀ a b a c p p p q q Aplicamos la Ley del Tercero Excluido: a a ฀ 1 1 p q q Aplicamos la Ley de Identidad de la Conjunción: 1 a ฀ a p q q Aplicamos la Ley Asociativa de la Disyunción: a b c ฀ a b c p q q Aplicamos la Ley del Tercero Excluido: a a ฀ 1 p 1 Aplicamos la Ley de Absorción de la Disyunción: a 1 ฀ 1 1 Con lo cual queda demostrado que la forma proposicional es tautológica independientemente del valor de verdad que tomen las variables proposicionales. Ejemplo 1.33 Demostración por contrarrecíproca. Demostrar la Ley del SILOGISMO DISYUNTIVO p q p q utilizando el método de demostración por contrarrecíproca. Solución: Aplicamos la Ley Contrarrecíproca: a b ฀ b ฀ a q ฀ p ฀ q ฀ p Aplicamos la Ley de la Implicación: a b ฀ ฀ a ฀ b q ฀ p ฀ q ฀ p Aplicamos la Ley Involutiva Doble Negación: ฀ a ฀ a q p ฀ q ฀ p 1.7.2 Demostraciones por contraposición o contrarrecíproca Este tipo de demostración es conocido como “supongamos que no”. Está basada en la equivalencia que vimos entre p q y q p.

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 35 pág. Aplicamos la Ley de De Morgan de la Conjunción: a b ฀ a b q ฀p ฀ q ฀ ฀p Aplicamos la Ley Involutiva Doble Negación: a ฀ a q ฀p ฀ q ฀p Aplicamos la Ley de De Morgan de la Disyunción: a b ฀ a b q ฀p ฀ q ฀p Aplicamos la Ley Conmutativa de la Disyunción: a b ฀ b a q ฀p ฀ ฀p ฀ ฀q Aplicamos la Ley Distributiva: a ฀ b c ฀ a ฀ b ฀ ฀ a ฀ c q ฀p ฀ p ฀ ฀p ฀ q Aplicamos la Ley del Tercero Excluido: a ฀ a ฀ q ฀ ฀ ฀p ฀ q Aplicamos la Ley de Identidad de la Conjunción: ฀ a ฀ a q ฀ ฀p ฀ q Aplicamos la Ley Conmutativa de la Disyunción: a b ฀ b a q ฀ q ฀ p Aplicamos la Ley Asociativa de la Disyunción: a ฀ b ฀ ฀ c ฀ a ฀ b ฀ c q ฀ q ฀ p Aplicamos la Ley del Tercero Excluido: a ฀ a ฀ 1 1 ฀ p Aplicamos la Ley de Absorción de la Disyunción: a ฀ 1 ฀ 1 1 Con lo que se demuestra que la contrarrecíproca de la forma proposicional dada resultó tautológica. Como la contrarrecíproca es equivalente a la forma proposicional original ésta también es una tautología. 1.7.3 Demostraciones por contraejemplo El dar un ejemplo o mil que ilustren una proposición no demuestra que ésta sea verdadera. Sin embargo sí podemos demostrar el hecho de que la proposición sea falsa aportando por lo menos un ejemplo que lo confirme. Dicho ejemplo recibe el nombre de contraejemplo. El contraejemplo pone en evidencia que existe al menos un caso en el cual la proposición no es verdadera.

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36 pág. Ejemplo 1.34 Demostración por contraejemplo. Verifique si la siguiente proposición es verdadera: “Si un número impar es mayor que dos es primo”. Solución: A partir de esta proposición se podrá suponer erróneamente y en base a una observación limitada que los números 3 5 y 7 cumplen esta proposición. Sin embargo podemos notar que el número 9 representa un contraejemplo para esta proposición que es falsa. Es más no es el único ya que aunque el 11 y el 13 vuelven a cumplir tal proposición existen otros contraejemplos como el 15 21 25 27 33. 1.7.4 Demostraciones por reducción al absurdo En este método se supone que la estructura del razonamiento p q no es tautológica. Debido a que el operador principal de un razonamiento es la implicación la estructura no es tautológica si existe al menos un caso 1 0 es decir partimos de p y q e intentamos llegar a un disparate o contradicción. Como p no puede ser falsa pues constituye la hipótesis se concluye que lo que es falso es q. Ejemplo 1.35 Demostración por contraejemplo. Verifique si la siguiente proposición es verdadera: “Las ciudades del Ecuador son capitales de provincias”. Solución: Si leemos rápidamente y sin mayor análisis la referida proposición podríamos concluir que su valor de verdad es verdadero ya que Guayaquil Portoviejo Machala Quito entre otras son ciudades y capitales de provincias. Mientras que Quevedo es una ciudad y no es capital de provincia alguna de nuestro país lo mismo ocurre con ciudades como Manta Atacames y Milagro constituyendo por ende contraejemplos para la proposición objeto de estudio la cual definitivamente es falsa.

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 37 pág. Ejemplo 1.36 Demostración por reducción al absurdo. Utilizando el método de reducción al absurdo demostrar la Ley del MODUS PONENDO PONENS p q p q. Solución: Debe procurarse partir de la situación en la que la condicional resulte con valor de verdad falso 1 0 ya que si esto se cumple estaremos seguros de que la forma proposicional no será una tautología. Como debemos buscar que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso planteamos: Ahora como la conjunción p q p es verdadera entonces p q es verdadera y p es verdadera: Analizando la segunda hipótesis y la conclusión p debe ser verdadera y q debe ser falsa. Con estos valores de verdad para p y q no es posible conseguir que la primera hipótesis p q sea verdadera. Por lo tanto no es factible el suceso de que p q p sea verdadera y que q sea falsa. A partir del análisis anterior concluimos que la forma proposicional p q p q es tautológica. Ejemplo 1.37 Demostración por reducción al absurdo. Determine la validez del razonamiento: “Si llueve hay producción si hay granizo no hay producción hay granizo o no hay nevada. Por lo tanto no llueve”. Solución: Al identificar las proposiciones simples se obtiene: a: Llueve. b: Hay producción. c: Hay granizo. d: Hay nevada. p q p 1 q 0 Se sugiere que este método sea utilizado para demostrar la validez de un razonamiento como lo veremos en el siguiente ejemplo. q 0 p q p 1 1 1

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38 pág. Si quisiéramos construir su tabla de verdad tendríamos que elaborar 16 combinaciones para las variables proposicionales involucradas p q r y s. Luego es preferible utilizar el método de reducción al absurdo para simplificar nuestro trabajo y analizar la validez del razonamiento. Determinamos los valores de verdad comenzando con el consecuente del razonamiento el cual se supone que es falso y para que el antecedente sea verdadero debe cumplirse que H 1 H 2 H 3 sea verdadera. La conjunción de hipótesis es verdadera siempre y cuando cada hipótesis sea verdadera. Si a partir del supuesto valor de verdad de la conclusión que es falso se determinó que el valor de verdad del antecedente es verdadero la forma proposicional no es tautológica. Por lo tanto el razonamiento no es válido. Las hipótesis y la conclusión son: H 1 : a b H 2 : c b H 3 : c d C : a La estructura lógica del razonamiento será: a b c b c d a A partir de esta proposición puede obtenerse la siguiente forma proposicional: A p q r q r s p r ฀ s ฀ 1 s ฀ 1 s ฀ 0 0 ฀ s ฀ 1 r q ฀ 1 r 0 ฀ 1 r ฀ 0 p q ฀ 1 1 q ฀ 1 q ฀ 1 p q 1 r q 1 r s 1 p 0 p ฀ 0 p ฀ 1

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 39 pág. 1.8 Conjuntos Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dada una agrupación cualquiera reconocer si es o no un conjunto. Definir con sus propias palabras los diferentes tipos de conjuntos. Expresar un conjunto por comprensión o extensión. Determinar la cardinalidad de un conjunto dado. La noción de conjunto es una idea básica en las matemáticas. El profundizar rigurosamente en la teoría de conjuntos es una tarea más compleja de lo que se intenta en este texto. Definición 1.17 Conjunto Un conjunto es una colección reunión o agrupación de objetos que poseen una característica o propiedad común bien definida. Para establecer si un objeto pertenece o no a un conjunto debe verificarse que posea la característica o propiedad declarada por el conjunto. De aquí que es importante que esta característica no sea ambigua. Los conjuntos usualmente se denotan con letras mayúsculas del alfabeto español. Ejemplo 1.38 Conjuntos. Algunas agrupaciones que representan conjuntos son: • Los números enteros. • Los habitantes de la Luna. • Los animales en extinción. • Los números primos. • Los paquetes de software. • Los operadores de telefonía celular. Todas estas agrupaciones poseen una característica que puede ser verificable con precisión. Para decir que x es un elemento del conjunto A escribiremos x A. Para decir que x no está en A escribiremos x A.

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40 pág. Ejemplo 1.39 Descripción de conjuntos. t m s d A Para algunas operaciones que se realizan entre conjuntos es de mucha utilidad conocer la cantidad de elementos que posee el conjunto. Dicha cantidad recibe el nombre de cardinalidad la cual se define a continuación. Definición 1.18 Cardinalidad Es la cantidad de elementos de un conjunto A. Se denota por el símbolo NA. Ejemplo 1.40 Cardinalidad de conjuntos. A x/x es un dígito impar en el sistema de numeración decimal NA 5 porque A 1 3 5 7 9 1.8.1 Conjuntos relevantes Sea A un conjunto se pueden dar los siguientes casos: • A es VACÍO si no tiene elementos. El símbolo que se utiliza para representar al conjunto vacío es . NA 0 • A es UNITARIO si tiene un único elemento. NA 1 • A es FINITO si tiene una cantidad finita de elementos. • A es INFINITO si no tiene una cantidad finita de elementos. • A es REFERENCIAL o UNIVERSO cuando contiene todos los elementos que deseen considerarse en un problema discurso o tema sin pretender contener todo lo que no interesa al problema. El símbolo que se utiliza para representar a este conjunto es Re o U. Por COMPRENSIÓN: A x/x es consonante de la palabra amistad Por EXTENSIÓN o TABULACIÓN: A d m s t Por DIAGRAMAS DE VENN: La descripción de un conjunto se puede realizar de las siguientes maneras: • Por COMPRENSIÓN para referirnos a alguna característica de los elementos. • Por EXTENSIÓN o TABULACIÓN cuando se listan todos los elementos. • Por medio de DIAGRAMAS DE VENN cuando se desea representarlo gráficamente. Note que: d A b A

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 41 pág. 1.9 Cuantificadores Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dada una expresión en lenguaje natural identificar los dos tipos de cuantificadores que existen. Dada una proposición en términos de cuantificadores reconocer su valor de verdad. Realizar operaciones con cuantificadores dado un conjunto referencial. Dado un conjunto finito hallar su conjunto potencia. Hasta ahora hemos considerado solamente la inferencia lógica de la estructura de proposiciones que son clasificadas como verdaderas o falsas. Sin embargo en matemáticas se pueden considerar tres tipos de frases o expresiones: 1 verdaderas 2 falsas y 3 indistintas o abiertas. A continuación se proporcionan ejemplos de cada uno de estos tipos: 1. Expresiones que son proposiciones verdaderas 5 3 8 2 6 2. Expresiones que son proposiciones falsas 5 3 10 2 6 3. Expresiones indistintas o abiertas 5x 3y 8 2x 6 Ejemplo 1.41 Conjuntos relevantes. Conjunto VACÍO: A x/x es un número par e impar a la vez Conjunto UNITARIO: A Conjunto FINITO: A x/x es habitante del Ecuador Conjunto INFINITO: A x/x es número entero Conjunto REFERENCIAL o UNIVERSO: A x/x es una letra del alfabeto español

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42 pág. Vemos que estas expresiones indistintas o abiertas pueden ser verdaderas o falsas dependiendo de las sustituciones que se hagan para x o y. Se desea aplicar ahora el estudio de la lógica a las expresiones abiertas. Para este fin debemos restringir o cuantificar la variable diciendo que la expresión es verdadera para todos o algunos de sus valores posibles. De aquí que se hace necesario contar con una simbología especial que permita obtener proposiciones a partir de expresiones abiertas. A continuación se definirán los denominados cuantificadores los cuales permitirán lograr este propósito. Definición 1.19 Cuantificador Universal Cualquier expresión de la forma: “para todo” “todo” “para cada” “cada” constituye en el lenguaje formal un cuantificador universal y se simboliza por medio de . Definición 1.20 Cuantificador Existencial Cualquier expresión de la forma: “existe” “algún” “algunos” “por lo menos uno” “basta que uno” constituye en el lenguaje formal un cuantificador existencial y se simboliza por medio de . Ejemplo 1.42 Cuantificadores. Como el lector podrá apreciar estas dos expresiones sí pueden ser calificadas como verdaderas o falsas lo cual las convierte en proposiciones de acuerdo a la definición 1.1. Vemos que en el caso de una expresión abierta con cuantificadores se sugiere o se supone algún conjunto referencial del cual se obtienen los valores posibles de la variable. x 2x 3x 5x Se lee “Para todo número x se cumple que 2x 3x 5x”. x 2x 2 4 Se lee “Existe al menos un número x para el cual 2x 2 4”. Definición 1.21 Subconjunto El conjunto A es subconjunto de B si y sólo si los elementos de A están contenidos en B. Simbólicamente este concepto se representa por: A ฀ B xx A x B Si A es subconjunto de B A ฀ B pero B no es subconjunto de A B ฀A se dice que A es SUBCONJUNTO PROPIO de B lo cual se representa por: A ฀ B A ฀ B A ฀B

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 43 pág. La proposición x es falsa porque no existen elementos que pertenezcan al conjunto vacío. Adicionalmente la proposición 0 p es siempre verdadera sin importar el valor de verdad de la proposición p con lo que podemos concluir que: x x A ฀ 1 es decir que ฀ A. El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. Si realizáramos un análisis similar podríamos concluir también que todo conjunto es subconjunto de sí mismo: A ฀ A. Definición 1.22 Conjunto Potencia Dado un conjunto A su conjunto potencia es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles de A. El símbolo que se utiliza para este conjunto es PA. PA B/B A La cardinalidad del conjunto potencia de A se denota como NPA y es igual a 2 NA . Ejemplo 1.43 Conjunto Potencia. Si A a entonces PA a a a A. A partir de este resultado las siguientes proposiciones son verdaderas: A PA ฀ ฀ PA Observe que NPA 2 3 8. Ejemplo 1.44 Conjunto Potencia. Dado el conjunto B 1 construya PB. Solución: Los subconjuntos posibles de B son: ฀ ฀1 B entonces PB ฀1 B. Observe que NPB 2 2 4.

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44 pág. Definición 1.23 Igualdad entre conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Es decir ambos conjuntos se contienen mutuamente. Simbólicamente este concepto se representa por: A B A B B A 1.9.1 Relaciones entre conjuntos Usando las definiciones y las propiedades de la lógica proposicional se tiene: A B xx A x B Definición 1.24 Conjuntos disjuntos e intersecantes Los conjuntos A y B son DISJUNTOS si y sólo si A y B no tienen elementos en común. Los conjuntos A y B son INTERSECANTES si y sólo si A y B tienen al menos un elemento común. 1.10 Operaciones entre conjuntos Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Explicar con sus propias palabras las diferentes operaciones entre conjuntos. Dada una operación entre conjuntos representarla con el lenguaje simbólico respectivo. Dada una operación entre conjuntos representarla gráficamente mediante diagramas de Venn. Reconocer la operación de conjuntos que representa una región sombreada dada. Es posible realizar operaciones entre conjuntos para formar otros nuevos. Las operaciones más utilizadas son: unión intersección diferencia diferencia simétrica y complementación.

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 45 pág. Definición 1.25 Unión entre conjuntos La unión entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Se denota por A B y se define como: A B x/x A x B Re B A Figura 1.1: Diagrama de Venn de la Unión entre Conjuntos. Definición 1.26 Intersección entre conjuntos La intersección entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. Se denota por A B y se define como: A B x/x A x B Figura 1.2: Diagrama de Venn de la Intersección entre Conjuntos. Re B A Definición 1.27 Diferencia entre conjuntos La diferencia entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A pero no pertenecen al conjunto B. Se denota por A B y se define como: A B x/x A x B

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46 pág. Re B A Figura 1.3: Diagrama de Venn de la Diferencia entre Conjuntos. Definición 1.28 Diferencia simétrica entre conjuntos La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen o al conjunto A o al conjunto B. Se denota por A B y se define como: A B A B B A o también: A B x/x A x B x B x A Figura 1.4: Diagrama de Venn de la Diferencia Simétrica entre Conjuntos. Figura 1.5: Diagrama de Venn de la Complementación de Conjuntos. Re A A C Re B A Definición 1.29 Complementación de conjuntos La complementación de un conjunto A es un nuevo conjunto formado por los elementos del referencial que no pertenecen al conjunto A. Se denota por A C y se define como: A C x/x Re x A

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 47 pág. 1.11 Propiedades de las operaciones entre conjuntos Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Emplear propiedades de las operaciones entre conjuntos para establecer igualdad entre ellos. Dada una propiedad de las operaciones entre conjuntos demostrarla empleando lógica proposicional. Plantear y resolver problemas de cardinalidad empleando álgebra de conjuntos. Las operaciones entre conjuntos y algunas de sus más importantes propiedades se incluyen en las denominadas Leyes del Álgebra de Conjuntos. A continuación se presentan las de uso más frecuente: UNIÓN INTERSECCIÓN A B B A Conmutativa A B B A A B C A B C Asociativa A B C A B C A A A Idempotencia A A A A ฀ A Identidad A Re A A Re Re Absorción A ฀ Cuadro 1.10: Leyes de las Operaciones Fundamentales Unión e Intersección. C Re Re C Complementación A C C A Doble Complementación o Involutiva A B C A B A C A B C A B A C Distributivas A B C A C B C A B C A C B C De Morgan A A C Re A A C

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48 pág. A ฀ B B C ฀ A C A ฀ B A C B Re A B Re A C ฀ B A B A ฀ B C A ฀ C B ฀ C A B ฀ C A ฀ B A ฀ C A ฀ B C Transitividad A ฀ B A B C ฀ Reducción al absurdo A ฀B A ฀ B B ฀ A A ฀B B ฀A Equivalencia A B ≠ ฀฀ A ≠ ฀ B ≠ ฀ A B ฀฀ A ฀ B ฀ A B Re A Re B Re A B C A B A C A B C A B A C ฀฀ A A ฀฀ A A ฀ B B ฀ C A ฀ C Transitividad A ฀ B C ฀ D A C ฀ B D A ฀ B C ฀ D A C ฀ B D Cuadro 1.11: Otras Leyes. Estas propiedades pueden ser demostradas usando las propiedades del álgebra de proposiciones. Ejemplo 1.45 Demostración de propiedades del álgebra de conjuntos. • p.d. A B B A Conmutatividad x A B x A x B Definición de Unión. ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ x B x A Ley Conmutativa de la Disyunción. ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ x B A Definición de Unión. • p.d. A ฀ B C A C ฀ B C Primera ley de De Morgan x A B C ฀ x Re x A B Definición de Complementación. ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ x Re x A x B Definición de Unión. ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ x Re x A x B Ley de De Morgan de la Disyunción. ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ x Re x A x Re x B Ley de Idempotencia. ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ x Re A ฀ x Re ฀ B Definición de Diferencia. ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ x A C ฀ B C Definición de Complementación. Ejemplo 1.46 Demostración de propiedades del álgebra de conjuntos.

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 49 pág. • p.d. NA B NA ฀ NB NA B A A B A B Expresado mediante conjuntos disjuntos. NA NA B NA B Su cardinalidad es la suma. NA B NA NA B Se obtiene esta expresión útil. A B A B A B B A Expresado mediante conjuntos disjuntos. NA B NA B NA B NB A Su cardinalidad es la suma. NA B NA NA B NA B NB NB A Cardinalidad de la diferencia. NA B NA NB NA B Se completa la demostración. Se puede demostrar que: NA B C NA NB NC NA B NA C NB C NA B C Ejemplo 1.48 Operaciones entre conjuntos. Si en el diagrama de Venn que se muestra a continuación el conjunto A está dado por el círculo externo el conjunto B está dado por el círculo interno y el conjunto C está dado por el triángulo determine el conjunto que representa la región sombreada. Solución: La primera parte del conjunto solicitado la constituye el conjunto A B C C tal como se muestra en el diagrama siguiente: Re A B C Ejemplo 1.47 Demostración de propiedades del álgebra de conjuntos.

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50 pág. La segunda parte del conjunto solicitado la constituye el conjunto B C C el cual se representa en el siguiente diagrama: A partir de estos diagramas de Venn podemos deducir que la región sombreada requerida puede ser representada por el conjunto: A B C C B C C Re A B C Re A B C Ejemplo 1.49 Cardinalidad de conjuntos. Determine el porcentaje de alumnos que practican fútbol y básquet si al entrevistar a 1000 estudiantes se obtuvieron los siguientes resultados: • 600 practican fútbol. • 500 practican básquet. • 150 no practican fútbol ni básquet. Solución: A partir de la información dada tenemos que:

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 51 pág. NRe 1000 NB 500 NF 600 NRe B F 150 Como se plantea en líneas anteriores: NB F NB NF NB F Y como: NB F 1000 150 NB F 850 Luego: NB F 600 500 850 NB F 250 El siguiente diagrama de Venn ilustra el análisis previamente desarrollado: Re 250 B F 250 350 150 Con lo que se concluye que el número de estudiantes que practican fútbol y básquet es 250 el cual representa el 25 del total de estudiantes. Ejemplo 1.50 Cardinalidad de conjuntos. Se hizo una encuesta a 1000 personas acerca del canal de televisión donde preferían ver programas documentales y se obtuvieron los siguientes resultados:

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52 pág. 620 veían Teleamazonas 400 veían Canal Uno 590 veían Ecuavisa 195 veían Teleamazonas y Canal Uno 190 preferían ver Canal Uno y Ecuavisa 400 veían Teleamazonas y Ecuavisa 300 preferían ver Teleamazonas y Ecuavisa pero no Canal Uno. Determine el número de personas que no ven estos canales. Solución: A partir de la información obtenida se deduce que: NRe 1000 NT 620 NC 400 NE 590 NT C 195 NC E 190 NT E 400 NT E C 300 Re 125 T C E 95 115 100 300 90 100 75 Si NT E 400 y NT E C 300 entonces NT C E 100. Luego: NT C E NT NC NE NT C NC E NT E NT C E NT C E 620 ฀ 400 ฀ 590 ฀ 195 ฀ 190 ฀ 400 100 NT C E 925 NT C E C NRe NT C E 1000 ฀ 925 75 75 personas no ven estos canales.

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 53 pág. 1.12 Predicados Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dada una expresión en lenguaje común reconocer si es un predicado. Dado un predicado identificar su variable y sugerir un conjunto referencial para la misma. Dado un predicado y un conjunto referencial determinar su conjunto de verdad. Dado un predicado compuesto encontrar su conjunto de verdad empleando propiedades de los conjuntos de verdad. Demostrar las leyes de los cuantificadores. En la sección 1.9 se explicó la diferencia de las expresiones abiertas con respecto a las proposiciones. A partir de ahora dichas expresiones en las que se manifiesta una acción o un estado para una variable recibirán el nombre de predicados. Definición 1.30 Predicados de una variable Son expresiones en términos de una variable que al ser reemplazadas por los elementos de un conjunto referencial se convierten en proposiciones. Si x representa a cualquier elemento de Re entonces la expresión px se definirá como predicado. La notación para los predicados será: px qx rx etc. Ejemplo 1.51 Predicados. Dado Re 1 2 3 4 5 6 y px: x es impar. Si x 3 p3: 3 es impar es una proposición verdadera. Si x 6 p6: 6 es impar es una proposición falsa. Por lo tanto px es un predicado. Se pueden definir varios predicados con un mismo Re y se pueden realizar operaciones lógicas entre ellos para formar predicados compuestos.

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54 pág. Ejemplo 1.52 Predicados compuestos. Para el Re y px dados en el ejemplo anterior considere: qx: x 5 La expresión: px ฀ qx también es un predicado. Si x 2: p2 ฀ q2 ฀ 1 Si x 3: p3 ฀ q3 ฀ 0 Ejemplo 1.53 Predicados compuestos. Para el Re y px dados anteriormente considere: rx: x 2 0 La expresión: px ฀ rx también es un predicado. Si x 2: p2 ฀ r2 ฀ 0 Si x 3: p3 ฀ r3 ฀ 1 Como el lector habrá observado en los ejemplos anteriores existen elementos del referencial para los cuales el predicado puede convertirse en una proposición falsa o verdadera. Estas últimas son de especial interés y los elementos del referencial que las conforman constituyen lo que a continuación se definirá como conjunto de verdad del predicado. Definición 1.31 Conjunto de verdad de un predicado Es el conjunto formado por todos los elementos de Re para los cuales el predicado se convierte en una proposición verdadera. La notación a utilizar para este conjunto es Apx y se define como: Apx x/x Re px 1 Todos los elementos que no pertenezcan al conjunto de verdad de un predicado pero que sean parte del referencial considerado para el análisis estarán contenidos en el complemento del conjunto de verdad de dicho predicado lo cual puede expresarse así: A px A C px. Ejemplo 1.54 Conjuntos de verdad. Con referencia a los tres ejemplos anteriores: Apx 1 3 5 Aqx 1 2 3 4 Arx 2

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 55 pág. En relación a los conjuntos de verdad de predicados compuestos se cumplen las siguientes propiedades: Ejemplo 1.56 Aplicación de las propiedades de los conjuntos de verdad. Se pueden obtener conjuntos de verdad de predicados compuestos a partir de los conjuntos de verdad de los predicados que lo constituyen. De esta forma si se requiere hallar Apx qx rx se pueden emplear las propiedades anteriormente citadas de la siguiente forma: Apx qx rx A px qx rx A C px Aqx A rx Apx qx rx A C px Aqx A C rx De esta manera conociendo los conjuntos de verdad de px qx rx y el referencial de estos predicados se puede obtener el conjunto de verdad resultante de esta operación. En referencia a los ejemplos 1.51 1.52 1.53 y 1.54 se tiene que: A C px 2 4 6 Aqx 1 2 3 4 A C rx 1 3 4 5 6 Realizando las operaciones indicadas en A C px Aqx A C rx se obtiene el conjunto 1 2 3 4 6 el cual constituye el conjunto de verdad del predicado compuesto requerido. Ejemplo 1.55 Complementos de conjuntos de verdad. Partiendo de los mismos ejemplos ya citados anteriormente se puede concluir que: A px 2 4 6 A qx 5 6 A rx 1 3 4 5 6 Cuadro 1.12: Leyes de los Conjuntos de Verdad de Predicados. A px Apx qx Apx qx Apx qx A C px Apx Aqx Apx Aqx A C px Aqx

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56 pág. Dado que ya se ha definido a los predicados y en la sección 1.9 se describieron los dos tipos de cuantificadores que se utilizan en la lógica simbólica se pueden traducir expresiones del lenguaje natural que combinan predicados y cuantificadores. Para el efecto si se tiene un predicado px y un conjunto referencial Re los siguientes enunciados son proposiciones con cuantificadores: ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ xpx xpx Ya que el primero de ellos se lee “para todo x elemento del Re se cumple px” y el segundo de ellos se lee “existe al menos un x elemento de Re que cumple con px” ambos pueden ser calificados como proposiciones verdaderas o falsas. De aquí que si un predicado es cuantificado con alguno de los dos cuantificadores definidos se obtiene una proposición tal como se define a continuación. Definición 1.32 Valor de verdad de proposiciones con cuantificadores Una proposición que contiene un cuantificador universal es verdadera si y sólo si el conjunto de verdad del predicado es igual al conjunto referencial de la expresión abierta. ฀ ฀ ฀ xpx Apx Re Una proposición con un cuantificador existencial es verdadera si y sólo si el conjunto de verdad del predicado no es vacío. ฀ ฀ ฀ xpx Apx Obsérvese que si a Re los siguientes enunciados hipotéticos: ฀ ฀ ฀ ฀ xpx pa pa xpx son verdaderos. Considerando a como elemento de Re el primer enunciado quiere decir: “Si todos los elementos del referencial satisfacen un predicado dado entonces necesariamente a satisface el predicado”. El segundo enunciado quiere decir: “Si a satisface el predicado entonces necesariamente existirá por lo menos un elemento del referencial que satisface el predicado”.

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 57 pág. Resulta interesante estudiar los valores de verdad de xpx y xpx en función del conjunto referencial escogido. Consideremos 3 casos. Caso 1: Conjunto Vacío Si Re entonces xpx 1 debido a que Apx Re y xpx 0 por lo tanto: xpx ฀ xpx es una proposición verdadera. Caso 2: Conjunto Unitario Si Re a y pa ฀ 1 xpx ฀ 1 y xpx ฀ 1 por lo tanto xpx ฀ xpx es una proposición verdadera y xpx xpx también lo es. Luego se puede concluir que xpx ฀ xpx. Caso 3: NRe 1 En este caso siempre se cumple que: xpx xpx. De aquí en adelante vamos a considerar en la mayoría de los problemas este tipo de conjunto como referencial para los predicados. 1.12.1 Leyes de los Cuantificadores DE MORGAN DISTRIBUTIVAS xpx xpx xpx qx xpx qx xpx xqx xpx qx x px x px xpx xqx xpx xqx xpx qx xpx xqx Ejemplo 1.57 Demostración de leyes de cuantificadores. Demuestre formalmente la primera Ley de De Morgan de Cuantificadores. xpx xpx xpx xpx xpx Apx Re A C px A px A px x px Definición de cuantificador universal. Complementación de Re. Propiedad de conjuntos de verdad. Negación de la proposición previa. Definición de cuantificador existencial. Cuadro 1.13: Leyes de los Cuantificadores.

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58 pág. Demuestre formalmente: ฀ xpx qx xpx xqx Solución: xpx qx ฀ ฀ ฀ ฀ Apx qx Re Definición de cuantificador universal. ฀ ฀ ฀ ฀ Apx Aqx Re Propiedad de conjuntos de verdad. ฀ ฀ ฀ ฀ Apx Re Aqx Re Álgebra de conjuntos. xpx qx ฀ ฀ ฀ ฀ xpx xqx Definición de cuantificador universal. Por contraejemplo se puede demostrar que las dos últimas leyes de cuantificadores no son válidas si se consideran las implicaciones recíprocas. Sean: Re 1 2 3 4 … px: x es par qx: x es impar Se puede comprobar que: xpx qx 1 xpx 0 xqx 0 xpx qx 0 xpx 1 xqx 1 Es evidente entonces que en este caso las implicaciones: xpx qx xpx xqx y xpx xqx xpx qx son falsas. 1.13 Pares Ordenados y Producto Cartesiano Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dados dos conjuntos construir el producto cartesiano entre ellos. Dados varios conjuntos determinar la cardinalidad del producto cartesiano entre ellos. Demostrar las leyes del producto cartesiano. Ejemplo 1.58 Demostración de leyes de cuantificadores. Ejemplo 1.59 Demostración de leyes de cuantificadores.

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 59 pág. Sabemos por la teoría de conjuntos que no hay diferencia entre los conjuntos m n y n m ya que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos sin importar el orden. Sin embargo cuando queremos hablar de un par de elementos sobre los cuales nos interesa un orden específico debemos referirnos al concepto de par ordenado. Definición 1.33 Par ordenado Un par ordenado es un conjunto de dos elementos a y b que tiene un orden al elemento a se lo denomina primera componente y al elemento b se lo denomina segunda componente. Se representa simbólicamente por: a b. Como el par es ordenado no es lo mismo a b que b a. Una terna ordenada sería un conjunto de tres elementos ordenados y su representación es: a b c. Es importante anotar que existen conjuntos ordenados que pueden formarse con más de tres componentes. Definición 1.34 Producto cartesiano Sean dos conjuntos A y B no vacíos denominaremos producto cartesiano entre A y B al conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al conjunto A y la segunda al conjunto B. Simbólicamente lo representaremos como: A x B. A x B x y/x A y B La representación gráfica de A x B constituye el plano cartesiano en el cual tanto los elementos de A como los de B se alinean en dos segmentos de recta. Un segmento representará al conjunto A y el otro al conjunto B. x A y B x y A x B x y x y B A Figura 1.6: Plano Cartesiano.

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60 pág. Ejemplo 1.62 Cardinalidad del producto cartesiano. Ejemplo 1.60 Producto cartesiano entre dos conjuntos. A B A x B En este ejemplo la cardinalidad del conjunto resultante es NA x B 9. Generalizando la cardinalidad de A x B es: NA x B NA NB Ejemplo 1.61 Producto cartesiano entre tres conjuntos. A m n B 1 2 3 C A x B x C m1 m1 m2 m2 m3 m3 n1 n1 n2 n2 n3 n3 En este ejemplo la cardinalidad del conjunto resultante es NA x B x C 12. Generalizando la cardinalidad de A x B x C es: NA x B x C NA NB NC Con esto se puede concluir que la cardinalidad del producto cartesiano es el producto de las cardinalidades de los conjuntos que intervienen en la operación. Si A B C son conjuntos tales que: NA 2 NB 3 NC 4 y NB C 2 determine NA x B C. Solución: En base a la definición de NA x B tenemos que: NA xB C NANB C Por otra parte: NB C NB ฀ NC ฀ NB C 3 ฀ 4 2 5 Luego: NA xB C 25 10

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 61 pág. El producto cartesiano tiene las siguientes propiedades: Ejemplo 1.63 Demostración de propiedades del producto cartesiano. Demuestre formalmente: A x B C A x B A x C Solución: x y A xB C ฀ x A y B C Definición de producto cartesiano. ฀ x A y B y C Definición de unión entre conjuntos. ฀ x A y B x A y C Aplicación de propiedad distributiva. ฀ x y A x B x y A x C Definición de producto cartesiano. ฀ x y A x B A x C Definición de unión entre conjuntos. 1.14 Relaciones Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dados dos conjuntos crear una relación entre ellos. Dada una relación identificar su dominio y rango. Dada una relación representarla mediante diagramas sagitales. En lenguaje común decimos que la tarifa del agua potable depende del número de metros cúbicos consumido en un período de tiempo o bien decimos que el valor de una casa depende del número de metros cuadrados construidos. Aparece en estas frases el concepto de dependencia o relación. Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí postulamos una relación no necesariamente matemática. Las relaciones en un sentido más general se fundamentan en conjuntos arbitrarios. A x B C A x B C A x B C A B x C A B x C A B x C A x B A x C A x B A x C A x B A x C A x C B x C A x C B x C A x C ฀B x C Cuadro 1.14: Propiedades del Producto Cartesiano.

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62 pág. Definición 1.35 Relación Una relación establece la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos no vacíos A y B. Usualmente al conjunto A se lo denomina conjunto de partida y al conjunto B de llegada. Simbólicamente la relación se representa por R y se cumple que: R ฀ A x B Es decir todos los subconjuntos de A x B constituyen una relación. La cantidad máxima de relaciones que se pueden obtener a partir de dos conjuntos no vacíos A y B es: 2 NANB . Ejemplo 1.64 Relaciones. Al decir que Samuel es padre de Irma se está construyendo una relación entre ambos. Si Samuel es un elemento del conjunto A Samuel José César e Irma es un elemento del conjunto B Janeth Irma Pedro el par ordenado Samuel Irma constituye un elemento del producto cartesiano A x B y es parte de la relación R: “x es padre de y” construida entre A y B siendo x A y B. Se pueden construir relaciones entre TODOS o ALGUNOS elementos del primer conjunto con UNO o MÁS del segundo conjunto esto incluye la posibilidad de que NINGÚN elemento del primer conjunto se relacione con NINGÚN elemento del segundo conjunto estableciéndose una relación vacía. Ejemplo 1.65 Relación vacía. Basados en el ejemplo anterior podría darse el caso que Samuel José o César no sean padres de Janeth Irma o Pedro lo cual correspondería a una relación sin elementos. Ejemplo 1.66 Cantidad de relaciones. Dados los conjuntos A y B a b determine analíticamente el número de relaciones posibles que se pueden obtener de A en B y realice los diagramas sagitales correspondientes a todas las relaciones posibles. Solución: El número de relaciones de A en B es 2 NANB 2 22 2 4 16

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 63 pág. Diagramas sagitales: Caso 1: Ningún elemento del conjunto de partida está relacionado con ningún elemento del conjunto de llegada relación vacía. Caso 2: Relaciones de un solo elemento del conjunto de partida con uno solo del conjunto de llegada. R 1 A B b a R 2 A B b a R 3 A B b a R 5 A B b a R 4 A B b a

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64 pág. Caso 4: Relación de dos elementos del conjunto de partida con uno solo del conjunto de llegada. Caso 5: Relaciones de un elemento del conjunto de partida con uno solo del conjunto de llegada. Caso 6: Relaciones de un elemento del conjunto de partida con dos del conjunto de llegada y el otro elemento del conjunto de partida con otro del conjunto de llegada. Caso 3: Relaciones de un solo elemento del conjunto de partida con dos del conjunto de llegada. R 6 A B b a R 7 A B b a R 8 A B b a R 9 A B b a R 10 A B b a R 11 A B b a R 12 A B b a R 13 A B b a

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 65 pág. Caso 7: Todos los elementos del conjunto de partida están relacionados con todos los elementos del conjunto de llegada producto cartesiano. Definición 1.36 Dominio de una Relación Dada una relación R construida a partir de los conjuntos A y B los elementos del conjunto A que establecen correspondencia constituyen el dominio de la relación. Se representa simbólicamente por: dom R. No necesariamente todos los elementos del conjunto de partida forman parte del dominio de una relación. Definición 1.37 Rango de una Relación Dada una relación R construida a partir de los conjuntos A y B los elementos del conjunto B que se relacionan con elementos del dominio de R constituyen el rango de la relación. Se representa simbólicamente por: rg R. Es común también denominar al rango de la relación como el recorrido imagen o codominio de la misma. No necesariamente todos los elementos del conjunto de llegada forman parte del rango de una relación. R 15 A B b a R 14 A B b a R 16 A B b a

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66 pág. Ejemplo 1.67 Dominio y rango de una relación. A 2 4 5 B 1 3 5 R x y/x+y es un número primo R 21 23 25 41 43 dom R 2 4 rg R 1 3 5 Una relación puede ser representada mediante el uso de planos cartesianos o diagramas sagitales. Ejemplo 1.68 Representación sagital de una relación. A 0 2 4 6 B 1 3 5 R x y/xy R 21 41 43 61 63 65 Podemos observar que dom R 2 4 6 y rg R 1 3 5. Ejemplo 1.69 Relaciones. Sean A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B 00 31 42 63 84 y R la relación de A en B definida por: R a b c/a b ฀ c a A b c B Establezca los elementos de R. Solución: Partiendo de la condición: a b c R A B 0 2 4 6 1 3 5

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 67 pág. Tenemos que: b c 00 a 0 0 0 b c 31 a 3 1 4 b c 42 a 4 2 6 b c 63 a 6 3 9 Note que la pareja restante 8 4 del conjunto B no satisface la condición dada. De donde: R 0 00 4 31 6 42 9 63 1.15 Funciones Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dada una relación entre dos conjuntos identificar si es función. Dada una función entre conjuntos determinar su tipo. Dadas dos funciones construir de ser posible la composición entre ellas. Dada una función analizar la existencia de su inversa. Las funciones juegan papeles importantes en nuestras vidas. Como este capítulo está dedicado a conjuntos y dado que el concepto de función aparecerá continuamente se ha considerado conveniente desarrollar estas definiciones en la presente sección. A Gottfried Leibniz se le adjudica haber utilizado por primera vez la palabra función del latín functo que significa acto de realizar. La definición formal se le atribuye al alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1805-1859. Adicionalmente se puede concluir que: dom R 0 4 6 9 y Ndom R 4 rg R 00 31 42 63 y Nrg R 4. R A B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 3 1 4 2 6 3 8 4

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68 pág. Definición 1.38 Función Una relación de A en B es una función si y sólo si el dominio de la relación es todo el conjunto de partida y si a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento en el rango. Simbólicamente esta definición se representa por: 1. dom R A 2. x A y 1 y 2 Bx R y 1 ฀ x R y 2 y 1 y 2 Para denotar funciones usualmente se utiliza la letra f. De esta definición se concluye que en una función no pueden existir dos elementos del conjunto de llegada relacionados con un mismo elemento del dominio o lo que es igual un elemento del dominio no puede estar relacionado con dos elementos diferentes del conjunto de llegada. Cabe anotar que toda función es una relación pero no toda relación representa una función. Es posible que las funciones también sean representadas con las letras g h… En la expresión y fx: • x se conoce como la variable independiente. • y se conoce como la variable dependiente. Ejemplo 1.70 Relaciones y funciones. Dados los conjuntos A y B a e i o u se definen las siguientes relaciones: R 1 : A A R 1 R 2 : A B R 2 a e i o u R 3 : B B R 3 a e e i i o o u Determine si R 1 R 2 o R 3 representan funciones. Solución: R 1 es una función puesto que dom R 1 A y a cada elemento del dominio de R 1 le corresponde un único elemento en el conjunto de llegada. R 2 no es una función puesto que al elemento del conjunto de partida le corresponde más de un elemento en el conjunto de llegada. R 3 no es una función puesto que dom R 3 ≠ ฀B.

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 69 pág. Ejemplo 1.71 Relaciones y funciones. Dados los conjuntos A a b c d y B 1 2 3 y las relaciones: R 1 a 1 b 2 c 2 d 3 R 2 a 1 b 2 b 3 d 1 Determine si R 1 o R 2 constituyen funciones de A en B. Solución: R 1 : A B Sí constituye una función ya que el dominio de R 1 es todo el conjunto de partida A y a cada elemento del dominio le corresponde uno del conjunto de llegada. R 2 : A B No es una función porque el dominio no constituye todo el conjunto de partida A. También se puede observar que no se cumple la segunda condición de función para el elemento b. R 1 A B a b c d 1 2 3 R 2 A B a b c d 1 2 3

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70 pág. 1.15.1 Tipos de funciones Las funciones presentan diversas características las cuales deben ser tipificadas para posteriores análisis. Estas características dependen de la cardinalidad de los conjuntos de partida y de llegada así como de la relación que se establezca entre ellos. De acuerdo a las características de las funciones es posible realizar diferentes representaciones gráficas. Definición 1.39 Función Inyectiva f : A B es inyectiva x 1 x 2 A x 1 x 2 f x 1 f x 2 f es inyectiva si cada elemento del rango es imagen exclusiva de un único elemento del dominio. Es necesario que NA ฀ NB para poder construir funciones inyectivas. Ejemplo 1.73 Función Inyectiva. A 2 4 5 B 8 64 125 216 Ejemplo 1.72 Funciones. A 1 2 3 B a b c f : A B f 1 a 2 b 3 b dom f A rg f a b En este caso se dice que b es imagen de 2 y de 3 y que a es imagen de 1. A B f 1 2 3 a b c

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 71 pág. Si f es inyectiva podemos regresar de fx a x por un solo camino con lo cual se garantiza que dado un elemento del rango de f se puede encontrar un solo elemento de su dominio que le corresponda. Definición 1.40 Función Sobreyectiva f : A B es sobreyectiva y B x Ay f x f es sobreyectiva si rg f B. Es necesario que NA ฀ NB para poder construir funciones sobreyectivas. f : A B “y es el cubo de x” f 2 8 4 64 5 125 dom f A rg f 8 64 125 f es inyectiva Ejemplo 1.74 Función Sobreyectiva. A 1 0 1 B 0 1 f : A B “y es el cuadrado de x” f 1 1 0 0 1 1 dom f A rg f B f es sobreyectiva A f B 2 4 5 8 64 125 216 A f B 1 0 1 0 1

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72 pág. Así mismo existen funciones que poseen las dos características anteriormente señaladas las cuales se definen a continuación. Definición 1.41 Función Biyectiva f : A B es biyectiva si y sólo si f es inyectiva y f es sobreyectiva. Ejemplo 1.75 Función Biyectiva. A Guayas El Oro Los Ríos B Machala Guayaquil Babahoyo f : A B “y es capital de x” f Guayas Guayaquil El Oro Machala Los Ríos Babahoyo dom f A rg f B f es biyectiva Las funciones biyectivas tienen propiedades importantes una de las cuales se explicará a continuación. Definición 1.42 Función Inversible f : A B es inversible si y sólo si su relación inversa es una función de B en A. A partir de esta definición el lector podrá verificar el siguiente teorema. Teorema 1.1 f es una función inversible si y sólo si es biyectiva. Observaciones En base a las definiciones anteriores es importante anotar que: • Las funciones que son sobreyectivas no necesariamente son inyectivas. • Las funciones que son inyectivas no necesariamente son sobreyectivas. • Es posible que una función no sea inyectiva ni sobreyectiva. A f B Guayas El Oro Los Ríos Machala Guayaquil Babahoyo

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 73 pág. Definición 1.43 Función Inversa Si f : A B es biyectiva es posible construir la inversa f –1 : B A. Esta nueva función permite invertir el sentido de la correspondencia tal que a cada y B se lo asocia con un único x A. La función inversa es f –1 : B A lo cual indica que el orden de los conjuntos cambia. Adicionalmente se puede notar que el dominio de f es el rango de f –1 y el rango de f es el dominio de f –1 . Ejemplo 1.76 Función Inversa. En el ejemplo anterior la función f es biyectiva entonces existe f –1 : f –1 : B A “x es capital de y” f –1 Guayaquil Guayas Machala El Oro Babahoyo Los Ríos Podemos observar que dom f rg f –1 y dom f –1 rg f. Definición 1.44 Función Compuesta Sean las funciones f : A B y g : C D la función compuesta denotada por gof es una función que relaciona A con D es decir que a partir de un elemento x de A se obtiene un elemento g f x de D. La composición de funciones gof se ilustra en el siguiente gráfico suponiendo que B C: Figura 1.7: Composición de funciones gof. x f x gf x f g A B D

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74 pág. Es importante anotar que gof existe si y sólo si: rg f dom g. Dadas dos funciones f y g: gof es el conjunto de parejas de la forma x gf x. Considerando el gráfico anterior si f y g son procesos entonces h gof es el resultado del proceso siguiente: 1. h recibe un elemento x y lo introduce en el proceso f para obtener b f x 2. h introduce a b en el proceso g para obtener gb gf x 3. En resumen h ha transformado a x en hx gf x Lo anterior nos permite concluir que domgof A y que rggof ฀ rg g ฀ D. La composición de funciones fog siendo g:B C y f: C A se ilustra en el siguiente gráfico: La función compuesta fog existe si y sólo si: rg g ฀ dom f. Se cumple que dom fog B y que rg fog ฀ rg f ฀ A. La composición de funciones en general no es conmutativa. Ejemplo 1.77 Composición de funciones. Considere los conjuntos A y B a b c d e. Se tienen las funciones: f : A B dada por f b a d c g : B A dada por g a b c d e Es posible construir las funciones: gof: A A gof fog: B B fog a b b b c a d d e c Figura 1.8: Composición de funciones fog. x gx fg x fog B C A g f

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 75 pág. De este ejemplo se puede concluir que fog es diferente a gof. Ejemplo 1.78 Composición de funciones. Sean los conjuntos A x y z B s t r C 1 2 3 y D a b c f : A B g : D A y h : C D funciones tales que: g a y b x c z gof f g A B A a b c d e a b c d e a b c d e fog g f A B B f A B x y z s t r a b c h 1 2 3 C D

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76 pág. Ejemplo 1.79 Composición de funciones. Considere los conjuntos A y B a b c d. Se tienen las funciones: f : A B dada por f b a d c f 1 : B A dada por f 1 a b c d Es posible construir las funciones: f 1 o f : A A f 1 o f f o f 1 : B B f o f 1 a a b b c c d d Determine fogoh Solución: Planteamos fog: fog : D ฀ B fog a t b s c r la cual es una función de D en ฀B. Ahora planteamos fogoh: fogoh : C ฀ B fogoh 1 s 2 t 3 t la cual es una función de C en ฀B. Adicionalmente se cumple que: dom fogoh dom h rg fogoh rg fog Es posible construir las funciones compuestas f o f –1 y f –1 o f . x y z s t r a b c B A D g f fog s t r a b c 1 2 3 fogoh h fog C D B

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Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 77 pág. Las parejas que resultan en las dos composiciones tienen las mismas componentes. Una función con esta característica se conoce como función IDENTIDAD la cual se denota por I. Como x A y B f –1 o f Ix y f o f –1 Iy para que f o f –1 f –1 o f es necesario que los conjuntos de partida y de llegada sean los mismos. Ejemplo 1.80 Composición de funciones. Dados los conjuntos A y B tales que A B 1 3 5 7 y la función f y g de A en B: f 1 3 3 1 5 5 7 7 g 1 7 3 7 5 1 7 3 Determine f 1 o g. f 1 o f f 1 f A B A a b c d f o f 1 f 1 f B A B a b c d a b c d

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78 pág. Solución: f –1 3 1 1 3 5 5 7 7 f –1 o g 1 7 3 7 5 3 7 1 Adicionalmente se cumple que: dom f –1 o g dom g rg f –1 o g rg f –1 f 1 o g f 1 g 1 3 5 7 1 3 5 7 1 3 5 7

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79 pág. 1.1 Proposiciones 1. Indique si cada enunciado es o no una proposición: a 7415 es un número par. b ¿Qué hora es c Los números divisibles para 8 son divisibles para 2. d ¡Pare por favor e El atardecer en la playa es romántico. f La edad de Gloria es 17 años. g Guayaquil es la capital económica de Ecuador. h Galápagos es considerado Patrimonio Cultural de la Humanidad. i Mi familia y yo viajaremos a la Sierra en fin de año. j Ayer estuvo soleado pero hoy llueve torrencialmente. k Mi palabra se siente levantada por un caballo lírico que salta. l El mejor gobierno es el que gobierna menos. 2. Indique cuál de los siguientes enunciados no es una proposición: a Hubo escasez de lluvias. b Mi correo electrónico es turistaespol.edu.ec c 53 ฀ 4 36. d 3 es un número par. e Turismo. 3. Indique cuál de los siguientes enunciados es una proposición: a ¿Qué estás haciendo b 3 x 7. c ¡Márchate d 3 x 7. e Neil Armstrong caminó sobre la Luna. 4. Indique cuál de los siguientes enunciados es una proposición: a El sabor del color azul es dulce. b 314159 es un número primo. c x 2 2x 1 0. d Disparen al ladrón. e La edad del universo es de unos 15 mil millones de años. 5. Indique cuál de los siguientes enunciados es una proposición: a Las rosas me cautivan. b El amanecer es bello. c 4 es divisible para 2. d 45 18. e La Química es complicada. 6. Dados los siguientes enunciados: Es verdad que: a I y II son proposiciones. b I y III son proposiciones. c I y IV son proposiciones. d II y III son proposiciones. e Todos son proposiciones. I: Disminuya la velocidad. II: 10 8 1. III: Mi banca es gris. IV: Hola ¿cómo estás. CAPÍTULO UNO 1 Ejercicios propuestos

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80 pág. 7. Dadas las siguientes proposiciones: a: Elizabeth cumple con sus obligaciones. b: Elizabeth aprueba el examen. c: Elizabeth se va de vacaciones. d: Elizabeth trabaja. e: Elizabeth come. 1.2 Operadores lógicos 12. Defina simbólicamente las proposiciones e indique la traducción al lenguaje formal: a La decisión depende del juicio o la intuición pero no del dinero. b Iré al estadio o al cine en caso de que consiga dinero. c El Sol brilla porque es el día del amor. d A Juan no le agrada este ejercicio pues no lo puede resolver. 13. Considerando las proposiciones: a: La información es correcta. b: Existe un incremento en los costos de producción. c: El analista tiene un error de apreciación. Traduzca al lenguaje formal la proposición: La información es incorrecta sólo si existe un incremento en los costos de producción o el analista tiene un error de apreciación. 9. Si la disyunción entre dos proposiciones es falsa entonces la enunciación hipotética entre ellas también es falsa. a Verdadero b Falso 10.Si la negación de la disyunción entre dos proposiciones es verdadera entonces la enunciación hipotética entre ellas también es verdadera. a Verdadero b Falso 11. Una contrarrecíproca de la proposición “Si estudio conscientemente apruebo el curso de nivel cero” es “Si no estudio conscientemente no apruebo el curso de nivel cero”. a Verdadero b Falso 8. Sean las proposiciones: a: Como espinaca. b: La Lógica es fácil. c: Me divierto con este deber. Parafrasee las siguientes proposiciones: a a ฀ b c b b ฀ c a c ฀ a ฀ b ฀ ฀ c Traduzca literalmente las siguientes proposiciones: I a ฀ b ฀ c d II b ฀ d ฀ a c d ฀ d e III c ฀ a d b ฀ e IV a b ฀ c d ฀ e

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81 pág. 15. Indique cuál de las siguientes proposiciones es falsa: a Si 23 5 16 entonces 56 ฀ 1 35. b Si 4 5 20 entonces 6 ฀ 7 12. c Si 9 5 14 entonces 6 ฀ 5 11. d Si 94 2 54 entonces 94 ฀ 1 14. e Si 34 5 28 entonces 76 ฀ 5 37. 16. Una recíproca de la proposición “Carlos llega impuntual siempre que se levanta tarde” es: a Si Carlos se levanta tarde entonces llega impuntual. b Si Carlos llega impuntual entonces se levanta tarde. c Si Carlos no llega impuntual entonces no se levanta tarde. d Carlos llega impuntual si no se levanta tarde. e Si Carlos no llega impuntual entonces se levanta tarde. 14. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a Quito es capital de Argentina o Buenos Aires es capital de Ecuador. b 5 es menor que 10 y 8 no es un número primo. c 9 ฀ 16 3 ฀ 43 4 ฀ 5 2 0 18. Empleando tablas de verdad identifique una contrarrecíproca de la proposición “Siempre que tengo hambre y no tengo tiempo para comer no me siento bien y no puedo estudiar”. a Si no tengo tiempo para comer y tengo hambre me siento bien y puedo estudiar. b Si no me siento bien ni puedo estudiar tengo hambre o no tengo tiempo para comer. c Si me siento bien y puedo estudiar tengo hambre o no tengo tiempo para comer. d Si no tengo hambre ni tengo tiempo para comer me siento bien o puedo estudiar. e Si me siento bien o puedo estudiar no tengo hambre o tengo tiempo para comer. 17. La traducción en el lenguaje formal de la proposición “Si tu eres inteligente y no actúas con prudencia eres un ignorante en la materia” siendo las proposiciones: m: Tú eres inteligente. n: Tú actúas con prudencia. p: Tú eres un ignorante en la materia. es: a m ฀ ฀ n ฀ p b m ฀ n ฀ p c p ฀ m ฀ n d m ฀ ฀ p ฀ n e m ฀ n ฀ ฀ p

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82 pág. 22. Considere las proposiciones: a: Hoy es lunes. b: Obtengo un buen resultado. La traducción de la proposición “Es suficiente que hoy sea lunes para que obtenga un buen resultado” es b a. a Verdadero b Falso 19. Siendo la proposición “Si el país está bien económicamente yo tengo empleo” verdadera entonces la condición necesaria de la proposición es: a El país no está bien económicamente. b Yo tengo empleo. c Yo no tengo empleo. d El país está bien económicamente y yo tengo empleo. e Ni tengo empleo ni el país está bien económicamente. 20. “Si una función es diferenciable es continua” es una proposición verdadera ¿cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas a Una función es diferenciable sólo si es continua. b Una función es continua sólo si es diferenciable. c La diferenciabilidad de una función es condición necesaria para la continuidad de la misma. d La diferenciabilidad de una función es condición suficiente para la continuidad de la misma. e La diferenciabilidad de una función es condición suficiente y necesaria para que sea continua. 21. Considere la proposición “Compro y uso el traje gris si me pagan”. Empleando tablas de verdad identifique: I Una recíproca de la proposición dada. a Si compro y uso el traje gris entonces me pagan. b Si no compro y no uso el traje gris entonces no me pagan. c Si no compro o no uso el traje gris entonces me pagan. d Si no me pagan entonces no compro o no uso el traje gris. e Si me pagan entonces compro y uso el traje gris. II Una inversa de la proposición dada. a Si compro y uso el traje gris entonces me pagan. b Si no compro o no uso el traje gris entonces no me pagan. c Si no compro o no uso el traje gris entonces me pagan. d Si no me pagan entonces no compro o no uso el traje gris. e Si me pagan entonces compro y uso el traje gris. III Una contrarrecíproca de la proposición dada. a Si compro y uso el traje gris entonces me pagan. b Si no compro o no uso el traje gris entonces no me pagan. c Si no compro o no uso el traje gris entonces me pagan. d Si no me pagan entonces no compro o no uso el traje gris. e Si me pagan entonces compro y uso el traje gris.

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83 pág. 25. Una traducción al lenguaje formal de “Mis padres me compran un carro sólo si me porto bien y apruebo este curso” siendo las proposiciones simples: m: Mis padres me compran un carro. n: Yo me porto bien. p: Yo apruebo este curso. es: n ฀ ฀ p ฀ m a Verdadero b Falso 26. Si la proposición ฀ p ฀ ฀ q ฀ ฀ r es falsa entonces la proposición p ฀ q ฀ r es: a Verdadera b Falsa 24. Considere las proposiciones simples: a: Utilizo mis habilidades matemáticas. b: Resuelvo bien los ejercicios. c: Hago un buen deber. La traducción de la proposición compuesta “Es necesario que utilice mis habilidades matemáticas para que resuelva bien los ejercicios y haga un buen deber” es a ฀ b ฀฀ c. a Verdadero b Falso 23. Una traducción al lenguaje formal de “Guayaquil mejora su imagen si la Municipalidad realiza obras o los ciudadanos colaboran en el aseo de las calles” siendo las proposiciones simples: m: La Municipalidad realiza obras. n: Los ciudadanos colaboran en el aseo de las calles. p: Guayaquil mejora su imagen. es: p ฀ m ฀฀ n a Verdadero b Falso 1.3 Proposiciones simples y compuestas 27. Si se consideran las siguientes proposiciones simples: m: Viajo al exterior. n: Apruebo el curso de nivel cero. p: Obtengo una beca. Una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Viajo al exterior sólo si apruebo el curso de nivel cero y obtengo una beca” es: a ฀ p ฀ ฀ m ฀ n d m ฀ ฀ n ฀ p e n ฀ ฀ p ฀ m b ฀ m ฀ ฀ ฀ n ฀ p c ฀ n ฀ ฀ p ฀ m

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84 pág. 28. Si la proposición p ฀ ฀ q ฀ r ฀ ฀ s ฀ p ฀ ฀ r ฀ s es verdadera entonces es cierto que: a ฀p ฀ q es falsa. d q ฀ ฀es falsa. e p ฀ ฀ r es falsa. b q ฀ s es verdadera. c r ฀ s ฀ q es falsa. 29. Sean las proposiciones simples: a: Te gustan las matemáticas. b: Te gusta este deber. Traduzca las siguientes proposiciones compuestas al lenguaje común: a ฀ ฀ a ฀ b b ฀a ฀ ฀ b c ฀a ฀ b d ฀ ฀ b ฀ ฀ a e ฀a ฀ ฀ a ฀ b r: Tengo un accidente. s: Estoy enfermo. p: Necesito un doctor. q: Necesito un abogado. 30. Dadas las proposiciones simples: Una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Si estoy enfermo necesito un doctor y si tengo un accidente necesito un abogado” es: a ฀s ฀ p ฀ r ฀ q d s ฀ p r ฀ q e ฀s ฀ p r ฀ q b ฀s ฀ p r ฀ q c ฀s ฀ p ฀ r ฀ q 31. Dadas las proposiciones simples: p: La guerra se detiene. q: Sigo estudiando. r: Sigo trabajando. Una negación de la proposición compuesta “Si la guerra se detiene entonces podré seguir estudiando o trabajando” es: a ฀ ฀ p ฀ q ฀ ฀ r d ฀ p ฀ q ฀ ฀ r e ฀ p ฀ ฀q ฀ r b ฀ ฀p ฀ q ฀ r c ฀ ฀p ฀ q ฀ ฀ r 32. Dadas las proposiciones simples: p: Pedro realizó un paseo en grupo. q: Pedro preparó el mejor informe de la clase. r: Encontré a Pedro visitando el Centro Comercial San Marino. Una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Pedro realizó un paseo en grupo y preparó el mejor informe de la clase puesto que lo encontré visitando el Centro Comercial San Marino” es: a ฀p ฀ ฀ q ฀ ฀ r d r ฀ ฀ p ฀ ฀ q e r ฀ p ฀ ฀ q b r ฀ p ฀ ฀ q c ฀ p ฀ ฀ q ฀ ฀ r

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85 pág. 33. Dadas las proposiciones simples: p: Hoy es domingo. q: Tengo que estudiar teorías de aprendizaje. r: Aprobaré el curso. Una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Hoy es domingo pero tengo que estudiar teorías de aprendizaje o no aprobaré el curso” es: a ฀p ฀ q ฀ ฀ r d ฀p ฀ ฀ q ฀ ฀ ฀ r e p ฀ ฀ q ฀ r b p ฀ q ฀ r c p ฀ q ฀ ฀ r 34. Dadas las proposiciones simples: a: Luis llega a tiempo. b: Luis se levanta temprano. c: Luis desayuna. Una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Para que Luis desayune y llegue a tiempo es necesario que se levante temprano” es: a c ฀ a ฀ b d c ฀ ฀ a ฀ b e c ฀ b ฀ ฀ a b a ฀ b ฀ c c a ฀ b ฀ c 35. Dadas las proposiciones simples: m: Se realiza una gran fiesta. n: Hago bien este deber. p: Mis amigos están de acuerdo. Una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Se realiza una gran fiesta sólo si hago bien este deber y mis amigos están de acuerdo” es: a n ฀ ฀ p ฀ m d m ฀ n ฀ p e ฀ m ฀ ฀ n ฀ p b ฀ p ฀ m ฀ n c ฀ n ฀ ฀ p ฀ m 36. Dadas las proposiciones simples: p: Estudio Historia. q: Estudio Geografía. r: Estudio Matemáticas. Empleando tablas de verdad identifique una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Si estudio Historia o Geografía entonces estudio Matemáticas”. a p r ฀ q r d ฀ r ฀ p ฀ q e q ฀ ฀ ฀ p ฀ r b ฀ p ฀ q ฀ r c p r ฀ ฀ q

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86 pág. 1.4 Formas proposicionales 43. Si la forma proposicional f p q r es una contradicción entonces f 1 1 1 es una proposición verdadera. a Verdadero b Falso Para el siguiente ejercicio considere que f p q r s representa una forma proposicional de cuatro variables. Para los dos ejercicios siguientes considere que f p q r representa una forma proposicional de tres variables. 42. Si la forma proposicional f p q r es tautológica entonces f 0 0 0 es una proposición falsa. a Verdadero b Falso 39. Identifique las proposiciones simples los operadores lógicos presentes y traduzca al lenguaje formal las proposiciones dadas: a Si un número es divisible para dos no es primo. b Si estudias aprenderás si no estudias te arrepentirás. c Si x satisface la ecuación x 2 9 25 el triángulo es rectángulo y la longitud de la hipotenusa es 4 por el contrario si x no satisface la ecuación dada no hay manera de calcular el área de la superficie del triángulo. d Si me quieres te quiero si no me quieres te quiero igual. 37. Si la proposición a ฀ ฀ b ฀ d ฀ d ฀ e es falsa entonces es verdad que: a ฀b ฀ a es falsa. d a ฀ d ฀ ฀es falsa. e e ฀ a es falsa. b ฀ e ฀ ฀ d es falsa. c d ฀ a es falsa. 40. Si ฀ p ฀ q es una proposición verdadera determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a ฀p ฀ ฀ q ฀ r d ฀ p ฀ q ฀ ฀ e p ฀ ฀q ฀ ฀ r b q ฀ p ฀ ฀ r c q ฀ ฀ p ฀ q 41. Si p ฀q es una proposición falsa determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a ฀p ฀ ฀ q ฀ ฀ p d ฀ ฀p ฀ ฀ q ฀ ฀ ฀p ฀ ฀ q e p ฀ ฀ ฀ q ฀ ฀ q ฀ ฀ ฀ p b ฀ q ฀ p c p ฀ q ฀ ฀ ฀ p ฀ q 38. Si p ฀ q representa una proposición falsa determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a ฀p ฀ ฀ q ฀ ฀ p d ฀ ฀p ฀ ฀ q ฀ ฀ ฀p ฀ ฀ q e p ฀ ฀ ฀ q ฀ ฀ q ฀ ฀ ฀ p b ฀ q ฀ p c p ฀ q ฀ ฀ ฀ p ฀ q

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87 pág. 51. Si p y q son dos formas proposicionales tautológicas entonces es verdad que: a p ฀ q no es una forma proposicional tautológica b p ฀ ฀ p es una contradicción c q ฀ p es una contingencia d p ฀ q es una forma proposicional tautológica e q ฀ p no es una contradicción 46. Si p q y r son variables proposicionales entonces p ฀ q ฀ ฀ r ฀ q p ฀ r es una forma proposicional tautológica. a Verdadero b Falso 45. Si p q y r son variables proposicionales entonces p ฀ q ฀ r es una contradicción. a Verdadero b Falso 44. Si la forma proposicional f p q r s es una contradicción entonces f 1011 ฀f 0100 ฀0. a Verdadero b Falso 50. Identifique cuál de las siguientes formas proposicionales NO es tautológica: a p ฀ q ฀ ฀ p ฀ q b p ฀ r ฀ q ฀ r ฀ p ฀ q ฀ r c p ฀ q ฀ ฀ p ฀ q d ฀ q ฀ ฀ p ฀ ฀ q e p ฀ q ฀ q ฀ r ฀ p ฀ r 48. Identifique cuál de las siguientes formas proposicionales es tautológica: a ฀ ฀ ฀ p ฀ ฀ q d ฀p ฀ ฀ p ฀ ฀ q ฀ ฀ q e p ฀ ฀ q ฀ p ฀ ฀ q b ฀ ฀ p ฀ q c p ฀ p ฀ ฀ q 47. Identifique cuál de las siguientes formas proposicionales NO es tautológica: a ฀ ฀ q ฀ ฀ p ฀ ฀ p ฀ q d ฀p ฀ ฀ q ฀ ฀ ฀q ฀ ฀ p e p ฀ ฀ q ฀ r ฀ p ฀ ฀ r ฀ ฀ q ฀ ฀ r b ฀p ฀ q ฀ ฀ p ฀ q c p ฀ q ฀ ฀ p ฀ ฀ q 49. Una expresión M para que la forma proposicional p ฀ ฀p ฀ q M sea tautológica es: a ฀ ฀p ฀ q d ฀ p e ฀ q b ฀ p ฀ q c p ฀ q

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88 pág. 53. Dada la proposición: “No estoy satisfecho puesto que no me dieron el aumento de sueldo” identifique cuál de las siguientes proposiciones no es equivalente. a Si me dan aumento de sueldo estoy satisfecho. b Si no me dan aumento de sueldo no estoy satisfecho. c Si estoy satisfecho me dan aumento de sueldo. d Me dieron aumento de sueldo o no estoy satisfecho. e No me dieron aumento de sueldo sólo si no estoy satisfecho. 55. Considere las variables proposicionales p q y r. Empleando álgebra proposicional determine si la forma proposicional p ฀ q ฀ ฀ q ฀ r es tautología contradicción o contingencia. 56. Demuestre que la siguiente forma proposicional es tautológica. 1.5 Propiedades de los operadores lógicos 57. Empleando álgebra proposicional determine si las siguientes formas proposicionales son tautología contradicción o contingencia. 59. Una negación de la proposición “Me comporto bien en mi hogar sólo si soy un buen hijo” es la proposición “Me comporto bien y no soy un buen hijo”. a Verdadero b Falso 58. Empleando álgebra proposicional determine si las siguientes formas proposicionales son: tautología contradicción o contingencia. 52. Empleando álgebra proposicional identifique cuál de las siguientes formas proposicionales NO es tautológica. 54. Empleando álgebra proposicional identifique cuál de las siguientes formas proposicionales NO es una tautología. a p ฀ q ฀ r ฀ s ฀ ฀ ฀ p ฀ r ฀ q ฀ s b p ฀ p ฀ q ฀ ฀ q c p ฀ q ฀ q ฀ r ฀ p ฀ r d p ฀ q ฀ p ฀ q e p ฀ 0 ฀ ฀ p a ฀ ฀ p ฀ q ฀ ฀ p ฀ ฀ q d ฀ p ฀ ฀ p ฀ q ฀ ฀ ฀ p e p ฀ ฀p ฀ q ฀ ฀ ฀ q b ฀ p ฀ ฀ q ฀ ฀ p ฀ q c ฀ ฀ p ฀ ฀ q ฀ ฀ q p ฀ q ฀ r p ฀ q ฀ r a ฀r ฀ s ฀ ฀ s d ฀p ฀ q ฀ ฀ ฀p ฀ ฀ q e ฀p ฀ q ฀ ฀ p ฀ ฀ p ฀ q b ฀p ฀ q ฀ q ฀ ฀ p c ฀ p ฀ p ฀ q I ฀ ฀ ฀ p ฀ p ฀ q III ฀p ฀ q ฀ ฀ ฀ r IV ฀p ฀ q ฀ ฀ ฀ r ฀ r II ฀p ฀ q ฀ p ฀ ฀ q

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89 pág. 1.6 Razonamientos 65. Un razonamiento es válido si y sólo si su estructura lógica es una forma proposicional tautológica. a Verdadero b Falso 66. El razonamiento: “Si te gustan las Matemáticas entonces eres hábil para la Geometría. Luego no te gustan las Matemáticas” es válido. a Verdadero b Falso 67. El razonamiento “Si trabajo arduamente gano un buen sueldo pero no gano un buen sueldo. Por lo tanto no trabajo arduamente” es válido. a Verdadero b Falso 61. La Ley del Tercero Excluido establece que una proposición o sólo puede ser falsa o sólo puede ser verdadera pero no puede tomar un tercer valor de verdad. a Verdadero b Falso 62. La Ley de la Doble Negación establece que una proposición negada dos veces vuelve a tomar su valor de verdad original. a Verdadero b Falso 63. Enuncie y luego demuestre mediante una tabla de verdad: a Una de las leyes distributivas. b Una de las leyes de De Morgan. 60. La Ley de la Contradicción establece que una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo. a Verdadero b Falso 64. La proposición: “Si se es inteligente o estudioso entonces se es aplicado” es lógicamente equivalente a: a Si no se es inteligente entonces no se es ni estudioso ni aplicado. b Si se es inteligente entonces se es aplicado y si se es estudioso entonces se es aplicado. c Si se es inteligente entonces se es estudioso y aplicado. d Si se es inteligente entonces se es aplicado pero no se es estudioso.

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90 pág. 70. Dadas las siguientes hipótesis: a El evento no se realizará en nuestro país. b El turismo no se reactiva en nuestro país. c El turismo se reactiva en nuestro país y el Gobierno no realiza las gestiones apropiadas. d El Gobierno no realiza las gestiones apropiadas. e Si el Gobierno realiza las gestiones apropiadas el turismo se reactiva en nuestro país. H 1 : Si el Gobierno no realiza las gestiones apropiadas entonces el evento no se realizará en nuestro país. H 2 : El turismo se reactiva en nuestro país. H 3 : El evento se realizará en nuestro país. Una conclusión que puede inferirse a partir de ellas es: 68. Dado el razonamiento H 1 H 2 ฀C donde: a Voy a ser feliz. b Si me convierto en músico entonces lo intento con ahínco. c No me convierto en músico. d No tengo talento. e Si no voy a ser feliz entonces no lo intento con ahínco o no tengo talento. H 1 : Si lo intento con ahínco y tengo talento entonces me convierto en músico. H 2 : Si me convierto en músico seré feliz. Una conclusión C que hace válido este razonamiento es: 69. Dado el razonamiento H 1 H 2 ฀C donde: H 1 : Si apruebo todas las materias entonces me voy de vacaciones por un mes. H 2 : Me voy de vacaciones por un mes y compraré muchos recuerdos. Una conclusión C que hace válido este razonamiento es: a No me voy de vacaciones por un mes. b Apruebo todas las materias y compraré muchos recuerdos. c No apruebo todas las materias y no me voy de vacaciones por un mes. d Me voy de vacaciones por un mes. e Apruebo todas las materias.

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91 pág. 72. Dado el razonamiento H 1 H 2 ฀C donde: H 1 : Si estudio apruebo el curso de nivel cero. H 2 : Apruebo el curso de nivel cero y viajo a Galápagos. Una conclusión C que hace válido este razonamiento es: a No apruebo el curso de nivel cero. b No estudio y no apruebo el curso de nivel cero. c Estudio y viajo a Galápagos. d Apruebo el curso de nivel cero. e Estudio y no viajo a Galápagos. 74. Dado el razonamiento H 1 H 2 ฀C donde: H 1 : Si se concluye con éxito la construcción del nuevo parque en el Barrio del Centenario se cooperará para el embellecimiento de la urbe. H 2 : Se cooperará para el embellecimiento de la urbe y se incrementará la captación de más turistas. Una conclusión C que hace válido este razonamiento es: a No se cooperará para el embellecimiento de la urbe. b Se cooperará para el embellecimiento de la urbe. c Se concluye con éxito la construcción del nuevo parque en el Barrio del Centenario y se incrementará la captación de más turistas. d No se incrementará la captación de más turistas y no se cooperará para el embellecimiento de la urbe. e Se concluye con éxito la construcción del nuevo parque en el Barrio del Centenario. 75. Dado el razonamiento H 1 ฀H 2 ฀H 3 ฀H 4 ฀C donde: 71. Para que el razonamiento p ฀ ฀p ฀ q ฀ C sea válido la conclusión C puede ser reemplazada por una de las siguientes formas proposicionales: a ฀ ฀ q b ฀ ฀ p ฀ q c ฀ ฀ p ฀ ฀ q d ฀p ฀ q e ฀ ฀ p Una conclusión para que el razonamiento sea válido es: 73. Dadas las siguientes hipótesis de un razonamiento. H 1 : ฀ ฀ p ฀ q H 2 : ฀p ฀ ฀ r H 3 : ฀ ฀ p ฀ r a ฀p ฀ q b ฀p ฀ q c ฀ ฀ p ฀ r d ฀p ฀ r e ฀p ฀ q ฀ r H 1 : Si ฀ ฀ entonces m 45º H 2 : Si ฀m 45º entonces m 90º H 3 : O ฀ es recto o m no es igual a 90º H 4 : ฀ no es recto

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92 pág. 77. Determine si el siguiente razonamiento es o no válido: “Si estudio o si soy un genio aprobaré el nivel 0. Me permitirán tomar el nivel 100 si apruebo el nivel 0. Por lo tanto no me permiten tomar el nivel 100 sólo si no soy un genio”. 79. Demuestre que el siguiente razonamiento es válido: “Esta ley será aprobada en esta sesión del Congreso si y sólo si es apoyada por la mayoría legislativa. Es apoyada por la mayoría legislativa o el Presidente de la República se opone a ella. Si el primer mandatario se opone a ella entonces será pospuesta en las deliberaciones del Congreso Nacional. Por lo tanto esta ley será aprobada en esta sesión o será pospuesta en las deliberaciones del Congreso Nacional”. 78. Sin usar tablas de verdad determine la validez del siguiente razonamiento: “Si el Congreso asigna los fondos el proyecto será ejecutado. El Congreso asigna los fondos sólo si hay consenso entre los diputados. No hay consenso entre los diputados. Por lo tanto el proyecto no será ejecutado”. 76. Dadas las siguientes proposiciones: H 1 : Si el reloj está adelantado entonces Juan llegó antes de las diez y vio partir el coche de Andrés. H 2 : Si Andrés no dice la verdad entonces Juan no vio partir el coche de Andrés. H 3 : Andrés dice la verdad o estaba en el edificio en el momento del crimen. H 4 : El reloj está adelantado. Se puede inferir que: a Juan no llegó antes de las diez. b Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen. c Juan no vio partir el coche de Andrés o éste estaba en el edificio en el momento del crimen. d Andrés dice la verdad. e Marque esta opción si ninguna de las anteriores es una conclusión válida. Una conclusión C que hace el razonamiento válido es: e Marque esta opción si todas las anteriores NO hacen válido el razonamiento. a ฀ b ฀ ฀ c m 90º d m 45º

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93 pág. 1.7 Demostraciones 1.8 Conjuntos 81. Para demostrar que p ฀q es verdadero por el método de reducción al absurdo suponemos que ฀ p es verdadero y obtenemos una contradicción con q. a Verdadero b Falso 83. Utilice el método de reducción al absurdo para demostrar las siguientes proposiciones: a Si p ฀q y p entonces q. b Si ฀p ฀ q y ฀ q entonces p. c Si p se cumple entonces ฀p ฀ q se cumple. 82. Utilice el método directo para demostrar que: a ฀p ฀ q ฀ ฀p ฀ q ฀ ฀p ฀ q b ฀ ฀p ฀ q ฀ ฀ p ฀ q ฀ ฀ ฀ p 80. Si se tiene un razonamiento con las siguientes hipótesis: H 1 : La dolarización es difícil o no les gusta a muchas personas. H 2 : Si las medidas económicas son viables entonces la dolarización no es difícil. Determine si la siguiente conclusión: “Si las medidas económicas no son viables a muchas personas no les gusta la dolarización” hace válido el razonamiento. 1.9. Cuantificadores 85. Sean A B C D y M como en el ejercicio anterior. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a NA ND b ND NC c NC NM d NC 1 e NB NC 1 86. Identifique cuál de las siguientes proposiciones es verdadera: 87. Siendo A ab cd e y B b c encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a ฀5 5 d 4 8 2 3 3 2 2 8 3 e 2 4 2 4 b ฀ c 1 1 4 2 4 84. Determine cuál de los siguientes conjuntos es vacío: a A b D c B d C e M x/x ≠ x a b a b B ฀ A c B A dA ฀ B c e b ฀ B

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94 pág. 89. ¿Cuál de las siguientes agrupaciones define un conjunto Si define un conjunto identifique si es vacío unitario finito o infinito. a Los números con más suerte en la lotería b Los números pares mayores que tres c Los libros más interesantes de matemáticas d Un número primo par 92. Determine el conjunto potencia de los siguientes conjuntos dados. a A 1 2 3 4 b B c C 88. Dado el referencial Re x/x es una letra del alfabeto castellano y los conjuntos A B C y D definidos por: A x/x es vocal de la palabra COMPUTACION B x/x es vocal de la palabra ELECTRONICA C x/x es consonante de la palabra BARCELONA D x/x es consonante de la palabra ENUMERACION a Tabule A B C y D. b Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I NA NB II A B III E A 90. Sea el conjunto Re1 2 3 4 5. Entonces es verdad que: 93. Sea A a b. Entonces es verdad que: 91. Sea Re x/x es ser humano. Traduzca al lenguaje común las siguientes proposiciones. a ฀ ฀ x x ฀ 3 ฀ ฀ 1 d ฀ x x ฀ 3 ฀ ฀ 5 e x x 2 ฀ 4x ฀ ฀ 3 0 b x x ฀ 3 ฀ ฀ 5 c x x ฀ 1 a ฀ x x es vegetariano ฀ ฀ ฀ ฀ x come zanahorias b x x es vegetariano ฀ ฀ ฀ ฀ x come zanahorias c x x es vegetariano ฀ ฀ x come zanahorias a ฀ A b a ฀ ฀ A c b ฀ A d N PPA 8 e b ฀ PA

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95 pág. 1.10 Operaciones entre conjuntos 98. Si A entonces A PA. a Verdadero b Falso 95. Parafrasee los literales del ejercicio anterior. 97. Escriba las siguientes proposiciones en lenguaje simbólico e indique su valor de verdad. I Todo número es impar. II Existe un x perteneciente a los enteros tal que 3x 2 ฀ 5 0. III Si existe un x perteneciente a los enteros tal que x 1 ฀ 0 entonces para todo x perteneciente a los naturales se cumple que x es un entero. 94. Sean A y B dos conjuntos no vacíos determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a A ฀ B ฀ x x A ฀ x B b A ฀ B ฀฀ A ฀ B B ฀ A c A ฀ B ฀฀ A ฀ B ฀ B ฀ A d x ฀฀ x A e x ฀฀ x A f A ฀ B ฀ x x A x B g A B ฀ A ฀ B B ฀ A 96. Sea B entonces es verdad que: a ฀N PPB 8 d P B e ฀ B b P B c ฀ P B 99. Sean A B C conjuntos no vacíos. Respecto del siguiente diagrama de Venn. Re A B C La región sombreada corresponde a: a ฀A B C d A B C e B A C b A B A c A B C

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96 pág. 103. Sean A B y C tres conjuntos no vacíos de un referencial Re. Represente en un diagrama de Venn las siguientes operaciones: 100. Sean A B y C conjuntos no vacíos. Respecto del siguiente diagrama de Venn: La región sombreada corresponde a: 101. Dado un conjunto referencial Re con 3 subconjuntos no vacíos A B y C encuentre los elementos de dichos conjuntos tales que se cumplan las siguientes características: Re A B C a ฀A C ฀ ฀ B C d A B C e B ฀ A C C b B A C c A ฀ ฀ B C a ฀Re ̟ e d B C C ̟ e A B C ̟ e b C B c A ฀y ฀C son disjuntos f ฀A ฀ ฀ B C C 102. Sea el conjunto referencial Re y los conjuntos no vacíos A B y C definidos así: Re A B C Entonces el conjunto A B C C C es: a ฀Re b ฀ c ฀ d ฀ e ฀A B a A ฀ B ฀ C C b B A C c A B C C d A ∆ B C

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97 pág. 104. Empleando diagramas de Venn califique cada proposición como verdadera o falsa. Considere A B y C tres conjuntos no vacíos de un referencial Re. Si A ฀ B C se cumple que A ฀ B A ฀ C. Si A y B son conjuntos disjuntos entonces NPA ฀ B 0. Si A es un conjunto tal que NA 2 entonces NPA 16. A ฀ B C C A ฀ B C . NA 4 NB 3 y NA B 2 entonces NPA B 16. Si C ฀ A B entonces C C A B . 105. Sean A B C subconjuntos del referencial Re tales que: a Halle los elementos de A B y C. b Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 107. Dados tres conjuntos A B y C no vacíos y diferentes tal que C A ฀ B entonces es verdad que: 108. Sean A B C subconjuntos del referencial Re tales que: a Halle los elementos de A B y C. b Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: A B a f A B ̟ e A C C B f C A B C B A C A B C C Re a f ̟ e I NC NB ฀ NA II A ฀ B ̟ e 106. Dados los conjuntos no vacíos A y B tales que A B B entonces es verdad que: a A B A b A B A c B A A d B C A e B A a ฀A C B C d A B B A C e C A b A B c A B C A B a f A B ̟ e A C f e B C f B A C A B C C Re a f ̟ e C A B 2 B C A B C 1 A B ̟ e f a

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98 pág. 112. Sean los conjuntos A B y C tales que: C y A no son intersecantes B y C son disjuntos A y B no son disjuntos. A B C 10 11 12 13 14 15 C C 2 3 4 5 6 7 8 9 14 15 B A 8 9 A B C 2 3 4 5 Halle los elementos de A B y C. 113. Dado el referencial Re x/x es letra del alfabeto y los conjuntos A B C definidos por: A x/x es vocal de la palabra computación B x/x es vocal de la palabra básica PB Conjunto potencia de B C x/x es vocal de la palabra onu Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a NC 3 b C A o u c N PB 32 d A C B e A – B 111. Determine los elementos de A B y C si: Re 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 110. Determine los elementos de A B y C si se conoce que: Re 1 3 4 5 6 7 8 9 A B B C 4 8 A y C no son intersecantes. 109. Siendo A 1 2 1 1 2 identifique la proposición falsa. a ฀1 A A 1 A d 1 2 A ฀ ฀ A e 1 A ฀ 2 A b A ฀ A c 1 A 2 A B ฀ A C 6 7 A ฀ B C 1 3 C ฀ A 8 9 B C C 1 3 5 B C A 1 3 4 5 9 A C B C 6 10 11 12 14 B A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 13 15 A B B C 3 4 5 7 8 15 A B A C 3 4 6 7 8 12 B C C C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 B C C 1 2 3 9 13

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99 pág. 116. Escriba una expresión con operaciones entre conjuntos que represente la región sombreada del siguiente diagrama de Venn: 114. Dados los conjuntos no vacíos A B y C entonces la región sombreada del gráfico adjunto corresponde a: 115. Dados los conjuntos no vacíos A B y C entonces la región sombreada del gráfico adjunto corresponde a: Re B A C e A C ฀ B C ฀ B C d C C A ฀ B c C A ฀ B ฀ A B b A B ฀ C C a A B ฀ C B Re B A C e A B B A C C A B d A C B C C A B C C c A B C C A B C C b A B C A B C B A C a A B B A A B B A C Re A B C

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100 pág. 1.11 Propiedades de las Operaciones entre conjuntos 120. Si A B entonces A B B. a Verdadero b Falso 121. Dado un conjunto A los elementos de PA son subconjuntos del conjunto A. a Verdadero b Falso 117. Si Re1 2 3 4 5 6 7 8 y A y B son conjuntos no vacíos tales que: A B C 1 2 6 7 8 Re A B 8 B A 6 7 Entonces es verdad que: a A B 3 4 5 b B 3 4 6 7 c A B B A 1 2 d A 1 2 4 5 e A A B 122. Sea Re un conjunto referencial A y B subconjuntos de Re. Entonces: A B A A C Re a Verdadero b Falso 123. Si A y B son conjuntos tales que A ฀ B entonces A B . a Verdadero b Falso 118. Si A B y C son tres subconjuntos del conjunto referencial Re donde: N Re 20 N A B C 5 N B A C 4 N C A B 3 N A B 7 N A B C C 2 Entonces NA B ฀ A C ฀ B C es igual a: a 4 b 6 c 3 d5 e 2 119. Si Re i a □ o A y B son conjuntos no vacíos tales que A B i a □ A B a y B A □ : Entonces es verdad que: a ฀A B o d A i o e A ฀ A B o i b B □ c A B A ฀ B i

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101 pág. 124. Para los conjuntos A B C no vacíos se cumple que: A B C A B A C. a Verdadero b Falso 125. Para los conjuntos A B C no vacíos se cumple que: A B C A B A C. a Verdadero b Falso 126. En una encuesta realizada por Pacifictel a un grupo de 26 abonados que han realizado al menos una llamada sea ésta local nacional o internacional se obtuvo la siguiente información: 23 abonados han realizado llamadas nacionales o internacionales. 5 abonados han hecho llamadas locales y nacionales. 12 abonados han hecho llamadas internacionales pero no locales. El número de personas que han hecho sólo llamadas nacionales es igual al doble de personas que han hecho sólo llamadas internacionales y locales pero no nacionales. Entonces el número de abonados que han hecho llamadas locales es: a 10 b 4 c 6 d 2 e 14 a Construya un diagrama de Venn con los datos. b Proporcione una expresión con operaciones de conjuntos para indicar el porcentaje de cocineros que tuvo éxito. c ¿Qué porcentaje de los cocineros no tuvo éxito en las tres comidas d ¿Cuántos cocineros tuvieron éxito en las tres comidas si concursaron 200 personas 127. En un concurso de cocineros en el que se preparan tres comidas criollas: guatita seco de chivo y chugchucaras se obtuvieron los siguientes resultados: 2 de cocineros fracasó en las tres comidas. 6 de cocineros fracasó en guatita y seco de chivo. 5 de cocineros fracasó en seco de chivo y chugchucaras. 8 de cocineros fracasó en guatita y chugchucaras. 29 de cocineros fracasó en guatita. 32 de cocineros fracasó en seco de chivo. 36 de cocineros fracasó en chugchucaras.

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102 pág. 128. En una encuesta a 100 inversionistas se observa lo siguiente: 5 sólo poseen acciones. 15 poseen solamente valores. 70 son propietarios de bonos. 13 poseen acciones y valores. 23 tienen valores y bonos. 10 son propietarios sólo de acciones y bonos. Cada uno de los 100 invierte por lo menos en algo. Halle el número de inversionistas que: a Tienen valores bonos y acciones. b Tienen sólo una de ellas. c Tienen al menos una. d Tienen cuanto mucho dos de ellas. 129. Para los votantes de una cierta comunidad de 300 personas se tiene que: 110 son mayores de 20 años. 120 son mujeres y 50 mujeres son mayores de 20 años. Determine el número de votantes que: a Son hombres. b Son hombres mayores de 20 años. c Son mujeres con 20 o menos años. d Son hombres con 20 o menos años. e Tienen 20 o menos años. 131. Sean A B y C subconjuntos de un referencial si se conoce que: C B A y C no son intersecantes. Re 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B C3 5 7 8 A B C 3 4 8 9 A B C C 6 Halle los elementos de A B y C. 130. En una encuesta a 40 estudiantes del nivel cero 27 son hombres y 20 son bachilleres técnicos de estos últimos 8 son bachilleres técnicos en comercio 6 de las mujeres no son bachilleres técnicos y 22 de los hombres no son bachilleres en comercio. Determine cuántas mujeres son bachilleres técnicos pero no en comercio. Halle además cuántos hombres no son bachilleres técnicos.

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103 pág. 133. En cierta comunidad 70 de las personas fuman 40 tienen cáncer pulmonar y 25 fuma y tiene cáncer pulmonar. Si F y C denotan los conjuntos de fumar y tener cáncer pulmonar determine la cantidad de personas que: a No fume y no tenga cáncer pulmonar. b Fume pero no tenga cáncer pulmonar. c No fume ni tenga cáncer pulmonar. d Fume o no tenga cáncer pulmonar. e No fume o no tenga cáncer pulmonar. f No fume o tenga cáncer pulmonar. 135. Empleando álgebra proposicional demuestre: a A B B A b A B C A B C 136. Empleando álgebra proposicional demuestre: a A A b A A c A B C A B ∆ A C 132. Empleando álgebra proposicional demuestre: a A C B C A B C b A B C A B A C c A C B C A B C d A A C e A B C A B A C f A B A B C g A B A C B C 134. Sea Re a b c d e f y los conjuntos A y B no vacíos que cumplen las siguientes condiciones: a N B A 1 b NA B C 1 c A b c d d NB 1 e NA C B 4 A B b c A B C b c e A C a d e f Identifique cuál de los siguientes enunciados es verdadero:

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104 pág. 137. De 335 maestros de una institución educativa se tienen los siguientes datos: 215 son de tiempo completo 190 hablan inglés 225 tienen por lo menos maestría 70 son de tiempo completo y hablan inglés 110 hablan el inglés y tienen por lo menos una maestría 145 son de tiempo completo y tienen por lo menos maestría y todos tienen al menos una de las características. Halle el número de maestros que tengan las tres características anteriores. 138. En una encuesta aplicada a 100 estudiantes se determinó que 50 practican básquet 40 practican fútbol 45 practican atletismo 20 practican básquet y fútbol 20 básquet y atletismo 15 fútbol y atletismo y 5 practican los tres deportes. Entonces es falso que: a 15 no practican estos tres deportes. b 15 sólo practican básquet. c 75 practican básquet o atletismo. d 35 practican fútbol o atletismo pero no básquet. e 10 practican básquet y fútbol pero no atletismo. 1.12 Predicados 140. Sea Re 1 2 3 4 5 px: x es divisor de 12 qx: x es primo. Encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones. a x px ฀qx b x px ฀qx c x px ฀qx 139. Sea el conjunto referencial Re 1 2 3 4 ... y los predicados: px: x es un número impar qx: x es un número par. Identifique cuál de las siguientes proposiciones es falsa: a Apx ฀ qx ฀Aqx b Re Apx ฀Aqx c Apx A C qx d Aqx Apx e Aqx px Apx 141. Dado el conjunto referencial Re 3 2 1 1 2 3 y los predicados: px: x x ฀ 2 0 qx: x 2 ฀ 0. Entonces es verdad que: a ฀ 1 A px ฀ qx d A ฀ qx 3 2 1 e A ฀qx px b A px ฀ qx c A px ฀ qx Re

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105 pág. 143. Para Re 1 2 3 4 5 y px: x 2 ฀ x 41 es primo. a Determine Apx. b Determine el valor de verdad de: 145. La negación de la proposición “Para todo número natural n n 2 8” es: a Para algunos naturales n n 2 8. b Existe un natural n tal que n 2 8. c Ningún natural n cumple con n 2 8. d Existe un natural n tal que n 2 8. e Existe un natural n tal que n 2 8. 142. Dado el conjunto referencial Re 0 1 2 3 4 5 6 y los predicados: px: x es un número par. qx: x es mayor que siete. rx: x es menor que diez. sx: x es un número impar. Determine cada uno de los siguientes conjuntos: 144. Sea Re 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y los predicados: px: x es divisor de 284. qx: x 3 9 rx: x 2 8 mx: x es primo Encuentre: d Apx qx a ฀Apx Aqx e ฀Apx sx ฀ qx rx b Asx Arx f A C rx Asx c Apx Asx g Re Apx Aqx Asx ฀ x ฀ px ฀ x ฀px a ฀Apx e ฀Apx rx b ฀Aqx f ฀Aqx mx c ฀Arx g ฀Amx ฀ rx d ฀Amx h ฀A rx ฀ qx

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106 pág. 155. Sean A y B dos conjuntos no vacíos si NA 2 y NB 4 entonces NA x B + NPA x B 20. a Verdadero b Falso 150. Si A B y C son conjuntos no vacíos entonces A x B C A x B A x C. a Verdadero b Falso 151. Dado el conjunto A 1 1 entonces NA x A 2. a Verdadero b Falso 152. Sean a b y c d dos pares ordenados a b c d a c ฀ b d. a Verdadero b Falso 153. Sean A y B dos conjuntos no vacíos entonces A x B B x A. a Verdadero b Falso 154. Si a b b a ¿qué condición debe cumplirse para que la igualdad sea verdadera 1.13 Pares ordenados y producto cartesiano 149. Sean A y B dos conjuntos no vacíos si NA 2 y NB 1 entonces NPA x B 8. a Verdadero b Falso 146. La negación de la expresión: x x 2 5 ฀ ฀x ฀ 1 ฀ 3 es: c x x 2 ≠ 5 ฀ x x ฀ 1 3 a x x ฀ 2 ≠ 5 ฀ xx ฀ 1 ฀ 3 d x x 2 ≠ 5 ฀ ฀ x ฀ 1 3 b x x 2 ≠ 5 ฀ ฀ x ฀ 1 3 e x x 2 ≠ 5 ฀ ฀ x ฀ 1 3 148. Sea el conjunto Re 1 2 3 4 5. Entonces es verdad que: c x x ฀ 1 a x x ฀ 3 1 d x x ฀ 3 4 b x x ฀ 3 5 e x x 2 ฀ 4x ฀ 3 0 147. Al negar y simplificar la expresión x ฀ax ฀ ax ฀ ฀ bx se obtiene: a ฀ x ฀ bx d x ฀ax bx e x ฀ax b x ฀ ax c x ฀ ax

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107 pág. 1.14 Relaciones 159. En una relación el dominio siempre es igual al conjunto de partida. a Verdadero b Falso 160. En una relación el rango siempre es igual al conjunto de llegada. a Verdadero b Falso 161. En una relación el conjunto de partida debe ser distinto del conjunto de llegada. a Verdadero b Falso 162. En una relación el dominio es un subconjunto del conjunto de partida. a Verdadero b Falso 163. Sea A1 2 3 y R1 2 1 3 3 2 entonces R es una relación en A. a Verdadero b Falso 164. Sean A 2 3 4 B 4 5 7 y la relación R: A ฀B R: x es divisor de y entonces NR 3. a Verdadero b Falso 156. Dados los conjuntos A a b c B □ y C ● entonces el número de pares ordenados diferentes que se pueden definir de A x C ฀ B es 256. a Verdadero b Falso 157. Si A B y C son conjuntos no vacíos entonces una de las siguientes proposiciones es falsa. Identifíquela. a NA x B NA NB b NPA x B 2 NANB c NA NB NA B NA B d NA x B x C NA NB NC e NA x B ≠ NB x A 158. Si A B C son conjuntos tales que: NA 2 NB 3 y NC 3 entonces NA x B x C es: a 14 b 18 c 11 d 10 e 9

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108 pág. 168. Si A y B son dos conjuntos finitos no vacíos donde NA NB entonces cualquier función de A en B es inyectiva. a Verdadero b Falso a D 1 2 3 4 5 E a b c d e 1 a 2 b 3 c 4 c 5 d b D 1 2 3 4 5 E a b c d e 1 e 2 e 3 a 2 b 5 d c D 1 2 3 4 5 E a b c d e 1 a 2 b 1 c 3 d 4 e 5 d d D 1 2 3 4 5 E a b c d e 1 e 2 a 3 e 4 a 5 b e D 1 2 3 4 E a b c d e 2 a 1 b 3 e 4 c f D 1 2 3 4 5 E a b c d 1 a 2 a 3 d 4 c 5 b g D 1 2 3 4 5 E a b c d 1 a 3 b 2 c 4 d h D 1 2 3 4 5 E a b c d 1 a 2 b 2 c 3 d 5 d i D 1 2 3 4 E a b c d e 1 a 2 b 3 c 1 d 4 e j D 1 2 3 4 E a b c d e 1 b 2 c 3 d 4 b 166. En los siguientes ejercicios se dan varias relaciones de D a E. Para cada relación identifique si se trata de una función o no. 165. Sean A a b c B □. Si R 1 y R 2 son dos relaciones de A en B tales que R 1 a c y R 2 b □ entonces R 1 R 2 es una función. a Verdadero b Falso 167. Para cada función del ejercicio anterior escriba si es uno a uno sobreyectiva o biyectiva. 1.15 Funciones 169. Dados los conjuntos: A B C 1 2 3 4 5 y las relaciones que se muestran a continuación definidas entre ellos ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera a R 1 1 2 π 4 5 rg R 1 C b R 2 1 3 4 dom R 2 C c R 3 es una función biyectiva. d Si R 4 1 2π 3 5 y R 5 1 2 3 4 5 entonces R 5 o R 4 es función sobreyectiva.

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109 pág. 170. Dados los conjuntos: A p q r s y B m n o p y las funciones de A en B f p m q p r m s n y g p p q m r n s o entonces es cierto que: a f g es una función inyectiva. b g es sobreyectiva pero no inyectiva. c f es inyectiva pero no sobreyectiva. d g es una función biyectiva. e f es una función biyectiva. 171. Sea el conjunto A Elena Hessel Elsi Ángel Juan y f una función tal que f: A ฀ A con la siguiente definición: f Elena Hessel f Hessel Elsi fElsi Ángel f Ángel Elena f Juan Elena entonces es verdad que: a f o f es inyectiva. b f o f Juan Hessel. c f es sobreyectiva. d rg f dom f o f e Todas las proposiciones anteriores son falsas. 173. Sea Va e i o u y se define una función f :V ฀ V tal que: f a u f e i f i a f o o y f u i. El rango de f o f es: a a e i o u b a i o u c a o u d a i o e a e i u 174. Dadas las relaciones: Entonces es verdad que: a f y g son funciones. b fog es inyectiva. c gof es biyectiva. d El rango de fog es igual a B. e El rango de gof es igual al rango de g. 172. Sean f: A ฀ B y g: B ฀ A dos funciones tales que: f a b • a g a Entonces es verdad que: e fog a a a b fog a a a a ฀fog b d fog a c ฀fog a b a A B f ¥ ‡ ◊ □ ¶ § B A g ¥ ‡ ◊ □ ¶ §

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110 pág. 175. Si f es una función de A en B y g es una función de B en C entonces es verdad que: a dom fog dom g b Si f es inyectiva entonces gof también lo es. c Si f y g son sobreyectivas entonces gof también lo es. d Si gof es sobreyectiva entonces f también lo es. e El rango de gof es igual al rango de f. 176. Si f 1 1 1 y g 1 2 1 3 determine la proposición falsa. a g es una función inyectiva pero f no lo es. b El dominio de gof es 1 . c El rango de fog es 1 . d 1 1 fog. e El rango de gof es igual al rango de g. 177. Sean las funciones g 1 2 2 3 3 4 4 5 y h 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7. Entonces el valor de hog1 es: a 1 b 2 c 3 d 4 e 5 178. Dado el conjunto A 1 2 3 4 5 y las funciones f: A ฀ A y g: A ฀ A tales que f 1 3 f 2 5 f 3 3 f 4 1 f 5 2 g1 4 g2 1 g3 1 g4 2 g5 3. Identifique la proposición falsa: a fog2 3 b gof 5 1 c f es inyectiva g es inyectiva d fog1 3 fog3 3 e gof 4 5 fog12 gof 1 1 179. Dado el conjunto A a b c d y las funciones biyectivas f: A ฀ A y g: A ฀ A donde f a d b c c b d a y gof a d b c c b d a la función g es: a a a b b c c d d b a d b c c d d a c a b b c c d d a d a c b d c a d b e a a b d c c d b 180. Si A 1 2 3 4 B r s t f es una función de B en A y g es una función de A en B donde: f r 2 s 3 t 1 g 1 r 2 s 3 t 4 t Entonces es verdad que: a fog es una función inyectiva. b rg fog A c s r gof d gof –1 s r t s r t e gof no es una función inversible.

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111 pág. Capítulo 2 Números Reales Introducción La idea de número aparece en la historia del hombre ligada a la necesidad de contar objetos animales etc. Para lograr este objetivo usaron los dedos guijarros marcas en bastones nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema más práctico de representación numérica. El sistema de numeración más usado fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes. Acerca del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa mejor conocido como Fibonacci quien fue uno de los introductores del nuevo sistema en Europa. En aquella época se usaban los números romanos y el ábaco. Su gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones. En su libro titulado “Liber Abaci” Libro de los Cálculos hizo tal referencia y si bien su obra fue un hecho revolucionario debido a que no había sido inventada la imprenta tuvieron que pasar tres siglos para que fuera conocida en toda Europa. En el capítulo anterior hemos utilizado los números y uno de los conjuntos que nos ha servido como referencia es 1 2 3 .... el cual se denomina conjunto de los números naturales. En algunas situaciones de la vida diaria tales como: ▪ Determinar el número que sumado con 5 dé por resultado 2. ▪ Tener un sobregiro de 100 en una cuenta corriente. ▪ Disminuir la temperatura de 25 ºC a 20 ºC en un cierto instante de tiempo. ▪ Deber una cierta suma de dinero.

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112 pág. Es muy ilustrativa la representación gráfica de los números. Se puede utilizar una recta dibujada de manera horizontal sobre la cual seleccionamos un punto y lo marcamos con 0 origen este punto representa el número cero. Si queremos identificar un número positivo lo marcamos a la derecha del cero mientras que si es negativo lo marcamos a la izquierda del cero. A esta recta se la denomina recta de los números reales. Nos encontramos con la dificultad de que no existen números naturales que puedan resolver dichos problemas. Las soluciones se encuentran en un nuevo conjunto denominado conjunto de los números enteros ... 3 2 1 0 1 2 3 ... del alemán zahl número. ¿Existe algún número que multiplicado por 2 sea 1 En general dados dos números enteros m y n cualesquiera ¿existe un número entero x que multiplicado por n n ≠ 0 sea igual a m La respuesta negativa a estas preguntas obligó a los matemáticos a una ampliación del conjunto introduciendo un nuevo conjunto numérico denominado conjunto de los números racionales denotado por y definido por: f / f p q p฀ q q ≠ 0 del inglés quotient cociente. Un número racional es aquel que puede expresarse como una fracción p q entre dos números enteros: p numerador y q denominador con denominador q diferente de cero. Pero también existen números que no pueden ser representados como una fracción a este conjunto lo denominamos : conjunto de los números irracionales. Tales números existen por ejemplo: 2 3 ̟ etc. Tanto los números racionales como los irracionales forman el conjunto de los números reales ฀ ฀ . La siguiente figura muestra cómo se relacionan los conjuntos numéricos mencionados: Figura 2.2: Recta de los Números Reales. Figura 2.1: Relación de los Conjuntos Numéricos. Números Reales Números Irracionales Números Racionales Números Enteros Enteros Positivos Enteros Negativos Cero Números negativos 0 Números positivos ฀ ∞ ฀ ∞

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113 pág. Capítulo 2 Números Reales Si consideramos números enteros a la derecha de 0 estamos hablando del conjunto mientras que los que se encuentran a la izquierda de 0 representan el conjunto . El cero no es positivo ni negativo. Las mismas consideraciones se aplicarán para los números racionales irracionales y reales en general. Dado que la cardinalidad de estos conjuntos es infinita se utilizará el símbolo ฀∞ para representar tal valor en la recta numérica. Si se tratara de un valor tan grande y positivo como sea posible entonces se lo representará con ∞ mientras que si el valor es tan grande como sea posible pero negativo entonces se utilizará ∞. 2.1 Representación Decimal Los números reales pueden ser representados con cifras enteras y cifras decimales. Los números reales racionales tienen representaciones decimales con una cantidad finita de dígitos o con cierto número de dígitos que aparecen indefinidamente siguiendo algún patrón de repetición. Por ejemplo: 2 5 0.4 que tiene un solo decimal 1 6 0.166666... donde el dígito 6 se repite indefinidamente 232 99 2.343434... tiene los dígitos 3 y 4 repetidos en la secuencia decimal. Los números reales irracionales tienen representaciones decimales que no terminan ni tienen un patrón de repetición. Por ejemplo: 2 1.414213... π 3.14159... En la práctica los números irracionales generalmente son representados por aproximaciones. Se suele utilizar el símbolo se lee “aproximadamente igual a” para escribir 2 ฀ ฀ 1.414 y π ฀ ฀ Para lograr la representación decimal en el caso de números racionales es suficiente dividir el numerador para el denominador. Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Representar un número racional en forma fraccionaria o periódica. Dada una representación decimal determinar la fracción que le corresponde. Dado un número racional representarlo en la recta real. Reconocer la diferencia entre la representación decimal de un número racional y uno irracional.

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114 pág. Ejemplo 2.1 Representación decimal de números racionales. Cada vez que un número racional fracción se representa por medio de un número con infinita cantidad de decimales estos últimos se muestran como la repetición sucesiva de una cierta cantidad finita de dígitos que se denomina período. Para evitar repetir los números podemos utilizar “ ” en la parte superior del período. En el ejemplo 2.1 se puede observar que: NÚMERO RACIONAL PERÍODO REPRESENTACIÓN DECIMAL 1 3 3 0.3 ฀ 1 6 6 ฀ 0.16 1 7 142857 0.142857 Para transformar un decimal periódico en fracción utilizaremos el siguiente procedimiento: 1. Denominar como x al número decimal periódico. 2. Localizar el período del número. 3. Llevar el punto decimal después del primer período multiplicando al número x por la potencia de base diez correspondiente a la cantidad de decimales recorridos. 4. Llevar el punto decimal antes del primer período multiplicando al número por la potencia de base diez correspondiente a la cantidad de decimales recorridos. 5. Restar las expresiones obtenidas en los numerales 3 y 4. 6. Despejar x. 7. Simplificar en caso de ser posible. Utilizando el procedimiento anteriormente descrito se pueden obtener las fracciones correspondientes a los tres números decimales periódicos de la siguiente tabla. Estos números pueden ser representados gráficamente en la recta real: 3 2 1 0 1 2 3 11 5 3 2 1 3 1 7 1 6 9 4 3 2 1.5 11 5 2.2 ฀ 9 4 2.25 1 3 0.3333 ... ฀ 1 6 ฀ 0.16666 ... 1 7 0.142857142857 ...

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115 pág. Capítulo 2 Números Reales En caso de que el número decimal periódico posea parte entera debe separársela de la parte decimal para aplicar el procedimiento anterior a esta última. Finalmente se debe sumar la parte entera con la fracción obtenida y ésa será la representación fraccionaria de todo el número. Posteriormente demostraremos que todo número decimal periódico representa una fracción. Ejemplo 2.2 Representación decimal de números irracionales. 1. x 0.3333... x 0.16666... x 0.142857142857... 2. Período: 3 Período: 6 Período: 142857 3. 10 1 x 3.3333... 10 2 x 16.666... 10 6 x 142857.142857... 4. 10 0 x 0.3333... 10 1 x 1.6666... 10 0 x 0.142857... 5. 9x 3 90x 15 999999 x 142857 6. x 3 9 x 15 90 x 142857 999999 7. x 1 3 x 1 6 x 1 7 2 1.414213562373095... Este número puede representar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos tienen medida igual a 1. 1 1 2

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116 pág. 3 1.732050807568877... Este número puede representar la longitud de la altura de un triángulo equilátero cuyos lados miden 2 unidades. 2 3 1.259921049894873... Este número puede representar la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es igual a 2 unidades cúbicas. π 3.141592653589793... Este número resulta del cociente entre la longitud de una circunferencia y la medida de su diámetro. Como se podrá apreciar estos números forman parte del mundo que nos rodea por lo que es necesario trabajar con ellos. Los números irracionales pueden ser representados gráficamente en la recta real: π L d d L 2 2 2 3 2 3 e 3 2 1 0 1 2 3 ̟ 2 3 5 2 3

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117 pág. Capítulo 2 Números Reales 2.2 Operaciones binarias Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dado un conjunto y una operación definida sobre él reconocer si es o no binaria justificando su respuesta. Dada una operación binaria identificar qué propiedades cumple. Definición 2.1 Operación binaria Algunas expresiones tales como: 2฀฀ 4฀ ฀6 4 6 ฀฀ 2 5 x 7 ฀35 20 5 ฀4 Sea un conjunto S a b c ... la operación es una operación binaria en S si y sólo si a cada par ordenado a b S x S donde a ฀ S y b S le corresponde un elemento único a b ฀ S donde a b se lee “a operación b”. La operación binaria puede ser considerada como una función : S x S ฀ S En esta definición hay que tomar en cuenta lo siguiente: ▪ El orden de a y b es importante porque a b es un par ordenado y podría suceder que a b ≠ b a. ▪ La operación tiene que estar definida para todos los pares ordenados a b. 2.2.1 Propiedades de las operaciones binarias a b S a b S Cerradura Clausurativa a b S a b b a Conmutativa a b c S a b c a b c Asociativa ฀ n S a S a n n a a Elemento neutro a S ฀ a ฀ S a a a a n Elemento inverso tienen la particularidad de que si tomamos dos elementos de un conjunto numérico en este caso la operación genera un tercer número dentro o fuera del conjunto al cual se está haciendo referencia. La unión y la intersección de conjuntos también generan nuevos conjuntos. Las operaciones que toman 2 elementos de un conjunto y su resultado se encuentra en el mismo conjunto tienen particular interés para nosotros y se denominan operaciones binarias.

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118 pág. La propiedad clausurativa indica que el resultado de la operación binaria debe pertenecer al conjunto que se toma como referencia. La propiedad conmutativa indica que el orden de los operandos no es importante al realizar la operación. La propiedad asociativa indica que se pueden agrupar en diferente forma los elementos de la operación. La propiedad de poseer elemento neutro n indica que al realizar la operación entre cualquier elemento del referencial y este elemento o viceversa no lo modifica al primero. La propiedad de poseer elemento inverso indica que al realizar la operación entre cualquier elemento del referencial y este elemento o viceversa se obtiene el elemento neutro. Esta propiedad sólo deberá probarse en caso de existir elemento neutro. Por definición toda operación binaria cumple con la propiedad de cerradura. Las restantes propiedades pueden o no cumplirse según sea el caso sin perjuicio de que la operación sea binaria. Sea el conjunto y la operación binaria definida en a b a 3b. Se verifica la siguiente propiedad: Cerradura a 3b para cada elemento a b de . Por el contrario la operación binaria no cumple las siguientes propiedades: Conmutativa a 3b ≠ ฀b 3a. Basta mostrar el siguiente contraejemplo: para a 1 y b 2 se verifica que 1 2 7 pero 2 1 5. Asociativa a 3b 3c ≠ a 3b 3c. El contraejemplo podría ser a 1 b 2 y c 3 en el cual 1 2 3 34 mientras que 1 2 3 16. Elemento neutro a n a 3n y ฀n a n 3a por lo tanto a n ≠ n a. Elemento inverso esta propiedad no tiene sentido probarla ya que no existe elemento neutro. Ejemplo 2.3 Operación binaria y propiedades. El concepto de operación binaria es más amplio de lo que parece así se pueden realizar operaciones binarias sobre otros tipos de conjuntos no necesariamente numéricos tal como se lo ilustra en el siguiente ejemplo.

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119 pág. Capítulo 2 Números Reales Se define S y la operación sobre S mostrada en la siguiente tabla: Ejemplo 2.4 Operación binaria. En esta operación el resultado se obtiene combinando cada elemento que se encuentra debajo del símbolo de la operación binaria con cada uno de los que se encuentran a la derecha de dicho símbolo. Así . De acuerdo a esto se observa que cualquier combinación siempre dará un elemento de S. Por lo tanto la operación es binaria. Adicionalmente se puede verificar que la operación no cumple la propiedad conmutativa ≠ no cumple la propiedad asociativa ≠ ni la del elemento neutro. Con este ejemplo se amplía la aplicación de las operaciones binarias a conjuntos abstractos. En el caso de que en el conjunto S se definan dos operaciones binarias y es posible hablar de una propiedad distributiva si y sólo si: a b c ฀ S a b ฀ c ฀a b ฀ a c Como el lector podrá recordar en la teoría de proposiciones y conjuntos se hizo uso de esta propiedad. Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Realizar operaciones de adición y multiplicación sobre . Aplicar propiedades de las operaciones de los números reales. Reconocer expresiones no definidas en . 2.3 Operaciones entre Números Reales

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120 pág. Podemos definir las operaciones de sustracción y división gracias a la existencia de los inversos aditivos y multiplicativos respectivamente. Es importante anotar que existen algunas expresiones que no están definidas en algunas de ellas son: ▪ Raíces de índice par de números negativos. Ej: 4 16 4 . ▪ Cocientes en que el divisor es cero. Ej: 3 0 10 0 . ▪ Potencias de base cero y exponente cero. Ej: 0 0 2 2 0 . Partiendo de estas observaciones se pueden determinar dominios para expresiones que contienen variables reales. En el conjunto de números reales se definen las operaciones de adición y multiplicación . las cuales se definen a continuación: ▪ Adición: Es una operación binaria tal que : x ฀ a b a฀ ฀ b y cumple con las siguientes propiedades: a ฀ b a ฀ b b ฀ a Conmutativa. a ฀ b ฀ c ฀a ฀ b c ฀a ฀ b c Asociativa. 0 a ฀a ฀ 0 ฀0 ฀ a ฀a 0 es el elemento neutro aditivo. a ฀ b ฀a ฀ b ฀b ฀ a ฀0 b es el elemento inverso aditivo. ▪ Multiplicación: Es una operación binaria tal que : x ฀ a b a . b y cumple con las siguientes propiedades: a ฀ b a ฀b b ฀a Conmutativa. a ฀ b ฀ c ฀a ฀b c ฀a ฀b c Asociativa. 1 a ฀a ฀1 ฀1 ฀a ฀a 1 es el elemento neutro multiplicativo. a a ฀0 ฀ b ฀a ฀b ฀b ฀a ฀1 b es el elemento inverso multiplicativo. A más de las propiedades anotadas existe la propiedad distributiva para estas operaciones la cual puede expresarse así: a b c ฀a b ฀ c a ฀ b ฀ a ฀ c

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121 pág. Capítulo 2 Números Reales La expresión 1 x ฀ 1 x no está definida para x 0 ฀ x 1 ฀ x 1. Ejemplo 2.5 Dominio de variable. En secciones posteriores se analizará más detalladamente este tipo de expresiones pero su sustento está en estas anotaciones. Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Explicar con sus propias palabras una relación de orden en los números reales. Interpretar la influencia de las operaciones de los números reales sobre las relaciones de orden. Explicar con sus propias palabras la tricotomía de los números reales. 2.4 Relación de Orden 2.4.1 Relación de orden de números enteros Observando la recta numérica se aprecia que los enteros están “ordenados” de tal modo que un número es mayor que otro mientras más a la derecha se encuentre de él. Con el objeto de precisar este orden se define una relación “mayor que” entre los elementos de que se simboliza por . Definición 2.2 Orden en 5 3 ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ 2 siendo 2฀ ฀ + 4 7 ฀฀ 4 ฀ ฀ 7 ฀ ฀ 3 siendo 3฀ ฀ + Ejemplo 2.6 Orden en . ฀∞ ฀∞ 3 ... 2 1 ... a b ฀a ฀ b฀ ฀฀ c + a b ฀ c

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122 pág. Otras relaciones que se deben considerar son: “menor que” cuyo símbolo es “menor o igual que” cuyo símbolo es “mayor o igual que” cuyo símbolo es . Además se puede observar que el conjunto cumple con las siguientes propiedades: 2.4.2 Relación de orden de números reales. Se conoce que en general ฀฀ ฀฀ ฀฀ . Un problema interesante es cómo extender la relación de orden analizada previamente al conjunto formado por los números reales. A pesar de que la construcción rigurosa es un tanto complicada en la práctica a partir de la representación por medio de puntos en la recta numérica se puede observar que si el número b está situado a la derecha de a se dice que a b o también que b a. Definición 2.3 Tricotomía de los Números Reales Dados dos números reales siempre es posible relacionar su orden de tal manera que uno es mayor que el otro o son iguales. Además se puede observar que el conjunto cumple con las siguientes propiedades: 1. n ฀n ฀ n Reflexiva 2. m n p ฀m ฀ n ฀ n ฀ p ฀ m ฀ p Transitiva 3. m n ฀m ฀ n ฀ n ฀ m ฀ m ฀n Antisimétrica a b ฀a ฀ b ฀a b ฀a b Es importante determinar cómo influyen sobre la relación de orden las operaciones de la adición y la multiplicación de números reales. Las siguientes propiedades ilustran tal influencia: 1. a ฀a ฀ a Reflexiva 2. a b ฀ c a ฀ b ฀ b ฀ c ฀ a ฀ c Transitiva 3. a b ฀a ฀ b ฀ b ฀ a ฀ a ฀b Antisimétrica ฀ a b c ฀a ฀฀ b ฀ a฀฀ c ฀ b฀฀ c 2. a b c a฀฀ b ฀ c ฀ 0 ฀฀ ac ฀฀ bc a b c ฀ a฀฀ b c ฀ 0 ฀฀ ac ฀฀ bc 4. ab฀ ฀0 a ฀ ฀0 b ฀0

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123 pág. Capítulo 2 Números Reales Cabe mencionar que estas propiedades también se aplican a las otras relaciones de orden existentes . Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dado un número entero reconocer si es primo compuesto par o impar. Dado un conjunto de números enteros encontrar su Máximo Común Divisor y su Mínimo Común Múltiplo. 2.5 Conceptos asociados al conjunto de los números enteros Definición 2.4 Divisores y Múltiplos de un número entero Si a b c cumplen la relación c a b entonces decimos que a y b son factores o divisores de c. En tal caso c es múltiplo de a y b. 20 es múltiplo de 10 porque 20 210. 2 es factor o divisor de 20 porque 20 2 10. 5 y 7 son factores o divisores de 35 porque 35 es múltiplo de 5 y 7. Ejemplo 2.7 Factores o Divisores y Múltiplos de un número. En muchas ocasiones es necesario saber si un número entero divide a otro sin necesidad de efectuar la división. Para ello se aplican las sencillas reglas o criterios de divisibilidad. 5. a b c ฀ab฀ ฀bc a ฀c b ≠ ฀0 6. a b ฀ab ฀฀ 0 a ฀ 0 ฀ b ฀ 0 ฀ a ฀ 0 ฀ b ฀ 0 7. a b ab ฀฀ 0 a ฀ 0 ฀ b ฀ 0 ฀ a ฀ 0 ฀ b ฀ 0 8. a ฀ a 2 ฀฀ 0 ฀ a ≠ ฀0 9. a ฀a฀฀ 0 ฀ 1 a ฀ 0 10. a ฀a฀฀ 0 ฀ 1 a ฀ 0

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124 pág. Un número entero es divisible por: 2: Si termina en 0 o en cifra par. 3: Si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 4: Si sus dos últimas cifras son 00 o es múltiplo de 4. 5: Si termina en 0 o en 5. 6: Si lo es por 2 y por 3 a la vez. 8: Si sus tres últimas cifras son 000 o es múltiplo de 8. 9: Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 10: Si termina en 0. Quizás le llame la atención que no se incluya la regla de divisibilidad por 7. Esto se debe a que su complejidad es poco práctica y resulta más fácil saber si el número es o no múltiplo de 7 realizando la división por 7. Definición 2.5 Número Primo Un número entero positivo p 1 es primo si y sólo si sus únicos factores son exactamente 1 y p. El conjunto de los números primos es: P 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 ... Definición 2.6 Número Compuesto Un número entero positivo n 1 es compuesto si y sólo si no es primo. Euclides fue el primero en demostrar que no existe un número primo mayor que todos los demás es decir la cantidad de números primos es infinita. Numerosos matemáticos han buscado sin éxito un método que sirva para determinar si un número es primo o no. En la actualidad con la ayuda de las computadoras es factible encontrar una gran cantidad de elementos de este conjunto P.

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125 pág. Capítulo 2 Números Reales El número 1 no es primo ni compuesto ya que representa la unidad esto es el único elemento del conjunto de los números enteros positivos que tiene inverso multiplicativo el cual también es un número entero positivo. Teorema 2.1 Teorema fundamental de la Aritmética Todo número compuesto se puede descomponer de manera única como el producto de números primos. Descomponer los números 87 105 2310 en sus factores primos. Solución: ▪ Puesto que 8 ฀ ฀7 15 es múltiplo de 3 87 también lo es. Efectuando la división por 3 el otro factor es 29 que es primo. Luego 87 329. ▪ Como 105 termina en 5 es divisible por 5. Efectuando la división por 5 el otro factor es 21 el cual se puede descomponer en sus factores 3 y 7. Luego 105 357. ▪ Como 2310 es un número más grande lo iremos dividiendo sucesivamente por todos los números primos menores que él por los cuales sea divisible. 2310 2 1155 3 385 5 77 7 11 11 1 Luego 2310 235711. Ejemplo 2.8 Números compuestos. Definición 2.7 Máximo Común Divisor M.C.D. El M.C.D. de un conjunto de números enteros es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los números del conjunto.

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126 pág. ▪ Considerando el ejemplo anterior el M.C.D. de los números 87 105 y 2310 es 3. ▪ En el conjunto de los números 24 36 48: 24 2 3 3 36 2 2 3 2 48 2 4 3 M.C.D. : 2 2 3 12 Ejemplo 2.9 Máximo Común Divisor. Una interpretación para el Máximo Común Divisor se presenta en el siguiente ejemplo. Un vendedor dispone de 24 36 y 48 unidades de tres artículos diferentes respectivamente. Necesita elaborar paquetes por cada artículo de tal forma que el número de unidades de todos los paquetes sea el mismo y el más grande posible. El vendedor necesita calcular el número de unidades que debe tener cada paquete y cuántos paquetes por artículo obtendrá. Solución: Se necesita obtener un divisor de 24 36 y 48 que sea el más grande posible. Del ejemplo anterior este número es el 12. Es decir los paquetes deberán contener 12 unidades. Con lo cual se obtienen 2 3 y 4 paquetes para los diferentes artículos respectivamente. Ejemplo 2.10 Aplicación del Máximo Común Divisor. Definición 2.8 Mínimo Común Múltiplo m.c.m. El m.c.m. de un conjunto de números enteros es el menor entero positivo que es el múltiplo de cada uno de los números dados. ▪ Considerando el ejemplo 2.8 el m.c.m. de los números 87 105 y 2310 es 66990. ▪ En el conjunto de los números 2 6 10: 2 2 6 23 10 25 m.c.m. : 235 30. Ejemplo 2.11 Mínimo común múltiplo.

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127 pág. Capítulo 2 Números Reales Un fabricante tiene tres productos en su inventario los cuales se revisan periódicamente cada 2 6 y 10 semanas respectivamente. El fabricante necesita calcular cuál será el mínimo tiempo que debe transcurrir en semanas para que la revisión de los tres productos coincida. Solución: Este es un problema del múltiplo más pequeño posible entre 2 6 y 10. Del ejemplo anterior este número es 30. Por lo tanto cada 30 semanas los tres productos serán revisados al mismo tiempo. Ejemplo 2.12 Aplicación del mínimo común múltiplo. Definición 2.9 Números Pares e Impares Se dice que a es: Número Par ฀฀฀ a 2n n Número Impar ฀฀฀ a 2n 1 n 12 es par porque 12 26 5 es impar porque 5 2 3 1 0 es par porque 0 20 31 es impar porque 31 215 1 140 es par porque 140 2 70 81 es impar porque 81 240 1 Ejemplo 2.13 Números Pares e Impares. “Si a es un número natural impar entonces su cubo también es natural impar”. Solución: Vamos a utilizar el método de demostración directa. Al ser a impar podemos escribir a 2n ฀ ฀ 1 siendo n un número natural. Ejemplo 2.14 Propiedades de números pares e impares.

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128 pág. “Si a 2 es un número natural par entonces a es natural par”. Solución: Vamos a utilizar el método de demostración por contrarrecíproca. La contrarrecíproca sería: “Si a no es un número natural par entonces a 2 no es natural par”. La cual se reescribe como: “Si a es número natural impar entonces a 2 es natural impar”. Al ser a natural impar a 2n 1 siendo n un número natural tenemos: a es impar ฀ a 2n ฀ 1 Definición de número impar. ฀ ฀ a 2 2n ฀ 1 2 Elevando al cuadrado. ฀ ฀ a 2 4n 2 ฀ 4n ฀ 1 Manipulación algebraica. ฀ ฀ a 2 22n 2 ฀ 2n ฀ 1 Agrupación de términos. ฀ ฀ a 2 2m ฀ 1 m 2n 2 ฀ 2n es un entero. ฀ ฀ a 2 es impar Definición de número impar. Hemos demostrado que si a es un número impar entonces a 2 es impar cuya contrarrecíproca sería: “Si a 2 no es un número natural impar entonces a no es natural impar”. Es decir: “Si a 2 es un número natural par entonces a es natural par”. Lo cual verifica la demostración. Ejemplo 2.15 Propiedades de números pares e impares. a es impar ฀ a 2n ฀ 1 Definición de número impar. ฀ ฀ a 3 2n ฀ 1 3 Elevando al cubo. ฀ ฀ a 3 8n 3 ฀ 12n 2 ฀ 6n ฀ 1 Manipulación algebraica. ฀ ฀ a 3 24n 3 ฀ 6n 2 ฀ 3n ฀ 1 Agrupación de términos. ฀ ฀ a 3 2m ฀ 1 m 4n 3 ฀ 6n 2 ฀ 3n es un entero . ฀ ฀ a 3 es impar Definición de número impar. Por lo que efectivamente a 3 es impar.

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129 pág. Capítulo 2 Números Reales Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dada una expresión algebraica reconocer el coeficiente y el factor literal de cada uno de sus términos. Aplicar propiedades de las fracciones en la simplificación de expresiones algebraicas. Aplicar propiedades de los exponentes en la simplificación de expresiones algebraicas. Aplicar productos notables y factorización en la simplificación de expresiones algebraicas. Racionalizar expresiones algebraicas. 2.6 Expresiones algebraicas El álgebra elemental es la parte de la matemática que trata del cálculo con símbolos literales y con operaciones abstractas que generalizan las cuatro operaciones fundamentales. El álgebra usa símbolos en particular las letras del abecedario en español con éstos se efectúan las mismas operaciones que en Aritmética es decir: ฀ . Definición 2.10 Expresión algebraica Es la combinación de símbolos números y letras a través de las diferentes operaciones fundamentales. Los términos de la expresión algebraica corresponden a cada una de sus partes las cuales están separadas entre sí por los signos o . 15 a 2 b 3 c 5 100m 7 n 3 p 2m 6 n 4 p 3x 2 y 4 z 3 Ejemplo 2.16 Expresiones Algebraicas. En todo término se distingue el coeficiente numérico y el factor literal. En el término 5 x 2 y 3 z 4 5 es el coeficiente numérico x 2 y 3 z 4 es el factor literal. En el factor literal los números que se colocan en la parte superior derecha de las letras se llaman exponentes e indican el número de veces que se toman dichas letras como factores.

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130 pág. Si la expresión algebraica tiene un solo término se denomina monomio si tiene dos términos se denomina binomio si tiene tres términos se denomina trinomio. Si la expresión algebraica tiene en general más de un término se denomina polinomio. Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen el mismo factor literal. Al reducir términos semejantes queremos reemplazar a todos ellos por uno solo. Los términos 5x 2 y 3x 2 y 10x 2 y y 6x 2 y son semejantes. Una expresión algebraica que resulta al considerar todos los términos es 5x 2 y ฀ 3x 2 y ฀ 10x 2 y 6 x 2 y. Al reducirla el resultado es 18x 2 y. Ejemplo 2.17 Reducción de términos semejantes. 2.6.1 Propiedades de las fracciones Anteriormente se definió que una fracción de la forma a b es un número racional en el cual a es el numerador y b es el denominador de la fracción. Tanto a como b pertenecen al conjunto de los números enteros con la restricción de que b no puede ser cero. Para manipular fracciones es necesario considerar las siguientes propiedades: Sean: b ≠ 0 c ≠ 0 d ≠ 0 1. a b c d ฀ ad bc 2. a b ac bc 3. a b ad ฀ bc bd c d 4. a b ac bd c d 5. a b c d ad bc Cuando se trabaja con expresiones algebraicas es importante considerar que las letras representan números reales por lo tanto deben ser tratadas como tales y pueden ser reemplazadas por números reales u otras expresiones algebraicas.

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131 pág. Capítulo 2 Números Reales Simplificar la expresión algebraica: 1 1 1 ฀ 1 2 1 Solución: Ejemplo 2.18 Operaciones con fracciones. Ejemplo 2.19 Operaciones con fracciones. Simplificar la expresión algebraica: 1 1 1 ฀ 1 1 ฀ 1 1 ฀ 1 x Solución: 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 1 x ฀ 1 1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 1 x 1 2 x ฀ 1 1 x x 3 x ฀ 1 1 x 2 x ฀ 1 x x ฀ 2 x ฀ 1 1 2 x ฀ 1 1 2 x ฀ 1 ฀ x 1 1 1 1 1 x ฀ 1 ฀ x x ฀ 1 1 1 1 x ฀ 1 2 x ฀ 1 1 1 1 ฀ 1 2 1 1 3 2 1 1 1 3 2 1 1 3 2 3 3 5 1 5 3

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132 pág. Ejemplo 2.20 Operaciones con fracciones. Simplificar la expresión algebraica: x y x ฀ y x ฀ y x x ฀ y y x ฀ y Solución: Simplificar la expresión algebraica: y ฀฀ 1 ฀ 1 1 y ฀ 1 xy 1 ฀ 1 xy y ฀ 1 x Solución: Ejemplo 2.21 Operaciones con fracciones. Ejemplo 2.22 Operaciones con fracciones. Simplificar la expresión algebraica: u ฀ 1 ฀ u v u ฀ w ฀ u v ฀฀ 1 w ฀ x ฀ 1 xy xy ฀ 1 xy x y ฀ 1 xy ฀ 1 ฀ 1฀ x ฀ 1 xy ฀ 1 xy ฀ x xy ฀ 1 ฀ 1 x ฀ 1 ฀ xy ฀ x ฀ xy ฀ 1 xy ฀ 1 xy ฀ 1 2x x 2 2xy y 2 x 2 ฀ xy y 2 xx y yx y x yx y xx y yx y x yx y x 2 xy xy y 2 x 2 xy xy y 2 x y x ฀ y x ฀ y x x ฀ y y x ฀ y y ฀฀ 1 ฀ 1 1 y ฀ 1 xy 1 ฀ 1 xy y ฀ 1 x

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133 pág. Capítulo 2 Números Reales 2.6.2 Propiedades de los exponentes Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación en que se repite un mismo factor un cierto número de veces. a n a . a . a ฀฀ a n veces a n : es la potencia a : es la base n : es el exponente Si el exponente es fraccionario tenemos una expresión algebraica con radicales. Esto es 4 3 2 4 3 64 8. En general a n m a n m . Para simplificar expresiones que poseen exponentes se deben respetar las siguientes leyes: Sean a ≠ 0 b ≠ 0: 1. a n a m a n m 2. a n a m a n ฀ m 3. a n ฀b n ab n Solución: u฀ uv v ฀ u฀ uv ฀ u 2 ฀ uv ฀฀ v ฀ u฀ w ฀ vw u ฀ v uw ฀ vw ฀ vw u ฀ v u 2 u ฀ v uw u ฀ v u w u ฀ 1 ฀ u v u ฀ w ฀ u v ฀฀ 1 w ฀ u฀฀ u v ฀ u฀ v w ฀฀ w u ฀ v v

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134 pág. 4. a n b n a b n 5. a n m a m n 6. 1 a n a n 7. a 0 1 Simplificar la expresión algebraica: 4 p 27 p/3 125 p 6 2 p 8 p/3 9 3 p/2 10 3p p . Solución: Ejemplo 2.23 Operaciones con exponentes. Simplificar la expresión algebraica: 2x n 1 2 x 3 n x 2n 1 x n 2 Solución: Ejemplo 2.24 Operaciones con exponentes. Simplificar la expresión algebraica: 6x 4 2 2 x 2 x 3 2 16 Ejemplo 2.25 Operaciones con exponentes. 4 p 27 p/3 125 p 6 2 p 8 p/3 9 3 p/2 10 3 p 1 2 2 p 3 p 5 3 p 2 2 p 3 2 p 2 p 3 3 p 2 3 p 5 3 p 2 4 p 3 3 p 5 3 p 2 4 p 3 3 p 5 3 p 2x n 1 2 x 3 n x 2n 1 x n 2 4x 2n ฀ 2 x 3 n x 2n ฀ 2 x 2n 4x 3 n ฀ 2n 4x 3n 3

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135 pág. Capítulo 2 Números Reales Simplificar la expresión algebraica: 8a 3 5 3 5฀ a n a n 1 Solución: Ejemplo 2.26 Operaciones con exponentes. Solución: 2 2 9 1 36x 8 16x 10 x 2 6x 4 2 2 x 2 x 3 2 16 2 1 6x 4 2 2 4x 5 2a 2a ฀ a n ฀ 1 2a ฀ a nn ฀ 1 2a ฀ a n 2a 1 a n ฀ 1 1 a nn ฀ 1 1 1 nn ฀ 1 n ฀ 1 1 n a 1 a n ฀ 1 1 n ฀ 1 2 3 a 3 5 1 3 1 5 8a 3 5 3 5฀ a n a n 1 1 a n

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136 pág. Simplificar la expresión algebraica: a 2 b 2 c a 2 c 2 b b 2 c 2 a ab b 2 c 2 bc a 2 ac Solución: Ejemplo 2.27 Operaciones con exponentes. Simplificar la expresión algebraica: 27 1 a 1 b 2 1 3 3a 1 3 3 b 5 ฀ 8b 3 27 a 3 1 3 Solución: Ejemplo 2.28 Operaciones con exponentes. a 3 b 3 c 3 a 2 b 2 c ab c 2 3 ab c 3a 1 3 1 b ฀ 2 3 27 ฀ 1 3 ฀ a ฀ 1 3 b ฀ 5 3 8 ฀ 1 3 a ฀ 1 b ฀ 1 27 1 3 ฀ a 1 3 b 5 3 3a 1 3 b 2 3 8 1 3 ab 27 ฀ 1 3 27 1 3 a 2 b 2 c a 2 c 2 b b 2 c 2 a ab b 2 c 2 bc a 2 ac a 2 b 2 c a 2 c 2 b ฀ c 3 ab c 2 a 2 bc a 2 b 2 c a 2 c 2 b a 3 c 3 c 3 1 a 2 b 2 c a 2 bc a 3 c 3 a 2 b 2 c c 2 ab 27 ab 5 1 3 8 a 3 b 3 27 1 3 3a 1 3 3 b 2 27 1 a 1 b 2 1 3 3a 1 3 3 b 5 ฀ 8b 3 27 a 3 1 3

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137 pág. Capítulo 2 Números Reales Simplificar la expresión algebraica: x 1 y m x 1 y n y 1 x m n y 1 x Solución: Ejemplo 2.29 Operaciones con exponentes. 2.6.3 Productos notables Los productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente sin hacer paso a paso la multiplicación. Son como las tablas de multiplicar del álgebra elemental. Los principales productos notables son: ▪ Cuadrado del binomio a b 2 a 2 2ab b 2 a b 2 a 2 – 2ab b 2 b 3 2ab 2ab 2 ฀ 3 2ab x 1 y m x 1 y n y 1 x m n y 1 x xy ฀ 1 y m n xy ฀ 1 y xy ฀ 1 x xy ฀ 1 x m n m n 1 1 y y m n 1 1 x x x x y y m n x y m n

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138 pág. ▪ Suma por diferencia a ba b a 2 b 2 ▪ Producto de binomios con un término repetido x ax b x 2 ฀฀ a b x ฀ ab ▪ Cubo de un binomio a b 3 a 3 ฀ ฀ 3a 2 b฀฀ 3ab 2 ฀ ฀ b 3 a b 3 a 3 ฀ 3a 2 b 3ab 2 ฀ ฀ b 3 ▪ Cuadrado de un trinomio a b c 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc ▪ Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos a ba 2 – ab b 2 a 3 b 3 a – ba 2 ฀฀ ab ฀ ฀ b 2 a 3 – b 3 Los productos notables pueden facilitar cálculos aritméticos como se observa en el siguiente ejemplo. Encuentre: a 41 2 b 98 2 c 1822 Solución: a 41 2 40 ฀฀ 1 2 40 2 ฀฀ 2401 ฀฀ 1 2 1600฀฀ 80฀฀ 1 1681 b 98 2 100 ฀฀ 2 2 100 2 ฀฀ 21002 ฀฀ 2 2 10000 ฀฀ 400 ฀฀ 4 9604 c 1822 20 ฀฀ 220 ฀ 2 20 2 ฀฀ 2 2 ฀ 400฀฀ 4 ฀ 396 Ejemplo 2.30 Aplicación de productos notables.

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139 pág. Capítulo 2 Números Reales 2.6.4 Factorización Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como el producto más simple de sus factores. Para llevarla a cabo lo primero que debe hacerse es poner en evidencia un factor común si es que lo hay y luego analizar si el factor no común corresponde al desarrollo de uno o más de los productos notables. Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como expresiones de factorización si las leemos de derecha a izquierda. A continuación se ilustra la operatividad de los casos de factorización: ▪ Factor común ax ฀฀ ay ฀฀ az ax ฀฀ y ฀฀ z ▪ Agrupación de términos x 2 ฀฀ ax ฀฀ bx ฀฀ ab x 2 ฀฀ ax ฀฀ bx ฀฀ ab xx ฀฀ a ฀฀ bx ฀฀ a x ฀฀ ax ฀฀ b ▪ Trinomio cuadrado perfecto 4a 2 ฀฀ 12ab ฀฀ 9b 2 2a฀฀ 3b 2 ▪ Diferencia de cuadrados perfectos 36m ฀฀ n 2 ฀฀ 121m ฀฀ n 2 6m ฀ ฀ n ฀ ฀ 11m ฀฀ n6m ฀ ฀ n ฀฀ 11m ฀฀ n 6m ฀ ฀ 6n ฀ ฀ 11m ฀฀ 11n6m ฀ ฀ 6n ฀฀ 11m ฀ ฀ 11n 17m ฀฀ 5n17n ฀฀ 5m ▪ Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción 49m 4 ฀฀ 151m 2 n 4 ฀฀ 81n 8 49m 4 ฀฀ 151m 2 n 4 ฀฀ 81n 8 ฀฀ 25m 2 n 4 ฀฀ 25m 2 n 4 49m 4 ฀฀ 126m 2 n 4 ฀฀ 81n 8 ฀฀ 25m 2 n 4 7m 2 ฀฀ 9n 4 2 ฀฀ 25m 2 n 4 7m 2 ฀฀ 9n 4 ฀฀ 5mn 2 7m 2 ฀฀ 9n 4 ฀฀ 5mn 2 7m 2 ฀฀ 5mn 2 ฀฀ 9n 4 7m 2 ฀฀ 5mn 2 ฀฀ 9n 4 ▪ Trinomio de la forma x 2 ฀฀ bx ฀฀ c a 2 ฀฀ 66a฀฀ 1080 a฀฀ 30a฀฀ 36

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140 pág. En este caso se deben buscar dos números reales cuya suma sea ฀ 66 y cuya multiplicación sea 1080. Descomponiendo 1080 en factores más elementales se obtienen los números 30 y 36. ▪ Trinomio de la forma ax 2 bx c 18x 2 ฀฀ 13x ฀฀ 5 18x ฀฀ 1818x ฀฀ 5 18 x 118x 5 En este caso se deben buscar dos números reales cuya suma algebraica sea 13 y cuya multiplicación sea 90. Descomponiendo 90 en factores más elementales se obtienen los números 18 y 5. ▪ Cubo perfecto de binomios x 9 ฀฀ 18 x 6 y 5 ฀฀ 108 x 3 y 10 ฀฀ 216 y 15 x 3 ฀฀ 6y 5 3 ▪ Suma o diferencia de dos potencias impares x 5 ฀฀ 32 x ฀฀ 2x 4 ฀฀ 2x 3 ฀฀ 4x 2 ฀฀ 8x ฀฀ 16 m 7 ฀฀ 1 m ฀฀ 1m 6 ฀฀ m 5 ฀฀ m 4 ฀฀ m 3 ฀฀ m 2 ฀฀ m ฀฀ 1 Simplificar la expresión algebraica: m 2 ฀฀ 1 m 2 ฀฀ m ฀฀ 2 Solución: Ejemplo 2.31 Productos notables y factorización. Simplificar la expresión algebraica: 6xy ฀฀ 3x 2 3x 2 ฀฀ 13xy ฀฀ 14y 2 Solución: Ejemplo 2.32 Productos notables y factorización. m 2 ฀฀ m 2 ฀฀ m ฀ 2 m ฀฀ m ฀ ฀ m ฀฀ m ฀ ฀ m ฀฀ m ฀฀ 6xy ฀฀ 3x 2 3x 2 ฀฀ 13xy ฀฀ 14y 2 3x2y ฀฀ x 3x ฀฀ 7yx ฀฀ 2y 3xx ฀฀ 2y 3x ฀฀ 7yx ฀฀ 2y 3x 3x ฀฀ 7y

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141 pág. Capítulo 2 Números Reales Simplificar la expresión algebraica: 6m 3 ฀฀ 3m 2 n 21mn ฀฀ 7n 2 6m 2 ฀฀ 24mn 6mn ฀฀ 2n 2 Solución: Ejemplo 2.33 Productos notables y factorización. Simplificar la expresión algebraica: 1฀฀ x 1฀฀ x 1฀฀ x 1฀฀ x x 2 ฀ 1฀฀ x 1฀฀ x 1 1 1฀฀ x 1 Solución: Ejemplo 2.34 Productos notables y factorización. 2x 1 ฀฀ x 2 ฀฀ 1 ฀฀ x 2 1 ฀฀ x1 ฀฀ x x 2 ฀ 1฀฀ x ฀ 1฀฀ x 1 ฀฀ x 1฀฀ x ฀ 1 1 ฀฀ x 1฀฀ 2x ฀฀ x 2 ฀฀ 1 ฀฀ 2x ฀฀ x 2 1 ฀฀ x1 ฀฀ x x 2 ฀ 2xx 1 ฀฀ x1 ฀฀ x 4x 3 1 ฀฀ x1 ฀฀ x 2x 2 1 ฀฀ x1 ฀฀ x 4x 3 1 ฀฀ x1 ฀฀ x 1 ฀฀ x1 ฀฀ x 2x 2 1฀฀ x 1฀฀ x 1 ฀฀ x 1 ฀฀ x x 2 ฀ 1฀฀ x 1฀฀ x 1 1 1฀฀ x 1 6m 3 ฀฀ 3m 2 n 21mn ฀฀ 7n 2 6m 2 ฀฀ 24mn 6mn ฀฀ 2n 2 6m 3 ฀฀ 3m 2 n 21mn ฀฀ 7n 2 6mn ฀฀ 2n 2 6m 2 ฀฀ 24mn 3m 2 2m ฀ n 7n 3m ฀ n 2n 3m ฀ n 6m m ฀ 4n m 2m ฀ n 7m ฀ 4n

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142 pág. Simplificar la expresión algebraica: y 2 ฀฀ x 2 x 1 ฀฀ y 1 x 1 ฀฀ y 1 x 1 ฀฀ y 1 x 1 ฀฀ y 1 Solución: Ejemplo 2.35 Productos notables y factorización. Simplificar la expresión algebraica: x 2 ฀฀ 5 x 2 ฀฀ 1 1 x ฀฀ 1 1 4 x ฀฀ 1 Solución: Ejemplo 2.36 Productos notables y factorización. x 2 ฀฀ 5 x 2 ฀฀ 1 1 x ฀฀ 1 1 4 x ฀฀ 1 x 2 ฀฀ 5฀฀ x ฀฀ 1 x ฀฀ 1x ฀฀ 1 x ฀฀ 1 ฀ 4 x ฀฀ 1 x 2 ฀฀ x ฀฀ 6 x ฀฀ 1x ฀฀ 1 x ฀฀ x ฀฀ 1 ฀ y 2 ฀฀ x 2 2x 2 ฀฀ 2y 2 ฀฀ 2x 2 ฀฀ y 2 ฀฀ ฀ y 2 ฀฀ x 2 ฀ y 2 ฀฀ x 2 ฀ y 2 ฀฀ x 2 ฀ y 2 ฀฀ x 2 x 2 ฀฀ 2xy ฀฀ y 2 ฀฀ y 2 ฀฀ 2xy ฀฀ x 2 ฀฀ y 2 ฀฀ x 2 x ฀฀ y 2 ฀฀ y ฀ ฀ x 2 y 2 ฀฀ x 2 x ฀฀ y y ฀ ฀ x x ฀฀ y y ฀ ฀ x y ฀฀ x y ฀ ฀ x xy xy y ฀ ฀ x x ฀฀ y xy xy 1 1 1 1 x y x y 1 1 1 1 x y x y y 2 ฀ ฀ x 2 x 1 ฀฀ y 1 x 1 ฀฀ y 1 x 1 ฀฀ y 1 x 1 ฀฀ y 1

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143 pág. Capítulo 2 Números Reales Simplificar la expresión algebraica: x x ฀฀ 2 x ฀฀ 3 1 x 2 ฀฀ x ฀฀ 2 1 x 2 ฀฀ x ฀฀ 6 1 3 + ฀ x ฀฀ x 2 Solución: Ejemplo 2.37 Productos notables y factorización. Simplificar la expresión algebraica: 3 x 2 ฀฀ 2x ฀฀ 3 3 x 2 ฀฀ 1 2 2 x ฀฀ 3 1฀฀ x 2 Ejemplo 2.38 Productos notables y factorización. x ฀฀ x ฀฀ x ฀฀ x ฀฀ x ฀฀ x ฀฀ x 1 x x ฀฀ 2 x ฀฀ 3 1 1 x 2 ฀฀ x ฀฀ ฀฀ x ฀฀ 2 x 1 1 x ฀฀ 3 x ฀฀ 2 x x ฀฀ 2 x ฀฀ 3 1 ฀฀ x ฀฀ 2 x 1 1 x ฀฀ 3 x ฀฀ 2 1 x ฀฀ 3 x 1 x x ฀฀ 2 x ฀฀ 3 x ฀฀ 3 x 1฀฀ x 2 x ฀฀ 2 x 1x ฀฀ 3 x x ฀฀ 2 x ฀฀ 3 x ฀฀ 2 x 1x ฀฀ 3 x

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144 pág. Solución: 2.6.5 Racionalización Racionalizar el denominador de una fracción es convertir una fracción cuyo denominador es irracional en una fracción equivalente cuyo denominador sea racional. Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fracción desaparece todo signo radical del denominador. Racionalizar la siguiente expresión: 3 2 Solución: 2 ฀3 3 2 3 2 3 3 3 Ejemplo 2.39 Racionalización. Ejemplo 2.40 Racionalización. Racionalizar la siguiente expresión: 1 7 3 3 x ฀฀ 3x ฀฀ 1 3 x ฀฀ 1x ฀฀ 1 2 x ฀฀ 3 1 ฀฀ x1 ฀฀ x 2 3x ฀฀ 1 ฀฀ 3x ฀฀ 3 x ฀฀ 3 x ฀฀ 1x ฀฀ 1 2x ฀฀ 3 ฀฀ 2x ฀฀ 1x ฀฀ 1 x ฀฀ 3x ฀฀ 1x ฀฀ 1 3x ฀฀ 3฀฀ 3x ฀฀ 9 2x ฀฀ 6฀฀ x 2 ฀฀ 2 6 x 2 ฀฀ 2x ฀ ฀ 4 6 x 2 ฀฀ x ฀฀ 2 3 x 2 ฀฀ x ฀฀ 2 3 x 2 ฀฀ 2x ฀฀ 3 3 x 2 ฀฀ 1 2 2 x ฀฀ 3 1฀฀ x 2

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145 pág. Capítulo 2 Números Reales Racionalizar la siguiente expresión: ฀฀ 3 ฀฀ 2 Solución: Ejemplo 2.41 Racionalización. Racionalizar la siguiente expresión: x 2 ฀ x 6 x ฀฀ Solución: Ejemplo 2.42 Racionalización. Solución: 1 7 3 4 1 7 ฀ 3 1 7 3 7 3 7 3 7 3 7 2 ฀฀ 3 2 7 3 7 3 ฀฀ ฀฀ ฀฀฀ 3 ฀ ฀฀฀ 2 ฀฀฀ 3 ฀฀฀฀฀ 2 ฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀ ฀฀฀฀ 2 ฀฀฀ 3 ฀ 3 ฀฀฀฀ 2 ฀฀ ฀฀ 3 ฀฀ 2 ฀฀ 3 ฀฀ 3 ฀฀ 3 ฀฀ 2 ฀฀ 2 ฀฀ 2 ฀฀ 3 ฀฀ 2 ฀ x ฀ x ฀ x ฀ x x ฀ 1 x ฀ x ฀ x 2 ฀฀ x ฀ x ฀ 1 x 1 ฀ x ฀ x 1 ฀ x 1 ฀ x 1 ฀ xx ฀ x 1 ฀ x x1 ฀ x ฀ x 1 ฀ x x 2 ฀ x 6 x ฀฀ x ฀ 1 x ฀ x ฀ x ฀ 1 x 2 ฀ x 6 x ฀฀ x ฀฀ x ฀฀

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146 pág. Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dado un número real obtener su valor absoluto. Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos números reales. Representar intervalos sobre la recta real. Dado un intervalo identificar si es abierto cerrado semiabierto o semicerrado. Aplicar la definición de valor absoluto en operaciones binarias. 2.7 Valor Absoluto Todo número se caracteriza por dos elementos: su valor absoluto y su signo. En el entero 5 el valor absoluto es 5 y el signo es negativo. En el entero 7 el valor absoluto es 7 y el signo es positivo. En el entero 0 el valor absoluto es 0 y no tiene signo. Ejemplo 2.44 Valor absoluto. Para poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo. Si utilizamos el conjunto de los números reales podemos definir intervalos como subconjuntos de este conjunto. Racionalizar la siguiente expresión: 1 2฀ 3 3 3 Solución: Ejemplo 2.43 Racionalización. 1 2฀ 3 3 3 1 2 ฀ 3 3 3 2 2 ฀ 3 2 3 3 3 ฀ 3 2 3 2 2 ฀ 3 2 3 3 3 ฀ 3 2 3 4฀ 3 6 3 ฀ 9 3 2 3 3 ฀ 3 3 3 4฀ 3 6 3 ฀ 9 3 5

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147 pág. Capítulo 2 Números Reales Tipos de intervalo ▪ Intervalo cerrado a b x ฀ ฀/a ฀ x ฀ b ▪ Intervalo abierto a b x ฀ ฀/a ฀ x ฀ b ฀ ∞ ฀ ∞ a b ▪ Intervalo semiabierto / semicerrado a b x ฀ ฀/a ฀ x ฀ b a b x ฀ ฀/a ฀ x ฀ b ▪ Intervalos con extremo infinito ฀ ∞ a x ฀ ฀/x ฀ a ฀ ∞ ฀ ∞ a ฀ ∞ a x ฀ ฀/x ฀ a a ∞ x ฀ ฀/x ฀ a ฀ ∞ ฀ ∞ a a ∞ x ฀ ฀/x ฀ a ฀ ∞ ฀ ∞ a b ฀ ∞ ฀ ∞ a b ฀ ∞ ฀ ∞ a b ฀ ∞ ฀ ∞ a ฀ ∞ ฀ ∞ a

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148 pág. Definición 2.11 Valor Absoluto El valor absoluto de un número x se representa por ฀ x ฀y es un número no negativo tal que: ฀ x x x ฀฀ 0 x x ฀ ฀ 0 Si x es un número positivo o cero su valor absoluto es el mismo número. Si x es un número negativo su valor absoluto es su valor numérico cambiado de signo. Puede también observar que x 2 ฀ x x . El valor absoluto asigna a cada número un valor no negativo que representa la distancia entre dicho número y el cero en la recta numérica. Ejemplo 2.45 Intervalos. Dado que los intervalos son subconjuntos de los Números Reales también se los puede representar gráficamente sobre la recta real como se muestra a continuación. 5 10 x / 5 x 10 ฀∞ ฀∞ 5 0 10 0 7 2 x / 0฀฀ x ฀฀ 7/2 3 6 x / 3฀฀ x ฀฀ 6 1 5 C x /x ฀฀ 1 ฀ x ฀฀ 5 ฀∞ 2 C x /x ฀฀ 2 ฀∞ ฀∞ 3 0 ฀∞ ฀∞ 0 ฀∞ ฀∞ 2 0 0 7 2 3 4 ฀∞ ฀∞

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149 pág. Capítulo 2 Números Reales Si se calcula el valor absoluto de la diferencia entre dos números reales éste representa la distancia que hay entre ellos. En general si a b ฀ ฀ ฀ a ฀ ฀ b es la distancia entre a y b. ฀ ฀ ̟ ̟ 1 2 1 2 ฀ 0.3333... 1 3 ฀ 1000 1000 ฀ ฀ 332.87 332.87 3 2 ฀ 3 3 5 2 ฀ 5 5 ฀ 5 ฀฀ 3 ฀ ฀ ฀ 3฀ 5 ฀ 2 En este último ejercicio se observa que la distancia entre 3 y 5 es 2 indistintamente del orden en el que se coloquen los números. Ejemplo 2.46 Valor absoluto. Como se puede observar la siguiente proposición es verdadera: x ฀ ฀x ฀ ฀ 0 Las siguientes propiedades del valor absoluto resultan ser de mucha utilidad en el trabajo con números reales: a b se cumple que: 1. ฀ab ฀ ฀a ฀ ฀b ฀ 2. a b ฀ a ฀ ฀b ฀ b ≠ 0 3. ฀a ฀฀ b ฀ ฀ ฀a ฀ ฀ ฀b ฀ 4. ฀a ฀฀ b ฀ ฀ ฀ ฀a ฀ ฀ ฀b ฀ ฀∞ ฀∞ ฀a ฀฀ b ฀b ฀฀ a a b

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150 pág. A continuación demostraremos la propiedad 2. a b ฀ a ฀ ฀b ฀ b ≠ 0 Aplicando la definición del valor absoluto. a b a b a b ฀฀ 0 a b a b ฀฀ 0 Caso 1: a b a b a b ฀฀ 0 a a ฀ 0 ฀฀ b ฀ 0 ฀a ฀ a ฀b ฀ b a b a b ฀a ฀ ฀b b a ฀ 0 ฀฀ b ฀ 0 ฀a ฀ a ฀b ฀ ฀ b a b ฀a ฀ b ฀a ฀ b Caso 2: a b a b a b 0 a a ฀ 0 ฀฀ b ฀ 0 ฀a a ฀b ฀ b a b ฀a ฀b ฀a ฀b b a ฀ 0 ฀฀ b ฀ 0 ฀a ฀ a ฀b b a b ฀a ฀ b ฀a ฀b

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151 pág. Capítulo 2 Números Reales Aplicando la definición del valor absoluto. ฀ a b ฀ a b a b ฀ 0 a b a b ฀ 0 a a ฀ 0 ฀ b ฀ 0 a b ฀ 0 ฀a b ฀ a b ฀a ฀ a ฀ ฀b ฀ b ฀a b ฀ ฀a ฀ ฀b ฀ b a ฀ 0 ฀ b ฀ 0 a b ฀ 0 ฀a b ฀ a b ฀ a ฀ a ฀ ฀ b ฀ ฀ b ฀ a b ฀ a b ฀ a ฀ ฀ b ฀ c a ฀ 0 ฀ b ฀ 0 1. ฀a ฀ ฀ ฀b ฀ a b ฀ 0 ฀a b ฀ a b ฀a ฀ a ฀ ฀b ฀ ฀ b ฀a b ฀ ฀a ฀ ฀b ฀ ฀ ฀a ฀ ฀b ฀ ฀ a b ฀ ฀ a ฀ ฀ b ฀ 2. ฀ a ฀ ฀ ฀ b ฀ a b ฀ 0 ฀a b ฀ ฀ a b ฀ a ฀ b ฀a ฀ a ฀ ฀b ฀ ฀ b ฀a b ฀ ฀ ฀a ฀ ฀b ฀ ฀ ฀a ฀ ฀b ฀ ฀a b ฀a ฀ ฀b ฀ A continuación demostraremos la propiedad 3. ฀a b ฀ ฀a ฀ ฀ ฀b ฀

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152 pág. ▪ ฀ 5 ฀ 4 ฀ 5 ฀ ฀ ฀ 4 ฀ ฀ 20 ฀ 5 4 20 20 ▪ 7 2 7 2 7 2 ฀ 1 ฀ 7 2 7 2 7 2 1 ▪ 4 5 1 4 11 20 11 20 1 4 4 5 1 4 4 5 21 20 Ejemplo 2.47 Aplicación del Valor Absoluto. d a 0 ฀ b 0 1. ฀a ฀ ฀ ฀b ฀ a b ฀ 0 ฀a b ฀ ฀ a b ฀ a ฀ b ฀a ฀ ฀ a ฀ ฀b ฀ b ฀ a b ฀ ฀ a ฀ ฀ b ฀ ฀ ฀ a ฀ ฀ b ฀ ฀ a b ฀ ฀ a ฀ ฀ b ฀ 2. ฀a ฀ ฀b ฀ a b ฀ 0 ฀a b ฀ a b ฀a ฀ ฀ a ฀ ฀b ฀ b ฀a b ฀ ฀ ฀a ฀ ฀b ฀ ฀ ฀a ฀ ฀b ฀ ฀a b ฀ ฀a ฀ ฀b ฀

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153 pág. Capítulo 2 Números Reales ▪ 1 2 7 2 7 2 1 2 5 2 3 ฀ 3 1 2 3 Sea A 2 1 0 1 2 y ฀ una operación binaria en A tal que a b ฀ a ฀ ฀ ฀ b ฀ ฀ a b ฀ A. Identifique el valor de verdad de cada proposición: a a฀฀ A b฀ Aa b b ฀ es una operación conmutativa. c a ฀ A b A a b b d ฀ es una operación asociativa. Solución: a 2 ฀฀฀ 0 0 1 ฀ 1 0 0 ฀ 2 0 ฀฀1 ฀ 1 0 ฀฀ ฀฀฀ 0 ฀ ฀ Esta proposición es verdadera. b a ฀b ฀ A a b b a ฀a ฀ ฀฀ ฀b ฀ ฀ 2 ฀b ฀ ฀ ฀a ฀ ฀ ฀ 2 ฀ Esta proposición es verdadera es decir la operación cumple con la propiedad conmutativa. Ejemplo 2.48 Valor Absoluto en Operaciones Binarias.

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154 pág. Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuación e identidad. Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades. Resolver ecuaciones de tipo lineal cuadrática con valor absoluto y con radicales. Dada una ecuación cuadrática determinar el tipo de solución que tendrá mediante el análisis de su discriminante. Dada una ecuación cuadrática con parámetros desconocidos establecer condiciones sobre estos parámetros en función del tipo de solución requerido. Analizar soluciones extrañas de las ecuaciones con radicales. Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones. 2.8 Ecuaciones Una igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemáticas tienen el mismo valor . Existen dos tipos de igualdades: absolutas y condicionales. Definición 2.12 Identidad Una identidad o igualdad absoluta es un enunciado que compara dos expresiones matemáticas con el símbolo “ ” y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda. Ejemplo 2.49 Identidades o igualdades absolutas. c 2 2 ฀ 2 ฀ 2 1 ฀ 1 1 2฀ ฀ 0฀฀ 2฀ ฀ 1฀ ฀ ฀ 2 También podemos verificar la proposición con el elemento 2. ฀ Esta proposición es verdadera. d 0 ฀ 1 ฀ 2 1 ฀ 2 1 ≠ 0 ฀ 1 ฀ 2 0 ฀ 1 1 La operación no es asociativa. ฀ Esta proposición es falsa. 4 2 1 16 x ฀ 0 x 0 1 a b ฀ ฀ a ฀฀ b 2 a 2 ฀฀ 2ab ฀ b 2

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155 pág. Capítulo 2 Números Reales Definición 2.13 Ecuación Una ecuación o igualdad condicional es aquella que es verdadera sólo para algún o algunos valores de las variables del conjunto referencial que corresponda. x ฀ 2 17 es una igualdad siempre y cuando x 19. 3x ฀ 2 7 es una igualdad siempre y cuando x 5 3 . x 2 ฀ 1 0 es una igualdad siempre y cuando x 1. Ejemplo 2.50 Ecuaciones o igualdades condicionales. Los valores de la incógnita x que hacen que la ecuación se convierta en una proposición verdadera se denominan soluciones o raíces de la misma. El proceso de determinar las soluciones se denomina resolución de la ecuación. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. En la resolución de la ecuación intentamos determinar una que sea más simple y equivalente en la cual aparezca la incógnita sólo en uno de los lados de la igualdad. Una ecuación puede representarse con un predicado px cuyo conjunto referencial es el conjunto de números reales a no ser que se especifique otro conjunto. El conjunto de verdad Apx está conformado por las soluciónes de dicha ecuación. Las expresiones que están a ambos lados del símbolo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda segundo miembro el de la derecha. Expresión 1 Expresión 2 En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde las más sencillas hasta las más complicadas: 1 x y x y ฀ y x ฀ 2 x y ฀฀ c x y ฀ x c y c 3 x y ฀฀ c x y ฀ xc yc 4 x y 0 x y ฀ x n y n n 5 x y xy 0 ฀ x 0 ฀฀ y 0

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156 pág. Podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones. En esta sección vamos a tratar las siguientes ecuaciones: lineales cuadráticas con valor absoluto con radicales. Analice el siguiente razonamiento en el cual se concluye que todo número real es igual a cero a ฀a ≠ 0 b ฀b ≠ 0. a b a 2 ab a 2 ฀฀ b 2 ab฀฀ b 2 a฀฀ ba b ba฀฀ b a฀฀ b b a 0 ¿Dónde está el error a En multiplicar por a. b En restar b 2 . c En la simplificación. Solución: El error está en la simplificación pues como a b฀฀ a฀฀ b 0. Ejemplo 2.51 Propiedades de las Ecuaciones. 2.8.1 Ecuaciones lineales Una ecuación lineal o de primer grado corresponde al tipo más simple de ecuación pudiendo ser reducida a un predicado de la forma: px ฀ ax ฀฀ b 0 a b ฀ ฀฀ a ≠ 0 donde x es la incógnita cuyo valor hay que determinar. La solución de la ecuación anterior la obtenemos así: ax ฀฀ b 0 Consideramos la expresión original. ax ฀฀ b ฀ b 0 ฀ b Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembros. ax ฀฀ 0 ฀ b Reducimos la expresión. ax ฀ ฀ b Propiedad del neutro aditivo. 1 a ax 1 a b Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a.

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157 pág. Capítulo 2 Números Reales 1 x ฀ b a Simplificamos la expresión. x ฀ b a Propiedad del neutro multiplicativo. Sea Re y px: ax ฀฀ b 0 Apx b a . Si Re y px : 7x ฀฀ 5 4x ฀฀ 7 determine Apx. Solución: 7x ฀฀ 5 4x ฀฀ 7 Consideramos la expresión original. 7x ฀฀ 5฀฀ 5 4x ฀ 7฀฀ 5 Sumamos 5 a ambos miembros de la ecuación. 7x 4x ฀ ฀ 12 Reducimos la expresión. 7x ฀฀ 4x 4x ฀฀ 4x ฀฀ 12 Restamos 4x a ambos miembros de la ecuación. 3x 12 Reducimos la expresión. 1 3 3x 1 3 12 Efectuamos el producto con el inverso multiplicativo de 3. x 4 Despejamos la incógnita x. Comprobamos el valor de x: p4 ฀฀ 74 ฀฀ 5 44 7 23 23 ฀ p4 ฀ 1 Se concluye que Apx 4. Ejemplo 2.52 Ecuaciones lineales. Sea Re y px ฀฀ 3 2 2 x 3 3 2 1 determine Apx. Ejemplo 2.53 Ecuaciones lineales.

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158 pág. Comprobando tenemos que: ฀ p 1 ฀฀ 1 Se concluye que Apx 1. Sea Re y px: x ฀ a 2a฀ b x ฀ b a฀ 2b 2 determine Apx. Ejemplo 2.54 Ecuaciones lineales. Solución: Solución: 3฀ 2฀ 2 ฀฀ x 3 3 2 3 ฀ 2 3 3 6฀฀ 2 ฀฀ x 3฀ 2 3 3 8฀฀ x 3฀ 2 8฀฀ x 9 27฀฀ 8฀฀ x 9 2 19฀฀ x 18 x 1 3฀ 2฀ 2 ฀฀ 1 3 3 2 2 3฀ 2฀ 3 3 3 2 3฀ 2฀ 1 3 2 3฀ 3 3 3฀ 1 2 2 2 1 p 1: x ฀ aa฀ 2b ฀฀ x ฀ b2a฀ b ฀ 2a฀ ba฀ 2b ฀ 2 x ฀ aa฀ 2b ฀฀ x ฀ b2a฀ b 22a฀ ba฀ 2b ฀ ax ฀ 2bx ฀ a 2 ฀ 2ab฀ 2ax ฀ bx 2ab ฀ b 2 4a 2 ฀ 8ab 2ab ฀ 4b 2 3ax ฀ 3bx ฀ a 2 ฀ 4ab฀ b 2 4a 2 ฀ 10ab 4b 2 x3a฀ 3b ฀ 3a 2 ฀ 6ab 3b 2

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159 pág. Capítulo 2 Números Reales Comprobando tenemos que: Se concluye que Apx a ฀ b. 2.8.2 Ecuaciones cuadráticas Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma: px : ax 2 ฀฀ bx ฀฀ c 0 a b c ฀฀ a ≠ 0 donde x es la incógnita cuyo valor hay que determinar. Se pueden encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática mediante factorización o por la fórmula general. En el primer caso se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuación cuadrática como el producto de dos factores lineales y se igualan a cero estos factores. Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente como se describió en la sección anterior. Finalmente las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuación cuadrática dada. x x x x a ฀ b 3a 2 ฀฀ 6ab฀฀ 3b 2 3a ฀ 3b 3a 2 ฀฀ 2ab฀฀ b 2 3a ฀ b a ฀ b 2 a ฀ b pa ฀ b: a ฀ b ฀฀ a 2a ฀ b a ฀ 2b a ฀ b ฀฀ b 2a ฀ b 2a ฀ b a ฀ 2b a ฀ 2b 1 ฀ 1 2 pa ฀ b 1

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160 pág. Sea Re y px: x 2 ฀ ฀ 5x ฀฀ 6 0 determine Apx. Solución: x 2 ฀฀ 5x ฀฀ 6 0 x ฀฀ 6x ฀฀ 1 0 x ฀฀ 6 0 ฀฀ x ฀฀ 1 0 x ฀ 6 ฀ ฀ x 1 Comprobando tenemos que: p ฀ 6 : ฀ 6 2 ฀฀ 5 ฀ 6 ฀ 6 36 ฀ 30 ฀ 6 0 p : 2 ฀฀ 5 6 1 ฀฀ 5 ฀ 6 0 En consecuencia Apx ฀ 6 1. Sea Re y px: 3x 2 ฀ ฀ 11x ฀ ฀ 6 0 determine Apx. Solución: Ejemplo 2.56 Resolución de una ecuación cuadrática mediante factorización. Comprobando tenemos que: Se concluye que Apx 2 3 3 . Ejemplo 2.55 Resolución de una ecuación cuadrática mediante factorización. Mediante la fórmula general las soluciones de la ecuación cuadrática también pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente: 3x ฀ 93x ฀ ฀ 2 3 0 x ฀ 33x ฀ ฀ 2 0 x ฀ 3 0 ฀฀ 3x ฀ ฀ 2 0 x ฀ 3 ฀฀ x ฀ 2 3 p3 ฀฀฀฀ 33 2 ฀฀ 113 ฀ 6 39 ฀฀ 113 ฀ 6 27฀฀ 33฀ ฀ 6 0 p1 1 p 2 3 ฀ 2 3 2 ฀฀ 2 3 ฀฀ 6 4 3 ฀฀ 22 3 ฀฀ 4฀฀ 22 ฀ 18 3 0 p 2 3 1

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161 pág. Capítulo 2 Números Reales ax 2 ฀฀ bx ฀฀ c 0 Tomando la ecuación original. a x 2 ฀ b a x c a 0 Factor común a. x 2 ฀฀ b a ฀ x ฀฀฀ c a ฀ 0 Producto de ambos miembros por 1 a . x 2 ฀฀ b a ฀x ฀฀ b 2 4a 2 ฀฀฀ c a ฀฀฀ b 2 4a 2 ฀ 0฀฀฀฀ Complexión del trinomio cuadrado perfecto. x ฀ b 2a 2 b 2 ฀฀ 4ac 4a 2 Factorización. x ฀฀ b 2a ฀ b 2 ฀฀ 4ac 4a 2 Extracción de raíz cuadrada a ambos miembros. x ฀ ฀ b 2a ฀฀ b 2 ฀฀ 4ac 2a Despejando x. x ฀ 2a b b 2 ฀฀ 4ac Simplificando y reduciendo. Fórmula General x ฀ b 2 ฀฀ 4ac b 2a b 2 ฀฀ 4ac Discriminante x ฀ 2a b฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ x ฀ 2a b฀ ▪ Si el discriminante es mayor que cero existen dos soluciones reales y diferentes. ▪ Si el discriminante es igual a cero hay una solución real duplicada. ▪ Si el discriminante es menor que cero no existe solución real. Interpretación del discriminante de una ecuación cuadrática ax 2 ฀ ฀ bx ฀ ฀ c 0

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162 pág. Ejemplo 2.57 Resolución de una ecuación cuadrática mediante la fórmula general. Caso: Dos soluciones reales diferentes. Sea Re y px : 3x 2 ฀฀ 5x ฀ 1 0 determine Apx. En este caso a 3 b ฀ 5 c 1. El discriminante b 2 ฀฀ 4ac ฀ 5 2 ฀฀ 4 31 3. Puesto que 13฀฀ 0 significa que hay 2 raíces reales y diferentes. x 12 5 2 ฀ 431 5 ฀ 23 x 12 6 5 25 12 x 12 6 5 13 x 1 6 5 13 x 2 6 5 13 Comprobando tenemos que: p 6 5 13 ฀ 3 6 5 13 2 ฀ 5 6 5 13 ฀ 1 1 12 25 ฀฀ 10 13 ฀ 13 ฀฀ 25 6 ฀฀ 5 6 ฀ 13 ฀฀ 1 25 12 ฀฀ 5 6 ฀ 13 ฀฀ 13 12 ฀฀ 25 6 ฀฀ 5 6 ฀ 13 ฀ ฀ 1 ฀ 25฀฀ 13 ฀฀ 50฀฀ 12 12 0 p 6 5 13 ฀ 3 6 5 13 2 ฀ 5 6 5 13 ฀ 1 1 12 25 ฀฀ 10 13 ฀฀ 13 ฀฀ 25 6 ฀ ฀ 5 6 ฀ 13 ฀฀ 1 25 12 ฀฀ 5 6 ฀ 13 ฀฀ 13 12 ฀฀ 25 6 ฀ ฀ 5 6 ฀ 13 ฀ ฀ 1

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163 pág. Capítulo 2 Números Reales 25฀฀ 13 ฀฀ 50฀฀ 12 12 0 Entonces Apx 6 5 13 6 5 13 . Ejemplo 2.58 Resolución de una ecuación cuadrática mediante la fórmula general. Caso: Una solución real repetida. Sea Re y px ฀฀ 16x 2 ฀฀ 24x ฀฀ 9 0 determine Apx. Solución: En este caso a 16 b 24 c 9. El discriminante b 2 ฀ ฀ 4ac 24 2 ฀ ฀ ฀ significa que hay una raíz real duplicada. x 12 216 24 ฀ 24 2 ฀฀ 4169 ฀ x 12 32 24 576 ฀฀ x 12 24 32 Simplificando tenemos que: x 1 x 2 3 4 Comprobando tenemos que: p 3 4 ฀ 16 2 3 4 ฀฀ 24 3 4 ฀ 9 16 9 16 ฀ 18 ฀ 9 0 Por lo tanto Apx 3 4 .

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164 pág. Ejemplo 2.59 Resolución de una ecuación cuadrática mediante la fórmula general. Caso: No existen soluciones reales. Sea Re y px ฀ 3x 2 ฀฀ 4x ฀฀ 2 0 determine Apx. En este caso a 3 b ฀ 4 c 2. El discriminante b 2 ฀฀ 4ac 4 2 ฀฀ 432 8 es decir que es menor que cero lo cual significa que no hay raíces reales. x 12 4 2 ฀฀ 432 4 23 x 12 6 4 16 ฀ 24 x 12 6 4 ฀ 8 Para este problema Apx . Contrario a los ejemplos anteriores la ecuación cuadrática puede tener parámetros desconocidos los cuales se determinan con condiciones sobre el discriminante de la ecuación. Así si se tiene la ecuación 2x 2 ฀ ฀ Kx ฀ 5 0 y se requiere que tenga una solución real duplicada solución real única su discriminante debe igualarse a cero. Esto es K 2 ฀฀ 425 0. Se obtiene que K 2 10. Por lo tanto la ecuación cuadrática dada tiene solución única si y sólo si K 2 10 2 10 . En este último ejemplo también se pueden obtener condiciones para K si se requiere que la ecuación cuadrática tenga dos soluciones reales diferentes o no tenga solución en . Ejemplo 2.60 Ecuaciones cuadráticas. Ejemplo 2.61 Ecuaciones cuadráticas. Sea Re determine los valores de p para que la ecuación: 3x 2 ฀ ฀ p ฀ 1x ฀ ฀ 24 0 x ฀tenga dos raíces tales que la una sea el doble de la otra. Solución: Por la fórmula cuadrática: x p ฀ 1 2 ฀฀ 288 ฀ p ฀ 1 6

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165 pág. Capítulo 2 Números Reales Por condición del problema: Esto es: p ฀฀ 1 3 p ฀ 1 2 ฀฀ 288. Elevando al cuadrado: p ฀฀ 1 2 9 p ฀฀ 1 2 ฀฀ 288. Simplificando se obtiene: p ฀฀ 1 2 324. Esto es: p ฀฀ 1 18 p ฀ 17 ฀ p ฀ ฀ 19. 2 p ฀ 1 2 ฀฀ 288 ฀ p ฀ 1 6 p ฀ 1 2 ฀฀ 288 ฀ p ฀ 1 6 p ฀฀ 1 ฀ 2 p ฀฀ 1 ฀฀ 2 p ฀ 1 2 ฀฀ 288 p ฀ 1 2 ฀฀ 288 Ejemplo 2.62 Ecuaciones cuadráticas. Si a 2 ฀ ฀ 2ab ฀ ฀ b 2 ฀ ฀ a฀ ฀ b 12 y a y b son números reales negativos ¿cuál es el valor de a ฀ b Solución: Puesto que: a 2 ฀฀ 2ab฀฀ b 2 a฀฀ b 2 Tenemos entonces: a฀฀ b 2 ฀฀ a฀฀ b 12 Es decir: a฀฀ b 2 ฀฀ a฀฀ b 12 0 Si se realiza el cambio de variable: u a฀฀ b La ecuación se transforma en: u 2 ฀฀ u฀฀ 12 0 La cual es una ecuación de segundo grado que se puede factorizar así: u ฀ 4u ฀ 3 0 u ฀ 4 0 ฀฀ u ฀ 3 0 u ฀ 4 ฀฀ u 3 Resolviendo la ecuación original: a + b ฀฀ 4a + b ฀฀ 3 0. Con lo cual: a฀฀ b ฀฀ 4 ฀฀ a฀฀ b 3.

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166 pág. Producto Algebraico de las Raíces de la Ecuación Cuadrática. El producto de las raíces de la ecuación cuadrática viene dado por la fórmula: Ejemplo 2.63 Ecuaciones cuadráticas. Encuentre el valor de k en la ecuación 2x 2 ฀ ฀ 5x x 2 ฀ ฀ 3x ฀ ฀ k ฀ ฀ 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto. Suma Algebraica de las Raíces de la Ecuación Cuadrática. La suma de las raíces de la ecuación cuadrática viene dada por la fórmula: x 1 ฀฀ x 2 ฀ b a ฀ x b 2 ฀฀ 4ac b 2a Fórmula General x 1 b 2 ฀฀ 4ac b 2a x 2 b 2 ฀฀ 4ac b 2a x 1 ฀฀ x 2 2b 2a ฀ x 1 ฀฀ x 2 ฀฀ b a x 1 ฀ ฀x 2 c a ฀ x b 2 ฀฀ 4ac b 2a Fórmula General x 1 b 2 ฀฀ 4ac b 2a x 2 b 2 ฀฀ 4ac b 2a x 1 ฀ ฀x 2 b 2 2 4a 2 b 2 ฀฀ 4ac x 1 ฀ ฀x 2 ฀ b 2 ฀ b 2 ฀฀ 4ac 4a 2 ฀ x 1 ฀ ฀฀x 2 ฀ ฀ c a Ahora bien como a y b son números reales negativos entonces a + b también debe ser un número real negativo. Por lo tanto a฀฀ b ฀฀ 4.

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167 pág. Capítulo 2 Números Reales Solución: La ecuación cuadrática será: x 2 ฀฀ 8x ฀฀ k ฀฀ 1 0 cuyas constantes son: a 1 b ฀ 8 c k ฀฀ 1 Según la condición del problema: ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ b a 3 c a ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ 8 1 3 k ฀ 1 1 ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ 8 3k ฀฀ 3 ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ k 11 3 px: ax ฀฀ b฀฀ c 0 a b c px: ax 2 ฀฀ bx ฀฀ c ฀ d 0 a b c d Ejemplo 2.64 Ecuaciones con valor absoluto. Sea Re y px: 5 ฀ x ฀฀ 1฀ 3 determine Apx. Solución: x ฀฀ 1฀ 5 ฀฀ 3 Despejamos el valor absoluto. Una ecuación con valor absoluto es una expresión algebraica que incluye el valor absoluto y las más simples pueden representarse con uno de los siguientes predicados: 2.8.3 Ecuaciones con valor absoluto Aunque pueden darse expresiones más complejas con el propósito de utilizar las propiedades del valor absoluto en esta sección se ilustrará un ejemplo de cada forma. Ecuaciones más avanzadas requieren combinar métodos gráficos y propiedades para su solución lo cual se estudiará en capítulos posteriores.

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168 pág. x ฀฀ 1฀ 2 Simplificamos. x ฀฀ 1 2 ฀ x ฀฀ 1 2 Aplicamos la definición del valor absoluto. x ฀ ฀ 1 ฀ x ฀ 3 Despejando x. Comprobando tenemos que: p 1: 5 2 5 2 3 p3: 5 2 5 2 3 Por lo tanto Apx 1 3. 2.8.4 Ecuaciones con radicales Una ecuación con radicales es una expresión algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raíz cuadrada. El único procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarlo. Sin embargo con este procedimiento la ecuación no se transforma en una ecuación equivalente ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita que tengan exactamente las mismas soluciones. Ejemplo 2.65 Ecuaciones cuadráticas y con valor absoluto. Sea Re y px : 2x 2 ฀฀ 3 x x determine Apx. Solución: Se deben resolver dos ecuaciones cuadráticas aplicando la definición de valor absoluto: 2x 2 ฀฀ 3x x ฀ x ฀ 0 ฀฀ 2x 2 ฀฀ 3x x ฀ x ฀ 0 2x 2 ฀฀ 4x 0 ฀ x ฀ 0 ฀฀ 2x 2 ฀฀ 2x 0 ฀ x ฀ 0 2x ฀x ฀฀ 2 0 ฀฀ x ฀ 0 ฀฀ 2x ฀x ฀฀ 1 0 ฀฀ x ฀ 0 x ฀ 0 ฀฀ x ฀ 2 ฀ x ฀ 0 ฀ ฀ ฀฀ x ฀ 0 ฀฀ x ฀ 1 ฀ x ฀ 0 x ฀ 0 ฀฀ x ฀ 2 ฀฀ x ฀ 1 Al realizar la verificación: p0 : 20 2 ฀฀ 3 0 0 ฀ p0 1 p2 : 22 2 ฀฀ 3 2 2 ฀ p2 1 p 1 : 2 1 2 ฀฀ 3 1 1 ฀ p 1 1 Se concluye que Apx 1 0 2.

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169 pág. Capítulo 2 Números Reales Ejemplo 2.66 Ecuaciones con radicales. Sea Re y px : x ฀฀ 13 ฀฀ 7฀฀ x ฀ 2 determine Apx. Solución: x ฀฀ 13 ฀ 2 ฀฀ 7 ฀฀ x ฀ Transponemos uno de los términos radicales. x ฀฀ 13 4 ฀฀ 4฀ 7 ฀฀ x ฀฀ 7 ฀฀ x Elevamos al cuadrado cada miembro. 2x ฀฀ 2 4 7฀฀ x Simplificamos la expresión. x ฀฀ 1 2฀ 7฀฀ x Multiplicamos por 1 2 ambos miembros. x 2 ฀฀ 2x ฀฀ 1 47 ฀฀ x Elevamos al cuadrado cada miembro. x 2 ฀฀ 6x ฀฀ 27 0 Simplificamos la expresión. x ฀ 9x ฀ 3 0 Factorizamos. x ฀ 9 0 ฀ x ฀ 3 0 Igualamos a cero los factores. x ฀ 9 ฀ x ฀ 3 Despejamos la incógnita. Comprobando tenemos que: p 9 : 9฀฀ 13 ฀ 7฀฀ 9 ฀ ฀ 4 ฀ 16 ฀ 2 ≠ 2 ฀ p 9 0. ฀p3 : 3 ฀฀ 13 ฀ 7฀฀ 3 16 ฀ 4 ฀ 2 2 ฀ p 3 1. Con lo cual Apx 3. El valor de 9 corresponde a la llamada “solución extraña” ya que es solución de la ecuación cuadrática pero no de la ecuación con el radical estas dos ecuaciones no son equivalentes lo cual hace que se presenten soluciones extrañas.

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170 pág. Sea Re y px : x ฀ x ฀฀ 1 ฀ 2x ฀฀ 1 determine Apx. Solución: x ฀฀ x ฀฀ 1 2 2x ฀฀ 1 2 Elevamos al cuadrado cada miembro. x ฀฀ 2 x x ฀฀ 1 ฀฀ x ฀฀ 1 2x ฀฀ 1฀ Aplicamos producto notable. 2 x x ฀฀ 1 ฀ 0 Simplificamos cada expresión. 4xx ฀฀ 1 0 Elevamos al cuadrado cada miembro. 4x 0 ฀฀ x ฀฀ 1 0 Igualamos a cero los factores. x 0 ฀฀ x ฀ 1 Despejamos la incógnita. Comprobando tenemos que: p0 : 0 ฀ 1 ฀ 0฀฀ 1 ฀ p0 ฀ 1 p 1 : 1 ฀฀ 1฀฀ 1 2฀฀ 1 ฀ p 1 ฀ 0 Note que esta última expresión no está definida en y corresponde a la denominada “solución extraña”. Con lo cual Apx 0. Ejemplo 2.67 Ecuaciones con radicales. 2.8.5 Planteo de ecuaciones Una de las aplicaciones más importantes que podemos encontrar con el estudio del álgebra es la solución de problemas de las ciencias de la ingeniería la economía la administración las finanzas la medicina y otros del mundo real los cuales pueden plantearse en términos algebraicos y resolverse con las técnicas anteriormente estudiadas. Considere las siguientes reglas básicas para la resolución de problemas de enunciado verbal: ▪ Lectura y compresión del enunciado del problema: Antes de iniciar la resolución de un problema es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado. Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y cómo se relaciona la información dada. ▪ Designación de las incógnitas del problema: Para designar las incógnitas debemos prestar atención a la pregunta que se formula en el problema. Sin embargo es conveniente también tener presente las relaciones existentes entre los datos y la incógnita pues ello puede permitir plantear una ecuación más simple. Generalmente las incógnitas se representan con letras minúsculas del alfabeto español.

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171 pág. Capítulo 2 Números Reales ▪ Traducción del texto del problema al lenguaje matemático: Exprese en términos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema. ▪ Expresión de relaciones por medio de ecuaciones: Identifique las condiciónes del problema que relacionan dos o más de las expresiones establecidas en el paso anterior. Plantee una ecuación o ecuaciones que expresen las condiciones del problema. ▪ Resolución de las ecuaciones y análisis de las soluciones encontradas: Resuelva las ecuaciónes y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original. Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteó en el problema. Si el caso amerita se puede realizar un gráfico del problema a resolver. La suma de tres números enteros consecutivos es 72. Encuentre el mayor de ellos. Solución: x : número menor. x ฀฀ 1: número central. x ฀฀ 2: número mayor. Según las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuación: x ฀฀ x ฀฀ 1 ฀฀ x ฀฀ 2 72 Planteo de la ecuación. 3x ฀฀ 3 72 Reducción de términos semejantes. 3x 69 Simplificación. x 23 Análisis de la solución encontrada: Los números consecutivos son: 23 ฀ 24 ฀y 25. La suma de los tres números es 72. El número buscado que es el mayor es 25. Ejemplo 2.68 Problema de planteo de ecuaciones.

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172 pág. Un estudiante debe leer una novela en una semana. Entre lunes y martes lee 1 5 del libro y el miércoles lee 1 3 del resto. Si para los restantes días de la semana todavía le quedan 64 páginas de lectura ¿cuál es el número total de páginas del libro Solución: x : número total de páginas del libro. 1 5 x : número de páginas leídas entre lunes y martes. El resto es la diferencia entre el número total de páginas y lo que leyó entre lunes y martes. Por lo tanto el miércoles el estudiante lee: 1 3 x ฀฀ 1 5 ฀x . Los restantes días de la semana el estudiante lee: 64 páginas. Según las condiciones del problema se puede plantear en función de las páginas leídas la siguiente ecuación: 1 5 x ฀฀ 1 3 ฀ x ฀ ฀ 1 5 x 64 x Planteo de la ecuación. 1 5 x ฀฀ 1 3 ฀ 4 5 x ฀ 64 x Reducción de términos. 1 5 x ฀ ฀ 4 15 x ฀ 64 x Producto de fracciones. x ฀฀ 1 5 x ฀฀ 4 15 x 64 Transposición de términos. 15x ฀฀ 3x ฀ 4x 6415 m.c.m. entre 5 y 15. 8x 960 Simplificación. x 120 Despejando x. Análisis de la solución encontrada: Entre el lunes y el martes leyó 1 5 de 120 páginas es decir 24 páginas. Y el miércoles leyó 1 3 de 96 páginas es decir 32 páginas. Los restantes días leyó 64 páginas. El total de páginas leídas es la suma de 24 32 64 es decir 120. Ejemplo 2.69 Problema de planteo de ecuaciones.

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173 pág. Capítulo 2 Números Reales Ejemplo 2.70 Problema de planteo de ecuaciones. Una solución de sal se hizo al 10 y otra al 25. ¿Cuántos litros de cada una se deben mezclar para obtener 20 litros de solución al 16 de sal Solución: x : número de litros al 10. 20฀฀ x: número de litros al 25. La cantidad de sal en la mezcla final debe ser igual a la suma de las cantidades de sal que hay en las soluciones iniciales. La cantidad de sal en cada solución es el porcentaje dado del número de litros de ellas. 10 de x ฀฀ 25 de 20 ฀฀ x 16 de 20 10 25 16 x l 20 ฀฀ x l 20l 0.1x ฀฀ 0.2520 ฀฀ x 0.1620 Planteo de la ecuación. 0.1x ฀฀ 5฀฀ 0.25x 3.2 Producto. 0.15x 1.8 Reducción de términos semejantes. x 18 10 15 100 Simplificación. x 12 Despejando x. Análisis de la solución encontrada: 10 de 12 1.2 litros. 25 de 8 2 litros. 1.2 2 16 de 20 3.2 litros. Por lo tanto se deben mezclar 12 litros de la solución al 10 con 8 litros de la solución al 25 para obtener 20 litros de una solución al 16.

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174 pág. Ejemplo 2.72 Problema de planteo de ecuaciones. David puede pintar una habitación en 6 horas. Su amigo José puede pintar la misma habitación en 8 horas. ¿Cuánto demorarán en pintarla si trabajan juntos Solución: x: número de horas que demoran en pintarla juntos. En 1 hora: David pinta 1 6 de la habitación. José pinta 1 8 de la habitación. David y José juntos pintan 1 x de la habitación. Como la suma de las partes que realizan por separado debe ser igual a la parte del trabajo que realizan trabajando juntos entonces se tiene la siguiente ecuación: 1 6 1 8 1 x Planteo de la ecuación. 4x ฀฀ 3x 24 m.c.m. entre 6 8 y x es 24x. 7x 24 Reducción de términos semejantes. x 24 7 Despejando x. x 3 3 7 Expresando x como número mixto. Análisis de la solución encontrada: Trabajando juntos David y José demoran 3 3 7 horas en pintar la habitación. Ejemplo 2.71 Problema de planteo de ecuaciones. Un consultor cobra 25 por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en dólares a los 5 13 del número total de horas trabajadas por el consultor. Si en un trabajo en el cual el consultor trabajó 3 horas más que su asistente la cuenta total fue de 880 encuentre el número de horas trabajadas por el consultor. Solución: Sea x el número de horas trabajadas por el consultor.

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175 pág. Capítulo 2 Números Reales La suma de dos cifras de un número entero positivo es 9. Si al invertir el orden de las cifras se obtiene un segundo número que excede en 9 al cuádruplo del número original encuentre el número original. Solución: Sea u la cifra de las unidades y d la cifra de las decenas. Según las condiciones del problema debe cumplirse que: u฀฀ d 9 10u฀฀ d 410d฀฀ u ฀฀ 9 Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u 8 d 1. Por lo tanto el número es 18. Análisis de la solución encontrada: La suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9 al invertir el número se obtiene 81 el cual excede en 9 unidades al número 72 4 18. Ejemplo 2.73 Problema de planteo de ecuaciones. El asistente trabajó x ฀ 3 horas y ganó 5 13 x en cada una de esas horas. Se plantea la ecuación 25x ฀฀ 5 13 x x ฀ 3 880. 325x ฀฀ 5x 2 ฀฀ 15x 11440 5x 2 ฀ 310x ฀฀ 11440 0 x 2 ฀฀ 62x ฀฀ 2288 0 x 2 62 3844฀฀ 41 2288 x 2 62 12996 x 62 ฀ 114 2 ฀฀ x 62 ฀ 114 2 ฀ x 26 x 88 Como se trata del total de horas tomamos el valor positivo lo cual significa que el consultor trabajó 26 horas.

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176 pág. A la presentación de una película asistieron 600 personas. El costo de los boletos para adulto fue de 5 mientras que los niños pagaron solamente 2. Si la taquilla del cine recibió 2400 encuentre la diferencia entre el número de adultos y el número de niños. Solución: Si n es el número de niños que asistieron a la función el número de adultos es 600 ฀ n. Con los datos del problema se plantea la siguiente ecuación: 5600 ฀฀ n ฀฀ 2n 2400 ฀฀ n 200. La diferencia entre el número de adultos y el número de niños es 400 ฀ ฀ 200 200 ฀ ฀ 400 200. Análisis de la solución encontrada: De las 600 personas 200 eran niños y 400 eran adultos. Los niños contribuyeron a la taquilla en 2002 400 mientras que los adultos pagaron 4005 2000. Ejemplo 2.74 Problema de planteo de ecuaciones. Hace 4 años la edad de Hernán era la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 2 años. Determine la edad actual de Hernán. Solución: x: edad actual de Hernán. x ฀฀ 4: edad de Hernán hace ฀฀ años. x ฀฀ 2: edad de Hernán dentro de 2 años. Según las condiciones del problema se puede plantear la siguiente ecuación: x ฀฀ 4 x ฀฀ 2 Planteo de la ecuación. x 2 ฀฀ 8x ฀฀ 16 x ฀฀ 2 Elevando al cuadrado. x 2 ฀฀ 9x ฀฀ 14 0 Simplificación. x ฀฀ 7x ฀฀ 2 0 Factorización. x ฀฀ 7 0 ฀ x ฀฀ 2 0 Propiedad de números reales. x 7 ฀ x 2 Soluciones. Análisis de las soluciones encontradas: La respuesta x 2 no tiene validez en el contexto del problema. La respuesta x 7 significa que la edad actual de Hernán es de 7 años. Hace 4 años Hernán tenía 3 años y dicho valor es la raíz cuadrada de 9 que es la edad que él tendrá dentro de 2 años luego la edad actual de Hernán es 7 años. Ejemplo 2.75 Problema de planteo de ecuaciones.

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177 pág. Capítulo 2 Números Reales Una inversionista con 70000 decide colocar parte de su dinero en un banco que paga 12 anual y el resto en otro banco que paga 8 anual. Si ella desea obtener una ganancia total del 9 anual ¿cuánto debe colocar en cada inversión Solución: La pregunta planteada es acerca de dos cantidades de dinero: el capital a invertir al 12 y el capital a invertir al 8. Sea x: cantidad que será invertida al 12. 70000฀฀ x: cantidad que será invertida al 8. Se puede construir la siguiente tabla: Ejemplo 2.76 Problema de planteo de ecuaciones. Capital Tasa Tiempo años Interés x 12 0.12 1 0.12 x 70000฀฀ x 8 0.08 1 0.08 70000 ฀฀ x 70000 9 0.09 1 0.09 70000 6300 Ya que el interés total de las inversiones es igual a 0.0970000 6300 debemos plantear la ecuación: 0.12x ฀฀ 0.08 70000 ฀฀ x 6300 Con lo cual se deduce que: x 17500 Por lo tanto la inversionista debe colocar 17500 al 12 y 70000 ฀ 17500 es decir 52500 al 8. Finalmente comprobamos la respuesta: El interés en el primer banco después de un año es 0.1217500 2100. El interés en el segundo banco después de un año es 0.0852500 4200. El interés anual total asciende a 6300 que es la cantidad requerida y es la suma de los intereses que se obtendría al invertir el capital en cada banco.

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178 pág. Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuación y desigualdad. Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades. Resolver inecuaciones de tipo lineal cuadrática y con valor absoluto. Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones. 2.9 Inecuaciones A veces se dan condiciones en las que en lugar de aparecer el símbolo igual hay que utilizar otros símbolos llamados de desigualdad. Definición 2.14 Desigualdad Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemáticas. Dichas expresiones están separadas por alguno de los siguientes símbolos: ฀฀ ฀ ฀ . 16฀ 7 1 4 ฀ ฀ 1 3 1฀ 2 3 2 ฀฀ 7 2 ฀ Ejemplo 2.77 Desigualdades. Nuestro interés en esta sección del libro es analizar desigualdades condicionadas. Definición 2.15 Inecuación Una inecuación es un predicado que incluye una desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposición verdadera.

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179 pág. Capítulo 2 Números Reales La resolución de una inecuación involucra la aplicación de las propiedades de los números reales analizados en este mismo capítulo sección 2.4: Relación de Orden. Es recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones las cuales usualmente corresponden a un intervalo concepto definido en este mismo capítulo. 3 4 x ฀฀ 2 5 es una desigualdad siempre y cuando x ฀฀ 8 15 . 1 4 x ฀฀฀ 1 3 es una desigualdad siempre y cuando x ฀฀฀ 4 3 . 2x ฀฀ 2฀฀ x ฀฀ 1 es una desigualdad siempre y cuando x ฀฀ 3. x ฀ ฀ 3 2 ฀฀ x 3 ฀฀ 7 es una desigualdad siempre y cuando x ฀฀฀ 33 4 . x 2 ฀฀ 0 es una desigualdad no válida en todo . Ejemplo 2.78 Inecuaciones. 2.9.1 Inecuaciones lineales Una inecuación lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los reales mediante una de las siguientes formas: 1. px: ax ฀฀ b฀ 0. 2. px: ax ฀฀ b฀ 0. 3. px: ax ฀฀ b฀ 0. 4. px: ax ฀฀ b฀ 0. donde x es la incógnita cuyo valor hay que determinar. En una inecuación puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los números reales a no ser que se especifique otro conjunto. Las soluciónes de dicho predicado conforman su conjunto de verdad Apx. Por lo tanto podemos tener inecuaciones: lineales cuadráticas con valor absoluto similarmente como se vio en la sección anterior. a b฀ ฀ a ≠ 0

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180 pág. En el caso 1 la solución de la inecuación cuando a ≠ 0 será: ax ฀฀ b฀ 0 Consideramos la expresión original. ax ฀฀ b฀ b 0 ฀฀ b Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembros. ax ฀ 0 ฀ b Reducimos la expresión. ax ฀ ฀ b Propiedad del neutro aditivo. 1 a ax ฀฀ 1 a b Efectuamos el producto con el inverso multiplicativo de a. Se ha supuesto que a 0. 1 x ฀฀ b a Simplificamos la expresión. x ฀฀ b a Propiedad del neutro multiplicativo. Sea Re y el predicado px ฀ 4x ฀ 3 ฀ x ฀ 13 determine Apx. Solución: 4x ฀ x ฀ 3 ฀ 13 Se suman los inversos aditivos de 3 y x. x ฀ 16 Reducimos la expresión. x ฀ 2 Multiplicamos por el inverso multiplicativo de 8. Con lo cual Apx ฀ ∞ 2. Ejemplo 2.79 Inecuaciones lineales. Nótese que si a ฀ 0 al multiplicarlo por 1 a la inecuación cambia la relación de orden y los intervalos obtenidos hubiesen sido b a ∞ ฀ b a ฀ ∞ b a ∞ ฀ y b a ฀ ∞ respectivamente. En el caso 1: Apx b a ฀ ∞ cuando a 0 En el caso 2: Apx b a ∞ ฀ cuando a 0 En el caso 3: Apx b a ฀ ∞ cuando a 0 En el caso 4: Apx b a ∞ ฀ cuando a 0

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181 pág. Capítulo 2 Números Reales Sea Re y px ฀ 1 3 3x ฀ 2 ฀฀ x 8 ฀ 2 determine Apx. Solución: x ฀฀ 2 3 ฀฀ x 8 ฀ 2 Desarrollamos el producto indicado. 24x ฀ 16฀฀ 3x ฀ 48 m.c.m. entre 3 y 8 es 24. 21x ฀฀ 64 Simplificamos la expresión. x ฀฀ 64 21 Despejamos la incógnita x. De donde Apx x/x ฀ ∞ 64 21 . Ejemplo 2.80 Inecuaciones lineales. 2.9.2 Inecuaciones cuadráticas Una inecuación cuadrática es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los números reales mediante una de las siguientes formas: 1. px ax 2 ฀฀ bx ฀฀ c ฀฀ 0 2. px ax 2 ฀฀ bx ฀฀ c ฀฀ 0 3. px ax 2 ฀฀ bx ฀฀ c ฀฀ 0 4. px ax 2 ฀฀ bx ฀฀ c ฀฀ 0 donde x es la incógnita cuyo valor hay que determinar. Se pueden encontrar las soluciones de una inecuación cuadrática mediante factorización o mediante la fórmula general. El objetivo es expresar la inecuación en función de un producto de dos factores y luego separarlos en dos inecuaciones lineales. Para el efecto debemos recordar las siguientes reglas: ▪ Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales. ▪ Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentes. a b c ฀ ฀฀ a ≠ 0 ฀

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182 pág. Sea Re y px ฀฀ x 2 ฀฀ x ฀ 2฀฀ 0 determine Apx. Solución: x ฀ 2x ฀ 1 ฀฀ 0 x ฀ 2 ฀ 0 ฀ x ฀ 1 ฀ 0 ฀฀ x ฀ 2 ฀ 0 ฀ x ฀ 1 ฀ 0 x ฀ 2 ฀ x ฀ 1 ฀฀ x ฀ 2 ฀ x ฀ 1 Al representar gráficamente en la recta real: ฀ ∞ 1 0 2 ฀ ∞ ฀ ∞ ฀ ∞ 1 0 2 ฀ ∞ ฀ ∞ 1 0 2 Con lo cual Apx x/x ฀ ∞ ฀ 1 2 ฀ ∞. Ejemplo 2.81 Inecuaciones cuadráticas. En el caso 1 la solución de la inecuación sería: x ฀฀ x 1 x ฀฀ x 2 ฀฀ 0 x ฀฀ x 1 0 ฀ x ฀฀ x 2 0 ฀ x ฀฀ x 1 0 ฀ x ฀฀ x 2 0 En este punto se puede observar que tenemos cuatro inecuaciones lineales las cuales pueden ser resueltas con el método indicado en la sección anterior. Debe recordarse que la conjunción de predicados involucra la intersección entre sus conjuntos de verdad y la disyunción de predicados involucra la unión de sus conjuntos de verdad. Si las inecuaciones tienen los símbolos o al resolver la inecuación lineal se debe incluir el extremo del intervalo en las desigualdades precedentes. 1 x y xy ฀฀ 0 x ฀ 0 ฀ y ฀฀ 0 ฀ x ฀ 0 ฀ y ฀฀ 0 2 x y xy ฀฀ 0 x ฀ 0 ฀ y ฀฀ 0 ฀ x ฀ 0 ฀ y ฀฀ 0 Estas propiedades de las desigualdades se las puede resumir en la siguiente tabla:

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183 pág. Capítulo 2 Números Reales Sea Re y px ฀ x 2 ฀฀ x ฀฀ 6 x ฀฀ 2 ฀ 0 determine Apx C . Solución: El primer miembro se puede factorizar así: x ฀฀ 3x ฀฀ 2 x ฀฀ 2 de donde se obtienen los puntos críticos x 3 x ฀ 2 y x 2. En la siguiente tabla se analizan los intervalos sin incluir los puntos críticos y se aplica la Ley de los Signos de la multiplicación y de la división. Ejemplo 2.82 Inecuaciones cuadráticas. 2.9.3 Inecuaciones con valor absoluto Para resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto las cuales se deducen a continuación. Considere los siguientes predicados: 1. px: x ฀ ฀ a a฀ 0 Aplicando la definición del valor absoluto: x ฀ a ฀ x ฀฀ 0 ฀ x ฀ a ฀ x ฀฀ 0 x ฀ a ฀ x ฀฀ 0 ฀ x ฀ a ฀ x ฀฀ 0 Podemos observar en el gráfico que: 0 ฀ x a ฀ a฀฀ x ฀฀ 0 ฀∞ ฀∞ Por lo tanto Apx x/ a ฀ x ฀ a. Intervalo: ฀ ∞ ฀ 2 ฀ 2 ฀2 2 ฀3 3 ฀฀ ∞ Signo de x ฀฀ 3x ฀฀ 2 x ฀฀ 2 Solución: ฀ ∞ ฀ 2 2 ฀3 De la tabla anterior se obtiene Apx ∞ 2 ฀฀฀ . Por lo tanto Apx C 2 2 ฀ 3 ∞.

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184 pág. 2. px: x ฀ ฀ a a฀ 0 Aplicando la definición del valor absoluto: x ฀ a ฀ x ฀฀ 0 ฀ x ฀ a ฀ x ฀฀ 0 x ฀ a ฀ x ฀฀ 0 ฀ x ฀ a ฀ x ฀฀ 0 Podemos observar en el gráfico que: x ฀ a ฀ x ฀ a ฀∞ ฀∞ Por lo tanto Apx x/x ฀฀ a ฀฀ x ฀฀ a. Se puede generalizar para los casos: 3. px: x ฀ ฀ a a฀ 0 Apx x/ a฀฀ x ฀฀ a 4. px: x ฀฀ a a฀ 0 Apx x/x ฀฀ a ฀฀ x ฀฀ a Si a฀฀ 0: 1. px: x ฀฀ a Como el valor absoluto de un número es siempre positivo la inecuación no tiene solución. 2. px: x ฀฀ a Un valor absoluto siempre es mayor o igual que un número negativo por lo cual la inecuación tiene como solución el conjunto de los números reales. Expresiones como x ฀ 0 x ฀ 0 x ฀ 0 y x ฀ 0 se resuelven empleando las propiedades del valor absoluto. El lector puede verificar que la solución de estas inecuaciones es 0 0 y respectivamente. Sea Re y px: x ฀ a ฀฀ b b ฀ x ฀ a ฀ b a฀฀ b ฀ x ฀ a ฀ b Apx a ฀ b a฀฀ b

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185 pág. Capítulo 2 Números Reales Sea Re y px: 2x ฀ 3 ฀฀ 11 determine Apx. Solución: 2x ฀ 3 ฀ 11 ฀฀ 2x ฀ 3 ฀ 11 Propiedades del valor absoluto. 2x ฀ 14 ฀฀ 2x ฀ 8 Simplificamos la expresión. x ฀ 7 ฀฀ x ฀ 4 Despejamos la incógnita. 0 ฀ ∞ ฀ ∞ 7 0 ฀ ∞ ฀ ∞ 4 ฀ ∞ ฀ ∞ 0 4 7 De donde Apx x/x ฀ ฀ 4 ฀฀ x ฀฀ 7. Ejemplo 2.83 Inecuaciones con valor absoluto. Sea Re y px: x ฀ 2| ฀฀ 5 2 determine Apx. Solución: ฀ 5 2 ฀฀ x ฀ 2 ฀ 5 2 Propiedades del valor absoluto. ฀ 9 2 ฀฀ x ฀ 1 2 Simplificamos la expresión y despejamos la incógnita. 0 1 2 3 4 ฀ ∞ ฀ ∞ 5 9 2 0 ฀ ∞ ฀ ∞ 1 2 Ejemplo 2.84 Inecuaciones con valor absoluto.

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186 pág. 0 ฀ ∞ ฀ ∞ 1 2 9 2 Por lo tanto Apx x/ 9 2 ฀ x 1 2 . Sea Re y px: 2x ฀ 1 ฀ 5x ฀ ฀ ฀ 2 determine Apx. Solución: En este caso no hay necesidad de resolver la expresión ya que Apx . Ejemplo 2.85 Inecuaciones con valor absoluto. Ejemplo 2.86 Inecuaciones con valor absoluto. Sea Re px: x ฀ 4 ฀ 2 y qx: x ฀ 3 determine Apx ฀ Aqx. Solución: x ฀ 4 ฀ 2 ฀฀ 2฀฀ x ฀ 4฀ 2฀฀ 6 x ฀ 2 ฀∞ ฀∞ 6 2 Apx 6 2 x ฀ 3฀฀ x ฀ 3 ฀฀ x ฀ 3 ฀∞ ฀∞ 3 3 Aqx ∞ 3 ฀฀ 3 ฀ ∞ ฀∞ ฀∞ 6 3 Apx ฀ Aqx 6 3

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187 pág. Capítulo 2 Números Reales Sea Re y el predicado px ฀ x ฀฀ 2 2x ฀฀ 3 ฀ 4 determine Apx. Solución: Aquí se tiene: x ฀฀ 2 2x ฀฀ 3 ฀ 4 ฀ x ฀฀ 2 2x ฀฀ 3 ฀ 4 . ▪ Trabajando en la primera parte de esta última expresión obtenemos: 8x ฀฀ 12 ฀ x ฀ 2 ฀ 2x ฀฀ 3 0 ฀ 8x ฀฀ 12 ฀ x ฀ 2 ฀ 2x ฀฀ 3 0 x ฀ 10 9 ฀ x ฀ 3 2 ฀ x ฀ 10 9 ฀ x ฀ 3 2 . El conjunto de verdad de esta última expresión es ฀ ฀ 10 9 3 2 10 9 3 2 . ▪ Trabajando en la segunda parte obtenemos: x ฀฀ 2 ฀ 8x ฀ 12 ฀ 2x ฀฀ 3 0 ฀ x ฀฀ 2 ฀ 8x ฀ 12 ฀ 2x ฀฀ 3 0 x ฀฀ 2 ฀ x ฀ 3 2 ฀ x ฀฀ 2 ฀฀ x ฀ 3 2 El conjunto de verdad de esta última expresión es 3 2 2฀ ฀ 3 2 2฀ . ▪ Finalmente Apx 10 9 3 2 ฀ 3 2 2฀ . Ejemplo 2.87 Inecuaciones con valor absoluto. 2.9.4 Planteo de inecuaciones Para interpretar problemas que involucran plantear inecuaciones debemos tomar en cuenta las siguientes equivalencias: ▪ Las expresiones del tipo: al menos por lo menos como mínimo se traducen con la relación . ▪ Las expresiones del tipo: a lo más cuanto mucho como máximo se traducen con la relación . El resto del planteamiento es similar al que se indicó para las ecuaciones. Jenny quiere invertir 50000. Ella puede escoger el banco A que ofrece un interés anual del 8 o con un mayor riesgo escoger el banco B que ofrece un interés anual del 10. ¿Qué cantidad mínima deberá invertir en el banco B de modo que reciba una rentabilidad anual total de al menos 4400 Ejemplo 2.88 Problema de planteo de inecuaciones.

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188 pág. Solución: x: cantidad de dinero invertida en el banco B. 50000฀฀ x: cantidad de dinero invertida en el banco A. Según la condición del problema: Rentabilidad en banco B al 10 ฀฀ rentabilidad en banco A al 8 ฀฀ 4400. 0.1x ฀ 0.08 50000 ฀ x ฀฀ 4400 0.1x ฀฀ 4000฀฀ 0.08x ฀฀ 4400 0.02x ฀฀ 400 x ฀฀ 20000 Análisis de la solución encontrada: Jenny debe invertir al menos 20000 en el banco B para obtener la rentabilidad deseada. Un promotor artístico quiere realizar un concierto. El costo del mismo puede ser cubierto con un pago único de 2440 o un pago de 1000 más el 40 de lo que se obtenga por la venta de las entradas. Él pronostica que asistirán 800 personas. ¿Cuánto podría cobrar por el boleto de manera que la segunda forma de pago no sea más elevada que el pago único Solución: x: precio de la entrada. Pago único: 2440 Segunda forma de pago 1000 ฀฀ 0.40800x Por condición del problema la segunda forma de pago debe ser menor o igual que el pago único lo cual se puede representar por la siguiente inecuación: 1000฀฀ 0.40 800x ฀฀ 2440 1000฀฀ 320x ฀฀ 2440 100฀฀ 32x ฀฀ 244 32x ฀฀ 244 ฀฀ 100 32x ฀฀ 144 x ฀฀ 4.5 Ejemplo 2.89 Problema de planteo de inecuaciones.

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189 pág. Capítulo 2 Números Reales Análisis de la solución encontrada: La entrada debe valer a lo mucho 4.50. Un valor mayor a éste provocaría que el pago único sea mayor que la segunda forma de pago. El propietario de un edificio de departamentos puede alquilar todas las 50 habitaciones si el alquiler mensual es de 120 por departamento. Por cada incremento de 5 en la mensualidad del alquiler un departamento quedará vacante sin posibilidad alguna de alquilarse. ¿Cuál es el valor máximo de alquiler que deberá fijarse para obtener un ingreso mensual de al menos 6000 Solución: x: número de incrementos de 5. Ingresos: precio de la habitaciónnúmero de habitaciones. El ingreso mensual viene dado por: I 120 ฀฀ 5x 50 ฀฀ x Debe cumplirse que los ingresos superen los 6000 120 ฀฀ 5x 50 x ฀฀ 6000 6000฀฀ 120x ฀฀ 250x ฀฀ 5x 2 ฀฀ 6000 ฀ 5x 2 ฀฀ 130x ฀฀ 0 x 2 ฀฀ 26x ฀฀ 0 x x ฀฀ 26 ฀฀ 0 0 ฀฀ x ฀฀ 26 Análisis de la solución encontrada: El valor máximo que debe fijarse es 120฀ ฀ 526 250 para este caso el ingreso será I 25050 ฀ 26 6000. En el instante en que el alquiler se incremente a 255 el ingreso sería I 25550 27 5865 que es un valor menor a las expectativas del propietario del edificio. Ejemplo 2.90 Problema de planteo de inecuaciones.

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190 pág. Cuando se quiere demostrar propiedades se puede considerar que de la certeza de una proposición general se puede pasar a la certeza de las correspondientes proposiciones particulares y al revés de la certeza de una o varias proposiciones particulares se puede pasar a la certeza de la correspondiente proposición general o generalización. El primer caso conlleva a un proceso de razonamiento lógico que se denomina deducción o proceso deductivo mientras que el segundo caso se conoce como proceso inductivo o inducción. Si decimos que: “Todos los números enteros pares son divisibles por 2” estamos exponiendo una proposición general a partir de la cual se puede particularizar por ejemplo la proposición: “El número 124 es divisible por 2”. Si por ejemplo aceptamos como cierta la proposición general de que: “Todos los alemanes son rubios” la veracidad de la afirmación correspondiente a la particularización: “Helmut es alemán y por consiguiente es rubio” es un proceso de deducción. Evidentemente la certeza depende de que sea cierta la proposición general de la que se ha partido. En cambio el proceso contrario en el que partiríamos de la veracidad de la proposición: “Helmut es alemán y rubio” no nos permitiría afirmar la veracidad de la proposición general: “Todos los alemanes son rubios” pero tampoco negarla. En general el proceso de inducción por el que pasamos de una o varias proposiciones particulares a una proposición generalizadora no es tan sencillo. En esta sección veremos que mediante la Inducción Matemática es posible demostrar propiedades de los números naturales a partir de unos postulados denominados Axiomas de Peano. 2.10.1 Axiomas de Peano El conjunto de los números naturales puede ser construido a partir de cinco axiomas o postulados propuestos por el matemático italiano Peano. Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano. Dada una propiedad de los números naturales demostrarla aplicando el Teorema de Inducción. 2.10 Inducción Matemática

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191 pág. Capítulo 2 Números Reales Este último postulado se conoce como Axioma de Inducción y permite probar resultados con los números naturales generalizando situaciones particulares. 2.10.2 Teorema de inducción Si en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un número natural n se verifica para su sucesor n฀ ฀ 1 cualquiera que sea n entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito. Si sabemos además que se verifica para el primero de los números naturales que no es sucesor de ningún otro entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento de . Es decir para probar que una propiedad se cumple en todos los números naturales basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuación suponer que se cumple para un natural n y a partir de esta suposición deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente n฀฀ 1. Teorema 2.2 Teorema de Inducción Si pn es una propiedad sobre el conjunto de los números naturales tal que: p1 ฀ 1 Caso base n pn ฀฀ pn ฀ 1 Paso inductivo Entonces n pn ฀ 1 es decir Apn ▪ 1 es natural. ▪ Si n es un número natural entonces n฀ ฀ 1 también es un número natural llamado el sucesor de n . ▪ 1 no es sucesor de número natural alguno ya que es el primer elemento del conjunto. ▪ Si los sucesores de dos números naturales n y m son iguales entonces n y m son números naturales iguales. ▪ Si un conjunto de números contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números naturales.

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192 pág. Ejemplo 2.91 Demostración utilizando el teorema de Inducción. Ejemplo 2.92 Demostración utilizando el teorema de Inducción. Demostrar que para todo número natural n se cumple la siguiente propiedad: pn 1฀฀ 3 ฀฀ 5 ฀฀ 2n ฀ 1 n 2 Solución: 1 p1 ฀ 1 1 2 1 1 ฀ p1 ฀฀ 1 2 p.d. n pn ฀฀ pn ฀ 1 Hipótesis: pn ฀ ฀ 1฀฀ 3฀฀ 5 ฀฀ 2n ฀ 1 n 2 Tesis: pn ฀ 1 ฀ 1฀฀ 3฀฀ 5 ฀฀ 2n ฀ 1 n ฀ 1 2 pn 1฀฀ 3฀฀ 5 ฀฀ 2n ฀ 1 n 2 1 ฀ ฀ 3 ฀ ฀ 5 ฀ ฀ 2n ฀ 1 ฀ ฀ 2n ฀ 1 1 n 2 ฀ ฀ 2n ฀ 1 1 ฀ 1฀฀ 3฀฀ 5 ฀฀ 2n ฀ 1 ฀฀ 2n ฀ 1 n 2 ฀฀ 2n ฀ 1 ฀ 1฀฀ 3฀฀ 5 ฀฀ 2n ฀ 1 ฀฀ 2n ฀ 1 n ฀ 1 2 pn฀฀ 1 n pn ฀฀ pn ฀ 1 ฀ 1 Demostrar que para todo número natural n se cumple la siguiente propiedad: qn: 1 2 ฀ 2 2 ฀ 3 2 ฀ 4 2 ฀฀฀ n 2 6 nn฀฀ 12n฀฀ 1 Solución: 1 q1: 1 2 11 ฀ 121 ฀ 1 6 1 2 123 6 1 1 ฀ q1 ฀฀ 1

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193 pág. Capítulo 2 Números Reales Ejemplo 2.93 Demostración utilizando el teorema de Inducción. 2 p.d. n qn ฀฀ qn ฀ 1 Hipótesis: qn ฀ ฀ ฀ ฀ 1 2 ฀ ฀ 2 2 ฀ ฀ 3 2 ฀ ฀ 4 2 ฀ ฀ ฀ n 2 nn฀฀ 12n฀฀ 1 6 Tesis: qn ฀ 1 ฀ ฀ ฀ ฀ 1 2 ฀ ฀ 2 2 ฀ ฀ 3 2 ฀ ฀ 4 2 ฀ ฀ ฀ n ฀ ฀ 1 2 n ฀ ฀ 1n ฀ ฀ 22n ฀ ฀ 3 6 qn 1 2 ฀ ฀ 2 2 ฀ ฀ 3 2 ฀ ฀ 4 2 ฀ ฀ ฀ n 2 nn฀฀ 12n฀฀ 1 6 1 2 ฀ ฀ 2 2 ฀ ฀ 3 2 ฀ ฀ 4 2 ฀ ฀ ฀ n 2 ฀฀ n฀฀ 1 2 nn฀฀ 12n฀฀ 1 6 ฀฀ n฀฀ 1 2 n฀฀ 1 6 n2n฀฀ 1 ฀฀ 6n฀฀ 1 n฀฀ 1 6 2n 2 ฀฀ 7n฀฀ 6 n฀฀ 1 6 2n฀฀ 42n฀฀ 3 2 1 2 ฀ ฀ 2 2 ฀ ฀ 3 2 ฀ ฀ 4 2 ฀ ฀ ฀ n 2 ฀฀ n฀฀ 1 2 n฀฀ 1n฀฀ 22n฀฀ 3 6 qn฀฀ 1 n qn ฀฀ qn ฀ 1 ฀ 1 Demostrar que para todo número natural n si a฀ ฀ 0 b฀ ฀ 0 y a฀ ฀ b se cumple la siguiente propiedad: rn ฀฀ a n ฀฀ b n

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194 pág. Demostrar que para todo número natural n se cumple la siguiente propiedad: pn ฀ n 2 ฀฀ n es divisible por 2. Ejemplo 2.94 Demostración utilizando el teorema de Inducción. Solución: 1 r 1 ฀ a 1 ฀ b 1 ฀฀ a b Esto es verdad por condición del problema. ฀ r1 ฀ 1 2 p.d. nr n ฀฀ r n ฀ 1 Hipótesis: a n ฀ b n Tesis: a n ฀฀ 1 ฀ b n ฀฀ 1 Supóngase que: rn a n ฀฀ b n Si multiplicamos la desigualdad a n ฀฀ b n por la cantidad positiva a: a n a ฀ b n a Como b฀ 0 b n ฀ 0 si multiplicamos la desigualdad a ฀ b por la cantidad positiva b n : b n a ฀ b n b Como a n a ฀ b n a ฀฀ b n a ฀ b n b por transitividad se cumple que: a n a ฀ b n b a n฀฀ 1 ฀ b n฀฀ 1 rn ฀ 1 n rn ฀฀ rn ฀ 1 ฀ 1

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195 pág. Capítulo 2 Números Reales Solución: 1 p1 ฀฀ 1 2 ฀฀ 1 p1 ฀฀ 2 que si es divisible por ฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀ p1 ฀ 1 2 p.d. n pn ฀฀ pn ฀ 1 Hipótesis: pn ฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀ n 2 ฀฀ n es divisible por 2. Tesis: pn฀฀ 1 ฀฀฀฀฀฀ n฀฀ 1 2 ฀฀ n฀฀ 1 es divisible por 2. pn n 2 ฀฀ n es divisible por 2฀฀ k ฀ ฀/n 2 ฀฀ n 2k n ฀฀ 1 2 ฀฀ n฀฀ 1 n 2 ฀฀ 2n฀฀ 1 ฀฀ n ฀฀ 1 n 2 ฀฀ n ฀฀ 2n฀฀ 2 2k ฀ 2n฀฀ 2 2k ฀ n฀฀ 1/k ฀ n฀฀ 1 m ฀ m n ฀฀ 1 2 ฀฀ n฀฀ 1 2m n ฀ ฀ 1 2 ฀ ฀ n ฀ ฀ 1 es divisible por 2 ฀ ฀ m ฀ ฀/n ฀ ฀ 1 2 ฀ ฀ n ฀ ฀ 1 2m pn฀฀ 1 n pn ฀฀ pn ฀ 1 1 El método de inducción matemática tiene una particular aplicabilidad en la geometría plana y del espacio. La aplicación más común de este método en la geometría plana es la construcción de figuras geométricas de n elementos a partir de la figura análoga elemental mediante la generalización correspondiente. El proceso inductivo también es muy utilizado en la determinación de lugares geométricos o en la generalización de un número de dimensiones para obtener figuras análogas en mayor número de dimensiones como el paso de la circunferencia a la esfera por ejemplo.

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196 pág. Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dado un número entero no negativo calcular su factorial. Calcular la combinatoria entre dos números enteros no negativos. Dado un problema real resolverlo aplicando técnicas de conteo. 2.11 Técnicas de Conteo Suponga que se encuentra al final de una línea de ensamblaje de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el número de productos que lo constituyen de inmediato usted empezará a contar un producto tras otro y al final informará al supervisor que son 48 54 u otro número cualquiera. Ahora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente pregunta: ¿Cuántas muestras o grupos será posible formar con los productos del lote si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellas En el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo pero cuando se le hace el segundo planteamiento al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezará a tener dificultad para hacerlo en casos como este es necesario hacer uso de las técnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestión el número de muestras posibles a formar de ocho elementos. Para poder analizar esta nueva sección necesitamos definir previamente el factorial de un número y la combinatoria entre dos números. Definición 2.16 Factorial Sea n un entero no negativo su factorial se calcula de la siguiente manera: A este esquema de definición se lo denomina recursivo. La recursión es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definición. n nn฀฀ 1 n ฀ 1 1 n 0

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197 pág. Capítulo 2 Números Reales Al encontrar el valor de 6 se obtiene: 6 6 ฀฀ 5 6 ฀฀ 5 ฀ 4 6 ฀฀ 5 ฀ 4 ฀ 3 6 ฀฀ 5 ฀ 4 ฀ 3 ฀ 2 6 ฀฀ 5 ฀ 4 ฀ 3 ฀ 2 ฀ 1 6 ฀฀ 5 ฀ 4 ฀ 3 ฀ 2 1 ฀ 0 720 Ejemplo 2.95 Factorial. Una de las aplicaciones del factorial la encontramos en el siguiente ejemplo: ¿Cuántas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de ฀ ฀ cartas ese número es 52. Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este número alrededor de 8.065817517094 x 10 67 . Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 ceros. Comparando ese número con otros números enormes es mayor que el cuadrado del número de Avogadro 6.022 x 10 23 el número de átomos o moléculas etc. que hay en una mol y está en el mismo orden de magnitud que el número de átomos en la Vía Láctea. Definición 2.17 Combinatoria Sean n m enteros no negativos tales que n฀ ฀ m el símbolo n m que se lee “combinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vez” se calcula de la siguiente manera: n m n mn฀฀ m

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198 pág. Al encontrar el valor de 10 6 se obtiene: 10 6 10 610 ฀฀ 6 10 6 4 10 ฀ 9 ฀ 8 7 6 6 4 ฀ 3 2 1 210 Ejemplo 2.96 Combinatoria. Propiedades de las Combinatorias 1. ฀ n 0 n n 1 2. n 0 n 0 1 3. n 0 1 ฀ i ฀ n n i n i ฀฀ 1 n฀฀ 1 i Demostración de la tercera propiedad. n 0 1 ฀ i ฀ n n i n i ฀฀ 1 n฀฀ 1 i Esta propiedad se demuestra así: n i ฀ n i ฀฀ 1 ฀ n i n ฀฀ i ฀ n i ฀฀ 1n฀฀ i ฀฀ 1 ฀ n n฀฀ i ฀฀ 1 ฀ i in฀฀ i ฀ 1 n n฀฀ 1 in฀฀ i ฀ 1 n฀฀ 1 in฀฀ 1 ฀ i n i ฀ n i ฀฀ 1 ฀ n฀฀ 1 i

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199 pág. Capítulo 2 Números Reales Las técnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar eventos no tan fáciles de cuantificar. Por ejemplo: ▪ En un aula hay 15 20 y 18 alumnos de las Ingenierías de Minas y Petróleo Industrial y Electrónica. Bajo las siguientes condiciones ¿Cuántas representaciones de once alumnos pueden formarse a Si se desea que éstas consten sólo de alumnos de Ingeniería en Minas y Petróleo. b Si se desea que el presidente sea un alumno de Ingeniería Industrial. c Si se desea que el presidente y tesorero sean alumnos de Ingeniería Electrónica. ▪ ¿De cuántas maneras puede una persona seleccionar una lavadora una batidora y dos licuadoras si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras Se les denomina técnicas de conteo a las permutaciones y combinaciones las cuales se explicarán más adelante. Hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado. Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio aditivo y multiplicativo los mismos que a continuación se definen y se ilustran en los ejemplos correspondientes. 2.11.1 Principio de la Suma Aditivo Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes además no es posible que ambos eventos se realicen juntos A ฀ B entonces el evento A o el evento B se realizarán de m ฀฀ n maneras diferentes. Ejemplo 2.97 Principio Aditivo. Un repuesto de automóvil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito. Si la adquisición de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito. ¿De cuántas formas se puede adquirir el repuesto

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200 pág. 2.11.2 Principio de la Multiplicación Multiplicativo Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes entonces el número de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m ฀ ฀n. Un paquete de software tiene 3 opciones de menú si la primera tiene 10 subopciones la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones ¿de cuántas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopción Solución: Por el principio aditivo se puede notar que el usuario solamente puede elegir una subopción a la vez: 10 maneras ฀฀ 15 maneras ฀฀ 12 maneras 37 maneras. Ejemplo 2.98 Principio Aditivo. En un día determinado nueve amigos: Evelyn Janett Yajaira Laura Verónica Christian Jimmy Gabriel y David deciden ir a ver una película al cine al momento de ingresar a la sala ellos se ponen de acuerdo para sentarse de forma alternada de tal manera que al lado de una chica siempre se encuentre un chico. ¿De cuántas formas posibles pueden sentarse estos amigos cumpliendo aquella condición Solución: Si M: representa una chica y H: representa un chico entonces se ubicarían de la siguiente forma: M H M H M H M H M 5 4 4 3 3 2 2 1 1 5 x 4 2880 Por lo tanto los 9 amigos pueden sentarse de 2880 formas diferentes. Ejemplo 2.99 Principio Multiplicativo. Solución: Por el principio aditivo el repuesto puede ser adquirido en: Guayaquil o Quito de donde existen: 6 formas ฀฀ 8 formas 14 formas.

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201 pág. Capítulo 2 Números Reales Ana y María observaron la placa de un carro donde viajaban dos hombres sospechosos de un robo. Al ser interrogadas por la policía dieron la siguiente información acerca de la placa que constaba de tres letras seguidas de tres dígitos: María estaba segura de que la segunda letra de la placa era una O o una Q y que el último dígito era un 3 o un 8 Ana dijo que la primera letra de la placa era una G y que la tercera letra era definitivamente una vocal. Determine la cantidad de placas diferentes que la policía debe verificar. Solución: La placa deberá tener una secuencia de caracteres de la forma X X X Siendo X alguna letra del alfabeto español y algún dígito entre 0 y 9. El primer caracter X es la letra G 1 posibilidad. El segundo caracter X es O o Q 2 posibilidades. El tercer caracter X sería A E I O U 5 posibilidades. El primer número posibilidades. El segundo número 10 posibilidades. El tercer número es 3 u 8 2 posibilidades. Por el principio multiplicativo: Letras • Dígitos 1 2 5 • 10 10 2 La cantidad de placas que la policía debe verificar es: 2000. Ejemplo 2.100 Principio Multiplicativo.

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202 pág. 2.11.3 Permutaciones y combinaciones Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación plantearemos la siguiente situación. Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos. ▪ El maestro desea que se nombre a tres representantes del salón presidente secretario y tesorero. Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel como presidente a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios los que se muestran a continuación: PRESIDENTE: Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo Rafael SECRETARIO: Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael Arturo TESORERO: Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel Daniel Ahora tenemos seis arreglos ¿se trata de la misma representación La respuesta sería no ya que el cambio de responsabilidades que se hace a los integrantes de la representación original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente. ¿Importa el orden de los elementos en los arreglos La respuesta definitivamente sería sí. Luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones sí importa por lo tanto en este caso estamos tratando con permutaciones. ▪ El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como entregar material a los alumnos cuando así sea necesario. Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel Arturo y a Rafael para entregar material aunque pudieron haber seleccionado a Rafael Daniel y Arturo o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente. ¿Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia ya que lo único que nos interesaría es el contenido de cada grupo dicho de otra forma sólo interesa quiénes están en el grupo y no qué orden tienen en el grupo. Por lo tanto este ejemplo es una combinación. De acuerdo a esto se puede concluir que la diferencia sustancial entre la permutación y la combinación de los elementos de un conjunto es el orden de los elementos al formar los grupos o muestras requeridos.

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203 pág. Capítulo 2 Números Reales Definición 2.18 Permutaciones Una permutación es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden en su ubicación. El número de permutaciones posibles de n objetos tomando m de ellos a la vez se simboliza como P n m y se lo calcula así: P n m n n฀฀ m n ฀฀ m Es importante resaltar que el orden es una característica importante en la permutación cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos. En una carrera participan 10 atletas. ¿De cuántas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro plata y bronce Solución: Se busca las diferentes ternas m 3 que se pueden formar con los 10 atletas n 10. P 10 3 10 7 10 ฀ 9 ฀ 8 ฀ 7 ฀ 7 ฀ 720 Por lo tanto a los 3 primeros lugares se los puede premiar de ฀ formas distintas. Ejemplo 2.101 Permutaciones. Ejemplo 2.102 Permutaciones. ¿De cuántas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia cuatro de literatura y seis de matemáticas si los de la misma materia deben estar juntos Solución: Los libros de historia pueden permutarse así: P 5 5 5 0 5 x 4 x 3 x 2 x 1 ฀ 120

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204 pág. Definición 2.19 Combinaciones Ejemplo 2.103 Combinaciones. Los libros de literatura pueden permutarse así: P 4 4 4 0 4 x 3 x 2 x 1 24 Los libros de matemáticas pueden permutarse así: P 6 6 6 0 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 720 Por el principio multiplicativo: P 5 5 P 4 4 ฀ P 6 6 12024720 2’073.600 Pero debe considerarse que el orden anterior se da cuando se colocan primero los libros de historia luego los libros de literatura y finalmente los libros de matemáticas. Debe considerarse que también se pueden colocar en diferente orden. P 3 3 3 0 3 x 2 6 posibilidades. Este último valor representa las posibilidades para colocar los libros en orden: HLM HML LMH LHM MHL MLH. Por lo tanto este último valor hay que multiplicarlo por el valor previo con lo cual existen 12’441.600 maneras diferentes de colocar los libros. Una combinación es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o todos los elementos de un conjunto dado sin considerar el orden en su ubicación. El número de combinaciones posibles de n objetos tomando m de ellos a la vez se simboliza como C n m y se calcula así: C n m n mn฀฀ m n ฀฀ m Un Soda Bar tiene 3 tipos de frutas: durazno sandía y piña. ¿Cuántos sabores diferentes de jugo se podrán preparar si se pueden mezclar las frutas Método 1: Analizando opciones Cuando se escoge una fruta de las tres el número de opciones para preparar el jugo es 3: D S P.

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205 pág. Capítulo 2 Números Reales Como se puede verificar los resultados son iguales. Para problemas de mayor número de combinaciones es preferible emplear la expresión de la definición 2.19. Para un cierto experimento se seleccionan 3 ratones de un grupo de 5 blancos y 4 cafés. a ¿De cuántas maneras se pueden escoger 3 ratones blancos 5 3 x 4 0 5 32 x 1 10 formas. b ¿De cuántas maneras se pueden escoger 2 ratones blancos y 1 café 5 2 x 4 1 5 23 x 4 40 formas. c ¿De cuántas maneras se pueden escoger 1 ratón blanco y 2 cafés 5 1 x 4 2 5 x 4 22 30 formas. Ejemplo 2.104 Combinaciones. Cuando se escogen 2 de las tres frutas el número de opciones es 3: DS DP SP. Cuando se escogen las 3 frutas a la vez se obtiene una única opción: DSP. Total de sabores diferentes: 3฀฀ 3฀฀ 1 7. Método 2: Empleando combinaciones Se puede escoger una fruta de las tres o dos frutas de las tres o las tres frutas a la vez además en este caso no importa el orden por lo tanto usamos el principio aditivo aplicado a la combinación: maneras diferentes C 3 1 ฀ C 3 2 ฀ C 3 3 maneras diferentes 3 1 2 ฀ 3 2 1 ฀ 3 3 0 ฀฀฀ Total de sabores diferentes: 3฀฀ 3฀฀ 1 7.

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206 pág. Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Obtener el desarrollo de un binomio dado. Dada la posición del término de un binomio obtener el término sin desarrollar el binomio. Dadas condiciones sobre el término de un binomio identificar su posición y otros elementos. 2.12 Teorema del Binomio Se necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres determine el número de grupos diferentes que se pueden formar. Solución: Para constituir el grupo de hombres: 12 2 12 210 12 x 11 x 10 2 x 10 66 Para constituir el grupo de mujeres: 8 3 8 35 8 x 7 x 6 x 5 3 x 2 x 5 56 Para constituir el grupo mixto debemos utilizar el principio multiplicativo: 6656 3696. El número de grupos diferentes que se pueden formar es 3696. Ejemplo 2.105 Combinaciones. Este teorema fue descubierto por Newton y comunicado por primera vez en 1676 a Henry Oldenburg secretario de la Royal Society que favorecía los intercambios de correspondencia entre los científicos de su época. Newton presenta el enunciado de su teorema y un ejemplo que lo ilustra y menciona ejemplos conocidos en los cuales se aplica el teorema.

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207 pág. Capítulo 2 Números Reales Teorema 2.3 Teorema del Binomio El desarrollo del binomio a฀฀ b n está dado por: a฀฀ b n n 0 a n ฀฀ n 1 a n ฀฀ 1 b฀฀ n 2 a n฀฀ 2 b 2 ฀฀฀฀฀ n n b n Donde n฀ a b . Donde: n : Exponente del binomio. i : Posición del término en el desarrollo del binomio disminuido en 1. a b : Términos del binomio. Encontrar el término central en el desarrollo de: x 1 3 ฀฀ y 1 3 12 . Solución: Como n 12 entonces la cantidad de términos es 13 y el término central es el séptimo con lo que i 6. El séptimo término tendrá la forma: 12 6 x 1 3 12฀฀ 6 y 1 3 6 12 6 x 2 y 2 Ejemplo 2.106 Binomio de Newton. El teorema elaborado por Newton proporciona la expansión de las potencias de un binomio pero él nunca lo publicó. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 atribuyendo a Newton este descubrimiento. En este desarrollo el término general tiene la forma: n i a n฀฀ i b i

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208 pág. Encontrar el término que no contiene “x” en el desarrollo de: x ฀ 1 2x 10 Solución: a x b ฀ 1 2x n 10 Término General: 10 i x 10฀฀ i 1 2x i Igualando a cero el exponente de x: x 10 ฀฀ i 1 x i x 0 x 10 ฀฀ i x ฀ i x 0 10 ฀฀ 2i 0 10 2i ฀฀฀ i 5 El término buscado es el sexto: 10 5 x 10฀฀ 5 1 2x 5 10 55 1 2 5 10 ฀ 9 ฀ 8 ฀ 7 ฀ 6 ฀ 5 5 ฀ 4 ฀ 3 ฀ 2 ฀ 1 ฀ 5 1 32 Ejemplo 2.107 Binomio de Newton. Calculando 12 6 12 6 6 12 ฀ 11 ฀ 10 ฀ 9 ฀ 8 ฀ 7 ฀ 6 6 6 ฀ 5 ฀ 4 ฀ 3 ฀ 2 ฀ 1 12 6 924 Así el séptimo término sería: 924 x 2 y 2

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209 pág. Capítulo 2 Números Reales Determine el valor de n para que el coeficiente del cuarto término en el desarrollo del binomio 6 a 2 ฀ 2b 3 n sea un número entero. Solución: El cuarto término del desarrollo de dicho binomio es: 6 3 a 2 3 2b 3 n 3 . El coeficiente de dicho término es: 6 3 3 ฀ ฀ 8 n 3 2 5 ฀ 5 n 3 . El número n tal que dicho coeficiente sea entero puede ser n 1 o n 2. Ejemplo 2.108 Binomio de Newton. Determine el valor que debe darse a x para que el quinto término del desarrollo del binomio x a 2 ฀ 1 a 2 contenga la décima potencia de a. Solución: El quinto término vendrá dado por: x 4 a 2 x ฀฀ 4 1 4 a 2 . Debemos hacer que a 2 x ฀฀ 4 1 4 a 2 a 10 . Esto es: 2x ฀฀ 16 10. De donde se obtiene x 13. Ejemplo 2.109 Binomio de Newton. ฀ 252 32 ฀ 10 5 x 5 1 2x 5 ฀ 63 8 que efectivamente no contiene “x”.

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210 pág. Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Explicar con sus propias palabras el concepto de sucesión como una función de en . Aplicar la definición de sucesión recursiva para el cálculo de términos de una sucesión. Reconocer los elementos de una progresión aritmética y geométrica. Dada una progresión aritmética o geométrica encontrar algunos de sus elementos. Dada una progresión aritmética o geométrica calcular la suma de los n primeros términos de la progresión. Dadas las condiciones de una progresión aritmética o geométrica encontrar algunos de sus elementos Aplicar progresiones aritméticas o geométricas a la resolución de problemas reales. 2.13 Sucesiones Las sucesiones se cuentan entre los temas más antiguos de investigación matemática ya que han sido estudiadas durante más de 3500 años. Las sucesiones aparecen en el papiro de Rhind un texto matemático que contiene 85 problemas copiados alrededor de 1650 a.C. por el escriba egipcio Ahmes. El papiro de Rhind indica que los egipcios sabían cómo sumar los términos de una sucesión igual que los babilonios. Problema histórico: La siguiente es una rima antigua para niños que se parece a los problemas del papiro de Rhind: “Cuando iba a San Ives encontré a un hombre con siete esposas. Cada esposa llevaba siete costales. Cada costal tenía siete gatos. Cada gato tenía siete gatitos. Gatitos gatos costales y esposas. ¿Cuántos iban a San Ives”. Para contestar esta pregunta será necesario realizar cálculos de manera más sencilla empleando sucesiones y los conceptos asociados. Es importante anotar que las investigaciones de otras clases de sucesiones empezaron en el siglo XVI cuando el álgebra estaba lo suficientemente desarrollada como para manejar problemas más complicados. El desarrollo del cálculo en el siglo XVII añadió una herramienta muy poderosa en especial para encontrar la suma de series infinitas y el tema sigue floreciendo hoy en día. Aplicaciones de estos temas se encuentran en los campos de ciencias de la computación ingeniería economía y negocios las ciencias sociales y las ciencias físicas y biológicas.

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211 pág. Capítulo 2 Números Reales Definición 2.20 Sucesión Una sucesión es un conjunto de números reales los cuales reciben el nombre de términos. Todas las sucesiones tienen un primer término y cada término tiene un siguiente. Las sucesiones pueden ser definidas como funciones de los números naturales: f : ฀ ฀ n฀฀ ฀f n Donde dom f y rg f ฀ . Si dom f está formado por una cantidad finita de elementos la sucesión es finita en caso contrario se denomina sucesión infinita. En cada caso considere dom f . f n 1 n Los términos serían 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 ... f n n฀฀ 2 2 Los términos serían 1 0 1 4 9 16 ... f n n n฀฀ 1 Los términos serían 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 ... Ejemplo 2.110 Sucesiones. Algunas veces una sucesión se caracteriza por un patrón observado en los primeros términos lo cual hace posible inferir la forma del n-ésimo término término general pero no todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo en la importante sucesión de los números primos: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 ... no hay fórmula alguna que exprese el término general. Una segunda forma de definir una sucesión es asignando un valor al primer término o primeros términos y especificando el término general por una expresión que involucre uno o más de los términos que le preceden. Se dice que una sucesión está dada en forma recursiva cuando el n-ésimo término está definido en términos del anterior o de algunos anteriores. La sucesión de Fibonacci está dada por: f n f n฀฀ 1 ฀฀ f n฀฀ 2 con f 1 1 y f 2 1 Los términos de esta sucesión son: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ...

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212 pág. Definición 2.21 Progresiones Aritméticas Se denomina progresión aritmética a aquella sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando una misma cantidad al término anterior. A la diferencia entre dos términos consecutivos se la denota por d. f n฀฀ 1 ฀฀ f n d Si las sucesiones tienen un patrón algebraico particular se denominan progresiones existiendo la posibilidad de ser aritméticas o geométricas. Dada la siguiente sucesión: a n 2a n฀ ฀ 1 ฀ ฀ 3 siendo a 1 5 determine: a 2 a 3 a 4 y a 5 . Solución: a 2 2a 1 ฀฀ 3 25 ฀฀ 3 4 a 3 2a 2 ฀฀ 3 24 ฀฀ 3 2 a 4 2a 3 ฀฀ 3 22 ฀฀ 3 2 a 5 2a 4 ฀฀ 3 2 2฀฀ 3 10 Ejemplo 2.111 Sucesiones Recursivas. Dada la siguiente sucesión: a n 3a n ฀ ฀ 1 y a 1 2 3 determine: a 2 a 3 a 4 y a 5 . Solución: a 2 3a 1 ฀ 3 2 3 2 a 3 3a 2 ฀ 32 6 a 4 3a 3 ฀ 36 18 a 5 3a 4 ฀ 318 54 Ejemplo 2.112 Sucesiones Recursivas. La progresión aritmética también puede ser expresada de la siguiente manera: f n a฀฀ n฀฀ 1d a d n Donde a es el primer término y d es la diferencia común o razón aritmética de la progresión. Así los términos de una progresión aritmética con primer término a y diferencia común d siguen el patrón: a a฀฀ d a฀฀ 2d a฀฀ 3d ...

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213 pág. Capítulo 2 Números Reales Al sumar los n primeros términos de una progresión arimética se tiene la siguiente expresión: S n n 2a฀฀ n฀฀ 1 d 2 n a฀฀ f n฀ 2 Como aplicación del método de inducción desarrollado anteriormente se puede demostrar esta expresión. La propiedad a demostrar para todos los números naturales n es: pn ฀฀ a ฀ ฀ a฀฀ d ฀฀ a ฀฀ 2d ฀ ... ฀฀ a฀฀ n฀฀ 1d n2a ฀ n฀฀ 1d 2 Considerando el primer paso del método de inducción tenemos: S 1 a 12a฀฀ 1 ฀฀ 1d 2 a a En el segundo paso sumamos el término a ฀ ฀ nd a ambos miembros de la expresión: a ฀ ฀ a ฀ ฀ d ฀ ฀ a ฀ ฀ 2d ฀ ... ฀ ฀ a ฀ ฀ n ฀ ฀ 1 d ฀ a ฀ ฀ nd n2a ฀ n ฀฀ 1d 2 ฀ ฀ a ฀ ฀ nd ฀ S n ฀฀ a ฀ ฀ nd n2a ฀ n ฀฀ 1d 2 ฀ ฀ a ฀ ฀ nd S n + 1 ฀ an฀฀ n 2 d ฀ ฀ nd฀ ฀ 2a฀฀ 2nd 2 ฀ S n + 1 ฀ an฀฀ n 2 d ฀฀ nd฀฀ 2a 2 Demostración: La suma de los n primeros términos de la progresión aritmética está dada por: S n a ฀฀฀฀฀฀฀฀ a฀฀ d ฀฀฀฀฀฀฀฀ a฀฀ 2d ฀฀฀฀฀ ... ฀฀฀฀฀ a฀฀ n฀฀ 1d 1º Término 2º Término 3º Término n-ésimo Término

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214 pág. Encuentre el décimo tercer término de la siguiente progresión aritmética: 2 7 12 17 22 ... Solución: a 2 Primer término. d 7 2 5 Diferencia. f 13 2 + 13 15 62 Décimo tercer término. Ejemplo 2.113 Progresiones Aritméticas. Encuentre el valor de la siguiente suma: 5 ฀฀ 9 ฀฀ 13 ฀฀ ... ฀฀ 49. Solución: a 5 Primer término. d 9 ฀฀ 5 4 Diferencia. 49 5 ฀฀ n฀฀ 1 4 Número de términos. n 12 Simplificación. S 12 1225 ฀฀ 12 ฀฀ 1 4 2 324 Suma de los términos. Ejemplo 2.114 Progresiones Aritméticas. Ejemplo 2.115 Progresiones Aritméticas. S n + 1 ฀ an฀฀ 1 ฀ ndn฀฀ 1 2 ฀ S n + 1 ฀ n ฀ ฀ 1 a ฀ n ฀ ฀ 1 ฀ 1d ฀ 2 ฀ Por lo tanto n ฀ pn ฀ pn฀ ฀ 1 es una proposición verdadera. Con lo cual todos los números naturales satisfacen el predicado pn. Si el primer término de una progresión aritmética es 11 y la suma de los once primeros términos es 44 determine el undécimo término de la progresión. Solución: La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética de razón d y primer término a viene dada por Sn n 2 2a ฀ n฀฀ 1d . En este caso: S 11 11 2 2 11 ฀฀ 10 d 44.

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215 pág. Capítulo 2 Números Reales Determine la cantidad de términos que deben sumarse de la progresión aritmética 1 3 5 7 .... para que el resultado sea 3969. Solución: Se puede notar que en esta progresión aritmética: a 1 d 2 S n 3969 n Utilizando la expresión S n n 2 2a n฀฀ 1 d y reemplazando: 3969 n 2 2 2n ฀฀ 1 7938 2n ฀฀ 2n 2 ฀฀ 2n n 2 3969 n 63 Según el contexto del problema se descarta el número 63. Por lo tanto hay que sumar 63 términos de esta progresión aritmética para que el resultado sea 3969. Ejemplo 2.116 Progresiones Aritméticas. Ejemplo 2.117 Progresiones Aritméticas. De donde se obtiene d 3. El undécimo término se determina a partir de: a 11 a฀฀ 11 ฀฀ 1d 11 ฀฀ 30 a 11 19 Determine x de modo que la siguiente sucesión sea una progresión aritmética: 2x x 2 ฀฀ 3 3x 2 ฀฀ . Solución: a ฀ 2x Primer término. f 2 x 2 ฀฀ 3 Segundo término.

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216 pág. En el concurso “Rueda de la Fortuna” hay 12 premios que en total suman 96000. Si existe una diferencia de 1000 entre cada premio sucesivo determine el premio de menor valor en el concurso. Solución: Se puede notar que se trata de una progresión aritmética con: n 12 S 12 96000 d 1000 a Utilizando la suma de los 12 primeros términos de la progresión: 96000 12 2 2a ฀ 12 ฀ 1 1000 16000 2a฀฀ 11000 2a 5000 a 2500 Por lo tanto el premio de menor valor es de 2500. Ejemplo 2.118 Aplicación de las Progresiones Aritméticas. Ejemplo 2.119 Aplicación de las Progresiones Aritméticas. f 3 3x 2 ฀฀ 14 Tercer término. Para que se cumpla la condición del problema: d x 2 ฀฀ 3 ฀฀ 2x 3x 2 ฀฀ 14 ฀฀ x 2 ฀฀ 3 Diferencia o razón aritmética. x 2 ฀฀ 3 ฀ ฀ 2x 3x 2 ฀฀ 14 ฀฀ x 2 ฀ ฀ 3 Simplificación. x 2 ฀฀ 2x ฀ ฀ 8 0 Simplificación. x ฀฀ 4x ฀ ฀ 2 0 Factorización. x ฀฀ 4 0 ฀ x ฀ ฀ 2 0 Propiedad de números reales. x 4 ฀ ฀ x ฀ 2 Despeje de la incógnita. Comprobando los valores encontrados: Si x 4 la progresión aritmética será: ฀ ฀ 8 13 34 cuya razón d 21. Si x 2 la progresión aritmética será: 4 1 ฀ 2 cuya razón d ฀ 3. En un teatro hay 50 filas de butacas. En la primera fila hay 30 butacas en la segunda hay 32 en la tercera hay 34 y así sucesivamente. Determine la cantidad total de butacas.

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217 pág. Capítulo 2 Números Reales Un piso de mosaico de cerámica está diseñado en forma de trapecio con 20 pies de ancho en la base y 10 pies de ancho en la parte superior. Los mosaicos cuadrados cuyos lados miden 1 pie serán colocados de modo que cada fila sucesiva tenga un mosaico menos que la anterior. ¿Cuántos mosaicos se necesitarán Solución: La fila inferior requiere de 20 mosaicos y la fila superior de 10. Ya que cada fila sucesiva requiere de un mosaico menos el número total de mosaicos necesarios está dado por la siguiente suma: 20฀฀ 19฀฀ 18฀฀ 17 ฀ ... ฀ 10 Suma de los términos. a 20 Primer término. d 19 20 1 Diferencia. 10 20 n 1 1 Número de términos. n 11 Simplificación. S 11 11220 ฀฀ 11 ฀฀ 1 1 2 165 Por lo tanto se necesitarán 165 mosaicos. Ejemplo 2.120 Aplicación de las Progresiones Aritméticas. Solución: Podemos notar que la cantidad de butacas se encuentran en progresión aritmética al pasar de una fila a la siguiente con: a 30 n 50 d 2 Lo cual implica sumar: 30 ฀฀ 32 ฀฀ 34 ฀฀ .... S 50 50 2 230 50 ฀ 12 S 50 2560 ฀฀ 98 S 50 3950 Por lo tanto la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950.

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218 pág. Definición 2.22 Progresiones Geométricas Se denomina progresión geométrica a aquella sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando por una misma cantidad al término anterior. Por lo tanto el cociente entre dos términos consecutivos es constante y se denomina razón r de la progresión. f n฀฀ 1 f n r La progresión geométrica también puede ser expresada de la siguiente manera: f n ar n 1 a r n donde a es el primer término y r es la razón geométrica de la progresión. Así los términos de una progresión geométrica con primer término a y razón r siguen el patrón: a ar ar 2 ar 3 ... Al sumar los términos de una progresión geométrica se tiene la siguiente expresión: P n a1 ฀฀ r n 1฀฀ r r ≠ 1 P n na r 1 Como aplicación del método de inducción desarrollado anteriormente se puede demostrar esta expresión. Demostración: La suma de los n primeros términos de la progresión geométrica está dada por: P n a ฀ ar ฀฀ ar 2 ... ar n ฀฀ 1 La propiedad a demostrar para todos los números naturales n es: qn: a ฀ ar ฀ ar 2 ... ฀ ar n ฀฀ 1 a1 ฀฀ r n 1฀฀ r r ≠ 1 P n a ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ar ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ar 2 ฀฀฀฀฀฀฀฀ ... ฀฀฀ ฀฀฀฀฀ ar n ฀฀ 1 1º término 2º término 3º término n-ésimo término

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219 pág. Capítulo 2 Números Reales P n ฀฀ ar n a1 ฀฀ r n 1฀฀ r ฀ ar n P n฀฀ 1 a฀฀ ar n ฀฀ ar n ฀ ar n฀฀ 1 1฀฀ r P n฀฀ 1 a฀฀ ar n฀฀ 1 1฀฀ r P n฀฀ 1 a1 ฀฀ r n฀฀ 1 1฀฀ r Por lo tanto n qn ฀ ฀ qn฀ ฀ 1 es una proposición verdadera. Con lo cual todos los números naturales satisfacen el predicado qn. Considerando el primer paso del método de inducción tenemos: P 1 a a1 ฀฀ r 1฀฀ r a a En el segundo paso sumamos el término ar n a ambos miembros de la expresión: Cuando la cantidad de términos es muy grande y la razón r ฀ ฀ 1 la suma de tales términos se puede calcular por medio de una aproximación: P ∞ ฀ ฀ a 1฀฀ r Si 0 ฀ ฀ r ฀ ฀ 1 r n ฀ ฀ 0 ฀cuando el valor de n es extremadamente grande. Por lo tanto la expresión: P n a1 ฀฀ r n 1฀฀ r Se reduce a: P ∞ ฀ ฀ a 1฀฀ r Lo mismo ocurre cuando ฀ 1 ฀฀ r ฀฀ 0.

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220 pág. Encuentre el octavo término de la progresión geométrica: 1 3 9 ... Solución: Se puede notar que en esta progresión geométrica: a ฀ Primer término. r 3 1 3 Razón. f 8 13 7 2187 Octavo término. Ejemplo 2.121 Progresiones Geométricas. Encuentre x de modo que x x ฀ ฀ 2 x ฀ ฀ 3 sean los términos consecutivos de una progresión geométrica. Solución: a x ฀ Primer término. f 2 x ฀฀ 2 Segundo término. f 3 x ฀฀ 3 Tercer término. r x ฀฀ 2 x x ฀฀ 3 x ฀฀ 2 Razón. xx ฀฀ 3 x ฀฀ 2 2 Simplificación. x 2 ฀฀ 3x x 2 ฀฀ 4x ฀฀ 4 Desarrollo de productos. x ฀ 4 Comprobando los términos de la progresión serían: ฀ 4 2 1 con razón r 1 2 . Ejemplo 2.122 Progresiones Geométricas. Encuentre el valor de la siguiente suma cuyos términos están en progresión geométrica 1 ฀฀ 3 4 ฀ 9 16 ฀ 27 64 ... Solución: a 1 Primer término. r 9 16 3 4 ฀ 3 4 Razón. P ∞ ฀ 1 1฀ 3 4 ฀ 4 7 Suma de los infinitos términos. Ejemplo 2.123 Progresiones Geométricas.

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221 pág. Capítulo 2 Números Reales Determine el valor de la suma 3 3 1 ฀ 3 6 1 ฀ 3 9 1 ฀฀ 3 12 1 ฀฀ ... Solución: Se tiene una progresión geométrica decreciente con infinitos términos con primer término a 3 3 1 y razón r 3 3 1 . Al aplicar la fórmula de la suma de términos se obtiene: P ∞ ฀ a 1฀฀ r ฀ 3 3 1 1฀ 3 3 1 ฀฀ 26 3 ฀ 1 3 Ejemplo 2.124 Progresiones Geométricas. Encuentre el valor aproximado de: 22 1 2 2 1 4 2 1 8 2 1 16 ... Solución: Si consideramos propiedades de los exponentes la expresión es equivalente a: 2 1฀฀ 1 2 ฀ 1 4 ฀ 1 8 ฀ 1 16 ... Podemos observar que el exponente de esta operación consta de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente con primer término a 1 y razón r 1 2 . P ∞ ฀ 1 1฀ 1 2 ฀ 2 El valor solicitado es: 2 P∞ ฀ 2 2 4 Ejemplo 2.125 Aplicación de las Progresiones Geométricas.

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222 pág. Considere el número x 2.343434 ... Su parte decimal es 0.343434 ... La cual puede expresarse como la suma infinita 34 100 ฀ 34 10000 ฀ ... Esta suma corresponde a la de una progresión geométrica con a 34 100 y r 1 100 . Como r ฀ ฀ 1 y el número de términos n es infinito la suma de estas fracciones es: P n ฀฀ a 1฀฀ r ฀฀ 34 100 1 100 1฀ ฀฀ 34 100 99 100 ฀ 34 99 Con lo cual se obtiene 34 99 como la representación fraccionaria de la parte decimal del número 2.343434 ... Finalmente el número incluyendo la parte entera es 2฀ ฀ 34 99 232 99 con lo cual se verifica que todo número decimal periódico representa una fracción. Ejemplo 2.126 Aplicación de las Progresiones Geométricas. Ejemplo 2.127 Aplicación de las Progresiones Geométricas. Un distribuidor vende 120 teléfonos en 4 días. Si cada día vendió 1 3 de lo que vendió el día anterior ¿cuántos teléfonos vendió el primer día Solución: El problema consiste en hallar el primer término de una progresión geométrica en la cual la suma de los 4 primeros términos es 120 y la razón es 1 3 . Aplicando la fórmula para la suma de los 4 primeros términos de la progresión geométrica planteada y representando por a el primer término se obtiene: 120 1 3 ฀ 1 2 3 ฀ 40a 27 a 81 1 3 4 a ฀ 1 a 80 81 ฀ Por lo tanto él vendió 81 teléfonos el primer día 27 el segundo día 9 el tercer día y 3 el cuarto día es decir 120 teléfonos en total durante los cuatro días.

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223 pág. Capítulo 2 Números Reales Ejemplo 2.128 Aplicación de las Progresiones Geométricas. Una población de bacterias crece de tal manera que cada día hay el doble de las que había el día anterior. Si en el décimo día se encontraron 1024 bacterias ¿cuántas bacterias habían en el primer día Solución: Aquí se tiene una progresión geométrica de razón r 2 tal que su décimo término es 1024. f n ar n ฀฀ 1 f 10 a2 10฀฀ 1 1024 a2 9 ฀ a 2 Por lo tanto el primer día habían 2 bacterias. Ejemplo 2.129 Aplicación de las Progresiones Geométricas. Tres personas A B C dividen una manzana de la siguiente manera: primero la dividen en cuartos y cada uno toma un cuarto. Después dividen la parte sobrante de nuevo en cuartos y cada quien toma su parte siguiendo de esta manera con las partes sobrantes. ¿Cuánto obtiene cada uno en total Solución: Al dividir la manzana según las condiciones del problema cada persona recibe la primera vez 1 4 de manzana la segunda vez recibe la cuarta parte del cuarto que quedó esto es 1 4 1 4 . El problema se reduce a calcular la suma de términos de una progresión geométrica indefinida de primer término a 1 4 y razón r 1 4 la cual es menor que la unidad. P ∞ ฀ a 1฀฀ r ฀ 1 4 1฀ 1 4 ฀ 1 4 3 4 ฀ 1 3 ฀ Por lo tanto a cada uno le corresponde la tercera parte de la manzana.

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224 pág. Ejemplo 2.130 Aplicación de las Progresiones Geométricas. En la figura se indica un árbol genealógico que muestra tres generaciones anteriores y un total de 14 antecesores. Si usted tuviera que analizar su historia familiar hasta 10 generaciones atrás ¿cuántos ancestros encontraría Madre Padre Usted Solución: Madre Padre 2 ancestros 4 ancestros 8 ancestros... Usted Se trata de encontrar la suma de los 10 primeros términos de una progresión geométrica cuya razón r es 2 y cuyo primer término a es también 2. P 10 ar n ฀฀ 1 r ฀ 1 22 10 ฀฀ 1 2 ฀ 1 2046 Es decir que se tendrían 2046 ancestros.

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225 pág. 2.1 Representación decimal 5. El producto de los números irracionales cumple la propiedad clausurativa. a Verdadero b Falso 1. El número π 2π 4 es un número irracional. a Verdadero b Falso 4. ¿La adición de los números irracionales cumple la propiedad clausurativa Si no la cumple construya un contraejemplo. CAPÍTULO DOS 2 Ejercicios propuestos 2. Indique cuál de estos conjuntos no es vacío. a x/x ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ x 4 b x/x ฀ ฀ ฀ x 2 ฀ ฀ ฀ c x/x ฀ ฀ ฀ ฀ x ฀ ฀ d x/x ฀ ฀ ฀ x 2 ฀ ฀ e x/x ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ x 1 ฀ ฀ 3. Hallar el valor de las siguientes operaciones y expréselo como un entero o fracción simplificada: a 7 ฀ 6.35 6.5 9.9 1.2 ฀ 36 ฀ 1.2 ฀ 0.25 ฀ 1 5 16 ฀ 169 24 b 36 ฀ 1.333... ฀ 61.333... ฀ 16.666... c 1 ฀ 2 0.5 3 ฀ 1 ฀ 3 0.5 2 ฀ ฀ 9 ฀ 2.666... ฀ 1.666... 54 3 Indicar cuál de las siguientes proposiciones es verdadera: a La operación no es conmutativa. b La operación no es asociativa. c El elemento neutro es 1. d ฀a b S3 a b 3 e 1 3 2 2 1 3 4 2.2 Operaciones binarias 6. Dado el conjunto S 1 2 3 4 y la operación binaria en S definida como: a b ฀ ฀ a a ฀ ฀ b b a ฀ ฀ b

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226 pág. 7. Sea G a b c si sobre este conjunto se define la operación binaria que se representa en la siguiente tabla. Identifique cuál de las siguientes proposiciones es falsa. a La operación binaria ฀ es conmutativa. b La operación binaria ฀ es asociativa. c ฀ G x G: x ฀ x d a ฀ a b ฀ c ฀ a e a ฀ b ฀ a ฀ c c ฀ b a b c a b a a b b c b c a b c 8. Un sistema matemático operación binaria particularmente interesante es el que llamamos aritmética modular. Un ejemplo es el conjunto de los enteros módulo 4 los elementos de este conjunto son 4 a saber: S 0 1 2 3 En donde las operaciones quedan definidas de la siguiente manera: ฀i j k ฀ ฀ S: i ฀ j k donde k es el residuo de la división de i ฀ j para 4. ฀i j m ฀ ฀S: i ฀ ฀ j m donde m es el residuo de la división de i ฀ j para 4. Así: 2 3 1 ya que 2 ฀ 3 5 que dividido por 4 da residuo 1. 2 3 2 ya que 2 3 6 que dividido por 4 da residuo 2. Hallar el resultado de las siguientes operaciones para el módulo indicado. a Módulo 7 b Módulo 6 S 0 1 2 3 4 5 6 S 0 1 2 3 4 5 4 ฀ 5 5 ฀ 3 2 ฀ 4 5 ฀ 6 6 ฀ 1 1 ฀ 0 2 ฀ 0 5 ฀ 3 4 ฀ 5 2 ฀ 5 4 ฀ 5 5 ฀ 3 2 ฀ 4 5 ฀ 1 0 ฀ 1 1 ฀ 0 2 ฀ 0 5 ฀ 3 4 ฀ 5 2 ฀ 5 I II III IV V VI VII VIII IX X I II III IV V VI VII VIII IX X

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227 pág. 2.3 Operaciones entre números reales 10. ¿A qué es igual a ฀ 0 ¿por qué 9. El valor de la expresión 1 1 1 1 1 1 3 2 2 es: a 15 2 b 2 15 c 41 18 d 18 41 e 27 11 14. El valor de verdad de la proposición 1 ฀ 3 2 ≠ 1 ฀ 3 2 es: a Verdadero b Falso 2.4. Relación de orden 12. ¿Es verdadera alguna de la siguientes propiedades distributivas de la división sobre la adición ¿Por qué a a ฀ b c a b ฀ a c b a b c a c ฀ b c 11. ¿Por qué es verdadera la igualdad a b ฀ c a ฀ c b ฀ c 13. Demostrar que entre los números reales hay un sólo cero esto es hay un sólo número c tal que: ฀ a ฀a c a 15. Una de las siguientes proposiciones es falsa identifíquela: a 8 ฀ e π ฀ ฀ 81 b 3 ฀ 2 ฀ 1 3 ฀ 2 c 2 2 ฀ 8 d 1 0.16666... ฀ 6 e 0.1 5 ฀ ฀ 0.2 5

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228 pág. 16. ¿Cuál es la lista donde los números aparecen ordenados de menor a mayor a 69 200 19 100 0.8 1 5 b 19 100 1 5 69 200 0.8 c 4 5 19 100 1 5 69 200 d 1 5 0.8 69 200 19 100 e 1 2 0.5 2 4 17. Dos grupos de turistas tienen 60 personas cada uno. Si 3 4 del primer grupo y 2 3 del segundo toman un autobús para ir al museo ¿cuántas personas más del primer grupo toman el autobús que del segundo a 2 b 4 c 5 d 40 e 45 19. ¿Qué número es mayor a 4 5 b 3 4 c 5 8 d 7 10 e 31 40 18. Dado el siguiente rectángulo: ¿Qué círculo tiene oscurecida aproximadamente la misma fracción que el rectángulo A. B. C. D. E.

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229 pág. 20. Si a y b son números primos y M un entero positivo tal que M a 3 b 2 entonces M tiene doce divisores. a Verdadero b Falso 2.5 Conceptos asociados al conjunto de los números enteros En los ejercicios siguientes considere que el conjunto referencial son los enteros positivos. 21. El máximo común divisor de 72 108 y 90 es 90. a Verdadero b Falso 22. Dos números a y b se llaman primos entre sí cuando el máximo común divisor de ellos es uno. a Verdadero b Falso 23. El número de divisores de 72 es: a 10 b 11 c 12 d 9 e 7 24. La suma de los divisores de 72 menores que 72 es: a 72 b 123 c 122 d 144 e 120 25. El mímino común múltiplo de 15 y 25 es: a 375 b 75 c 15 d 3 e 5 26. Rellenar la tabla aplicando los criterio de divisibilidad. V: verdadero F: falso. Divisores 2 3 4 5 9 11 56 V F 261 660 1455 27. Queremos embaldosar el piso de una aula de la terraza norte de 14 metros de largo por 4.2 metros de ancho con baldosas cuadradas. Lo queremos hacer con el menor número de baldosas posibles y sin cortar ninguna. a Halle la medida del lado de la baldosa a utilizar. b Halle el número de baldosas a utilizar. 28. Soraya tiene 24 bombones y 42 caramelos variados para regalar. Quiere empaquetarlos en cajas diferentes con sólo bombones o sólo caramelos de tal manera que contengan el mayor número posible y de forma que en todas quepa el mismo número de golosinas. ¿Cuántas golosinas entran en cada caja 29. Los alumnos de un paralelo del nivel cero pueden formar grupos para los talleres de 2 3 5 y 6 alumnos sin que sobre ni falte ninguno. ¿Cuántos alumnos habrá si su número está comprendido entre 45 y 65

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230 pág. 2.6 Expresiones algebraicas 2 2 1 a 1 a 2 2 1 a 1 a 30. Simplificar la siguiente expresión: 31. Uno de los factores de la expresión 3x 2 7x ฀ 6 es: a 3x 2 b 2 3x c x 3 d 3 x e x 2 32. Al simplificar la expresión x 3 1 x 2 1 ฀ x 1 se obtiene: a x 1 x b 1 c x d 1 x e x x 1 34. Expresar como un producto de tres factores cada una de las siguientes expresiones: a a 4 3a 3 4a 2 ฀ 6a 12 b ab ac bca b c abc c x 3 ฀ 5x 2 x 5 d x 4 ฀ 3x 3 4x 2 ฀ 6x 4 e x 3 7x 6 33. Al simplificar la expresión 1 ฀ x 1 ฀ x ฀ 1 ฀ x x 2 se obtiene: a 2 x 21 ฀ x 3 2 b 2x c 1 ฀ x d 1 ฀ x x ฀ 1 e x 1 ฀ x

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231 pág. 35. Efectuar las operaciones ¡ndicadas y simplificar siempre que sea posible. a 4 x 2 xy ฀ ฀ 4 xy y 2 b 2x x 2 3x ฀ 2 ฀ ฀ x x 2 ฀ 4 c 3x x 1 ฀ ฀ 2 x ฀ ฀ 2 x 1 d 4 x 2 3x ฀ 4 ฀ ฀ 3 x 2 ฀ 16 ฀ ฀ 7 x 2 5x ฀ 4 e x 2 6x ฀ 9 x 2 ฀ 9 ฀ x ฀ 3 4 f xy x y 2 ฀ 1 y 1 x ฀ 2 2x 4 5x g 2 x ฀ 3 ฀ ฀ 3 x ฀ 2 ฀ 3x x ฀ 5 h 5a 2 a ฀ 4 a 3 ฀ 1 i x y ฀ ฀ y x ฀ ฀ y x j a 6 a 4 ฀ a 2 ฀ 1 a 3 a 2 ฀ a ฀ 1 k b a ฀ b ฀ ฀ a ฀ a a ฀ b ฀ ฀ b ฀ ฀ a a ฀ b ฀ ฀ b ฀ a a ฀ b ฀ ฀ a ฀ l 1 1 ฀ a ฀ ฀ 1 1 ฀ a ฀ ฀ ฀ 2a 1 ฀ a 2 ฀ ฀ 4a 3 1 ฀ a 4 ฀ ฀ 8a 7 1 ฀ a 8 ฀

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232 pág. 36. Descomponer en cuatro factores las siguientes expresiones: a a 2 b 2 b a b 2 c 2 c b a 2 c 2 a c b a b 3 a c 3 b c 3 c a 4 18a 2 81 d 3x 4 10x 3 10x 3 e 3x 6x 2 1 5x 10x 1 2 37. Simplificar las siguientes expresiones: 38. ¿Para qué valores reales de x no está definida la siguiente expresión 5x 2 x 1 39. Simplificar: x 3 y 3 x 2 2xy y 2 x y x 2 y 2 x 2 xy y 2 a 1 a ฀ ba ฀ c ฀ ฀ 1 b ฀ cb ฀ a ฀ ฀ 1 c ฀ ac ฀ b b a a 2 ฀ 1 ฀ ฀ a 2 ฀ a ฀ 1 a 3 ฀ a 2 ฀ a ฀ 1 ฀ ฀ a 2 ฀ a ฀ 1 a 3 ฀ a 2 ฀ a ฀ 1 ฀ ฀ 2a 2 a 4 ฀ 1 c a ฀ c a 2 ฀ ac ฀ c 2 ฀ a 3 ฀ c 3 a 2 b ฀ bc 2 ฀ 1 ฀ c a ฀ c ฀ ฀ 1 ฀ c c ฀ ฀ c1 ฀ c ฀ a bc ฀ d a ฀ b b ฀ cc ฀ a ฀ ฀ b ฀ c c ฀ aa ฀ b ฀ ฀ c ฀ a a ฀ cb ฀ c

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233 pág. 2.7 Valor Absoluto 40. Sea S 2 1 0 1 2 y la operación binaria definida en S tal que: a ฀ b a b 2 Entonces es falso que: a 1 ฀ 0 1 b 2 ฀ 1 ฀ 1 0 c es una operación conmutativa. d ฀a ฀ S a ฀ 0 a ฀ ฀ 2 e ฀a S a ฀ a a 42. Realizar las operaciones indicadas: a 7 3 ฀ 5 b 6 9 10 4 5 5 c 4 8 6 14 11 8 d 3 1 1 2 1 1 3 1 e 21 ฀ 3 ฀ 31 22 4 5 2 f 30 1 3 4 6 3 ฀ 2 4 43. Descomponer el valor absoluto en las siguientes expresiones: a x a b 1 x c x a b 41. Una de las siguientes proposiciones es falsa identifíquela: a 4 2 siempre que 2π es un número irracional. b 6 10 5 3 o 15 2 es un número negativo. c El número 2e e es irracional y x e ฀ e x . d Si 2 es irracional entonces 3 1 4. e Una de las proposiciones anteriores es falsa.

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234 pág. 44. Elena tiene una canasta con canicas. Le dio la mitad de las canicas a Jorge y un tercio de las que le quedaban en la canasta se las dio a María. De esta manera le quedaron 6 canicas a Elena ¿cuántas canicas tenía al principio a 18 b 24 c 30 d 36 e 40 46. La suma de tres números es 12. El segundo número es 1 más que tres veces el primero y el tercer número es 1 menos que 2 veces el segundo. Entonces es verdad que: a El tercer número es 6. b La suma del primero y el segundo es 7. c El segundo número es 5. d La suma del primero y el tercero es 8. e El primer número es 2. 47. Una compañía vinícola requiere producir 10 000 litros de jerez mezclando vino blanco con brandy el vino blanco contiene 10 de alcohol y el brandy contiene 35 de alcohol por volumen. El jerez debe tener un contenido de alcohol del 15. Entonces las cantidades en litros de vino blanco y de brandy que deben mezclarse para obtener el resultado deseado es: a 8000 de vino blanco y 2000 de brandy. b 9000 de vino blanco y 1000 de brandy. c 7000 de vino blanco y 3000 de brandy. d 6500 de vino blanco y 3500 de brandy. e 2000 de vino blanco y 8000 de brandy. 2.8 Ecuaciones 45. Elena Antonio y su madre comieron un pastel. Elena comió 1 2 del pastel Antonio comió 1 4 del pastel y su madre comió 1 4 del pastel. ¿Cuánto quedó del pastel a 3 4 b 1 2 c 1 4 d Nada

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235 pág. 48. Determine el conjunto de verdad de px: 2 1 20 0. x 5 x 5 x 2 25 49. Un valor de k para que la suma de las raíces de la ecuación kx 2 4kx 3 x 2 sea 10 es: a 3 4 b 1 2 c 10 14 d 1 3 e 3 8 51. Dado el predicado px: x x 0 x 2 x 2 4 la suma de los elementos de Apx es: a 0 b 3 c 5 d 1 e Apx no tiene elementos. En los siguientes cinco ejercicios considere que Re . 52. La suma de los elementos del conjunto de verdad de px: 9 x 2 7x 48 0 22 11 es: a 0 e 7 22 b 7 c 7 11 d 48 11 50. Determinar el conjunto de verdad del predicado: px: x x 2 3. 53. Cecilia recibió 435 por trabajar 52 horas en una semana. La jornada laboral normal es de 40 horas semanales y su jefe paga una y media veces más de lo que paga por cada hora normal cada hora extra. Entonces por cada hora Cecilia recibe: a Menos de cinco dólares. b Más de cinco pero menos de seis dólares. c Más de seis pero menos de siete dólares. d Más de siete pero menos de ocho dólares. e Más de ocho dólares.

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236 pág. 55. A continuación se presenta una lista de diversos enunciados verbales de uso frecuente en el cálculo algebraico. Expresarlos en forma algebraica. Número natural cualquiera. El antecesor de n. El sucesor de n. Número natural par. Número natural impar. El cuadrado del sucesor de n. El sucesor del cuadrado de n. El cuadrado del sucesor del antecesor de n. Dos números naturales impares consecutivos. La diferencia positiva de los cuadrados entre dos números naturales consecutivos. La diferencia positiva de los cubos entre dos números naturales pares consecutivos. El inverso aditivo u opuesto de r. El inverso multiplicativo o recíproco de r. El sucesor del recíproco de s. El triple de x. 54. Resolver las siguientes ecuaciones considere x ฀ . b ax ฀ b ax ฀ b ฀ ฀ ax ฀ b ax ฀ b ฀ ฀ 4b a 2 x 2 ฀ b 2 a x 2 ฀ 17 x 2 ฀ 1 ฀ ฀ x ฀ 2 x ฀ 1 ฀ ฀ 5 1 ฀ x c 1 ฀ x ฀ 5 ฀ d 5 ฀ x ฀ 13 ฀ x ฀ e 3 ฀ x ฀ ฀ x ฀ 2 ฀ 5 f 2x ฀ 3 ฀ ฀ x ฀ 7 g 2x ฀ 3 ฀ ฀5 h x ฀ 2 ฀ ฀ x ฀ 1 ฀ ฀x ฀ 3 i 4x ฀ x ฀ ฀9x 2 ฀ x j x ฀ 2 ฀ x ฀ 1 ฀ ฀ ฀

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237 pág. 56. El largo de un cuadro es el doble del ancho. Si el marco del cuadro tiene 2cm de ancho y si el cuadro y su marco tienen una superficie 244cm 2 mayor que la del cuadro encontrar las dimensiones del cuadro. 57. Encontrar un número tal que sustraído en 4 y agregado en 2 1 4 es igual a 1 3 de sí mismo. 58. Una piscina puede ser llenada por tres cañerías en forma independiente. La primera cañería llena la piscina en 15h la segunda en 20h y la última en 30h. ¿En qué tiempo llenarían la piscina las tres cañerías juntas El cuadrado de la suma entre a y b. La suma de los cuadrados de a y b. El producto entre a b y c. Un número de dos cifras en el sistema decimal cuya cifra de las unidades es u cifra de las decenas es d y cifra de las centenas es c. La razón o cociente entre p y q. La mitad de m o el cincuenta por ciento de m. La cuarta parte de n o el veinticinco por ciento de n. El valor absoluto de x. La media aritmética o promedio aritmético entre m y n. La raíz cuadrada de x. La media geométrica entre a y b. La media geométrica entre dos números se define como la raíz cuadrada de su producto. x es directamente proporcional a y. x es inversamente proporcional a y. La distancia entre a y b menor que . 59. Un vendedor de nueces tiene dos clases de fruta una de 0.90 el kg y otra de 0.60 el kg. La competencia vende las nueces a 0.72 el kg. ¿En qué proporciones debe mezclar las nueces de tal forma que pueda competir en el mercado 60. Un trozo de alambre de 100 pulgadas de largo se corta en dos y cada pedazo se dobla para que tome la forma de un cuadrado. Si la suma de las áreas formadas es de 397pulg 2 encontrar la longitud de cada pedazo de alambre. 61. Bienes raíces “Chóez” construyó una unidad habitacional con 40 departamentos se conoce que si se fija un alquiler mensual de 120 por departamento todos serán ocupados pero por 5 de incremento en el alquiler uno quedará vacante. El alquiler en dólares que deberá fijarse con el objeto de obtener los mismos ingresos que si se alquilaran a 120 cada departamento dejando algunos vacíos para mantenimiento es: a 160 b 180 c 200 d 220 e 240

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238 pág. 62. J. Cárdenas es propietario de un edificio de apartamentos que tiene 60 habitaciones él puede alquilar todas las habitaciones si fija un alquiler de 180 al mes. Al subir el alquiler algunas habitaciones quedarán vacías en promedio por cada incremento de 5 una habitación quedará vacía sin posibilidad alguna de alquilarse. Encuentre el alquiler que debería cobrar con el fin de obtener un ingreso total de 11 475. 65. La longitud de un rectángulo excede a su anchura por dos pies. Si cada dimensión fuese incrementada en tres pies el área se incrementaría en 51pies 2 . Encontrar las dimensiones originales y nuevas del rectángulo. 63. Un capital de 100 se invierte a cierto interés a un año luego con el interés ganado se invierte en el segundo año a un interés igual al doble de la primera tasa de interés. Si la suma total obtenida es 112.32 ¿cuáles son las dos tasas de interés 67. Francisco puede hacer una obra en 3 días Santiago en 4 días y José en 6 días. ¿Qué tiempo tardarán trabajando conjuntamente 66. Un tanque puede llenarse por una tubería en 2 1 2 horas por otra tubería en 3 1 3 horas y por una tercera en 5 horas. ¿En qué tiempo se llenará el tanque si se habilitan las tres tuberías a la vez 68. Yolanda puede hacer cierto trabajo en 8 horas Pablo en 10 horas y Carlos en 12 horas. ¿Cuánto tiempo tomará efectuar el trabajo si Yolanda y Pablo se ponen a trabajar durante una hora e inmediatamente después Yolanda y Carlos lo terminan 69. J.C. presta 4 000 a una tasa de interés anual y 5 000 a una tasa mayor en un punto a la anterior. Por el préstamo de 5 000 obtiene 110 más cada año que por el préstamo de 4 000. Determine las dos tasas de interés. 64. Cada semana una compañía puede vender x unidades de su producto a un precio de p dólares cada uno en donde p 600 ฀ 5x. Si le cuesta a la compañía 8 000 75x dólares producir x unidades a ¿Cuántas unidades debería vender la compañía a la semana si desea generar un ingreso de 17 500 Ingreso p ฀ x b ¿Qué precio por unidad debería fijar la compañía con el propósito de obtener ingresos semanales por 18 000 c ¿Cuántas unidades debería producir y vender cada semana para lograr utilidades semanales de 5 500 Utilidad ingresos costos d ¿Qué precio por unidad generaría a la compañía una utilidad semanal de 5 750

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239 pág. 70. El radiador de un automóvil contiene 10 litros de una mezcla de agua y 20 de anticorrosivo. ¿Qué cantidad de esta mezcla debe vaciarse y reemplazarse por anticorrosivo puro para obtener una mezcla del 50 en el radiador 71. Una cortadora de césped utiliza una mezcla de combustible de 23 partes de gasolina y una parte de aceite. ¿Cuánta gasolina debe añadirse a un litro de mezcla que tiene 5 partes de gasolina y una parte de aceite para obtener la mezcla correcta 72. Cierta capa de suelo de plantación contiene 10 de turba y otra capa contiene 30. ¿Qué cantidad de cada suelo debe mezclarse para producir 2 pies cúbicos de suelo de plantación que tenga 25 de turba 73. El jefe de una estación de servicio compró 15 000 galones de gasolina extra y súper por 8 550. Si el precio de mayorista fue de 55 centavos por galón para la gasolina extra y 60 centavos por galón para la gasolina súper determinar cuántos galones de cada clase de gasolina se compraron. 74. El almacén de productos químicos Chóez tiene 2 tipos de soluciones ácidas. Una de ellas contiene 25 de ácido H 2 SO 4 y la otra contiene 15 de ácido H 2 SO 4 . ¿Cuántos galones de cada tipo deberán mezclar para obtener 200 galones de una mezcla que contenga 18 de ácido H 2 SO 4 75. La tienda “El Manaba” que se especializa en productos de Manabí vende coco rallado a 0.70 la libra y sal prieta a 1.60 la libra. Al final de un mes el propietario se entera que la sal prieta no se vende bien y decide mezclar coco rallado con sal prieta para preparar diferentes platos encocados de diferentes mariscos con esta mezcla quiere producir 45 libras que venderá a 1 la libra. ¿Cuántas libras de coco rallado y sal prieta deberá mezclar para mantener los mismos ingresos 76. Los miembros de una fundación desean invertir 18 000 en dos tipos de seguros que pagan dividendos anuales del 9 y 6 respectivamente. Construya una tabla y plantee el ejercicio. ¿Cuánto deberá invertir en cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8 la inversión total 77. Dada la ecuación 4x 2 4xy y 2 1 utilice la fórmula cuadrática para resolver y obtener: a x en términos de y. b y en términos de x.

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240 pág. Para los siguientes cinco ejercicios considere x ฀ 78. Hallar el conjunto de verdad de los siguientes predicados: a mx: x 1x 2x 3 xx 4x 5 b mx: x 1 3 x ฀ 1 2 x 3 ฀ x c px : x 2 ฀ 4ax 4a 2 ฀ c 2 0 d qx : a 2 x 2 ab ฀ cx ฀ bc 0 e px: 2x a b ฀ x b a 3ax a b 2 ab g px: a ฀ xb ฀ x ฀ ab ฀ c a 2 c b x 2 h px: a ฀ b 2 x ฀ 1 ฀ a ฀ bx ฀ 1 ฀ x ฀ 1 a ฀ b ฀ 1 a ฀ b 2 ฀ a ฀ b ฀ 1 i px: x ab ฀ x bc ฀ x ac ฀ 1 abc ฀ xa ฀ b ฀ c f px: x a a b ฀ x a a b x b a b ฀ 2x b a ฀ b ฀ 79. Hallar el conjunto de verdad de los siguientes predicados: a qx: 4 x 4 ฀ 1 x 3 3 x 1 0 b px: 3x 2x 1 ฀ x ฀ 5 x 1 x ฀ 19 2x 2 3x 1 c mx: 3a x 3a x ฀ 2a ฀ 3x 2a ฀ 3x 9 2 d px: 1 x a ฀ 1 x b 1 x c e qx: 1 a ฀ 1 b ฀ 1 x 1 a b x f rx: 6 x 4 ฀ x 4 x 4 ฀ 7x 2 50 3x 2 16 4 3 g qx: x ฀ a ฀ b x a ฀ x ฀ a ฀ b x a ฀ a 2 ฀ b 2 x 2 a 2 h px: x ฀ 1 x ฀ 1 1 ฀ 2x x ฀ 1 1 2

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241 pág. 82. Hallar el valor de k para que el conjunto de verdad del predicado px: kx 2 3x 1 0 tenga solución única. 83. Si un cuerpo recorre la mitad de la distancia total de caída libre durante el último segundo de su movimiento a partir del reposo calcular el tiempo y la altura desde la cual cae. Sugerencia: use la ecuación cuadrática del tiempo y vo t gt 2 . 84. Un ciclista acelera a 4m/seg 2 para un cierto punto a 3m/seg. Calcular el tiempo necesario para que el ciclista esté a 20 metros del punto. Sugerencia: use la ecuación cuadrática del tiempo 80. Hallar el conjunto de verdad de los siguientes predicados: a rx: x 2 ฀ 7 3 b mx: x ฀ 1 x ฀ 1 c px: x ฀ 3x ฀ 4 4 ฀ x d qx: a ฀ x ฀ a ฀ x 2a e rx: x ฀ 4 ฀ ฀ x ฀ 4 ฀ x ฀ 4 ฀ ฀ x ฀ 4 ฀ x ฀ 3 f mx: 1 3a ฀ x ฀ a ฀ x ฀ ฀ 1 3a ฀ x ฀ a ฀ x ฀ ฀ 1 a g px: 1 4a ฀ x ฀ a ฀ 1 4a ฀ x ฀ a ฀ 4 3 a h px: x ฀ 3 ฀ x ฀ 1 2x ฀ 2 i qx: 4x ฀ 3 ฀ 1 2x ฀ 2 j px: x ฀ 4 1 ฀ 2x ฀ 2 k rx: x ฀ x ฀ 2 3 81. Hallar el conjunto de verdad de: px: ฀x ฀ 2 2x ฀ 7 x ฀ 4

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242 pág. 87. Si Re px: 7x 2 3x y qx: 2 x 0 x 2 1 entonces Apx qx es: a b c 0 3/7 d 0 3/7 e 0 1 88. Si se tienen los predicados px: 7x 4 10 y qx: x 2 6x 9 y x es elemento de los entonces es verdad que: a A px qx b A px qx 2 6 7 c A px qx 2 6 7 d A px qx 6 7 3 e A px qx 2 3 90. Si Re y pn: 2n 5 7 entonces es verdad que: a Apn tiene 8 elementos. b La suma de los elementos de Apn es 20. c Apn 1 6 d Apn tiene 6 elementos. e No es posible determinar la cantidad de elementos que tiene Apn. 91. Escribir el conjunto de los números reales no negativos como un intervalo. 2.9 Inecuaciones 85. Dado el predicado px: x 1 1 0 y sea x elemento de los entonces NApx 0. a Verdadero b Falso 86. Si Re y px: x a entonces Apx a a . a Verdadero b Falso 89. Los valores reales de x que satisfacen la inecuación 1 x 2x 6 son: a x ฀ ฀ 5 3 b x ฀ 5 3 c x ฀ 2 3 d x ฀ ฀ 5 3 e 0 ฀ ∞

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243 pág. 92. Expresar los siguientes conjuntos como una operación de intervalos: a x 14 x 2 b x 3 x 2 x 3 x 5 96. Demostrar que si ab 0 entonces a b 2. b a 95. Demostrar que si a ฀ 0 b ฀ 0 entonces a b ab 2 desigualdad de Cauchy. 93. Resolver las siguientes inecuaciones considere x . a 5x 1 x7 x ฀ x 2 b 2x 4 ฀ ฀ 10 c ฀ x 3 x 4 ฀ ฀ ฀ 5 2 d 4 x ฀ 1 ฀ ฀ 3 x ฀ 2 ฀ ฀ 1 e x 1 ฀ ฀ x ฀ 1 2 f 3x 2 ฀ ฀ 3 x 2 ฀ ฀ 3 ฀ 94. Determine el conjunto de verdad de las siguientes desigualdades considere Re . a px: 2 4x ฀ 6x 7 b qx: 2 ฀ 2x 2 12 c rx: 8 ฀ 3x ฀ 2x ฀ 7 x 13 d mx: 8 x ฀ 3 e px: 2x x 4 ฀ 8 f nx: 2x 3 ฀ 5x 2 ฀ 2x ฀ g px: x 2 ฀ 3x ฀ 18 13x ฀ x 2 ฀ 42 ฀ 0 h qx: x 2 ฀ 3x ฀ 6 x 2 ฀ 1 ฀ 1

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244 pág. 97. Demostrar que: ฀a b c : a 2 4b 2 3c 2 14 2a 12b 6c 98. Demostrar que si a b c 0 entonces a 3 b 3 c 3 3abc. 2.10 Inducción matemática 101. Demostrar que: 1 3 2 3 3 3 ... n 3 n 2 n 1 2 4 ฀ n . 102. Considere n . Empleando inducción matemática: a Demostrar que 2 2n 5 es divisible por 3. b Demostrar que 2 2n ฀ 3n 1 es divisible por 3. c Demostrar que a n b n es divisible por a b. d Demostrar que a 2n 1 es divisible por a 1. e a ar ar 2 ฀ ... ar n ฀ 2 ar n 1 a1 ฀ r n 1 ฀ r r ≠ 1 f a 1 ฀ a 1 ฀ d ฀ a 1 ฀ 2d ฀ ... ฀ a 1 ฀ n ฀ 2 d ฀ a 1 ฀ n ฀ 1 d n 2 2a 1 ฀ n ฀ 1 d 103. Demostrar por inducción matemática que la suma de los ángulos internos de un polígono de n lados es: S πn 2 n ฀ 3 99. Demostrar que si a 0 b 0 c 0 entonces: a ฀ b ฀ c 1 a ฀ ฀ 1 b ฀ ฀ 1 c ฀ 9 100. Demostrar que si a 0 b 0 c 0 y d 0 entonces: a ฀ b ฀ c ฀ d 4 ฀ ฀ abcd 4

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245 pág. 2.11 Técnicas de Conteo 110. La cantidad de números de 2 dígitos que pueden formarse a partir de los dígitos 1 2 3 4 5 si no se ha de repetir dígito alguno en un número es 20. a Verdadero b Falso 111. ¿De cuántas maneras pueden 5 personas tomar asiento en un automóvil si 2 han de viajar en el asiento delantero y 3 en el asiento posterior dado que 2 personas determinadas no han de viajar en la posición del conductor 112. Cuántas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra MONDAY si: a 4 letras son usadas al mismo tiempo. b Se usan todas las letras. c Se usan todas las letras eligiendo una vocal para la primera posición. 113. De cuántas maneras puede elegirse un comité de entre 18 personas si el comité debe tener: a 3 miembros. b 14 miembros. 114. De cuántas maneras pueden 7 maestros de matemáticas ser empleados en la ESPOL de entre 10 catedráticos varones y 7 catedráticas mujeres si: a 3 han de ser hombres. b 3 ó 4 han de ser hombres. 104. Demostrar que: 2 4 6 ฀ ฀ ฀ 2n nn 1. 105. Demostrar que: 2 2 2 2 3 ฀ ฀ ฀ 2 n 22 n 1. 106. Demostrar que: 1 4 ฀ 2 4 ฀ 3 4 ฀ ฀ ฀ n 4 nn ฀ 16n 3 ฀ 9n 2 ฀ n ฀ 1 30 ฀ n . 107. Demostrar que: 1 ฀ 1 2 ฀ 1 2 2 ฀ 1 2 3 ฀ ฀ ฀ 1 2 n 2 ฀ 1 2 n 1 . 108. Demostrar que: 2 6 10 ฀ 4n ฀ 2 2n 2 . 109. Demostrar que: k k 2 k 3 ฀ k n k k 1 k n ฀ 1 k ≠ 1 ฀ n .

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246 pág. 116. Si en el desarrollo del binomio x k 5 el coeficiente de x 2 es 80 entonces el valor de k es: a 1 b 2 c 2 d 1 e 3 2.12 Teorema del binomio 118. Encontrar el séptimo término del desarrollo de 1 2 u ฀ 2v 10 . 119. Encontrar el término medio en el desarrollo de 2x ฀ 3 y 6 . 120. Encontrar el término que no contiene x en el desarrollo de 6x ฀ 1 2x 10 . 121. ¿Cuál es el coeficiente del término en x del desarrollo de x 2 ฀ 3 x 3 7 ¿Existen términos en x Justifique su respuesta. 122. Hallar el término independiente de x 2 ฀ 1 x 9 . 123. Hallar el término que contiene x 10 en el desarrollo de 5 2x 2 7 . 124. El término del desarrollo de x 2 ฀ y x 5 que contiene x 3 es: a 21 b 30 c 12 d 72 e No existe tal término. 115. Si un hospital cuenta con 21 cirujanos entonces una guardia de tres cirujanos se puede seleccionar de: a 1300 maneras diferentes. b 300 maneras diferentes. c 1000 maneras diferentes. d 330 maneras diferentes. e 1330 maneras diferentes. 117. Escribir en cada literal el desarrollo del binomio indicado: a 1 ฀ 2a 3 b a 1 a 5

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247 pág. 2.13 Sucesiones 125. La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es 168. El primer término es 30 y la diferencia es 2. Determinar: a Los posibles valores de n. b Los posibles valores de a n . 127. Al sumar un número natural n con el doble de su sucesor se obtiene 44 entonces el número n 3 es: a 14 b 11 c 17 d 13 e 16 126. Los primeros 10 términos de una progresión aritmética suman 35 y el primer término es 10 entonces el décimo término es: a 5 b 2 c 1 d 10 e 3 129. Sea una progresión geométrica cuyo primer término es 2 y la suma de los tres primeros términos es 86 entonces es verdad que: a La media geométrica de los tres primeros números es 1 2 . b Hay un solo valor posible de la razón r. c La suma de los valores de r es 1. d La suma de los valores de r es 13. e La suma de los valores de r es 13. 128. Una de las siguientes proposiciones es falsa identifíquela: a 1 ฀ 2 ฀ 3 ฀ ... ฀ 100 5050 c n 0 ฀ ฀ ฀ 0 n 0 ฀ n n n 0 ฀ ฀ 0 n nn ฀ 1 d b 20 10 21 10 11 21 e 2 1000 2 1000

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248 pág. 130. En cada uno de los siguientes literales indicar si la sucesión dada es una progresión aritmética o geométrica. En cada caso determinar la diferencia o la razón. a f n 1 n b f n 1 3 n c f n 1 n 2 d f n 1 n 135. En una progresión geométrica compuesta de números reales hallar P 10 si se conoce que P 3 9 y P 6 ฀ 63. 136. Un hombre jugó durante 10 días y cada día ganó 1 2 de lo que ganó el día anterior. Si el décimo día ganó 10 ¿cuánto ganó el primer día 137. Un hombre que ahorra 2 5 de lo que ahorró el año anterior ahorró el décimo año 150. ¿Cuánto ha ahorrado en los 10 años 133. Hallar f 4 f 6 y f 11 de una progresión geométrica si f 1 3 y r 2. 134. Hallar f 3 de una progresión geométrica compuesta de números reales si f 5 162 y f 8 4 372. 131. El valor de 2 2 2 2 2 es: a 2 b 2 2 c 2 31 32 d 2 5 2 e 2 5 32 132. En cada literal indicar una regla de correspondencia que defina la sucesión. Por ejemplo para la sucesión 1 1 2 1 2 3 ... una regla de correspondencia es f n 1 2 n 1 . a 1 1001 1 2001 1 3001 b 1 1 9 1 25 1 49

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249 pág. 138. Representar con una fracción simplificada los siguientes números decimales: a 0.675675675... b 3.4738247382... c 0.3754337543... d 12.213333213333... 139. Una progresión geométrica tiene todos sus términos positivos. La suma de los dos primeros términos es 15 y la suma de los infinitos términos de la sucesión tiende a 27. Hallar el valor de: a La razón común. b El primer término. 140. Un individuo está de acuerdo en pagar una deuda libre de interés de 5 800 en cierto número de pagos cada uno de ellos empezando por el segundo debiendo exceder al anterior por 20. Si el primer pago es de 100 calcular: a Cuántos pagos deberá efectuar con objeto de finiquitar la deuda. b Cuánto cancela en el último pago. 141. Considerar el préstamo del banco al Sr. Dorado por 5 000 a un interés mensual del 2. Cada mes paga 200 al capital más el interés mensual del balance pendiente. Calcular: a El número de pagos. b El último pago. c El monto total pagado. d El interés cancelado. 142. Una empresa instala una máquina con un costo de 1 700. El valor de la máquina se depreció anualmente en 150 y su valor de desecho es de 200. ¿Cuál es la vida útil de la máquina 143. Una compañía manufacturera instaló una máquina a un costo de 1 500 al cabo de nueve años la máquina tiene un valor de 420. Suponiendo que la depreciación anual es constante calcule la depreciación anual. 144. Si una máquina tiene un costo de 2 000 y ésta se deprecia anualmente 160 ¿cuál es la duración de la máquina vida útil si su valor de desecho fue de 400

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250 pág. 145. Los pagos mensuales del Sr. Piedra al banco ocasionados por un préstamo forman una progresión aritmética. Si el octavo y décimo quintos pagos son de 153 y 181 respectivamente hallar: a La diferencia. b El primer pago. c El vigésimo pago. 148. ¿Cuántos términos de la sucesión 9 12 15... es necesario considerar de modo que su suma sea 306 146. En el ejercicio anterior suponga que el Sr. Piedra pagó un total de 5 490 al banco. a Calcule el número de pagos que efectuó al banco. b ¿De cuánto fue su último pago 147. Debe saldarse una deuda de 1 800 en un año efectuando un pago de 150 al término de cada mes más el interés a una tasa del 1 mensual sobre el balance restante. Hallar: a El valor del primer pago. b El valor del último pago. c Cuánto paga en total. d Cuánto paga por concepto de intereses. 149. ¿Cuántos términos de la sucesión 12 7 2 3 8... deben sumarse de tal manera que la suma sea 105 150. Si Luisa compra 50 libros donde el precio por libro es: 8 el primer libro 11 el segundo libro 14 el tercer libro y de esta manera el costo de cada libro es 3 más que el precio del libro anterior entonces Luisa pagó por los 50 libros: a 3000 b 2935 c 3700 d 4075 e 3075 151. La suma de todos los números de tres cifras que son múltiplos de 7 es: a 70000 b 60000 c 70300 d 60360 e 70336

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251 pág. Capítulo 3 Introducción Funciones de una Variable Real 3.1 Funciones de variable real Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Explicar con sus propias palabras el concepto de función de variable real y los elementos que constituyen su regla de correspondencia. Dada una expresión que relaciona dos números reales encontrar un conjunto de partida que convierta la relación en función. Dada la regla de correspondencia de una función de variable real identificar su rango. El concepto de función aparece con frecuencia en el estudio de álgebra trigonometría y geometría analítica. En los cursos de cálculo ocupa un lugar central ya que nos permite conocer el comportamiento de cualquier función y facilita su graficación. Es posible que la idea central en matemáticas sea el concepto de función. Al parecer esta palabra fue introducida por Descartes en 1637. Para él una función significaba tan sólo cualquier potencia entera positiva de una variable x. Leonard Euler identificaba cualquier ecuación o fórmula que contuviera variables y constantes con la palabra función esta idea es similar a la utilizada ahora en los cursos precedentes al de cálculo. Posteriormente el uso de funciones en el estudio de las ecuaciones sobre el flujo de calor condujo a una definición muy amplia gracias a Dirichlet la cual describe a una función como una regla de correspondencia entre dos conjuntos definición que ya utilizamos en el primer capítulo de este libro y que ahora ampliaremos al conjunto de los números reales.

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252 pág. En muchas aplicaciones con frecuencia existe cierta correspondencia entre dos conjuntos de números. Por ejemplo el ingreso I que resulta de la venta de x artículos vendidos a 5 cada uno es I 5x. Si conocemos el número de artículos vendidos entonces podemos calcular el ingreso I. Esto es un ejemplo de función. En nuestra vida diaria también encontramos ejemplos de funciones: el valor facturado por consumo de energía eléctrica que depende del número de kilovatios consumidos durante un mes el valor de una casa que básicamente depende del terreno que ocupa en metros cuadrados la estatura en centímetros de una persona que depende de su edad un courier establece el costo por envío de encomiendas en base a su peso en kilogramos. Sean X y Y dos conjuntos no vacíos subconjuntos de los números reales. Una función de variable real de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X un único elemento de Y. Esto se representa simbólicamente por: A la variable x se le llama variable independiente y a la variable y se la conoce como variable dependiente. Definición 3.1 Función de una variable real La definición de función asegura que no pueden existir dos valores diferentes de y variable dependiente para un mismo valor de x variable independiente. A la variable x de una función a veces se la denomina argumento de la función. Pensar en la variable independiente como un argumento en ocasiones facilita la aplicación de la regla de correspondencia de la función. De acuerdo a las definiciones dadas en el capítulo 1 de este libro todos los elementos del conjunto de partida X deben estar relacionados con algún elemento de Y. Tanto X como Y pueden ser el conjunto de los números reales o un subconjunto del mismo. Cualquier símbolo puede ser utilizado para representar las variables independiente y dependiente. Por ejemplo si f es la función cúbica entonces puede ser definida por f x x 3 f t t 3 o f z z 3 . Las tres reglas de correspondencia son idénticas: cada una indica que debemos obtener el cubo de la variable independiente. El conjunto de partida de una función puede presentar restricciones físicas o geométricas. Por ejemplo f x x 2 está definida para todos los números reales sin embargo si f es utilizada como la regla de correspondencia para obtener el área de la superficie de un cuadrado conociendo la longitud x de su lado debemos restringir el valor x solamente para los números reales positivos ya que la medida de la longitud de un lado no puede ser negativa. f: X Y x y f x

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 253 pág. Sea f una función de variable real f: X Y. El conjunto X para el cual se encuentra definida constituye el dominio de la función. Este conjunto se representa simbólicamente por dom f. Definición 3.2 Dominio de una función de variable real Se puede expresar el dominio de una función mediante la notación de intervalos la notación de conjuntos o con palabras según sea lo más conveniente. Se dijo anteriormente que el dominio de una función lo constituyen los valores posibles de x estos valores serán aquellos para los cuales la expresión y f x esté definida en los reales. A partir de esto podemos anotar lo siguiente: ▪ Si f x contiene un cociente este no existe si el denominador se hace cero por lo que se deben excluir del dominio aquellos valores de x que provocan esta situación. ▪ Si f x contiene una raíz de índice par esta existirá sólo si el radicando es positivo o cero. Existen otras restricciones que se aplican a funciones de variable real las cuales se irán analizando en secciones posteriores. Dada la regla de correspondencia de una función encontrar su dominio constituye una actividad que se reduce a manipulación de expresiones algebraicas. Determinar el dominio de la función f x 3x 2. Solución: Resulta evidente que la regla de correspondencia dada no presenta restricción alguna. Por lo tanto dom f . Ejemplo 3.1 Dominio de una función de variable real.

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254 pág. Determinar el dominio de la función f x 2x ฀ 1 x ฀ 3 . Solución: El cociente 2x ฀ 1 x ฀ 3 está definido cuando x ฀ 3 ≠ 0 es decir cuando x ≠ 3. Por lo tanto dom f 3 ฀ ∞ 3 3 ฀ ∞. Ejemplo 3.2 Dominio de una función de variable real. Determinar el dominio de la función f x x 2 4. Solución: El radical x 2 4 está definido cuando x 2 4 0 es decir cuando x 2. Por lo tanto dom f ฀ ∞ 2 2 ฀ ∞. Ejemplo 3.3 Dominio de una función de variable real. Determinar el dominio de la función f x 3 x 1 2 . Solución: Como el radical está en el denominador la expresión x 1 2 solamente puede ser positiva y no puede tomar el valor de cero. x 1 2 0 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 3 x 1 Por lo tanto dom f ฀ ∞ 1 3 ฀ ∞. Ejemplo 3.4 Dominio de una función de variable real. Sea f una función de variable real f: X Y el conjunto de todas las imágenes de los elementos del dominio constituye el rango de la función. Este conjunto se representa simbólicamente por rg f. Definición 3.3 Rango de una función de variable real Como podemos observar una función se puede expresar mediante una regla de correspondencia que permita calcular las imágenes de los elementos del dominio. Estos valores calculados y definidos en el conjunto de llegada de la función conforman su rango.

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 255 pág. Un procedimiento para obtener la imagen de una función y f x es el siguiente: ▪ Despejar algebraicamente la variable x en la función. ▪ El rango será el conjunto de valores que puede tomar la variable y una vez despejada la variable x. Determinar el rango de la función f x 2x 3 x . Solución: Siguiendo el procedimiento antes descrito tenemos: y 2x 3 x y + 3 2 Resulta evidente que para todo valor de y existe un valor de x. Por lo tanto rg f . Ejemplo 3.5 Rango de una función de variable real. Ejemplo 3.6 Rango de una función de variable real. Determinar el rango de la función f x x 1 x x ≠ 0. Solución: y x 1 x Reemplazamos f x por y. xy x 1 Multiplicamos ambos miembros por x. xy 1 1 Factorizamos. x 1 y 1 Despejamos x. El cociente 1 y 1 está definido cuando y 1 ≠ 0 es decir cuando y ≠ 1. Por lo tanto rg f 1 ฀ ∞ 1 1 ฀ ∞.

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256 pág. Un electrocardiograma es un examen efectuado por un dispositivo que realiza la gráfica de una función en base a los impulsos eléctricos producidos por el corazón de una persona en cada instante de tiempo. Examinando tal gráfica un médico puede determinar si el corazón de la persona está o no saludable. De las representaciones gráficas de una función quizás la más importante es la que se realiza en el plano cartesiano en honor a Descartes. Ejemplo 3.7 Rango de una función de variable real. Determinar el rango de la función f x x 2 1 x . Solución: y x 2 1 Reemplazamos f x por y. x 2 y 1 Despejamos x. x ฀ y 1 Extraemos la raíz cuadrada. El radical está definido cuando y 1 0 es decir cuando y 1. Por lo tanto rg f 1 ฀ ∞. 3.2 Representación gráfica de funciones Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dada una gráfica reconocer si representa a una función de variable real. Dada la gráfica de una función de variable real identificar su dominio y rango como los intervalos de proyección de la gráfica sobre los ejes X e Y respectivamente. Dada la gráfica de una función de variable real reconocer sus intersecciones con los ejes coordenados. Dada la gráfica de una función de variable real encontrar elementos del dominio que corresponden a un valor del rango especificado. En la primera parte de este capítulo hemos visto que una función se puede expresar verbal o algebraicamente enunciando su regla de correspondencia aunque también se puede representar numéricamente a través de una tabla de valores o gráficamente por una figura. René Descartes matemático francés 1596 - 1650

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 257 pág. Figura 3.1: Representación gráfica de una función de variable real. En la mayoría de los casos no es posible representar todos los pares ordenados x f x que constituyen la función de variable real puesto que son infinitos. Por lo tanto para graficar una función se representan unos cuantos puntos significativos y se dibuja el resto de la gráfica de acuerdo a las características de cada función. Si f es una función de A en B entonces la gráfica de f es el conjunto de puntos o pares ordenados de A x B tales que sus coordenadas x y pertenecen a f. Definición 3.4 Gráfica de una función de variable real Una curva en el plano cartesiano representa una función si cualquier recta vertical interseca la gráfica como máximo en un punto. Teorema 3.1 Criterio de la recta vertical La convención a utilizar es que los elementos del conjunto A se representen sobre una recta real horizontal y los del conjunto B sobre una recta real vertical. La intersección de estas rectas se conoce como el origen del sistema de graficación y sus coordenadas son 0 0. f x rg f x f x y x rango dominio f d c a b x dom f dom f a b rg f c d

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258 pág. Utilizando este teorema es sencillo verificar cuándo una gráfica representa una función y cuándo no lo es. Observe la figura 3.2 de acuerdo al criterio anterior la relación g no es una función de variable real. a f es una relación que es función b g es una relación que no es función Figura 3.2: Criterio de la Recta Vertical. Sea f la función cuya gráfica está dada en la figura adjunta: Ejemplo 3.8 Gráfica de una función de variable real. Determine: ▪ El valor de la función cuando x 2 x 2 x 6. ▪ El dominio de la función. ▪ El rango de la función. ▪ Las intersecciones con los ejes coordenados. y x f y x g y x 1 2 3 4 5 6 7 1 2 1 2 3 1 2 3 2 3 1 0 2 2 0 1 1 0 5 0 6 3 7 3 4 3

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 259 pág. Resulta interesante estudiar el comportamiento de las funciones para identificar sus características más relevantes tales como: unicidad en los elementos del rango igualdad entre el rango y el conjunto de llegada intervalos de crecimiento o decrecimiento monotonía puntos donde la función no está definida o tiene saltos discontinuidad puntos de intersección con los ejes coordenados simetrías comportamiento idéntico de funciones en determinados intervalos valores máximos y/o mínimos cotas superiores o inferiores tendencias de valores de la función. 3.3 Tipos de Funciones Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Explicar y definir el concepto de función inyectiva sobreyectiva biyectiva constante creciente decreciente estrictamente creciente estrictamente decreciente par impar acotada y periódica. Dada una función periódica identificar su período fundamental. Dada la gráfica de una función de variable real reconocer todas las características antes mencionadas. Solución: ▪ Como 2 2 está en la gráfica de f la ordenada 2 es el valor de f cuando la abcisa toma el valor de 2. Como 2 3 está en la gráfica de f la ordenada 3 es el valor de f cuando la abcisa toma el valor de 2. Como 6 3 está en la gráfica de f la ordenada 3 es el valor de f cuando la abcisa toma el valor de 6. ▪ Para determinar el dominio de la función observamos que todos los puntos en la gráfica de f tienen abcisas entre 2 y 7 inclusive y para cada número x entre 2 y 7 existe un punto x f x en la gráfica. Por lo tanto dom f x/ 2 x 7 o el intervalo 2 7. ▪ Todos los puntos en la gráfica de la función tienen ordenadas entre 3 y 3 inclusive y para cada número y existe al menos un número x en el dominio. Por lo tanto rg f y/ 3 y 3 o el intervalo 3 3. ▪ Las intersecciones con el eje X están dadas por los puntos 1 0 1 0 y 5 0. Por otra parte la intersección con el eje Y está dada por el punto 0 1.

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260 pág. Una función f: X Y es inyectiva si y sólo si para cualquier elección de números x 1 y x 2 si x 1 ≠ x 2 en el dominio de f entonces f x 1 ≠ f x 2 esto es: Definición 3.5 Función Inyectiva Una curva en el plano cartesiano representa una función inyectiva si y sólo si cualquier recta horizontal interseca su gráfica como máximo en un punto. Teorema 3.2 Criterio de la recta horizontal Figura 3.3: Gráficas de Funciones. 3.3.1 Funciones Inyectivas Utilizando la definición dada en el capítulo 1 y la representación gráfica de una función tenemos que f es inyectiva si para cualquier elección de un número x que pertenece al dominio de f existe exclusivamente un valor y en el rango. En otras palabras ningún valor y en el rango es imagen de más de un valor x en el dominio. Estas funciones también son denominadas uno a uno. La aplicación de este teorema se puede observar en la figura 3.3. En el literal a la recta horizontal y k interseca a la gráfica en dos puntos distintos x 1 k y x 2 k con la misma ordenada. Por lo tanto f no es inyectiva. Se puede observar también en la figura 3.3 b la gráfica de una función inyectiva. x 1 x 2 X x 1 ≠ x 2 f x 1 ≠ f x 2 a f no es inyectiva b f es inyectiva y x x 1 k y k x 2 k x 1 x 2 y x y k

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 261 pág. 3.3.2 Funciones Sobreyectivas Utilizando la definición dada en el capítulo 1 y la representación gráfica de una función tenemos que f es sobreyectiva si todos los elementos del conjunto de llegada están relacionados con por lo menos un elemento del dominio. Por lo tanto el rango de f debe coincidir con el conjunto de llegada. Una función puede ser sobreyectiva y no ser inyectiva. Para concluir que una función f: X Y es sobreyectiva se tendrá que conocer el conjunto de llegada Y. Figura 3.4: Gráficas de Funciones. La figura 3.4 a corresponde a la gráfica de una función sobreyectiva mientras que la figura 3.4 b no lo es. Una función f: X Y es sobreyectiva si y sólo si todo elemento de Y se encuentra relacionado con algún elemento de X lo cual se representa por: Definición 3.6 Función Sobreyectiva 3.3.3 Funciones Crecientes Quizás haya escuchado el viejo refrán: “Sólo existen dos cosas seguras en la vida la muerte y los impuestos”. El impuesto a la renta que se debe pagar al Estado ecuatoriano depende del nivel de ingresos de la persona que tributa. Dicho valor se calcula en base a la siguiente tabla actualizada a marzo de 2004: A partir de esta definición se deduce que si f es sobreyectiva rg f Y. y Y ฀ x X y f x a f es sobreyectiva b f no es sobreyectiva y x f: X y x f: X

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262 pág. Figura 3.5: Gráfica de Impuestos. Como se puede observar en la figura 3.5 mientras mayores sean los ingresos eje horizontal se debe pagar un porcentaje mayor por el impuesto a la renta eje vertical es decir existe una relación directa de crecimiento entre las variables. Así como este ejemplo existen otros con similares características. Una función f es creciente en un intervalo si y sólo si para cualquier elección de x 1 y x 2 en siempre que x 1 x 2 tenemos f x 1 f x 2 . Esto es: Definición 3.7 Función Creciente Fracción Básica Exceso hasta Impuesto Fracción Básica Impuesto Fracción Excedente 7200 0 7200 14400 5 14400 28800 360 10 28800 43200 1800 15 43200 57600 3960 20 57600 En adelante 6840 25 x 1 x 2 x 1 x 2 f x 1 f x 2 10000 20000 30000 40000 50000 60000 2000 4000 6000 8000 y x

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 263 pág. Se puede notar en la figura 3.6 a que a medida que los valores de x aumentan en el intervalo los valores de f x también aumentan o se mantienen iguales. Por otra parte la gráfica de la figura 3.6 b no corresponde a una función creciente ya que no cumple con la definición dada. Figura 3.7:Gráficas de Funciones. Figura 3.6: Gráficas de Funciones. Una función f es estrictamente creciente en un intervalo si y sólo si para cualquier elección de x 1 y x 2 en siempre que x 1 x 2 tenemos f x 1 f x 2 . Esto es: Definición 3.8 Función Estrictamente Creciente x 1 x 2 x 1 x 2 f x 1 f x 2 a f es creciente b f no es creciente f x 2 f x 1 x 1 x 2 y x f x 1 x 1 f x 2 x 2 y x a f es estrictamente creciente b f no es estrictamente creciente f x 2 f x 1 x 1 x 2 y x f f x 1 f x 2 x 1 x 2 y x f

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264 pág. Una función f es decreciente en un intervalo si y sólo si para cualquier elección de x 1 y x 2 en siempre que x 1 x 2 tenemos f x 1 f x 2 . Esto es: x 1 x 2 x 1 x 2 f x 1 f x 2 Definición 3.9 Función Decreciente En la gráfica de la figura 3.7 a se aprecia que a medida que los valores de x aumentan en el intervalo los valores de f x únicamente aumentan. La figura 3.7 b nos indica que la función es creciente pero no estrictamente creciente. 3.3.4 Funciones Decrecientes En aplicaciones económicas para cada nivel de precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese producto que los consumidores demandarán esto es comprarán durante algún período. Por lo general a mayor precio del producto la cantidad demandada es menor cuando el precio baja la cantidad demandada aumenta. Figura 3.8: Curva de Demanda. En la figura 3.8 x representa la cantidad demandada por un producto en particular mientras que y representa el precio por unidad. Casos como estos hacen necesario el estudio de las funciones con características de decrecimiento. f x y

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 265 pág. Figura 3.9: Gráficas de Funciones. Se puede notar en la figura 3.9 a que a medida que los valores de x aumentan en el intervalo los valores de f x disminuyen o se mantienen iguales mientras que la gráfica de la figura 3.9 b no corresponde a una función decreciente. Una función f es estrictamente decreciente en un intervalo si y sólo si para cualquier elección de x 1 y x 2 en siempre que x 1 x 2 tenemos f x 1 f x 2 . Esto es: Definición 3.10 Función Estrictamente Decreciente Figura 3.10: Gráficas de Funciones. x 1 x 2 x 1 x 2 f x 1 f x 2 a f es decreciente b f no es decreciente x y f x 1 f x 2 f x 1 x 2 f x 1 f x 2 y x f x 1 x 2 a f es estrictamente decreciente b f no es estrictamente decreciente f x 1 f x 2 y x f x 1 x 2 f x 1 f x 2 y x f x 1 x 2

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266 pág. Se dice que f es una función monótona en un intervalo si y sólo si f es o estrictamente creciente o estrictamente decreciente en ese intervalo. Definición 3.11 Función Monótona 3.3.5 Funciones Pares o Impares Algunas funciones pueden ser simétricas respecto a una recta o a un punto. Si la recta a la cual se hace referencia es el eje Y tenemos funciones pares mientras que si el punto al cual se hace referencia es el origen de coordenadas tenemos funciones impares. Una función f es par si para todo x en su dominio el número x también está en el dominio y además f x f x. Definición 3.12 Función Par Figura 3.11: Funciones Pares. La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje Y. En las figuras 3.11 a y 3.11 b tenemos ejemplos de funciones pares. Observe que en ambos casos f x f x. En la gráfica de la figura 3.10 a se aprecia que a medida que los valores de x aumentan en el intervalo los valores de f x únicamente disminuyen. La figura 3.10 b nos indica que la función es decreciente pero no estrictamente decreciente. De acuerdo a esta definición se puede considerar la monotonía de una función por intervalos existiendo otros casos en los que las funciones son monótonas en todo su dominio. x dom f f x f x a f es par b f es par x f x x f x y x f x x x f x x f x y x f x x

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 267 pág. Una función f es impar si para todo x en su dominio el número x también está en el dominio y además f x f x. Definición 3.13 Función Impar Figura 3.12: Funciones Impares. Una función impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas. En las figuras 3.12 a y 3.12 b tenemos ejemplos de funciones impares. Observe que en ambos casos f x f x. 3.3.6 Funciones Periódicas Algunas funciones tienen la característica de repetir los valores de su rango así como su comportamiento gráfico cada cierto intervalo de su dominio. Esto constituye la periodicidad de la función. x dom f f x f x Una función f x que cumple la propiedad: Definición 3.14 Función Periódica T x dom f f x T f x se denomina periódica con período T. a f es impar b f es impar x f x x f x y x f x x x f x x f x y x f x x

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268 pág. Figura 3.13: Funciones Periódicas. Las gráficas de las figuras 3.13 corresponden a funciones periódicas. En la figura 3.13 a el período de la función es T 4 aunque también se podría considerar T 8 o T 12. En la figura 3.13 b el período de la función es T 6 aunque también se podría considerar T 12 o T 18. De aquí que el mínimo valor de T que satisfaga la definición de función periódica se conoce como período fundamental T. En los ejemplos anteriores el período fundamental de las funciones dadas es 4 y 6 respectivamente. La función constante es una función periódica puesto que para cualquier número T f x T f x. Nótese sin embargo que esta función carece de período fundamental. En general para cualquier función periódica no constante el período fundamental está definido de modo único y todos los demás períodos son múltiplos de él. Un ejemplo de función periódica no constante sin período fundamental lo constituye la función de Dirichlet definida para todos los reales con regla de correspondencia. f x 1 x 0 x C a f es periódica 1 2 3 4 5 6 7 1 2 1 2 3 1 2 T 4 y x f b f es periódica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T 6 1 2 3 4 5 6 1 2 1 2 y x f

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 269 pág. Una función f que tiene la propiedad: Definición 3.15 Función Acotada Figura 3.14: Funciones Acotadas. se dice que es una función acotada donde M y N son valores reales que se denominan cota superior y cota inferior respectivamente. ฀M N x dom f N f x M 3.3.7 Funciones Acotadas Cuando el rango de una función está contenido en un cierto intervalo limitado se dice que f es acotada. a f es acotada f x 2 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 4 5 1 2 y x f b f es acotada f x 1 4 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 y x f

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270 pág. Figura 3.14: Funciones Acotadas. Cabe recalcar que las cotas son números reales que no necesariamente deben pertenecer al rg f. Las gráficas a y b de la figura 3.14 corresponden a funciones acotadas. En la figura 3.14 a la cota superior de f es M 2 y la cota inferior de f es N 2. En la figura 3.14 b la cota superior de f es M 5 y la cota inferior de f es N 3. Existen funciones que solamente tienen cota superior o cota inferior en tales casos se dice que la función es acotada superiormente o acotada inferiormente según corresponda tal como se lo muestra en las figuras 3.14 c y 3.14 d: c Función acotada superiormente M 3 1 2 1 2 3 4 1 2 3 1 y x f d Función acotada inferiormente N 1 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 3 y x f

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 271 pág. 3.4 Asíntotas de la gráfica de una función de variable real Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Explicar el concepto de asíntota de la gráfica de una función de variable real. Dada la gráfica de una función de variable real reconocer la existencia de sus asíntotas verticales y horizontales. Figura 3.15: Asíntotas de la Gráfica de una Función. En la figura 3.15 note que conforme x se vuelve “más negativa” esto es cuando se hace no acotada en la dirección negativa x ฀ ∞ se lee “x tiende a menos infinito” los valores de f x tienden a cero. Lo mismo ocurre cuando x se vuelve “más positiva” esto es cuando se hace no acotada en la dirección positiva x ฀ ∞ se lee “x tiende a más infinito”. Por otra parte cuando x 0 es decir en la vecindad de cero podemos observar que los valores de f x tienden a ฀ ∞. Estos comportamientos para las gráficas de una función determinan la existencia de asíntotas. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 f x 1 x y x

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272 pág. Si cuando x ฀ ∞ o cuando x ฀ ∞ los valores de f x tienden a algún número fijo L entonces la recta y L es una asíntota horizontal de la gráfica de f. Definición 3.16 Asíntota horizontal Figura 3.16: Función con Asíntota Horizontal. En la figura 3.16 se aprecia que la recta y 5 es una asíntota horizontal de la gráfica de f. Si cuando x se aproxima a algún número c los valores ฀f x ∞ entonces la recta x c es una asíntota vertical de la gráfica de f. Definición 3.17 Asíntota vertical Figura 3.17: Función con Asíntotas Verticales. En la figura 3.17 se aprecia que las rectas x 1 y x 1 son asíntotas verticales de la gráfica de f. 5 y 5 y x f 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 y x f

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 273 pág. 3.5 Funciones definidas por tramos Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dada la regla de correspondencia de una función de variable real definida por tramos identificar los elementos del rango sobre el intervalo respectivo. Reconocer gráficamente la continuidad o discontinuidad de funciones definidas por tramos. Hasta este momento hemos graficado funciones del tipo y f x donde una misma expresión nos describe el comportamiento de la función en todo su dominio. Sin embargo podemos tener funciones que presenten diferente comportamiento en distintos intervalos de su dominio. Para la función f: Ejemplo 3.9 Funciones definidas por tramos. Determine: ▪ f 1 f 2 y f 5. ▪ dom f ▪ rg f Solución: Para determinar f 1 la ecuación para f es f x x 1 por lo tanto f 1 1 1 2. Para determinar f 2 la ecuación para f es f x x 2 por lo tanto f 2 2 2 4. f x x 1 2 x 0 x 2 0 x 2 1 x 2

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274 pág. Para determinar f 5 la ecuación para f es f x 1 por lo tanto f 5 1. Para determinar el dominio de f observamos su definición y concluimos que dom f x/x 2 o 2 ฀ ∞. y concluir que rg f 3 1 04. Este ejemplo nos induce al concepto de continuidad de una función de variable real el cual se definirá con la rigurosidad matemática necesaria en cursos superiores. Si dibujamos la gráfica de una función f con un lápiz diremos que f es continua si podemos dibujarla sin tener que levantar el lápiz. Sin embargo la función es discontinua en un punto cuando no está definida en él o bien porque en dicho punto hay un salto. En el ejemplo 3.9 se puede notar que f es discontinua en x 0 y en x 2. Para determinar el rango de f podemos hacerlo algebraicamente o gráficamente: x 2 0 x 0 2 x 2 ฀ ∞ 2 x 0 2 1 x ฀ 1 1 3 f x 1 rg f 3 1 0 x 2 0 x 2 4 f x 4 rg f f x 1 rg f 1 1 2 3 4 5 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 y x f

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 275 pág. En un cultivo están desarrollándose bacterias. El tiempo h en horas para que el número de bacterias se duplique tiempo de generación es una función de la temperatura T en grados centígrados del cultivo. Si esta función está dada por: Ejemplo 3.10 Aplicación de funciones definidas por tramos. Determine: ▪ El intervalo de temperaturas en el cual es válido el comportamiento referido. ▪ El tiempo en el cual se duplica el cultivo de bacterias a una temperatura de 30ºC. Solución: Lo que se está pidiendo en primera instancia es el dom h. Para determinarlo observamos su definición y concluimos que dom h T / 30 T 39 o T 30 39. Lo que se está pidiendo en segunda instancia es h f 30. Para determinarlo la ecuación para h es f T 1 24 T 11 4 por lo tanto f 30 30 24 11 4 96 24 4. Esto quiere decir que cuando la temperatura es de 30ºC el cultivo se duplica cuando han transcurrido 4 horas. 3.6 Técnicas de Graficación de Funciones Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dada la gráfica de una función de variable real construir la gráfica de una nueva función aplicando técnicas de desplazamiento compresión alargamiento y reflexión horizontales. h f T 1 24 T 11 4 30 T 36 4 3 T 175 4 36 T 39

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276 pág. Dada la gráfica de una función de variable real construir la gráfica de una nueva función aplicando técnicas de desplazamiento compresión alargamiento y reflexión verticales. Dada la gráfica de una función de variable real construir la gráfica de una nueva función aplicando la definición de valor absoluto sobre la variable del dominio y del rango. Mediante una gráfica conocida es posible obtener nuevas gráficas que tengan alguna relación con ella. Estas relaciones matemáticamente se las representa mediante sumas o productos de constantes con las variables del dominio y rango de la función original. El resultado es una nueva gráfica desplazada horizontal o verticalmente respecto a la original reflejada horizontal o verticalmente o con algún efecto de alargamiento o compresión tanto horizontal como vertical. También es posible que el valor absoluto esté presente sobre una de las variables. Todos estos efectos sobre la gráfica conocida se pueden interpretar de acuerdo a las reglas que se describen a continuación. Desplazamientos Pueden darse horizontal o verticalmente es decir podemos mover la gráfica de una función hacia la derecha hacia la izquierda hacia arriba o hacia abajo. Dada la regla de correspondencia de f siendo c 0 se pueden generar las nuevas funciones: ▪ y f x c : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia la izquierda. ▪ y f x c : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia la derecha. ▪ y f x c : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia arriba. ▪ y f x c : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia abajo. Grafique la función f x 1 x 2 1 x ฀ indicando sus características. Solución: Se puede deducir que la gráfica solicitada proviene de la función recíproca f x 1 x . Luego la nueva función será el resultado de desplazar f dos unidades hacia la derecha y finalmente una unidad hacia arriba. Ejemplo 3.11 Desplazamientos de una función.

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 277 pág. Desplazamiento de 2 unidades hacia la derecha. Desplazamiento de 1 unidad hacia arriba. 1 2 3 4 5 1 2 3 1 2 1 2 f x 2 1 1 x 2 1 y x 1 2 3 4 5 1 2 1 2 1 2 3 f x 2 1 x 2 y x 1 2 3 4 1 2 1 2 3 1 2 3 4 f x 1 x y x

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278 pág. Intersección con el eje X: 1 0 Intersección con el eje Y: 1 2 0 Asíntota horizontal: y 1 Asíntota vertical: x 2 El dominio de f es 2. El rango de f es 1. La función f es: inyectiva estrictamente decreciente en ฀ ∞ 2 2 ฀ ∞ y discontinua en x 2. Reflexiones Pueden ser con respecto a alguno de los ejes coordenados. Dada la regla de correspondencia de f se pueden generar las nuevas funciones: ▪ y f x: reflexión de la gráfica de f con respecto al eje Y. ▪ y ฀ f x: reflexión de la gráfica de f con respecto al eje X. A partir de la gráfica de la función raíz cuadrada f x x grafique las funciones gx x y hx ฀ x indicando sus características. Solución: Podemos notar que dom f 0 ฀ ∞ y evaluando se obtiene la siguiente gráfica para f: Ejemplo 3.12 Reflexiones de la gráfica de una función. El rango de f es 0 ฀ ∞. La función f es: inyectiva y monótona. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 1 f x x y x

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 279 pág. La función gx f x constituye la reflexión de f respecto al eje Y. El rango de g es 0 ฀ ∞. La función g es: inyectiva y monótona. Note que su dominio es ฀ ∞ 0. La función hx f x es la reflexión de f respecto al eje X. El rango de h es ฀ ∞ 0. La funcion h es: inyectiva y monótona. Note que su dominio es 0 ฀ ∞. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 1 gx x y x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 1 hx ฀ x y x

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280 pág. Compresiones o alargamientos Dada la regla de correspondencia de f siendo k 0 se pueden generar las nuevas funciones: ▪ y k f x: si el valor de 0 k 1 la gráfica de f se comprime verticalmente y si k 1 la gráfica de f evidencia un alargamiento vertical. ▪ y f kx: la gráfica de f presenta compresión horizontal si k 1 y alargamiento en sentido horizontal si 0 k 1. A partir de la gráfica de la función cúbica f x x 3 de en grafique las funciones gx 1 2 x 3 hx 2x 3 mx 2x 3 indicando sus características. Solución: Podemos notar que dom f y evaluando se obtiene la siguiente gráfica para f : Ejemplo 3.13 Compresiones o alargamientos de una función. La función f es: inyectiva sobreyectiva monótona e impar. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 f x x 3 y x

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 281 pág. La función gx 1 2 f x representa una compresión vertical de la función f. La función g es: inyectiva sobreyectiva monótona e impar. La función hx 2 f x representa un alargamiento vertical de la función f. La función h es: inyectiva sobreyectiva monótona e impar. 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 gx 1 2 x 3 y x 2 16 1 2 1 2 2 16 hx 2x 3 y x

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282 pág. La función mx f 2x representa una compresión horizontal de la función f. La función m es: inyectiva sobreyectiva monótona e impar. Valores Absolutos Dada la regla de correspondencia de f se pueden generar las nuevas funciones: ▪ f x : Reflexión de la gráfica de f cuando x 0 con respecto al eje Y. ▪ f x : Reflexión de la gráfica de f cuando x 0 con respecto al eje Y. ▪ f x : Reflexión de la gráfica de f cuando y 0 con respecto al eje X. Nótese que en los dos primeros casos se obtiene una función par ya que f x f x y f x f x . A partir de la gráfica de f: Ejemplo 3.14 Valores Absolutos. 8 64 1 2 1 2 8 64 mx 8x 3 y x

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 283 pág. Bosqueje las gráficas de: a gx f x b hx f x c mx f x Solución: a gx f x En este caso se produce la reflexión de la gráfica de f cuando x 0 con respecto al eje Y. gx f x y x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 4 5 6 7 y x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 4 5 6 7 f

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284 pág. 3.7 Funciones Lineales Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dada la regla de correspondencia de una función de variable real reconocer los elementos que la definen como lineal. Dada una función lineal interpretar gráfica y analíticamente sus características. Dadas las condiciones de un problema real reconocer si puede ser modelado por una función lineal. b hx f x En este caso se produce la reflexión de la gráfica de f cuando x 0 con respecto al eje Y. c mx f x En este caso se produce la reflexión de la gráfica de f cuando y 0 con respecto al eje X. hx f x y x 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 4 5 6 7 mx f x y x 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 4 5 6 7

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 285 pág. Sean a y b números reales la función f de en cuya regla de correspondencia es f x ax b recibe el nombre de función lineal. Definición 3.18 Funciones Lineales Su gráfica representa una recta cuya pendiente está dada por a y su intercepto con el eje Y es el punto 0 b. Para graficar una recta es suficiente obtener dos puntos de ella y trazar el segmento ilimitado que los contenga. Se sugiere que estos dos puntos sean las intersecciones con los ejes coordenados es decir encontrar el valor de y cuando x 0 y encontrar el valor de x cuando y 0. Esto no impide que se evalúe otro par de puntos que satisfaga la regla de correspondencia de f. Sea f: grafique f x 2x 3 e indique sus características. Solución: Cuando x 0 f 0 2 0 3 3. Cuando f x 0 2x 3 0 x 3 2 . Ejemplo 3.15 Función Lineal. Analizando la gráfica de la función podemos concluir que: f es inyectiva sobreyectiva estrictamente creciente monótona no es par ni impar no es periódica ni acotada. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 f x 2x 3 3 2 y x

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286 pág. Nótese que el comportamiento de la función lineal varía según los valores de a y b. Si el valor de a es positivo la gráfica representa una función estrictamente creciente tal como lo muestran las figuras 3.18 a y 3.18 b mientras que cuando a es negativo su gráfica corresponde a una función estrictamente decreciente tal como lo indican las figuras 3.18 c y 3.18 d. Si el valor de b es positivo la intersección con el eje Y se localiza sobre el eje X como lo muestran las figuras 3.18 a y 3.18 c. Si el valor de b es negativo la intersección con el eje Y se localiza bajo el eje X como lo indican las figuras 3.18 b y 3.18 d. Si el valor de b es igual a cero la gráfica de f interseca a los ejes en el origen. Por otra parte la intersección de la función lineal con el eje X estará dada por el valor b a el cual se ubicará en el semieje X positivo en los casos b y c y en el semieje X negativo en los casos a y d. Figura 3.18: Funciones Lineales. Hallar el rango de la función f x 2x 3 x 110. Solución: Ahora el rango está condicionado a un valor mínimo cuando x es igual a 1 este es 5. A medida que x se acerca a 10 el valor de f se aproximará a 17 pero sin llegar a tomar este valor ya que x no llega a ser igual a 10. Por lo tanto se deduce que mientras x 110 el rango de f es 517. Ejemplo 3.16 Rango de una Función Lineal. d c b a y a 0 b 0 y x a 0 b 0 x a 0 b 0 y x a 0 b 0 y x

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 287 pág. En la práctica las funciones lineales se utilizan para modelar procesos o relaciones que se comportan en forma directamente proporcional entre las variables de interés. Los costos fijos de un fabricante son iguales a 10 000 mensuales y el costo de fabricar una camisa es de 5. Si se requiere representar matemáticamente la función de costo total de la fábrica al mes se dirá que x es el número de camisas que se fabrican al mes y el costo total es: Cx 5x 10 000 La cual es una función lineal con pendiente 5 e intercepto en 10 000. Este intercepto es de mucha importancia para el fabricante porque le indica que aunque no produzca artículo alguno tiene que cubrir este costo y cuanto más grande es tal valor más esfuerzo de producción se requiere. Ejemplo 3.17 Aplicación de funciones lineales. 1 2 3 1 2 3 2 3 1 4 5 6 4 5 6 f x 2x 3 4 5 2 3 7 8 9 10 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 y x

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288 pág. La función constante f x 0 es la única función de variable real que es par e impar al mismo tiempo. Cuando a 1 y b 0 tenemos f x 1x 0 la cual constituye la función identidad f x x siendo dom f rg f . Cuando a 0 la función lineal sería f x 0x b b la cual constituye la función constante cuya gráfica es una recta horizontal como se observa en la figura 3.19 en estos casos dom f y rg f b. Las funciones constantes son crecientes y decrecientes a la vez. Figura 3.19: Funciones Constantes. La gráfica de la función de costo total sería: b b 0 a b 0 1 2 3 1 2 3 1 2 1 f x 2 y x 1 2 3 1 2 3 2 1 f x 1 y x 1 1 000 2 000 3 000 4 000 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 14 000 16 000 18 000 Cx Cx 5x 10 000 x

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 289 pág. A continuación se muestra su gráfica: 3.8 Funciones Cuadráticas Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dada la regla de correspondencia de una función de variable real reconocer los elementos que la definen como cuadrática. Dada la forma general de una función cuadrática expresarla en su forma canónica. Dada una función cuadrática en forma canónica interpretar gráfica y analíticamente los elementos que la constituyen: vértice eje de simetría ceros discriminante. Dada una función cuadrática discutir sus características. Dadas las condiciones de un problema real reconocer si puede ser modelado por una función cuadrática. Graficar funciones por tramos que incluyan expresiones cuadráticas definidas por intervalos. Sean a b y c números reales con a ≠ 0 la función f de en cuya regla de correspondencia es f x ax 2 bx c recibe el nombre de función cuadrática. Definición 3.19 Funciones Cuadráticas Figura 3.20: Función Identidad. 1 2 1 2 1 2 1 2 f x x y x

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290 pág. Obtenga la forma canónica de f x x 2 5x 6 x . Solución: Observamos que a 1 b 5 c 6 49 Por lo tanto f x 4 49 x 5 2 2 . Ejemplo 3.18 Forma canónica de la función cuadrática. 3.8.2 Rango de la función cuadrática Se trata de determinar el subconjunto de que es el rango de la función cuadrática esto es el conjunto de valores que toma f x ax 2 bx c cuando x varía de ฀ ∞ a ฀ ∞. Consideremos los siguientes casos: i a 0 Su gráfica corresponde geométricamente a una parábola cóncava hacia arriba o hacia abajo. 3.8.1 Forma canónica de la función cuadrática. Nos proponemos obtener mediante el método de completar cuadrados una expresión equivalente a f x ax 2 bx c la misma que será de gran utilidad para el estudio de ciertas propiedades de esta función. Esta última expresión es la forma canónica de la función cuadrática siendo b 2 4ac valor que se denomina discriminante. El punto de coordenadas b 2a 4a es el vértice de la parábola punto en el cual la gráfica de f alcanza su valor máximo o mínimo en y. f x ax 2 bx c f x a b a x 2 x c a f x a b a x 2 x b 2 4a 2 c a b 2 4a 2 f x a b a x 2 x b 2a b 2 4ac 4a 2 2 f x a 4a x b 2a 2 0 a 4a a 4a x b 2a 2 x b 2a 2

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 291 pág. Obtenga el rango de f x x 2 5x 6 x . Solución: En el ejemplo anterior se determinó la forma canónica de esta función cuadrática. Por lo tanto rg f ฀ ∞ 4 49 . Ejemplo 3.19 Rango de una función cuadrática. 3.8.3 Forma factorizada de la función cuadrática. Dada la regla de correspondencia de f si 0 siempre es posible factorizarla y llevarla a la forma f x ax x 1 x x 2 donde x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática f x 0. Obtenga la forma factorizada de f x x 2 5x 6 x . Solución: La expresión equivalente factorizada es: f x x 6 x 1. Las raíces de la ecuación cuadrática f x 0 son: x 6 x 1. Ejemplo 3.20 Forma factorizada de la función cuadrática. Utilizando la forma canónica. ii a 0 rg f ฀ ∞ 4a rg f ฀ ∞ 4a f x 4a f x ฀ ∞ 4a x b 2a 0 a 4a 2 a x b 2a 4a 2 f x 4a f x ฀ ∞ 4a

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292 pág. 3.8.4 Gráfica de la función cuadrática. Para graficar la función f x ax 2 bx c en el plano cartesiano se debe tener en cuenta que: ▪ Su gráfica es una parábola. ▪ Tiene simetría con respecto a la recta x b 2a . ▪ El signo de a indica la concavidad de la curva. Si a 0 la parábola es cóncava hacia arriba y si a 0 la parábola es cóncava hacia abajo. ▪ El signo de está relacionado con la cantidad de intersecciones con el eje X. Si 0 la gráfica de f tiene dos intersecciones con el eje X. Si 0 la gráfica de f interseca al eje X en un solo punto. Por último si 0 la gráfica de f no interseca al eje X. En base a lo anotado se pueden dar los siguientes casos: a a 0 0 x b 2a y x b a 0 0 x b 2a y x c a 0 0 x b 2a y x d a 0 0 x b 2a y x

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 293 pág. Figura 3.21: Funciones Cuadráticas. Grafique la función f x x 2 5x 6 x . Solución: Gráfica de f : a 0 Es una curva cóncava hacia arriba. Eje de simetría: x 5 2 Vértice: V 49 4 5 2 Intersecciones con el eje X: 1 0 6 0 Intersección con el eje Y: 0 6 Ejemplo 3.21 Gráfica de la función cuadrática. x 0 6 1 0 6 0 x 5 2 V y x 49 4 5 2 e a 0 0 x b 2a y f a 0 0 x b 2a y x

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294 pág. Solución: Procedemos a analizar la función según los tramos o intervalos del dominio: Bosqueje la gráfica de la función: Ejemplo 3.22 Gráfica de funciones lineales y cuadráticas. Función Lineal Función Lineal Función Cuadrática Función Constante x 1 x 1 0 f x 0 rg f ฀ ∞ 0 1 x 1 1 x 1 1 f x 1 rg f 1 1 1 x 3 1 x 2 9 2 x 2 1 10 2 f x 10 rg f 2 10 x 3 rg f 4 x 1 x 1 x |x| 1 x 2 1 1 x 3 4 x 3 f x y x 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 4 4 2 4 5 6 7 8 9 10

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 295 pág. Considere un alambre de longitud 20cm con el que se desea construir un rectángulo cuya área se necesita representar matemáticamente. Solución: Si se denomina x la medida de uno de los lados que tendrá el rectángulo el otro lado medirá 20 2x 2 . Ejemplo 3.23 Aplicación de funciones cuadráticas. Con lo cual el área de la superficie del rectángulo es: La función f posee las siguientes características: ▪ dom f . ▪ rg f ฀ ∞ 1 ฀ 2 10. ▪ f es estrictamente creciente en ฀ ∞ 1 1 3. ▪ f es estrictamente decreciente en 1 1. ▪ f es creciente y decreciente a la vez en 3 ฀ ∞. ▪ f es discontinua en x 1 x 1 y x 3. Ésta es una función cuadrática con vértice en 5 25 y cóncava hacia abajo. Este vértice y la concavidad son de mucha importancia porque indican que el valor máximo de área que se puede obtener para el rectángulo construido de esta manera es de 25 unidades cuadradas con un lado del rectángulo cuya longitud es igual a 5. Ax x 20 2x 2 10x x 2 20 2x 2 x

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296 pág. Cuando estudiamos operadores lógicos la conjunción la disyunción la condicional y la bicondicional se usaron para realizar operaciones entre las proposiciones. En conjuntos hicimos operaciones con ellos tales como la unión intersección diferencia y complementación. En el conjunto de los números reales hemos realizado las operaciones fundamentales con ellos. Ahora tenemos un nuevo conjunto que es el conjunto de las funciones así que también podemos definir operaciones en este conjunto. Al igual que los números las funciones de variable real se pueden sumar restar multiplicar y dividir. Sean f y g dos funciones de variable real se definen las cuatro operaciones fundamentales así: Definición 3.20 Operaciones con Funciones Función suma f gx f x gx Función diferencia f gx f x gx Función producto f gx f x gx Función cociente f g x f x gx gx ≠ 0 En ocasiones necesitamos realizar operaciones entre funciones de variable real que nos permitan obtener nuevas funciones a partir de la regla de correspondencia de otras funciones conocidas. En la siguiente sección estudiaremos los diferentes tipos de operaciones que se pueden realizar entre funciones de variable real. 3.9 Operaciones con Funciones de Variable Real Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dadas las operaciones entre funciones explicar el efecto sobre la variable del rango de la función resultante. Dadas las reglas de correspondencia de dos o más funciones de variable real encontrar la regla de correspondencia de la función suma diferencia producto o división especificando el dominio de la operación. Interpretar el efecto de la suma producto y división entre funciones inyectivas sobreyectivas biyectivas constantes crecientes decrecientes pares impares acotadas y periódicas. Dadas dos funciones de variable real reconocer si es posible realizar la composición entre ellas. Dadas las reglas de correspondencia de dos funciones de variable real realizar la composición entre ellas.

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 297 pág. En cada caso el dominio de la función resultante consta de los números que son comunes a los dominios de f y g pero los números x para los cuales gx 0 en la función cociente f g deben excluirse de este dominio. Algunas propiedades de las operaciones sobre los tipos de funciones son: ▪ La suma diferencia y el producto cociente de dos funciones pares es par. ▪ La suma diferencia de dos funciones impares es impar. ▪ El producto cociente de dos funciones impares es par. ▪ La suma diferencia de una función par y una impar ambas no nulas no es par ni impar. ▪ El producto cociente de una función par y una impar es impar. ▪ La suma de dos funciones crecientes o decrecientes también es creciente o decreciente. Estas propiedades pueden ser demostradas aplicando las definiciones dadas para tipos de funciones. Ejemplo 3.24 Propiedades de las operaciones entre funciones. Demostrar que la suma de dos funciones pares es par. Solución: Sean f y g dos funciones pares. Por definición f x f x y gx g x. f x gx f x g x Sumando ambas igualdades. f gx f g x Aplicando la definición de suma de funciones. Con lo que se concluye que f g también es par. Ejemplo 3.25 Operaciones con funciones de variable real. Obtener las funciones f g f g f g y f g a partir de: g x x g f x x f

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298 pág. A fin de facilitar nuestro trabajo marcamos sobre una nueva recta real los intervalos comunes a ambas funciones y efectuamos las operaciones según corresponda. Las reglas de correspondencia son respectivamente: Solución: Para realizar las operaciones solicitadas marquemos sobre la recta real la regla de correspondencia de cada función con sus intervalos respectivos. f x 1 x x 1 x x 1 g x x 2 x 0 1 x 0 f gx x 1 x 1 2 x 1 x 0 x 2 x 1 0 x 1 x 2 x x 1 1 x 1 0 1 x x f 1 0 x 2 g 1 1 x 1 x x 2 x 1 x 2 x 0 1 1 f g x 1 2 x x 2 x 1 x 2 x 0 1 1 f g 0 1 1 x 1 x 1 x x 2 1 x f g 0 1 1 x 1 x x 3 x 2 x 3 f g

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 299 pág. Dadas las funciones de variable real: Ejemplo 3.26 Operaciones con funciones de variable real. y Realice las operaciones: a 3f g b f 2g c fg d f g 3 4 Solución: a 3f g x f gx x 1 x 1 x 1 x 0 x 2 x 1 0 x 1 x 2 x x 1 f gx x x 1 1 x 1 x 0 x 3 x 2 0 x 1 x 3 x 1 f g x x x 1 1 x 1 x 0 1 x x 2 0 x 1 1 x x 1 f x x x 2 2x x 2 g x x 1 2 x 1 x 3 x 1 3x 32x 3f 2 1 0 1 x 1 2 x 3 g 0 1

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300 pág. b f 2g x c fg x 3f gx 3x ฀ x ฀ 1 2 x 2 6x ฀ x ฀ 1 2 2 x 1 6x ฀ x ฀ 3 x 1 6x ฀ x ฀ 3 x 1 6x ฀ x 2 2x ฀ 1 2 x 1 3x ฀ x 2 2x ฀ 1 x 2 3f gx x 2 x ฀ 1 x 2 x 2 4x ฀ 1 2 x 1 7x ฀ 3 x 1 f 2gx x ฀ 2฀x ฀ 1 2 x 2 2x ฀ 2฀x ฀ 1 2 2 x 1 2x ฀ 2฀x ฀ 3 x 1 2x ฀ 2x ฀ 6 x 1 2x ฀ 2฀x 2 2x ฀ 1 2 x 1 x ฀ 2฀x 2 2x ฀ 1 x 2 f 2gx 2x 2 5x ฀ 2 x 2 2x 2 6x ฀ 2 2 x 1 6 x 1 f g x ฀ 1 2 x ฀ 3 2x x 2 1 0 1 0 1 2g 2x ฀ 1 2 2x ฀ 3 0 1 2x x f 2 1 0 1

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 301 pág. d f g 3 4 x Ya hemos estudiado en el capítulo 1 la composición de funciones para conjuntos finitos vamos a ampliar ahora este concepto para funciones de variable real. Una composición de funciones tiene por objetivo combinarlas para formar una nueva función y sus aplicaciones son diversas. Por ejemplo un CD-RW cuesta x dólares al mayoreo. El precio que el almacén paga al distribuidor está dado por la función px x 0.25. El precio que el cliente paga en el almacén es cx 7 5 x. Si un CD-RW cuesta 0.25 al mayoreo el distribuidor lo vende al almacén a 0.50 y el almacén se lo vende al cliente a 0.70. Podemos notar que lo que debe pagar el cliente en general es cpx 7 5 x 0.25 es decir se tiene un precio compuesto para el consumidor final. fg x x x 1 2 x 2 2x x 1 2 2 x 1 2x x 3 x 1 x x 2 2x 1 x 2 2x x 2 2x 1 2 x 1 2x x ฀ 3 x 1 fg x x 3 2x 2 x x 2 2x 3 4x 2 2x 2 x 1 2x 2 6x x 1 x f g 3 4 4x ฀ 1 2 3x x 2 2 x 1 2x ฀ 1 2 3x 1 x 3 x 3 2x ฀ 3 3x

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302 pág. Ejemplo 3.28 Composición de funciones de variable real por tramos. Ejemplo 3.27 Composición de funciones de variable real. Sean f x x 1 y gx x 2 2 obtenga las reglas de correspondencia de f o g y g o f. Solución: Sea f x 2 x x 1 x 1 x 1 y gx x 2 x 2 1 x 2 Encuentre g o f x. Solución: Aplicando la definición: f o gx x 2 2 1 x 2 1 x g o f x 2 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 Sean f y g dos funciones de variable real: ▪ La función compuesta de g con f denotada por g o f se define por: Definición 3.21 Composición de Funciones de Variable real g o f x g f x que se lee “g compuesta con f ”. Para que esta función compuesta exista es necesario que rg f ฀dom g. Se puede verificar que dom g o f dom f. ▪ La función compuesta de f con g denotada por f o g se define por: f o gx f gx que se lee “f compuesta con g”. Para que esta función compuesta exista es necesario que rg g dom f. Se puede verificar que dom f o g dom g.

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 303 pág. Nos podemos ayudar con la gráfica de f: Por lo tanto: Sean f y g dos funciones de variable real tales que: Ejemplo 3.29 Composición de funciones. Construya f o gx. Solución: Aplicando la definición: g o f x f x 2 f x 2 x dom f 1 f x 2 x dom f ▪ f x 2 x ฀ ∞ 0 1 ฀ ∞ ▪ f x 2 x 0 1 g o f x 2 x 2 x 0 1 0 x 1 x 1 2 x 1 y x 2 ฀ 1 x 2 f x 4 2 x 4 2 ฀ x x 4 g x x x 0 x 2 x 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 3 2 x x 1 y x

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304 pág. Para luego concluir que: A más de las funciones estudiadas existen algunas que por su utilidad precisan ser analizadas. 3.10 Funciones Especiales Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dada una expresión numérica que involucre a las funciones valor absoluto escalón signo o entero mayor calcular su valor empleando la definición de estas funciones. Dada una función especial discutir sus características. Nos podemos apoyar para nuestro análisis en la gráfica de la función g. ▪ gx ฀ 2 x ฀ ∞ 0 0 2 ▪ 2 ฀ gx 4 x 2 4 ▪ gx 4 x 4 ฀ ∞ f o gx f gx gx 2 ฀ 1 gx 2 ฀ x ฀ dom g 2 ฀ gx gx 4 ฀ x ฀ dom g 4 2 ฀ gx 4 ฀ x ฀ dom g f o gx 2 ฀ x x 4 4 2 x 4 x 4 ฀ 1 x 0 x 2 ฀ 1 0 x 2 y x gx y x 2 x 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 305 pág. Función Valor Absoluto Se puede observar que dom f rg f 0 ฀ ∞ f es estrictamente decreciente en ฀ ∞ 0 f es estrictamente creciente en 0 ฀ ∞ f es par y f es continua en . Función Signo Se puede observar que dom f rg f 1 0 1 f es creciente en f es impar f presenta una discontinuidad en x 0. f x x x x 0 x x 0 f x sgn x 1 x 0 0 x 0 1 x 0 Construir y graficar composiciones con funciones especiales relacionando el dominio y rango especificados en la definición. Dada una ecuación o inecuación con funciones especiales resolverla gráficamente. f x x x f f x sgn x x f 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x y 1 1 x y

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306 pág. f x x n n x n 1 x n Función Escalón Se puede observar que dom f rg f 0 1 f es creciente en f presenta una discontinuidad en x 0. Función Máximo Entero o Entero Mayor La función entero mayor se puede describir para un número real x como el mayor entero menor o igual que x. A partir de esta descripción el entero mayor de 2.1 es 2 de 1.05 es 2 el de ̟ es 3 el de e es 3 el de 5 es 5 y así podemos verificar para otros números. Esto permite definir y graficar esta función especial de la siguiente manera: f x x 1 x 0 0 x 0 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 y x f x x x f f x x x f 1 x y

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 307 pág. Construya la gráfica de la función: f x 2x 1 3. Solución: Se puede obtener la función solicitada mediante los siguientes pasos: Ejemplo 3.30 Función Valor Absoluto. 1 f x x 2 f x 2x Experimenta una compresión horizontal. 4 f x 2x 1 Reflexión con respecto al eje x. 3 f x 2x 1 Desplazamiento de 1 2 unidades a la izquierda. Se puede observar que dom f rg f f es creciente en las intersecciones con el eje X son todos los números reales del intervalo 0 1 f es constante en todo intervalo de la forma k k 1 siendo k un número entero f presenta discontinuidades para todos los valores enteros del dominio de f. f x x 1 1 1 f x x 1 1 1 2 f x x 1 1 1 2 1/2 f x x 1 1 1 1/2 1

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308 pág. Realice la siguiente operación: f x sgnx 2 2 x 1 y grafique la función resultante. Solución: Determinamos la regla de correspondencia para las funciones involucradas: Ejemplo 3.31 Operaciones entre función signo y escalón. Graficamos los dominios de ambas funciones: sgn x 2 5 f x 2x 1 3 Desplazamiento de 3 unidades hacia arriba. sgnx ฀ 2 1 x 2 0 x 2 1 x 2 2 x ฀ 1 2 x 1 0 x 1 f x x 1 1 1 2 1/2 3 2 1 1 0 1 2 1 0 1

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 309 pág. 2 x 1 Graficamos el dominio común: Planteamos la suma de las funciones: Graficamos la función resultante: sgnx ฀ 2 2 x ฀ 1 1 x 1 1 1 ฀ x 2 2 x 2 3 x 2 2 1 0 0 2 1 0 1 2 f x x 2 1 1 2 1 1 2 3

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310 pág. Como ya se estudió anteriormente es posible realizar composiciones con funciones especiales graficando la función dominio y aplicando sobre esta gráfica la definición de la función especial. Se requiere la gráfica de f x sgn x 2 3x 4 x . Solución: Ejemplo 3.33 Graficación de funciones de variable real. Basta graficar la parábola y sobre los intervalos correspondientes emplear la definición de la función signo tomando en cuenta que el argumento de esta función es el rango de la función cuadrática. Sean: Ejemplo 3.32 Composición entre funciones especiales. Evalúe: a f o g 3.5 b g o f 2.5 Solución: a f o g 3.5 f g3.5 Evaluando g3.5 3.5 3.5 3 1 4. Luego evaluando f 4 2 sgn4 21 2. f o g 3.5 2 b g o f 2.5 g f 2.5 Evaluando f 2.5 2.5 1 3 1 4. Luego evaluando g 4 1 4 1 4 3. g o f 2.5 3 f x x 1 x 2 x 2 2 x 1 2 sgnx x 1 g x 1 x x 0 x x x 2 sgn2x 0 x 2

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 311 pág. Gráficamente también se pueden resolver ecuaciones o inecuaciones. Así si se requiere determinar el conjunto de verdad del predicado px: sgnx 2 3x 4 1 con Re basta graficar la función sgnx 2 3x 4 y en la gráfica se observa que su rango es 1 si y sólo si x ฀ ∞ 1 4 ฀ ∞. Por lo tanto este conjunto es Apx. 3.11 Función Inversa de una Función Biyectiva Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Explicar las condiciones para la existencia de la inversa de una función de variable real. Dada una función biyectiva encontrar la regla de correspondencia de su inversa. Interpretar la relación entre la gráfica de una función y la de su inversa. Ya hemos mencionado que una función f es inversible si y sólo si es biyectiva. Así se obtiene la siguiente gráfica: 1 2 3 4 5 1 2 3 2 4 6 2 4 x y

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312 pág. Sea f x 2x 6 x encuentre f 1 y grafíquela. Solución: Ejemplo 3.34 Función Inversa. f o f 1 x f f 1 x x 2 f 1 x 6 x 2 f 1 x x 6 f 1 x 6 x 2 x Una función de variable real f es biyectiva si y sólo si: ▪ f es inyectiva y ▪ f es sobreyectiva Definición 3.22 Función Biyectiva Para obtener la inversa de una función biyectiva f 1 debemos realizar lo siguiente: ▪ Cambiar f x por x y reemplazar x por y. ▪ Despejar y. La regla de correspondencia de f 1 sería la ecuación obtenida con el conjunto de partida de f como el conjunto de llegada de la inversa y el conjunto de llegada de f como el conjunto de partida de la inversa. Es decir dom f rg f 1 y rg f dom f 1 . Gráficamente cuando se representan f y f 1 en un mismo plano cartesiano ambas son simétricas con respecto a la función identidad f x x. Otro aspecto a considerar es que la monotonía de f se mantiene con respecto a su función inversa. Si f es estrictamente creciente f 1 también lo es mientras que si f es estrictamente decreciente f 1 presenta la misma característica. No hay que olvidar que la composición entre la función y su inversa constituye una función identidad en X mientras que la composición entre la inversa y la función permite construir una función identidad en Y lo cual ratifica que la composición de funciones no es conmutativa.

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 313 pág. Sea f x x 2 1 x 0 x 1 x 0 encuentre f 1 y grafíquela. Solución: Si x 0 Si x 0 f x x 2 1 rg f 1 ฀ ∞ f x x 1 rg f ฀ ∞ 1 x y 2 1 x y 1 y x 1 y x 1 Construimos la regla de correspondencia: Ejemplo 3.35 Función Inversa. f 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 1 2 3 4 5 6 7 1 2 1 2 1 2 3 4 5 6 f x x y x f f 1

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314 pág. En este mismo capítulo hemos construido las gráficas de funciones lineales cuadráticas y cúbicas este tipo de funciones pertenecen a la clase de las funciones polinomiales. Nótese que cuando se despejó y x 1 se seleccionó la raíz positiva. El lector puede analizar que y es la variable del rango de f 1 que corresponde al dominio de f en x 2 1 por tanto y debe ser positiva. 3.12 Funciones Polinomiales Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Explicar los elementos que constituyen un polinomio de grado n. Dadas dos funciones polinomiales realizar operaciones entre ellas. Dadas dos funciones polinomiales dividirlas y especificar el polinomio dividendo divisor cociente y residuo. Dada una división entre polinomios obtener el residuo de la división empleando el teorema del residuo. Dada una división entre polinomios reconocer si es exacta empleando el teorema del factor. Dada una ecuación polinomial analizar e interpretar sus raíces. Dado un polinomio definido sobre un intervalo cerrado inspeccionar la existencia de un cero en ese intervalo. Definir una función racional. Graficando: f f 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 x 1 x 2 1 y x x 1 y x x 1

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 315 pág. Una función polinomial es una función de la forma Definición 3.23 Función Polinomial f x a n x n a n 1 x n 1 ... a 1 x a 0 donde a n a n 1 ... a 1 a 0 son números reales y n + . El dominio de esta función lo constituyen todos los números reales. El grado de una función polinomial es el mayor exponente de la variable presente en el polinomio en este caso el exponente n si a n ≠ 0. Determinar cuáles de las siguientes funciones son polinomiales: a f x 2x 3 x 2 4 x . b gx x 1 x 1. c hx 5 x . d mx x 2 x 1 x ≠ 1. Solución: a f es una función polinomial de grado tres. b g no es una función polinomial. La variable x 1 está elevada a la potencia 1 2 que es un número fraccionario. c h es una función polinomial de grado cero. d m no es una función polinomial ya que está dada por el cociente entre dos polinomios. Ejemplo 3.36 Identificación de funciones polinomiales. 3.12.1 Gráficas de Funciones Polinomiales Una función potencia de grado n es de la forma: Definición 3.24 Función Potencia f x ax n donde dom f a a ≠ 0 y n + .

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316 pág. La gráfica de una función potencia de grado 1 f x ax es una recta con pendiente a que contiene al origen de coordenadas. El rango de esta función incluye todos los reales. La gráfica de una función potencia de grado 2 f x ax 2 es una parábola que contiene al origen de coordenadas y que es cóncava hacia arriba si a 0 o cóncava hacia abajo si a 0. La gráfica de una función potencia de grado n f x ax n siendo n un número par y mayor que uno tiene un comportamiento similar al de la función cuadrática. A medida que n crece la función potencia sufre un alargamiento vertical cuando x 1 y una compresión vertical cuando x 1. El rango de estas funciones incluye el cero y todos los reales positivos. La gráfica de una función potencia de grado n f x ax n siendo n un número impar y mayor que uno tiene un comportamiento similar al de la función cúbica. 1 2 3 1 1 2 3 1 x y x 3 x 5 1 2 3 4 5 1 1 y x x 2 x 4 x 6

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 317 pág. A medida que n crece la función potencia sufre un alargamiento vertical cuando x 1 y una compresión vertical cuando x 1. El rango de estas funciones incluye todos los reales. Para graficar la mayoría de las funciones polinomiales de grado 3 o superior se necesitan otras técnicas. Sin embargo la gráfica de toda función polinomial es suave y continua. Por suave queremos decir que la gráfica no tiene esquinas o puntas continua significa que la gráfica no tiene saltos y que puede ser graficada sin interrupciones. Si se factoriza completamente una función polinomial f es fácil resolver la ecuación polinómica f x 0 y localizar las intersecciones con el eje X. En general si f es una función polinomial y r es un número real para el cual f r 0 entonces r es llamado cero o raíz de f. Por lo tanto los ceros reales de la función polinomial son las intersecciones de su gráfica con el eje X. Si el mismo factor x r aparece más de una vez entonces r es llamado cero repetido o cero múltiple de f. Si x r m es un factor de la función polinomial f y x r m 1 no es factor de f entonces r es llamado cero de multiplicidad m de f. Definición 3.25 Cero de Multiplicidad m Identifique la multiplicidad de los ceros de la función polinomial: f x x 3 x 2 2 1 3 x 4 x Solución: 3 es un cero de multiplicidad 1. 2 es un cero de multiplicidad 2. 1 3 es un cero de multiplicidad 4. Ejemplo 3.37 Identificación de ceros y de sus multiplicidades. Si r es un cero de multiplicidad par el signo de f no cambia localmente de un lado al otro de r. La gráfica interseca al eje X en r. Si r es un cero de multiplicidad impar el signo de f cambia localmente de un lado al otro de r. La gráfica interseca al eje X en r.

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318 pág. Bosquejar la gráfica de f x x 2 x 2 x . Solución: 0 es una raíz de multiplicidad 2. En x 0 la gráfica de f interseca al eje X. 2 es un cero de multiplicidad 1. En x 2 la gráfica de f interseca al eje X. Para x ฀ ∞ 2 f es positiva. Para x 2 0 f es negativa. Para x 0 ฀ ∞ f es negativa. La gráfica de la función f sería: Ejemplo 3.38 ldentificación de ceros y de sus multiplicidades. Podemos bosquejar la gráfica de f : 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 y x y x 7 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 100 200 100 200 f x x 3 x 2 2 1 3 x 4

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 319 pág. f a 0 ฀฀ f b 0 f a 0 ฀฀ f b 0 Sea f una función polinomial. Si a b y además f a y f b son de signos opuestos entonces hay al menos un cero de f entre a y b. Teorema 3.3 Valor intermedio Aunque la demostración de este teorema demanda métodos avanzados de cálculo es fácil verificar por qué es verdadero en la siguiente figura. f b f a a c b y x f a f b a c b y x

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320 pág. Con respecto a la función polinomial f x 8x 4 2x 2 5x 1 demuestre que tiene una raíz en 0 1. Solución: Lo que debemos verificar es que hay un cambio de signo al evaluar la función en x 0 y x 1. f 0 1 f 1 8 1 4 21 2 51 1 8 2 5 1 10 Como f 0 0 y f 1 0 entonces efectivamente hay una raíz en el intervalo 0 1. Al bosquejar la gráfica de f se obtiene: Ejemplo 3.39 Aplicación del teorema del Valor Intermedio. 3.12.2 Operaciones con funciones polinomiales De las operaciones que pueden realizarse con las funciones polinomiales: suma diferencia producto o cociente nos interesa de manera particular esta última. Las tres primeras operaciones se realizan de acuerdo a las definiciones dadas en la sección 3.9 de este capítulo empleando las mismas reglas para realizar operaciones con expresiones algebraicas. y x 7 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 1 2 1 2 3 4 3 4 f x

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 321 pág. Dadas las funciones f : y g : f x 3x 3 2x 2 x 2 y g x x 3 x 2 x 3 encuentre: f gx f gx fgx f/gx. Solución: ▪ f gx 3x 3 2x 2 x 2 x 3 x 2 x 3 f gx 2x 3 3x 2 2x 5 x ▪ f gx 3x 3 2x 2 x 2 x 3 x 2 x 3 f gx 4x 3 x 2 1 x ▪ fgx 3x 3 2x 2 x 2 x 3 x 2 x 3 3x 6 3x 5 3x 4 9x 3 2x 5 2x 4 2x 3 6x 2 x 4 x 3 x 2 3x 2x 3 2x 2 2x 6 fgx 3x 6 x 5 4x 4 4x 3 7x 2 5x 6 x ▪ f/gx 3x 3 2x 2 x 2 x 3 x 2 x 3 f/gx 3 5x 2 4x 11 x 3 x 2 x 3 x x 3 x 2 x 3 ≠ 0 Ejemplo 3.40 Operaciones con funciones polinomiales. En la división hay cuatro elementos esenciales que serán frecuentemente utilizados en futuras aplicaciones. Estos son el polinomio dividendo el divisor el cociente y el residuo tal como en la división de números reales. Esto permite que la división entre dos polinomios px y qx pueda expresarse de la forma: px cxqx rx donde cx y rx son el polinomio cociente y residuo de la división respectivamente. Respecto a los grados de los polinomios hay que recalcar que para sumar dos polinomios restarlos o multiplicarlos pueden tener diferentes grados mientras que para la división es necesario que el dividendo tenga un grado no menor al del divisor. De esta forma si el grado del dividendo es n y el del divisor es m el cociente tendrá grado n m y el residuo será de grado m 1. La división entre polinomios da lugar a una nueva función denominada función racional.

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322 pág. Sean px y qx dos polinomios. Se dice que la función f x px qx con dominio x /qx 0 es una función racional. Definición 3.26 Función Racional Es decir una función racional es aquella que puede expresarse como la división de dos polinomios. De acuerdo a la representación de una división entre polinomios la función racional también puede expresarse como: División Sintética Para encontrar el cociente y el residuo cuando se divide una función polinomial de mayor grado o igual a 1 entre gx x c una versión abreviada de la división tradicional llamada división sintética hace la tarea más sencilla. Para observar cómo se realiza la división sintética usaremos la división tradicional al dividir la función polinomial f x 4x 3 3x 2 8x 4 entre gx x 2. El proceso de la división sintética surge de reescribir la división tradicional en forma compacta en la cual no se considera la variable x sino solamente los coeficientes de la función polinomial. Considere los siguientes pasos: 1. Escriba los coeficientes de la función polinomial f x en potencias descendentes de x en el primer renglón y complete con ceros en caso de no existir algún coeficiente. 2. Traslade el término de la izquierda del primer renglón al tercer renglón. 3. Multiplique dicho término por el valor c de la función polinomial g x coloque este resultado bajo la segunda columna del segundo renglón y efectúe la suma algebraica. 4. Este nuevo resultado colóquelo en la segunda columna del tercer renglón. px qx cx rx qx 4x 3 3x 2 8x 4 4x 3 8x 2 5x 2 8x 5x 2 10x 2x 4 2x 4 8 x 2 4x 2 5x 2

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 323 pág. Utilice la division sintética para dividir la función polinomial f x 4x 3 3x 2 8x 4 entre g x x 2. Ejemplo 3.41 División sintética. Como resultado de la división se obtiene: ▪ Cociente: 4x 2 5x 2 ▪ Residuo: 8 Utilice la división sintética para dividir la función polinomial f x 4x 4 3x 2 1 entre g x x 3. Ejemplo 3.42 División sintética. 5. Repita los pasos 3 y 4 para los siguientes términos hasta completar la operación. 6. La última entrada del tercer renglón representa el residuo de la división. 7. Las otras entradas representan los coeficientes en orden descendente del cociente de la división cuyo grado es uno menos que el del dividendo. Como resultado de la división se obtiene: ▪ Cociente: 4x 3 12x 2 33x 99 ▪ Residuo: 298 Esto nos induce al siguiente teorema que facilita la división de una función polinomial entre una lineal. 4 3 8 4 8 10 4 2 4 5 2 8 4 0 3 0 1 12 36 99 297 3 4 12 33 99 298 Solución: Solución:

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324 pág. Encontrar el residuo si f x x 3 x 2 2x 4 x se divide entre: a x 2 b x 3 Solución: a f 2 2 3 2 2 22 4 f 2 8 4 4 4 f 2 12 b f 3 3 3 3 2 2 3 4 f 3 27 9 6 4 f 3 38 Ejemplo 3.43 Teorema del residuo. Determine la suma de los valores de k 1 y k 2 para que el polinomio p x x 4 ฀ 5x 3 2x 2 k 1 x k 2 sea divisible por el trinomio q x x 2 ฀ 5x 6. Solución: Primer método: Realizamos la división por el método tradicional de p x por q x: Ejemplo 3.44 Teorema del residuo. Puesto que la división debe ser exacta el residuo será cero a partir de lo cual se puede concluir que: Sea f una función polinomial si f x es dividida entre x c entonces el residuo es f c. Teorema 3.4 Teorema del residuo x 4 5x 3 2x 2 k 1 x k 2 ฀ x 4 5x 3 6x 2 x 2 4 x 2 5x 6 ฀ 4x 2 k 1 x k 2 ฀ 4x 2 20x 24 k 1 20x k 2 24

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 325 pág. k 1 20 0 k 1 20 k 2 24 0 k 2 24 Segundo método: Debido a que px es divisible por f x factorizando qx se obtiene: q x x 2 5x 6 q x x 3x 2 Aplicamos el teorema del residuo según el cual al ser px divisible por qx p3 p2 0 con lo que resultan las ecuaciones I y II: p3 3 4 53 3 23 2 k 1 3 k 2 0 p3 81 135 18 3k 1 k 2 0 3k 1 k 2 36 I p2 2 4 52 3 22 2 k 1 2 k 2 0 p2 16 40 8 2k 1 k 2 0 2k 1 k 2 16 II Resolviendo el sistema con las ecuaciones I y II se concluye también que: k 1 20 k 2 24. Al dividir cierto polinomio px por x 1 el residuo es 2 y al dividirlo por x 2 el residuo es 5. Determine el residuo al dividir px por x ฀ 1x 2. Solución: Si analizamos la división de un polinomio por otro notaremos que el grado del polinomio del residuo es menor en uno al grado del polinomio del divisor. Como en este caso se va a dividir px por x 1x 2 el grado del residuo debe ser 1 es decir r x tendrá forma lineal. Ejemplo 3.45 Aplicación del teorema del residuo.

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326 pág. Esto es px cxx 1x 2 ax b. Aplicando el teorema del residuo se tiene que: p1 a b p2 2a b Por condición del problema p1 2 y p2 5 con lo que se puede construir el siguiente sistema de ecuaciones lineales: a b 2 2a b 5 Obteniéndose los siguientes valores de a y b: a 3 b 1. Es decir el residuo será: rx 3x ฀ 1 Sea f una función polinomial entonces x c es un factor de f x si y sólo si f c 0. Teorema 3.5 Teorema del factor En algunos problemas sobre división de polinomios es de interés saber si ésta es exacta dicho de otra forma si el polinomio divisor es factor del polinomio dividendo o el polinomio dividendo es divisible para el polinomio divisor. Tal como ocurre con los números una división entre polinomios es exacta si y sólo si su residuo es cero. De acuerdo a esto se puede deducir un teorema para el caso de las divisiones exactas conocido como el teorema del factor. Utilice el teorema del factor para verificar que x 4 es un factor de la función f x 4x 6 64x 4 x 2 16 x . Ejemplo 3.46 Teorema del factor. rx ax b Por lo tanto se cumple que: px cxx 1x 2 rx siendo cx el cociente y rx el residuo.

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 327 pág. Puesto que este teorema es una equivalencia lógica en caso de que f c ≠ 0 se concluye que la división no es exacta y por tanto x c no es factor de f. Forma anidada de una función polinomial Considere la función polinomial f x x 3 x 2 2x 4 podemos factorizar f x y se puede expresar como f x x 1 x ฀ 2 x 4. Observe que esta forma sólo contiene expresiones lineales. Una función polinomial escrita de esta manera se dice que está en forma anidada. Si queremos evaluar f en x 4: ▪ Sin forma anidada f 4 4 3 4 2 24 4 64 16 8 4 60. Se tienen que realizar 6 multiplicaciones y 3 sumas algebraicas. ▪ Con forma anidada f 4 4 14 2 4 4 60. Se tienen que realizar 2 multiplicaciones y 3 sumas algebraicas. Solución: f 4 4 4 6 64 4 4 4 2 16 f 4 16384 16384 16 16 0 Como f 4 0 concluimos por el teorema del factor que x 4 es un factor de la función polinomial f x 4x 6 64x 4 x 2 16. Pero también f 4 0 porque f es una función par. 1 2 3 4 5 6 7 1 2 1000 f x 4x 6 64x 4 x 2 16 3 4 5 6 7 2000 1000 2000 y x

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328 pág. 3.12.3 Raíces de una ecuación polinómica Los ceros reales de una función polinomial f son las soluciones reales si las hay de la ecuación polinómica f x 0 y gráficamente representan las intersecciones de f con el eje X. Ya hemos visto la importancia de localizar los ceros para construir la gráfica de una función polinomial. Sin embargo en la mayoría de los casos los ceros de una función polinomial son difíciles de encontrar ya que no hay fórmulas sencillas disponibles como en el caso de la ecuación cuadrática. Para encontrar los ceros de una función polinomial se dispone de otros teoremas: del número de ceros regla de los signos de Descartes de los ceros racionales y el teorema fundamental del álgebra. Una función polinomial no puede tener más ceros que el valor de su grado. Teorema 3.6 Teorema del número de ceros La demostración está basada en el teorema 3.5. Si r es un cero de una función polinomial f entonces f r 0 y x r es un factor de f x por lo tanto cada cero corresponde a un factor de grado 1. El resultado es consecuencia de que f no puede tener más factores de primer grado que el valor de su grado. Sea f una función polinomial: ▪ El número de ceros positivos de f es igual al número de variaciones en el signo de los coeficientes de f x o es igual que ese número menos un entero par. ▪ El número de ceros negativos de f es igual al número de variaciones en el signo de los coeficientes de f x o es igual que ese número menos un entero par. Teorema 3.7 Regla de los signos de Descartes Utilice la regla de los signos de Descartes para determinar cuántos ceros positivos y negativos puede tener la función polinomial f x x 3 2x 2 5x 6 x . Ejemplo 3.47 Regla de los signos de Descartes. La ventaja de evaluar un polinomio que está en forma anidada es que se evita realizar la potenciación de un número lo que en una calculadora o computadora puede causar graves errores de redondeo. Además las computadoras pueden realizar la suma mucho más rápido que la multiplicación y la forma anidada necesita de menos multiplicaciones que la forma ordinaria de un polinomio.

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 329 pág. Aunque realmente no hemos encontrado los ceros en este ejemplo sabemos algo acerca de su número y cuántos podrían ser positivos o negativos. El siguiente teorema proporciona información acerca de los ceros racionales de un polinomio con coeficientes enteros. Sea f una función polinomial de grado 1 o superior de la forma: f x a n x n a n 1 x n 1 ... a 1 x a 0 a n ≠ 0 a 0 ≠ 0 donde cada coeficiente es un entero. Si p q irreducible es un cero racional de f entonces p debe ser un factor de a 0 y q un factor de a n . Teorema 3.8 Teorema de los ceros racionales Utilice el teorema de los ceros racionales para determinar las posibles raíces de la función polinomial f x x 3 2x 2 5x 6 x . Solución: a 0 6 p 1 2 3 6 a n 1 q 1 p q 1 2 3 6 son las posibles raíces. Probando para los primeros valores con el teorema del residuo: ▪ f 1 1 2 5 6 8 0 ▪ f 2 8 8 l0 6 0 Con el último valor y aplicando la división sintética: Ejemplo 3.48 Teorema de los ceros racionales. f x x 3 2x 2 5x 6. Tiene una variación de signo por lo tanto puede tener una raíz positiva. f x x 3 2 x 2 5 x 6 x 3 2x 2 5x 6 tiene dos variaciones de signo por lo tanto puede tener dos raíces negativas o ninguna. 1 2 5 6 2 8 6 2 1 4 3 0

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330 pág. La ventaja de utilizar este teorema es que se reduce la cantidad de posibles raíces a un conjunto de menor cardinalidad por lo que hay que probar para cada posible cero. Note que puede ocurrir que no hayan ceros racionales. Determinar las raíces de la función polinomial f x x 4 x 3 6x 2 4x 8 x . Solución: Con el teorema del número de ceros como f es de grado 4 tiene cuando más 4 raíces. Mediante la regla de los signos de Descartes: ▪ f x x 4 x 3 6x 2 4x 8 las dos variaciones de signo indican que pueden haber dos raíces positivas o ninguna. Ejemplos 3.49 Ceros de una función polinomial. Con lo cual la función puede ser expresada así: f x x 2x 2 4x 3 Factorizando: f x x 2x 1x 3. Las raíces son: 2 1 3. La gráfica de f sería: 1 2 3 4 5 6 7 1 2 f x x 2x 1x 3 3 4 5 6 7 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 y x

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 331 pág. Con lo cual la función puede ser expresada así: f x x 2x 3 x 2 4x 4 Factorizando: f x x 2 x 3 x 2 4x 4 f x x 2 x 2 x 1 4x 1 f x x 2 x 2 4x 1 f x x 2 2 x 2x 1 x . Las raíces son: 2 de multiplicidad 2 1 y 2 cada una de multiplicidad 1. ▪ f x x 4 x 3 6 x 2 4 x ฀ 8 x 4 x 3 6x 2 4x 8 las dos variaciones de signo indican que pueden haber dos raíces negativas o ninguna. Aplicando el teorema de los ceros racionales restringimos el conjunto de valores posibles: ▪ a 0 8 p 1 2 4 8 ▪ a n 1 q 1 ▪ p q 1 2 4 8 son las posibles raíces racionales. Probando para los primeros valores con el teorema del residuo: ▪ f 1 1 1 6 4 8 6 0 ▪ f 2 16 8 24 8 8 0 Con el último valor y aplicando la división sintética: 1 1 6 4 8 2 2 8 8 2 1 1 4 4 0

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332 pág. 3.13 Funciones Exponenciales Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Identificar los elementos que definen una función exponencial. Dada una función exponencial discutir sus características y el efecto de su base sobre éstas. Dada la gráfica de la función exponencial creciente o decreciente estándar construir otras gráficas aplicando técnicas de graficación. Dadas las condiciones de un problema real resolverlo con la ayuda de una función exponencial. El estudio realizado hasta ahora ha contemplado solamente funciones relativamente simples como las polinomiales y racionales es decir las denominadas funciones algebraicas que pueden expresarse en términos de sumas restas productos cocientes potencias o raíces de polinomios. Las funciones que no son algebraicas se denominan trascendentes trascienden esto es están más allá de las funciones algebraicas. En esta sección analizaremos la primera función trascendente la cual se denomina función exponencial que es muy importante en matemáticas porque permite describir crecimientos o decrecimientos en distintas situaciones de la vida diaria. Muchos de los problemas con los que nos encontramos están relacionados con las poblaciones y sus cambios a través del tiempo. A todos nos conciernen los problemas asociados con el crecimiento de la población mundial. Nuestros suministros de alimentos se ven afectados por el crecimiento y el comportamiento de las bacterias las langostas y los roedores. Incluso las poblaciones inanimadas nos afectan los virus informáticos se propagan causando mucho daño al eliminar o alterar información de la computadora. Las cantidades decrecientes de sustancias radioactivas provocan problemas de almacenamiento y pérdidas con los consiguientes resultados medioambientales mientras que el agotamiento de los recursos naturales causa otros problemas. De manera similar pero de una forma más favorable el incremento de dinero en una cuenta bancaria nos puede proporcionar recursos para enriquecer nuestras vidas. El crecimiento exponencial es el concepto matemático fundamental que hay detrás del crecimiento o decrecimiento de estas magnitudes y es importante saber cómo se modelan estas relaciones para analizar y resolver problemáticas del mundo real.

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 333 pág. Se conoce como función exponencial a la función f de variable real cuya regla de correspondencia es: f x a x a a ≠ 1 Definición 3.27 Función Exponencial En esta definición considere que a representa la base y x el exponente. Con el propósito de tener una idea de cómo luce la gráfica de una función exponencial vamos a analizar los diferentes valores que puede tomar la base a es decir cuando a 1 o cuando 0 a 1. a 1 Si consideramos un valor en este intervalo por ejemplo a 2 tendremos la siguiente tabla de valores: x ∞ ... 3 2 1 0 1 2 3 ... ∞ f x 0 ... 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 ... ∞ La representación gráfica de esta función exponencial se encuentra en la figura 3.22. Figura 3.22: Gráfica de f x 2 x . 1 2 3 1 2 3 4 1 1 2 3 4 f x 2 x y x

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334 pág. Si consideramos otro valor para a en este mismo intervalo por ejemplo a 3 notaremos un comportamiento similar. Lo mismo ocurre para a 5 o a 10. Figura 3.23: Funciones Exponenciales Crecientes. Si observamos con mucha atención las gráficas de la figura 3.23 notaremos que están definidas para todos los reales su rango es son inyectivas estrictamente crecientes intersecan al eje Y en el punto 0 1 y están acotadas inferiormente por y 0. Cuando x 0 y el valor de a se incrementa la función exponencial experimenta un alargamiento vertical. Cuando x 0 y el valor de a se incrementa la función exponencial experimenta una compresión vertical. 0 a 1 Si consideramos un valor en este intervalo por ejemplo a 1 2 tendremos la siguiente tabla de valores: x ∞ ... 3 2 1 0 1 2 3 ... ∞ f x ∞ ... 8 4 2 1 1 2 1 4 1 8 ... 0 La representación gráfica de esta función exponencial se encuentra en la figura 3.24. 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 2 3 4 f x 2 x f x 3 x f x 5 x f x 10 x y x 5

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 335 pág. Figura 3.24: Gráfica de f x 1 2 x . Si consideramos otro valor para a en este mismo intervalo por ejemplo a 1 3 notaremos un comportamiento similar. Lo mismo ocurre para a 1 5 o a 1 10 . Figura 3.25: Funciones Exponenciales Decrecientes. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 3 4 5 6 f x 1 2 x f x 1 5 x f x 1 10 x f x 1 3 x y x 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 f x 1 2 x y x

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336 pág. Si observamos con mucha atención las gráficas de la figura 3.25 notaremos que están definidas para todos los reales su rango es son inyectivas estrictamente decrecientes intersecan al eje Y en el punto 0 1 y están acotadas inferiormente por y 0. Cuando x 0 y el valor de a disminuye la función exponencial experimenta una compresión vertical. Cuando x 0 y el valor de a disminuye la función exponencial experimenta un alargamiento vertical. Grafique la función f x 1 2 x 1 x e indique sus características. Solución: ▪ Paso 1: Identificamos la función original: f x 2 x . ▪ Paso 2: Desplazamos la función original una unidad hacia la izquierda. ▪ Paso 3: Reflejamos esta última función con respecto al eje X. ▪ Paso 4: Desplazamos esta función reflejada una unidad hacia arriba. Ejemplo 3.50 Función exponencial. Paso 1: 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 f x 2 x y x

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 337 pág. f x 1 2 x 1 tiene las siguientes características: ▪ dom f ▪ rg f ฀ ∞ 1 ▪ Inyectiva estrictamente decreciente acotada superiormente por y 1. ▪ Intersección con el eje X: 1 0. ▪ Intersección con el eje Y: 0 1. Paso 2: 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 f x 2 x 1 y x Paso 3: f x ฀ 2 x 1 1 2 1 2 3 4 5 1 1 2 3 y x Paso 4: 1 2 1 1 2 3 4 5 1 2 3 f x 1 2 x 1 y 1 y x

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338 pág. 3.13.1 Función Exponencial Natural En la definición de la función exponencial se dijo que la base podía ser cualquier número real positivo distinto de 1 pero hay algunas bases que se utilizan con mayor frecuencia. Por ejemplo las bases 2 y 10 son utilizadas en algunas aplicaciones y quizás la más importante de todas sea el número irracional e. El número e se define como el valor al que tiende la expresión 1 n 1 n cuando n tiende a ∞: n 1 1 1 1 2 n 2 1 2 1 2 2.25 n 3 1 3 1 3 2.3 n 4 1 4 1 4 2.441 n 5 1 5 1 5 2.488 . . . lim 1 n 1 n e 2718281828459045235602874... El número 1 e también es irracional su valor es: 0367879441171442321595523... La función exponencial natural es la función f: cuya regla de correspondencia es f x e x . Bosqueje la gráfica de f x e |x| 2 e indique sus características. Solución: La gráfica de la función se puede obtener mediante los siguientes pasos: Paso 1: Se grafica la función primitiva f x e x . Ejemplo 3.51 Función exponencial natural. n ฀ ∞ f x e x y x 1 2 3 4 5 1 2 3 1 2 3 4

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 339 pág. Paso 2: Se grafica la función f x e x reflexión cuando x 0 de f x e x con el eje Y . f x e x 2 tiene las siguientes características: ▪ dom f . ▪ rg f 2 3. ▪ f es par. ▪ Creciente en . ▪ Decreciente en . ▪ Asíntota horizontal en y 2. ▪ Acotada superiormente por la recta y 3. Paso 3: Se grafica la función f x e x 2 desplazamiento de 2 unidades hacia arriba. f x e x y x 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 1 2 f x e x 2 y x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3

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340 pág. Ejemplo 3.52 Aplicación de la función exponencial. Un elemento radioactivo decae de modo que después de t días su masa en miligramos está dada por: Nt N 0 e t t 0 donde N 0 es la masa inicial en miligramos y es la constante de decaimiento que depende del elemento particular que se trate. Si N 0 100 miligramos y 0.5 determine: a La cantidad de miligramos que están presentes inicialmente. b La cantidad de miligramos que están presentes después de 2 días. c La gráfica de la función Nt. Solución: a La cantidad inicial del elemento se da cuando t 0 por lo tanto debemos evaluar N0 cuyo resultado es 100 miligramos. b Después de 2 días debemos evaluar N2 100e 0.52 100e 1 1000.3679 36.79 miligramos. c Puesto que la variable t representa la variación del tiempo debemos considerar que su dominio es t 0. La gráfica de la función Nt sería: 1 2 3 4 5 36.79 100 Nt 100e 0.5t N t En una comunidad la propagación de cierto virus de influenza fue tal que t semanas después de su brote nt personas se habían contagiado en base a la siguiente expresión: Ejemplo 3.53 Aplicación de funciones exponenciales. a ¿Cuántas personas tenían la influenza al momento del brote b ¿Cuántas personas contrajeron la enfermedad después de 1 semana Solución: a Debemos evaluar nt en t 0 así: nt 45 000 1 224e t

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 341 pág. n0 45 000 1 224e 0 n0 45 000 1 224 n0 45 000 225 200 Con lo que se concluye que 200 personas habían contraído la enfermedad en el momento del brote. b Debemos ahora evaluar nt en t 1 así: n1 45 000 1 224e 1 n1 45 000 1 224 0.36 n1 551.20 Con lo que aproximadamente 551 personas habían contraído la enfermedad después de 1 semana. 3.14 Funciones Logarítmicas Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Identificar los elementos que definen una función logarítmica. Dada una función logarítmica discutir sus características y el efecto de su base sobre éstas. Dada la gráfica de la función logarítmica creciente o decreciente estándar construir otras gráficas aplicando técnicas de graficación. Resolver ecuaciones e inecuaciones exponenciales analítica o gráficamente. Resolver ecuaciones e inecuaciones logarítmicas analítica o gráficamente. Dada una función biyectiva que involucre a las funciones exponencial o logarítmica encontrar la regla de correspondencia de su inversa. La inversa de la función exponencial se la conoce como la función logarítmica la cual será estudiada en la siguiente sección.

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342 pág. Otra función trascendente es la denominada función logarítmica. Hoy en día los computadores y las calculadoras han tomado el rol de los cálculos logarítmicos pero todavía esta teoría de los logaritmos es muy relevante cuando se trata de las matemáticas puras y sus aplicaciones en los estudios de las ciencias naturales. Napier fue un hacendado escocés para quien las matemáticas eran un pasatiempo. Se lo conoce principalmente como el inventor de los logaritmos. Publicó su trabajo en 1614 bajo el título “A Description of Marvelous Rule of Logarithms” Una descripción de la regla maravillosa de los logaritmos. La palabra logaritmos proviene de la palabra griega compuesta por logos que significa relación y arithmos que significa número. Fue el inglés Henry Briggs un amigo de Napier quien comenzó a usar los logaritmos en base 10. Briggs escribió acerca de su nuevo descubrimiento: “...Los logaritmos son números que se descubrieron para facilitar la solución de los problemas aritméticos y geométricos a través de esto se evitan todas las complejas multiplicaciones y divisiones transformándolo a algo completamente simple a través de la substitución de la multiplicación por la adición y la división por la sustracción. Además el cálculo de las raíces se realiza también con gran facilidad... ”. Los logaritmos pasaron a ser una herramienta muy valorada en especial entre los astrónomos. Laplace se refiere a esto con la frase: “...Los logaritmos han duplicado la vida de los astrónomos...”. Se conoce como función logarítmica a la función f de variable real cuya regla de correspondencia es: f x log a x x 0 a + a ≠ 1 Definición 3.28 Función Logarítmica En esta definición a representa la base y x el argumento. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial por lo que se puede afirmar que: f x a x ฀ f 1 x log a x f x log a x f 1 x a x Con el propósito de tener una idea de cómo luce la gráfica de una función logarítmica vamos a analizar los valores que puede tomar la base a es decir cuando a 1 o cuando 0 a 1 análisis similar al que realizamos para la función exponencial.

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 343 pág. a 1 Con a 2 se obtuvo la siguiente tabla de valores para la función exponencial f x 2 x : x ฀ ∞ ... 3 2 1 0 1 2 3 ... ฀ ∞ f x 0 ... 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 ... ฀ ∞ La función logarítmica correspondiente a esta función exponencial sería f x log 2 x y su tabla de valores sería: x 0 ... 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 ... ∞ f x ฀ ∞ ... 3 2 1 0 1 2 3 ... ∞ La representación gráfica de esta función logarítmica se encuentra en la figura 3.26. Figura 3.26: Gráfica de f x log 2 x. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 1 2 3 f x log 2 x y x

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344 pág. Si consideramos otro valor para a en este mismo intervalo por ejemplo a 3 notaremos un comportamiento similar. Lo mismo ocurre para a 5 o a 10. Si observamos con mucha atención las gráficas de la figura 3.27 notaremos que están definidas para todos los reales positivos su rango es son inyectivas estrictamente crecientes intersecan al eje X en el punto 1 0 y la recta x 0 es una asíntota vertical. Figura 3.27: Funciones Logarítmicas Crecientes. 0 a 1 Con a 1 2 se obtuvo la siguiente tabla de valores para la función exponencial f x 1 2 x : x ฀ ∞ ... 3 2 1 0 1 2 3 ... ∞ f x ∞ ... 8 4 2 1 1 2 1 4 1 8 ... 0 La función logarítmica correspondiente a esta función exponencial sería f x log 1 2 x y su tabla de valores sería: x 0 ... 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 ... ฀ ∞ f x ∞ ... 3 2 1 0 1 2 3 ... ฀ ∞ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 1 2 3 f x log 10 x f x log 5 x f x log 3 x f x log 2 x ฀ y x

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 345 pág. La representación gráfica de esta función logarítmica se encuentra en la figura 3.28. Figura 3.28: Gráfica de f x log 1 2 x. Si consideramos otro valor para a en este mismo intervalo por ejemplo a 1 3 notaremos un comportamiento similar. Lo mismo ocurre para a 1 5 o a 1 10 . Figura 3.29: Funciones Logarítmicas Decrecientes. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 1 2 3 f x log 1 2 x y x 1 2 3 1 2 3 y x 1 2 3 4 5 6 7 8 f x log 1 10 x f x log 1 5 x f x log 1 3 x f x log 1 2 x

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346 pág. 3.14.1 Función Logaritmo Natural Si la base de una función logarítmica es el número e entonces tenemos la función logaritmo natural. Esta función se presenta con tal frecuencia que tiene asignado un símbolo especial ln del latín logarithmus naturalis. 3.14.2 Función Logaritmo Común Cuando no se especifica base alguna debemos suponer que la función logarítmica tiene base 10. A estos logaritmos se los conoce como comunes ya que era frecuente utilizarlos para propósitos de cómputos antes de la época de calculadoras. La notación a seguir en este libro será: ▪ ln x para log e x ▪ log x para log 10 x Grafique la función f x ln x ฀ 2 2 x 2 e indique sus características. Solución: Ejemplo 3.54 Función Logarítmica. ▪ Paso 1 : Identificamos la función original: f x ln x. ▪ Paso 2 : Desplazamos la función original dos unidades hacia la derecha. ▪ Paso 3 : Realizamos la composición entre la función valor absoluto y la función logarítmica lo cual significa conservar los valores positivos de f y reflejar con respecto al eje X sus valores negativos. ▪ Paso 4 : Desplazamos esta última función dos unidades en Y hacia arriba. Paso 1: 1 2 3 4 1 2 1 2 f x ln x x y Si observamos con mucha atención las gráficas de la figura 3.29 notaremos que están definidas para todos los reales positivos su rango es son inyectivas estrictamente decrecientes intersecan al eje X en el punto 1 0 y la recta x 0 es una asíntota vertical.

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 347 pág. Paso 2: Paso 3: Paso 4: 1 2 3 4 5 6 1 2 1 2 f x ln x 2 y x 1 2 3 4 5 6 1 2 1 2 f x ln x 2 y x 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 f x ln x ฀ 2 2 x y

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348 pág. f x ln x 2 2 tiene las siguientes características: ▪ dom f 2 ฀ ∞. ▪ rg f 2 ฀ ∞. ▪ Decreciente en 2 3. ▪ Creciente en 3 ฀ ∞. ▪ Acotada inferiormente en y 2. ▪ Asíntota vertical: x 2. Bosqueje la gráfica de la función f x log 1 2 2 x e indique sus características. Solución: Aplicando propiedades del valor absoluto f x log 1 2 x 2 . Paso 1: Identificamos la función original: f x log 1 2 x. Ejemplo 3.55 Funciones logarítmicas. Paso 2: Reflejamos la gráfica de f cuando x 0 con respecto al eje Y para obtener log 1 2 x . f x log 1 2 x 1 1 2 2 3 4 5 6 1 1 2 3 3 4 x y

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 349 pág. Paso 3: Desplazamos la gráfica de f 2 unidades hacia la derecha para obtener f x log 1 2 x 2 log 1 2 2 x . f x log 1 2 2 x tiene las siguientes características: ▪ dom f 2. ▪ rg f . ▪ Estrictamente creciente en ฀ ∞ 2. ▪ Estrictamente decreciente en 2 ฀ ∞. ▪ Asíntota vertical y eje de simetría en x 2. f x log 1 2 x 1 1 2 2 3 4 5 6 1 1 2 3 3 4 7 2 3 4 5 6 7 y x f x log 1 2 2 x 1 1 2 2 3 4 5 6 2 3 3 4 7 3 1 1 2 y x

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350 pág. La función Pt 1581 e 0.00lt relaciona el crecimiento de una población de conejos de una isla con el tiempo t transcurrido en días. a ¿Cuándo la población sobrepasará los 100 conejos b ¿Cuál es el máximo número de integrantes que puede tener esta población de conejos Explique. Solución: Ejemplo 3.56 Aplicación de funciones exponenciales. a Necesitamos hallar el valor mínimo de t cuando Pt 100 es decir: 1581 e 0.00lt 100 1 e 0.00lt 0.632911 e 0.00lt 0.367089 e 0.00lt 0.367089 Aplicando logaritmo natural a ambos miembros y tomando ln 0.367089 1 0.001t 1 Despejando t: t 1 000 Con lo que concluimos que cuando el tiempo transcurrido sea mayor que 1 000 días la población sobrepasará los 100 conejos. b Realizaremos un bosquejo de la gráfica de Pt : 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 20 40 60 80 100 120 140 160 180 P t 1581 e 0.00lt P t

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 351 pág. Como se puede apreciar en la gráfica a medida que t aumenta la población de conejos también se incrementa pero ésta no sobrepasará los 158 conejos ya que la recta y 158 constituye una asíntota horizontal lo cual como se recordará significa que el lim t ฀ ∞ Pt 158. De aquí que el número máximo de integrantes que puede tener esta población de conejos será de 158. Sea f una función de variable real cuya función inversa tiene la siguiente regla de correspondencia: Ejemplo 3.57 Inversa de funciones exponenciales y logarítmicas. f 1 x 2 2 x x 0 log 2 x 2 x 0 Determine la regla de correspondencia de f. Solución: Aplicando la definición: f 1 o f x 2 2 f x f x 0 log 2 f x 2 f x 0 Debido a que f 1 o f x x tenemos que: Si f x 0 2 2 f x x Despejando f x: 2 x 2 f x log 2 2 x log 2 2 f x f x log 2 2 x f x log 1 2 2 x Si f x 0 log 2 f x 2 x Despejando f x: 2 x f x 2 f x 2 x 2

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352 pág. 3.14.3 Propiedades de los logaritmos Los logaritmos tienen algunas propiedades muy útiles que se pueden deducir en forma directa a partir de su definición y las leyes de los exponentes. Demostraciones: Propiedad III a log a M M Sea x log a M a x M Cambiando la expresión logarítmica por la exponencial equivalente. a log a M M Reemplazando x. Propiedad V log a MN log a M log a N Sea x log a M y log a N a x M a y N Cambiando las expresiones logarítmicas por las exponenciales equivalentes. a x a y MN Efectuando el producto. log a a x y log a MN Aplicando logaritmo en base a. x y log a MN Utilizando la propiedad IV. log a M log a N log a MN Reemplazando x e y. I log a 1 0 a 0 1 1 ฀ ∞ II log a a 1 a 0 1 1 ฀ ∞ III a log a M M a 0 1 1 ฀ ∞ M 0 IV log a a M M a 0 1 1 ฀ ∞ M V log a MN log a M log a N a 0 1 1 ฀ ∞ M 0 N 0 VI log a M N log a M log a N a 0 1 1 ฀ ∞ M 0 N 0 VII log a 1 N ฀ log a N a 0 1 1 ฀ ∞ N 0 VIII log a M log a M a 0 1 1 ฀ ∞ M 0 IX log a M log b M log b a a b 0 1 1 ฀ ∞ M 0

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 353 pág. Escriba la siguiente expresión 21 log 3 3 x log 3 x 2 log 5 25 como un único logaritmo. Solución: Ejemplo 3.58 Propiedades de logaritmos. 21 1 3 log 3 x 2log 3 x ฀ 2log 5 5 Aplicando la propiedad VIII. 7log 3 x 2log 3 x 2log 5 5 Simplificando. 9log 3 x 2 Aplicando la propiedad II. 9log 3 x log 3 9 Aplicando la propiedad IV. log 3 x 9 9 Aplicando las propiedades VI y VIII. Determine el valor de la expresión: Ejemplo 3.59 Expresiones Logarítmicas. Solución: Si a ≠ 1 a 0 b 0 y log a b 3 determine el valor de log 1 b a 3 b 2 . Solución: Aplicando la propiedad de cambio de base se obtiene: Ejemplo 3.60 Expresiones Logarítmicas. log 1 b a 3 b 2 log a a 3 b 2 log a 1 b log a a 3 log a b 2 log a b 3 2log a b log a b ln e 1 2 log 5 25 log 1 5 25 1 3 log 10 1 2 log 2 1 2 4 ln e 1 6 1 2 ฀ 2 ฀ 1 3 ฀ 2 1 2 ฀ 4 1 ฀ 1 6 3 12 4 6 3 24 1 6 13 26 1 2 ln e 1 2 log 5 25 log 1 5 25 1 3 log 10 1 2 log 2 1 2 4 ln e 1 6

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354 pág. Un químico puede determinar la acidez o basicidad de una solución acuosa a temperatura ambiente encontrando el pH de la solución. Para hacer esto primero debe determinar la concentración de iones de hidrógeno en moles/litro. El símbolo H se establece para esta concentración. El pH entonces está dado por: pH log H Si pH 7 la solución es ácida. Si pH 7 la solución es neutra. Si pH 7 la solución es básica. Determine el pH del vinagre con H 3 x 10 4 considere log3 0.477. Solución: Reemplazamos el valor H 3 x 10 4 en la fórmula del pH y encontramos que pH log 3 x 10 4 log3 log10 4 log3 4log 10 ฀ 0.477 ฀ 4 3.523 moles/litro. Por lo tanto el vinagre es una solución ácida. Ejemplo 3.61 Aplicación de logaritmos. Reemplazando log a b 3 se obtiene: log 1 b a 3 b 2 3 6 3 1 3.14.4 Ecuaciones e inecuaciones exponenciales Las igualdades o desigualdades que contienen términos de la forma a x se denominan ecuaciones o inecuaciones exponenciales. Por ejemplo 2 2x 16 es una ecuación exponencial y 25 x 2 5 3x 4 es una inecuación exponencial. Estas expresiones exponenciales pueden incluirse en predicados considerando para su solución el conjunto de los números reales como referencial. Sea Re y px : 4 2x 4 x 2 0 determine Apx. Solución: u 4 x Realizando cambio de variable. u 2 u 2 0 Reemplazando. u ฀ 2u 1 0 Factorizando. u 2 u 1 Despejando para la variable u. Ejemplo 3.62 Ecuaciones exponenciales.

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 355 pág. 4 x 2 4 x 1 Reemplazando por la variable original. x log 4 2 x log 4 1 Aplicando logaritmos. 0 Encontrando los valores de x. Verificando: p0: 4 0 4 0 ฀ 2 1 1 2 0 p 0 ≡ 1 Luego Apx 0 Sea Re y px: 32 x 3 192 3 x 3 determine Apx. Solución: 32 x 3 192 3 x ฀ 3 32 x 2 3 2 6 33 x 3 3 Aplicando ley de exponentes. 2 x 2 3 3 3 x 2 6 3 2 Efectuando productos y simplificando. 2 x 3 x 2 3 3 3 Agrupando términos semejantes. 2 3 3 2 3 x Aplicando ley de exponentes. x 3 Determinando el valor de x. Verificando: p 3: 32 6 1923 0 192 192 p 3 ≡ 1 Luego Apx 3. Ejemplo 3.63 Ecuaciones exponenciales. Sea Re y px: e x 16e x 2 0 determine Apx. Solución: e x 16e x 2 0 Ejemplo 3.64 Ecuaciones exponenciales.

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356 pág. p ln1 17 : e ln1 17 16e ln1 17 2 0 : e ln1 17 16e ln1 17 1 2 0 :1 17 161 17 1 2 0 :1 17 16 1 17 2 0 :1 17 2 16 21 17 0 :1 2 17 + 17 16 2 2 17 0 :18 18 0 p ln1 17 1 Con lo que se concluye que Apx ln 1 17 . Sea Re y px: 4 2x 3 5 x 2 x determine Apx. Solución: 4 2x 3 5 x 2 2x 3 log4 x 2 log5 Aplicando logaritmos de base 10 a ambos miembros de la igualdad. 2x log4 3 log4 x log5 2 log5 Resolviendo los productos. 2x log4 x log5 2 log5 3 log4 Agrupando términos semejantes. x2 log4 log5 2log5 3 log4 Factorizando. xlog16 log5 log25 log64 Aplicando la propiedad VIII de logaritmos. Ejemplo 3.65 Ecuaciones exponenciales. e x 16 e x 2 0 Aplicando ley de exponentes. e 2x 16 2e x e x 0 Obteniendo el m.c.m. e 2x – 2e x 16 0 Expresando la ecuación exponencial. u e x Haciendo un cambio de variable. u 2 – 2u 16 0 Planteando una ecuación cuadrática. 2 4 4 1 16 2 u Resolviendo la ecuación en términos de u. 2 68 2 u Expresando las soluciones en términos de u. u 1 17 u 1 17 Expresando las soluciones en términos de x. e x 1 17 e x 1 17 Despejando x. x ln1 17 x ln1 17 Como se puede observar la solución x ln1 17 no está definida en por lo que procedemos a verificar la otra solución:

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 357 pág. Al resolver inecuaciones exponenciales o logarítmicas se aplican las siguientes propiedades con para el caso exponencial e + para el caso logarítmico. x 1 x 2 a 1 x 1 x 2 a x 1 a x 2 ฀฀ log a x 1 ฀ log a x 2 x 1 x 2 0 a 1 x 1 x 2 a x 1 a x 2 ฀ log a x 1 ฀ log a x 2 x log 16 5 log 25 64 Aplicando la propiedad VI de logaritmos. x log 16 5 log 25 64 Despejando x. Verificando: p log 16 5 log 25 64 : 4 5 log 64 25 log 5 16 2 3 log 64 25 log 5 16 2 : 4 5 2log 64 25 3log 5 16 log 5 16 log 64 25 2log 5 16 log 5 16 : 4 5 log 64 25 2 log 5 16 3 log 5 16 log 64 25 log 5 16 2 log 5 16 : 4 5 log 4 6 5 4 log 5 3 4 6 log 5 4 2 log 4 3 5 2 log 5 2 4 4 log 5 4 2 : 4 5 log 4 6 5 3 5 4 4 6 log 5 4 2 log 4 3 5 2 5 2 4 4 log 5 4 2 Con lo cual se concluye que: Apx log 16 5 log 25 64 : log4 log5 log 5 log 5 4 2 log 4 log 5 4 2 : log 4 log 5 p 1 log 16 5 log 25 64 log5 log 4 2 5 log 4 log 4 2 5

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358 pág. Sea Re y px: 3 x 1 243 determine Apx. Solución: 3 x 1 3 5 Reemplazando 243 por su equivalente exponencial. x 1 5 Aplicando logaritmo en base 3. x 4 Despejando la incógnita x. Apx x/x 4 Encontrando los valores de x. Ejemplo 3.66 Inecuaciones exponenciales. Sea Re px: e 2x 1 0 y qx: sgne x 1 1 determine A px qx. Solución: Primero analizamos el predicado px. px: e 2x 1 0 Empleando la definición de función escalón tenemos que: e 2x 1 0 e 2x 1 0 Luego e 2x 1 Analizando la gráfica de la función f x e 2x tenemos: Ejemplo 3.67 Inecuaciones exponenciales. Con lo que se puede determinar que no existe valor alguno en x para el cual e 2x sea menor o igual que 1 luego Apx . En segunda instancia analizamos el predicado qx. qx: sgne x 1 1 f x e 2x 0.5 1 2 1 0.5 1 3 4 1 y x

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 359 pág. Empleando la definición de función signo tenemos que: sgne x 1 1 e x 1 0 Luego: e x 1. Analizamos la gráfica de la función e x : 3.14.5 Ecuaciones e inecuaciones logarítmicas Las igualdades o desigualdades que contienen términos de la forma log a x se denominan ecuaciones o inecuaciones logarítmicas. Por ejemplo 3lnx 2 1 es una ecuación logarítmica y log 2 3x 2 5 es una inecuación logarítmica. Sea Re y px: lnx ln 3x 1 1 determine Apx. Solución: lnx ln 3x 1 1 Llevando los logaritmos al miembro izquierdo. ln x 3x 1 1 Aplicando el logaritmo de una división. Ejemplo 3.68 Ecuaciones logarítmicas. Con lo que se puede determinar que e x es mayor que 1 cuando x 0 luego Aqx 0 ฀ ∞. Por lo tanto: A px qx A C px Aqx 0 ฀ ∞ A px qx f x e x 0.5 1 2 1 0.5 3 4 1 1.5 2 1.5 x y

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360 pág. e x 3x 1 Aplicando el cambio a la forma exponencial. x e 1 3e Despejando la incógnita x. Note que e 1 3e es un valor negativo. Apx Sea Re y px: log 2 x 2 1 log 1/2 x 1 determine Apx. Solución: log 2 x 2 1 log 1/2 x 1 log 2 x 2 1 log 2 x 1 Aplicando la propiedad IX de logaritmos. log 2 x 2 1 log 2 x 1 0 Simplificando. log 2 x 2 1x 1 0 Aplicando la propiedad V de logaritmos. x 2 1x 1 1 Cambiando la expresión logarítmica a exponencial. x 3 x 2 x 1 1 Efectuando el producto. x 3 x 2 x 0 Reduciendo términos y factorizando. xx 2 x 1 0 Simplificando. x 0 x 2 x 1 0 Resolviendo la ecuación. x 0 1 5 2 x 1 5 2 x Resolviendo la ecuación cuadrática. Debe también cumplirse que x 2 1 0 y x 1 0 porque son argumentos de logaritmos. Verificando: Como se puede observar las soluciones x 0 y x 1 5 2 dan lugar a expresiones no definidas en por lo que hacemos la verificación con la solución 1 5 2 así: Ejemplo 3.69 Ecuaciones logarítmicas. 1 5 2 p : log 2 log 1/2 1 5 2 1 2 1 5 2 1

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 361 pág. Sea Re y px: 2log a x log a x 3 a 0 a 1 determine el producto de los elementos de Apx. Solución: 2log a x log a x 3 log 3 a x 2log a x 0 Elevando al cubo el logaritmo e igualando a cero. log a x log 2 a x 2 0 Factorizando. log a x 0 log 2 a x 2 Resolviendo la ecuación. Ejemplo 3.70 Ecuaciones logarítmicas. Luego Apx 1 5 2 . 1 ฀ 2 5 5 4 4 : log 2 log 1/2 1 ฀ 5 2 2 2 ฀ 2 5 4 : log 2 log 1/2 1 ฀ 5 2 1 ฀ 5 2 : log 2 log 2 1 ฀ 5 2 1 ฀ 5 2 : log 2 log 2 1 ฀ 5 2 1 1 ฀ 5 2 : log 2 log 2 1 ฀ 5 2 1 ฀ 5 2 : log 2 log 2 1 ฀ 5 2 1 ฀ 5 1 ฀ 5 1 ฀ 5 2 : log 2 log 2 1 2 5 2 2 1 ฀ 5 1 ฀ 5 2 : log 2 log 2 4 2 1 ฀ 5 1 ฀ 5 2 : log 2 log 2 1 ฀ 5 2 p 1 ฀ 5 2 1

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362 pág. log a x 0 log a x 2 Extrayendo la raíz cuadrada. x a 0 1 x a 2 Cambiando las expresiones a exponenciales. x 1 x a 2 x a 2 Determinando las soluciones. Adicionalmente debe cumplirse que x 0 porque es el argumento del logaritmo. Verificando: p1: 2log a 1 log a 1 3 0 0 p1 1 pa 2 : 2log a a 2 log a a 2 3 2 2 2 3 2 3/2 2 3/2 pa 2 1 pa 2 : 2log a a 2 log a a 2 3 2 2 2 3 2 3/2 2 3/2 pa 2 1 Por lo tanto Apx 1 a 2 a 2 y el producto de sus elementos es igual a 1. Sea Re y px: logx log x 0 determine la suma de los elementos de Apx. Solución: logx log x 0 logx 1 2 log x 1 2 0 Expresando la ecuación en forma exponencial. logx 1 2 1 2 logx 0 Aplicando la propiedad VIII. 2logx 1 2 logx 0 Multiplicando por 2. u logx 1 2 Efectuando un cambio de variable. u 2 2u 0 Resolviendo la ecuación cuadrática. uu 2 0 Despejando u. u 0 u 2 0 u 0 u 2 logx 1 2 0 log x 1 2 2 Expresando las soluciones en términos de x. logx 0 logx 4 Elevando al cuadrado cada miembro. Ejemplo 3.71 Ecuaciones logarítmicas.

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 363 pág. x 1 x 10000 Cambiando a la forma exponencial. También debe cumplirse que x 0 porque es el argumento de un logaritmo y que logx 0 por tratarse del argumento de una raíz cuadrada. Verificando: p 1: log 1 log 1 0 0 0 p1 1 p 10000: log10000 log 10000 0 log 10 4 log 10 4 0 2 2 0 0 0 p10000 1 Luego Apx 1 10000 y la suma de sus elementos es 10001. Sea Re y px: log x 3 log x 3 3 log x 81 3 0 determine Apx. Solución: log x 3 log x 3 3 log x 81 3 0 1 log 3 x log 3 x 3 1 log 3 x 81 0 Aplicando la propiedad IX de logaritmos. log 3 x 81 log 3 x log 3 x 3 0 Sumando fracciones. log 3 x log 3 3 4 log 3 x log 3 x log 3 3 0 Aplicando la propiedad VI de logaritmos. log 3 x 4 log 3 x log 3 x 1 0 Aplicando la propiedad VIII de logaritmos. log 2 3 x log 3 x log 3 x 4 0 Efectuando los productos indicados. log 2 3 x 4 0 Reduciendo términos. log 3 x 2 log 3 x 2 1 9 x 9 x Resolviendo la ecuación cuadrática. Debe también cumplirse que: Ejemplo 3.72 Ecuaciones logarítmicas.

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364 pág. Sea Re y px: log 3 2x 1 2 determine Apx. Solución: 2x 1 3 2 Reemplazando la expresión por su equivalente exponencial. 2x 8 Simplificando. x 4 Encontrando los valores de x. Debe también cumplirse que 2x 1 0 por ser argumento del logaritmo. Esto es x 1 2 . Por lo tanto Apx x/x 4. Ejemplo 3.73 Inecuaciones logarítmicas. x 0 x ≠ 1 x 3 ≠ 1 x 3 0 ≠ 1 x 81 x 81 0 porque son bases de los logaritmos. Verificando: p9: log 9 3log 3 3 log 1 9 3 1 2 1 2 0 p9 1 p 1 9 : log 1 9 3 log 1 27 3 log 1 729 3 1 6 1 6 0 p 1 9 1 Debido a que Re a pesar de que ambas soluciones satisfacen matemáticamente la ecuación sólo podemos tener la solución x 9 por ser la única solución válida en Re. Por lo tanto Apx 9. Sea Re y px: sgn log 1 2 x 2 1 determine Apx. Solución: Si aplicamos la definición de la función signo concluiremos que px se convertirá en una proposición verdadera si y sólo si: log 1 2 x 2 0. Esto es si y sólo si 0 x 2 1. La gráfica de log 1 2 x 2 nos puede resultar útil también para analizar el conjunto de verdad del predicado. Ejemplo 3.74 Inecuaciones logarítmicas.

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Capítulo 3 Funciones de una Variable Real 365 pág. A partir de la gráfica también se puede concluir que: 0 x 2 log 1 2 x 2 0 Por lo tanto Apx x/ 0 x 2. Grafique en el plano cartesiano la región representada por: a y e x 3 b y log 1 2 x 2 Solución: a Graficamos la curva f x e x 3 . Ejemplo 3.75 Inecuaciones exponenciales y logarítmicas. 0.5 1 2 1 3 4 1.5 2 2.5 f x log 1 2 x 2 x y 1 1 2 2 3 4 3 4 y x

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366 pág. Luego sombreamos la región del plano que satisface la desigualdad planteada: y e x 3 la cual incluirá todos los puntos que pertenezcan a la curva y los puntos que estén bajo ella. b Graficamos la curva y log 1 2 x ฀ 2. Luego sombreamos la región del plano que satisface la desigualdad planteada: y ฀ log 1 2 x 2 la cual comprenderá todos los puntos que pertenezcan a la curva y los puntos que estén bajo ella tomando en cuenta que la recta x 2 es una asíntota vertical. 1 1 2 2 3 4 3 4 y x 0.5 1 2 1 3 4 1.5 2 0.5 2.5 3 3.5 y x 0.5 1 2 1 3 4 1.5 2 0.5 2.5 3 3.5 y x

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367 pág. 3.1 Funciones de Variable Real 1. La gráfica de una función puede tener más de una intersección con el eje Y. a Verdadero b Falso 2. Un dominio de la función de variable real f x 1 x 5 es ฀∞ 5 ∞. a Verdadero b Falso 3. El rango de la función de variable real f x 2x ฀ 1 es ฀∞. a Verdadero b Falso CAPÍTULO TRES 3 Ejercicios propuestos 5. Determine un dominio y el rango correspondiente de las siguientes funciones de variable real: e g x 2 ฀ x 2 ฀ 1 a g x x x 1 f f x x 2 ฀ 1 x 2 ฀ 1 b h x 2x x 3 g f x 1 x ฀ 1 1 x ฀ 2 c f x 1 x 2 h h x x ฀ 1 ฀ x ฀ 2 d r x x 2 ฀ 1 4. A continuación se indican las reglas de correspondencia de varias funciones y un dominio posible. Una de las opciones no es correcta identifíquela. e f x x 1 dom f 1 ∞ d f x x 1 x 2 4 dom f 1 2 b f x x 8 ฀ x 3 ฀ x ฀ 2 3 1 dom f c f x 1 x 1 dom f 1 a f x x 1 dom f 1 ∞

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368 pág. 7. Si f es una función de variable real cuya regla de correspondencia está definida por f x 4 x 2 x 2 6x 7 un dominio de f es: a 2 2 b 7 2 1 2 c 2 1 1 2 d 2 1 ฀ 1 2 e 2 2 C 8. Sea h una función de variable real cuya regla de correspondencia es: hx ฀x ฀ 4 ฀ ฀ ฀ x ฀ 5 . Un conjunto que puede ser dominio de esta función es: a 9 9 8 4 b 1 9 2 4 c 1 9 C 2 4 d 0 9 4 e 1 9 2 4 9. Empleando una tabla de valores grafique las siguientes funciones de variable real para el dominio dado. Identifique los ejes y las divisiones utilizadas. a f x x 2 x 0 b gx x x 0 c hx x 3 2 x ฀ d rx 2 x 1 x ฀ 1 e mx 2x 2 x ฀ f gx 4 x 2 x ฀ g f x x x 0 3.2 Representación gráfica de funciones de variable real 6. Sea f una función tal que f x x 2 x con dominio igual a . El intervalo en x para el cual f x 2 es: a ฀∞ 0 2 ฀∞ b ฀∞ 1 c 2 1 d ∞ 1 2 ∞ e 1 2 10. Utilice el criterio de la recta vertical para determinar si las gráficas dadas corresponden a una función o no. En cada caso se especifica el dominio de la relación. x 0 y x I x 0 II y x

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369 pág. 12. La función f : ฀∞ 1 con regla de correspondencia f x x 2 ฀ ฀ 1 es inyectiva. a Verdadero b Falso 11. Existe alguna función que es simétrica respecto al eje X. a Verdadero b Falso 3.3 Tipos de funciones x 0 III y x x 0 a a ∞ IV y x a x V y x 3 2 1 1 2 π 2 π 3π 2 2π 0 x a VI y x a a x a y x VII a a

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370 pág. 13. Para la función f de variable real tal que f x 3x ฀ 4 2x ฀ 1 x ≠ 1/2 bosqueje una gráfica para f e identifique cuál de las siguientes proposiciones es verdadera: a f es estrictamente creciente en todo su dominio. b f contiene el punto 1 6. c f es una función impar. d f es una función inyectiva. e f es una función par. 3.4 Asíntotas de la gráfica de una función de variable real 16. Demostrar que la función g: 1 2 ∞ ฀ definida por la regla de correspondencia: gx x 2 ฀ x 1 es estrictamente creciente. 17. Demostrar que la función de variable real f x kx ฀ b es estrictamente creciente para k ฀ 0 y estrictamente decreciente para k ฀ 0. 19. La gráfica de la función de variable real f x 3x 3 ฀ 2x 2 ฀ 5 x 2 ฀ 4 tiene dos asíntotas verticales. aVerdadero b Falso 20. La gráfica de la función de variable real gx 12x ฀ 3 9x 2 ฀ ฀ 4 tiene una asíntota horizontal y dos verticales. a Verdadero b Falso 18. Si f es una función de en impar estrictamente creciente y g es una función tal que gx f x entonces el valor de 2g4 3f 4 f 4 4g 4 es: a 5/3 b 5/2 c 5/3 d 1 e 1 15. Analizar si la función dada en cada literal es par o impar: d jx 2 x x 2 e f 1 x x 2 f hx x 2 ฀ x a f x 5x x 3 b gx x 1 c hx x x 2 14. Sea f una función de en . Si se definen las funciones g y h tales que: gx f x f x y hx f x f x 2 2 es falso que: a x ฀ gx h x b h es impar c f a g a h a d g es par e g es par

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371 pág. 21. Sea f una función de variable real dada por fx 4x 2 x x 2 ฀ 1 es falso que: a La gráfica de f tiene dos asíntotas verticales. b f es monótona creciente. c La gráfica de f tiene una asíntota horizontal. d y 4 es una asíntota horizontal de la gráfica de f. e La gráfica de f interseca el eje X es dos puntos. 23. Sea g una función de variable real tal que gx 1 x 2 ฀ 1 es falso que: a g es una función par. b y 0 es una asíntota horizontal de la gráfica de g. c La gráfica de g tiene una asíntota horizontal y dos verticales. d El rango de g es el intervalo 0 1. e El dominio de g son todos los reales. 24. Para cada una de las siguientes funciones determine las asíntotas horizontales y verticales de sus gráficas si hubieren además determine los puntos de intersección con los ejes coordenados: e j x x 1 ฀ x 2 f k x x 3 x 2 ฀ 4 d i x 2x 2 9 ฀ x 2 a f x x 2 ฀ 1 x 2 ฀ 7x ฀ 8 b g x 2 x 2 ฀ 1 c h x x 2 ฀ 3x ฀ 2 x 2 ฀ 1 22. Sea h una función de variable real tal que hx 2x x 2 ฀ x ฀ 2 es verdad que: a La gráfica de h no tiene asíntotas horizontales. b La gráfica de h tiene dos asíntotas horizontales. c x 2 y x 1 son asíntotas verticales de la gráfica de h. d La gráfica de h tiene dos asíntotas verticales y una horizontal. e x 2 y x 1 son asíntotas verticales y y 2 es asíntota horizontal de la gráfica de h. 25. Determinar a b y c ฀ para que la función de variable real f x a x 2 ฀ bx ฀ c tenga la siguiente gráfica: y x 0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8 2 4 6 8 10 12 14 2 4 6 8

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372 pág. 26. Determine cuál de las siguientes funciones no tiene una gráfica en los diagramas mostrados: III h x 7x 3 42x 12x 1 I f x 1 22x 12x 1 IV rx 7x 4 42x 12x 1 II g x 7x 2 42x 12x 1 V mx 7x 2x 12x 1 3.5 Técnicas de graficación de funciones Expresar g en función de f. 27. Las gráficas siguientes representan las funciones f y g respectivamente. y f x y x 2 2 2 y gx y x 2 2 2 4 4 1.5 1 0.5 1 1.5 0.5 0.5 1 1.5 0.5 1 1.5 1.5 1 0.5 1 1.5 0.5 0.5 1 1.5 0.5 1 1.5 1.5 1 0.5 1 1.5 0.5 0.5 1 1.5 0.5 1 1.5 2 2 1.5 1 0.5 1 1.5 0.5 0.5 1 1.5 0.5 1 1.5

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373 pág. 28. Si f y g son funciones de en tal que g x f x entonces la gráfica de g es simétrica con respecto al eje Y. a Verdadero b Falso 30. Considere la función h de variable real definida por 4 ฀ 2x 2 ฀ x ฀ ฀ 0 4 ฀ 2x ฀0 ฀ x ฀ ฀ 2 0 x ฀ ฀ 2 . Entonces el valor de h 3 h0 h5 h ฀ 5π 2 h1 h 1 hπ h e es 1. a Verdadero b Falso 32. Sea una función f : tal que: f x x ฀ 4 x ฀ 6 2 x ฀ 6 una de las siguientes proposiciones es falsa identifíquela. a f es par. b 0 2 ฀ rg f c x fx 5 d x 1 x 2 ∞0 x 1 x 2 f x 1 ฀ ฀f x 2 e f es acotada. 31. Sean f y g funciones de variable real tales que: f x 2x ฀ 1 x ฀ ฀ 2 x 2 ฀ 3 x ∞ 2 gx 3 x ฀ ฀ 2 1 x ฀x 0 2 4x ฀x ∞ 0 a Determine el rango de f. b Determine el rango de g. 3.6 Funciones definidas por tramos 33.Si f es una función de en tal que f x 7 x ฀ ฀ 4 3 ฀ x ฀ 4 ฀ x ฀ 4 1 ฀x ฀ 4 entonces es verdad que: a f es una función par. b f es una función creciente. c f es una función inyectiva. d f es una función sobreyectiva. e rg f 1 7 29. Respecto a la gráfica de la función yf x que se adjunta grafique: a y f x 1 1 b y 2f 3 x c y f 2x 4 2 d y f x e y 1 2f x y f x 2 2 1 1 1 x y

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374 pág. 34. Si la gráfica de una función f de en con regla de correspondencia f x x se la desplaza dos unidades hacia arriba dos unidades hacia la izquierda y luego se la refleja con respecto al eje X obteniéndose una función g entonces g0 2. a Verdadero b Falso 35. Aplicación a la administración. El costo “C” en dólares australianos AUD del alquiler de un Bungalow por n semanas está dado por la función lineal Cn nr s donde s es el depósito de garantía costo fijo y r es el monto del alquiler semanal costo variable. Jenny alquiló el Bungalow por 12 semanas y pagó en total 2 925 AUD. Yolanda alquiló el mismo Bungalow por 20 semanas y pagó en total 4 525 AUD. Determine los valores de: a El alquiler semanal. b El depósito de garantía. 3.7 Funciones lineales 36. Aplicación a la vida diaria. En la ciudad de Guayaquil existían 1 420 médicos trabajando al 1 de enero de 1994. Después de n años el número de médicos D que trabajan en la ciudad viene dado por: Dn 1 420 100n a ¿Cuántos médicos trabajaban en la ciudad a comienzos del año 2004 b ¿En qué año hubo por primera vez más de 2 000 médicos trabajando en la ciudad 37. Aplicación a la economía. Una compañía tiene costos fijos de 2 500 y los costos totales por producir 200 unidades son de 3 300. Cada artículo se vende a 5.25. a Suponiendo linealidad escriba la ecuación de costos. b Suponiendo linealidad escriba la ecuación de ingreso I px. c Grafique costo e ingreso en un mismo sistema de coordenadas con escalas adecuadas. El punto de intersección se lo denomina punto de equilibrio de mercado determínelo algebraicamente. d ¿Cuántas unidades deberán venderse y producirse de modo que resulte una utilidad de 200 U Ingreso ฀ Costo. 38. Aplicación a la economía. El costo de producir x artículos está dado por y c 2.8x 600. a Determine algebraicamente el punto de equilibrio I C si cada artículo se vende a 4. b Graficar la función costo e ingreso en un mismo plano cartesiano identifique el punto de intersección punto de equilibrio. c Si se sabe que al menos 450 unidades se venderán ¿cuál debe ser el precio de cada artículo para garantizar que no exista pérdidas

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375 pág. 40. Vanessa quiere alquilar una sala para su recepción de bodas le dan dos posibilidades: Número de huéspedes N 10 30 50 70 90 Cargos C en £ En la que C es el cargo en £ y N el número de huéspedes. II Usando escalas adecuadas dibuje una gráfica que muestre los cargos respecto al número de huéspedes. Tome el eje horizontal para el número de huéspedes y el eje vertical para los cargos. III Escriba una expresión para C en función de N que pueda usar el ayuntamiento para calcular sus cargos. Con la información anterior discuta la mejor opción para Vanessa. II En el mismo par de ejes usados en el apartado aII dibuje la gráfica de C. a El ayuntamiento le cobrará 20£ por el uso de un salón comunal más 5£ por huésped. Número de huéspedes N 10 30 50 70 90 Cargos C en £ 39. Producción de aceite. Agrícola Palmera de Los Ríos produce aceite de palma africana tiene tanques para almacenar el aceite después de prensar. Los tanques son cilíndricos y su volumen está determinado por V Ah donde A es el área de la superficie de la base y h es la altura del tanque. Se sabe que el área de la superficie de la base del tanque es 388 m 2 y la densidad del aceite es 0.859 ton m 3 . a Si la capacidad del tanque es de 5000ton toneladas determine la altura del tanque de almacenamiento y aproxímelo al entero más cercano. b Grafique el volumen en función de la altura. Discuta acerca del dominio de esta función lineal respecto a la máxima capacidad del tanque. Agradecemos la información para este ejercicio de la Agrícola Palmera de Los Ríos especialmente a uno de sus ejecutivos el Ing. Z. Junco. I Complete la siguiente tabla correspondiente a los cargos del ayuntamiento. I Complete la siguiente tabla de los cargos impuestos por el hotel. b Un hotel local calcula sus cargos para el uso de su sala de congresos usando la siguiente expresión: C 5N 2 ฀ 500

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376 pág. 41. Si cae un objeto al suelo en Júpiter desde una altura de 25 metros la altura H en metros a la que se encuentra del suelo después de x segundos es Hx25 ฀ 16x 2 . Entonces el objeto golpea el suelo a los 1.25 segundos. a Verdadero b Falso 42. Dada la función cuadrática f : ฀ fx ax 2 bx c a b c a≠0 b 2 ฀ 4ac 0 una condición necesaria y suficiente para que el producto de sus raíces sea igual a la suma de las mismas es que: a a b b b c c a c d b c e c a 43. Dada la función g: ฀ tal que gx x 2 bx 1 b ฀ identifique cuál de las siguientes proposiciones es falsa: a dom g ฀∞ ฀∞ b b 2 4 ฀ x gx ≠ 0 c 2 ฀ b 2 4 rg g d rg g 1 ฀ b 2 4 ฀ ฀∞ e g es sobreyectiva. 44. Si f es una función de variable real tal que f x 2x 2 ฀ 3x 1 ฀ 2 entonces es verdad que: a x 1 2 ฀∞ f es creciente. b f es simétrica respecto a x3/4. c f es par. d f 1 f 1 2 0 e x ฀∞ 1 f es decreciente. 45. Si f es una función de en tal que f x x 2 x entonces es verdad que: d f decrece en ฀∞ 1 e ฀ x f es creciente. a f es par. b f es inyectiva. c rg f 0 ฀∞ 3.8 Funciones cuadráticas

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377 pág. 46. En la figura aparece parte de la gráfica de y ax h 2 k. La gráfica tiene su vértice en P y contiene el punto A1 0. Entonces es verdad que: d a ฀ h ฀ k 1/2 e h ฀ k ฀ a 0 a h ฀ k 3 b a 1/2 c a ฀ h 3/2 47. La figura a continuación muestra parte de la gráfica de una función cuadrática y ax 2 ฀ bx ฀ c. a Determine el valor de c. b Determine el valor de a. c Escriba la función cuadrática descompuesta en factores. y x 2 1 1 2 3 4 5 1 1 2 3 P A y x 8 2 6 4 2 1 1 2 3 4

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378 pág. 48. El diagrama muestra parte de la curva y ax ฀ h 2 ฀ k donde a h k ฀ . a Si el vértice está en el punto 3 1 determine los valores de h y k. b Si el punto P5 9 está sobre la gráfica demuestre que a 2. c A partir de lo anterior demuestre que la ecuación de la curva se puede escribir en la forma y 2x 2 ฀ 12x 19. 49. La gráfica de la función f x 30x 5x 2 se muestra a continuación: a Determine las coordenadas de A y B. b Determine las coordenadas de C. c Escriba la ecuación de la recta paralela al eje Y que contiene el vértice C. y x P5 9 20 15 10 5 1 1 2 3 4 5 6 7 y x C A B y fx

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379 pág. 52. Si f es una función de en tal que f x 2x 2 ฀ x ฀ k entonces los valores de k para que la gráfica de f no interseque al eje X son: a 2 b 8 ฀∞ c 1/8 ฀∞ d 1/8 e ฀∞ 0 50. El siguiente diagrama muestra parte de la gráfica de una función cuadrática g que se define por gx ax ฀ h 2 ฀ 3. Determine el valor de: a h b a 51. El siguiente diagrama muestra parte de la gráfica de una función cuadrática f x x 2 bx c que interseca el eje X en: x 2 y x 3. Determine el valor de: a b b c y x 6 1 1 y gx 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 y x y f x 5 1 1 4 3 2 1 2 3 4 5

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380 pág. 54. La demanda para los bienes producidos por una industria están dados por la ecuación p 2 x 2 169 donde p es el precio unitario y x es la cantidad demandada. La oferta está dada por p x ฀ 7. El precio de equilibrio es: a 5 b 12 c 22 d 19 e 17 56. Un objeto que se lanza hacia arriba llega a una altura de h metros pasados t segundos donde ht 30t ฀ 5t 2 . a ¿Después de cuántos segundos alcanza el objeto su altura máxima b ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto 53. Una compañía puede vender a 100 por unidad un artículo de primera necesidad que elabora. Si se producen x unidades al día el número de dólares en el costo de la producción diaria es x 2 20x 700. a Exprese el ingreso como una función de x. b Exprese la utilidad como una función de x. c Encuentre la ganancia máxima y cuántas unidades deben producirse al día para que la empresa obtenga esta ganancia. 57. El costo de producir un texto de matemáticas para cierto nivel es de 15 y se vende después por x. Si se vende un total de 100000 ฀ 4000x libros: a Determine una expresión para el beneficio utilidad obtenido por todos los libros vendidos. b A partir de lo anterior calcule el valor de x que produce un beneficio máximo. c Calcule el número de libros vendidos para producir este beneficio máximo. Longitud metros Anchura metros Área m 2 1 11 11 a 10 b 3 c 27 4 d e b Si el perímetro del rectángulo es fijo y el área es A en m 2 exprese A en función de la longitud x del rectángulo. c ¿Qué longitud y anchura tiene el rectángulo si el área es máxima 55. El perímetro de un rectángulo tiene 24 metros. a La tabla muestra algunas dimensiones posibles del rectángulo. Determine los valores de a b c d y e.

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381 pág. 3.9 Operaciones con funciones de variable real 60. Sean f y g dos funciones de variable real con reglas de correspondencia: f x 0 x ฀ ฀ 0 x x ฀ ฀ 0 y g x x 2 ฀ x ฀ 2 ฀ x . Realizar las siguientes operaciones y especifique su dominio. a f g b g f c f g d f/g e g/f a Determine f g b Determine f /g c Determine f g d Determine f g 58. Sean f y g funciones de variable real tales que: f x 2x ฀ 1 ฀ x ฀ ฀ 2 x 2 ฀ 3 x ฀∞ 2 g x 3 ฀ x ฀ ฀ 2 1 ฀ x ฀ x 0 2 4x x ฀∞ 0 59. Si f y g son funciones de en tales que: f x x ฀ 3 ฀ x ฀ ฀ ฀ 6 x ฀ 1 ฀ ฀ ฀ 6 ฀ x ฀ 1 4 x ฀ 1 y g x 1 x ฀ ฀ 4 x 2 ฀ 1 ฀ ฀ 4 ฀ x ฀ 6 2 x ฀ 6 entonces la regla de correspondencia de f g es: c x ฀ 4 x ฀ ฀ 6 2x 6 ฀ x ฀ 1 5 1 ฀ x ฀ 4 x 2 ฀ 3 4 ฀ x ฀ 6 6 x ฀ 6 d a x ฀ 4 x ฀ ฀ 4 x 2 ฀ 2x ฀ ฀ 4 ฀ x ฀ 6 6 x ฀ 6 x ฀ 4 x ฀ ฀ ฀ 6 x 2 ฀ 3 ฀ ฀ 4 ฀ x ฀ 6 6 x ฀ 6 b e x ฀ 4 x ฀ ฀ 6 x 2 ฀ 2x ฀ 2 ฀ ฀ 6 ฀ x ฀ 6 6 x ฀ 6 x ฀ 4 x ฀ ฀ ฀ 6 2x ฀ ฀ ฀ 6 ฀ x ฀ 6 6 x ฀ 6 61. Si f y g son funciones de en cuyas reglas de correspondencia son: f x x x ฀ ฀ 1 1 x ฀ 1 y g x 3 ฀ x x ฀ ฀ 4 ฀ x ฀ 1 x ฀ 4 entonces la regla de correspondencia de la función fog es: c 3 ฀ x x ฀ ฀ 0 x ฀ 1 ฀ ฀ ฀ ฀ 4 ฀ x ฀ 0 1 x ฀ ฀ 4 a x ฀ 1 x ฀ ฀ 4 3 ฀ x ฀ ฀ ฀ ฀ 4 ฀ x ฀ 2 1 x ฀ ฀ 4 d 2 ฀ 4 ฀ x ฀ 2 x ฀ 1 ฀ ฀ ฀ x ฀ 4 1 2 ฀ x ฀ 4 ฀ x ฀ ฀ 4 b 2 x ฀ ฀ 4 x ฀ 1 ฀ ฀ ฀ ฀ x ฀ ฀ 4 e x ฀ 1 ฀ x ฀ 4 3 ฀ x ฀ ฀ ฀ ฀ 4 ฀ x ฀ 2 1 2 ฀ x ฀ 4 ฀ x ฀ ฀ 4

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382 pág. 67. Sean las funciones f x 2x ฀ 3 x ฀ ฀ 3 x ฀ 2 2 ฀ ฀ x ฀ 3 y gx 1 ฀ 2x x ฀ 0 determine la regla de correspondencia de fog. 68. El rango de la función f : con regla de correspondencia: f x x es el conjunto de los números enteros. a Verdadero b Falso 3.10 Funciones especiales 64. Sea g una función de variable real tal que gx x 3 . a Determine g 1 . b Grafique g y g 1 en el mismo sistema de coordenadas. c Encuentre Aqx si qx: gx g 1 x. 65. Sean las funciones de variable real definidas por: Determine fogoh f x x gx x 2 hx x 1 66. Dada fogx x 2 ฀ 2x ฀ 6 y f 0 9 determine la regla de correspondencia de g si: a gx x k siendo k . b gx x k siendo k . 62. Si f es una función de en y g es una función par de en entonces la función fog es par. a Verdadero b Falso 63. Sean f y g dos funciones de variable real tales que: f x 0 x ฀ ฀ 0 x ฀ 1 ฀ ฀ ฀ x ฀ 0 y g x x 2 1 x . Entonces la regla de correspondencia de la función gof es: c 1 x ฀ ฀ 0 x 2 ฀ 2x ฀ ฀ ฀ x ฀ 0 a 1 x ฀ ฀ 0 x 2 ฀ 2x ฀ ฀ ฀ x ฀ 0 d 1 x ฀ ฀ 0 x 2 ฀ x ฀ ฀ ฀ x ฀ 0 b 1 x ฀ ฀ 0 x 2 ฀ 2x ฀ ฀ ฀ x ฀ 0 e 0 x ฀ ฀ 0 x 2 ฀ 2x ฀ ฀ ฀ x ฀ 0

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383 pág. 69. Sea f x x 3 con x ฀∞ ฀∞ la suma de los elementos del conjunto de verdad del predicado px: f x f 1 x es: a 2 b 0 c 1 d 2 e 1 70. Miriam desea enviar un paquete a Madrid desde la oficina de correos. Tiene dos opciones. La Opción A contiene un cargo fijo por enviar el paquete más un costo que depende del peso del paquete. Estos cargos se expresan por la ecuación Ax 6 ฀ 3x donde x es el peso del paquete en kg y A es el costo total de enviar el paquete expresado en dólares USA. a ¿De cuánto es el cargo fijo por enviar un paquete según la Opción A b ¿Cuánto costaría enviar un paquete que pesa 2.4 kg según la Opción A c El costo de la Opción B se muestra parcialmente en la siguiente gráfica. El peso en kg está representado por la variable x. d Determine la regla de correspondencia que exprese el costo para x ฀ 0 de la Opción B. e Determine el costo de enviar un paquete que pesa 1.6 kg usando la Opción B. f Si a Miriam le costó 22.50 enviar por correo un paquete usando la Opción A ¿cuánto pesaba este paquete g ¿Cuánto le costaría enviar por correo este mismo paquete con la Opción B h Determine un peso x entero distinto de cero para el cual el costo de ambas opciones sea el mismo. Determine este costo. Para pesos mayores de 1 kg el costo se sigue incrementando en intervalos de 2 siguiendo el mismo modelo que para pesos inferiores. Defina Bx para pesos entre 2 y 3 kg escribiendo su respuesta según el esquema a continuación: La función Bx puede definirse para valores de x entre 0 y 1 kg como sigue: Bx 2 para 0 x 0.5 4 para 0.5 x 1 Bx ... para ... ... para ... Bx 8 2.0 Costo en 6 4 2 1.5 1.0 0.5 2 x números de Kgs 0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 2.5 3.5

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384 pág. 73. Dadas las funciones de variable real f g y h tal que f x sgnx gx x x ฀ ฀ 0 1 ฀ x ฀ 0 y hx x + 1 x ฀ ฀ 0 x ฀ 1 ฀ x ฀ 0 determine 2f ฀ 3g hx. 75. Relacione cada gráfica con la función de variable real correspondiente: a f x 2 ฀ sgnx ฀ x 2 c f x x x x 0 x x x ฀∞ 0 b f x x x 71. Sea h una función de variable real con regla de correspondencia hx x 2 ฀ x ฀ ฀ 2 entonces es verdad que: a hx 4 si x 2. b Si x ฀ 0 entonces hx 0. c Si 0 ฀ x ฀ 2 entonces 0 ฀ y ฀ 4. d Si x ฀ 0 entonces hx 4 ฀ 2x. e Si x ฀ 2 entonces hx 4. 72. Si se define la función f : tal que f x sgnx ฀ 2 sgnx ฀ 1 entonces una de las siguientes proposiciones es falsa identifíquela: a Si x ฀ 2 entonces f x 2. b f es creciente. c f 1 d ฀ x f x f x e ฀ x f x 2 74. Si se tienen las funciones de en tales que f xµx y gxsgnx entonces f x gx es: a 1 x ฀ ฀ 1 0 ฀ x ฀1 4 x ฀ 1 b 4 x ฀ ฀ 0 0 ฀ x ฀0 1 x ฀ 0 c 1 x ฀ ฀ 0 0 ฀ x ฀0 4 x ฀ 0 d 1 x ฀ ฀ 0 0 ฀ x ฀0 2 x ฀ 0 e 4 x ฀ ฀ 0 0 ฀ x ฀0 16 x ฀ 0 y x 1 0 1 2 3 1 2 y x 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3

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385 pág. d f x 1 x 1 e f x x f f x 2 ฀ sgnx ฀ x 2 g f x 1 x 2 1 h f x x x 3.11 Función inversa de una función biyectiva 76. Si una función f tiene inversa y su gráfica se encuentran en el primer cuadrante la gráfica de f 1 estará en el primer cuadrante también. a Verdadero b Falso 77. La siguiente es la gráfica de una función f : ฀ ฀∞ 0 biyectiva y su inversa f 1 . a Verdadero b Falso y x 1 2 2 0 1 3 4 x 1 y x 2 0 1 1 2 3 4 x 1 y x y x 2 1 y f x y f 1 x 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 y x 1 1 2 3 1 2 3 1 y x 3 2 1 0

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386 pág. 78. Si f es una función inversible tal que f 1 a 2 entonces f 2 a. a Verdadero b Falso 80. Sean f y g dos funciones de variable real tales que: f x 8 x x ≠ 0 y gx x 2 . a Determine f 1 . ¿Cuál es la relación con la función f b Determine f 1 o g. Determine si es par o impar. c Determine Apx si px: f 1 o g x x . 81. Sean f y g funciones de variable real tales que: f x 4x 1 gx 6 x 2 a Determine g 1 . b Resuelva la ecuación f 1 o gx 4 . 82. Sea el conjunto A 1 2 3 4 5 y la función f : A A definida por: f 1 2 2 1 3 4 4 3 5 5. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a fof es inyectiva. b fof o f f. c f es inyectiva. d fof es una función sobreyectiva. e f f 1 83. Sean f x 2x ฀ 1 gx 3x 4 hx 8 x x ≠ 0 y rx x 2 . a Demuestre que f y h son inyectivas. b Demuestre la regla de correspondencia de f 1 . c Grafique f y f 1 en el mismo plano. d Demuestre gof 2. e Demuestre la regla de correspondencia de fogx. f Demuestre la regla de correspondencia de h 1 . g Grafique g y h 1 en el mismo plano. h Demuestre la regla de correspondencia de h 1 o rx. i Demuestre el conjunto de verdad del predicado px: h 1 o rx 1/2. 79. Si f x x 2 ฀ 4x ฀ 3 x ∞ 2 es la regla de correspondencia de una función inversible entonces la regla de correspondencia de la inversa de f es: a f 1 x 2 7 ฀ x x 7 b f 1 x 2 7 ฀ x x 7 c f 1 x 2 7 ฀ x x 7 d f 1 x 2 7 ฀ x x 7 e f 1 x 2 7 ฀ x x 7

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387 pág. 84. Si f es una función cuyo dominio es el intervalo 5 ฀∞ y su regla de correspondencia es f x x ฀ 5 5 entonces el dominio de f 1 es: a 5 ฀∞ b 5 ฀∞ c 5 ฀∞ d 5 0 e 5 5 ฀ 5 ฀∞ 85. La gráfica de la función f x 1 ax 2 1 con dominio 1 ฀∞ contiene al punto 2 1 3 . Determine: a El valor de a. b La regla de correspondencia de f 1 . c La función recíproca 1/f . d La función fo1/f . 3.12 Funciones polinomiales 86. Si px es un factor del polinomio qx y r es una raíz de la ecuación polinómica px 0 entonces x r es un factor del polinomio qx. a Verdadero b Falso 87. Sea p una función polinomial con regla de correspondencia px x 2 ฀ ax ฀ b. Si al dividir px para x ฀ 3 se obtiene residuo 1 entonces a ฀ b 1. a Verdadero b Falso 88. Si Px es un polinomio de grado cuatro y Px x 2 Dx k x 2 entonces Dx es un polinomio de grado tres. a Verdadero b Falso 89. Si se define una función polinomial con regla de correspondencia px x 3 ฀ x 2 ฀ k ฀ 7x 21 8 tal que k entonces el valor de k para que x ฀ 1 2 sea factor de px es: a 1 b 7 c 14 d 14 e 7 90. La suma de a y b tales que la función polinomial px x 3 ฀ ax 2 ฀ b sea divisible para el trinomio x 2 ฀ x ฀ 2 es: a 1 b 1 c 7 d 7 e 2 91.La suma de los valores reales de k tales que al dividir el polinomio px k 2 x 3 ฀ 4kx 4 para x 1 se obtenga como residuo 1 es: a 4 b 5 c 1 d 2 e 5

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388 pág. 92. Si se tiene un polinomio px x 3 mx ฀ x ฀ 2 entonces el valor de m tal que la división de px para x ฀ 2 tenga como residuo 4 es: a1/4 b 0 c 3 d 1 e 1 93. Si una de las raíces de la función polinomial px x 4 ฀ ax 2 5x b es 2 y p1 ฀ 10 0 entonces el residuo de dividir px para x ฀ 3 es: a 120 b 150 c 160/3 d 160/30 e 244/3 94. Sea px a 1x 5 b 2x 4 31x 3 39x 2 76x 20 una función polinomial tal que si se divide para x ฀ 1 el residuo es cero si se divide para x ฀ 3 el residuo es 400 entonces la suma a ฀ b es: a 11 b 12 c 13 d 14 e 15 95. Si al dividir qx x 2 ฀ ax ฀ b para x ฀ 1 se obtiene como residuo 3 y al dividir qx para x ฀ 2 el residuo es 7 entonces el valor de ab es: a 6 b 24 c 21 d 6 e 21 96. Determine los ceros de la función px x 3 x 2 ฀ 14x 24. 97. Determine el polinomio px de cuarto grado que cumpla las siguientes condiciones: I El coeficiente de x 4 es 1. II p10. III px es divisible para el trinomio x 2 2x 2. IV Al dividir px para x el residuo es 2. Las dos preguntas siguientes se refieren a la misma gráfica. En el diagrama aparece la forma de una cadena colgada entre dos ganchos A y B. Los puntos A y B están a alturas iguales por encima del suelo. P es el punto más bajo de la cadena y se encuentra a p unidades del suelo. El suelo se representa por el eje X. La abcisa de A es 2 y la abcisa de B es 2. El punto P pertenece al eje de las Y. La forma de la cadena está dada por y 2 x ฀ 2 x donde 2 ฀ x ฀ 2. 98. Determine el valor de k para que la función qx x 3 8x 2 9x k tenga una raíz igual al doble de la otra. 3.13 Función exponencial

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389 pág. 100. El rango de f es: a b p 4 c p ฀∞ d p 4 1 4 e p 8 101. Dada la función f : con regla de correspondencia f x 1 2 x 1 es falso que: a f es una función acotada. b f es una función par. c fof x 1 2 1 ฀ 1 2 x 1 d rg f 0 1 e f es una función inyectiva. 102. El valor más aproximado a 4x4 1/3 x4 1/9 x4 1/27 ... es: a 4 100 b 4000 c 8 d 2 100 e 0 103. Sea Re . Hallar el conjunto de verdad de los siguientes predicados: a px : 3 x 1 3 x 3 x 1 39 b qx : 2 x 1 4 x 80 c rx : 63 2x 136 x 62 2x 0 99. El valor de P es: a 0 b 2 c 4 d 4 e 2 A y x B P 2 2 Cadena Suelo f

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390 pág. 104. Si f es una función de en con regla de correspondencia f x e sgnx + x entonces es verdad que: a f es estrictamente creciente. b f f 2. c f es impar. d f no es inyectiva. e rg f 1 e e 2 . 105. Determine el conjunto de verdad de los siguientes predicados. Considere x . a px: 4 x ฀ 2 x 1 8 b hx: 2 x ฀ 0.5 2x 3 ฀ 50.5 x 1 1 c qx: 16 x ฀ 64 x 8 d rx: 9 x ฀ 3 x 1 ฀ 4 0 e qx: 3 x ฀ 9 x 6642 106. Sea f una función de en tal que f x e x 1 1 entonces es verdad que: a x f es decreciente. b y 1 es una asíntota de la gráfica de f . c f 1 0. d f es una función impar. e x ฀ f x 1. 108. Sean f y g funciones de variable real tales que: f x 2 x x ฀ y gx x x 2 x ฀ ฀ 2. Halle las funciones siguientes y determine su dominio: a gof b g 1 c g 1 og 107. Determine el conjunto de verdad de las siguientes desigualdades. Considere x ฀ . c 2 x 2 ฀ 2 x 3 ฀ 2 x 4 0 b 0.04 5x x 2 625 e 0 8 x ฀ 18 x 2 27 x a 3 2 3x ฀ 1 x ฀ 1 ฀ 8 x ฀ 3 3x ฀ 7 d 1 0.5 x 1 1 1 ฀ 0.5 x 1 ฀ 0

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391 pág. 3.14 Función logarítmica 109. x ฀ logx logx logx 3logx. a Verdadero b Falso 110. Si Re 1 y px: lnlog x 2 1 entonces Apx 2 e . a Verdadero b Falso 111. Sea c ฀ 1. Si a y b son números reales cualesquiera tal que a b entonces log c a log c b. a Verdadero b Falso 112. La gráfica de toda función logarítmica f : ฀ f x log a x a ฀ 0 a ≠ 1 contiene a los puntos 1 0 y a 1. a Verdadero b Falso 113. Si log2 a y log3 b entonces log75 es: a 3 ฀ 3a b 2 ฀ a ฀ b c 2 ฀ 2b ฀ a d 1 ฀ a ฀ b e 2 ฀ b ฀ 2a Determine: a El rango de f y g. b Las gráficas de f y g. c f g 115. Determine el conjunto de verdad de los siguientes predicados. Considere x ฀ . a px: logx 1 log 5 x log 5 x b qx: logx 2 4 logx 2 3logx 2 c px: e x ฀ e x 1 d rx: 5 x ฀ 5 x 2 e hx: 5 1 2x ฀ 6 1 x 30 ฀ 150 x 116. Despeje x en las siguientes ecuaciones: a 10 x 2 3x 200 b lnx ฀ 4 5y ln C 114. Sean las funciones: 2 x 3 x 3 log 3 x 2 x 3 ฀ ∞ gx 1 ฀ 2x x ฀ 0 f x

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392 pág. 118. Simplifique las siguientes expresiones logarítmicas: a 36 log 6 5 10 1 log2 3 log 9 36 b 81 1 log 5 3 27 log 9 36 3 4 log 7 9 c log 8 log 4 log 2 16 d 2 log 2 log 3 3 4 e 1 log log 10 5 f log 11 log 1 3 3 log 3 1 3 g log 3 7log 7 5log 5 4 1 119. Demuestre que: 1 1 1 1 1 15log n a log a n log a 2 n log a 3 n log a 4 n log a 5 n 120. Determine: a log 100 40 si log 2 5 a b log 3 5 si log 6 2 a y log 6 5 b c log 2 360 si log 3 20 a y log 3 15 b d log b 28b 1 2a si log b 2 a 4 log b 7 3a 2 b ฀ 0 a ฀ 0 b ≠ 1 e log m 2 mn 3 si log a m x y log a n y 121. Determine el valor exacto de x que satisface la ecuación: 3 x 4 2x 1 6 x 2 . Expresar la respuesta en la forma ln a ln b donde a b . 122. Determine el valor de log a 2 108 si log a 2 5 2 y log a 3 1 3 . 123. Sea px: 2 x ฀ 0.5 2x 3 ฀ 60.5 x 1 y x . Determine Apx. 117. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a log 2 4 log 4 6 log 6 8 3 b log x n n log x ฀ x 0 c ln 1 ฀ 2 ฀ 3 ln1 ln2 ฀ ln3 d e ln 13 13 1/2 e 2 log 2 2 log 4 1 16 4

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393 pág. 126. Si f es una función de variable real biyectiva tal que su regla de correspondencia es f x 2e x 3 x entonces la regla de correspondencia de la función inversa de f es: a f 1 x 2e x 3 b f 1 x 3 ฀ ln x 2 c f 1 x ln2x ฀ 3 d f 1 x 2lnx ฀ 3 e f 1 x 2 ฀ ln x 3 124. A continuación se indican las reglas de correspondencia de varias funciones y un dominio posible. Una de las opciones no es correcta identifíquela: a f x lnx ฀ 1 dom f 1 + ฀∞ b f x 1 log x 1 2 dom f 1 0 0 ฀∞ c f x 1 x ฀ x dom f 0 d f x x 8 x 3 x ฀ 2 logx 2 1 dom f 0 e f x log x dom f 125. En el siguiente desarrollo de seis pasos indicar claramente en cuál de ellas está el error y explique por qué. i 5 ฀ 3 iv 1 2 5 ฀ 1 2 3 ii 5ln 1 2 ฀ 3ln 1 2 v 1 32 ฀ 1 8 iii ln 1 2 5 ฀ ln 1 2 3 vi 1 ฀ 4 127. Si f es una función inversible de en con regla de correspondencia f x e x x ฀ 0 1 ฀ x 2 x ฀ 0 entonces la regla de correspondencia de la función f 1 x es: a lnx x ฀ 0 1 ฀ x x ฀ 0 d lnx x ฀ 1 ฀ 1 ฀ x x ฀ 1 b lnx x ฀ 0 1 ฀ x x ฀ 0 e lnx 1 ฀ x 1 ฀ x x ฀ 1 lnx 1 ฀ x 1 ฀ x x ฀ 1 c

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394 pág. 130. Demuestre que: M N a ฀ ฀ 1 log a MN 1 log a M ฀ log a N 128. Con respecto a la función de variable real f x 1 ฀ x 2 x ฀ 1 lnx x ฀ 1 se puede afirmar que: a f es inyectiva. b f es creciente. c f no es sobreyectiva. d ฀ x f x f x e rg f ฀∞ 1 129. Grafique la función f de en con regla de correspondencia: f x lnx ฀ 1 x ฀ 0 1 ฀ e x x ฀ 0 131. Determine el conjunto de verdad de los siguientes predicados. Considere x . a px: logx ฀ 4 ฀ log2x ฀ 3 log1 ฀ 2x b px: ln x x ฀ 1 ฀ ln x ฀ 1 x lnx 2 ฀ 1 ฀ 2 0 c rx: log 2 x 2 log 2 x 2 d hx: log 3 x 2 ฀ 3x ฀ 5 log 3 7 ฀ 2x e mx: log 2 9 x 1 ฀ 7 2 ฀ log 2 3 x 1 ฀ 1 f px: log 5 5 1/x ฀ 125 log 5 6 ฀ 1 ฀ ฀1 2x g qx: log 2 x logx ฀ 1 log x 10 7 h rx: log 2 x 3 ฀ log0.1x 10 0 i mx: log 0.5x x 2 ฀ 14log 16x x 3 ฀ 40log 4x x 0

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395 pág. 132. Si se define el conjunto referencial Re y el predicado px: log 1 4 x ฀ log 1 4 x 1 ฀ ฀ 3 2 ฀ 0 entonces la suma de los elementos de Apx es: a 15 8 b 7 16 c 33 16 d 26 32 e 2 133. Si fx 2 x 3 x ฀ 3 log 3 x ฀ 2 x ฀ 3 y gx 1 ฀ 2x x ฀ 0 entonces la regla de correspondencia de la función fog es: d log 3 1 2x x ฀ 0 a 2 2x 1 x ฀ 0 c 2 2x 1 x ฀ 3 log 3 1 2x x ฀ 3 b 2 2x 1 1 ฀ x ฀ 0 log 3 1 2x x ฀ e 2 2x 1 1 ฀ x ฀ 0 log 3 1 2x x ฀ 1 134. Si f es una función de en tal que f x 2 x 1 ฀x ฀ 0 log 1 2 x x ฀ 0 entonces la gráfica de f es: a y x 4 2 2 4 2 4 b y x 4 3 2 1 2 4 2 4 1 2 3 4 c y x 4 4 2 3 2 1 2 4 6 d y x 2 4 4 6 2 ฀ 4 3 2 1 1 2 3 4

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396 pág. 135. Dado px: sgnln ฀ x 1 1 sea x entonces Apx es: a 2 2 b 0 ฀∞ c 0 d 0 2 e 2 1 1 0 0 1 1 2 136. Si f : ฀ 3 ฀∞ es una función con regla de correspondencia: f x e x ฀ 1 x ฀ 1 2x x ฀ 1 ฀0 lnx 1 x ฀ 0 Determine el valor de: . f 2 ฀ f2 f 1 1 e y x 2 4 2 4 6 137. Determine el conjunto de verdad de las siguientes desigualdades. Considere x . d log x 2 2x 3 log x 2 ฀ ฀ x c log 0.2 x 3 8 ฀ 0.5log 0.2 x 2 4x 4 log 0.2 x 58 a log 1 2 2x 2 ฀ 4x ฀ 6 ฀4x ฀ 11 ฀ b log 2 4 x ฀ 3 ฀ log 2 2 ฀ x

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397 pág. Introducción La trigonometría es una rama de las matemáticas que fue desarrollada por astrónomos griegos quienes consideraban al cielo como el interior de una esfera. Aún cuando su significado etimológico nos indica que se relaciona con la medición de los triángulos sus aplicaciones son muy diversas ya que estas técnicas son usadas para medir distancias a estrellas próximas entre puntos geográficos y en sistemas de navegación por satélites. El traslado de la trigonometría astronómica a las matemáticas fue realizado por Regiomontano y mejorado por Copérnico y su alumno Rheticus. En la obra de Rheticus se definen las seis funciones trigonométricas como razones entre las longitudes de los lados de los triángulos aunque no les dio sus nombres actuales. El mérito de esto se lo lleva Thomas Fincke aunque la notación que utilizó no fue aceptada universalmente. La notación que quedó establecida fue la de Leonard Euler. Desde entonces la trigonometría ha venido evolucionando siendo utilizada por agrimensores navegantes e ingenieros hasta las aplicaciones actuales como el movimiento de las mareas en el océano la variación de los recursos alimenticios bajo ciertas condiciones ecológicas el movimiento pendular patrones de ondas cerebrales latidos del corazón corrientes eléctricas temblores y otros fenómenos. En el desarrollo de las funciones trigonométricas se han contemplado dos aspectos fundamentales. El primero está relacionado con el empleo de circunferencias y el segundo está basado en triángulos rectángulos. Capítulo 4 Trigonometría

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398 pág. 4.1 Ángulos y sus medidas Iniciaremos esta sección describiendo un elemento importante para la definición de ángulo éste es la semirrecta. Una de las semirrectas se conoce como el lado inicial del ángulo mientras que la otra recibe el nombre de lado terminal o final. El extremo donde se intersecan las semirrectas se denomina vértice del ángulo. Se puede designar a los ángulos por medio de puntos de las semirrectas o utilizando solamente el vértice si es que no hay confusión. Por ejemplo: Definición 4.1 Semirrecta Una semirrecta es la parte de una recta que está a un lado de la misma desde un punto fijo llamado extremo y se extiende indefinidamente en una sola dirección. Definición 4.2 Ángulo Es la unión de dos semirrectas que se intersecan en su extremo. Figura 4.1: Ángulo. La medida de un ángulo se denota por m representa la abertura entre las dos semirrectas y es una relación de A en siendo A el conjunto de los ángulos. Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ángulo y medida de un ángulo. Relacionar las medidas de los diferentes tipos de ángulos que existen. Dada la medida de un ángulo en grados sexagesimales convertirla a radianes y viceversa. Dada la medida de un ángulo indicar su ubicación en el plano cartesiano. C B A ABC B

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Capítulo 4 Trigonometría 399 pág. Un ángulo se encuentra en posición normal o estándar si su vértice está ubicado en el origen del sistema de coordenadas rectangulares y su lado inicial coincide con el semieje X positivo. Si el lado terminal del ángulo se encuentra en el segundo cuadrante se denominará ángulo del segundo cuadrante y análogamente para los otros cuadrantes. Figura 4.3: Signos de las Medidas de los Ángulos. Si se considera una región del plano con un recorrido desde el lado inicial del ángulo hasta el lado final siguiendo el sentido contrario de las manecillas del reloj por convención la medida del ángulo es positiva. Si dicho recorrido se realiza en sentido de las manecillas del reloj la medida es negativa. Se acostumbra designar a la medida de los ángulos con letras del alfabeto griego: ฀ ฀ ฀ ฀ entre otras. a Ángulo en posición normal del segundo cuadrante cuya medida es positiva. b Ángulo en posición normal del cuarto cuadrante cuya medida es negativa. m A B m B Figura 4.2: Signos de las Medidas de los Ángulos. Lado final Vértice Lado inicial a Medida positiva de un ángulo Vértice Lado inicial Lado final b Medida negativa de un ángulo x y II cuadrante I cuadrante Lado final Lado inicial Vértice III cuadrante IV cuadrante y x Vértice Lado inicial Lado final

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400 pág. 4.1.1 Unidades angulares Para la localización exacta de una estrella o la posición de un barco se utilizan las unidades de medida más conocidas como son los grados sexagesimales minutos y segundos tales unidades están basadas en la división en partes iguales de una circunferencia. Algunas equivalencias importantes son las siguientes: 360º representan un giro completo alrededor de una circunferencia. 180º representan 1 2 de vuelta alrededor de una circunferencia. 90º representan 1 4 de vuelta. 1º representa 1 360 de vuelta. 1º representa 60 minutos ‛. 1‛ representa 60 segundos ‛‛. Es de observar que para generar un ángulo se puede dar más de un giro completo por ejemplo si damos dos giros completos se tendrían 720º si se dan 10 giros se tendrían 3600º. Para propósitos de cálculo los grados son transformados en radianes puesto que el radián es mucho más práctico en las aplicaciones físicas. A continuación se interpreta el significado de un radián: Considerando una circunferencia de radio r y centro O se construye un ángulo de medida ฀ cuyo vértice esté ubicado en O y cuyos lados inicial y terminal subtienden sobre la circunferencia un arco de longitud igual a r tenemos que ฀ constituye un radián. Es de notar que la medida de un ángulo es independiente de la longitud del radio. Por ejemplo al dividir una pizza en 8 partes iguales la medida del ángulo de cada pedazo permanece igual independientemente si la pizza es pequeña normal o familiar. La medida de un ángulo permite calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia sólo basta multiplicar la longitud del radio por la medida del ángulo en radianes. Figura 4.4: Interpretación de un Radián. 1 radián 57º 17 44.8 1 radián O r r Longitud de un arco de circunferencia Medida del ángulo en radianesLongitud del radio

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Capítulo 4 Trigonometría 401 pág. Para medidas mayores a 2π ฀radianes o 360º se debe dividir esta medida para 2π ฀o 360º según sea el caso el cociente indicará la cantidad de giros o vueltas y el residuo de la división indicará la ubicación del lado terminal del ángulo. Ejemplo 4.1 Ubicación de los ángulos. Se requiere ubicar un ángulo cuya medida es 410º. Si se divide para 360º se obtiene 1 de cociente y 50 de residuo. Esto quiere decir que el ángulo ha dado una vuelta completa de 360º y su lado terminal se ha ubicado en 50º. Por tanto es un ángulo del I Cuadrante. 1 vuelta r L 2̟r Figura 4.5 Longitud de la Circunferencia. Es importante reconocer la medida de un ángulo ya sea que esté expresada en radianes o grados sexagesimales porque ésta indica la ubicación del ángulo en uno de los ejes o cuadrantes del sistema de coordenadas rectangulares. Así las diferentes ubicaciones del lado terminal de un ángulo en términos de su medida se resumen en el Cuadro 4.1. Medida en Radianes Medida en Grados Sexagesimales Ubicación del Lado Terminal 0 ̟ 2 0º 90º I Cuadrante ̟ 2 ̟ 90º 180º II Cuadrante ̟ 3̟ 2 180º 270º III Cuadrante 3̟ 2 2̟ 270º 360º IV Cuadrante 0 ̟ 2 ̟ 3̟ 2 2̟ 0º 90º 180º 270º 360º Semieje: X Y X Y X respectivamente. Cuadro 4.1: Ubicación de los Ángulos respecto a su Medida.

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402 pág. Definición 4.3 Coterminales Son aquellos ángulos que tienen los mismos lados inicial y terminal. 4.1.2 Clases de ángulos Definición 4.4 Consecutivos Dos ángulos de un mismo plano son consecutivos cuando sólo tienen un lado en común. Definición 4.5 Adyacentes Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes son semirrectas en la misma dirección pero en sentido contrario. La suma de las medidas de éstos ángulos es 180º. Ejemplo 4.2 Ángulos coterminales. Sean ฀ π 3 y ฀ 5π 3 . Graficando se observa que los ángulos son coterminales. x y ̟ 3 5̟ 3

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Capítulo 4 Trigonometría 403 pág. 4.1.3 Relación entre grados sexagesimales y radianes Ya hemos visto que la longitud de una circunferencia es 2 r y para el caso de una vuelta completa hemos indicado que el ángulo mide 360º entonces podemos definir una equivalencia entre las medidas en grados sexagesimales y radianes. Definición 4.6 Complementarios Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus medidas constituye la medida de un ángulo recto: + 90º. Definición 4.7 Suplementarios Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas constituye la medida de dos ángulos rectos: 180º. Definición 4.8 Opuestos por el vértice Dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno de ellos son semirrectas opuestas a los lados del otro verificándose que .

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404 pág. A partir de la igualdad 2̟ radianes 360º determinamos que: 180º ̟ radianes 90º ̟ 2 radianes 60º ̟ 3 radianes 45º ̟ 4 radianes 30º ̟ 6 radianes Ejemplo 4.3 Conversión de unidades angulares. Grados sexagesimales a radianes. a 15º b 390º c 75º d 150º Podemos observar estas y otras equivalencias en la siguiente figura: Figura 4.6: Equivalencias de Unidades Angulares. 330º 6 11̟ 315º 4 7̟ 300º 3 5̟ 270º 2 3̟ 240º 3 4̟ 225º 4 5̟ 210º 6 7̟ 150º 6 5̟ 135º 4 3̟ 120º 3 2̟ 0º 360º 2π 180º π 30º 6 ̟ 45º 4 ̟ 60º 3 ̟ 90º 2 ̟

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Capítulo 4 Trigonometría 405 pág. a 5̟ 12 b 7̟ 12 c 3 d ฀ 13̟ 4 Radianes a grados sexagesimales. Solución: a 15º x ̟ radianes 180º ̟ 12 radianes b 390º x ̟ radianes 180º 13̟ 6 radianes c 75º x ̟ radianes 180º ฀ 5̟ 12 radianes d 150º x ̟ radianes 180º ฀ 5̟ 6 radianes Solución: a 5̟ 12 radianes x 180º ̟ radianes 75º b 7̟ 12 radianes x 180º ̟ radianes 105º c 3̟ radianes x 180º ̟ radianes ฀ 540º d ฀ 13̟ 4 radianes x 180º ̟ radianes ฀ 585º

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406 pág. 4.2 Funciones trigonométricas elementales Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dado un ángulo explicar sus seis relaciones trigonométricas mediante la circunferencia de radio unitario. Dados varios ángulos notables en grados sexagesimales o radianes indicar el valor de sus seis relaciones trigonométricas. Dado un ángulo del primer cuadrante deducir los valores de las relaciones trigonométricas de ángulos asociados a él ubicados en los otros cuadrantes. Calcular el valor de expresiones trigonométricas empleando las relaciones de los ángulos notables. A partir de la circunferencia unitaria de la figura 4.7 se pueden establecer los valores de las seis relaciones trigonométricas de cualquier ángulo con las cuales y escogiendo los dominios adecuados en se definen las seis funciones trigonométricas que se estudiarán en este capítulo. Figura 4.7: Circunferencia de Radio Unitario. Si utilizamos una circunferencia de radio unitario cuyo centro está en el origen del sistema de coordenadas rectangulares podemos definir las coordenadas de cualquier punto Pab perteneciente a la circunferencia en el plano. Estas coordenadas dependerán de la medida del segmento que une el origen de coordenadas y el punto P que en este caso es 1 y de la medida del ángulo a la cual se denominará x de aquí en adelante en el texto cuyo valor se mide por la amplitud que dicho segmento forma con respecto al semieje X positivo. Pab x y x 1 O

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Capítulo 4 Trigonometría 407 pág. Definición 4.9 Funciones trigonométricas Sea Pab un punto sobre la circunferencia de radio unitario y x el ángulo en posición estándar que forma el segmento OP con el semieje X . La función seno está definida por: senx b 1 . Es una función de en . Función Seno La función coseno está definida por: cosx a 1 . Es una función de en . Función Coseno Función Tangente Si a ≠ 0 la función tangente está definida por: tanx b a . Es una función de ฀ ฀ 2n ฀ 1 π 2 n ฀ en . Si b ≠ 0 la función cotangente está definida por: cotx a b . Es una función de ฀ ฀ nπ n ฀ en . Función Cotangente Si a ≠ 0 la función secante está definida por: secx 1 a . Es una función de ฀ ฀ 2n ฀ 1 π 2 n ฀ en . Función Secante Si b ≠ 0 la función cosecante está definida por: cscx 1 b . Es una función de ฀ ฀ nπ n ฀ en . Función Cosecante

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408 pág. Observe que si a 0 esto es se generan puntos de coordenadas P0b localizados sobre el eje Y las funciones tangente y secante no están definidas lo cual se denota con ∞. Mientras que si b 0 obtenemos puntos de coordenadas Pa0 localizados sobre el eje X las funciones cotangente y cosecante no están definidas lo cual también se denota con ∞. De aquí que el dominio de estas funciones tiene las restricciones mencionadas. Por haber utilizado la circunferencia de radio unitario en esta definición las funciones trigonométricas también se suelen denominar funciones circulares. Estas funciones pueden extenderse periódicamente considerando giros completos que determinan coincidencia en la posición final del segmento OP. Por lo visto en la circunferencia de radio unitario se puede concluir que las funciones trigonométricas son positivas para todo ángulo del I Cuadrante sólo son positivas el seno y la cosecante para ángulos del II Cuadrante sólo son positivas la tangente y la cotangente para ángulos del III Cuadrante y sólo son positivas el coseno y la secante para ángulos del IV Cuadrante. Una regla práctica para encontrar los valores de las seis funciones trigonométricas para ángulos del II III o IV Cuadrante es relacionar el ángulo con uno asociado del I cuadrante. Así si x es la medida de un ángulo en grados sexagesimales o radianes del I Cuadrante un ángulo que tendría los mismos valores absolutos de sus seis funciones trigonométricas mide: 180º ฀ x o ̟ ฀ ฀ x en el II Cuadrante. 180º x o ̟ ฀ ฀ x en el III Cuadrante. 360º x o 2̟ ฀ ฀ x en el IV Cuadrante. El signo se lo determina dependiendo de la ubicación del ángulo. Ejemplo 4.4 Funciones trigonométricas. Se conoce que el coseno de π 4 es 2 2 y se requiere el coseno de 3π 4 de 5π 4 y de 7π 4 . Solución: Se verifica que efectivamente estos ángulos estén relacionados con el de π 4 . En este caso se cumple que: 3π 4 π ฀฀ π 4 5π 4 π ฀฀ π 4 7π 4 2π ฀ π 4

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Capítulo 4 Trigonometría 409 pág. Por lo tanto todos estos ángulos tienen el mismo coseno de π 4 en términos de valor absoluto. Como 3π 4 pertenece al II Cuadrante su coseno es ฀ 2 2 . Como 5π 4 pertenece al III Cuadrante su coseno es 2 2 . Como 7π 4 pertenece al IV Cuadrante su coseno es 2 2 . Ejemplo 4.5 Valores de las funciones trigonométricas. Sea x un número real y P 2 3 ฀ 1 2 un punto sobre la circunferencia de radio unitario determine los valores de las seis funciones trigonométricas evaluadas en x. Solución: Si localizamos el punto P en el plano cartesiano podremos notar que se encuentra en el IV Cuadrante tal como se muestra en la figura. 1 O x y x P 2 3 ฀ 1 2 senx ฀ 1 2 ฀฀ cosx 2 3 ฀฀ tanx ฀ 1 3 ฀ ฀ 3 3 cscx ฀฀฀ secx 2 3 ฀ 3 3 2 ฀฀ cotx ฀ 3

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410 pág. Figura 4.8: Triángulo Rectángulo con Medidas de Ángulos ̟ 6 y ̟ 3 . Es útil y necesario conocer los valores de las funciones trigonométricas para las medidas de los ángulos más utilizados: π 6 π 4 y π 3 . Tomando como referencia la circunferencia de radio unitario y dibujando un triángulo equilátero cuyos lados también tienen longitud unitaria se puede deducir que el eje X divide a dicho triángulo en dos triángulos rectángulos. O x y P 1 P 2 π 3 π 6 π 6 Figura 4.9: Triángulo Rectángulo con Medida de Ángulo ̟ 4 . Con un procedimiento similar y dibujando un triángulo isósceles en el interior de la circunferencia de radio unitario tenemos: x O y π 4 P 1 1 cot π 6 3 cot π 3 3 3 sec π 6 3 3 2 sec π 3 2 csc π 6 2 csc π 3 3 3 2 tan π 6 3 3 tan π 3 3 cos π 6 2 3 cos π 3 1 2 sen π 6 1 2 sen π 3 2 3 Las coordenadas del punto P 1 son 3 2 1 2 cuya ordenada puede ser obtenida en base a las condiciones del triángulo y la abcisa puede ser obtenida aplicando el teorema de Pitágoras. En base a las definiciones previas se tiene que:

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Capítulo 4 Trigonometría 411 pág. En el Cuadro 4.2 se muestran los valores de las funciones trigonométricas de las medidas de los ángulos más conocidos que son convenientes recordar: Cuadro 4.2: Valores de las Funciones Trigonométricas de Ángulos Notables. Medida del ángulo x senx cosx tanx cotx secx cscx 0 0º 0 1 0 ∞ 1 ∞ π 6 30º 1 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 π 4 45º 2 2 2 2 1 1 2 2 π 3 60º 2 3 1 2 3 3 3 2 3 3 2 π 2 90º 1 0 ∞ 0 ∞ 1 π 180º 0 1 0 ∞ 1 ∞ 3π 2 270º 1 0 ∞ 0 ∞ 1 2π 360º 0 1 0 ∞ 1 ∞ Ejemplo 4.6 Expresiones trigonométricas. Determine el valor de la expresión: tan π 6 2 ฀฀ sen π 6 2 csc π 4 2 ฀฀ csc π 6 2 Se puede deducir por el teorema de Pitágoras que tanto la abcisa como la ordenada de P 1 tienen la misma longitud es decir sus coordenadas son 2 2 2 2 . En base a las definiciones previas se tiene que: sen π 4 2 2 cos π 4 2 2 tan π 4 1 cot π 4 1 sec π 4 2 csc π 4 2

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412 pág. Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dada la gráfica estándar de una función trigonométrica seno coseno tangente cotangente secante cosecante aplicar técnicas de graficación para obtener nuevas funciones trigonométricas. Dada la regla de correspondencia de una función trigonométrica analizarla gráficamente especificando dominio rango período fundamental cotas asíntotas intervalos de monotonía y otras características gráficas. Realizar composiciones con funciones trigonométricas identificando la gráfica y sus principales características. Realizar demostraciones empleando propiedades de las funciones trigonométricas. 4.3 Gráficas de funciones trigonométricas Solución: tan π 6 2 ฀฀ sen π 6 2 csc π 4 2 ฀฀ csc π 6 2 3 3 2 ฀฀ 1 2 2 2 2 ฀฀ 2 2 1 3 ฀ 4฀ 2 ฀ 4 13 18 Ejemplo 4.7 Expresiones trigonométricas. Determine el valor de la expresión: sen π 6 sen π 3 2 sen 3π 4 cos π 3 Solución: sen π 6 sen π 3 2 sen 3π 4 cos π 3 1 2 4 3 2 2 1 2 3 ฀ 8 6 2 2 ฀ 1 11 3 2 ฀ 2 ฀ 2 ฀ 11 3 2 ฀

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Capítulo 4 Trigonometría 413 pág. La gráfica de la función f x senx tiene las siguientes características: dom f . rg f 1 1. f es impar. f es acotada ฀f x ฀ ฀1. f es periódica su período fundamental es T 2̟. Las intersecciones con el eje X están en el conjunto x/x n̟ n . Función Seno f x senx x y 2π 3π 2 ฀ π 2 1 1 2 π 2 π 2 π 3π 2 2π x f x π 2 1 π 0 2π 0 3π 2 1 0 0 Ejemplo 4.8 Aplicación de las funciones trigonométricas. sen π 2 ฀ π 3 ฀ π 4 ฀ π 6 ฀ π 8 ฀ π 12 ฀ Determine el valor de la expresión: Solución: Analizando el argumento de la función seno: π 2 ฀ π 3 ฀ π 4 ฀ π 6 ฀ π 8 ฀ π 12 ฀ Podemos notar que los términos impares corresponden a una progresión geométrica infinita con a π 2 r 1 2 y cuya suma es P 1 ฀ π 2 1 2 1 ฀ π.

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414 pág. La gráfica de la función f x cosx tiene las siguientes características: dom f rg f 1 1. f es par. f es acotada ฀f x ฀ ฀1. f es periódica su período fundamental es T 2̟. Las intersecciones con el eje X están en el conjunto x/x 2n +1 ̟ 2 n . Mientras que los términos pares del argumento de la función corresponden a una progresión geométrica infinita con a ฀ π 3 r 1 2 y cuya suma es: Con lo cual la expresión se reduce a sen P 1 ฀ P 2 . sen P 1 ฀ P 2 sen π ฀ 2π 3 ฀ sen π 3 ฀ 2 3 P 2 ฀ π 3 1 2 1 ฀ ฀ 2π 3 Función Coseno y x f x cosx 2π 3π 2 ฀ π 2 1 1 2 π 2 π 2 π 3π 2 2π x f x π 1 1 0 2π 1 0 π 2 0 3π 2

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Capítulo 4 Trigonometría 415 pág. Determine el valor de la suma: cos1º cos2º cos3º ฀฀฀ cos360º Solución: Al observar detenidamente la gráfica de f x cosx se puede deducir que evaluando todos los valores de x entre 1º y 90º más los que se encuentran entre 270º y 360º resultan positivos mientras que los valores de x entre 90º y 270º resultan negativos. Tales resultados positivos se van a cancelar completamente con todos los valores negativos. Por lo tanto el valor de la suma es 0. Ejemplo 4.9 Aplicación de las funciones trigonométricas. Se puede observar en las gráficas de las dos primeras funciones trigonométricas que ฀ 1 ฀ ฀ senx 1 y ฀ 1 ฀ ฀ cosx 1 es decir f x senx y gx cosx tienen una cota superior en y 1 y una cota inferior en y ฀ 1 valores que definen su amplitud. Sin embargo se puede definir una amplitud diferente con las reglas de correspondencia f x A senx y gx A cosx . Este valor A provoca un alargamiento vertical de las gráficas de las funciones cuando A ฀ ฀ 1฀ o una compresión vertical cuando A ฀ ฀ 1 tal como se puede notar en la figura 4.10: El período fundamental de estas funciones también puede ser modificado. Las funciones f x senBx y gx cosBx con B 0 tienen un período T 2π B . Esto representa una compresión horizontal para ambas funciones cuando B ฀ 1 o un alargamiento horizontal cuando 0 ฀ B ฀ ฀ 1 los cuales se pueden observar en la figura 4.11: Figura 4.10: Alargamiento o Compresión Vertical de Funciones Senoidales o Cosenoidales. f x 4 senx x y 2π 3π 2 π 2 π 2 4 2 4 π 2 π 3π 2 2π A 4 A 1 2 g x 1 2 cosx x y 2π 3π 2 π π 2 2 1 2 π 2 π 3π 2 2π 1

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416 pág. Si el signo de B es negativo se verifica el mismo cambio en el período fundamental de la función pero adicionalmente se aplica un efecto de reflexión respecto al eje Y. Ahora analizaremos las gráficas de f x AsenBx + C y gx AcosBx + C las cuales tienen amplitud A período 2π B y un desfase desplazamiento horizontal de C B unidades. El sentido del desplazamiento depende del signo de C B . La figura 4.12 ilustra tal efecto sobre las gráficas del seno y del coseno respectivamente. Si a las funciones anteriores se les suma algebraicamente un valor se definen las siguientes reglas de correspondencia f x A senBx + C + D y gx A cosBx + C + D. El efecto de este valor D consiste en un desplazamiento vertical cuya dirección dependerá de su signo es decir si D ฀ 0 la gráfica se desplazará D unidades hacia arriba y si D ฀ 0 la gráfica se desplazará D unidades hacia abajo. En la figura 4.13 se presenta tal efecto. Figura 4.11: Compresión o Alargamiento Horizontal de Funciones Trigonométricas Senoidales o Cosenoidales. B 2 período T π f x sen2x y x π π 2 π 2 π B 1 2 período T 4π f x cos x 2 x y 3π 2π π π 2π 3π Figura 4.12: Desplazamiento Horizontal de Funciones Senoidales o Cosenoidales. y x f x 2sen x ̟ 4 2 3 1 2 1 3 3π 2 π π 2 π 2 π 3π 2 A 2 B 1 período T 2π C B π 4 unidades a la derecha. y gx 3cos 2x π 3π 2 π π 2 π 2 π 3π 2 x 2 1 3 2 3 1 A 3 B 2 período T π C B π 2 unidades a la izquierda.

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Capítulo 4 Trigonometría 417 pág. Las cotas de estas funciones trigonométricas presentan cambios. En la figura 4.13 a las cotas inferior y superior son 0 y 4 respectivamente. En la figura 4.13 b las cotas inferior y superior son ฀ 9 2 y 3 2 respectivamente. Cuando se combinan varios efectos sobre la gráfica es recomendable hacer los cambios en el siguiente orden: reflexión horizontal cambio del período desfase cambio en la amplitud reflexión vertical y desplazamiento vertical. Figura 4.13: Desplazamiento Vertical de las Funciones Senoidales o Cosenoidales. a D ฀ 2 y x f x 2sen3x ฀ 2 π π 2 4 3 2 1 1 2 3 π 2 π b D ฀ 3 2 g x 3cos x 2 + ̟ 4 3 2 y x 3π 1 2π π π 2π 3π 2 3 1 2 3 4 5 6 Ejemplo 4.10 Gráfica de funciones trigonométricas. Si f es una función de en tal que f x 2sen x ฀ π 2 ฀ 1 determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a rg f 2 2 b x f x f x c x f x ฀ ฀ 1 Solución: Con la regla de correspondencia dada podemos concluir que: Su amplitud es ฀ A ฀ ฀ 2. Su período fundamental es T 2π . Su desplazamiento horizontal es π 2 unidades hacia la izquierda. Su desplazamiento vertical es de 1 unidad hacia arriba.

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418 pág. Analizando las opciones: a Se puede observar que rg f 1 3. Por lo tanto esta proposición es falsa. b La definición dada corresponde a la de una función par. Efectivamente f es par lo cual convierte esta proposición en verdadera. c El valor mínimo de f es 1. No existe la posibilidad de obtener un valor menor que éste. Esta proposición es falsa. La gráfica de f es: x y f x 2sen x ฀ π 2 ฀ 1 1 1 2 3 4 2π π π 2π 3π 4π 5π Ejemplo 4.11 Gráfica de funciones trigonométricas. a x f x ฀ 1 2 b x 1 x 2 ฀ π 4 π 2 x 1 x 2 ฀ f x 1 ฀ ฀ f x 2 c x f x ฀ 2π f x Si f es una función de en tal que f x 1 2 ฀cos4x ฀ 2 determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: Solución: Con la regla de correspondencia dada podemos concluir que: Su amplitud es A ฀ 1 2 . Su período fundamental es T ฀ π 2 . Su desplazamiento vertical es 2 unidades hacia arriba.

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Capítulo 4 Trigonometría 419 pág. Analizando las opciones: a Se puede observar que rg f 3 2 5 2 . Por lo tanto esta proposición es falsa. b La definición dada corresponde a la de una función creciente. Efectivamente f lo es en el intervalo π 4 π 2 lo cual convierte a esta proposición en verdadera. c El período fundamental de f es T π 2 por lo tanto T 2π también es otro período de la función. Esta proposición es verdadera. La gráfica de f es: y x 1 1 2 3 4 3π 4 π 2 π π 4 π 4 π 2 3π 2 f x 1 2 cos4x ฀ 2 Ejemplo 4.12 Gráfica de funciones trigonométricas. Determine una regla de correspondencia para la función trigonométrica f : π π ฀ cuya gráfica se adjunta: f x π 2 π 3π 4 π 4 π 4 π 2 3π 4 π x π

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420 pág. Solución: Se puede observar que la amplitud es π . Como la función siempre es positiva se deduce que se ha aplicado el valor absoluto a una función cuyo período fundamental era π la cual podría ser f x sen2x. Con estas observaciones podemos concluir que una posible regla de correspondencia para f es: f x π sen2x . También se podría considerar la regla de correspondencia de la función cos2x con amplitud π y desplazamiento de π 4 unidades hacia la derecha. Esto es f x π ฀cos 2x ฀ π 2 . Ejemplo 4.13 Gráfica de funciones de variable real. Se puede observar que: dom f . rg f ∞ 4. Bosqueje la gráfica de f x x ฀ 4 x ฀ ฀ ฀฀ 4 ฀ x ฀ 4 2 ฀ 4 x ฀ 2 2cos π 4 x 4 ฀ ฀ x ฀ ฀ 2฀ y adicionalmente indique sus características. Solución: x y f x 4 2 2 1 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 7

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Capítulo 4 Trigonometría 421 pág. f es creciente en ฀ ∞ ฀ 4 ฀ ฀ 4฀0 ฀ 2 ฀4. f es decreciente en 2 ฀ 4 ฀ ∞. f está acotada superiormente por la recta y 4. f tiene una discontinuidad en x ฀ 4. Ejemplo 4.14 Gráfica de funciones de variable real. Bosqueje la gráfica de la función de variable real cuya regla de correspondencia es: f x ln x ฀ 1 x ฀ 0 sen π 2 x 0 ฀ x ฀ 8฀ Adicionalmente: a Indique sus características. b Calcule f 1 f 1 ฀ e. Solución: El período de f x sen π 2 x es T 2π π 2 4 cuando 0 ฀ x ฀ 8. Construir la gráfica de f x ln ฀ x ฀ 1 implica desplazar ln x una unidad hacia la derecha. f x 2 1 1 2 1 2 3 4 5 x

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422 pág. a Se puede observar que: dom f ∞ 8. rg f 1 + ∞. f es creciente en 0 1 ฀3 5 ฀7 8. f es decreciente en ∞ 0 ฀ 1 3 ฀5 7. f está acotada inferiormente por la recta y 1. f es continua x dom f. b f 1 sen π 2 1 f 1 e ln 1 ฀ e + 1 ln e 1. Función Tangente La gráfica de la función f x tan x tiene las siguientes características: dom f 2n + 1 π 2 n . rg f . f es impar. x y f x tanx 1 1 π 2 π 2 3 4 5 2 3 4 5 π 2 π

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Capítulo 4 Trigonometría 423 pág. f es periódica su período fundamental es T π. Las intersecciones con el eje X están en el conjunto n̟ n . Tiene asíntotas verticales x 2n + 1 π 2 n . Función Cotangente La gráfica de la función f x cotx tiene las siguientes características: dom f n̟ n . rg f . f es impar. f es periódica su período fundamental es T ̟. Las intersecciones con el eje X están en el conjunto 2n + 1 π 2 n . Tiene asíntotas verticales x n̟ n . y x f x cotx 1 π 2 π 2 3 4 5 1 2 3 4 5 π 2 π

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424 pág. Ejemplo 4.15 Valores de las funciones trigonométricas. Si f x tan x 2 cot x 2 x 0 π 2 determine el valor de f π 2 f π 3 . Solución: Aplicando la identidad cociente f x 1 x 0 π 2 ฀ f π 2 f π 3 2. Lo cual el lector también puede confirmar evaluando x π 2 y x π 3 en la función original. Ejemplo 4.16 Gráfica de funciones trigonométricas. Su dominio es todo número real menos los impares multiplicados por el factor 1 4 lo cual puede ser expresado así: Bosqueje la gráfica de f x tan 2πx especifique su dominio y sus características. Solución: El período fundamental de esta función es T π 2π 1 2 . Su gráfica es: dom f ฀ 1 4 2k ฀ 1 k . f es sobreyectiva impar periódica y estrictamente creciente por intervalos. 3 4 1 2 1 4 1 4 1 2 3 4 f x tan 2πx x y 2 2 4 6 8 4 6 8

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Capítulo 4 Trigonometría 425 pág. Ejemplo 4.18 Propiedades de funciones trigonométricas. Proporcione un contraejemplo para la siguiente proposición: “Si f y g son funciones periódicas de en con período fundamental T entonces la función f g también es periódica con período fundamental T ”. Solución: Para f x senx su período fundamental T 2π. Para gx cosx su período fundamental T 2π. El producto entre las funciones f y g es: fg x f x gx senx cosx En la sección 4.5 se demostrará que senx cosx 1 2 sen2x. Podemos notar que la función fgx 1 2 sen2x tiene período fundamental T π lo cual verifica que la proposición dada es falsa es decir y 1 2 sen2x constituye un contraejemplo para la proposición dada. Ejemplo 4.17 Propiedades de funciones trigonométricas. Proporcione un contraejemplo para la siguiente proposición: “Si f y g son funciones periódicas de en con período fundamental T entonces la función f/g también es periódica con período fundamental T ”. Solución: Para f x senx su período fundamental T 2π. Para gx cosx su período fundamental T 2π. La división entre las funciones f y g es: Podemos notar que la función f g x tanx tiene período fundamental T π lo cual verifica que la proposición dada es falsa es decir y tanx constituye un contraejemplo para la proposición dada. Observe además que esta función no está definida x ฀ . f g x f x gx senx cosx tanx

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426 pág. Ejemplo 4.19 Propiedades de funciones trigonométricas. a f x sen x 2 x ฀ 2π 2π. b gx tan x 4 x ฀ 2π 2π. c hx sgn cos x 2 x ฀ 2π 2π. Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones: Solución: a La función y sen x 2 tiene período fundamental 4̟ y su gráfica es: Al aplicar la definición de la función entero mayor se obtiene: 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 y sen x 2 x y 2π π 2π π 1 2 3 2 1 f x sen x 2 x y 2π π π 2π 1 2 3 2 1

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Capítulo 4 Trigonometría 427 pág. Al aplicar la definición de la función escalón se obtiene: x y 2π π π 2π 1 gx tan x 4 b La función y tan x 4 tiene período fundamental T 4π y su gráfica es: 2π π 1 1 y tan x 4 x y 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 π 2π

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428 pág. Al aplicar la definición de la función signo se obtiene. hx sgn cos x 2 x y 2π π 1 1 π 2π c La función y cos x 2 tiene período fundamental T 4π y su gráfica es: y cos x 2 x y 2π π 1 1 π 2π

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Capítulo 4 Trigonometría 429 pág. Función Secante La gráfica de la función f x secx tiene las siguientes características: dom f 2n + 1 π 2 n . rg f 1 1. f es par. f es periódica su período fundamental es T 2̟. No tiene intersecciones con el eje X. Tiene asíntotas verticales x ฀ 2n + 1 π 2 n . x y 5 1 π 2 π f x secx π 2 π 4 3 2 1 2 3 4 5 Función Cosecante x y f x cscx 1 1 π 2 π 2 3 4 5 2 3 4 5 π 2 π

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430 pág. La gráfica de la función f x cscx tiene las siguientes características: dom f n̟ n . rg f 1 1. f es impar. f es periódica su período fundamental es T 2̟. No tiene intersecciones con el eje X. Tiene asíntotas verticales x n̟ n . Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dada una función trigonométrica determinar el dominio rango asíntotas monotonía y otras características de su función inversa. Dada la gráfica estándar de una función trigonométrica inversa aplicar técnicas de graficación para obtener nuevas funciones. Encontrar relaciones trigonométricas de ángulos dado su argumento con relaciones trigonométricas inversas. 4.4 Funciones Trigonométricas Inversas Si restringimos el dominio de f x senx al intervalo ฀ ฀ π 2 π 2 y el conjunto de llegada al intervalo ฀ 1 1 obtenemos una función biyectiva. A la función inversa del seno se la denota por sen 1 x o arcsenx. En la sección 3.11 analizamos que si una función es biyectiva es posible obtener su función inversa. Como ya se ha podido notar las funciones trigonométricas no son inyectivas y no todas son sobreyectivas. Sin embargo podemos restringir sus dominios y conjuntos de llegada de manera adecuada para obtener las funciones trigonométricas inversas. Función seno inverso f x arcsenx x y 1 1 π 2 π 4 π 2 π 4 Las funciones tangente cotangente secante y cosecante también pueden experimentar desplazamientos horizontales y verticales así como compresiones o alargamientos horizontales.

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Capítulo 4 Trigonometría 431 pág. Si restringimos el dominio de f x cotx al intervalo 0 π obtenemos una función biyectiva. A la función inversa de la cotangente se la denota por cot 1 x o arccotx Si restringimos el dominio de f x tanx al intervalo ฀ π 2 π 2 obtenemos una función biyectiva. A la función inversa de la tangente se la denota por tan 1 x o arctanx. Función tangente inversa x y 2 2 π 2 π 4 f x arctanx π 4 π 2 4 6 8 10 4 6 8 10 Función cotangente inversa Si restringimos el dominio de f x cosx al intervalo 0 π y el conjunto de llegada al intervalo 1 1 obtenemos una función biyectiva. A la función inversa del coseno se la denota por cos 1 x o arccosx. Función coseno inverso f x arccosx x y 1 1 π 2 π 4 3π 4 π ฀ π 4

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432 pág. f x arccotx x y 2 2 3π 4 π 2 π π 4 4 6 8 10 4 6 8 10 ฀ π 4 Si restringimos el dominio de f x cscx al intervalo ฀ π 2 ฀ π 2 0 y el conjunto de llegada al intervalo ฀ ฀ 1 1 obtenemos una función biyectiva. A la función inversa de la cosecante se la denota por csc 1 x o arccsc x. Función cosecante inversa f x arccscx x y 2 2 π 2 π 4 π 4 π 2 4 6 8 10 4 6 8 10 Función secante inversa Si restringimos el dominio de f x secx al intervalo 0 ̟ ฀ π 2 y el conjunto de llegada al intervalo ฀ ฀1 1 obtenemos una función biyectiva. A la función inversa de la secante se la denota por sec 1 x o arcsecx. f x arcsecx x y 2 2 3π 4 π 2 π π 4 4 6 8 10 4 6 8 10 ฀ π 4

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Capítulo 4 Trigonometría 433 pág. Ejemplo 4.21 Relaciones trigonométricas inversas. Si 0 ฀ ฀ π 2 y ฀ arccos3x encuentre expresiones para sen y cot . Solución: ฀ arccos3x ฀ cos 3x Ejemplo 4.20 Relaciones trigonométricas inversas. Aplicando el teorema de Pitágoras: Determine el valor de tanx tal que x arcsen ฀ 15 17 3π 2 ฀ x ฀ 2π. Solución: y x x 17 P a 15 a a 17 2 ฀ ฀ 15 2 a 289 ฀ 225 a 8 tanx ฀ 15 8 a 64

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434 pág. La gráfica correspondiente en el plano cartesiano es: y x 3x 1 h h 1 2 ฀ 3x 2 Aplicando el teorema de Pitágoras: h 1 ฀ 9x 2 Los valores solicitados son: sen h 1 cot 3x h sen 1 ฀ 9x 2 cot 3x 1 ฀ 9x 2 Note que por ser la medida de un ángulo del I cuadrante sus funciones trigonométricas poseen signos positivos. Ejemplo 4.22 Funciones trigonométricas inversas. Sea f x arcsen3x ฀ 2 una función de variable real cuyo rango es ฀ π 2 π 2 determine el dominio de f. Solución: La función f x arcsen3x ฀ 2 también puede ser graficada así: 1 ฀ 3x ฀ 2 ฀ 1 1 ฀ 3x ฀ 3 1 3 ฀ x ฀ 1 ฀ dom f 1 3 1 A partir de la definición de la función seno inverso se deduce que:

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Capítulo 4 Trigonometría 435 pág. Paso 1: Función original f x arcsen x. 1 1 f x arcsecx y x π 2 π 2 Con esta última gráfica se puede notar que efectivamente dom f 1 3 1 . Paso 3: Desplazamiento 2 3 unidades a la derecha f 3x ฀ 2 arcsen 3 x ฀ 2 3 . x y f 3x ฀ 2 arcsen 3x ฀ 2 π 2 2 3 1 3 π 2 1 Paso 2: Compresión horizontal f 3x arcsen 3x. x y f 3x arcsen 3x π 2 1 3 1 3 π 2

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436 pág. Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Demostrar identidades trigonométricas empleando identidades de seno coseno y tangente. Deducir identidades para el ángulo suma ángulo doble ángulo mitad y de suma a producto. Identificar identidades trigonométricas analítica y gráficamente. Obtener relaciones trigonométricas de ángulos compuestos a partir de otras relaciones conocidas. 4.5 Identidades Trigonométricas En esta sección veremos que dada una expresión trigonométrica es posible simplificarla o transformarla en otra expresión equivalente a la original empleando las principales identidades trigonométricas del seno coseno tangente cotangente secante cosecante ángulo doble ángulo medio productos de seno y/o coseno. Así mismo se dará una interpretación gráfica de algunas identidades lo cual es más eficiente en algunos casos. Para poder alcanzar los objetivos precedentes se usarán propiedades de gran importancia en trigonometría. Así en esta sección se analizarán varias de las denominadas identidades trigonométricas. El procedimiento para demostrar identidades es: Empezar con el miembro que tenga la expresión más compleja. Preferir el uso de funciones senos y cosenos. Trabajar en el miembro seleccionado de la expresión teniendo en cuenta la expresión del otro miembro. Identidades Cocientes tanx senx cosx x ฀฀ 2n ฀ 1 π 2 n cotx cosx senx x ฀฀ nπ n Identidades Recíprocas cotx 1 tanx x ฀฀ 2n ฀ 1 π 2 n ฀ nπ n secx 1 cosx x ฀฀ 2n ฀ 1 π 2 n cscx 1 senx x ฀ ฀ nπ n

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Capítulo 4 Trigonometría 437 pág. Identidades Pitagóricas sen 2 x ฀ cos 2 x ฀ 1 ฀ x A partir de esta identidad y dividiendo por cos 2 x y sen 2 x se obtiene: tan 2 x ฀ 1 sec 2 x ฀ x ฀ 2n ฀ 1 π 2 n 1 cot 2 x csc 2 x ฀ x ฀ nπ n Identidades Pares o Impares En base a las gráficas de las seis funciones trigonométricas se puede deducir que: sen x ฀ senx ฀฀ ฀ x cos x ฀฀฀cosx ฀฀ ฀ x tan x ฀ tanx ฀฀ ฀ x ฀฀ 2n ฀ 1 π 2 n cot x ฀ cotx ฀฀ ฀ x ฀ nπ n sec x ฀฀฀secx ฀฀ ฀ x ฀฀ 2n ฀ 1 π 2 n csc x ฀ cscx ฀฀ ฀ x ฀ nπ n Ejemplo 4.23 Demostración de una identidad trigonométrica. Demostrar la identidad: senx ฀ cosx 2 ฀ senx ฀ cosx 2 2 ฀ Solución: senx ฀ cosx 2 ฀ senx ฀ cosx 2 sen 2 x ฀ 2senx ฀cosx ฀ cos 2 x ฀฀ sen 2 x ฀ 2senx ฀cosx ฀ cos 2 x Productos notables. 2sen 2 x ฀ 2cos 2 x Simplificación de términos. 2sen 2 x ฀ cos 2 x Factor común. 2 Identidad pitagórica.

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438 pág. Ejemplo 4.24 Demostración de una identidad trigonométrica. Demostrar la identidad: sec 2 x ฀ csc 2 x ฀ sec 2 xcsc 2 x. Solución: Identidades cocientes. sec 2 x ฀ csc 2 x ฀ 1 cos 2 x ฀ 1 sen 2 x m.c.m. del denominador. sen 2 x ฀ cos 2 x ฀ cos 2 xsen 2 x ฀ Identidad pitagórica 1 cos 2 xsen 2 x ฀ Propiedad de las fracciones. 1 cos 2 x 1 sen 2 x Identidades recíprocas. sec 2 x ฀ csc 2 x ฀ sec 2 xcsc 2 x Ejemplo 4.25 Demostración de una identidad trigonométrica. Demostrar la identidad: tanx ฀ tany ฀ cotx ฀ coty ฀ tanx tany. Solución: Identidades cocientes. tanx ฀ tany ฀ cotx ฀ coty ฀ senx cosx ฀ seny ฀ cosy ฀ cosx ฀ senx ฀ ฀ cosy seny m.c.m. del denominador. senx cosy ฀ seny cosx cosx cosy seny cosx ฀ senx cosy senx seny Simplificación de términos. senx seny cosx cosy Propiedades de las fracciones. senx cosx ฀ seny ฀ cosy ฀ Identidades cocientes. tanx ฀ tany ฀ cotx ฀ coty ฀ tanx tany

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Capítulo 4 Trigonometría 439 pág. Ejemplo 4.26 Demostración de una identidad trigonométrica. Demostrar la identidad: 1 ฀ cos x ฀ sen x ฀ 1 ฀ cos x ฀ sen x ฀ secx ฀ tanx. Solución: 1 ฀ cos x ฀ sen x ฀ 1 ฀ cos x ฀ sen x ฀ Identidades pares o impares. 1 ฀ cosx ฀ senx ฀ 1 ฀ cosx ฀ senx ฀ Multiplicación por el conjugado del denominador . 1 cosx ฀ senx ฀ 1 cosx ฀ senx ฀ 1 ฀ cosx senx ฀ 1 ฀ cosx senx ฀ 1 ฀ cosx ฀ senx ฀ ฀ cosx ฀ cos 2 x ฀ senxcosx ฀ senx ฀ senxcosx ฀ sen 2 x ฀ 1 ฀ cosx ฀ senx 2 ฀ Simplificación de términos. 1 ฀ cos 2 x ฀ 2senx ฀฀ sen 2 x ฀ 1 ฀ cos 2 x ฀ 2senxcosx ฀ sen 2 x ฀ Identidad pitagórica. sen 2 x ฀ 2senx ฀฀ sen 2 x ฀ 2senx cosx Simplificación de términos. 2sen 2 x ฀฀ 2senx ฀ 2senx cosx Propiedades de las fracciones. 2sen 2 x 2senxcosx 2senx 2senxcosx Propiedades de las fracciones. senx cosx 1 cosx Identidades cociente y recíproca. tanx ฀ secx Propiedad conmutativa. secx ฀ tanx

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440 pág. Hagamos rotar el triángulo OP 1 P 2 de manera tal que el punto P 2 se sitúe sobre el eje horizontal. Identidades de suma y diferencia de medidas de ángulos En esta sección vamos a demostrar las identidades correspondientes a cosx y cosx y senx y y senx y. Sean los ángulos cuyas medidas son a b y a b en la siguiente gráfica: x y P 1 cosa sena P 2 cosb senb a ฀ b a b O La longitud del segmento P 1 P 2 es: P 1 P 2 cosb ฀ cosa 2 ฀ senb ฀ sena 2 ฀฀ P 1 P 2 2 ฀ 2cosacosb ฀ 2senasenb ฀ ฀ cos 2 b ฀ 2cosb cosa ฀ cos 2 a ฀ sen 2 b ฀ 2senb sena ฀ sen 2 a ฀ ฀ ฀ ฀ a ฀ b P 1 cosa b sena b P 2 1 0 x y O Si designamos por P 1 y P 2 las posiciones de los vértices luego de la rotación y observando que las coordenadas de P 2 son 1 0 podemos calcular la longitud del segmento P 1 P 2 : P 1 P 2 cosa ฀ b ฀ 1 2 ฀ sena ฀ b ฀ 0 2 ฀ ฀ P 1 P 2 2 ฀ 2cosa ฀ b cos 2 a ฀ b ฀ 2cosa ฀ b ฀ 1 ฀ sen 2 a ฀ b

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Capítulo 4 Trigonometría 441 pág. Desde luego P 1 P 2 P 1 P 2 y así: 2 ฀ 2cosa ฀ b 2 ฀ 2cosacosb ฀ 2senasenb Finalmente: cosa ฀ b cosacosb ฀ senasenb El procedimiento anterior puede repetirse para un par de ángulos completamente arbitrarios x y: cosx ฀ y cosxcosy ฀ senxseny x y A partir de este resultado se puede obtener cosx ฀ y. cosx ฀ y cosx ฀ ฀ y cosx ฀ y cosxcos ฀ y ฀ senxsen ฀ y ฀ Puesto que cosy es par y seny es impar cosx ฀ y cosxcosy ฀ senxseny x y Si tomamos y π 2 cos x π 2 cosx cos π 2 ฀ senx sen π 2 Esto es: cos x π 2 ฀ senx Si tomamos x π 2 z x z π 2 Del resultado anterior: cosz ฀ sen z π 2

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442 pág. sen x ฀ y ฀senx cosy ฀ cosx seny x y sen x ฀ y ฀senx cosy ฀ cosx seny x y sen x ฀ y ฀cos x ฀ y ฀ π 2 ฀cos x ฀ y ฀ π 2 ฀ ฀cosx ฀cos ฀y ฀ π 2 ฀ senx ฀sen ฀y ฀ π 2 ฀cosx ฀seny ฀ ฀ senx ฀ cosy Podemos ahora calcular sen x ฀ y: sen x ฀ y ฀senx + ฀ y ฀senx cos ฀ y + cosx sen ฀ y A partir de este resultado se puede obtener sen x ฀ y. senx y tan x y cosx y senx cosy ฀ cosx seny cosx cos y ฀ senx seny senx cosx seny cosy senx cosx seny cosy 1 Podemos ahora calcular tanx + y: Por otra parte: cos x ฀ π 2 cosx cos π 2 senx sen π 2 cos x ฀ π 2 senx Resumiendo: cos x ฀ π 2 ฀ senx cos x ฀ π 2 senx cosx ฀ sen x ฀ π 2 cosx sen x ฀ π 2 tan x y ฀ tan x ฀ ฀ tan y 1 ฀ tan x ฀tan y ฀฀฀฀฀฀฀฀฀ x y ฀ 2n ฀ 1 π 2 n

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Capítulo 4 Trigonometría 443 pág. Demostrar la identidad senx y + senx y 2senx cosy. Solución: senx y + senx y senx cosy + cosx seny + senx cosy ฀ cosx seny senx y + senx y 2senx cosy Ejemplo 4.27 Demostración de una identidad trigonométrica. A partir de este resultado se puede obtener tan x y. tan x y ฀ tan x ฀ y ฀ ฀ tan x ฀ ฀ tan y 1 ฀ tan x ฀tan y tan x y ฀ ฀ tan x ฀ tan y 1 ฀ tan x ฀tan y x y ฀ 2n ฀ 1 π 2 n También se puede demostrar que: x ฀ y π 2 ฀ sen x cos y cos x sen y Se pueden comprobar estas últimas identidades con ángulos notables: sen π 3 cos π 6 sen π 6 cos π 3 sen π 4 cos π 4 Ejemplo 4.28 Demostración de una identidad trigonométrica. Demostrar la identidad: senx ฀ y senx ฀ y sen 2 x ฀ sen 2 y. Solución: senx ฀ y senx ฀ y senx cosy ฀ cosx senysenx cosy ฀ cosx seny sen 2 x cos 2 y ฀ cos 2 x sen 2 y sen 2 x1 ฀ sen 2 y ฀ sen 2 y1 ฀ sen 2 x sen 2 x ฀ sen 2 x sen 2 y ฀ sen 2 y ฀ sen 2 x sen 2 y senx ฀ y senx ฀ y sen 2 x ฀ sen 2 y

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444 pág. Ejemplo 4.29 Demostración de una identidad trigonométrica. 1 tan x ฀ y Demostrar la identidad: cotx ฀ y cot x cot y ฀ 1 cot y ฀ cot x . Solución: cot x cot y ฀ 1 cot y ฀ cot x 1 tan x 1 tan y ฀ 1 1 tan y 1 tan x 1 ฀ tan x tan y tan x tan y tan x ฀ tan y tan x tan y cot x cot y ฀ 1 cot y ฀ cot x cot x ฀ y Ejemplo 4.30 Identidades trigonométricas. Si tanx ฀ 7 5 3π 2 ฀ x ฀ 2π determine el valor de cos ฀x π 3 . Solución: Aplicando el teorema de Pitágoras: x y P5 7 x h 5 h 5 2 ฀ 7 2 ฀ ฀ h 25 ฀ 49 h 74

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Capítulo 4 Trigonometría 445 pág. Ejemplo 4.31 Identidades trigonométricas y funciones inversas. Sean los ángulos ฀ 0 π 2 donde ฀ arccos 3 10 ฀y ฀ arccos 2 5 determine ฀฀ . Solución: Se tiene que cos 3 10 ฀y cos 2 5 . Pero sen ฀ 1 ฀ cos 2 ฀ . Y puesto que ฀ 0 π 2 : sen 1 ฀ 9 10 1 10 y sen 1 4 5 1 5 . Como: cos ฀฀ cos cos ฀ sen ฀sen . Entonces: cos ฀฀ 3 10 ฀ ฀ 2 5 ฀ ฀ 1 10 ฀ ฀ 1 5 ฀ 1 2 . Por lo tanto ฀฀ π 4 . ฀ tanx 7 5 ฀ 3π 2 ฀ ฀ x ฀ 2π ฀ ฀ ฀ ฀cosx 5 74 ฀ senx ฀ 7 74 ฀ cos x π 3 cosxcos π 3 ฀ senx ฀sen π 3 ฀ 5 74 ฀ 1 2 ฀ ฀ ฀ 7 74 ฀ 2 3 cos x π 3 5 ฀ 7 3 74 2 Ejemplo 4.32 Aplicación de identidades trigonométricas. Sin utilizar calculadora determine el valor de: a sen75º b cos105º

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446 pág. Solución: a sen75º sen30º ฀ 45º sen30º cos45º ฀ cos30º sen45º 1 2 ฀ ฀ ฀ 2 2 ฀ ฀ ฀ ฀฀ ฀ 2 3 ฀ ฀ ฀ ฀ 2 2 ฀ 4 2 ฀ 4 6 sen75º 4 6 2 b cos105º cos45º ฀ 60º cos45º cos60º ฀ sen45º sen60º ฀ 2 2 ฀ ฀ ฀ 1 2 ฀ ฀ ฀ 2 2 ฀ ฀ ฀ ฀ 2 3 ฀ 4 2 ฀ 4 6 cos105º 4 6 2 Identidades de ángulo doble Con la identidad pitagórica y esta última se puede deducir que: Además: cos2x cosx ฀ x cos2x cosxcosx ฀ senxsenx sen2x senx ฀ x sen2x senxcosx ฀ cosxsenx cos2x cos 2 x ฀ sen 2 x x cos2x 1 ฀ 2sen 2 x x cos2x 2cos 2 x ฀ 1 x sen2x 2senx cosx x

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Capítulo 4 Trigonometría 447 pág. El signo del radical debe escogerse en relación con la ubicación de x 2 . Si se encuentra en el primer cuadrante cos x 2 ฀ 0 y así sucesivamente. tan2x sen 2x cos 2x tan2x 2senx cosx cos 2 x ฀ sen 2 x tan2x 2tanx 1 ฀ tan 2 x x ฀ ฀ 2n ฀ 1 π 2 n ฀ 2n ฀ 1 π 4 n Ejemplo 4.33 Demostración de una identidad trigonométrica. Demostrar la identidad: sen 3 x ฀ cos 3 x senx ฀ cosx 1 ฀ 1 2 sen2x. Solución: sen 3 x ฀ ฀ cos 3 x senx ฀ ฀ cosx senx ฀ ฀ cosx sen 2 x ฀ senx ฀cosx cos 2 x senx ฀ ฀ cosx senx ฀ ฀ cosx 1 ฀ senx ฀cosx senx ฀ ฀ cosx 1 ฀ 1 2 sen2x. cos2x 2 cos 2 x ฀ 1 De donde: cos 2 x 1 ฀ cos2x 2 y así: cosx ฀ ฀ 1 ฀ cos2x 2 Identidades de ángulo mitad cos x 2 ฀ ฀ ฀ ฀ 1 ฀ cosx 2 ฀ ฀ x

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448 pág. Ejemplo 4.34 Demostración de una identidad trigonométrica. Demostrar la identidad: sen3x senx cos3x cosx 2. Solución: sen3x senx cos3x cosx sen2x x senx cos2x x cosx sen2x cosx cos2x senx senx cos2x cosx sen2x senx cosx 2senx cos 2 x 2cos 2 x ฀ ฀ 1 senx senx 2cos 2 x ฀ ฀ 1 cosx ฀ 2 sen 2 x ฀cosx cosx 2senx cos 2 x 2cos 2 x ฀senx ฀ senx senx 2cos 3 x ฀ ฀ cosx ฀ 2 sen 2 x ฀cosx cosx senx 2cos 2 x 2cos 2 x ฀ ฀ senx cosx ฀ 2cos 2 x ฀ 1 ฀ 2sen 2 x cosx 2cos 2 x 2cos 2 x ฀ ฀ ฀ cos 2 x 1 2sen 2 x 2sen 2 x cos 2 x 2 cos2x 1 ฀ 2 sen 2 x sen 2 x ฀ 1 ฀ cos2x 2 ฀ senx ฀ ฀ ฀ 1 ฀ cos2x 2 sen x 2 ฀ ฀ ฀ 1 ฀ cosx 2 ฀ ฀ x tan x 2 ฀ ฀ ฀ 1 ฀ cosx 1 ฀ cosx ฀ ฀ x ฀ ฀ 2n 1 ̟ n

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Capítulo 4 Trigonometría 449 pág. Ejemplo 4.35 Aplicación de identidades trigonométricas. Aplicando el Teorema de Pitágoras: Si π 2 ฀ ฀ x ฀ π y cosx ฀ 4 7 determine el valor de tan2x ฀ π. Solución: a y x 4 x P ฀ 7 a a 4 2 ฀ 7 2 a 16 ฀ 7 a 3 tanx ฀ 3 7 tan2x ฀ π tan2x 2tanx 1 ฀ tan 2 x 2 ฀ 3 7 ฀ 1 ฀ 9 7 ฀ 6 7 ฀ 2 7 tan2x ฀ π 3 7 Ejemplo 4.36 Demostración de una identidad trigonométrica. Demostrar la identidad: csc 2 x 2 ฀ 2 1 ฀ cosx . Solución: csc 2 x 2 ฀ ฀ ฀ 1 sen 2 x 2 1 1 ฀ cos 2 x 2

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450 pág. 1 1฀ ฀ 1 ฀ cosx 2 ฀ 2 2 1 ฀ cosx ฀฀ Ejemplo 4.37 Identidades trigonométricas. Determine si las siguientes expresiones constituyen identidades trigonométricas. a cos 2 x 3 ฀ 1 2 1 ฀ cos 2x 3 ฀ b sen 3x 2sen 3x 2 ฀ ฀cos 3x 2 c cos x cos 2 x 2 ฀ ฀ sen 2 x 2 Solución: a cos x 2 ฀ ฀ 1 ฀ cosx 2 cos x 3 ฀ ฀ 1 ฀ cos 2x 3 2 ฀ cos 2 x 3 ฀ 1 ฀ cos 2x 3 2 La expresión dada no es una identidad trigonométrica. b sen2x 2senxcosx sen3x 2sen 3x 2 ฀cos 3x 2 La expresión dada sí es una identidad trigonométrica. c cos2x cos 2 x ฀ sen 2 x cosx cos 2 x 2 ฀ sen 2 x 2 La expresión dada sí es una identidad trigonométrica.

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Capítulo 4 Trigonometría 451 pág. Identidades de suma a producto El lector puede verificar que: senx ฀ y ฀ senx ฀ y ฀ 2senx cosy cosx ฀ y ฀ cosx ฀ y ฀ 2senx seny cosx ฀ y ฀ cosx ฀ y ฀ 2cosx cosy senx ฀ y ฀ senx ฀ y ฀ 2cosx seny Es frecuente utilizar estas fórmulas de otra manera. Si hacemos: x ฀ y u x u ฀ v 2 x ฀ y v y u ฀ v 2 senu ฀ senv 2sen u ฀ v 2 cos u ฀ v 2 cosv ฀ cosu 2sen u ฀ v 2 sen u ฀ v 2 cosu ฀ cosv 2cos u ฀ v 2 cos u ฀ v 2 senu ฀ senv 2cos u ฀ v 2 sen u ฀ v 2 Las cuales pueden ser expresadas como: senx ฀ seny 2sen x ฀ y 2 cos x ฀ y 2 x y senx ฀ seny 2sen x ฀ y 2 cos x ฀ y 2 x y cosx ฀ cosy 2sen x ฀ y 2 sen x ฀ y 2 x y cosx ฀ cosy 2cos x ฀ y 2 cos x ฀ y 2 x y

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452 pág. Identidades de producto a suma senx cosy 1 2 ฀ senx ฀ y ฀ ฀ senx ฀ y ฀ ฀ x y senx seny 1 2 ฀ cosx ฀ y ฀ ฀ cosx ฀ y ฀ ฀ x y cosx cosy 1 2 ฀ cosx ฀ y ฀ ฀ cosx ฀ y ฀ ฀ x y cosx seny 1 2 ฀ senx ฀ y ฀ ฀ senx ฀ y ฀ ฀ x y Ejemplo 4.38 Demostración de una identidad trigonométrica. Demostrar la identidad: sen4x ฀ sen8x cos4x ฀ cos8x tan6x. Solución: sen4x ฀ sen8x cos4x ฀ cos8x 2sen 4x ฀ 8x 2 ฀cos 4x ฀ 8x 2 2cos 4x ฀ 8x 2 ฀cos 4x ฀ 8x 2 2sen6x cos 2x 2cos6x cos 2x tan6x Ejemplo 4.39 Identidades trigonométricas. Demostrar la identidad: senx sen3x ฀ sen5x cosx cos3x cos5x Solución: senx sen3x ฀ sen5x senx ฀2sen 3x ฀ 5x 2 ฀cos 3x ฀ 5x 2 senx 2sen4x cos x 2cosx sen4x senx 2cosx 1 2 ฀cos4x ฀ x ฀ cos4x ฀ x cosx cos3x ฀ cos5x

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Capítulo 4 Trigonometría 453 pág. Ejemplo 4.40 Demostración de una identidad trigonométrica. Demostrar la identidad: cosx ฀ cosy cosx ฀ cosy ฀ ฀ cot x ฀ y 2 ฀ ฀cot x ฀ y 2 . Solución: cosx ฀ cosy cosx ฀ cosy ฀ 2cos x ฀ y 2 ฀cos x ฀ y 2 2sen x ฀ y 2 ฀sen x ฀ y 2 ฀ cot x ฀ y 2 ฀ ฀cot x ฀ y 2 ฀ Ejemplo 4.41 Demostración de una identidad trigonométrica. Demostrar la identidad: sen 3π 2 ฀ ฀ x ฀ ฀ cosx. Solución: sen 3π 2 ฀ ฀ x ฀ ฀ sen 3π 2 ฀cosx ฀ cos 3π 2 ฀senx 1cosx ฀ 0senx cosx Ejemplo 4.42 Interpretación gráfica de una identidad trigonométrica. sen x ฀ π 2 ฀ senx cos π 2 ฀ ฀ cosx sen π 2 ฀ ฀ ฀ ฀Se desarrolla el primer miembro. sen x ฀ π 2 ฀ senx 0 ฀ cosx 1 Reemplazando valores conocidos. sen x ฀ π 2 ฀ cosx Simplificando. Con lo cual se demuestra la identidad. Se requiere establecer si la igualdad sen x ฀ π 2 ฀ cosx es una identidad. Solución:

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454 pág. En la siguiente figura se observa que el sen x ฀ π 2 es la gráfica estándar de f x senx desplazada π 2 a la izquierda lo cual corresponde a la gráfica de f x cosx. Con esto se verifica la identidad. x y 1 1 y sen x ฀ π 2 ฀ ฀ cosx 2 2 2π 3π 2 π π 2 π 2 π 2π 3π 2 Identificar gráficamente identidades trigonométricas es práctico cuando las gráficas no son muy complicadas de construir o cuando no se dispone de un software graficador. Una identidad se la puede considerar como una ecuación que se satisface para todos los elementos del referencial. En caso de tener una igualdad que no represente una identidad trigonométrica las gráficas serán diferentes y puede ocurrir que se intersequen en algunos puntos o que la intersección no exista tal como se ilustra en la Figura 4.14. a Intersección ocurre en algunos puntos. x y 3 1 3π 2 π 2 2π gx 3cosx f x senx 2 1 2 3 π π 2 π 3π 2 2π

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Capítulo 4 Trigonometría 455 pág. La Figura 4.14a puede interpretarse como una igualdad que se cumple sólo para ciertos elementos del dominio de las funciones mientras que en la figura 4.14b se puede notar que las dos funciones trigonométricas no tienen puntos en común. Para algunas aplicaciones es necesario obtener estos puntos de intersección entre gráficas lo cual conlleva a resolver ecuaciones trigonométricas tal como se estudiará en la siguiente sección. Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dada una ecuación trigonométrica transformarla y despejar su incógnita empleando despeje directo o factorización. Dada una ecuación trigonométrica transformarla y despejar su incógnita empleando algún cambio de variable adecuado. Dada una inecuación trigonométrica encontrar gráficamente su solución. 4.6 Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas En esta sección veremos que las ecuaciones o inecuaciones que involucran funciones trigonométricas pueden ser resueltas utilizando las identidades estudiadas en la sección anterior las gráficas de estas funciones y sus respectivas inversas. Figura 4.14: Interpretación Gráfica de Identidades Trigonométricas b Intersección no existe. gx cosx 2 f x senx x y 1 1 3π 2 π 2 2π 2 3 2 π π 2 π 3π 2 2π

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456 pág. Ejemplo 4.43 Ecuaciones trigonométricas. Por lo tanto: Apx π 6 5π 6 La suma de los elementos de Apx es π. Sea Re 0 2π y px: senx 1 2 . Encuentre la suma de los elementos de Apx: Solución: Comprobando: x arcsen 1 2 x π 6 ฀ ฀ x 5π 6 p π 6 : sen π 6 ฀ 1 2 p π 6 ฀ ฀ 1 p 5π 6 : sen 5π 6 ฀ 1 2 p 5π 6 ฀ ฀ ฀ 1 Ejemplo 4.44 Ecuaciones trigonométricas. Sea Re 0 2π y px: 2cos 2 x ฀ cosx 1฀ 0. Encuentre la suma de los elementos de Apx . Solución: Sea u cosx 2u 2 ฀ u ฀ 1 ฀0 2u ฀ 2 2u ฀ 1 2 ฀ ฀0 u ฀ 1 2u ฀ 1 ฀0 u ฀ 1 ฀0 ฀ 2u ฀ 1 ฀0 u 1 ฀ u ฀ 1 2 ฀ cosx 1 ฀ cosx ฀ 1 2 ฀ x arccos1 ฀ x arccos ฀ ฀ 1 2 x 0 ฀ x 2π ฀ x 2π 3 ฀ ฀ x 4π 3

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Capítulo 4 Trigonometría 457 pág. Ejemplo 4.45 Ecuaciones trigonométricas. Sea Re 0 2π y px: tan2x ฀ 2senx 0 encuentre la suma de los elementos de Apx. Solución: tan2x ฀ 2senx 0 sen2x cos2x ฀ ฀ 2senx 0 2senxcosx 2cos 2 x ฀ 1 ฀ ฀ 2senx 0 2senxcosx ฀ 2senx 2cos 2 x ฀ 1 2cos 2 x ฀ 1 ฀ 0 2senxcosx ฀ 2cos 2 x ฀ 1 2cos 2 x ฀ 1 ฀ 0 2senx 0 ฀ 2cos 2 x ฀ cosx ฀ 1 0 x arcsen0 ฀ ฀ x arccos 1 ฀ x arccos 1 2 x 0 ฀ x π ฀ x 2π ฀ ฀ x π ฀ x π 3 ฀ x 5π 3 ฀ Por lo tanto: Apx 0 2π 3 4π 3 2π . La suma de los elementos de Apx es 4π. Comprobando: p 0 : 2cos 2 0 ฀ cos0 ฀ 1 21 ฀ 1 ฀ 1 0 ฀ p 0 ฀ 1 p 2π : 2cos 2 2π ฀ cos2π ฀ 1 21 ฀ 1 ฀ 1 0 ฀ p 2π ฀ 1 p 2π 3 ฀: 2cos 2 2π 3 ฀ ฀ cos 2π 3 ฀ 1 2 1 4 ฀ 1 2 ฀ 1 0 ฀ p 2π 3 ฀ 1 p 4π 3 ฀: 2cos 2 4π 3 ฀ ฀ cos 4π 3 ฀ 1 2 1 4 ฀ 1 2 ฀ 1 0 ฀ p 4π 3 ฀ 1

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458 pág. Por lo tanto: Apx 0 π 3 π 5π 3 2π . La suma de los elementos de Apx es 5π. Comprobando: p0 : tan0 ฀฀ 2sen0 ฀฀ 0 ฀ p0 ฀ 1฀ pπ : tan2π ฀฀ 2senπ ฀฀ 0 ฀ pπ ฀ 1 p2π : tan4π ฀฀ 2sen2π ฀฀ 0 ฀ p2π ฀ 1 p π 3 ฀ : tan 2π 3 ฀ ฀ ฀฀ 2sen π 3 ฀฀ ฀ 3 ฀ 2 2 3 0 ฀ p π 3 ฀ 1 p 5π 3 ฀ : tan 10π 3 ฀ ฀ ฀฀ 2sen 5π 3 ฀฀ 3 ฀ 2 ฀ 2 3 0 ฀ p 5π 3 ฀ 1 Ejemplo 4.46 Ecuaciones Trigonométricas. Sea Re 2π 0 y px: sec 2x ฀ π 2 ฀ 2 3 determine Apx. Solución: sec 2x ฀ π 2 ฀ ฀ 2 3 ฀ ฀ ฀ ฀ cos 2x ฀ π 2 ฀ ฀ 2 3 cos 2x ฀ π 2 ฀ ฀ cos2x cos π 2 ฀ ฀ sen2x sen π 2 ฀฀ sen2x sen 2x 2 3 ฀ x 2π 0 ฀ ฀ ฀ 2x ฀ 2π π 3 2x ฀ 2π π 3 ฀ 2π 2x ฀ 2π π ฀ π 3 2x ฀ 2π π ฀ π 3 ฀ 2π ฀ ฀ 2x 5π 3 2x 11π 3 2x 4π 3 2x 10π 3 ฀ ฀ ฀ x 5π 6 x 11π 6 x 2π 3 x 5π 3 ฀

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Capítulo 4 Trigonometría 459 pág. Comprobando: p ฀ 5π 6 ฀: sec ฀ 5π 3 ฀ π 2 ฀฀ sec ฀ 13π 6 ฀ ฀ sec ฀ π 6 ฀฀ sec π 6 ฀ 2 3 ฀ ฀ p ฀ 5π 6 ฀ ฀ 1 p ฀ 11π 6 ฀: sec ฀ 11π 3 ฀ π 2 ฀฀ sec ฀ 25π 6 ฀ ฀ sec ฀ π 6 ฀฀ sec π 6 ฀ 2 3 ฀ ฀ p ฀ 11π 6 ฀ ฀ 1 p ฀ 2π 3 ฀: sec ฀ 4π 3 ฀ π 2 ฀฀ sec ฀ 11π 6 ฀ ฀ sec ฀ π 6 ฀ 2 3 ฀ ฀ p ฀ 2π 3 ฀ ฀ 1 p ฀ 5π 3 ฀: sec ฀ 10π 3 ฀ π 2 ฀฀ sec ฀ 23π 6 ฀ ฀ sec π 6 ฀ 2 3 ฀ ฀ p ฀ 5π 3 ฀ ฀ 1 Apx ฀ 11π 6 ฀ 5π 3 ฀ 5π 6 ฀ 2π 3 Ejemplo 4.47 Ecuaciones trigonométricas. Sea Re 0 π y px: sen3x ฀ senx 0 determine Apx. Solución: senx ฀ 2x ฀ senx 0 Descomponiendo 3x. senx cos2x ฀ cosx sen2x ฀ senx 0 Aplicando identidad senx ฀ y. senx cos2x ฀ 2senx cos 2 x ฀ senx 0 Aplicando identidad sen2x. senx cos2x ฀ 2cos 2 x ฀ 1 0 Factorizando. senx 0 ฀ 4cos 2 x 0 Igualando a cero cada factor . x arcsen0 ฀ x arccos0 Obteniendo las funciones inversas. x 0 ฀ x π ฀ ฀x π 2 Encontrando los valores de x.

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460 pág. Comprobando: p0: sen0 ฀ sen0 0 ฀ 0 0 ฀ p0 1฀ pπ: sen3π ฀ senπ 0 ฀ 0 0 ฀ pπ 1 p π 2 : sen 3π 2 ฀ ฀ sen π 2 ฀ 1 ฀ 1 0 ฀ p π 2 1 Apx 0 π 2 π Ejemplo 4.48 Ecuaciones trigonométricas. Sea Re ฀0 π 2 ฀ ฀y px: 8 sen 2 x 2 2 2 determine Apx. Solución: Igualando bases y exponentes: 2 3sen 2 x 2 2 3 2 3sen 2 x 2 3 2 Encontramos los valores de x: sen 2 x 2 1 2 ฀ x 0 π 2 ฀ ฀ ฀senx 2 2 2 ฀ ฀ x 2 arcsen 2 2 ฀ x 2 π 4 ฀ ฀ x 2 3π 4 ฀ ฀ ฀ x 2 π ฀ ฀ x 2 3π Comprobando: p 2 π ฀ ฀ : 8 sen 2 π 4 8 1 2 2 8 1 2 2 2 ฀ p 2 π ฀ ฀ 1 p 2 3π ฀ ฀ : 8 sen 2 3π 4 8 1 2 2 8 1 2 2 2 ฀ p 2 3π ฀ ฀ ฀ 1 Apx 2 π 2 3π Ejemplo 4.49 Ecuaciones Trigonométricas. Sea Re 0 2π y px: sen 2 2x ฀ sen 2x ฀ 2 0 determine la suma de los elementos de Apx. Solución: Sea z sen2x z 2 ฀ z ฀ 2 0 z ฀ 2 z ฀ 1 0 z ฀ 2 0 z ฀ 1 0 z ฀2 z 1

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Capítulo 4 Trigonometría 461 pág. Finalmente x 1 ฀ x 2 10π 4 5π 2 . Descartamos z 2 porque no es una solución trigonométrica posible. Luego: sen2x 1 ฀ 2x 3π 2 ฀ ฀ 2x 7π 2 ฀ ฀ x 1 3π 4 ฀ ฀ x 2 7π 4 p 3π 4 ฀: sen 2 3π 2 ฀ sen 3π 2 ฀ 2 1 2 1 2 0 ฀ ฀ p 3π 4 ฀ ฀ ฀ ฀ 1 p 7π 4 ฀: sen 2 7π 2 ฀ sen 7π 2 ฀ 2 1 2 1 2 0 ฀ ฀ p 7π 4 ฀ ฀ ฀ ฀ 1 Ejemplo 4.50 Ecuaciones trigonométricas. Sea Re 0 2π y px: sen 2 3x ฀ 2cos2x ฀ cos 2 3x 0 determine Apx. Solución: sen 2 3x ฀ cos 2 3x 2cos2x Agrupando términos. ฀ cos2x 1 2 Identidad pitagórica. 2x arccos 1 2 ฀ Resolviendo la ecuación. 2x π 3 ฀ ฀ 2x 5π 3 ฀ ฀ 2x 7π 3 ฀ ฀ 2x 11π 3 ฀ ฀ ฀ Determinando los valores de x. x π 6 ฀ ฀ x 5π 6 ฀ ฀ x 7π 6 ฀ ฀ x 11π 6 ฀ Comprobando tenemos que: p π 6 ฀: ฀sen 2 π 2 ฀ ฀ 2cos π 3 ฀ ฀ cos 2 π 2 ฀ 1 2 ฀ 2 1 2 ฀ ฀ 0 0 p π 6 ฀ ฀ 1 p 5π 6 ฀: ฀sen 2 5π 2 ฀ ฀ 2cos 5π 3 ฀ ฀ cos 2 5π 2 ฀ 1 2 ฀ 2 1 2 ฀ ฀ 0 0 p 5π 6 ฀ ฀ 1

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462 pág. Por lo tanto: Apx π 6 5π 6 7π 6 11π 6 p 7π 6 ฀: ฀sen 2 7π 2 ฀ ฀ 2cos 7π 3 ฀ ฀ cos 2 7π 2 ฀ 1 2 ฀ 2 1 2 ฀ ฀ 0 0 p 7π 6 ฀ ฀ 1 p 11π 6 ฀: ฀sen 2 11π 2 ฀ ฀ 2cos 11π 3 ฀ ฀ cos 2 11π 2 ฀ 1 2 ฀ 2 1 2 ฀ ฀ ฀ 0 0 p 11π 6 ฀ ฀ 1 Ejemplo 4.51 Ecuaciones trigonométricas. Sea Re π π y px: 3senx ฀ cos2x 2 determine Apx . Solución: Comprobando tenemos que: p π 2 ฀: ฀3sen π 2 ฀ ฀ cos π 31 ฀ 1 2 ฀ p π 2 ฀ 1 p π 6 ฀: ฀3sen π 6 ฀ ฀ cos π 3 3 1 2 ฀ 1 2 2 ฀ p π 6 ฀ 1 p 5π 6 ฀: ฀3sen 5π 6 ฀ ฀ cos 5π 3 3 1 2 ฀ 1 2 2 ฀ p 5π 6 ฀ 1 Por lo tanto: Apx π 6 π 2 5π 6 3senx ฀ cos2x 2 3senx ฀ 1 ฀ 2sen 2 x 2 Aplicando identidad cos2x. 2sen 2 x ฀ 3senx ฀ 1 0 Obteniendo la ecuación cuadrática. Sea u senx Efectuando un cambio de variable. 2u 2 ฀ 3u ฀ 1 0 Transformando en una ecuación cuadrática. 2u ฀ 2 2u ฀ 1 2 0 Resolviendo la ecuación. u ฀1 ฀ ฀u ฀ 1 2 Obteniendo los valores de u. senx ฀1 ฀ senx 1 2 Realizando nuevamente el cambio de variable. x ฀arcsen1 ฀ ฀x arcsen 1 2 ฀ Obteniendo los valores de x. ฀x π 2 ฀ ฀ x π 6 ฀ ฀ x 5π 6 ฀ Expresando las soluciones.

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Capítulo 4 Trigonometría 463 pág. Sea Re 0 2̟ y px: µlncosx 0 determine Apx. Solución: Para que la función escalón tome el valor de 0 su argumento debe ser negativo o cero es decir: lncosx 0 Para que la función logaritmo natural tome valores negativos o cero su argumento debe ser mayor que cero y menor o igual que uno es decir: 0 cosx 1 Empleando la definición de la función coseno gráficamente se determina la solución de esta inecuación. Ejemplo 4.53 Inecuaciones trigonométricas. Ejemplo 4.52 Inecuaciones trigonométricas. Sea Re 2̟ 2̟ y px: sgn senx 1 determine Apx. Solución: Para que la función signo tome el valor de 1 su argumento debe ser positivo. Es decir senx 0. Gráficamente se observa los intervalos de x entre 2̟ 2̟ en los cuales se cumple esta condición: f x senx y x Apx x/x 2̟ ̟ ฀ 0 ̟. 1 2 3π 2 π 2 2 1 2π π π 2 π 3π 2 2π

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464 pág. x y 1 y cosx 2 π 2 3π 2 π 2π y ln cos x y x π 2 π 3π 2 2π Por lo tanto: Apx x/x 0 π 2 ฀ ฀ 3π 2 2̟ ฀ . x y 2π 3π 2 π 2 π y ln cosx Ejemplo 4.54 Inecuaciones trigonométricas. Sea Re 0 2̟ y px: sgn 2sen x 2 ฀ 1 ฀ 1 determine Apx. Solución: Se debe cumplir lo siguiente: 2sen x 2 ฀ 1 ฀ 0 ฀ sen ฀ x 2 ฀ ฀ 1 2 ฀ π 6 ฀ x 2 ฀ 5π 6 ฀ ฀ ฀ π 3 ฀ x ฀ 5π 3 ฀ ฀ ฀ En la gráfica de la función mostrada a continuación se ha sombreado el intervalo para el cual sen x 2 ฀ ฀ 1 2 . y sen x 2 5̟ 3 3̟ 2 x y 1 1 2 ฀ 1 π 3 π 2 π 2π 5̟ 2 3π 7̟ 2 4π 9̟ 2

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Capítulo 4 Trigonometría 465 pág. Ejemplo 4.55 Inecuaciones trigonométricas. Sea Re 2̟ 2̟ y px senx cosx 0 determine Apx. Solución: Para que se cumpla senx cosx 0 se debería resolver la siguiente inecuación: 0 ฀ senx cosx ฀ 1 0 ฀ ฀ 1 2 sen2x ฀ 1 Si construimos la gráfica de f x 1 2 sen2x tenemos: Podemos notar que para que 0 f x 1 debe cumplirse que: 2x 4π ฀ 3π ฀ 2π π ฀ 0 π ฀ 2π 3π ฀ 4π Por lo cual: Apx 2π ฀ 3π 2 ฀ ฀ π ฀ π 2 ฀ ฀ 0 π 2 ฀ ฀ π 3π 2 ฀ ฀ 2π Otra manera de resolver este mismo problema sería graficar las funciones estándares f x senx y gx cosx y verificar que se cumple: f x 1 2 sen2x x y 1 1 2 1 2 1 ฀ 4π ฀ 3π ฀ 2π ฀ π π 2π 3π 4π

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466 pág. Se puede observar que Apx efectivamente corresponde al conjunto previamente encontrado. 0 ฀ f x gx ฀ 1 x y 1 f x senx ฀ 2π 3π 2 ฀ π π 2 π 2 π 3π 2 2π 1 2 1 2 1 gx cosx x y ฀ 2π 3π 2 ฀ π π 2 1 1 2 1 2 1 π 2 π 3π 2 2π

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467 pág. 4.1 Ángulos y medidas 1. Un ángulo es la unión de dos semirrectas de origen común. a Verdadero b Falso 2. Un ángulo queda determinado de manera única por su vértice. a Verdadero b Falso 3. Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y son suplementarios. a Verdadero b Falso 4. Dos ángulos suplementarios son siempre agudos. a Verdadero b Falso 5. Dos ángulos opuestos por el vértice siempre son complementarios. a Verdadero b Falso 6. Transformar cada ángulo dado de grados a radianes. a 30º b 135º c 120º d 450º e 540º f 60º a π/6 b 5π/4 c 4π/3 d π/2 e π/12 f 4π 7. Transformar cada ángulo dado de radianes a grados. 8. Complete la siguiente tabla: Radianes 0 π 6 π 4 π 2 2π 3 Grados sexagesimales 60º 135º 112º 150º 15º 9. El extremo del minutero de un reloj recorre 7π 10 cm en tres minutos. ¿Cuál es la longitud del minutero 10. Determine la medida del ángulo en el cual la medida de su suplemento es 4 veces la medida de su complemento. 11. Si la suma de las medidas de ocho ángulos congruentes es 180º. ¿Cuánto mide dicho ángulo en radianes 12. La medida del ángulo suplementario de x es igual a 123º. Hallar la medida del ángulo x y la medida de su ángulo complementario. CAPÍTULO CUATRO 4 Ejercicios propuestos

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468 pág. 4.2 Funciones trigonométricas elementales 13. Calcule el valor de las expresiones siguientes y represéntelas como una fracción o radical simplificado: a sen 30º ฀ cos π 2 cos 7π 6 tan 3π 4 d tan 2 π 6 ฀ cos 2 2π 3 tan 3π 4 b sen 5π 6 ฀cos 4π 3 tan π 6 tan 330º ฀ e sen120º ฀ cos240º ฀ tan60º ฀ tan330º ฀ c 3cos π 6 ฀ ฀ sen 5π 6 tan π 3 f 2sen 2 π 6 cos 2 π ฀ 4tan π 4 sen 2 3π 4 14. Hallar el valor de cada expresión dada: c 3sen45º ฀ 4tan π 6 a tan π ฀ ฀ sen π d sen 40º cos50º b sen50º cos40º e 6cos 3π 4 ฀ 2tan ฀ π 3 4.3 Gráficas de funciones trigonométricas 15. Parte de la gráfica de y p qcosx aparece a continuación. La gráfica contiene los puntos 03 y π 1. Determine cuál de los siguientes enunciados es verdadero: a p 2 ฀ q 2 9 b p 2 ฀ q 2 3 c p 2 ฀ q 2 9 d p ฀ q 3 e p 2 ฀ q 2 3 y x 3 2 1 0 1 2π π 16. Si se tiene la función f : 0π tal que f x 2 1 cos2x entonces su gráfica es: a f x 1 1 π 2 π 3π 2 2π y x b f x y x 1/2 1/2 π 2 3π 2 2π π

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469 pág. 18. Graficar: a y 2cos x ฀ π 4 1 b y |sen2x 1| ฀ 1 c y 1 tanπ ฀ x d y 0.5 ฀ senx/2 e y sgncos2x 17. El siguiente diagrama muestra parte de la gráfica de una curva senoidal fx p qsenkx. El período es 4π el valor mínimo es 3 y el valor máximo es 11 esta gráfica no está a escala. Halle el valor de: c y x f x 2 2 π 4 π 2 3π 4 π d y x f x 2 2 π 4 π 2 3π 4 π e f x y x 1/2 1/2 π 2 π 4 3π 4 π a p b q c k y x 0

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470 pág. 4.4 Funciones trigonométricas inversas 20. Sea ฀ arccos 1/2 π/2 ฀ ฀ ฀ π y ฀ arcsen 3/ π/ ฀ ฀ ฀ ฀ π encuentre el valor de sen tan 21. Encuentre el valor de cosx si x arctan 4/7 x π 3π 2 . 4.5 Identidades trigonométricas 23. x y sen 1 x ฀ y sen 1 x ฀ sen 1 y a Verdadero b Falso 22. Simplificar las siguientes expresiones: d sen arctan ฀ 5 3 b cosarctanx c arccos cos ฀ 17 5 ฀π a cosarcsenx La altura h puede tener como modelo a la función ht acosbt 3. a Use la gráfica anterior para hallar los valores de las constantes a y b. b A partir del resultado anterior calcule la altura de la marea a las 13:00. c ¿A qué hora estará la marea en su mínimo durante el segundo período de 8 horas 19. La gráfica muestra la altura h de las mareas en metros a las t horas pasadas la media noche en la isla de Tahini. h t 5 3 1 0 Altura de las mareas en Tahini Número de horas pasada la media noche 4 8 12

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471 pág. 24. El valor de la expresión 8cos10ºcos20ºcos40º es: a 8cos70º b 1 c tan10º d cot10º e 8 27. Si π/2 x π y senx 5/13 entonces el valor de sen2x es: a 10/13 b 12/13 c 12/13 d 120/169 e 120/169 28. La expresión: ฀ ฀ sec x sec x es equivalente a: a sec3x b sec2x c 1 d cos3x/2 e sec3x/2 30. Hallar el valor de: tan19π/12. 25. El valor de cosπ/12 es: a 4 3 ฀ ฀ 1 b 4 3 ฀ ฀ 2 c 4 2 ฀ ฀ d 4 6 ฀ ฀ 2 e 4 3 ฀ ฀ 26.Si π/2 x π y senx 5/13 entonces el valor de cosx π/3 es: a 26 ฀ ฀ 3 b 74 3 ฀ ฀ c 74 3 ฀ ฀ d 26 ฀ ฀ 3 e 74 ฀ ฀ 3 29. La expresión que no representa una identidad trigonométrica es: c tanx cosx 1 cscx b cos4x cos 2 2x ฀ sen 2 2x e tan2x 2tanx 1 ฀ tan 2 x a sen x 2 cos x 2 1 2 senx d sen 2 2x ฀ cos 2 2x 2 31. Hallar gof x si f y g están definidas por las siguientes reglas de correspondencia: f x cosx x ฀ 0 ln x x ฀ 0 y gx x x ฀ 1 e x x ฀ 1 32. Si tan25º a representar en términos de a la siguiente expresión: tan245º ฀ tan335º tan205º ฀ tan115º

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472 pág. 33. Simplificar y hallar el valor de las siguientes expresiones: a 2sen10º 1 ฀ 2sen70º b sen π 12 cos π 12 c tan55º ฀ tan35º d cos π 5 cos 3π 5 e sen 3π 2 ฀ ฀ tan π 2 ฀ cosπ ฀ cot 3π 2 ฀ ฀ sen 3π 2 ฀ ฀ ฀ cot π 2 ฀ cos2π ฀ tanπ ฀ ฀ f cos π 65 cos 2π 65 cos 4π 65 cos 8π 65 cos 16π 65 cos 32π 65 34. Demuestre: cos 1 10 3 ฀ cos 1 5 2 π 4 35. Demuestre: a sen 3 ฀ 270º cos360º ฀ ฀ tan 3 ฀ π 2 cos 3 ฀ 3π 2 ฀cos ฀ b cos 2 cot 2 ฀ tan 2 ฀ 1 4 ฀sen2 ฀ c tan 2 2x ฀ tan 2 x 1 ฀ tan 2 2x tan 2 x ฀tan3xtanx d sen sen60º ฀ sen π 3 ฀ ฀ 1 4 sen3 e sen47º ฀ sen61º ฀ sen11º sen25º cos7º f 1 ฀ sen ฀ cos 1 ฀ sen ฀ cos ฀ 1 ฀ cos sen ฀ 36. Una de las siguientes expresiones no constituye una identidad trigonométrica identifíquela: a sen 2 1 ฀ cot 2 1 b 1 ฀ csc 2 cot 2 c sen cot ฀ tan sec d 1 ฀ sen 2 1 ฀ tan 2 1

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473 pág. 37. Si π ฀ ฀ 3π/2 y sen 3/5 hallar el valor de tan2 . 38. Si tan 1/7 sen 1/ 10 ฀ 0π/2 y ฀ 0π/2 determine sen ฀ 2 . 39. Si f x 2tanx/2 x ฀ 0 π/2 hallar el valor de f 2π/3 ฀ f π/2. 40. Si senx 12/13 3π/2 x 2π hallar el valor de cosx π/3. 41. Encuentre una expresión para tan3 en términos de tan . 42. Si tan 7/24 y cot 3/4 π/2 ฀ π π ฀ ฀ 3π/2 encuentre el valor de cos ฀ ฀ . 44. Dado que senx 1 3 donde x es un ángulo agudo halle el valor de: a cosx b cos2x c sen2x 43. Demostrar las siguientes identidades trigonométricas: a 2sen 2 ฀ 1 2 sen 4 ฀ cos 4 ฀1 ฀ 2cos 2 b 2tanx 1 ฀ tan 2 x ฀ 1 2cos 2 x ฀ 1 cosx ฀ senx ฀ cosx ฀ senx ฀ c tan ฀ 1 cos 3 ฀ 1 sen ฀ tan sen 2 cos 3 ฀ d 3cos 2 z ฀ 5senz ฀ 5 cos 2 z 3senz ฀ 2 ฀1 ฀ senz e 2sen 2 ฀ 3cos ฀ 3 sen 2 2cos ฀ 1 ฀1 ฀ cos f sen 2 t ฀ 4sent ฀ 3 cos 2 t 3 ฀ sent ฀1 ฀ sent g sec y ฀ cos y 1 ฀ sen y tan y

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474 pág. 4.6 Ecuaciones e inecuaciones trigonométricas 45. Sea px: 2sen 2 x ฀ 7senx 3 0 y x ฀ 0 π la suma de los elementos de Apx es: a π b π/3 c 5π/3 d 7π/6 e 2π 46. Sea px: senx 1 2 x 0 2π hallar Apx. 47. Sea qx: cosx 1 3 x 0 2π hallar Aqx. a Halle el valor de R y la medida del ángulo . b Halle el rango de f. c Es inversible f ¿por qué d Halle el valor de x que satisface la ecuación f x 2. 48. La función f de dominio 0 π 2 se define como f x cosx ฀ 3 senx. Esta función puede también expresarse de la forma f x Rcosx donde R 0 y 0 ฀ π 2 . 49. Considere el predicado px: 2sen 2 x 1 ฀ cosx x 0 2π. La suma de los elementos de Apx es: a 8π 3 b 3π c 4π 3 d 4π e 7π 3 50. Resuelva la ecuación 2cos 2 x sen2x siendo 0 x π.

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475 pág. La definición de matriz aparece por primera vez en el año 1850 introducida por J. J. Sylvester. Sin embargo hace más de dos mil años los matemáticos chinos habían descubierto ya un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales y por lo tanto empleaban tablas con números. El desarrollo inicial de la teoría de matrices se debe al matemático W. R. Hamilton en 1853. En 1858 Arthur Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas la misma que fue descrita en su publicación “Memorias sobre la teoría de matrices”. En esta publicación Cayley daba la definición de matriz y las operaciones de suma entre matrices de la multiplicación de un número real por una matriz de la multiplicación entre matrices y de la inversa de una matriz. Cayley afirmaba que obtuvo la idea de matriz a través de la idea del determinante considerándola como una forma conveniente para expresar transformaciones geométricas. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales que surgen de problemas reales de producción en la resolución de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales temas que se analizarán en cursos superiores de cálculo. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones las matrices aparecen de forma natural en informática geometría estadística economía física logística etc. La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación ya que la mayoría de los datos se introducen en las computadoras como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo bases de datos entre otros. Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones Introducción Arthur Cayley matemático británico 1821-1895

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476 pág. Definición 5.1 Matriz Una matriz real A es un arreglo rectangular de números reales en donde cada elemento a ij que pertenece a la matriz A tiene dos subíndices. El subíndice i representa la fila disposición horizontal y el subíndice j representa la columna disposición vertical en las cuales se encuentra el elemento. 5.1 Matrices Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dada una matriz identificar su dimensión y los elementos que la conforman aplicando la notación correcta. Dada una matriz reconocer si es: matriz cuadrada triangular superior triangular inferior diagonal simétrica matriz identidad matriz nula idempotente nilpotente involutiva simétrica y antisimétrica. Dadas dos matrices establecer condiciones para su igualdad. Demostrar propiedades de las operaciones entre matrices. Dado un conjunto de matrices realizar de ser posible operaciones de suma multiplicación por un escalar y producto entre ellas. Dada una ecuación matricial emplear operaciones y sus propiedades para despejar de ser posible la matriz incógnita. Dada una matriz cuadrada encontrar de ser posible su inversa empleando el método de la matriz aumentada. Si la matriz A tiene m filas y n columnas se dice que es de dimensión u orden m x n y se denota como: A mxn . Se usará i j para denotar 1 ฀ i ฀ m 1 ฀ j ฀ n. Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A B C... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar que ocupan: a ij b ij c ij ... Se puede utilizar el paréntesis curvo o recto para dibujar en su parte interior cada uno de sus elementos. a 11 a 12 a 1n a 2n a 22 a 21 a ij a mn a m2 a m1 A

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 477 pág. Ejemplo 5.1 Identificación de filas y columnas. El tema de matrices está presente en la vida cotidiana ya que se pueden representar ciertas situaciones con el uso de una matriz tal como se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 5.2 Arreglo de datos en una matriz. En un seminario internacional se realizó una encuesta a 500 personas y se obtuvo la siguiente información: 150 hombres eran ecuatorianos. 100 mujeres eran ecuatorianas. 60 hombres eran colombianos. 70 mujeres eran colombianas. 70 hombres eran venezolanos. 50 mujeres eran venezolanas. Se puede colocar los datos anteriores en la siguiente tabla: Ecuatorianos Colombianos Venezolanos Hombres 150 60 70 Mujeres 100 70 50 En la matriz A 3x2 1 2 4 3 6 5 . La fila 1 es 1 2 la fila 2 es 3 4 la fila 3 es 5 6. La columna 1 es 1 3 5 y la columna 2 es 2 4 6 . a 11 a 12 a 1n a 2n a 22 a 21 a ij a mn a m2 a m1 A a 11 a 12 a 1n a 2n a 22 a 21 a ij a mn a m2 a m1

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478 pág. O como: 150 100 60 70 70 50 La matriz construida tiene dos filas hombres y mujeres y tres columnas ecuatorianos colombianos y venezolanos. Definición 5.2 Igualdad entre matrices Dos matrices A mxn y B pxq son iguales si y sólo si: ● ฀m p ฀ n q es decir son del mismo orden. ● ฀ i ja ij b ij es decir cada uno de los elementos correspondientes de las matrices son iguales. Ejemplo 5.3 Igualdad entre matrices. Las matrices A 1 0 1 2 y B lne log1 cos̟ 4 son iguales porque tanto A como B son de orden 2 x 2 y se cumple que: a 11 b 11 a 12 b 12 a 21 b 21 a 22 b 22 . 5.1.1 Clases de Matrices Matriz fila Matriz columna Es una matriz que tiene una sola fila es decir su orden es 1 x n. Por ejemplo: Es una matriz que tiene una sola columna es decir su orden es m x 1. Por ejemplo: A 1x3 1 2 3 A 3x1 1 2 3

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 479 pág. Matriz rectangular Matriz cuadrada Matriz triangular superior Es una matriz que tiene el número de filas diferente al de columnas siendo su orden m x n m ≠ n. Por ejemplo: En las matrices cuadradas tenemos los siguientes conceptos: Diagonal principal: La constituyen los elementos a ij que cumplen con la condición i j es decir a 11 a 22 a nn . Para el ejemplo dado los elementos 1 5 y 9 constituyen la diagonal principal. Diagonal secundaria: La constituyen los elementos a ij que cumplen con la condición i j n 1. Para el ejemplo dado los elementos 3 5 y 7 constituyen la diagonal secundaria. Traza: Es la suma de los elementos de la diagonal principal y se denota por trA. Esto se puede representar simbólicamente por trA ฀ a ii n i 1 . Para el ejemplo dado trA 15. Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos bajo la diagonal principal iguales a cero. Esto es a ij 0 si i j. Por ejemplo: Es una matriz que tiene igual número de filas que de columnas es decir m n. Por ejemplo: A 3x2 1 2 4 3 6 5 A 3x3 1 2 5 4 8 7 3 6 9 A 3x3 1 3 2 0 0 0 5 4 6

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480 pág. Matriz nula Matriz diagonal Matriz escalar Matriz identidad Es una matriz en la que todos sus elementos son iguales a cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0 mxn . Observe que existe una matriz cero por cada dimensión m x n. Por ejemplo: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos sobre y bajo la diagonal principal iguales a cero. Esto es a ij 0 si i ≠ j. Por ejemplo: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos sobre y bajo la diagonal principal iguales a cero y los elementos de la diagonal principal iguales entre sí. Esto es a ij 0 si i ≠ j a ii k con k . La matriz escalar es un caso particular del conjunto de matrices diagonales. Por ejemplo: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos iguales a cero excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1 y se denota por I nxn . Note que existe una matriz identidad por cada tamaño n x n y este tipo de matriz es un caso particular del conjunto de matrices escalares. Por ejemplo: Matriz triangular inferior Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos sobre la diagonal principal iguales a cero. Esto es a ij 0 si i j. Por ejemplo: A 3x3 1 0 4 5 2 3 0 0 6 A 3x4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2x2 0 0 0 0 0 3x2 0 0 0 0 0 0 A 3x3 1 0 2 0 0 0 0 0 3 A 3x3 2 0 0 0 0 2 0 0 2 I 4x4 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 I 2x2 1 0 0 1 I 3x3 1 0 1 0 0 0 0 0 1

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 481 pág. 5.1.2 Operaciones con matrices Definición 5.3 Suma entre matrices Suma entre matrices Dadas dos matrices A mxn y B mxn del mismo orden se define la suma de matrices como una nueva matriz C mxn del mismo orden C A ฀ B tal que: i jc ij a ij ฀ b ij . Es decir cada elemento de la matriz C es obtenido sumando cada elemento correspondiente de las matrices A y B. Sea el conjunto de matrices de orden m x n la suma cumple con las siguientes propiedades: Ejemplo 5.4 Demostración de propiedades de la suma entre matrices. Demuestre la propiedad conmutativa de la suma entre matrices. A B A B B A Solución: Sean A mxn y B mxn matrices tales que: De acuerdo a la definición de la suma entre matrices tenemos que: Cuadro 5.1: Propiedades de la Suma entre Matrices. A B A B Cerradura A B A B B A Conmutativa A B C A ฀ B C A B C Asociativa 0 A ฀A 0 0 A A Neutro Aditivo A ฀ A A ฀ A A A 0 Inverso Aditivo a 11 a 12 a 1n a 2n a 22 a 21 a mn a m2 a m1 A b 11 b 12 b 1n b 2n b 22 b 21 b mn b m2 b m1 B A ฀ B a 11 a 12 a 1n a 2n a 22 a 21 a mn a m2 a m1 b 11 b 12 b 1n b 2n b 22 b 21 b mn b m2 b m1

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482 pág. Multiplicación de una matriz por un escalar Definición 5.4 Multiplicación de una matriz por un escalar Dado un escalar y una matriz A mxn se define la multiplicación de una matriz por un escalar como una nueva matriz B mxn B A tal que: i jb ij a ij . Es decir cada elemento de la matriz B es obtenido multiplicando el escalar por cada elemento de la matriz A. De donde: Utilizando la propiedad conmutativa de la suma entre números reales: Aplicando una vez más la definición de la suma entre matrices tenemos que: Con lo cual queda demostrado que: A ฀ B B ฀ A A ฀ B a 2n ฀ b 2n a mn ฀ b mn a 1n ฀ b 1n a 22 ฀ b 22 a m2 ฀ b m2 a 12 ฀ b 12 a 11 ฀ b 11 a 21 ฀ b 21 a m1 ฀ b m1 A ฀ B b 11 b 12 b 1n b 2n b 22 b 21 b mn b m2 b m1 a 11 a 12 a 1n a 2n a 22 a 21 a mn a m2 a m1 A ฀ B b 2n ฀ a 2n b mn ฀ a mn b 1n ฀ a 1n b 22 ฀ a 22 b m2 ฀ a m2 b 12 ฀ a 12 b 11 ฀ a 11 b 21 ฀ a 21 b m1 ฀ a m1 a 11 a 12 a 1n a 2n a 22 a 21 a ij a mn a m2 a m1 A B A a 11 a 12 a 1n a 2n a 22 a 21 a ij a mn a m2 a m1

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 483 pág. Ejemplo 5.5 Demostración de propiedades del producto de una matriz por un escalar. Demuestre que para dos matrices A y B se cumple la propiedad distributiva: A B A B Solución: Consideremos dos matrices A mxn y B mxn tales que: Luego aplicamos la definición de la suma entre matrices: En base a la definición de la multiplicación de una matriz por un escalar se tiene que: Sea el conjunto de matrices de orden m x n la multiplicación de una matriz por un escalar cumple con las siguientes propiedades: Cuadro 5.2: Propiedades del producto de una matriz por un escalar. A A Cerradura A ฀ A A Conmutativa A B A B ฀ A + ฀ B Distributivas A A ฀ A + ฀A A A A Asociativa 1 ฀ A 1 A ฀A Elemento Neutro A ฀ B a 2n ฀ b 2n a mn ฀ b mn a 1n ฀ b 1n a 22 ฀ b 22 a m2 ฀ b m2 a 12 ฀ b 12 a 11 ฀ b 11 a 21 ฀ b 21 a m1 ฀ b m1 A a 11 a 12 a 1n a 2n a 22 a 21 a mn a m2 a m1 b 11 b 12 b 1n b 2n b 22 b 21 b mn b m2 b m1 B A ฀ B a 2n ฀ b 2n a mn ฀ b mn a 1n ฀ b 1n a 22 ฀ b 22 a m2 ฀ b m2 a 12 ฀ b 12 a 11 ฀ b 11 a 21 ฀ b 21 a m1 ฀ b m1

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484 pág. Ejemplo 5.6 Operaciones entre matrices. Sean las matrices A 3 1 0 2 5 4 B 1 2 4 8 0 5 y C 1 4 0 3 2 3 Solución: Efectuando los productos indicados tenemos que: Aplicando una vez más la definición de la suma entre matrices: Utilizando nuevamente la definición de la multiplicación de una matriz por un escalar tenemos: Por lo tanto se demuestra que: A B A B A ฀ B a 2n ฀ b 2n a mn ฀ b mn a 1n ฀ b 1n a 22 ฀ b 22 a m2 ฀ b m2 a 12 ฀ b 12 a 11 ฀ b 11 a 21 ฀ b 21 a m1 ฀ b m1 A ฀ B a 1n a 2n a mn a 12 a 22 a m2 a 11 a 21 a m1 ฀ b 1n b 2n b mn b 12 b 22 b m2 b 11 b 21 b m1 a 11 a 12 a 1n a 2n a 22 a 21 a mn a m2 a m1 b 11 b 12 b 1n b 2n b 22 b 21 b mn b m2 b m1 A ฀ B determine: a 4A b 1 3 B c A 1 3 B d C ฀ 2A a 4A 4 3 1 0 2 5 4 4A 12 4 0 8 20 16

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 485 pág. Multiplicación entre matrices Definición 5.5 Multiplicación entre matrices Dadas dos matrices A mxn y B nxp se define la multiplicación entre matrices como una nueva matriz C mxp C AB tal que: i jc ij a i1 b 1j ฀฀ a i2 b 2j ฀ ฀฀ a in b nj . Es decir cada elemento de la matriz producto C es obtenido sumando los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el correspondiente elemento de la columna j de la matriz B. Esto se puede expresar de la siguiente manera: c ij ฀ a ik b kj n k 1 b 1 3 B 1 3 4 1 2 8 0 5 1 3 B 4 3 0 8 3 1 3 2 3 5 3 c A 1 3 B 3 1 0 2 5 4 4 3 0 8 3 1 3 2 3 5 3 A 1 3 B 13 3 5 14 3 4 3 2 3 7 3 d C ฀ 2A 1 4 0 3 2 3 ฀ 2 3 1 0 2 5 4 1 4 0 3 2 3 ฀ 6 2 0 4 10 8 C ฀ 2A 6 3 4 1 8 5

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486 pág. De aquí que es importante que el número de columnas de la matriz localizada a la izquierda del producto sea igual al número de filas de la matriz ubicada a la derecha. La multiplicación entre matrices cumple con las siguientes propiedades: Ejemplo 5.7 Demostración de propiedades de la multiplicación entre matrices. Demuestre que la proposición: “Si AB 0 entonces A 0 o B 0” es falsa. Solución: Como la proposición es falsa vamos a utilizar la demostración por contraejemplo para lo cual consideraremos dos matrices A y B no nulas: En base a las matrices A y B procedemos a aplicar la definición del producto entre ellas así: Con lo cual se demuestra que AB0 a pesar de que ni A ni B son nulas. Cuadro 5.3: Propiedades de la Multiplicación Matricial. Para utilizar la propiedad distributiva se requiere que la matriz común esté multiplicando a las demás por la misma ubicación izquierda o derecha. Así dada AB CA no es posible expresarla como AB C o como B CA. A B C ABC ABC Asociativa I A mxn A I nxn I mxm A A A B C AB C AB AC Distributivas A B C A B C AC BC A 1 2 3 6 B 6 2 3 1 AB 0 0 0 0 Se puede verificar que: ▪ La multiplicación entre matrices no es conmutativa esto es AB ฀ BA. ▪ AB 0 aunque A y B no sean matrices nulas. ▪ La potencia A n para matrices cuadradas representa la multiplicación n veces de la misma matriz A. ▪ Una matriz es idempotente si A 2 A. ▪ Una matriz es periódica de período p si A p A p ฀ p1. ▪ Una matriz es involutiva si A 2 I. ▪ Una matriz es nilpotente de índice p si A p 0 p ฀ p1.

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 487 pág. Ejemplo 5.8 Aplicación de multiplicación de matrices. Susana gana 5 por hora como institutriz 6 la hora como mecanógrafa y 1.50 la hora como niñera. El número de horas que trabajó en cada tipo de actividad en un período de 4 semanas está dado por la siguiente tabla: Solución: Actividades I II III IV Institutriz 15 10 16 12 Mecanógrafa 6 4 2 3 Niñera 2 7 0 4 Semanas Determine cuánto gana Susana cada semana por las actividades que realiza. Podemos representar matricialmente los datos del número de horas trabajadas por actividad y por semana así: Podemos construir una matriz fila con los datos de ingresos de Susana así: Si queremos obtener la ganancia de Susana por semana tenemos que realizar el producto I H obteniendo así la matriz G: Del análisis de esta matriz podemos concluir que Susana ganó realizando las 3 actividades: 114 durante la primera semana 84.50 durante la segunda semana 92 durante la tercera semana y 84 durante la cuarta semana. I 5 6 1.5 10 4 7 15 6 2 16 2 0 12 3 4 H G IH G 5 6 1.5 10 4 7 15 6 2 16 2 0 12 3 4 G 114 84.5 92 84

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488 pág. Ejemplo 5.9 Operaciones entre matrices. Sea f x x 2 2x y A 1 1 1 1 determine f A. Solución: Para evaluar f A debemos reemplazar la matriz A en la función así: f A A 2 2A Luego resolvemos las operaciones indicadas: A 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 2 0 Reemplazando este resultado en f A tenemos: f A 0 2 2 0 2 1 1 1 1 Luego: f A 0 2 2 0 ฀ ฀ 2 2 2 2 Finalmente: f A 2 0 0 2 Transposición de una matriz Dada una matriz A de orden m×n para obtener la matriz transpuesta la cual se denota por A T se deben intercambiar los elementos de las filas por las columnas. Note que la nueva matriz A T es de orden n×m. Definición 5.6 Matriz simétrica Una matriz cuadrada A se dice que es simétrica si y sólo si A T A. Esto se puede representar simbólicamente por i ja ij a ji . Definición 5.7 Matriz antisimétrica Una matriz cuadrada A se dice que es antisimétrica si y sólo si A T A. Esto se puede representar simbólicamente por i ja ij ฀ a ji que implica además que a ii 0.

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 489 pág. Sea el conjunto de matrices de orden m×n la transposición cumple con las siguientes propiedades: Ejemplo 5.10 Operaciones entre matrices. Sean las matrices: A 2 2 0 4 3 0 1 1 1 y B 0 0 1 2 4 3 determine: a AB b A 2 c B T A Solución: Cuadro 5.4: Propiedades de la Transposición de Matrices. A ฀ ฀A T T A Involución de la doble transposición A B ฀ ฀A B T A T B T Transposición de la suma ฀ ฀ A ฀ A T A T Transposición de la multiplicación por un escalar A B ฀ ฀AB T B T A T Transposición de la multiplicación entre matrices a AB 2 2 0 4 3 0 1 1 1 0 0 1 2 4 3 AB 0 3 2 1 2 2 b A 2 2 2 0 4 3 0 1 1 1 2 2 0 4 3 0 1 1 1 A 2 4 8 15 9 3 5 4 1 3 c B T A 1 3 2 0 0 4 2 2 0 4 3 0 1 1 1 B T A 2 12 1 0 1 16

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490 pág. Ejemplo 5.11 Aplicación de matrices. Sea el conjunto de las matrices de dimensión 2x2. Se define en la operación binaria tal que: a c b d x z y w a z y d Solución: Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a Para que sea una operación conmutativa debe cumplirse que: a c b d x z y w x z y w a c b d Pero si aplicamos la definición dada notaremos que la igualdad entre matrices no se cumple: a z y d ≠ x c b w Esta proposición es falsa. Esta proposición es verdadera. b A A T a c b d a b c d a b c d A T a es una operación conmutativa. b A A A T A T Ejemplo 5.12 Tipos de matrices. En base a las definiciones de tipos de matrices construya un ejemplo de: a Matriz idempotente periódica. b Matriz involutiva. c Matriz nilpotente. d Matriz simétrica. e Matriz antisimétrica. Solución: a Matriz idempotente periódica: La matriz identidad cumple con la condición de idempotencia ya que A 2 A. Así mismo es periódica ya que se puede generalizar que A p A donde p . A 1 0 1 0 0 0 0 0 1

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 491 pág. Una matriz que posee inversa se dice que es regular caso contrario se dice que es singular. La matriz inversa en caso de existir es única. b Matriz involutiva: Se puede verificar que B 2 I condición de una matriz involutiva. c Matriz nilpotente: En este caso se cumple que C p 0 donde p . d Matriz simétrica: Nótese que E T E. En este ejemplo F T F. e Matriz antisimétrica: B 0 0 1 0 0 1 1 0 0 C 0 0 0 2 0 1 0 0 0 E 1 0 2 1 2 5 1 2 5 F 0 0 2 0 2 4 2 4 2 Definición 5.8 Inversa de una matriz Dada una matriz cuadrada A su inversa la cual se denota por A 1 es una matriz que cumple con: AA 1 A 1 A I Inversa de una matriz

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492 pág. Para obtener la inversa de una matriz se puede utilizar el método de Gauss- Jordan o el de la matriz de cofactores transpuesta. El objetivo del método de Gauss-Jordan es transformar la matriz A por medio de operaciones algebraicas entre renglones en la matriz identidad I equivalente y simultáneamente la identidad I en la inversa de A. Para tal efecto las operaciones que están permitidas son: - Multiplicar una fila por una constante k diferente de cero. - Intercambiar dos filas. - Sumar un múltiplo de una fila a otra. Sea el conjunto de matrices cuadradas de orden n x n inversibles la inversa de una matriz cumple con las siguientes propiedades: Ejemplo 5.13 Inversa de una matriz cuadrada. Dada la matriz: A 6 2 5 4 determine A 1 . Solución: Por la definición dada podemos expresar: A A 1 I Considerando A 1 x z y w y planteando la ecuación matricial tenemos: Multiplicando e igualando los elementos correspondientes resulta: Este sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas puede plantearse como 2 sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas como se verá en la sección 5.3. Observe que la matriz de coeficientes en ambos sistemas es la misma y los términos independientes son los elementos de la matriz identidad. Cuadro 5.5: Propiedades de la Inversa de una Matriz. A A 1 1 A Involución de la doble inversa A A T 1 A 1 T Inversa de la transposición ฀฀ 0 A A 1 1 A 1 Inversa de la multiplicación por un escalar A B AB 1 B 1 A 1 Inversa de la multiplicación entre matrices 6 2 5 4 x z y w 1 0 0 1 2x ฀ ฀ 4z 1 2y ฀ ฀ 4w 0 5x ฀ ฀ 6z 0 5y ฀ ฀ 6w 1 2x ฀ ฀ 4z 1 5x ฀ ฀ 6z 0 2y ฀ ฀ 4w 0 5y ฀ ฀ 6w 1

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 493 pág. Comprobando: Podemos expresar los sistemas como una matriz aumentada y resolverlos mediante el método de Gauss-Jordan tomando la matriz A y la identidad I para realizar las transformaciones pertinentes. Ejemplo 5.14 Inversa de una matriz cuadrada. Dada la matriz: A 1 1 0 3 3 3 4 5 2 determine A 1 . El lector puede verificar que los elementos de A 1 son x y z w respectivamente. 5 6 0 4 2 1 1 0 5 6 0 2 1 1 0 1 2 f 1 1 2 1 0 2 1 0 1 2 1 5 6 5 f 2 1 5 0 2 1 2 1 16 5 5 1 2 1 0 f 1 1 ฀ f 2 0 2 1 0 1 2 5 32 1 1 16 f 2 5 16 0 1 3 16 5 32 1 1 16 1 8 0 f 2 2 ฀ f 1 A 1 3 16 5 32 1 16 1 8 A A 1 2 5 4 6 3 16 5 32 1 16 1 8 1 0 0 1 I 2 x 2

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494 pág. Tomamos la matriz A y la identidad I para realizar las transformaciones pertinentes. f 3 ฀ 1 3 1 1 1 0 5 3 1 3 0 0 1 4 0 0 1 2 0 3 0 1 f 1 1 ฀ f 3 1 0 0 14 3 1 3 1 0 1 4 0 0 1 2 0 3 0 1 1 f 2 1 ฀ f 3 1 0 26 3 1 3 1 0 1 4 0 0 1 2 0 3 0 1 0 1 f 3 ฀ 3 26 1 0 1 26 0 1 4 0 0 1 2 0 3 0 1 0 1 3 26 3 26 f 3 ฀ 4 ฀ f 2 1 0 0 0 1 2 0 3 0 1 0 1 12 26 14 26 4 26 1 26 3 26 3 26 f 2 2 ฀ f 1 1 0 0 0 1 0 3 0 1 12 26 14 26 4 26 1 26 3 26 3 26 2 26 28 26 8 26 f 3 3 ฀ f 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 12 26 14 26 4 26 1 26 3 26 3 26 19 26 11 26 7 26 1 0 1 4 0 0 1 2 0 3 0 1 3 3 0 0 5 1 Comprobando: A 1 12 26 14 26 4 26 1 26 3 26 3 26 19 26 11 26 7 26 A A 1 1 0 4 1 2 3 3 3 5 12 26 14 26 4 26 1 26 3 26 3 26 19 26 11 26 7 26 1 0 0 0 0 1 0 0 1 I 3x3 Solución:

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 495 pág. 5.2 Determinantes Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dada una matriz cuadrada de 1x1 ó 2x2 encontrar su determinante mediante cálculo directo. Dada una matriz cuadrada definir el menor y el cofactor de cada uno de sus elementos. Dada una matriz cuadrada de 3x3 encontrar su determinante mediante cálculo directo o mediante el cálculo de cofactores. Aplicar el teorema para cálculo de determinantes en el caso de matrices diagonales o triangulares. Dada una matriz cuadrada de orden 4x4 o superior encontrar su determinante empleando propiedades de los determinantes. Dadas dos matrices relacionadas entre sí una con determinante conocido y otra no encontrar el determinante desconocido empleando propiedades. Dada una ecuación con determinantes despejar la incógnita empleando reglas de cálculo de determinantes. Dada una matriz con una incógnita determinar condiciones para que no sea inversible. Dada una matriz cuadrada encontrar su inversa en caso de ser posible empleando el método de la matriz adjunta. Aplicar las propiedades de los determinantes para la matriz transpuesta inversa y producto. El determinante de una matriz cuadrada A el cual se denota por det A o ฀ A es un valor escalar que constituye una aplicación del concepto de funciones. Esto es: El determinante puede ser obtenido de la siguiente manera: det : M nxn det a 11 a 11 det a 11 a 22 a 21 a 12 a 11 a 22 a 21 a 12 A ฀ det A

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496 pág. En esta última expresión a los determinantes A 11 A 12 y A 13 se los denomina cofactores los cuales se obtienen eliminando los elementos de la fila y la columna que los superíndices señalan. El signo que se asocia a cada cofactor se obtiene elevando el valor 1 a una potencia cuyo valor es la suma de los respectivos superíndices. En general el determinante de una matriz de orden n x n es la suma de los productos entre los elementos de una de sus filas o una de sus columnas por sus correspondientes cofactores. La fila o la columna se elige arbitrariamente y dado el procedimiento anterior se prefiere aquella fila o columna donde exista la mayor cantidad de ceros posibles ya que esto ahorra el cálculo del cofactor para ese elemento. Así si desea obtener el valor del determinante de una matriz 4 x 4 debe expresarse en función de determinantes de submatrices 3 x 3 utilizando los respectivos cofactores y así sucesivamente por cada nuevo incremento en el orden de la matriz. A partir de este método se puede deducir el siguiente teorema: Teorema 5.1 Si A es una matriz triangular o diagonal entonces det A a 11 a 22 a nn . Tal como se dijo anteriormente y luego de estudiar el concepto de determinante nos proponemos ahora encontrar la inversa de una matriz por el método de los cofactores. Teorema 5.2 A es inversible si y sólo si det A ≠ 0. Sea la matriz: det a 11 a 12 a 22 a 21 a 32 a 31 a 13 a 23 a 33 a 11 a 22 a 33 a 32 a 23 a 12 a 21 a 33 a 31 a 23 a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 11 A 11 a 12 A 12 a 13 A 13 A 3x3 a 11 a 12 a 22 a 21 a 32 a 31 a 13 a 23 a 33

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 497 pág. Ejemplo 5.15 Inversa de una matriz cuadrada. Dada la matriz A 1 2 2 1 3 1 3 1 1 determine la matriz A 1 . Solución: Encontramos cada cofactor: La matriz de cofactores es: La matriz de cofactores transpuesta es: Y suponiendo que det A ≠ 0 su inversa es la matriz adjuntaA T multiplicada por el factor 1 detA esto es: La matriz adjunta A T es el resultado de transponer la matriz de cofactores A A 1 1 detA A T A 11 2 2 1 1 5 A 12 3 2 3 1 9 A 13 3 1 3 2 3 A 21 1 2 1 1 1 A 22 1 2 3 1 1 A 23 1 1 3 1 2 A 31 1 1 2 1 3 A 32 1 1 3 1 4 A 33 1 2 3 1 1 A T 5 1 1 2 3 9 4 3 1 A 5 9 1 4 3 1 2 3 1

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498 pág. La matriz inversa de A es: Comprobando: El valor del determinante de A es: det A 14 1 1 6 3 1 3 6 5 9 3 det A 7 Ejemplo 5.16 Aplicación del teorema de cálculo de determinantes. Calcule el determinante de las siguientes matrices utilizando el teorema 5.1. Solución: a Ya que la matriz A es una matriz triangular superior su determinante se calcularía como: det A 1 2 6 ฀12 Este valor coincide con el que resulta si se calculara el detA utilizando el procedimiento descrito anteriormente así: det A 112 3 0 5 0 det A 12 b Por ser B una matriz diagonal su determinante se podría calcular así: det B 34 5 ฀ 2 det B 120 A 1 1 7 2 5 4 9 1 3 1 1 3 1 7 9 7 3 7 1 7 2 7 4 7 1 7 3 7 5 7 AA 1 1 1 1 2 1 3 1 2 3 1 7 9 7 3 7 1 7 2 7 4 7 1 7 3 7 5 7 1 0 0 0 0 1 0 1 0 I 3 x 3 a A 1 3 2 0 0 0 5 4 6 b B 0 3 0 0 0 0 0 4 0 5 0 0 2 0 0 0

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 499 pág. El cálculo de los determinantes por el método de cofactores es muy laborioso para matrices de orden 4 o superior por lo que se hace necesario emplear las propiedades de los determinantes las cuales se describen a continuación. Este valor coincide con el que resulta al calcular el detB utilizando el procedimiento descrito al inicio de esta sección así: Respecto de las operaciones matriciales y siendo A y B matrices cuadradas de orden n x n se cumple que: Cuadro 5.6: Propiedades de los Determinantes. det B 3 4 0 0 0 5 0 0 2 0 det B 3 4 5 0 0 2 det B 3 4 10 det B 120 det A n det A Determinante del producto de un escalar por una matriz. det AB detA detB Determinante del producto de matrices. det A T detA Determinante de la matriz transpuesta. det A 1 1 detA Determinante de la inversa de una matriz. 1. Si se intercambian dos de sus filas o dos de sus columnas el determinante cambia de signo. 2. Si dos filas o dos columnas son iguales entonces el determinante de A es igual a cero. 3. Si se multiplican todos los elementos de una fila o de una columna de A por un escalar k el determinante se multiplica por dicho escalar. 4. Si dos de sus filas o dos de sus columnas son proporcionales entonces el determinante de A es igual a cero. 5. Si todos los elementos de una fila o de una columna son iguales a cero entonces el determinante de A es igual a cero. 6. Si los elementos de una fila o de una columna de A se multiplican por un escalar k y se suman algebraicamente a los elementos correspondientes de otra fila o columna el determinante de A no se altera.

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500 pág. Ejemplo 5.17 Aplicación de propiedades de los determinantes. Dada la matriz A 0 1 2 0 3 4 1 2 2 3 4 y ฀ 4 determine el valor del det A. Solución: De acuerdo a una de las propiedades de los determinantes debe cumplirse que: det A n det A. Como en nuestro caso n 3 tenemos: Verificación: Para comprobar el resultado anterior obtenemos la matriz 4A así: Luego hallamos el det4A con lo que: det 4A 4 3 det A 64 0 1 2 0 3 4 1 2 2 3 4 64 1 2 4 3 34 4 2 64 2 3 12 8 64 2 3 20 64 ฀ 58 3 det 4A ฀ 3712 3 4A 0 ฀ 4 8 3 8 0 16 12 2 16

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 501 pág. Se puede verificar además que: det A ฀ B ≠ det A ฀ det ฀B. Ejemplo 5.18 Demostración de propiedades de los determinantes. Demuestre que det A ฀ B ≠ det A ฀ det ฀B. Solución: La demostración se basará en el método del contraejemplo suponiendo que: det A ฀ B det A ฀ det ฀B. Para ello definiremos dos matrices A y B de orden 3 x 3: Construimos A ฀ B aplicando la definición de suma entre matrices. Así obtenemos: det 4A 2 64 3 ฀ 1264 ฀ 16 32 128 3 ฀ 768 ฀ 512 128 3 ฀ 1280 128 3840 3 det 4A ฀ 3712 3 A 0 1 0 0 2 3 0 1 6 B 1 0 0 6 2 3 0 1 0 A B 1 0 1 6 3 1 ฀ 2 3 ฀ 1฀ 2 6

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502 pág. Luego calculamos el determinante: Si ahora evaluamos det A y det B tenemos: De donde: Con lo que efectivamente se ha encontrado un contraejemplo que verifique el hecho de que det A ฀ B ≠ det A ฀ det ฀B. Ejemplo 5.19 Ecuaciones con determinantes. det A ฀ B 1 ฀ 2 18 ฀฀ 6 ฀฀ 6 ฀ 2 18 ฀ 1 18 1 ฀ 2 18 ฀฀ 2 6 ฀ 2 18 ฀ 18 18 ฀ 2 18 ฀฀ 2 6 ฀ 2 12 ฀ 2 18 ฀ ฀ 18 2 18 ฀฀ 2 6 ฀ 2 12 23 2 ฀฀ 2 6 ฀ 22 3 det A ฀ B 6 2 ฀฀฀ 6 ฀฀ 4 3 det A 1 18 ฀ det A 18 ฀ det B 1 18 ฀ det B 18 ฀ det A ฀ det B 18 ฀ 18 2 ฀ 18 23 2 det A ฀ det B 6 2 A ฀ I 1 ฀ 4 1 1 ฀ ฀ ฀ 1 1 0 0 A ฀ I 1 ฀ 4 1 1 ฀ ฀ 0 0 Dada la matriz A 1 ฀ 4 1 1 ฀ y el predicado p : det A ฀ I 0 determine Ap . Solución: Construimos la matriz A I: A ฀ I 1 ฀ ฀ 4 ฀ 1 1 ฀

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 503 pág. Luego calculamos el determinante: det A ฀ I 1 ฀ 2 ฀ 4 1 ฀ 2฀฀ 2 ฀ 4 det A ฀ I ฀ 2 ฀ 2 ฀ 3 Igualando a cero este determinante tenemos: 2 ฀ 2 ฀ 3 0 Resolviendo la ecuación se obtiene: ฀ 3 ฀ 1 0 ฀ 3 0 ฀ 1 0 Luego: 3 1 Comprobando: ฀ 3 ฀ 4 ฀ 2 ฀ 2 ฀ 1 0 ฀ 1 ฀ 4 ฀2 ฀2 ฀ 1 0 Entonces Ap 1 3 . Ejemplo 5.20 Aplicación de propiedades de los determinantes. Sea a b c d e f g h i 3 utilizando las propiedades de los determinantes calcule: c 4a 5b f 2i 4d 8g 5e 10h 2i 8g 10h . 1 er paso: Intercambio de columnas 1 y 3: Solución: Para obtener la nueva matriz se realizaron cambios a la matriz original de acuerdo a los pasos que detallamos a continuación: c b a f e d i h g 3

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504 pág. 2 do paso: Intercambio de columnas 2 y 3: 3 er paso: Multiplicación de fila 3 por el escalar ฀ 2: 4 to paso: Multiplicación de columna 2 por el escalar ฀ 4: 5 to paso: Multiplicación de fila 3 por el escalar ฀ 1 y suma con fila 2: 6 to paso: Multiplicación de columna 3 por el escalar ฀ 5: Ejemplo 5.21 Inversa de una matriz cuadrada. Dada la matriz real A tal que A 3 1 x 3 x 5 determine los valores reales de x tales que la matriz A sea regular. Solución: Para que A sea regular su determinante tiene que ser diferente de cero. c a b f d e i g h 3 c b a f e d 2i 2g 2h 6 c b 4a f e 4d 2i 8g 2h 24 c b 4a f 2i 4d 8g 2i 8g 2h e 2h 24 c 5b 4a f 2i 4d 8g 2i 8g 10h 5e 10h 120 det A 3 1 x 3 x 5 x 3 x 5 ฀ 3 det A x 2 2x 15 ฀ 3

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 505 pág. Pero det A ≠ 0 luego: x 2 2x 15 ฀ 3 ≠ 0 x 2 2x 15 ≠ 3 x 2 2x 15 ≠ 9 x 2 2x 24 ≠ 0 x 6 x 4 ≠ 0 x 6 ≠ 0 x 4 ≠ 0 x ≠ 6 x ≠ 4 También hay que considerar las restricciones para las expresiones con radicales: x 3 ฀ 0 x 5 ฀ 0 x ฀ 3 x ฀ 5 Por lo tanto para que A sea regular los valores de x son: x ฀ 5 x ≠ ฀6. Ejemplo 5.22 Inversa de una matriz cuadrada. Dada la matriz A 1 2 0 k 1 2 k k 1 2 1 8k 1 k k 0 determine el valor de k para que la matriz A sea singular. Solución: Para que la matriz A no sea inversible necesitamos que detA0 de aquí que empezaremos calculando este determinante así: Igualando a cero este valor tenemos: det A k k ฀ 1 4 ฀ ฀ 1 2 ฀ 1 2 ฀k ฀ k 8k det A k 2 ฀ 1 4 ฀k ฀ ฀ 1 4 ฀k ฀ 1 16 det A k 2 ฀ 1 2 ฀k ฀ 1 16 k 2 ฀ 1 2 ฀k ฀ 1 16 ฀ 0

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506 pág. De donde se obtiene: Luego: 5.3 Sistemas de ecuaciones lineales Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dado un sistema de ecuaciones lineales identificar las incógnitas coeficientes de las incógnitas coeficientes independientes empleando la notación adecuada. Dado un sistema de ecuaciones lineales representarlo mediante operaciones entre matrices o mediante la matriz aumentada. Reconocer cuando un sistema de ecuaciones lineales es consistente o inconsistente. Dado un sistema de ecuaciones lineales reconocer si tiene solución única infinitas soluciones o no tiene solución. Dado un sistema de ecuaciones lineales resolverlo mediante el método de Gauss el método de la matriz inversa o la regla de Cramer. Expresar las infinitas soluciones de un sistema de ecuaciones lineales en forma paramétrica e identificar sus grados de libertad. Dado un sistema de ecuaciones lineales con parámetros desconocidos establecer condiciones sobre ellos de acuerdo al tipo de solución requerido. Dado un problema real asociado a un sistema de ecuaciones lineales plantearlo resolverlo e interpretar su solución. Una recta en el plano real puede representarse algebraicamente por una ecuación de la forma: Una ecuación de esta forma se denomina ecuación lineal en las variables x y. En general la ecuación: es una ecuación lineal en las variables x 1 x n . k ฀ 1 4 2 ฀ 0 k 1 4 a 1 x a 2 y b a 1 a 2 b a 1 x 1 a 2 x 2 ฀ a n x n b

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 507 pág. Si se combinan varias ecuaciones de este tipo relacionadas a una misma situación la solución que se encuentra deberá satisfacer a todas las ecuaciones en cuyo caso se requiere encontrarla con la ayuda de un método efectivo. Es así que surge la necesidad de estudiar los sistemas de ecuaciones lineales y sus diferentes métodos de solución. Una solución de la ecuación lineal es una colección ordenada de n números reales s 1 s 2 s n tales que al sustituirlos en la ecuación: x 1 s 1 x 2 s 2 x n s n obtenemos una proposición verdadera. Por ejemplo: x 1 2 x 2 1 y x 3 1 es una solución de la ecuación lineal x 1 4x 2 7x 3 5 porque 2 41 71 5 es una proposición verdadera. Definición 5.9 Sistemas de Ecuaciones Lineales Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones lineales que son verificadas simultáneamente y puede escribirse de la forma: Los elementos a ij se denominan coeficientes del sistema. Las incógnitas del sistema son las variables x 1 x 2 x n . Los valores b 1 b 2 b m son considerados términos independientes. La i-ésima ecuación del sistema es : a i1 x 1 ฀ a i2 x 2 ฀ ฀ a in x n b i Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales Se puede abreviar el nombre sistema de ecuaciones lineales por S. E. L. y podemos representarlo por medio de una ecuación matricial: A es la matriz de coeficientes x es la matriz columna de incógnitas y b es la matriz columna de los términos independientes. a 11 x 1 a 12 x 2 ฀ ฀ a 1n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 ฀ ฀ a 2n x n b 2 a m1 x 1 a m2 x 2 ฀ ฀ a mn x n b m a 11 a 12 a 1n a 2n a 22 a 21 a mn a m2 a m1 x 1 x 2 x n b 1 b 2 b m A x b

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508 pág. Definición 5.10 S.E.L. Homogéneos Definición 5.11 Solución de un S.E.L. Definición 5.10 S.E.L. Homogéneos Definición 5.10 S.E.L. Homogéneos Su matriz aumentada es: Representación de un sistema de ecuaciones lineales en forma de matriz aumentada Las matrices aumentadas nos sirven para representar los S. E. L. en una forma abreviada. Estas matrices están formadas por la matriz de los coeficientes y la de los términos independientes del sistema tal como se muestra a continuación. Considere el S. E. L: Si en el S.E.L. se cumple que b 1 b 2 b n 0 se denomina S.E.L. homogéneo. Un sistema homogéneo se lo puede representar de la siguiente forma: Una solución del sistema de ecuaciones lineales es una sucesión ordenada de números reales s 1 s 2 s n que tienen la propiedad que cada ecuación se convierte en una proposición verdadera al reemplazar x 1 s 1 x 2 s 2 x n s n en el S.E.L. Todos los S.E.L. homogéneos tienen al menos una solución: x 1 0 x 2 0 x n 0 la cual se denomina solución trivial. Una solución diferente a la trivial se denomina no trivial. x 4 y z w z 2y 0 x w z 3y 6 2x 2w 2z y 1 2x 1 1 1 1 4 0 6 1 1 2 3 1 1 2 0 1 2 1 2 2 a 11 x 1 a 12 x 2 ฀ ฀ a 1n x n 0 a 21 x 1 a 22 x 2 ฀ ฀ a 2n x n 0 a m1 x 1 a m2 x 2 ฀ ฀ a mn x n 0

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 509 pág. Se dice que dos S.E.L. son equivalentes si y sólo si tienen las mismas soluciones. Un S.E.L. que tenga solamente dos ecuaciones y dos incógnitas x y geométricamente representa un par de rectas en el plano real. Puesto que un punto Px y pertenece a la recta si y sólo si los números x y satisfacen su ecuación las soluciones del sistema corresponderán a los puntos de intersección de las rectas tal como se muestra a continuación. Puede observarse en la figura que el punto de intersección de ambas rectas es P 10 el cual coincide con el resultado del análisis algebraico. Algebraicamente se resuelve así: Sumando a y b: 2x 2 x 1 Reemplazando el valor encontrado en la ecuación a: 1 ฀ y 1 y 0 Gráficamente ambas ecuaciones representan dos funciones lineales. x y 1 a x y 1 b x y x ฀ y 1 a b x ฀ y 1 P 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 3

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510 pág. Para resolver un S.E.L. se deben considerar las siguientes características que puede presentar una matriz: a El primer número desde la izquierda en cualquier fila que no conste exclusivamente de ceros es uno. b Si hay filas que constan exclusivamente de ceros aparecen en la parte inferior de la matriz. c Si dos filas consecutivas no constan exclusivamente de ceros entonces el primer uno de la fila inferior está a la derecha del primer uno de la fila superior. d Cualquier columna que contiene el primer uno de una fila tendrá ceros en las demás posiciones. Si una matriz cumple con a b y c se dice que está en forma escalonada mientras que si cumple las cuatro características se dice que está en forma escalonada reducida. Al resolver un S.E.L. puede ocurrir que éste tenga al menos una solución o que la solución no exista. De aquí que es importante reconocer un S.E.L. de acuerdo al tipo de solución que posee. Esto se define a continuación. ▪ Si reducimos la matriz aumentada a la forma escalonada resolvemos para la última incógnita y aplicamos sustitución regresiva para resolver las otras incógnitas estamos aplicando el método de eliminación de Gauss. ▪ Si reducimos la matriz aumentada del sistema a la forma escalonada reducida estamos aplicando el método de Gauss-Jordan. MÉTODOS DE GAUSS Y DE GAUSS-JORDAN En general existen dos métodos para resolver un S.E.L.: Definición 5.10 S.E.L. Homogéneos Definición 5.12 S.E.L. consistentes e inconsistentes Un S.E.L. que tiene solución se dice que es consistente si y sólo si: ▪ Tiene solución única o ▪ Tiene infinitas soluciones Si el S.E.L. no tiene solución se dice que es inconsistente. Para poder identificar el tipo de solución del S.E.L. aplicando el método de Gauss se debe analizar regresivamente las últimas filas de la matriz aumentada una vez reducida. En este análisis puede ocurrir que:

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 511 pág. ▪ Si la última ecuación tiene la forma x n k k el S.E.L. tiene solución única. ▪ Si la última ecuación tiene la forma 0x n k donde k es un número real diferente de cero el S.E.L. no tiene solución ya que la proposición dada es siempre falsa. ▪ Si la última ecuación tiene la forma 0x n 0 el S.E.L. tiene infinitas soluciones y x n es una variable libre ya que esta última expresión es siempre una proposición verdadera para cualquier x n real. Esto es válido siempre y cuando no se presente alguna inconsistencia con las ecuaciones previas y el número de incógnitas sea mayor al número de ecuaciones. Es importante anotar que todo S.E.L. puede definirse como un predicado de varias variables y la solución como su conjunto de verdad. Ejemplo 5.23 S.E.L. consistente con solución única. Resolver: Solución: De la última fila de la matriz escalonada se obtiene la siguiente ecuación: x ฀ 2y ฀ 3z ฀฀฀ 7 2x ฀ y ฀ z ฀฀฀ 4 ฀ 3x ฀ 2y ฀ 2z ฀฀฀ 10 px y z ฀: f 2 4 ฀ f 3 f 3 1 3 7 3 1 2 0 1 3 2 1 0 3 0 7 3 1 2 0 1 1 2 1 0 1 0 f 1 3 ฀ f 3 f 2 1 5 7 3 1 2 0 1 4 11 2 1 0 7 7 3 1 2 0 5 4 11 10 5 0 7 7 3 1 2 1 4 2 1 2 10 2 3 f 1 2 ฀ f 2 7 3 1 2 0 5 2 10 2 3 10 5 0x + 0y + 1z 1 z 1

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512 pág. Por sustitución regresiva en la segunda fila: Y en la primera fila: Comprobando para cada ecuación del S.E.L. original: El conjunto de verdad del predicado px y z es: Apx y z x y z / x 2 ฀ y 1 ฀ z 1 Apx y z 2 1 1 Ejemplo 5.24 S.E.L. consistente con infinitas soluciones. Resolver: Solución: x ฀ y ฀฀ z ฀฀฀ 1 x ฀ 2y ฀ 3z ฀฀฀ ฀ 4 ฀฀฀฀3x ฀ 2y ฀ 7z ฀฀฀ ฀฀฀฀0 px y z ฀: 1 y ฀ 1 z ฀฀฀ 2 y z ฀฀฀ 2 y z 2 y 1 2 y 1 1 x ฀ 2 y ฀ 3z ฀฀ 7 x ฀ 2y ฀ 3z ฀ 7 x 2 1 ฀ 31 7 x ฀ 2 ฀ 3 ฀ 7 x 2 x 2y ฀ 3z ฀฀ 7 2 ฀ 2 1 ฀ 31 ฀฀฀ 2 ฀ 2 ฀ 3 ฀฀฀฀฀฀฀ 7 22 1 ฀฀ 1 ฀฀ 4 ฀ 1 ฀ 1 ฀฀฀฀฀฀฀ 4 32 ฀ 2 1 ฀ 21 ฀฀ ฀ 6 ฀ 2 ฀ 2 ฀฀ 10 f 1 1 1 1 2 0 4 3 3 1 1 2 1 7 1 1 1 2 0 4 3 3 1 1 7 2

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 513 pág. De la última fila de la matriz escalonada se obtiene la siguiente ecuación: Por sustitución regresiva: El conjunto de verdad del predicado px y z es: Ejemplo 5.25 S.E.L. consistente con infinitas soluciones. Resolver: Solución: Note que en este ejemplo la cantidad de incógnitas 4 es mayor que la cantidad de ecuaciones 3. La matriz aumentada es de dimensión 3x5 y llevándola a su forma escalonada tenemos: 0x 0y 0z 0 z t t t es una variable libre y 4z 3 y 4t 3 y 3 4t x y z 1 x 1 y z x 5t 2 Apx y z x y z/x 5t 2 y 4t 3 z t t Apx y z 5t 2 4t 3 t / t f 1 ฀ f 2 1 1 1 1 0 3 4 3 1 7 2 0 1 3 4 0 1 3 4 f 1 ฀ 3 ฀ f 3 1 1 1 0 1 1 3 4 0 1 f 2 ฀ 1 ฀ f 3 1 1 1 0 0 0 0 2x ฀ 6y ฀ 4z ฀ 2w ฀฀฀ 4 x ฀ ฀ z ฀฀ w 5 ฀ 3x ฀ 2y ฀ z ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ 2 px y z w ฀: 1 4 1 0 2 1 4 2 5 2 0 1 3 6 2 f 1 1 2 1 2 2 0 1 1 2 5 1 0 1 3 3 2 2

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514 pág. De la última fila de la matriz escalonada se obtiene la siguiente ecuación: 1z 9 13 w ฀ 45 13 Si hacemos: w t t t es una variable libre Reemplazando en la última ecuación: Por sustitución regresiva: 2 2 1 0 2 3 1 0 0 3 3 2 2 3 1 2 8 1 0 2 3 1 3 0 3 11 3 1 0 4 f 1 ฀ 1 ฀ f 2 f 1 3 ฀ f 3 f 3 ฀ 3 13 3 1 2 1 2 1 45 13 0 9 13 1 3 1 0 0 0 1 f 2 ฀ 1 3 f 2 ฀ 11 ฀ f 3 3 1 2 1 2 1 0 1 3 0 0 11 1 8 3 4 2 1 0 2 1 3 0 3 0 0 15 1 1 3 1 13 3 z 9 13 w ฀ 45 13 z 9 13 t ฀ 45 13 1 y ฀฀฀ 1 3 z 1 y 1 3 z 1 y 1 3 9 13 t ฀ 45 13 ฀ 1 y 3 13 t ฀ 15 13 ฀ 1 y 3 13 t ฀ 28 13 x ฀ 3y ฀ 2z ฀ w ฀2 x ฀ 3 3 13 t ฀ 28 13 ฀ ฀ 2 9 13 t ฀ 45 13 ฀ t ฀ 2 x ฀ 9 13 t ฀ 84 13 ฀฀ 18 13 t ฀ 90 13 ฀ t ฀ 2 x ฀ 4 13 ฀t ฀ 20 13 x ฀ 3y ฀ 2z ฀ w ฀ 2

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 515 pág. El conjunto de verdad del predicado px y z w es: Ejemplo 5.26 S.E.L. inconsistente. Resolver: Solución: De la última fila de la matriz escalonada se obtiene la siguiente ecuación: 0x 0y + 0z 3 La cual constituye una proposición falsa para cualquier valor de x y z real. Por lo tanto: Ap x y z Apx y z w ฀ ฀ x y z w / x ฀ 4 13 t ฀ 20 13 ฀ ฀ y 3 13 t ฀ 28 13 ฀ ฀ ฀ z 9 13 t ฀ 45 13 ฀ ฀ ฀ w t t Apx y z w ฀ ฀ ฀ 4 13 t ฀ 20 13 ฀฀ 3 13 t ฀ 28 13 ฀฀ 9 13 t ฀ 45 13 ฀฀ t ฀/ t 2x ฀ 2y ฀ 2z ฀฀฀ 2 2x ฀ 3y ฀฀ z 2 ฀฀฀3x ฀ 2y ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀0 px y z ฀: f 1 1 2 2 3 2 1 2 0 2 0 2 2 3 2 1 3 1 1 1 0 2 0 2 2 3 1 1 5 1 3 1 0 0 0 0 2 3 1 f 1 2 ฀ f 2 f 1 3 ฀ f 3 1 5 1 3 1 0 3 0 5 0 1 3 f 2 1 5 1 1 1 1 0 3 0 5 0 1 3 5 3 f 2 5 ฀ f 3 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 3 3 5

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516 pág. Ejemplo 5.27 S.E.L. inconsistente. Resolver: Solución: Podemos notar que las filas 2 y 3 de la matriz tienen situaciones contradictorias. 0z 0 0z 1 No existen valores de z que satisfagan ambas ecuaciones lineales por lo tanto: Ap x y z Ejemplo 5.28 Sistema de ecuaciones lineales. Dado el siguiente S.E.L.: Determine los valores de a y b a ฀฀ b para que el S.E.L.: a Tenga solución única. b Tenga infinita cantidad de soluciones. c No tenga solución. Solución: Debemos empezar expresando matricialmente el S.E.L. de acuerdo a la forma Ax b así: 2x ฀ y ฀ z ฀฀฀฀฀ 1 4x ฀฀ 2y ฀฀ 2z 3 ฀ 2x ฀฀ y ฀฀฀ z ฀฀฀฀฀ 1 px y z ฀: 2 1 3 4 1 1 1 1 2 2 2 1 3 4 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 f 1 1 2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 2 1 2 0 1 0 1 1 1 1 2 1 2 0 2 1 f 1 4 ฀ f 2 1 2 f 1 2 ฀ f 3 3x ฀ 2y ฀ z ฀฀฀฀฀ b 5x ฀฀ 8y ฀฀ 9z 3 ฀฀฀2x ฀฀ y ฀฀฀ az ฀฀฀฀ 1

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 517 pág. Luego construimos la matriz aumentada del sistema: Utilizando el método de Gauss llevamos la matriz de los coeficientes a su forma escalonada: a 9 1 1 2 8 3 2 5 z y x 1 3 b 3 3 5 b 2 2 1 a 9 8 1 1 f 1 1 3 2 2 3 9 1 3 a 8 1 5 1 b 3 1 3 f 1 5 ฀ f 2 2 3 1 3 b 3 1 2 22 3 5b ฀ 9 3 0 14 3 1 a 1 2 3 1 3 b 3 1 22 3 5b ฀ 9 3 0 14 3 0 f 1 2 ฀ f 3 7 3 3a ฀ 2 3 3 ฀ 2b 3 2 3 1 3 b 3 1 5b ฀ 9 14 0 11 7 0 7 3 3a ฀ 2 3 3 ฀ 2b 3 f 2 ฀ 3 14 1

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518 pág. En esta última matriz analizamos la última fila de la manera siguiente: a Para que el sistema tenga solución única debe cumplirse que: b Para que el sistema tenga infinito número de soluciones debe cumplirse que: Otra forma de resolver un S. E. L. es empleando la representación matricial de la siguiente manera: Así como se ha utilizado el método de Gauss en varios ejemplos de este capítulo también podemos utilizar el método de Gauss-Jordan para encontrar de manera directa las soluciones sin aplicar sustitución regresiva. Ax b Representación matricial del S.E.L. A 1 Ax A 1 b Multiplicación por izquierda de la inversa A 1 I x A 1 b Propiedad de la inversa x A 1 b Solución del S.E.L. f 3 3 7 2 3 1 3 b 3 1 5b ฀ 9 14 0 11 7 0 3a ฀ 2 7 3 ฀ 2b 7 1 1 f 2 1 ฀ f 3 2 3 1 3 b 3 1 5b ฀ 9 14 0 11 7 0 3a ฀ 9 7 9b ฀ 3 14 1 0 3a 9 7 ≠ 0 es decir a ≠ 3. 3a 9 7 0 ฀ 9b 3 14 0 es decir a 3 ฀ b 1 3 . c Para que el sistema no tenga solución deberá cumplirse que: 3a 9 7 0 ฀ 9b 3 14 ≠ 0 es decir a 3 ฀ b ≠ 1 3 .

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 519 pág. Esta última expresión nos sugiere que la matriz de las incógnitas x del S.E.L. puede ser determinada multiplicando la inversa de la matriz de los coeficientes A por la matriz de los términos independientes b. En este caso si detA ≠ 0 el sistema tiene solución única. Por el contrario si la matriz A no es inversible det A 0 se puede concluir que el S.E.L. es inconsistente o tiene infinitas soluciones. Adicional a estos dos métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales existe la regla de Cramer que se aplica cuando la matriz A es inversible tal como se explica a continuación. Regla de Cramer Para un S.E.L. de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya forma es: sus soluciones están dadas por: Para un S.E.L. de tres ecuaciones con tres incógnitas cuya forma es: sus soluciones están dadas por: b 1 b 2 a 12 a 22 a 11 a 21 a 12 a 22 x a 11 b 1 a 21 b 2 a 11 a 21 a 12 a 22 y siempre que:a 11 a 22 a 12 a 21 ≠ 0. a 11 x a 21 x a 31 x a 12 y a 22 y a 32 y a 13 z a 23 z a 33 z b 1 b 2 b 3 y a 32 a 33 a 22 a 12 a 13 a 23 a 31 a 21 a 11 b 2 b 3 b 1 a 13 a 33 a 23 a 11 a 31 a 21 x b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 b 1 a 12 a 13 a 32 a 33 a 22 a 12 a 13 a 23 a 31 a 21 a 11 z a 32 a 33 a 22 a 12 a 13 a 23 a 31 a 21 a 11 b 2 b 3 b 1 a 11 a 12 a 31 a 32 a 21 a 22 a 11 x ฀฀ a 12 y b 1 a 21 x ฀฀ a 22 y b 2

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520 pág. Siempre que el determinante de la matriz de coeficientes que está presente en cada denominador sea diferente de cero. Resolver: Solución: La matriz aumentada del sistema sería: Aplicando la regla de Cramer: Ejemplo 5.29 Aplicación de la regla de Cramer. x ฀฀ 2y ฀ z ฀฀฀฀ 3 2x ฀฀ 4y ฀฀ z 7 ฀ 2x ฀฀ 2y ฀฀฀ 3z ฀฀฀฀ 4 px y z ฀: 1 3 1 1 4 2 2 2 2 4 3 7 x 3 2 1 7 4 1 4 2 3 2 1 4 1 1 2 3 2 2 312 2 221 4 1 14 16 112 2 2 6 2 14 8 66 22 3 y 2 1 4 1 1 2 3 2 2 121 4 3 6 2 18 14 22 11 22 1 1 7 1 4 3 3 2 2 1 2 z 2 1 4 1 1 2 3 2 2 1 3 4 2 2 2 2 7 4 1 16 14 28 14 34 8 22 22 22 ฀1 Apx y z 3 1 2 1

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 521 pág. En general para resolver el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer la incógnita j puede obtenerse así: Note que el arreglo del numerador es igual al del denominador excepto por la columna j cuyos coeficientes son reemplazados por los términos independientes del sistema. En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas y las patas se obtiene 50 y 134 respectivamente. ¿Cuántos animales hay de cada clase Ejemplo 5.30 Planteo de un sistema de ecuaciones lineales. Solución: Sea g: cantidad de gallinas. c: cantidad de conejos. Con las condiciones anotadas y suponiendo que las gallinas y los conejos son normales cada animal debe tener una cabeza mientras que cada gallina debe tener 2 patas y cada conejo debe tener 4 patas. Por lo tanto se puede construir el S.E.L.: a 11 x 1 a 21 x 1 a n1 x 1 a 12 x 2 a 22 x 2 a n2 x 2 ฀ ฀ ฀ a 1n x n a 2n x n a nn x n b 1 b 2 b n x j a 11 a 21 a n1 a 22 a n2 a 12 b 2 b n b 1 a 2n a nn a 1n a 11 a 21 a n1 a 22 a n2 a 12 a 2j a nj a 1j a 2n a nn a 1n g ฀฀ c 50 I 2g ฀ 4c 134 II

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522 pág. Si multiplicamos la ecuación I por el factor 2 y se la sumamos algebraicamente a la ecuación II se obtiene: Reemplazando el resultado en la ecuación I: Comprobando los valores: al tener 33 gallinas quiere decir que hay 33 cabezas y 66 patas al tener 17 conejos quiere decir que hay 17 cabezas y 68 patas. Al sumar la cantidad de cabezas y la de patas coincide con las condiciones anotadas. Un laboratorio químico tiene tres recipientes de ácido sulfúrico H 2 SO 4 . Un recipiente contiene una solución concentrada de H 2 SO 4 al 15 el segundo tiene H 2 SO 4 al 25 y el tercero H 2 SO 4 al 50. ¿Cuántos litros de cada solución hay que mezclar para obtener 100 litros de una solución cuya concentración sea del 40 de H 2 SO 4 Solución: Sean x y z: cantidad de litros de las concentraciones de 15 25 y 50 de H 2 SO 4 respectivamente entonces lo que necesitamos para plantear nuestro sistema es que sean 100 litros en total y que la concentración de H 2 SO 4 de cada solución sea el 40 de 100 litros así: Ejemplo 5.31 Planteo de un sistema de ecuaciones lineales. Expresando el S.E.L. en forma matricial a través de su matriz aumentada y llevándola a la forma escalonada tenemos: 2c 34 c 17 g 50 c g 50 ฀ 17 g 33 x ฀ y ฀ z 100 0.15x ฀ 0.25y ฀ 0.50z 40 x ฀ y ฀ z 100 0.15x ฀ 0.25y ฀ 0.50z 0.40 100 1 1 1 100 40 0.50 0.25 0.15 100 4000 1 50 1 25 1 15 f 2 100 f 1 15 ฀ f 2 100 1 1 1 0 10 35 2500 H 2 SO 4 al 40 H 2 SO 4 al 50 H 2 SO 4 al 25 H 2 SO 4 al 15 x y z 100

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 523 pág. Teorema resumen De donde se obtiene las siguientes ecuaciones: Lo cual nos lleva a un sistema con infinita cantidad de soluciones sin embargo debemos considerar que: x ≥ 0 y ≥ 0 z ≥ 0. El siguiente cuadro nos presenta 3 de estas infinitas posibilidades: 15 25 50 40 0 40 60 100 10 26 64 100 20 12 68 100 H 2 SO 4 Sea A una matriz de orden n x n. Entonces las cuatro afirmaciones siguientes son equivalentes. Es decir cada una de ella implica las otras tres de manera que si se cumple una todas se cumplen y si una es falsa todas son falsas. a A es inversible. b La única solución al sistema homogéneo Ax 0 es la solución trivial x 0. c A es equivalente por renglones a la matriz identidad I nxn es decir la forma escalonada reducida por renglones de A es I nxn . d det A 0. A partir del estudio de sistemas de ecuaciones lineales podemos a manera de conclusión referirnos a importantes consideraciones válidas para su resolución tal como se resume a continuación: f 2 ฀ 1 10 ฀ f 1 150 0 1 0 10 35 2500 25 10 f 2 1 10 150 0 1 0 1 250 25 10 35 10 x ฀฀ 25 10 z 150 y ฀฀ 35 10 ฀z 250

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524 pág. 5.4 Sistemas de ecuaciones no lineales en el plano S.E.N.L. Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Resolver un sistema de ecuaciones no lineales empleando métodos de eliminación o sustitución. Inspeccionar gráficamente las soluciones de un sistema de ecuaciones no lineales con dos incógnitas. Resolver un sistema de ecuaciones no lineales empleando cambios de variable adecuados para su linealización. Ejemplo 5.32 Sistema de ecuaciones no lineales. Solución: Algebraicamente: Resolver: px y ฀: x y ฀฀ 1 y ฀฀ 2x ฀฀ 1 No existe un método específico para resolver un S.E.N.L. Sin embargo considere lo siguiente: ▪ Si el sistema consta de dos ecuaciones con dos incógnitas se pueden hacer las gráficas de las ecuaciones en el plano cartesiano. Al hacer tal graficación podemos tener una idea de la cantidad de soluciones del sistema y su ubicación en el plano. Tal como se dijo en la sección anterior la solución a este tipo de sistemas estará conformada por aquellos puntos comunes a ambas gráficas. ▪ Al resolver analíticamente este tipo de sistemas es necesario verificar la presencia de soluciones extrañas en el desarrollo algebraico. 1 xy 1 y 1 x 2 y 2x 1 1 x 2x 1 2x 2 x 1 0 x 12 ฀ 1 ฀ 1 ฀ 4 2 1 22 x 12 ฀ 1 ฀ 3 4 ฀ x 1 1 ฀฀฀฀ y 1 1 x 2 1 2 ฀฀฀฀ y 2 ฀฀2

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 525 pág. Gráficamente: Ejemplo 5.33 Sistema de ecuaciones no lineales. Resolver: Solución: Igualando ambas ecuaciones: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 y 2x 1 y P 2 1 2 2 y 1 x P 1 1 1 x Apx y 1 1 1 2 2 px y ฀: y ฀฀฀฀ x y 2 ฀ x x ฀ 2 ฀฀฀ x x 4 ฀฀ 4x ฀฀ x 2 x 2 ฀ 5x ฀฀ 4฀฀฀฀ 0 x ฀ 1x ฀ 4 ฀฀ 0 x 1 ฀1 x 2 ฀4

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526 pág. Reemplazando: Se puede notar que el par ordenado x 2 ฀y 2 es decir 4 2 no es solución del S.E.N.L. Haciendo la representación gráfica: Por lo tanto Apx y 1 1. Ejemplo 5.34 Sistema de ecuaciones no lineales. Sea Re 2 y px y : log 3x 5 ฀ log y 1 3x ฀ 2y 3 determine Apx y. Solución: De la primera ecuación y aplicando la definición de logaritmo de un cociente tenemos: Luego cambiando la expresión logarítmica a su exponencial equivalente: y 1 ฀1 ฀ y 2 ฀ 2 y x 1 4 5 6 2 3 7 1 2 3 4 1 1 1 1 y 2 ฀ x y x log 3x 5 ฀ log y 1 log 3x ฀ 5 y 1 10 3x ฀ 5 y 3x 5 10 y 3x 10 y 5

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 527 pág. Finalmente construimos un sistema de ecuaciones equivalente: Si resolvemos el S.E.L. utilizando la regla de Cramer se tiene: Comprobando: Por lo tanto Apx y 5 3 1 . 3x 10y 5 3x 2y ฀฀ 3 5 10 3 2 10 3 2 3 x x 10 ฀ 30 6 ฀ 30 40 24 5 3 10 3 2 3 y 5 3 3 3 y 9 ฀ 15 6 ฀ 30 24 24 1 log 3 5 3 5 ฀ log 1 1 3 5 3 2 1 3 p 5 3 1 : log 10 ฀ log 1 1 5 2 3 p 5 3 1 : p 5 3 1 1

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528 pág. Ejemplo 5.35 Aplicación de sistema de ecuaciones no lineales. Dada la matriz a 3 5 b a b y el predicado pa b: es una matriz involutiva determine Apa b: Solución: De donde aplicando la igualdad entre matrices se construye el siguiente S.E.N.L.: Por otra parte se cumple también que: Si A es una matriz involutiva debe cumplirse que A 2 I 2x2 . Comprobando: Con lo cual se conluye que Apa b 4 ฀ 4 ฀ 4 4. Por lo tanto los pares ordenados que satisfacen el predicado son 4 ฀ 4 y ฀ 4 ฀4. 5.5 Sistema de inecuaciones lineales en el plano S.I.L. Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dado un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas resolverlo gráficamente empleando las reglas de sombreado y de frontera. Identificar la solución no vacía de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas como una región acotada o no acotada. Plantear y resolver gráficamente problemas de programación lineal con dos variables. A 2 a 3 5 b a 3 5 b a 2 15 3a ฀ 3b 5a 5b 15 ฀ b 2 1 0 0 1 a 2 15 1 b 2 15 1 a 2 16 b 2 ฀ 16 a ฀ 4 b ฀ ฀ 4 3a 3b 0 a ฀ 5b 0 3a 3b a ฀ ฀฀ 5b a ฀ b a ฀ b A 2 4 3 5 4 4 3 5 4 1 0 0 1 A 2 4 3 5 4 4 3 5 4 1 0 0 1

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 529 pág. Numerosos problemas en economía y la industria se plantean con el fin de tomar decisiones para minimizar gastos o maximizar beneficios siempre sujetos a restricciones de distinta naturaleza como son: capacidad de producción stocks en el almacén demanda del mercado etc. Alrededor de estos temas una idea fundamental es la inecuación lineal. Una inecuación lineal divide al plano en dos regiones una donde se satisface la desigualdad y la otra donde no se satisface. La parte correspondiente a la igualdad constituye la frontera entre las regiones. Todos los puntos de una región que satisfacen simultáneamente las inecuaciones presentes en el sistema conforman lo que se conoce como conjunto factible. La solución de este tipo de sistemas para órdenes bajos es completamente gráfica y los pasos a seguir son: Otra forma de encontrar la región que representa al sistema de inecuaciones lineales es: ▪ Reemplazar el símbolo de desigualdad por el de igualdad y hacer la gráfica de la ecuación resultante. Si la desigualdad no incluye la frontera se utiliza una línea segmentada en caso contrario se utiliza una línea continua. ▪ En cada uno de los semiespacios elija un punto de prueba P. Si las coordenadas de P satisfacen la desigualdad entonces los demás puntos también la satisfacen. Esto se especifica sombreando dicha región. ▪ Expresar la variable y o la variable x en forma explícita. ▪ Luego se grafica la frontera cambiando la desigualdad por una igualdad. ▪ Se sombrea según indica la desigualdad siguiendo las reglas: ▪ Si la desigualdad contiene la igualdad la frontera se incluye en la solución. ▪ Identifique la intersección de las regiones sombreadas la cual representa la solución del sistema. ● y f x Sombrear hacia arriba de la frontera. ● y f x Sombrear hacia abajo de la frontera. ● x gy Sombrear hacia la derecha de la frontera. ● x gy Sombrear hacia la izquierda de la frontera.

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530 pág. Ejemplo 5.36 Sistema de inecuaciones lineales. Resolver: Solución: Es importante recordar que las rectas de la forma x k o y k son rectas verticales u horizontales respectivamente. Así tenemos que los límites de una región de inecuaciones puede incluir expresiones como y k y k x k y x k. En la siguiente figura se muestra la solución de y ฀ 2 y x y ฀ 2. y x 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 x ฀ 0 y ฀ 0 x ฀ y ฀฀ 4 2x ฀ 3y ฀฀ 6 px y ฀: Apx y y 4 x y x 6 2x 3 y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 Note que: P 1 1 2 Apx y P 2 1 1 Apx y P 3 3 1 Apx y P 4 4 2 Apx y

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 531 pág. Ejemplo 5.37 Sistema de inecuaciones lineales. Dada la región sombreada la cual representa el conjunto factible de un S.I.L. determine el sistema de desigualdades. Solución: La región sombreada se encuentra en el I cuadrante entonces debe cumplirse que x ฀ 0 y ฀ 0. La recta vertical x ฀4 sugiere que la región que está a la izquierda de ella es parte del conjunto factible se deduce entonces que x ฀ 4. La función lineal y ฀6 x es la última referencia y está sombreada la parte inferior a su frontera esto es y ฀ 6 ฀ x. El S.I.L. puede ser representado por: y x 4 2 6 0 0 6 x ฀ 0 y ฀ 0 x ฀ 4 x ฀ y ฀฀ 6

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532 pág. Programación lineal Desde el punto de vista histórico la programación lineal surgió como una técnica para resolver problemas relacionados con la distribución de artículos y materiales para la Fuerza Aérea de los Estados Unidos durante la Segunda Guerra Mundial. En la actualidad es utilizada para la optimización de la distribución de los vuelos de las líneas aéreas y el establecimiento de redes telefónicas. Aunque los problemas prácticos contienen cientos de desigualdades lineales con otros cientos de incógnitas en esta sección limitaremos nuestro estudio a sólo dos variables para resolverlo gráficamente. Ejemplo 5.38 Programación lineal. El Gerente de Producción de una empresa se dispone a construir al menos 5 muestras de un tipo de mesas auxiliares para luego probarlas y venderlas. El costo de cada mesa construida en madera es de 18.00 y el de cada mesa construida en plástico es de 9.00. Se desean por lo menos 2 mesas de cada tipo debiéndolas entregar dentro de las próximas 48 horas. Cada mesa construida en madera tarda 6 horas en producirse y una plástica tarda 3 horas. En base a esta información grafique la región que represente el conjunto factible y evalúe la función objetivo en sus extremos analizando los resultados. Solución: Para esta situación vamos a considerar: x : cantidad de mesas de madera. y : cantidad de mesas de plástico. La función que se desea minimizar también llamada función objetivo es C 18 x 9y cuyo valor estará expresado en dólares. Esta función está condicionada a un conjunto de restricciones que se pueden representar en un S.I.L. tal como se ilustra: x ฀฀ y ฀฀฀ 5 6x ฀ 3y ฀ 48 x ฀฀ 2 y ฀฀ 2

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 533 pág. Los puntos P 1 P 2 P 3 y P 4 representan posibles valores extremos de la función objetivo. Evaluando cada uno tenemos: Por tanto al construir 2 muestras de mesas de madera y 3 muestras de mesas plásticas se generará un costo mínimo de 63.00 para estos puntos extremos. De acuerdo a la tabla también se puede notar que construir 2 mesas de madera y 12 mesas plásticas genera el mismo costo que construir 7 mesas de madera y 2 mesas plásticas. La representación gráfica del conjunto factible se muestra a continuación: x 2 P 2 2 12 6x ฀ 3y 48 P 3 7 2 y x P 1 2 3 P 4 3 2 y 2 x ฀ y 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Límite Valor de la función objetivo P 1 2 3 C 18 2 9 3 63 P 2 2 12 C 18 2 9 12 144 P 3 7 2 C 18 7 9 2 144 P 4 3 2 C 18 3 9 2 72

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534 pág. Ejemplo 5.39 Programación Lineal. Una compañía decide comercializar dos tipos de azúcar: una mezcla de menor calidad con 1 4 libra de azúcar blanca y 3 4 libra de azúcar morena y otra mezcla de mayor calidad con 1 2 libra de azúcar blanca y 1 2 de azúcar morena obteniendo así una ganancia de 0.60 por cada paquete de la mezcla de menor calidad y una ganancia de 0.80 por cada paquete de mezcla de mayor calidad. Si se cuenta con 180 libras de azúcar morena y 160 libras de azúcar blanca grafique la región del plano que represente el conjunto factible y evalúe la función objetivo en sus extremos. Analice los resultados. Solución: Consideremos: x : cantidad de libras de la mezcla de menor calidad. y : cantidad de libras de la mezcla de mayor calidad. Si G representa la ganancia es decir la función objetivo tenemos: G 0.60x + 0.80y . La función G está restringida por una serie de consideraciones las mismas que se resumen en el siguiente S.I.L. La representación gráfica del conjunto factible se muestra a continuación: x ฀฀฀ 0 y ฀฀฀ 0 0.25x ฀ 0.50y ฀฀฀ 160 0.75x ฀ 0.50y ฀฀฀ 180 x ฀฀฀ 0 y ฀฀฀ 0 25x ฀ 50y ฀฀฀ 16000 75x ฀ 50y ฀฀฀ 18000 100 200 300 400 500 600 700 25x 50y 16000 x y 75x 50y 18000 P 3 40 300 P 4 240 0 P 1 0 0 P 2 0 320 100 200 300 400

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 535 pág. A continuación se presentan los valores de la función objetivo en los puntos extremos P 1 P 2 P 3 y P 4 . Con lo que se concluye que cuando la compañía prepare 40 paquetes de la mezcla de menor calidad y 300 paquetes de la mezcla de mayor calidad de azúcar obtendrá la mayor ganancia. Límite Valor de la función objetivo P 1 0 0 G 0.600 0.800 0 P 2 0 320 G 0.600 0.80320 256 P 3 40 300 G 0.6040 0.80300 264 P 4 240 0 G 0.60240 0.800 144 5.6 Sistemas de inecuaciones no lineales S.I.N.L. Tal como analizamos en la sección precedente para resolver este tipo de sistemas se considerará nuevamente la representación gráfica. La única diferencia es que las nuevas inecuaciones contienen expresiones con radicales que incluyen valor absoluto polinómicas racionales exponenciales logarítmicas trigonométricas con funciones especiales etc. Para encontrar la región en el plano que represente la solución de todas las inecuaciones no lineales se pueden aplicar las mismas reglas dadas para los sistemas de inecuaciones lineales con la diferencia de que en estos problemas las fronteras pueden ser curvas o rectas. Ejemplo 5.40 Sistema de inecuaciones no lineales. Resolver: Solución: La representación gráfica de Apx y es: px y ฀: y ฀฀฀฀ x 2 4 y ฀฀ x 2

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536 pág. Ejemplo 5.41 Sistema de inecuaciones no lineales. Representar gráficamente la región R definida por: Apx y 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 3 4 5 1 2 y ฀ x ฀ 2 x y y x 2 ฀ 4 R x y /senx y cosx x 0 2̟ R y y cos x y sen x x 2̟ ̟ 4 5̟ 4 1

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Capítulo 5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 537 pág. Ejemplo 5.42 Sistema de inecuaciones no lineales. Representar gráficamente la región R definida por: Ejemplo 5.43 Sistema de inecuaciones no lineales. Sea Re 2 y px y ฀: ฀x ฀฀฀ 2 y ฀฀฀฀ x 3 y ฀฀฀฀ 4 x 2 determine gráficamente Apx y. Solución: La representación gráfica de Apx y es: R 1 x y / x ฀ 2 y lnx R 2 x y / e x y 2 ฀ ฀x R R 1 R 2 R 1 R 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 y y e x y x 2 y ln x x y 2 ฀ ฀ x

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538 pág. x y 1 2 3 4 5 1 3 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 y x 2 4 x 2 x 2 y x 3

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539 pág. 5.1 Matrices y operaciones a Verdadero b Falso 2. Dada la ecuación matricial 4 3 5 4 8 4 7 3 8 1 X hallar X. 3. a Determine la matriz A 2x2 a ij para la cual a ij i + j 2. b Sea B 0 0 0 2 . ¿Es B una matriz diagonal c Sea C A B. ¿Es C una matriz identidad d Sea la matriz D 3x2 d ij para la cual d ij 2i + 3j 4 encuentre: i DA ii DB iii DC 4. Determine la matriz A 3x4 a ij para la cual: a ij i j i ≠ j 0 i j . 1. Si A y B son dos matrices cuadradas cualesquiera entonces: CAPÍTULO CINCO 5 Ejercicios propuestos A B 2 A 2 B 2 ฀ 2AB 5. Sea f x y x ฀ y x y M 3x3 . Sea A 3 2 1 2 1 1 4 1 4 determine: a f A A T b f A T A 1 c f A 1 AA 1 d f A 1 A 1 A T a Hallar la matriz B ฀ 2C. b Si F 2 9I donde I es la matriz identidad de 2 x 2 demostrar que n 0. c Hallar BC T . d Hallar C T B. 6. Considere las siguientes matrices: A 2 y x 1 B 5 2 0 3 6 1 C 4 3 6 7 1 2 F n 3 n 3

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540 pág. 8. Sean las matrices A 4 0 0 0 0 1 0 0 1 y B 1 1 1 0 0 1 1 0 1 . a Calcule A 3 3B 2 10I. b Verifique que AB T B T A T . c Si A 1 1 0 1 0 0 1 0 1 y B 2 1 0 0 1 1 1 1 0 verifique que AB 1 B 1 A 1 . 9. Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si y solo si A 1 A T . Sea A 0 1 0 sen 0 cos 0 cos sen . Demuestre que A es ortogonal. 10. Las matrices A B y X están dadas por: A 3 5 1 6 B 4 8 0 3 X a b c d donde a b c d . Suponiendo que: AX X B encuentre los valores de a b c y d. 11. Sea A 1 0 1 0 0 0 B 1 0 0 1 1 0 C 1 0 0 0 1 0 . Demostrar que: Si AB AC no necesariamente B C. 7. Encuentre la matriz “X ” en las siguientes ecuaciones matriciales: 12. Sea M a 2 2 1 donde a es elemento de los números enteros. i Exprese M 2 en función de a. ii Si M 2 es igual a 5 4 4 5 encontrar el valor de a. a 1 2 3 4 0 1 4 1 2 X 0 0 0 0 1 1 b 0 2 2 1 2 3 3 1 3 X 3 6 6 0 12 0 c X 1 2 3 3 4 2 4 3 1 6 0 9 1 8 6 d X 3 2 1 2 2 1 1 1

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541 pág. 13. A 3 4 2 3 B 5 1 0 3 C 2 1 0 4 3 1 0 1 D 10 15 5 11 10 10 . Halle: a AD b A T C T c CD d C T B T 14. Dadas las matrices A 1 5 2 3 y B 2 3 1 0 6 1 compruebe que BA T A T B T . 15. Encontrar todas las matrices diagonales de orden dos que coinciden con su inversa. 16. Una matriz cuadrada A tiene la propiedad de que A 2 2A I donde I es la matriz identidad. Demuestre que A tiene inversa y obtenerla en función de A. 17. Dada la matriz B 1 m 0 0 1 m encuentre los valores de m tales que B 2 2B I y para estos valores halle la inversa de B. 5.2 Determinantes 20. Dadas las matrices: A 1 2 0 1 4 3 1 8 0 B 0 2 1 1 2 0 0 4 1 C 0 2 2 4 1 3 8 4 4 Determinar: a A 1 b AB 1 c det AB ฀ 2C T d det A ฀ det B ฀ det C ฀ e B 1 C 1 19. Hallar los valores de x elemento de los reales para que la matriz A sea singular. 18. Se dice que dos matrices cuadradas A y B de orden n x n son semejantes si existe una matriz inversible P tal que B P 1 AP. Determine si son semejante las matrices: A 1 0 2 1 y B 1 0 0 1 A 2 1 x ฀ 2 x

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542 pág. 24 Si 8 6 7 2 a 1 1 1 0 b 1 1 1 0 c 2 3 2 1 determine a + b + c. 21. Determinar el valor de k para que la matriz AB sea triangular superior donde: 23. Para las siguientes matrices: a Hallar el determinante de A y B. b Hallar AB y BA. ¿Son iguales Que podría decir acerca de AB. c Hallar CD y DC. ¿Son iguales Notar que C y D no son nulas. 25. Sabiendo que: A 3 4 3 2 e I 1 1 0 0 la suma de los valores de ฀para los cuales A ฀ I es una matriz singular es: a 6 b 1 c 7 d 5 e 5 26. El valor de: log 2 8 log 3 81 ฀ 4 2 log 2 1 2 ฀ 1 3 log 2 4 ฀ 1 es: a 2 b 1 c 1 d 2 e 7 Encuentre los valores de x tales que las matrices dadas no sean inversibles. 22. Para las siguientes matrices considere Re . 1 0 2 3 2 k 2 2 k k 3 A k 3 3 k 5 k B 2k 3 1 2 10 1 a 1 x x 1 1 b e x e 2x e 3x e 2x c 1 e x 0 e x ฀ e 2x 0 0 0 0 d sen x ฀ cos x cos x sen x A 0 1 0 1 B 1 0 0 1 C 1 0 0 1 0 0 D 0 0 1 1 0 0

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543 pág. 27. Sean A 5 2 7 1 B 6 7 5 2 y C 5 0 8 7 . Sabiendo que XA B C el detX es: a 14 b 14 c 19 d 10 e 0 28. Si Re y px: 4 2 3 1 ฀ 8x 1 2 x ฀ ฀ 4 1 2 x 0 entonces la suma de los elementos de Apx es: a 1 2 b 3 4 c 7 8 d 5 7 e 2 3 29. Dadas las matrices A y B tales que: sen ̟ 2 cos 2̟ ฀ cos ̟ sen ̟ 2 cos ̟ 3 cos ̟ 3 sec ̟ 3 sen ̟ sen 2̟ A log 1 log 2 1 4 log 3 9 log 2 1 4 log 3 9 lne 0 0 lne B . El det A T 1 2 B es: a 0 b 1 c 2 d 1 e 2 30. Sean las matrices A m h g f e d c b a y B a d 3a 2g b c e 3b f 3c 2h 2m tal que detA 10 es verdad que: a det B 5 b det B 20 c det A det B 25 d detA detB 1 2 31. Si el determinante de la matriz A a b c d e f g h i es n encuentre el determinante de las siguientes matrices: B 2h 4e 6b 6d 3g 9a 2f i 3c C b e h a c g i d f c b i h f e

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544 pág. 32. Sea x encuentre ฀Apx si px: x 2 x x x 1 1 1 x 2 1 1 1 x 2 1 1 1 x 0 . 33. Considere la función: f x x b 1 0 x 0 2a 1 x 0 0 3b a 0 0 1 . Sabiendo que: f 0 3 y f 1 f 1 determine a y b. 34. Una de las siguientes proposiciones es falsa identifíquela: 35. Sean A 5 1 0 3 B 2 0 1 4 . Encuentre: a detA b detB c AB d BA e Verificar que detAB detA detB detBA detB detA. 36. Hallar de modo que detA 1 para A cos 1 sen cos . 37. Demostrar que: a b + c 1 b 1 a + c c 1 a + b 0. a a b c d k ฀ ka b kc d k a b c d b a b c d ฀ a b c d d c b a c a b c d k ฀ k 2 a k 2 c kb kd k 3 a b c d d a b c d ฀ a b c d a c b d e a b c d k ฀ ka kc kb kd k a b c d

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545 pág. 39. El valor del determinante sen x cos x sen x cos x sen x 1 ฀ cos x sen x sen x cos x cos x sen x es: 40. Demostrar que: 1 sen a cos a 1 sen b cos b 1 sen c cos c sen b c ฀ sen c a ฀ sen a b . 43. Demostrar: x 2 y 2 z 2 x y z 1 1 1 y ฀ z x ฀ y x ฀ z. 41. Factorizar las siguientes expresiones de x: 42. Hallar Apx. Considere Re 0 ̟ y el predicado: 38. Usando las propiedades de los determinantes demuestre las igualdades siguientes si se tiene que: a b c d e f g h i 3. a a d 2g b c f 2i e 2h 6 b c f b e i h a d g 3 c a ฀ 4c b c f e i h d ฀ 4f g ฀ 4i 3 a 1 b 1 c 1 ฀ cosx ฀ d sen 2 x sen x ฀ cos x e cos 2 x sen x a x ฀ 4 x x ฀ 14 2x ฀ 1 b ฀ 1 9 1 x ฀ 1 x ฀ 2 x 2 x ฀ 1 x ฀ 1 c ฀ 2 2 1 x 4 x ฀ 4 3 6 px: 2 sen 2 2x 2 cos x 3 sen x 1 1

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546 pág. 44. Si se conoce que x y z 5 0 3 1 1 1 1 encuentre el valor de x 2x 5 y z 2y 3 2y z 1 1 y 1 x . 45. Si a 11 a 23 a 22 a 21 a 12 a 13 a 33 a 32 a 31 5 hallar el valor de 6a 22 2a 32 2a 12 a 31 3a 21 a 11 3a 23 a 33 a 13 . 5.3 Sistemas de ecuaciones lineales 47. Considere el sistema de ecuaciones: a Demuestre que el sistema no tiene solución única. b Halle el valor de k para que el sistema sea consistente. c Halle la solución general del sistema para el valor de k obtenido. 46. El determinante a 1 d 1 d 2 c 1 b 1 b 2 es equivalente a: 48. Considere la matriz: A 0 2 1 1 2 3 0 1 1 . a Calcule la inversa de A. b Calcule la inversa de A T y la de A 1 . c Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: a a 1 c 1 b 1 d 1 ฀ a 1 c 1 b 2 d 2 b a 1 c 1 b 1 d 1 ฀ b 1 d 1 b 2 d 2 c c 1 a 1 d 1 ฀ d 2 b 1 ฀ b 2 d 1 1 a 1 ฀ b 1 ฀ b 2 c 1 ฀ d 1 ฀ d 2 e a 1 c 1 b 1 c 1 ฀ a 1 b 2 c 1 d 2 x 2y z k 2x y 4z 6 donde k es una constante real. x 4y 5z 9 A T y z x 0 1 4 A 1 y z x 3 4 2

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547 pág. 49. Encuentre dos matrices A y B de orden 3 x 3 con coeficientes reales tales que satisfagan las dos igualdades siguientes: 3A 2B 8 3 4 2 7 2 2 3 3 y A B 1 0 2 1 2 1 3 0 2 . 51. Considere la matriz 1 2 1 t 1 t 0 1 t . a Hallar los valores de t para que esta matriz no sea inversible. b Calcule su inversa para el valor o valores de t tales que el determinante de la matriz es 1. 52. Considere la matriz: A 1 2 1 0 1 1 1 . a Halle los valores de para los que la matriz A no tiene inversa. b Tomando 1 resuelva el siguiente sistema escrito en forma matricial: a Calcule los valores de y sabiendo que el par ordenado P2 1 satisface la primera ecuación y el par ordenado Q2 0 satisface la segunda. b Si sustituimos estos valores de y calculados ¿el sistema tiene solución única ¿Por qué 50. Considere el sistema de ecuaciones: 1 1 x 1 x 2 1 . 53. Resolver el sistema de ecuaciones matriciales: A x 2 x 3 x 1 0 0 0 3X 2Y 7 16 3 4 X 3Y 6 2 27 12

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548 pág. 54. Dado el sistema: x 3z 1 2x ฀ 6z 3 y z 2 entonces es verdad que: a El sistema es consistente. b El sistema tiene solución única. c El sistema tiene infinitas soluciones. d No se puede evaluar el determinante del sistema. e El determinante del sistema es igual a cero. 58. Encontrar el valor o los valores del parámetro que hace que el sistema 0 1 1 2 ฀ 1 1 0 y x z 2 1 3 sea inconsistente. 57. Dado el sistema de ecuaciones: x m y 2mn x my m 2 n m n m ≠ 0 entonces es verdad que: a El sistema no tiene solución. b El sistema tiene infinitas soluciones. c El sistema tiene solución única. d El valor de x e y son iguales. e Sólo tiene solución trivial. 55. Calcule a y b para que los siguientes sistemas sean consistentes. 56. ¿Para qué valores de m es consistente el siguiente sistema m ฀ 2x y 2z 0 x my ฀ z 0 2x ฀ 2y 2z 0 x ay z 1 y ฀ 2z 1 x ฀ y z a a 2x y ฀฀ z 0 x ay bz 0 ax ฀ by z 0 b

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549 pág. 59. Supongamos que la matriz cuadrada A 1 0 3 2 1 2 a b c es inversible. Demostrar que la solución del sistema: A x 2 x 3 x 1 1 1 1 verifica que x 3 0. 60. Sean las matrices: A 5 1 ฀ ฀ 3 2 y B 2 2 ฀ t 4 1 . Encuentre los valores de y t para que A B. 61. Resuelva los siguientes sistemas: 62. Encuentre el valor de a para que el siguiente sistema no tenga solución. 63. Si se conoce que 1 1 1 1 1 y 3 3 3 3 3 son soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y 5 incógnitas determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a El sistema debe ser homogéneo. b 2 2 2 2 2 también es una solución del sistema. c m debe ser igual a 5. d La información dada es insuficiente para encontrar más soluciones. e No existe un sistema de ecuaciones lineales que satisfaga las condiciones dadas. x 1 2x 2 x 3 8 x 2 3x 3 x 4 15 4x 1 x 3 x 4 11 x 1 x 2 5x 4 23 a x 1 x 2 x 3 x 4 2 x 1 2x 2 2x 3 x 4 ฀ 5 2x 1 x 2 3x 3 2x 4 1 x 1 2x 2 3x 3 6x 4 10 b 6x 1 5x 2 7x 3 8x 4 3 3x 1 11x 2 2x 3 4x 4 6 3x 1 2x 2 3x 3 4x 4 1 x 1 x 2 x 3 0 c d 1 2 1 3 2 1 x y 2 1 1 z 3 3 2 x 3y ฀ 2z 5 x y z 2 2x ฀ 3y a 2 ฀ 1 z a ฀ 1

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550 pág. 64. Respecto al siguiente sistema de ecuaciones lineales ฀ x 1 x 2 ฀ 2x 3 0 ax 1 x 2 x 3 0 3x 1 ฀ 2x 2 ฀ x 3 0 a es falso que: a El sistema siempre tiene solución. b El valor de a para que el sistema tenga sólo solución trivial debe ser diferente de 2. c Para que el sistema tenga solución a debe ser diferente de 3. d Si a 2 el sistema tiene infinitas soluciones. e El sistema dado es inconsistente. 65. Para qué valores de “m” es consistente el sistema: 5.4 Sistemas de ecuaciones no lineales 67. Resolver los siguientes sistemas. Considere x y ฀02π . 66. Hallar la solución de los siguientes sistemas: ฀ mx y z 1 2mx y z 0 ฀ my z 2m ฀mx 1 b x my ฀ z 0 m ฀ 2x y 2z 0 2x ฀ 2y ฀ 2z 0 a ฀ x y ฀ mz 0 m ฀ 1x 2y 2 ฀ y ฀ 2z m c 3 y x 9 3 x y 81 a 2 2x 1 3 2y 23 2 x 3 y 7 d logx ฀ logy 3 x y 110 g 3 y x 3 3 x 3 y 36 b 3 x 2y 3 2 2x ฀ y 32 e log 2 x ฀ log 2 y ฀ 1 log 2 x y 2 h 2 x y 64 2 x 2 y 20 c 2 x 1 ฀฀2 y 1 2 6 3 x 9 y 3 8 f y ฀ 4x 0 logx ฀ logy ฀ 4 i cosx ฀ y 1 senx ฀ seny ฀ 1 a senx ฀ y 1 cosx tanx ฀ 2 3 b cosx cosy ฀ 3 4 senx seny ฀ 1 4 c senx ฀ seny ฀ 2 3 x y ฀ 2̟ 3 d x ฀ y ̟ 6 senx seny ฀ cosx cosy e senx seny ฀ 3 2 senx ฀ cosy ฀ 1 2 f

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551 pág. 5.5 Sistemas de inecuaciones lineales 72. Para el siguiente sistema de desigualdades: a El punto de intersección entre 5x 3y 105 y 2x 4y 70. b La representación en un plano cartesiano de las condiciones del sistema. c La región factible. 2x 4y 70 5x 3y 105 x 0 y 0 determine: 69. Un hombre y su hijo trabajando juntos pueden hacer una obra en 12 días. Trabajando separadamente el hijo tardaría 7 días más que el padre en hacer él solo la obra ¿cuánto tiempo tardará cada uno trabajando por su cuenta 70. Dos resistencias conectadas en serie dan una resistencia total de 25 ohmios y conectadas en paralelo dan una resistencia equivalente de 6 . ¿Cuántos ohmios tiene cada resistencia separadamente Si r 1 y r 2 son los ohmios que tiene cada resistencia R es la resistencia total cuando se conectan en serie y r la resistencia equivalente cuando se conectan en paralelo se sabe que r 1 r 2 R y que 1 r 1 ฀ 1 r 2 1 r . 71. Hallar la solución de los siguientes sistemas: 68. La demanda para los bienes producidos por una industria están dados por la ecuación p 2 ฀ x 2 169 donde p es el precio y x es la cantidad demandada. La oferta está dada por p x 7 el punto de intersección de la demanda y oferta se lo conoce como punto de equilibrio entonces el precio de equilibrio es: a 5 b 12 c 22 d 19 e 17 x 2 3xy 2y 2 8 3x 2 2xy 160 g x 2 2y 2 11 2x 2 3y 2 15 a xy 10 x 2 y 2 29 d 5x 2 7xy 6y 2 0 3x 2 8xy 4y 2 0 f xy 24฀ x 3 y xy 6฀ y 3 x e xy ฀ y 2 ฀ 4 x 2 3xy ฀ 8 c x y 1 x 2 y 2 25 b

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552 pág. 74. Para el gráfico adjunto identificar el sistema que lo representa y encontrar los vértices de la región sombreada. Entonces uno de los siguientes sistemas de desigualdades lineales representa la región sombreada identifíquelo: 73. Una máquina puede fabricar cajas de tornillos o cajas de pernos. Puede funcionar durante un máximo de 80 horas semanales. Lleva una hora en fabricar una caja. La máquina debe fabricar no menos de 20 cajas de tornillos por semana. El número de cajas de pernos P no debe ser menor que el número de cajas de tornillos Q. El punto T es 40 40. Esta información aparece en el diagrama adjunto. P T Q 80 60 40 20 20 40 60 80 0 y 6 x 4 2 0 2 ฀ 4 2 ฀ 4 2 4 P 80 ฀ Q P Q Q 20 a P 80 ฀ Q P Q Q 20 b P 80 ฀ Q P Q Q 20 c P 80 ฀ Q P Q Q 20 d P 80 ฀ Q P Q Q 20 e

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553 pág. 75. Resolver los sistemas de inecuaciones lineales siguientes encontrando los vértices de su región solución. 5.6 Sistemas de inecuaciones no lineales 76. La región del plano cartesiano que corresponde al conjunto solución del sistema de desigualdades: y ฀฀฀ x x 2 y 2 9 y x 2 0 es un subconjunto de los cuadrantes: a I y IV b II y IV c II y III d I y III e I y II 77. Graficar la región solución del sistema: y x 2 4x 5 x y 0 . 2x y 9 ฀ 0 2x 3y ฀฀ 3 2x ฀ 5y ฀ 5 0 a 2x y 9 ฀ 0 2x 3y ฀฀ 3 2x ฀ 5y ฀ 5 0 b 2x y 9 ฀ 0 2x 3y ฀฀ 3 2x ฀ 5y ฀ 5 0 c 2x y 9 ฀ 0 2x 3y ฀฀ 3 2x ฀ 5y ฀ 5 0 d 2x y 9 ฀ 0 2x 3y ฀฀ 3 2x ฀ 5y ฀ 5 0 e 6x 8y 120 5x 15y 150 x 0 y 0 a 9x 8y 0 x 3y 50 x 0 y 0 b 3x 4y 60 x 3y 12 2x y 10 0 ฀ x 8 0 ฀ y 2 c 2x 3y 36 x ฀ y 14 4x y 16 x 3y 0 d y x 3 x y 5 y 2x 16 4y x 22 e 3y x 1 y 0 x 0 x y 10 2x y 3 f x ฀ y 2

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554 pág. a En el I y II cuadrante del plano cartesiano. b En el II y III cuadrante del plano cartesiano. c Sólo en el II cuadrante del plano cartesiano. d Sólo en el I cuadrante del plano cartesiano. e En todos los cuadrantes del plano cartesiano. 81. Si Re x Re y y px y es la conjunción de los siguientes predicados y ฀ x 2 ฀ 1 x ฀y 2 y ฀x 2 entonces Apx y tiene elementos: 78. La región sombreada en el plano cartesiano adjunto representa el conjunto solución del sistema de desigualdades dado por: 80. Si px y: y ฀ x 2 ฀ 2x y 1 ฀฀ x 1 x y entonces es verdad que: 79. En los siguientes ejercicios haga la gráfica del conjunto solución de cada sistema de desigualdades dado: y x 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 e x 3 ฀฀฀ y log 2 x 2 y a 2 x 3 ฀ ฀฀ y log 1 2 x 2 y b e x 3 ฀ ฀฀ y log 3 x 2 y c 2 x 3 ฀฀฀ y log 1 2 x 2 y d e x 3 ฀฀฀ y log 1 2 x 2 y e xy ฀ 4 y x 2 1 a y x 0 y log 2 x y 4 ฀ x 2 b a Apx y ฀ x y/x 0 y 0 b 1 3 ฀ Apx y c 1 1 ฀ Apx y d Apx y ฀ x y/x 0 y e Apx y ฀ x y/x y 0

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555 pág. Capítulo 6 Números Complejos Introducción El matemático Diofanto 275 d. C. construyó un triángulo con una cuerda en la que había realizado 12 nudos equidistantes. Las longitudes de los lados medían 3 4 y 5 unidades. El triángulo es rectángulo porque cumple el teorema de Pitágoras: 3 2 4 2 5 2 . Al ser un triángulo rectángulo es fácil comprobar que el área de la superficie es 6 unidades cuadradas. Con la misma cuerda trató de construir otro triángulo rectángulo de forma que su área fuese 7 unidades cuadradas. Su planteamiento fue el siguiente: De donde se llega a la siguiente ecuación cuadrática: 6x 2 ฀ 43x ฀ 84 0. Cuya solución Diofanto expresó como: 43 ฀฀ 167฀ 1 12 . Pero no conocía número alguno que elevado al cuadrado fuese igual a 1 por tanto el problema no tenía solución. Este problema planteado por Diofanto tardaría siglos en resolverse. Descartes en 1637 puso nombre a las raíces cuadradas de números negativos y dedujo que las soluciones no reales de las ecuaciones son números de la forma a+ bi con a y b reales. ▪ Un cateto mediría x. ▪ Como el área de la superficie del triángulo debería ser 7 unidades cuadradas el otro cateto mediría 14 x . ▪ La hipotenusa h debería cumplir el teorema de Pitágoras: x 2 ฀ 14 x 2 ฀h 2 . ▪ Por otra parte la suma de las longitudes de sus lados debería ser 12 unidades: x ฀ 14 x ฀฀฀ h 12฀ . ▪ Por lo tanto se debería cumplir la ecuación: x 2 ฀ 196 x 2 ฀ ฀฀ 12 x ฀ 14 x .

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556 pág. En el siglo XVI Rafaello Bombelli fue uno de los primeros en admitir que era útil que los números negativos tuviesen raíces cuadradas. A mediados del siglo XVI el filósofo y matemático italiano Gerolamo Cardano y sus contemporáneos comenzaron a experimentar con soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar como: En 1777 Euler simbolizó la raíz cuadrada de 1 con la letra i por imaginario. Gauss en su tesis doctoral de 1799 demostró su famoso teorema fundamental del álgebra que dice que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas de corriente o de voltaje. El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica en la relatividad especial y la relatividad general algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria. 6.1 Números Complejos Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dado un número complejo expresarlo como par ordenado o en forma rectangular empleando la constante imaginaria i. Calcular potencias de la unidad imaginaria i. Simplificar expresiones complejas empleando potencias de i y propiedades algebraicas de los números reales. Dado un número complejo determinar su conjugado. Establecer condiciones para la igualdad de dos números complejos. Se puede considerar que los números complejos son de la forma x iy donde i 1 lo cual puede interpretarse diciendo que x iy es un polinomio de variable imaginaria y coeficientes reales con la particularidad de que i 2 1. Para resaltar que x yi tienen naturaleza diferente usaremos la siguiente definición para los números complejos. Gauss matemático astrónomo y físico alemán. 1777-1855 5 ฀ 15 5 ฀ 15

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Capítulo 6 Números Complejos 557 pág. Definición 6.1 Números complejos tal que: x 1 y 1 x 2 y 2 x 1 x 2 y 1 y 2 y x 1 y 1 x 2 y 2 x 1 x 2 ฀ y 1 y 2 x 1 y 2 x 2 y 1 se denomina conjunto de números complejos. Al conjunto de pares ordenados: Este comportamiento es cíclico es decir se repite cada cuatro potencias enteras. De aquí que i 5 i 6 i 7 e i 8 tendrán estos mismos valores respectivamente. Como se analizará más adelante i 0 es 1. Un número complejo puede representarse en forma de par ordenado z x y o en forma rectangular también llamada estándar z x yi . En esta última expresión x representa la parte real y la parte imaginaria y al valor i 1 se lo denomina unidad imaginaria. De esta forma el número complejo z 1 4 también puede escribirse como z 1 4i. El número complejo x ฀ 0i generalmente se escribe como x y constituye un número real puro. El número complejo 0 ฀ yi generalmente se escribe como yi y constituye un número imaginario puro. También se suele denominar a la parte real del número complejo simplemente como Re y a la parte imaginaria como Im. El conjugado de un número complejo z se obtiene cambiando el signo a la parte imaginaria de dicho número. Se lo denota por z. De aquí si z 2 ฀ 6i su conjugado es z 2 ฀ 6i. Para efectos de operaciones es muy útil conocer como se comportan las potencias de la unidad imaginaria i . Al elevar i a las potencias enteras 1 2 3 4 se obtiene: z x y /x ฀฀ y Re z x Im z y i 1 i i 2 1 i 3 i i 4 ฀ ฀1

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558 pág. Ejemplo 6.1 Potencias de i. Calcule el valor de las siguientes expresiones: i 21 i 62 i 89 i 96 . Solución: i 21 i 20 i 1 i 4 5 i i i 62 i 60 i 2 i 4 15 1 1 i 91 i 88 i 3 i 4 22 i 3 i i 96 i 4 24 1 Una forma práctica de deducir el valor de la potencia i n con n ฀ 4 es dividiendo n para 4 y trabajar con el residuo de esta división. El lector puede verificar que esta regla se cumple para todos los números del ejemplo 6.1. Ejemplo 6.2 Potencias de i. Determine el valor de la expresión: 2 ฀ i 2 3 ฀ 4i . Solución: 2 ฀ i 2 3 ฀ 4i 4 ฀ 4i ฀ i 2 3 ฀ 4i 4 ฀ 4i ฀ 1 3 ฀ 4i 3 ฀ 4i 3 ฀ 4i 2 ฀ i 2 3 ฀ 4i 1 Ejemplo 6.3 Potencias de i. Determine el valor de la expresión: i ฀ i 2 ฀ i 3 ฀ ฀ ฀ i 10 . Solución: Se trata de una progresión geométrica con a i r i y n 10. La suma de sus términos viene dada por: P 10 i i 10 ฀ 1 i ฀ 1 P 10 i i 2 ฀ 1 i ฀ 1 i i ฀ 1 i 2 ฀ i ฀ 1 ฀ i Otra manera de resolver este mismo problema sería: i ฀ i 2 ฀ i 3 ฀ i 4 0 i 5 ฀ i 6 ฀ i 7 ฀ i 8 0 Es decir los 8 primeros términos se anulan entre sí por la periodicidad anotada de las potencias de i. Por lo tanto: i ฀ i 2 ฀ i 3 ฀ ฀ ฀ i 10 i 9 ฀ i 10 i ฀ i 2 1 ฀ i

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Capítulo 6 Números Complejos 559 pág. Ejemplo 6.4 Expresiones algebraicas con números complejos. Encuentre la forma rectangular del número complejo z 1 ฀ i ฀i 1 1 ฀i 1 ฀i . Solución: Debido a que el resultado de la simplificación es el número complejo 0 su forma rectangular sería: z 0 0i. z 1 ฀ i ฀i 1 1 ฀i 1 ฀i 1 ฀ i ฀1 ฀ i ฀ i 1 ฀i 1 ฀i 1 ฀ i ฀1 1 ฀i 1 ฀i 1 ฀ i 1 ฀ i 1 ฀i 1 ฀ i 1 ฀ i ฀1 ฀ i 1 ฀ i ฀ i 1 ฀ i ฀ i 2 ฀1 ฀ i ฀ i 2 ฀ i z 0

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560 pág. Ejemplo 6.5 Igualdad entre números complejos. Sean z 1 1 2 y z 2 a ฀ b a ฀ b para que z 1 z 2 debe cumplirse que: a ฀ b 1 a ฀ b 2 el cual constituye un S.E.L. de dos ecuaciones con dos incógnitas. Al resolver el sistema se obtiene que a 3 2 y b 1 2 con estos valores el número complejo z 2 es igual a z 1 . Ejemplo 6.6 Igualdad entre números complejos. Determine ฀ y ฀ para que se cumpla la siguiente igualdad: 2 ฀ ฀ 3 ฀ ฀ i ฀ ฀ ฀ ฀ 2 ฀ i ฀ i ฀ 1 Solución: 2 ฀ ฀ 3 ฀ ฀ i ฀ ฀ ฀ ฀ 1 ฀ ฀ 2 ฀ ฀ 1i Con lo cual se puede construir el S.E.L.: 2 ฀ ฀ ฀ ฀ 3 ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ 1 ฀ 2 ฀ ฀ ฀ 1 ฀ ฀ ฀ ฀ 2 ฀ ฀ 2 ฀ 1 Al resolver el S.E.L. se obtiene que ฀ ฀ 1 y ฀ ฀ ฀ 1 y se puede comprobar que con estos valores se cumple la igualdad planteada. 6.2 Operaciones Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dados dos o más números complejos realizar y verificar propiedades de las operaciones de suma producto y división entre ellos. Demostrar propiedades de las operaciones entre números complejos. Aplicar las propiedades de la suma y producto para realizar operaciones con números complejos. Dos números complejos z 1 y z 2 son iguales si y sólo si sus partes reales e imaginarias coinciden respectivamente.

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Capítulo 6 Números Complejos 561 pág. La resta de números complejos se realiza como la suma algebraica del minuendo más el inverso aditivo del sustraendo. La suma de números complejos z 1 z 2 z 3 cumple con las siguientes propiedades: La suma entre dos números complejos z 1 y z 2 es otro número complejo cuya parte real es la suma de las partes reales de ambos y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias de los referidos números. Esta operación se puede representar así: Ejemplo 6.7 Demostración de propiedades de Números Complejos. Demuestre que: z 1 ฀ z 2 ฀ z 3 z 1 ฀ z 2 z 3 z 1 z 2 z 3 . Solución: ▪ Multiplicación de un número complejo por un valor real Sean ฀ y z esta operación se define como: Sean ฀฀ y z z 1 z 2 entonces se cumple que: Cuadro 6.1: Propiedades de la Suma entre Números Complejos. Cuadro 6.2: Propiedades de la Multiplicación de un Número Complejo por un Escalar. x 1 y 1 x 2 y 2 x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 ฀z 1 z 2 z 2 z 1 Conmutativa z 1 z 2 z 3 ฀z 1 z 2 ฀ z 3 z 1 ฀ z 2 z 3 Asociativa ฀ 0 ฀0 ฀ ฀ x ฀y ฀x y 0 0 0 0 + x y x y Elemento neutro ฀ x ฀y ฀ ฀ x y ฀x y x y 0 0 Elemento inverso aditivo z 1 z 2 ฀ z 3 x 1 ฀y 1 x 2 ฀y 2 ฀ x 3 ฀y 3 Definición de números complejos. x 1 ฀y 1 x 2 ฀ x 3 ฀y 2 ฀ y 3 Suma de complejos z 2 y z 3 . x 1 ฀ x 2 x 3 y 1 ฀ y 2 ฀ y 3 Suma de complejos z 1 y z 2 ฀ z 3 . x 1 x 2 x 3 y 1 ฀ y 2 ฀ y 3 Ley asociativa de números reales. x 1 x 2 y 1 ฀ y 2 x 3 ฀y 3 Suma de complejos z 1 ฀ z 2 y z 3 . z 1 z 2 ฀ z 3 z 1 ฀ z 2 z 3 ฀ z ฀ x y ฀ x y 1. ฀ z ฀z 2. ฀ ฀ z z 3. 0฀ z ฀0 0 4. ฀ ฀฀ z z ฀ z 5. ฀ z 1 ฀฀ z 2 z 1 ฀ z 2 ▪ Suma entre números complejos

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562 pág. Ejemplo 6.8 Demostración de propiedades de Números Complejos. Demuestre que: ฀ ฀ z z ฀ z ฀ ฀ . Solución: Definición de un número complejo. Producto de un número complejo por un valor real . Producto de un complejo z por un valor real . Producto de un complejo z por un valor real . En la última propiedad el elemento inverso multiplicativo es: ▪ Multiplicación entre números complejos Esta operación para los números complejos z 1 z 2 z 3 cumple con las siguientes propiedades: Resulta de mucha utilidad saber cómo se comportan estas operaciones sobre los números complejos y sus respectivos conjugados. Así si z x yi se tienen las siguientes propiedades: Sean z 1 x 1 ฀ y 1 y z 2 x 2 ฀ y 2 . El producto entre z 1 y z 2 está dado por: Ejemplo 6.9 Demostración de propiedades de Números Complejos. Demuestre que: z 1 ฀z 2 z 2 z 1 z 1 z 2 . Solución: Definición de números complejos. Definición de producto entre números complejos. Propiedad conmutativa del producto de números reales. Definición de producto entre números complejos. z 1 ฀z 2 z 2 z 1 Conmutativa z 1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 3 Asociativa 1 0 ฀ x ฀ y ฀ x ฀ y1 0 1 0 x ฀ y x ฀ y Elemento neutro multiplicativo x ฀ y ฀ 0 0 x ฀ y ฀ x ฀ y x ฀ y 1 0 Elemento inverso multiplicativo Cuadro 6.3: Propiedades de la Multiplicación entre Números Complejos. z x ฀ y ฀ z ฀ x ฀฀ y ฀ ฀ z ฀ ฀ x ฀฀ ฀ y ฀ x ฀ y ฀ ฀ z ฀ z z 1 ฀z 2 ฀ x 1 ฀ y 1 x 2 ฀ y 2 x 1 x 2 ฀ y 1 y 2 ฀ x 1 y 2 ฀ x 2 y 1 x x 2 + y 2 y x 2 + y 2 z 1 ฀z 2 x 1 ฀y 1 x 2 ฀y 2 x 1 x 2 ฀ y 1 y 2 x 1 y 2 ฀ x 2 y 1 x 2 x 1 ฀ y 2 y 1 y 2 x 1 ฀ y 1 x 2 x 2 y 2 x 1 y 1 z 1 ฀z 2 z 2 ฀z 1

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Capítulo 6 Números Complejos 563 pág. ▪ División entre números complejos La propiedad 4 se emplea para el elemento inverso multiplicativo de z. Para hallar el cociente entre dos números complejos con denominador no nulo se debe multiplicar y dividir por el correspondiente complejo conjugado del denominador de la fracción a fin de expresar como un número real el denominador de dicha fracción. Ejemplo 6.10 Demostración de propiedades de Números Complejos. Demuestre que: z 1 ฀ z 2 z 1 ฀ z 2 z 1 z 2 . Solución: Cuadro 6.4: Propiedades del Conjugado de Números Complejos. z 1 ฀ z 2 x 1 ฀y 1 ฀ x 2 ฀y 2 Definición de números complejos. x 1 ฀ x 2 y 1 ฀ y 2 Definición de suma de números complejos. x 1 ฀ x 2 ฀ y 1 ฀ y 2 Definición del conjugado de un número complejo. x 1 ฀ x 2 ฀ y 1 ฀ y 2 Destrucción del signo de agrupación. x 1 ฀ y 1 x 2 y 2 Definición de suma de números complejos. z 1 ฀ z 2 z 1 ฀ z 2 ฀ ฀ ฀ Definición del conjugado de un número complejo. 1. z z 2x 2. z z 2yi 3. z z x 2 ฀ y 2 4. z x 2 ฀ y 2 z 1 z z 1 z 5. z z 6. z 1 ฀ z 2 z 1 ฀ z 2 7. z 1 ฀z 2 z 1 ฀z 2 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 2 z 2 ≠ 0 0

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564 pág. Ejemplo 6.11 Operaciones entre números complejos. Sean z 1 1 1 y z 2 3 4 realice: Solución: Ejemplo 6.12 Expresiones algebraicas. Determine el valor de la expresión: 3 2i 3 2i 3 2i 3 2i . Solución: Se podría definir el número z 3 ฀ 2. Su conjugado sería z 3 2. La expresión original se convierte en: z z z z z 2 ฀ z 2 z ฀z . Pero: a 2z 1 ฀ 3z 2 b z 2 ฀ z 1 c z 1 z 2 d z 1 z 2 a 2z 1 ฀ 3z 2 ฀21 1 ฀ 3 3 4 ฀2 2 ฀ 9 12 7 10 b z 2 ฀ z 1 ฀ 3 4 ฀฀ 1 1 ฀ 3 4 ฀ 1 1 ฀ 4 3 c z 1 z 2 ฀฀1 1 ฀ 3 4 ฀ 3 ฀ 4 4 ฀ 3 ฀1 7 d z 1 z 2 1 i 3 ฀ 4i 1 i 3 ฀ 4i 3 ฀ 4i 3 ฀ 4i 3 2 ฀ 4i 2 3 ฀ 4 ฀ 4 ฀ 3i z 1 z 2 7 i 9 ฀ 16 7 25 1 25 i z 2 3 3 2 2 3 2 2 3 9 ฀ 4 6 6 5 12 z 2 5 12 z z 3 2 2 2 13 z z z z 5 ฀ 12 5 12 13 10 13

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Capítulo 6 Números Complejos 565 pág. 6.3 Representación geométrica Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dado un número complejo expresarlo en notación polar. Dado un número complejo representarlo gráficamente en el plano complejo identificando su módulo y su argumento. Demostrar propiedades del módulo y el argumento respecto a las operaciones entre números complejos. Aplicar las propiedades del módulo y el argumento para realizar operaciones con números complejos. Todo número complejo puede ser considerado como un par ordenado x y x y así mismo todo punto en el plano se puede representar mediante pares ordenados de aquí podemos representar los números complejos mediante puntos en el plano. Por convención el eje horizontal del plano se emplea para representar la componente real del número complejo y el eje vertical se emplea para representar la componente imaginaria. Al unir el punto que representa al número complejo con el origen de coordenadas se forma un segmento cuya longitud se denomina r. Este segmento forma con el eje horizontal positivo un ángulo denominado argumento. El plano usado para esta representación se conoce como plano complejo. Puesto que los pares ordenados de la forma x 0 siempre se encuentran en el eje horizontal éste se denomina eje real. De manera análoga los que tienen la forma 0 y se encuentran sobre el eje vertical al cual se denomina eje imaginario. Por geometría de triángulos rectángulos se puede observar además que: Eje Imaginario Eje Real Pxy r 0 x r cos y r sen

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566 pág. El módulo o valor absoluto de un número complejo x yi es la longitud r del segmento dirigido desde el origen de coordenadas hasta el punto Px y en el plano complejo. La medida del ángulo se denomina argumento de z y se denota por ฀ argz. Además: El argumento de los números complejos z 1 z 2 cumplen con las siguientes propiedades: ▪ Módulo y argumento de un número complejo El módulo de los números complejos z z 1 z 2 cumple con las siguientes propiedades: 6.4 Notación de Euler Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dado un número complejo expresarlo en notación de Euler. Dados dos o más números complejos realizar operaciones de multiplicación división y potenciación empleando la identidad de Euler. Dado un número complejo hallar sus n raíces y explicar la relación geométrica entre ellas. Cuadro 6.6: Propiedades del Argumento de los Números Complejos. Cuadro 6.5: Propiedades del Módulo de Números Complejos. r z ฀ x yi ฀ x 2 y 2 z z tan 0 y x 0 ฀ 0 ฀ 2̟ x ≠ 0 donde los signos de x y determinan el cuadrante de 0 y 0 ฀ 2k̟ k donde 0 es el argumento fundamental. 1. argz 1 z 2 ฀ argz 1 ฀ argz 2 2. arg ฀ z 1 z 2 ฀ argz 1 ฀ argz 2 z 2 ≠ 0 0 1. z ฀ z 2. z 1 ฀ z 2 ฀฀ z 1 ฀฀ z 2 3. z 1 z 2 ฀ ฀ z 1 ฀z 2 4. zz z 2 5. z 1 ฀ z 2 ฀ z 1 z 2 6. z 1 ฀ ฀ z 2 ฀ z 1 z 2

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Capítulo 6 Números Complejos 567 pág. Para simplificar la notación de esta representación se usa la fórmula o identidad de Euler: De acuerdo a lo que se estudió en la sección anterior el número complejo z x yi expresado en forma rectangular también puede ser expresado como sigue: De hecho Euler en un manuscrito fechado en 1777 el cual no se publicó hasta 1794 le aseguró un puesto definitivo en la historia de las notaciones matemáticas a los tres símbolos e i y π de los que Euler fue en gran medida responsable y que se relacionan con los dos enteros más importantes 0 y 1 por medio de la famosa igualdad: e iπ ฀ 1 ฀ 0 en la que figuran los cinco números más importantes con las más relevantes operaciones y la más trascendente relación de toda la matemática. Lo equivalente a esta igualdad en forma generalizada aparece en el más famoso de todos los textos de Euler “Introductio in analysin infinitorum” publicado en 1748. Pero el nombre de Euler no aparece hoy asociado a ninguno de los símbolos que intervienen en esta relación sino a la llamada “constante de Euler” la que recibe este honor y se la considera una sexta constante matemática importante. Es decir el número complejo z puede definirse en función de su módulo su argumento y del número irracional e lo cual permite obtener reglas para calcular productos cocientes potencias y raíces de números complejos. la cual puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unitario en el plano complejo dibujada por la función e i al variar sobre los números reales. Así es la medida del ángulo en posición estándar de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia de radio unitario. La fórmula sólo es válida si el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes. Con lo cual el número complejo z en forma polar puede ser expresado como: Leonard Euler matemático suizo 1707-1783 z r cos ฀ i r sen z r cos ฀ i sen e i cos ฀ i sen z re i z ฀ e i

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568 pág. Ejemplo 6.13 Demostración de propiedades de argumentos de Números Complejos. Demuestre que: arg z 1 z 2 arg z 1 ฀ arg z 2 z 1 z 2 . Solución: Expresamos z 1 y z 2 en forma polar: z 1 r 1 e i 1 ฀ z 1 ฀ r 1 ฀ arg z 1 1 z 2 r 2 e i 2 ฀ z 2 ฀ r 2 ฀ arg z 2 2 Realizando el producto z 1 z 2 tenemos: z 1 z 2 r 1 r 2 e i 1 2 Luego: argz 1 z 2 1 ฀ 2 argz 1 z 2 argz 1 ฀ argz 2 Sean los números complejos z 1 y z 2 su producto puede ser encontrado de la siguiente manera: Si n es un entero positivo aplicando multiplicaciones sucesivas se tiene: z n zz...z n factores. Aunque también se puede utilizar la identidad de Euler: Sean los números complejos z 1 y z 2 su cociente puede ser encontrado de la siguiente manera: z 1 r 1 e i 1 z 2 r 2 e i 2 z 1 z 2 r 1 e i 1 r 2 e i 2 r 1 r 2 e i 1 2 z 1 z 2 r 1 r 2 cos 1 ฀ 2 ฀ i sen 1 ฀ 2 z 1 r 1 e i 1 z 2 r 2 e i 2 r 2 ≠ 0 z 1 z 2 r 1 e i 1 r 2 e i 2 r 1 r 2 e i 1 2 r 1 r 2 cos 1 ฀ 2 ฀ i sen 1 ฀ 2 z 1 z 2 z n re i n z n r n e in ▪ Multiplicación entre números complejos ▪ División entre números complejos ▪ Potenciación de números complejos

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Capítulo 6 Números Complejos 569 pág. Ejemplo 6.14 Módulo de Números Complejos. Sean los números complejos z 1 1 3i y z 2 2 i determine el módulo del número e i z 1 z 2 . Solución: Realizamos la división z 1 z 2 así: Luego reemplazamos este cociente en el número dado: Dado que todo complejo z se puede representar en forma polar como z r e i podemos concluir que: r e ฀ 7 5 donde r es el módulo del número complejo dado. Ejemplo 6.15 Multiplicación y división de complejos. Solución: Obteniendo los módulos de cada número complejo. Obteniendo los argumentos de cada número complejo. Definición del producto entre números complejos. Producto en forma polar. Expresando el producto en forma rectangular. Simplificando el producto. Dados los números z 1 i y z 2 1 i realice las siguientes operaciones: a z 1 z 2 b z 1 z 2 z 1 z 2 1 3i 2 i 2 i 2 i 2 3i 2 i 6i 4 i 2 1 7i 5 z 1 z 2 1 5 7 5 i e i z 1 z 2 e i ฀ 1 5 ฀฀ 7 5 i e ฀ 1 5 i e ฀ 7 5 i 2 e i z 1 z 2 e ฀ 7 5 ฀ e ฀ 1 5 i a z 1 z 2 z 1 0 i z 2 1 i r 1 0 1 1 r 2 1 1 2 tan 1 1 0 ฀ 1 ̟ 2 tan 2 1 1 ฀ 2 ̟ 4 z 1 z 2 r 1 r 2 e i 1 2 1 2 e i ̟ 2 ฀ ̟ 4 2 e i 3̟ 4 2 cos 3̟ 4 ฀ i sen 3̟ 4 2 ฀ 2 2 ฀฀ 2 2 i z 1 z 2 1 ฀ i

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570 pág. Simplificando el cociente. Aplicando la definición de la división. Cociente en forma polar. Expresando el cociente en forma rectangular. b z 1 z 2 z 1 z 2 r 1 e i 1 r 2 e i 2 e i ̟ 2 2e i ̟ 4 1 2 e i ̟ 2 ฀ ฀ ̟ 4 1 2 e i ̟ 4 1 2 cos ̟ 4 ฀ i sen ̟ 4 1 2 2 2 ฀ i 2 2 z 1 z 2 2 1 ฀ 2 1 i Ejemplo 6.16 Potenciación de números complejos. Solución: Dado el número complejo z ฀ 3 2 ฀ 2 1 i calcule z 6 . Encontrando la representación polar del número complejo. Encontrando la representación rectangular de z 6 . Módulo de z. Argumento de z. Potenciación del número complejo. z ฀ 3 2 ฀ 2 1 i r ฀ 3 2 2 ฀ ฀ 2 1 2 r 1 tan 3 2 2 1 tan 3 1 6 7̟ z e i 7̟ 6 z 6 e i 7̟ 6 6 z 6 e i7̟ z 6 cos7̟ ฀ i sen7̟ z 6 1 ฀ 0i

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Capítulo 6 Números Complejos 571 pág. Ejemplo 6.17 Potenciación de números complejos. Solución: Dado el número complejo z 1 ฀ i 3 1 ฀ i 3 calcule z 10 . Utilizando la notación de Euler el número complejo dado puede escribirse como: z z 1 z 2 . Donde: Luego: Ya que la medida del ángulo ฀ 40̟ 3 coincide con la de ฀ 4̟ 3 y por ángulos coterminales coincide con 2̟ 3 tenemos: a z 1 1 ฀ i 3 r 1 1 2 3 2 tan 1 3 1 r 1 1 3 2 1 3 ̟ z 1 2e i ̟ 3 b z 2 1 ฀ i 3 r 2 1 2 3 2 tan 2 3 1 r 2 1 3 2 2 3 5̟ z 2 2e i 5̟ 3 z 2e i ̟ 3 2e i 5̟ 3 e i 4̟ 3 z 10 e i 4̟ 3 10 z 10 e i 40̟ 3 z 10 cos 2̟ 3 i sen 2̟ 3 z 10 1 2 2 3 i

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572 pág. Partiendo de la representación polar y si hacemos r 1 obtenemos el teorema propuesto por Abraham De Moivre: Esta expresión es importante porque relaciona a los números complejos con la trigonometría. La expresión “ cos ฀ i sen ” puede abreviarse como cis . Desarrollando el segundo miembro mediante el teorema del binomio reduciéndolo a la forma x ฀ yi e igualando partes reales y partes imaginarias se deducen ciertas expresiones para cosn y senn como polinomios de grado n en cos y sen . Ejemplo 6.18 Potenciación de números complejos. Solución: Calcule el valor de la siguiente expresión: 1 + i 100 i. Obtenemos el módulo del número complejo z 1 + i. Expresando z en forma polar: Realizando la potenciación: Realizando el producto por i tenemos: 1 i 100 i 2 50 i. Ejemplo 6.19 Identidades Trigonométricas con De Moivre. Empleando el teorema de De Moivre deduzca una expresión para cos2 y otra para sen2 . Solución: Si n 2 en la expresión del teorema de De Moivre se obtiene: r 1 2 1 2 1 1 2 tan 1 1 ฀ ̟ 4 z 2 e i ̟ 4 z 100 2e i ̟ 4 100 2 1 2 e i ̟ 4 100 2 50 e i25̟ 2 50 e i̟ 2 50 cos̟ ฀ i sen̟ z 100 2 50 cos ฀ i sen n cosn ฀ i senn ฀ ฀ n cos ฀ i sen 2 cos2 ฀ i sen2

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Capítulo 6 Números Complejos 573 pág. Desarrollando el primer miembro de esta igualdad: En base a la expresión encontrada e igualando cada término con el segundo miembro de la igualdad original la parte real y la parte imaginaria nos indican respectivamente que: Si z r e i es un número complejo diferente de cero y n un entero positivo existen precisamente n diferentes números complejos w 0 w 1 ... w n 1 que son las raíces n-ésimas de z. Sea w e i una raíz n-ésima debe cumplirse que w n z. Esto es: n e in r e i con lo cual n r . El cis de los ángulos n y deben tener la misma medida por lo cual sus periodicidades han de diferir en un múltiplo entero de 2̟. Es decir: n ฀ ฀ ฀ ฀ 2k̟ k Por lo tanto todas las raíces n-ésimas de z r e i vienen dadas por la expresión: Radicación de números complejos Estas raíces pertenecen a una circunferencia centrada en el origen de radio igual a la n-ésima raíz real positiva de r. El argumento de una de ellas es n y las demás están uniformemente distribuidas a lo largo de tal circunferencia separadas un ángulo cuya medida es 2̟ n . Ejemplo 6.20 Radicación de números complejos. Solución: Dado el predicado px: x 4 1 0 determine Apx . El problema se reduce a extraer las raíces cuartas de 1. cos ฀ i sen 2 cos 2 ฀ 2i cos sen ฀ i 2 sen 2 cos 2 ฀ i 2 sen 2 ฀ 2 cos sen i cos 2 ฀ sen 2 ฀ 2 sen cos i cos2 cos 2 ฀ sen 2 sen2 2 sen ฀cos w k n r e i ฀ n r e i n ฀฀ 2k̟ k 0 1 2 ... n 1

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574 pág. Expresando en forma rectangular el número complejo. Forma rectangular de la primera raíz. Calculando su segunda raíz. Forma rectangular de la segunda raíz. Calculando su tercera raíz. Forma rectangular de la tercera raíz. Forma rectangular de la cuarta raíz. Expresándolo en forma polar. Calculando su primera raíz. Calculando su cuarta raíz. k 0 k 1 k 2 k 3 z 1 0i tan 0 1 ฀ ̟ z 1 4 r 1 4 e i ̟ 4 4 2̟k k 0 1 2 3. w 0 1e i ̟ 4 w 0 cos ̟ 4 i sen ̟ 4 w 1 1e i ̟ 4 + 2̟ 4 w 1 cos 3̟ 4 i sen 3̟ 4 w 2 1e i ̟ 4 + ̟ w 2 cos 5̟ 4 i sen 5̟ 4 w 2 e i 5̟ 4 w 3 1e i ̟ 4 + 6̟ 4 w 3 cos 7̟ 4 i sen 7̟ 4 w 3 e i 7̟ 4 r 1 0 1 z e i̟ w 0 2 2 ฀ 2 2 ฀i w 1 2 2 ฀ 2 2 ฀i w 2 2 2 ฀ 2 2 ฀i w 3 2 2 ฀ 2 2 ฀i

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Capítulo 6 Números Complejos 575 pág. Comprobación: Si graficamos las cuatro raíces obtenidas en el plano complejo se comprueba que las mismas están localizadas sobre una circunferencia de radio r 1 centrada en el origen y están separadas ̟ 2 tal como se muestra en la siguiente figura: Ejemplo 6.21 Radicación de números complejos. Solución: Determine el número complejo z tal que 2 3 i es una de sus raíces cúbicas y calcule sus otras 2 raíces. Puesto que 2 3 ฀ i es un raíz cúbica de z se cumple que: w 0 2 2 ฀ 2 2 w 1 2 2 ฀ 2 2 ฀ w 2 2 2 ฀ 2 2 w 3 2 2 ฀ 2 2 ฀ Eje Imaginario Eje Real ̟ 2 ̟ 2 ̟ 2 ̟ 2 z 2 3 ฀ i 3

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576 pág. Observe que w 2 es una de las raíces especificada en el problema. Luego: k 0 k 1 k 2 z 2 3 3 3 2 3 2 2i 3 2 3 2i 2 2i 3 83 3 3432i 32 34i 2 8i 3 24 3 72i 24 3 8i z 0 64i w 0 4e i ̟ 2 w 0 4 cos ̟ 2 i sen ̟ 2 w 1 4e i ̟ 2 + 2̟ 3 w 1 4 cos 7̟ 6 i sen 7̟ 6 w 2 4e i ̟ 2 + 4̟ 3 w 2 4 cos 11̟ 6 i sen 11̟ 6 w 1 4 2 3 ฀ ฀ 2 1 i r 64 3̟ 2 w 0 4i w 1 2 3 2i w 2 4 2 3 ฀ ฀ 2 1 i w 2 2 3 2i z 1 3 w k 3 64e i ̟ 2 3 2k̟ k 0 1 2.

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Capítulo 6 Números Complejos 577 pág. Comprobación: Si graficamos las tres raíces obtenidas en el plano complejo se verifica que las mismas están localizadas sobre una circunferencia de radio r 4 centrada en el origen y están separadas 2̟ 3 tal como se muestra en la figura: En el campo real las funciones hiperbólicas son funciones dependientes de la función trascendente e x . Funciones Hiperbólicas 6.5 Aplicaciones Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Definir y analizar gráficamente las funciones hiperbólicas. Deducir identidades hiperbólicas empleando propiedades de los números complejos. Resolver ecuaciones polinomiales con raíces complejas empleando el teorema fundamental del Álgebra. Resolver logaritmos de números complejos. Resolver ángulos de medida compleja. e x ฀ e x senh x e x ฀ e x cosh x tanh x e x ฀ e x e x ฀ e x w 0 0 4 w 1 2 3 2 2̟ 3 2̟ 3 2̟ 3 w 2 2 3 2 Eje Imaginario Eje Real

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578 pág. Ejemplo 6.22 Aplicación de números complejos. Bosqueje las gráficas de las funciones hiperbólicas: Solución: y x y senh x 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 a f x senh x b gx cosh x y x y cosh x 7 6 5 4 3 2 1 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 c hx tanh x y y tanh x 2 1 x 1 2 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7

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Capítulo 6 Números Complejos 579 pág. Las funciones hiperbólicas se relacionan con las funciones trigonométricas mediante las siguientes identidades: Para las funciones hiperbólicas se cumple la identidad: Cuando analizamos los ceros o raíces de las funciones cuadráticas y en general de las funciones polinomiales en el capítulo 3 habíamos observado que para ciertas situaciones dichos valores no son reales. Con la definición de los números complejos es posible encontrar las referidas raíces. Funciones Polinomiales Teorema 6.1 Teorema fundamental del Álgebra La ecuación polinómica: tiene n raíces o ceros complejos contando la multiplicidad algebraica. Ejemplo 6.23 Aplicación de números complejos. cosh ix cos x senh ix i sen x cosh 2 x senh 2 x 1 a n x n a n 1 x n 1 ... a 1 x a 0 0 a i ฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀ a n ≠ 0 Encuentre las raíces de la siguiente función: Solución: La función dada tiene cuanto mucho 3 raíces o ceros. 2 es un cero de f . Resolviendo la ecuación cuadrática. Obteniendo las raíces complejas. f x x 3 10x 2 33x 34 2 3 102 2 332 34 0 1 10 33 34 2 2 16 34 1 ฀ 8 17 0 x 2 8x 17 0 x 2 8 ฀ 8 2 4117 x 8 ฀฀ 4 2 x 1 4 i ฀฀ x 2 4 i

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580 pág. Anteriormente habíamos indicado que no podíamos encontrar logaritmos de números negativos ni medidas de ángulos cuyos senos o cosenos excedan la unidad. Sin embargo con los números complejos podemos encontrar tales valores. Por la identidad hiperbólica cosx coshix : La medida del ángulo puede ser encontrada resolviendo la última ecuación cuadrática. Con lo cual: Si z cos entonces ฀ arcos z. En general se toma el valor para k 0 el cual se conoce como valor principal de la función. Realizando un procedimiento similar podemos encontrar que: Si z sen entonces ฀ arcsenz. Otras Aplicaciones Al multiplicar se obtiene: Por lo tanto los ceros de f son: Comprobación: Se puede construir f x expresándola como el producto de los siguientes factores: que corresponde a la función polinomial dada. Note que si z es una raíz de la ecuación polinómica f x 0 su conjugado z también lo es. ฀฀4 i 4 i ฀ f x x 2x 2 ฀ 8x 17 f x x 3 ฀ 10x 2 ฀ 33x 34 f x x 2x ฀ 4 ix ฀ 4 i La proposición 1 e i̟ ฀ 2k̟ es verdadera k ฀ . e i ฀ e i z e i ฀ e i ฀ ฀ 2z 0 e 2 i ฀ 2ze i ฀ ฀ 1 0 e i 2 2z ฀ 2z 2 4 11 e i z ฀ z 2 1 ฀ arccos z 1 i ln z ฀ z 2 1 ฀ 2k̟i ฀k

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Capítulo 6 Números Complejos 581 pág. Con la identidad hiperbólica senx senhix i : Solución: Encuentre los siguientes valores: a ln 1 b ln 1 ฀ i c arccos 2 d arcsen 3 Ejemplo 6.24 Aplicación de números complejos. ฀ arcsen z 1 i ln zi ฀ 1 z 2 ฀ ฀ 2k̟i ฀k Con lo cual: La medida del ángulo puede ser determinada resolviendo la última ecuación cuadrática. e i ฀ e i i z e i ฀ e i ฀ ฀ 2zi 0 e 2 i ฀ 2zie i ฀ ฀ 1 0 e i 2 2zi ฀ 2zi 2 4 1 1 e i zi ฀ 1 z 2 a ln 1 ln e iπ + i2kπ ln 1 ̟i 2k̟i ฀฀k b ln 1 ฀ i ln 2e i 7 4 π + i2kπ ln 1 ฀ i 7 4 ̟i 2k̟i ln 2 ฀฀k c arccos z 1 i ln z ฀ z 2 1 2k̟i arccos 2 1 i ln 2 ฀ 3 2k̟i ฀฀k d arcsen z 1 i ln zi ฀ 1 z 2 2k̟i arcsen 3 1 i ln 3 ฀ 2 2 i 2k̟i ฀฀k

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582 pág. Ejemplo 6.25 Aplicación de números complejos. Si z ln 1 + i determine Rez e Imz . Solución: Representando el número complejo z 1 + i en forma polar: z r e i donde: Reemplazando z en z tenemos: Aplicando la propiedad del logaritmo del producto. Luego: z ln z z ln 2e i ̟ 4 + i2kπ ฀฀k r 1 2 1 2 tan 1 r 1 1 2 4 ̟ z 2e i ̟ 4 z ln 2 ln e i ̟ 4 + i2kπ z ln 2 ฀ ̟ 4 i ฀ 2kπi Rez ln 2 Imz ̟ 4 ฀ 2kπ ฀฀k

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583 pág. 6.1 Números complejos 8. Calcule los números m y n que verifiquen la igualdad: 4 ฀ mi 2 ฀ 3i n 2i. 2. 1 3 ฀ 1 3 . a Verdadero b Falso 3. Sean a 1 a 2 a 3 a 4 . Si f x x 4 a 1 x 3 a 2 x 2 a 3 x a 4 f i 0 y f 1 ฀ i 0 al sumar los coeficientes a 1 a 2 a 3 a 4 se obtiene: a 2 b 1 c ฀ 2 d 4 e ฀ 4 7. Sea A 1 0 1 ฀ i 0 0 2i 1 1 ฀ i calcule detA ฀ A. 5. Determine los valores de x e y que satisfagan la igualdad: 2i x yi 2 3i ฀ 3 x y. a Verdadero b Falso 1. Si z w entonces z w z w . 4. Sean Re y px : 4 3 2 1 8x 2 1 x ฀ 4 1 2 x ฀ 0. La suma de los elementos de Apx es: 6.2 Operaciones 9. Si z 1 1 3i y z 2 1 3i el número 2 z 2 z 1 2 es: a 1 3i b 1 3i c 1 3i d 1 3i e 1 2 ฀ 2 3 i 6. Determine los números reales x e y que satisfagan las siguientes ecuaciones. CAPÍTULO SEIS 6 Ejercicios propuestos a 1 2 b 3 4 c 7 8 d 5 8 e 3 8 i 3 2i 3iy 8i x 2y. ii 1 ix 2 iy 4 2i. iii 8i x iy 2 7i ฀ 10 x y .

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584 pág. 11. Determine las raíces de la ecuación: x 3 ฀ 5x 2 7x 13 0. 12. Demuestre algebraicamente que si a bi u vi entonces u 1 2 ฀a a 2 b 2 y v 1 2 ฀฀ a a 2 b 2 15. Calcule la inversa de la matriz 2 0 1 1 ฀ i 2 ฀ i 4 ฀ i ฀ i 0 i . 13. Exprese en forma rectangular los siguientes números complejos: 14. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: 16. Halle el valor de los siguientes determinantes: 10. Determine el valor real de k para que z 4 ฀ ki 2 ฀ i sea o real puro o imaginario puro. c 2i 1 i 4 a 1 4i3 11i 1 i 1 d i 1 i 1 i i b 1 i 3 1 i e 1 3i 1 3i 3 a 2 ฀ 3ix ฀ 1 ฀ iy 3 4i ฀ 1 ฀ 3ix ฀ 1 ฀ 2iy 2 6i ฀ b 2 ฀ ix ฀ 2y 1 7i ฀ 1 ฀ i yi 0 ฀ a 2 0 1 1 ฀ i 2 ฀ i 4 ฀ i ฀ i 0 i b 0 1 1 ฀ i 2 ฀ i 4 ฀ i 2 i 0 ฀ i

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585 pág. 6.3 Representación geométrica 17. Exprese los siguientes números complejos en la forma rectangular: c 1 2 1 i1 i 8 a 3 5i2 i 3 1 4i d 1 i2 i3 i 1 i b 2 3i3 4i 2 e 2 5i 3 18. Demuestre que: Re z 1 z 1 z 2 Re z 2 z 1 z 2 1. 19. Si z satisface la ecuación z 2 1 i 1 4i exprese z en forma rectangular. 20. ¿Cuál debe ser la relación entre x e y para que el producto x ฀ yi2 ฀ 3i sea un número real 21. Exprese en forma polar los siguientes números complejos: a ฀ 3 ฀฀ i b 3 ฀ 3i c 1฀ i 3 22. Calcule el módulo la parte real e imaginaria de: 1 cos i sen 1 cos i sen . 24. Identifique cuál de las siguientes proposiciones es falsa: a i 25 i b z 1 z 2 z 1 z 2 ฀ ฀ z 1 z 2 c x y x y 0 1 x y d z z z z 2 23. Demuestre que para todo entero positivo “n” sen i cos sen i cos n cos 2n ̟ 2 ฀ i sen 2n ̟ 2 ฀

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586 pág. 28. Sea z 2 ฀ 2i halle e interprete geométricamente el producto zi. 29. Si z ฀ 1 z ฀ es real demuestre que z es real. 30. Realice las operaciones y reduzca a una forma más simple: i 1 3i 1 3i 3 ii 1 ฀ i 1 ฀ i 2 ฀ 1 ฀ i 1 ฀ i 3 iii sen sen + icos ฀ cos n 27. Exprese en forma polar: 25. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 1 ฀ i 3 1 ฀ i 3 10 6.4 Notación de Euler 26. Sea z ฀tal que z ฀ 1 determine el desarrollo de z ฀ z 1 5 según el teorema del binomio. A partir de ello demuestre que: cos 5 1 16 ncos5 ฀ mcos3 ฀ cos donde m n ฀son enteros positivos. a ฀ 1 2 ฀฀ 2 3 ฀i b ฀ 1 2 ฀฀ 2 3 ฀i c ฀฀ 1 2 ฀฀ 2 3 ฀i d ฀ 1 2 ฀฀ 2 3 ฀i e ฀ 1 4 ฀฀ 4 3 ฀i a 2 cos ̟ 4 + i sen ̟ 4 4 b 3 cos ̟ 5 + i sen ̟ 5 3

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587 pág. 32. Si z 1 7 i y z 2 3 i entonces el módulo del número complejo e z 1 z 2 es: a e b e 1 c 2e d 10 e e 2 31. Determine el módulo la parte real e imaginaria de: 36. Verifique que: a cos 30º i sen 30º 2 cos ̟ 3 i sen ̟ 3 b cos ̟ 6 i sen ̟ 6 3 i 33. Sea z ฀ tal que z 1 1 ฀ i ฀ 1 1 ฀ i 2 ฀ 1 1 ฀ i 3 ฀ 1 1 ฀ i 4 ฀ ... encuentre el valor que más se aproxima a z 2 . 37. Encuentre las cuartas potencias de: i 2 cis ̟ 4 ii 3 cis 225º iii 1 2 e i15º 38. Halle las raíces indicadas y grafíquelas en el plano complejo. i Raíces cúbicas de 27 cis 3̟ 2 . iii Raíces cuartas de i. ii Raíces cuartas de 1. iv Raíces cúbicas de 64 cos ̟. a e i̟ b e 1฀ i ̟ 6 c e 1฀ i 34. Exprese los siguientes números complejos en forma rectangular: a e i̟ b 2e i̟ c i ฀ e i 3̟ 2 d e i ̟ 4 ฀ e i ̟ 4 e e i ̟ 3 ฀ e i 5̟ 6 35. Exprese en forma polar los siguientes números complejos: a 2e i ̟ 8 b e 2 ฀ i c 2e 1฀ i ̟ 4 d 2 3i e 3 ฀ 1 2 f 5 1 ฀i g 10 1 ฀i

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588 pág. 6.5 Aplicaciones 39. Un vértice de un hexágono regular centrado en el origen es 02 determine el resto de sus vértices. 40. Calcule 8 8 3i . 41. Determine el número complejo z igual al cuadrado de su conjugado. 43. Demuestre que si z y z es un par de números complejos conjugados entonces z 3 y z 3 son también conjugados. 44. Explique cómo están distribuidos en el plano los puntos complejos que satisfacen la desigualdad: 45. Resuelva la desigualdad: 2 2log 1 3 ฀x 1 ฀ 5i ฀ log 3 2 1. 46. Descomponga en un par de factores lineales complejos el trinomio a 2 ab ฀ b 2 . 42. Determine las raíces de las siguientes ecuaciones. Considere Re . a ฀x 2 ฀ 6x ฀฀ 13 0 b ฀2x 2 ฀ 5x ฀฀ 6 0 c ฀x 2 ฀ 21 ฀ ix ฀฀ 2i ฀ 1 0 d ฀x 3 ฀ 2x ฀฀ 4 0 e ฀x 2 ฀ 3x ฀฀ 3 ฀ i 0 f ฀x 3 ฀ 3x 2 3x ฀฀ 14 0 log 1 2 ฀ z ฀฀ log 1 2 ฀ z 1 log 1 2 ฀ z 5

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589 pág. Introducción Capítulo 7 Geometría Plana La geometría es la rama de las matemáticas que estudia idealizaciones en dos y tres dimensiones: los puntos las rectas los planos y otros elementos conceptuales derivados de ellos como polígonos o poliedros. En este capítulo vamos a tratar solamente lo relacionado al plano lo cual implica trabajar en dos dimensiones. Es razonable pensar que los orígenes de la geometría se remontan a los mismos orígenes de la humanidad pues seguramente el hombre primitivo clasificaba -aún de manera inconsciente- los objetos que le rodeaban según su forma. En la abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento -informal e intuitivo- a la geometría. Thales de Mileto fue capaz de medir la altura de la pirámide de Keops y de predecir un eclipse solar aplicando conceptos geométricos. Uno de los famosos problemas de la geometría griega que heredarían los matemáticos posteriores denominado la cuadratura del círculo trata de obtener dado un círculo un cuadrado cuya área mida exactamente lo mismo que el área del círculo. Anaxágoras fue el primero en intentar resolverlo dibujando en las paredes de su celda cuando fue hecho prisionero por cuestiones políticas. Tampoco pudo ser resuelto por los geómetras de la antigüedad y llegó a ser el paradigma de lo imposible. Como curiosidad el filósofo inglés Hume llegó a escribir un libro con supuestos métodos para resolver el problema. Hume no tenía conocimientos matemáticos serios y nunca aceptó que todos sus métodos fallaban.

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590 pág. Es importante observar que este tipo de problemas eran resueltos utilizando únicamente la regla y el compás únicos instrumentos además del papel y el lápiz por supuesto válidos en la geometría euclidiana. El libro de “Los Elementos” de Euclides 300 a.C. expone los conocimientos geométricos de la Grecia clásica deduciéndolos a partir de postulados considerados como los más evidentes y sencillos. La geometría de Euclides además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento como la física la astronomía la química y diversas ingenierías. 7.1 Figuras Geométricas Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dada una región del plano indicar si es una figura convexa o no convexa justificando adecuadamente su respuesta. Dados varios puntos del plano reconocer si son o no colineales justificando adecuadamente su respuesta. Distinguir entre figuras autocongruentes y no autocongruentes simétricas y asimétricas. El desarrollo de la geometría depende del avance en las definiciones sin embargo las propiedades de las figuras geométricas son posibles de enunciar sin hacer referencia a éstas. P L El punto la recta y el plano son considerados conceptos primitivos o sea que no es posible definirlos en base a otros elementos ya conocidos. El punto es uno de los conceptos geométricos fundamentales suele representarse sin relación a otra figura como un círculo pequeño y puede denotarse con una letra mayúscula de imprenta por ejemplo: P. La recta es el lugar geométrico de puntos continuamente sucesivos del plano en una misma dirección y suele denotarse con la letra L.

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Capítulo 7 Geometría Plana 591 pág. Se acostumbra representar el plano como una figura delimitada por bordes rectos y suele denotarse con una letra del alfabeto griego por ejemplo: Π. Si se tiene más de un punto recta o plano se sugiere el uso de subíndices para identificarlos. A continuación se definen algunos elementos importantes en el uso de la geometría. A B C L Puntos colineales son aquellos que pertenecen a la misma recta L. A B C Puntos coplanares son los que pertenecen a un mismo plano Π. O Semirrecta o rayo es el conjunto de todos los puntos de una recta que están a un mismo lado de un punto de ésta. A B Segmento de recta es un subconjunto de la recta que está limitado por dos puntos que pertenecen a ella. Para fines prácticos se sobreentenderá que AB también representa la longitud de este segmento. L Semiplano es el conjunto de puntos del plano que están a un mismo lado de una recta L como Π 1 o Π 2 . Definición 7.1 Convexidad Una figura F se denomina convexa si y sólo si para cada par de puntos que pertenecen a la figura el segmento de recta definido por ambos puntos está incluido en la figura es decir: F es convexa ฀฀ P 1 P 2 F P 1 P 2 ฀ F.

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592 pág. Ejemplo 7.1 Figuras geométricas. El hombre ha empleado sencillas figuras geométricas planas que han sido de mucha utilidad para su desarrollo desde un punto de vista decorativo hasta tecnológico. La congruencia es la relación entre segmentos ángulos y figuras geométricas con igual medida tal que al trasladarse rotarse y/o reflejarse para superponerse una a otra se tiene que estas figuras coinciden. Observe a continuación: La autocongruencia de una figura se encuentra estrechamente vinculada con la simetría la cual se produce cuando al trazar una recta la figura queda dividida en dos partes tal que una es la reflexión de la otra a esta recta se la denomina eje de simetría. Figura 7.2: Autocongruencia de Figuras. Figura 7.1: Convexidad de figuras. F es convexa F P 1 P 2 F es no convexa F P 2 P 1

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Capítulo 7 Geometría Plana 593 pág. En los dos últimos ejemplos las figuras no son autocongruentes ya que al dividirlas por cualquier recta las partes que se obtienen no se pueden superponer perfectamente. En caso de no ser el reflejo exacto a la figura se la considerará asimétrica. Observe: En conclusión podemos decir que cuando una figura es simétrica es autocongruente ya que sus segmentos ángulos y lados al ser divididos por un eje de simetría o superpuestos coinciden de manera exacta. 7.2 Rectas en el plano Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Aplicar conceptos sobre rectas perpendiculares paralelas y oblicuas. Figura 7.3: No autocongruencia de figuras. Figura 7.4: Simetría o asimetría de figuras.

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594 pág. Dos rectas en el plano pueden ser perpendiculares paralelas u oblicuas. En el caso de las rectas perpendiculares u oblicuas que tienen un punto en común P se las denomina rectas secantes. Definición 7.2 Perpendicularidad Una recta es perpendicular a otra cuando al intersecarse en un punto P determinan en el plano que las contiene cuatro ángulos congruentes cuya medida es de 90º. La notación para la perpendicularidad es: L 1 ฀ L 2 y se lee "L 1 es perpendicular a L 2 ". En el plano un punto perteneciente o exterior a una recta está contenido en una y sólo una recta perpendicular a dicha recta. Las propiedades de la perpendicularidad entre rectas son: ▪ Si una recta es perpendicular a otra ésta es perpendicular a la primera. Simétrica. L 1 ฀ L 2 ฀ L 2 ฀ L 1 ▪ Si dos rectas al intersecarse forman ángulos adyacentes congruentes son perpendiculares. ▪ Los lados de un ángulo recto y sus semirrectas opuestas determinan rectas perpendiculares. Ejemplo 7.2 Rectas perpendiculares. El símbolo de la Cruz Roja las esquinas de un libro o la intersección de las calles de una ciudad representan ejemplos de rectas perpendiculares. L 2 P L 1

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Capítulo 7 Geometría Plana 595 pág. Definición 7.3 Paralelismo Una recta es paralela a otra cuando no se intersecan o son coincidentes. La notación para el paralelismo es: L 1 L 2 L 1 ฀ L 2 y se lee "L 1 es paralela a L 2 ". En el plano un punto exterior a una recta está contenido en una y sólo una recta paralela a dicha recta. Las propiedades del paralelismo entre rectas son: ▪ Toda recta es paralela a sí misma. Reflexiva. L ฀ L ▪ Si una recta es paralela a otra aquella es paralela a la primera. Simétrica. L 1 ฀ L 2 ฀ L 2 ฀ L 1 ▪ Si una recta es paralela a otra y ésta a su vez paralela a una tercera la primera es paralela a la tercera. Transitiva. L 1 ฀ L 2 ฀ L 2 ฀ L 3 ฀ L 1 ฀ L 3 ▪ Todas las rectas paralelas tienen la misma dirección. Ejemplo 7.3 Rectas paralelas. Las escaleras las franjas de algunas banderas y los rieles sobre los cuales se traslada un tren representan ejemplos de rectas paralelas.

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596 pág. Relacionando perpendicularidad paralelismo e intersección entre rectas se obtienen las siguientes propiedades: ▪ En el plano dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí. L 1 ฀ L 3 ฀ L 2 ฀ L 3 ฀ L 1 ฀ L 2 ▪ Si una recta interseca a una de dos paralelas interseca también a la otra. L 1 L 2 ≠ ฀ L 2 ║ L 3 ฀ L 1 L 3 ≠ Definición 7.4 Rectas oblicuas Dos rectas oblicuas son aquellas que no son perpendiculares ni paralelas. L 1 y L 2 son oblicuas L 1 L 2 ฀฀ L 1 L 2 . L 1 L 2 7.3 Ángulos Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dadas tres rectas tal que una de ellas es secante a las otras dos identificar los ángulos internos externos opuestos por el vértice alternos internos alternos externos correspondientes y conjugados que se forman. El concepto de ángulo ya fue tratado oportunamente en el capítulo IV sección 1 de este texto. Sin embargo para el análisis geométrico que nos proponemos desarrollar es necesario definir diferentes tipos de ángulos. Al intersecar dos rectas en el plano se forman cuatro ángulos. De ellos son ángulos opuestos por el vértice aquellos que poseen sólo el vértice en común y no son consecutivos. A D C B O Figura 7.5: AOB y COD son ángulos opuestos por el vértice.

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Capítulo 7 Geometría Plana 597 pág. Si intersecamos dos rectas oblicuas L 1 y L 2 con una recta secante L 3 recta que interseca a una figura en puntos diferentes se forman de manera natural ocho ángulos cuatro en cada punto de intersección. Se denominan ángulos externos a los ángulos que están en la región externa a las rectas L 1 y L 2 . De esta manera son externos los ángulos 1 2 7 y 8. Se denominan ángulos internos a los ángulos que están en la región interna a las rectas L 1 y L 2 . De esta manera son internos los ángulos 3 4 5 y 6. Se denominan ángulos correspondientes a los ángulos no consecutivos que están en el mismo semiplano determinado por la recta secante L 3 . Uno de los ángulos es interno y el otro externo. De esta manera son correspondientes los pares de ángulos 1 5 2 6 3 7 4 8. Se denominan ángulos alternos externos a los ángulos que están ubicados externamente con respecto a las rectas L 1 y L 2 y en distintos semiplanos determinados por la recta secante L 3 . De esta manera son alternos externos los pares de ángulos 1 7 y 2 8. Se denominan ángulos alternos internos a los ángulos que están ubicados internamente con respecto a las rectas L 1 y L 2 y en distintos semiplanos determinados por la recta secante L 3 . De esta manera son alternos internos los pares de ángulos 3 5 y 4 6. Se denominan ángulos conjugados o contrarios externos a los ángulos externos que están ubicados en el mismo semiplano respecto a la recta secante. De esta manera son conjugados externos los pares de ángulos 1 8 y 2 7. Se denominan ángulos conjugados o contrarios internos a los ángulos internos que están ubicados en el mismo semiplano respecto a la recta secante. De esta manera son conjugados internos los pares de ángulos 3 6 y 4 5. Figura 7.6: Ángulos en rectas secantes. L 1 L 2 L 3

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598 pág. En el caso de que dos rectas paralelas L 1 y L 2 sean intersecadas por una secante L 3 se verifica que los ángulos correspondientes son de igual medida así como los ángulos alternos internos y alternos externos. En resumen para el caso de rectas paralelas intersecadas por una secante los ángulos 1 3 5 7 son de igual medida entre sí del mismo modo que los ángulos 2 4 6 8. Propiedades ▪ Las medidas de los ángulos opuestos por el vértice son iguales. ▪ Si dos ángulos alternos internos son congruentes entonces los otros dos ángulos alternos internos también lo son. ▪ Los ángulos internos a un mismo lado de la recta secante a dos rectas paralelas son suplementarios. ▪ Los ángulos externos a un mismo lado de la recta secante a dos rectas paralelas son suplementarios. ▪ Toda recta secante a dos rectas paralelas forma ángulos alternos externos congruentes. ▪ Toda recta secante a dos rectas paralelas forma ángulos alternos internos congruentes. Ejemplo 7.4 Ángulos. Si las rectas L 1 y L 2 mostradas en la figura adjunta son paralelas x y z son las medidas de los ángulos en grados sexagesimales determine el valor de x z. L 2 L 1 L 3 z ฀ 20º 3z x Figura 7.7: Ángulos en rectas secantes. L 3 L 1 L 2

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Capítulo 7 Geometría Plana 599 pág. Solución: Como los ángulos de medida 3z y z 20º son opuestos por el vértice tenemos: 3z z 20º 2z 20º z 10º Como los ángulos de medida x y 3z son conjugados externos: x 3z 180º x 180º 3z x 180º 310º x 150º El valor solicitado es: x – z 150º ฀ 10º 140º 7.4 Poligonales y polígonos Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dados varios puntos no colineales del plano identificar la poligonal y el polígono que forman. Dado un polígono simple identificar su tipo según el número de lados. Dado un polígono regular explicar sus principales características. Una poligonal es una línea continua que se obtiene por la unión de segmentos de rectas que tienen distinta dirección. Figura 7.8: Poligonal.

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600 pág. El conjunto P 1 P 2 ฀ P 2 P 3 ฀ P 3 P 4 ฀ ... ฀ P n P 1 de segmentos consecutivos no colineales se denomina línea poligonal cerrada de n lados n 3. Los puntos P 1 P 2 … P n se denominan vértices de la poligonal y los segmentos P 1 P 2 P 2 P 3 … P n P 1 lados de la poligonal. Si los segmentos de la línea poligonal cerrada sólo se intersecan al ser consecutivos en los vértices entonces la poligonal divide al plano en dos partes: la una interior abarcada por la poligonal y la otra exterior a la poligonal. Definición 7.5 Polígono Simple La unión de toda poligonal con su interior se denomina polígono simple. Un polígono simple puede ser convexo o no convexo. En el presente texto nos interesa el estudio de los polígonos simples convexos. Por ello cada vez que en lo posterior se utilice el término polígono se sobreentenderán ambas características. Los elementos fundamentales de los polígonos son: vértices lados diagonales ángulos interiores y exteriores. Una diagonal es el segmento de recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono. En un polígono las diagonales están en su interior. De acuerdo con el número de lados los polígonos reciben diferentes nombres. Figura 7.9: Línea poligonal cerrada. Figura 7.10: Convexidad de polígonos. exterior interior P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 Polígono convexo P 1 P 2 P 3 P 4 Polígono no convexo P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8

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Capítulo 7 Geometría Plana 601 pág. Número de lados Nombre 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octágono 9 Enéagono 10 Decágono 11 Endecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Isodecágono Ejemplo 7.5 Polígonos. Las formas de las señales de tránsito que son un conjunto de símbolos estandarizados a nivel mundial constituyen un claro ejemplo del uso de polígonos en la vida diaria. Propiedades ▪ La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de n lados es igual a n 2180°. Cuadro 7.1: Nombres de polígonos según número de lados.

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602 pág. Ejemplo 7.6 Polígonos. En un polígono se han trazado un total de 35 diagonales. Encuentre la suma de las medidas de los ángulos interiores de ese polígono. Solución: Primero debemos calcular el número n de lados del polígono utilizando la fórmula que lo relaciona con el número D de diagonales: D nn 3 2 . En este caso D 35 y por lo tanto nos queda: nn 3 2 35 n 2 ฀ 3n 70 n 2 ฀ 3n 70 0 n 10 n 7 0 Entonces: n 10 0 n 7 0 De donde n 10 lo cual quiere decir que se trata de un decágono. No se considera el valor de n –7 porque no es solución geométrica. Luego la suma de las medidas de los ángulos interiores del polígono en cuestión es 10 – 2180º 8180º 1440º. ▪ La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono cualquiera es constante e igual a 360°. ▪ El número de diagonales que se pueden trazar desde un mismo vértice de un polígono de n lados es n 3. ▪ El número de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados es nn 3 2 . Definición 7.6 Polígono Regular Un polígono de n lados se dice que es regular si y sólo si todos sus lados tienen igual longitud y sus ángulos tienen igual medida.

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Capítulo 7 Geometría Plana 603 pág. Ejemplos de polígonos regulares son el triángulo equilátero y el cuadrado. Es de observarse que todo polígono regular es convexo. Ejemplo 7.7 Polígonos. Encuentre la razón entre las medidas del ángulo exterior e interior en un dodecágono regular. Solución: El ángulo exterior de un dodecágono regular 12 lados mide: 360º 12 30º y el ángulo interior que es el suplemento del ángulo exterior mide 150º. Luego la razón requerida es: 30º 150º 1 5 . 7.5 Triángulos Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dado un triángulo clasificarlo de acuerdo a la longitud de sus lados y a la medida de sus ángulos. Dado un triángulo identificar sus rectas y puntos notables. Figura 7.11: Polígonos regulares.

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604 pág. Definición 7.7 Triángulos Un triángulo es un polígono de tres lados. Dados tres puntos no colineales A B y C éstos determinan el triángulo ABC. Las velas de los barcos presentan diferentes formas de triángulos los mismos que pueden clasificarse según la longitud de sus lados o la medida de sus ángulos. Clasificación de triángulos por la longitud de sus lados ▪ Escaleno: Es un triángulo que no tiene lados congruentes. ▪ Isósceles: Es un triángulo que tiene dos lados congruentes. ▪ Equilátero: Es un triángulo que tiene sus tres lados congruentes. Clasificación de triángulos por la medida de sus ángulos ▪ Equiángulo: Es un triángulo que tiene sus tres ángulos congruentes. ▪ Rectángulo: Es un triángulo que tiene un ángulo recto. ▪ Acutángulo: Es un triángulo que tiene tres ángulos agudos. ▪ Obtusángulo: Es un triángulo que tiene un ángulo obtuso. Figura 7.12: Velas triangulares de los barcos. Figura 7.13: Tipos de triángulos según las longitudes de sus lados. TRIÁNGULO ESCALENO c b a C A B TRIÁNGULO ISÓSCELES c b a C A B TRIÁNGULO EQUILÁTERO c b a C A B

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Capítulo 7 Geometría Plana 605 pág. Propiedades ▪ La suma de las medidas de los ángulos interiores en todo triángulo es 180º. ▪ La suma de las medidas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 90º. ▪ Los ángulos interiores de un triángulo equilátero miden 60º. ▪ En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es la suma de las medidas de los ángulos interiores no contiguos. ▪ En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente. ▪ La suma de las medidas de los ángulos exteriores de cualquier triángulo es igual a la medida de cuatro ángulos rectos 360º. ▪ Todo triángulo equiángulo es equilátero y viceversa todo triángulo equilátero es equiángulo. Rectas y puntos notables en el triángulo Un fabricante manufactura un producto que se vende en tres ciudades A B y C. Se desea construir una fábrica en un punto que equidiste de las tres ciudades. A continuación se describen las rectas y puntos notables de un triángulo con los cuales se pueden resolver problemas como éste entre otros. Figura 7.14: Tipos de triángulos según las medidas de sus ángulos.

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606 pág. La bisectriz de un ángulo interior es la recta que lo divide en dos ángulos de igual medida. Las tres bisectrices del triángulo se intersecan en un único punto el cual equidista de los lados del triángulo. Este punto se denomina incentro denotado por I en la figura y es el centro de la circunferencia inscrita circunferencia que es tangente a los lados del triángulo en el triángulo. La mediatriz de un segmento AB es la recta perpendicular que lo divide en dos segmentos de igual longitud. Las tres mediatrices del triángulo se intersecan en un único punto el cual equidista de los vértices del triángulo. Este punto se denomina circuncentro denotado por O en la figura y es el centro de la circunferencia circunscrita circunferencia que contiene los vértices del triángulo al triángulo. La altura relativa a un lado base del triángulo es un segmento de recta perpendicular al lado base trazado desde el vértice opuesto a la base o su prolongación. Las tres alturas del triángulo se intersecan en un único punto. Este punto se denomina ortocentro denotado por H en la figura. El término se deriva de orto recto en referencia al ángulo formado entre las bases y la alturas. B A C Figura 7.15: Incentro y bisectrices. Figura 7.16: Circuncentro y mediatrices. Figura 7.17: Ortocentro y alturas. A B C I A B C D O A B C H

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Capítulo 7 Geometría Plana 607 pág. La mediana de un lado del triángulo es el segmento que tiene por extremos el punto medio del lado y el vértice opuesto al mismo. Las tres medianas del triángulo se intersecan en un único punto. Este punto se denomina baricentro denotado por G en la figura. El baricentro coincide con la noción física de centro de gravedad también llamado centro de masa. En un triángulo isósceles la mediatriz la altura y la mediana respecto al lado desigual base del triángulo coinciden. En un triángulo equilátero el incentro el circuncentro el ortocentro y el baricentro coinciden y están situados en una de las alturas a una distancia de 2 3 respecto del vértice. En un triángulo rectángulo el circuncentro está situado en el punto medio de la hipotenusa. Dependiendo del tipo de triángulo los puntos O H y G pueden localizarse en la región interna o externa del triángulo. Ejemplo 7.8 Altura de un triángulo equilátero. A B C Figura 7.18: Baricentro y medianas. Figura 7.19: Triángulo isósceles. G A B C Demuestre que la longitud de la altura de un triángulo equilátero es igual al producto de la mitad de la longitud del lado por 3. Solución: Como el triángulo es equilátero las longitudes de sus lados y las medidas de sus ángulos son iguales. Los ángulos A B y C miden 60º.

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608 pág. 7.6 Semejanza y Congruencia Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Aplicar el teorema de Thales para establecer proporcionalidades entre segmentos. Dados dos polígonos reconocer si son semejantes o congruentes. Dados dos triángulos aplicar los criterios de semejanza y congruencia existentes en la resolución de problemas. Los diseñadores industriales construyen modelos de proyectos que luego se fabricarán en tamaño natural. El modelo del aeroplano tiene la misma forma que el avión real. Las figuras que guardan cierta proporcionalidad manteniendo la misma forma se denominan semejantes. Este concepto también se aplica en diseños arquitectónicos. El símbolo de semejanza a utilizar en este texto es . Los automóviles se fabrican utilizando la producción en cadena. Los componentes producidos deben ser de idéntico tamaño y forma para poderlos emplear en cualquier automóvil de la línea de montaje. Los repuestos también deben ser idénticos. En geometría a las figuras que tienen el mismo tamaño y la misma forma se les denomina congruentes. El símbolo de congruencia a utilizar en este texto es . La altura h divide al triángulo en dos triángulos rectángulos por lo tanto podemos aplicar funciones trigonométricas. sen B h a sen 60º h a h a sen 60º h a 2 3 A C B a a a h 60º Lo cual demuestra el enunciado.

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Capítulo 7 Geometría Plana 609 pág. Teorema 7.1 Teorema de Thales Dado un conjunto de al menos tres rectas paralelas intersecadas por dos transversales las rectas paralelas determinan en las rectas secantes segmentos correspondientes proporcionales. Así en la figura anterior las rectas AA BB CC y DD son paralelas entonces el teorema de Thales nos dice que las longitudes de los segmentos en uno de los lados son proporcionales a las longitudes de los segmentos correspondientes en el lado opuesto. Matemáticamente esta relación de proporcionalidad entre las longitudes de los segmentos de recta se expresaría como: Corolario del Teorema de Thales Si los lados de un ángulo o sus prolongaciones se intersecan con un haz de rectas paralelas los segmentos correspondientes que se determinan en los lados del ángulo son proporcionales. En la figura si L 1 ฀ L 2 ฀ L 3 ฀ L 4 entonces: AP PF BP PE o bien AC CF BD DE AB A B BC B C CD C D A A B B C C D D A L 1 L 2 L 3 L 4 B C D P E F

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610 pág. Ejemplo 7.9 Aplicación del teorema de Thales. En el siguiente bosquejo si L 1 ฀ L 2 OA 2x 12 AB 4x OC 5x 8 CD 4x 1 determine el valor de x y las longitudes de dichos segmentos. O A C B D L 2 L 1 Solución: Si se traza una recta por el punto O paralela a L 1 y L 2 se puede aplicar el corolario del teorema de Thales y se tiene la proporción: OA OC AB CD 2x 12 5x 8 4x 4x 1 2x 124x 1 4x 5x 8 8x 2 50x 12 20x 2 32x 12x 2 18x 12 0 2x 2 3x 2 0 Esta es una ecuación de segundo grado cuyas raíces son x 1 2 y x 2 ฀ 1 2 . El segundo valor debe descartarse pues conduce a valores negativos para las longitudes de los segmentos. Luego nos queda x 2 que sí es válido como medida. De esta manera las longitudes de los segmentos son:OA 16u AB 8u OC 18u y CD 9u donde u representa unidades. Como ya se mencionó anteriormente el término semejanza induce a similitud en forma de dos objetos y el término congruencia induce a igualdad de dos objetos. Para expresar e identificar con propiedad estas características que pueden tener dos polígonos se emplean las siguientes definiciones. Semejanza y congruencia de Polígonos

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Capítulo 7 Geometría Plana 611 pág. Definición 7.8 Polígonos semejantes Sean P 1 ฀P 2 ... P n los vértices de un polígono de n lados y Q 1 ฀Q 2 ... Q n los vértices de otro polígono también de n lados. Los dos polígonos se denominan semejantes si y sólo si existe una función biyectiva definida entre los vértices del primer polígono con imágenes en los vértices del segundo construida de tal manera que a P 1 le corresponde Q 1 a P 2 Q 2 y así sucesivamente y además se cumple que: 1 P 1 P 2 Q 1 Q 2 P 2 P 3 Q 2 Q 3 ... P n P 1 Q n Q 1 k k ฀ 2 m P 1 m Q 1 m P 2 m Q 2 ฀ ...฀ m P n m Q n Definición 7.9 Polígonos congruentes Sean P 1 ฀P 2 ... P n los vértices de un polígono de n lados y Q 1 ฀Q 2 ... Q n los vértices de otro polígono también de n lados. Los dos polígonos se denominan congruentes si y sólo si existe una función biyectiva definida entre los vértices del primer polígono con imágenes en los vértices del segundo construida de tal manera que a P 1 le corresponde Q 1 a P 2 Q 2 y así sucesivamente y además la longitud del segmento P 1 P 2 es igual a la longitud del segmento Q 1 Q 2 etc. y las medidas de P 1 P 2 ... P n son iguales a las medidas de Q 1 Q 2 ... Q n respectivamente. Figura 7.20: Polígonos semejantes. Figura 7.21: Polígonos congruentes. Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 Q 2 Q 1 Q 3 Q 4 Q 5

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612 pág. Obsérvese que el concepto de semejanza es más extenso que el de congruencia. Dos polígonos semejantes para los cuales k 1 son congruentes. Los polígonos más elementales son los triángulos por lo cual a continuación daremos criterios para determinar la congruencia y semejanza de triángulos. Congruencia y semejanza de Triángulos En la práctica es muy útil poder determinar con rapidez la congruencia de triángulos. Para ello existen los siguientes criterios: Criterio LAL LADO-ÁNGULO-LADO: Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo de igual medida formado por lados de longitudes iguales. Criterio ALA ÁNGULO-LADO-ÁNGULO: Dos triángulos son congruentes si tienen un lado de igual longitud y los ángulos adyacentes a ese lado son correspondientemente de igual medida. Criterio LLL LADO-LADO-LADO: Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados de longitudes respectivamente iguales. Para determinar la semejanza de triángulos se puede emplear alguno de los siguientes criterios: Criterio AA ÁNGULO-ÁNGULO: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente de igual medida. P 1 P 3 P 2 Q 2 Q 3 Q 1 P 2 P 1 P 3 Q 2 Q 1 Q 3 Q 2 Q 1 Q 3 P 2 P 1 P 3

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Capítulo 7 Geometría Plana 613 pág. Criterio ALL ÁNGULO-LADO-LADO: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo con igual medida y las longitudes de los lados de ese ángulo son proporcionales esto es P 1 P 3 Q 1 Q 3 P 2 P 3 Q 2 Q 3 k y además m P 3 m Q 3 . Criterio LLL LADO-LADO-LADO: Dos triángulos son semejantes si las longitudes de sus tres lados son proporcionales: P 2 P 3 Q 2 Q 3 P 3 P 1 Q 3 Q 1 P 1 P 2 Q 1 Q 2 k. Ejemplo 7.10 Semejanza de triángulos. Demostrar que una recta paralela a un lado de un triángulo que interseca los otros dos determina en estos últimos segmentos proporcionales. Solución: Hipótesis: ABC cualquiera L ฀ AB M y N puntos de intersección de la recta L con los lados del triángulo. Q 2 Q 1 Q 3 P 1 P 3 P 2 P 3 P 1 P 2 Q 2 Q 1 Q 3 P 3 P 1 P 2 Q 1 Q 2 Q 3

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614 pág. Tesis: C N N B C M M A Solución: Ejemplo 7.11 Semejanza de triángulos. De acuerdo a la figura siguiente donde BD 3cm y CD 2cm determine la longitud del segmento AD. Ángulos correspondientes en rectas paralelas intersecadas por una transversal. NMC BAC Ángulos correspondientes en rectas paralelas intersecadas por una transversal. CNM CBA Criterio AA de semejanza de triángulos. CBA CNM Lados correspondientes de triángulos semejantes son proporcionales. CA CM CB CN Ver figura. MA CM NB CN Invirtiendo razones. CM MA CN NB Propiedades de las proporciones. CM CA CM CN CB CN 3 2 B A D C C N M A B L

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Capítulo 7 Geometría Plana 615 pág. Solución: De acuerdo al criterio AA los triángulos ABD y CAD son semejantes ya que se cumple que: Se puede establecer proporcionalidad entre las longitudes de los lados: y despejando tenemos que AD 2 ฀ 6. Por lo tanto AD ฀ 6 cm. Ejemplo 7.12 Semejanza de triángulos. A D B A D C 3 2 m BDA m ADC 90º m ABD m CAD m DAB m DCA AD 2 3 AD Si en la figura adjunta AB ฀ ฀ EC BC 2u CD 3u y AD ฀ 6u determine el valor de AE . Solución: Los triángulos ABD y ECD son semejantes por lo tanto se cumple que: CD ED BD AD . Es decir: AD BC CD CD AD AE . B C D A E

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616 pág. Ejemplo 7.13 Semejanza de triángulos. Si en la figura adjunta las rectas L y S son paralelas determine las longitudes de los lados a y b mostrados: Ejemplo 7.14 Semejanza de triángulos. Dado el rectángulo DEFG inscrito en el triángulo isósceles ABC con AB ฀ BC DE 1u GD 2u y BH 3u determine la longitud del segmento AD. B H D G A C E F Solución: Puesto que los dos triángulos son semejantes aplicando el teorema de Thales tenemos: a 7 6 4 ฀ a 21 2 u b 5 6 4 ฀ b 15 2 u L 7 S 4 5 6 b a Reemplazando valores se obtiene: 2 ฀ 3 6 3 6 ฀ AE 30 5 AE 18 5 AE 12 AE 12 5 u

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Capítulo 7 Geometría Plana 617 pág. 7.7 Resolución de triángulos Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dado un triángulo rectángulo determinar la medida de alguno de sus elementos empleando relaciones trigonométricas. Dado un triángulo rectángulo determinar la medida de alguno de sus lados empleando el teorema de Pitágoras. Dado un triángulo no rectángulo resolverlo empleando la Ley de los Senos o la Ley de los Cosenos. Dado un problema real asociado a triángulos plantear y resolver el problema analíticamente interpretando la solución dentro del contexto del problema. Solución: Se puede notar que DH ฀ 1u y los triángulos AHB y ADE son semejantes. Aplicando proporcionalidad entre las longitudes de sus lados: 2 3 B F E A D H G C 1 BH ED AD AD DH 3 1 AD AD 1 AD 1 3AD 2 AD 1 AD 1 2 u

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618 pág. En esta sección nos proponemos resolver un triángulo lo cual significa encontrar las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos que faltaren conocer en el triángulo. Para cumplir con este objetivo es necesario conocer los siguientes teoremas: Teorema 7.2 Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Teorema 7.3 La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º. Teorema 7.4 En todo triángulo a lados de longitudes iguales se oponen ángulos de medidas iguales. Demostración Sea el triángulo arbitrario ABC. Prolonguemos el lado AB y tracemos por B una recta paralela al lado AC. Se cumple que: Por otra parte: Esto es: m BAC m DBE m ACB m EBC m CBA m ACB m BAC 180º m CBA m EBC m DBE 180º C E B A D

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Capítulo 7 Geometría Plana 619 pág. Demostración Construyamos CD de manera tal que: Los triángulos ACD y DCB son congruentes porque tienen un ángulo de igual medida formado por lados correspondientemente iguales. Por tanto Teorema 7.5 Ley de los Senos Para un triángulo cuyas longitudes de sus lados son: a b c y tienen ángulos opuestos respectivamente se cumple que: Demostración Trácese un triángulo de modo que uno de los vértices por ejemplo A coincida con el origen del plano cartesiano. En la figura se muestra un caso en que es un ángulo agudo 90º y otro en el que 90º. m ACD m DCB m DAC m CBD sen a sen b sen c C b cos b sen b h A D B y a x C B A D C b cos b sen b h A D B y a x

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620 pág. En cualquiera de las figuras anteriores las coordenadas del punto C son b cos b sen . La altura h del triángulo es igual a la ordenada del punto C o sea: h b sen Pero en el triángulo rectángulo BDC: entonces igualando las dos expresiones anteriores: Las igualdades anteriores se pueden condensar como: Teorema 7.6 Ley de los Cosenos En todo triángulo el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros lados menos el doble producto de estas longitudes por el coseno del ángulo que forman. Demostración Sea ฀ ABC un triángulo como la figura siguiente: h a sen Idénticamente: sen c sen b b sen a sen sen a sen b sen c sen b sen a sen a sen b sen c a 2 b 2 ฀ c 2 ฀ 2bc cos b 2 a 2 ฀ c 2 ฀ 2ac cos c 2 a 2 ฀ b 2 ฀ 2ab cos Cb cos b sen a b y x A Bc 0 c

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Capítulo 7 Geometría Plana 621 pág. Las coordenadas del vértice C son b cos b sen . De la fórmula de la distancia entre dos puntos véase capítulo 10 sección 10.1: a 2 b cos c 2 b sen 0 2 Desarrollando los cuadrados y simplificando: a 2 b 2 cos 2 sen 2 ฀ 2 bc cos c 2 Pero: a 2 b 2 c 2 ฀ 2bc cos De la misma forma se pueden deducir las expresiones: b 2 a 2 c 2 ฀ 2 ac cos c 2 a 2 b 2 ฀ 2 ab cos las cuales expresan la Ley de los Cosenos. Las tres relaciones que se acaban de deducir son útiles para hallar las medidas de los ángulos internos de un triángulo conociendo las longitudes de sus lados. 7.7.1 Triángulos Rectángulos Figura 7.22: Triángulo Rectángulo. cos 2 sen 2 1 ฀ 90º ̟ 2 radianes a c b

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622 pág. Para resolver triángulos rectángulos es suficiente conocer la medida de un ángulo agudo y la longitud de un cateto o bien la longitud de un cateto y la longitud de la hipotenusa o la longitud de sus catetos. Luego aplicamos los teoremas mencionados según corresponda así como las funciones trigonométricas estudiadas en el capítulo 4. Dado que uno de los ángulos internos de un triángulo rectángulo mide 90º y de acuerdo al Teorema 7.3 los otros dos ángulos son complementarios. Así mismo si y son las medidas de los ángulos complementarios de un triángulo rectángulo se verifica lo siguiente: En ciertas aplicaciones se utilizan los conceptos de ángulo de elevación y ángulo de depresión los cuales se definen a continuación. Definición 7.10 Ángulo de elevación y ángulo de depresión. Si una persona está mirando hacia arriba un objeto el ángulo agudo medido desde la horizontal a la línea de visión del objeto se denomina ángulo de elevación. Por otro lado si la persona está mirando hacia abajo un objeto el ángulo agudo medido desde la línea de observación del objeto y la horizontal se denomina ángulo de depresión. Ejemplo 7.15 Resolución de Triángulos Rectángulos. Figura 7.23: Ángulos de elevación y depresión. sen cos cos sen tan cot cot tan sec csc csc sec Horizontal a es ángulo de elevación Línea de vista Horizontal b es ángulo de depresión De la figura 7.22 se conoce que a 3cm y m 15º resuelva el triángulo.

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Capítulo 7 Geometría Plana 623 pág. Ejemplo 7.16 Resolución de Triángulos Rectángulos. En la figura mostrada el triángulo ABC es rectángulo el segmento AB ฀ 5 unidades y los catetos AC y BC miden x y x + 1 unidades respectivamente. Determine el valor de x. Aplicando el teorema 7.3: Aplicando funciones trigonométricas: Para encontrar el valor del cos 15º utilizamos la identidad del coseno de la diferencia de ángulos. Por lo tanto c 3 6 ฀ 2. 180º ฀ ฀ ฀ 180º ฀ 90º ฀ 15º 75º cos a c cos15º 3 c cos15º cos45º 30º cos45º cos30º ฀ sen45º sen30º 2 2 2 3 2 2 1 2 cos15º 6 2 4 Solución: Aplicando el teorema de Pitágoras: b c 2 ฀ a 2 3 6 ฀ 2 2 ฀ 3 2 96 ฀ 4 3 ฀ 2 ฀ 9 b 3 7 ฀ 4 3 cm.

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624 pág. Ejemplo 7.17 Resolución de Triángulos Rectángulos. Solución: Aplicando el teorema de Pitágoras: x 2 + x + 1 2 5 2 x 2 + x 2 + 2x +1 – 5 0 2x 2 + 2x 4 0 x 2 + x 2 0 x + 2x 1 0 x + 2 0 x 1 0 x 2 x 1 Se descarta el valor de x 2 porque no es una solución geométrica. Luego el valor de x es de 1 unidad. x 1 A C B x 5 Si M es el punto medio de BC en el cuadrado ABCD mostrado en la figura determine el valor de tan . Solución: 1 2 A B M C D N 45º 2 2 A B M C D

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Capítulo 7 Geometría Plana 625 pág. Ejemplo 7.18 Resolución de Triángulos Rectángulos. tan45º ฀ MN AN 2 1 2 tan45º tan 1 tan45º tan 2 1 tan 1 tan 1 tan 2 2 tan 3tan 1 tan 1 3 En la figura sea N el punto medio de AD respecto del triángulo rectángulo MNA se cumple: 30º 45º h 1 km x Un observador se encuentra a una determinada distancia medida desde la base de una colina en ese instante él determina un ángulo de elevación de 30º con respecto a la cima de la colina. Si camina 1 km. acercándose a la colina el observador determina que el ángulo ahora es de 45º. ¿Cuál es la altura de la colina Solución: Se puede observar que h x.

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626 pág. Ejemplo 7.19 Resolución de Triángulos Rectángulos. De manera simultánea dos observadores miden el ángulo de elevación de un helicóptero. Un ángulo mide 30º y el otro 60º. Si los observadores están separados una distancia de 100 metros y el helicóptero está sobre la línea que los une encuentre la altura h a la cual se encuentra el helicóptero. Solución: Se puede hacer una interpretación gráfica del problema. 100m 100 ฀ x ฀x h 30º 60º La altura de la colina es 2 3 ฀ 1 km. tan30º h h ฀ 1 h h ฀ 1 1 3 h ฀ 1 3h h ฀ 3h 1 h 3 1 1 h 1 3 1 h 1 3 1 3 1 3 1 h 3 2 1 2 3 1 h 2 3 1

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Capítulo 7 Geometría Plana 627 pág. Igualando las expresiones a y b: Ejemplo 7.20 Resolución de Triángulos Rectángulos. El ángulo de elevación de la parte superior de una torre mide 30º. Acercándose 100 metros se encuentra que el ángulo de elevación es de 60º determine la altura de la torre. Solución: Se puede hacer una interpretación gráfica del problema. tan30º h x 1 3 h x x 3h a tan60º h 100 ฀ x 3 h 100 ฀ x x 100 3 ฀ h 3 b 3h 100 3 ฀ h 3 h 25 3m. 30º 60º 100m x h

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628 pág. 7.7.2 Triángulos Acutángulos u Obtusángulos Cuando se requieren resolver este tipo de triángulos es conveniente aplicar la Ley de los Senos o la Ley de los Cosenos. La Ley de los Senos no es directamente aplicable cuando se conocen únicamente las longitudes de los tres lados de un triángulo ni tampoco cuando se conocen las longitudes de dos de sus lados y la medida del ángulo comprendido entre ellos en estos casos se debe utilizar la Ley de los Cosenos. Ejemplo 7.21 Resolución de Triángulos no Rectángulos. Resolver el triángulo si se conoce que: 45° 105° c 2. Solución: Haciendo un gráfico del triángulo tenemos: Igualando las expresiones a y b: x 3h ฀ 100 a tan30º h 100 ฀ x 1 3 h 100 ฀ x tan60º h x x 3 3 h b 3 h x 3 3 h 3h 100 h 50 3 m 180º ฀ ฀ ฀ 180º ฀ 45º ฀ ฀ 105º 30º c a b

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Capítulo 7 Geometría Plana 629 pág. Ejemplo 7.22 Resolución de Triángulos no Rectángulos. La estación A de los guardacostas se encuentra directamente a 150 millas al sur de la estación B. Un barco en el mar envía una llamada de auxilio la cual es recibida por ambas estaciones. La llamada a la estación A indica que la posición del barco es 45º al noreste la llamada a la estación B indica que la posición del barco es 30º al sureste tal como se muestra en la figura. ¿A qué distancia del barco se encuentra cada estación Aplicando la Ley de los Cosenos: Aplicando la Ley de los Senos: b 2 a 2 c 2 ฀ 2ac cos 2 2 2 2 2 ฀ 22 22 cos105º 8 4 ฀ 8 2 2 ฀ 6 4 12 2 2 2 ฀ 6 12 4 4 3 b 8 4 3 m. sen a sen c a sen c sen sen30º 2sen45º 2 2 2 1 2 a 2 2m

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630 pág. Solución: Considerando el triángulo que se forma: Aplicando la Ley de los Senos: 150 millas 30º 45º 150 60º 45º a b sen45º a sen180º 45º 60º 150 a sen75º 150 sen45º 6 2 300 2 a 150 3 1millas 150 2 2 6 2 4 6 2 300 2 6 2 6 2

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Capítulo 7 Geometría Plana 631 pág. Aplicando nuevamente la Ley de los Senos: La estación A se encuentra a 753 2 6 millas del barco y la estación B se encuentra a 150 3 ฀ 1 millas del barco. Ejemplo 7.23 Resolución de Triángulos no Rectángulos. Dos autos parten de un control a dos ciudades diferentes. Las carreteras de estas ciudades son rectas y sus direcciones forman un ángulo de 45º. Al cabo de 15 minutos los autos han recorrido una distancia de 25 km y 20 km respectivamente. Determine la distancia que los separa en ese instante de tiempo. Solución: En la gráfica adjunta se observa que los trayectos recorridos por los dos autos forman un triángulo no rectángulo. Con los datos que se dispone se puede emplear la Ley de los Cosenos así: sen60º b sen45º a b sen45º a sen60º b 753 2 6 150 3 ฀ 1 2 3 2 2 20 km x 25 km Control 45º

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632 pág. Se toma la respuesta positiva porque este valor representa una distancia en la realidad. Ejemplo 7.24 Resolución de Triángulos no Rectángulos. Desde una torre de control se observa un incendio con un ángulo de depresión de 45º. Sobre la horizontal que une la base de la torre con el lugar del incendio se observa la unidad de bomberos a un ángulo de depresión de 30º. Se conoce que la distancia desde el punto de observación de la torre hasta esta unidad es de 800 m. Determine qué distancia deben recorrer los bomberos hasta llegar al sitio del incendio. Solución: En la gráfica adjunta se observa que el punto de observación de la torre el sitio del incendio y la unidad de bomberos forman un triángulo con ángulos de 30º 45º y el lado opuesto a este ángulo tiene una longitud de 800 m. Con los datos que se dispone y el Teorema 7.5 se puede emplear la Ley de los Senos así: x 2 25 2 20 2 22520 cos45º 625 400 1000 2 2 x 2 1025 500 2 x 1025 500 2 km Punto de observación 30º 45º 30º 45º x Unidad de Bomberos 800m 800 sen45º x sen180º 45º 30º x 800 sen105º sen45º

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Capítulo 7 Geometría Plana 633 pág. De la sección 7.7 se sabe que: Con lo cual se obtiene que: Por lo que los bomberos deberán recorrer una distancia mayor a 1 km para llegar al sitio del incendio. Ejemplo 7.25 Resolución de Triángulos no Rectángulos. En un entrenamiento de fútbol se coloca el balón en un punto B situado a 5 m y 8 m de los postes A y C respectivamente de una portería cuyo ancho tiene longitud 7 m. Determine la medida del ángulo con vértice en B sustentado por los segmentos BA y BC. Solución: sen105º sen75º sen105º sen30º 45º sen30º cos45º ฀ cos30º sen45º 1 2 2 2 2 3 2 2 sen105º 4 2 1 3 x 800 4 2 1 3 2 400 1 3 m. b 2 a 2 ฀ c 2 ฀฀ 2ac cosβ cosβ a 2 ฀ c 2 ฀ b 2 2ac Aplicando la Ley de los Cosenos: B C A c a b

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634 pág. Ejemplo 7.26 Resolución de Triángulos no Rectángulos. Dos ciudades A y B distan 150 millas entre sí y las ciudades B y C están separadas por una distancia de 100 millas. Un avión vuela de A hasta C de la manera siguiente: a Primero vuela a la ciudad B. b En B se desvía con un ángulo cuya medida es de 60º hasta llegar a la ciudad C. Determine la distancia entre las ciudades A y C. Solución: cosβ 8 2 ฀ 5 2 ฀ 7 2 2 8 5 cosβ 64 ฀ 25 ฀ 49 80 cosβ 1 2 β arccos 1 2 β ̟ 3 120º por definición de ángulos suplementarios. Aplicando la Ley de los Cosenos: b 2 a 2 ฀ c 2 ฀฀ 2ac cos120º b 2 100 2 ฀ 150 2 ฀฀ 2100150 1 2 b 2 10000 ฀ 22500 ฀฀ 15000 b 2 47500 b 2 2519100 b 50 19 La distancia entre las ciudades A y C es de 50 19 millas. A B c b a 60º C

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Capítulo 7 Geometría Plana 635 pág. 7.8 Cuadriláteros Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dado un cuadrilátero clasificarlo de acuerdo a la longitud paralelismo y medida de los ángulos. Definición 7.11 Cuadrilátero Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Los cuadriláteros convexos tienen todas las medidas de sus ángulos interiores menores que 180º. De acuerdo al paralelismo entre los lados los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos trapecios y trapezoides. Paralelogramo Es un cuadrilátero que tiene sus lados paralelos de dos en dos. Sus propiedades son: ▪ En todo paralelogramo los lados paralelos tienen la misma longitud. ▪ En todo paralelogramo los ángulos opuestos tienen la misma medida. ▪ Cada diagonal divide a un paralelogramo en dos triángulos congruentes. ▪ Las diagonales de un paralelogramo se intersecan en su punto medio.

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636 pág. • Rectángulo: Paralelogramo en el cual todos los ángulos son rectos. • Cuadrado: Rectángulo en el cual todos los lados son congruentes. • Rombo: Paralelogramo no rectángulo en el cual todos los lados son congruentes. • Romboide: Paralelogramo no rectángulo en el cual los lados paralelos son congruentes. Trapecio Es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos. Los lados paralelos se denominan bases del trapecio y la distancia perpendicular entre ellos se denomina altura. Si un trapecio tiene dos lados de igual longitud se denomina trapecio isósceles mientras que si tiene un ángulo recto se denomina trapecio rectángulo. Trapecio Isósceles Trapecio Rectángulo Trapezoide Es aquel cuadrilátero que no tiene lados paralelos. Puede ser asimétrico o simétrico. Trapezoide Simétrico “Deltoide” Trapezoide Asimétrico Los paralelogramos más utilizados son:

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Capítulo 7 Geometría Plana 637 pág. Ejemplo 7.27 Cuadriláteros. Demuestre que la longitud de la diagonal de un cuadrado es igual al producto de la longitud del lado por 2. Solución: Aplicando el teorema de Pitágoras: Con lo cual se demuestra el enunciado. Ejemplo 7.28 Semejanza de cuadriláteros. En el siguiente bosquejo si en el romboide se tiene AD ฀ 48 cm AE ฀ 24 cm y EF 18 cm determine FB. Solución: Dado que ABCD es un romboide AD ฀ ฀BC m ADE m FBE ángulos alternos internos entre rectas paralelas y m DEA m BEF ángulos opuestos por el vértice entonces ADE ฀ FBE. De la semejanza anterior se deduce la proporción: AE EF AD FB . Reemplazando los datos tendremos: 48 x 24 18 de donde x 24 48 18 36. Por lo tanto FB 36 cm. Sea x FB. d 2 a 2 ฀ a 2 d 2 2a 2 d a 2 a a d

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638 pág. 7.9 Perímetro y área de un polígono Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dadas las dimensiones de los elementos de un polígono calcular su perímetro y área. Resolver problemas de áreas y perímetros de regiones con polígonos. Aplicar los criterios de semejanza para calcular áreas de las superficies de polígonos. La construcción de casas proporciona varias aplicaciones sobre los conceptos que se tratarán en esta sección. Para colocar el marco de una ventana se necesita conocer el perímetro de la misma. Para pintar una pared se necesita conocer cuán extensa es su superficie para describir dicha extensión se emplea un número real denominado área. Definición 7.12 Perímetro de un polígono Sea el conjunto de los polígonos de n lados la función perímetro denotada por Perp tiene la siguiente regla de correspondencia: Per: p Per p P 1 P 2 P 2 P 3 ... P n P 1 Siendo los vértices de los puntos P 1 P 2 ... P n y P i P j la distancia del punto P i al punto P j . Si los polígonos p y q son congruentes entonces Perp Perq. Superficie y área La superficie en una región limitada es el conjunto de puntos del plano encerrados por una figura geométrica plana simple. El área A es la medida de tal superficie y expresa la extensión de un cuerpo en dos dimensiones. Históricamente un “área” es una unidad de superficie antigua que equivale a 100 metros cuadrados. Se sigue empleando con frecuencia su múltiplo la hectárea y a veces su submúltiplo la centiárea que equivale a un metro cuadrado.

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Capítulo 7 Geometría Plana 639 pág. La siguiente tabla contiene las expresiones para calcular el perímetro y el área de los polígonos más conocidos en base a sus dimensiones. Ejemplo 7.29 Área de la superficie de un triángulo equilátero. Demuestre que el área de la superficie de un triángulo equilátero de longitud de lado L es igual a L 2 3 4 . Cuadro 7.2: Perímetro y Área de figuras geométricas. Figura Geométrica Representación Perímetro Área Cuadrado a: lado d: diagonal a d Per 4a A a 2 A d 2 2 Rectángulo a b: lados a b Per 2a b A ab Triángulo a b c: lados h c : altura relativa a c a b c h c Per a b c A c • h c 2 Paralelogramo a b: lados h: altura a b h Per 2a b A ah Rombo a: lado D d: diagonales mayor y menor a D d Per 4a A dD 2 Trapecio a c: bases b d: lados h: altura a c d b h Per a b c d A a c 2 h

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640 pág. Ejemplo 7.30 Área de la superficie de un triángulo. A ABC L h 2 Fórmula para calcular el área de la superficie de un triángulo. h L 3 2 Fórmula para calcular la longitud de la altura de un triángulo equilátero. A ABC LL 3/2 2 Reemplazando h en la fórmula del área. A ABC L 2 3 4 Área de la superficie de un triángulo equilátero en función de la longitud de uno de sus lados. Solución: Sean ABC un triángulo equilátero de longitud de lado igual a 2 unidades D E y F son los puntos medios de los segmentos AB BC y AC respectivamente. Determine el área de la superficie sombreada. Solución: El área de la superficie del triángulo equilátero ABC es 3. Recuerde que en un triángulo equilátero su área es L 2 3 4 . Este valor es igual a 4 veces el área de la superficie del triángulo equilátero DBE puesto que los triángulos DBE ADF DFE y FEC son congruentes y la suma de sus B E D A C F

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Capítulo 7 Geometría Plana 641 pág. Ejemplo 7.31 Triángulos. En el siguiente bosquejo q es un triángulo rectángulo de área igual a 2 3u 2 y t es un triángulo equilátero de lado de longitud igual a 2u. Determine la longitud de la hipotenusa del triángulo p. 120º q p t Solución: Interpretando la información proporcionada tenemos: 60º 60º b a 30º 30º x y El área de la superficie del triángulo q es Aq bx 2 2 3 Se puede notar que tan 30º b x b x tan 30º b 3 3 x áreas es igual al área de la superficie del triángulo ABC. Es decir que el área de la superficie de uno de los 4 triángulos es 3 4 . El área de la región sombreada es igual al área de la superficie del triángulo ABC menos 2 veces el área de la superficie de cualesquiera de los 4 triángulos. Esto es: A sombreada 3 3 2 3 2 u 2 .

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642 pág. Ejemplo 7.32 Área de la superficie de cuadriláteros. Se cubre el piso de un cuarto con 4 baldosas idénticas. Cada baldosa es un cuadrado negro en donde se ha pintado un cuadrado blanco cuyos vértices son los puntos medios de cada lado de dicha baldosa. Determine el porcentaje total de piso negro. Solución: Divídase cada baldosa en cuatro partes como se muestra a continuación: Se observa entonces que el piso negro corresponde al 50 del total. Reemplazando: 3 3 x x 2 2 3 x 2 12 x 2 3 u La altura del triángulo equilátero es y 3 2 a y 3 2 2 y 3 u Por lo tanto x y 2 3 + 3 x y 3 3 La longitud x y es la altura del triángulo equilátero cuyo lado tiene por longitud L: x y 3 2 L L 3 2 3 3 L 6u.

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Capítulo 7 Geometría Plana 643 pág. Ejemplo 7.33 Cuadriláteros En el bosquejo de la figura se muestra un trapezoide. Si L M N y P son los puntos medios de los lados indicados determine los valores de verdad de las siguientes proposiciones: I El cuadrilátero LMNP es un paralelogramo. II LN ฀฀ MP III El perímetro del cuadrilátero LMNP es AC ฀฀ BD. Solución: I Considerando el ACD y los puntos medios N y P resulta que PN es la mitad de la medida del lado AC. Así PN ฀ ฀ AC y de manera análoga al considerar el ACB LM es la mitad de la medida del lado AC. Luego LM ฀ ฀ AC ฀. Por lo tanto PN ฀ ฀ LM. Así mismo de la consideración de los triángulos ABD y BCD resulta que: MN ฀ ฀ LP es decir el cuadrilátero LMNP es un paralelogramo por tener los lados opuestos paralelos. Luego la proposición I es verdadera. II Ahora bien como LMNP es un paralelogramo cualquiera no podemos asegurar que ฀LN ฀฀ MP. Luego la proposición II es falsa. III Finalmente el perímetro del cuadrilátero LMNP es ฀LM ฀฀ MN ฀฀ PN ฀฀ LP. Puesto que LM ฀ ฀ ฀PN y MN ฀ ฀LP representan la mitad de las medidas de los lados AC y BD respectivamente se tiene: LM ฀ ฀ 1 2 ฀AC y MN ฀ ฀ 1 2 ฀BD. Entonces el perímetro del cuadrilátero LMNP es igual a AC ฀฀ BD. Luego la proposición III es verdadera. A L B P D N C M

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644 pág. Para figuras semejantes se tiene que la relación entre las áreas es igual al cuadrado de la relación entre cualquiera de sus elementos lineales. Ejemplo 7.34 Semejanza de áreas. F 1 ฀ F 2 AF 1 AF 2 h h 2 c c 2 c d b h a F 1 c d b h a F 2 En el bosquejo de la siguiente figura MN ฀ ฀AB siendo MN ฀ 3cm y AB ฀ ฀ 5cm. Determine la razón entre el área de la superficie del trapecio ABNM y el área de la superficie del triángulo ABC. Solución: Puesto que MN ฀ ฀AB resulta que ฀ MNC ฀ ABC. Luego: A MNC A ABC 2 3 5 2 9 25 MN AB . Por lo tanto A MNC 9 25 A ABC y puesto que el área de la superficie del trapecio ABNM es igual al área de la superficie del triángulo ABC menos el área del triángulo MNC tenemos que: A ฀ABNM A ABC 9 25 A ABC 16 25 A ABC. Luego la razón pedida es 16 25 . C N M A B

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Capítulo 7 Geometría Plana 645 pág. 7.10 Circunferencia y círculo Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Explicar la diferencia entre circunferencia y círculo. Dada una circunferencia definir los elementos de la circunferencia y el círculo asociado justificando gráficamente su respuesta. Dada una circunferencia con un ángulo central calcular la medida del ángulo inscrito. Dada una circunferencia con dos pares de cuerdas que sostienen el mismo arco calcular la medida del ángulo inscrito. Definir los elementos de una circunferencia empleando relaciones de ángulos triángulos y semejanza de polígonos. Definición 7.13 Circunferencia y círculo Sea r un número positivo y O un punto en el plano Π el conjunto C P/ OP ฀ r P Π es una circunferencia de longitud de radio r centrada en O. La unión de una circunferencia con su interior se denomina círculo. Elementos de la circunferencia y el círculo Respecto a la siguiente figura se pueden observar los siguientes elementos de una circunferencia y un círculo de centro O y radio r. Circunferencia O r P Círculo

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646 pág. a Radio r: Es un segmento que une el centro de la circunferencia y un punto cualquiera de ella por ejemplo: OD OA OB. Luego OD OA OB ฀ r. b Cuerda: Es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia por ejemplo EF . c Diámetro d : Es una cuerda que contiene al centro de la circunferencia. La longitud del diámetro d es el doble de la longitud del radio es decir d 2r por ejemplo: AB. d Arco: Es una línea curva perteneciente a la circunferencia que une dos puntos de ella. Por ejemplo si la cuerda une los puntos BD el arco se denota por BD. Las letras deben ser ordenadas en sentido de giro contrario al movimiento de las manecillas del reloj. Por lo tanto la longitud del arco BD generalmente es diferente a la longitud del arco DB. En este caso BD es el arco menor porque su longitud es menor que la longitud de la mitad de una circunferencia y DB es el arco mayor porque su longitud es mayor que la longitud de la mitad de una circunferencia. e Secante: Es una recta que interseca a la circunferencia en dos puntos diferentes por ejemplo L 1 . f Tangente: Es una recta que interseca a la circunferencia en un solo punto. Por ejemplo L 2 . El punto de intersección se llama punto de tangencia o de contacto. En la figura T es el punto de tangencia. Es de observar que el radio en el punto T es perpendicular a la recta L 2 . Ejemplo 7.35 Elementos de la Circunferencia. En la figura adjunta se tiene una circunferencia con centro en O y radio r las cuerdas AB y CD son paralelas. Si la cuerda AB ฀ 2 r 2 unidades determine la distancia que separa las 2 cuerdas. Figura 7.24: Elementos de la circunferencia. L 2 D B F L 1 E T A O r r

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Capítulo 7 Geometría Plana 647 pág. Ejemplo 7.36 Elementos de la Circunferencia. El triángulo que forman A B y C es rectángulo y se puede aplicar el teorema de Pitágoras: AC ฀ 2 ฀ AB ฀ 2 BC ฀ 2 AC ฀ BC ฀ 2 ฀ AB ฀ 2 ฀ AC ฀ 2r 2 ฀฀ 2 2 r ฀ 2 ฀ AC ฀ 4r 2 ฀฀ 2 1 r ฀ 2 ฀ AC ฀ ฀ 2 7 r ฀ AC ฀ ฀ 2 14 r ฀ Determine la longitud del segmento CD tangente a dos circunferencias de radios de longitudes 4 y 9 unidades. D C A B O Solución:

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648 pág. Ángulos en la circunferencia a Ángulo central: Es aquel cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados están sobre los radios por ejemplo el ángulo AOB de la figura. Solución: Según la figura si O 1 y O 2 son los centros de las circunferencias se cumple que: O 1 O 2 13u. Se puede construir el segmento O 1 A paralelo a CD y de igual longitud. La longitud del segmento O 2 A es igual a la longitud del segmento O 2 D menos la longitud del segmento AD pero: AD ฀ ฀ 4 O 2 D 9 O 2 A 5 El triángulo O 1 O 2 A es rectángulo y se puede aplicar el teorema de Pitágoras: O 1 A ฀ O 1 O 2 ฀ 2 ฀฀ O 2 A ฀ 2 ฀ 13 2 ฀฀฀ 5 2 ฀ 169฀฀฀ 25 ฀ O 1 A ฀ 144 CD 12u A B O O 1 O 2 A C D

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Capítulo 7 Geometría Plana 649 pág. b Ángulo inscrito: Es aquel cuyo vértice pertenece a la circunferencia y sus lados están sobre las cuerdas o secantes. Por ejemplo el ángulo ACB de la figura. c Ángulo interior: Es aquel que está formado por la intersección de dos cuerdas cualesquiera por ejemplo el ángulo DPC de la figura. d Ángulo exterior: Es aquel que está formado por dos secantes o tangentes o una secante y una tangente que parten de un mismo punto exterior a la circunferencia por ejemplo el ángulo BP A de la figura. e Ángulo semi-inscrito: Es aquel cuyo vértice pertenece a la circunferencia y sus lados son una tangente y una cuerda respectivamente. Por ejemplo el ángulo APT de la figura. A B C O A C D B P O P C D B A O P T A O

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650 pág. Dos circunferencias son congruentes si tienen radios de igual longitud. Si P 1 y P 2 son extremos de un mismo diámetro el segmento de recta P 1 P 2 divide a la circunferencia y al círculo en dos semicircunferencias y semicírculos respectivamente. Una propiedad muy útil que relaciona el ángulo central con el ángulo inscrito es: “la medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central para ángulos que intersecan la circunferencia en los mismos puntos”. Figura 7.25: Relación entre ángulo central e inscrito. m P 3 P 2 P 1 1 2 m P 3 O P 1 P 1 P 3 P 2 O Ejemplo 7.37 Ángulos en la circunferencia. Demuestre que si P 1 P 2 P 3 son puntos sobre una circunferencia tales que P 2 y P 3 son extremos de un mismo diámetro entonces m P 2 P 1 P 3 ̟ 2 radianes. P 1 P 2 P 3 O Solución: Utilizando la propiedad entre ángulo central y ángulo inscrito respecto a la figura se tiene que m P 2 P 1 P 3 1 2 m P 2 O P 3 1 2 ̟ ̟ 2 radianes.

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Capítulo 7 Geometría Plana 651 pág. Ejemplo 7.38 Ángulos en la circunferencia. En la figura adjunta AD y BE son dos diámetros de la circunferencia con centro en O. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a m DEO m BOA/2 b m BOA m AOE c m ODE m DOB Solución: a En la figura se cumple lo siguiente: m DEO 40º m DOB 2m DEB 240º 80º m BOA 180º m DOB 180º 80º 100º b m AOE m DOB m AOE 80º O 40º D B A E D B A E O 40º 40º 100º 80º 80º

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652 pág. Ejemplo 7.39 Ángulos en la circunferencia. Ejemplo 7.40 Ángulos en la circunferencia. Las cuerdas AB BC CD DE y EA son todas congruentes. ¿Cuánto mide la suma de los ángulos mostrados en la figura adjunta c m ODE 180º ฀ m EOD ฀ m DEO 180º ฀ 100º ฀ 40º m ODE 40º Por lo tanto la proposición a es falsa y las proposiciones b y c son verdaderas. D E C A B Solución: Los ángulos centrales correspondientes a las cuerdas dadas son todos congruentes por tratarse de ángulos inscritos en arcos congruentes. Pero cada uno de estos ángulos mide 360º 5 72º. Luego el ángulo CAD ฀ 72º 2 ฀ 36º. Por lo tanto la suma de las medidas de los tres ángulos es: 336º 108º. En la figura adjunta O es el centro de la semicircunferencia y BOC 3 COA. ¿Cuál es el valor de ฀ C A O B

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Capítulo 7 Geometría Plana 653 pág. Ejemplo 7.41 Ángulos en la circunferencia. En base a la figura adjunta determine la medida de ฀en grados sexagesimales. Solución: Puesto que COA y BOC son suplementarios suman 180º y como CB 3AC por hipótesis resulta que COA 45º. Ahora bien como el triángulo AOC es isósceles de base AC se cumple que OA ฀ OC y resulta que: m OAC m ACO Luego: ฀฀฀฀ 45º 180º 2 ฀฀ 45º 180º 2 ฀ 135º De donde: ฀ 135º 2 67.5º Solución: m AOC m BOA m COB 360º m AOC 360º m BOA m COB 360º 109º ฀ 135º 116º m ABC 1 2 m AOC 116º 2 58º ฀฀ m ABC 180º ฀ 180º ฀ m ABC 180º ฀ 58º 122º D B A C O 109º 135º

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654 pág. Ejemplo 7.42 Ángulo en la circunferencia. A partir de la siguiente figura demuestre que m m CPB m APD 2 . Solución: 7.11 Polígonos y circunferencias Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Determinar las relaciones entre los elementos que conforman circunferencias y polígonos inscritos o circunscritos. A B C O D P Suma de la medidas de los ángulos interiores del ∆ APD. APD m APD ฀ m DAP ฀ m PDA ̟ Despejando m APD. m APD ̟ ฀ m DAP ฀ m PDA Propiedades de ángulos inscritos. m APD ̟ ฀ m DPC 2 ฀ m BP A 2 Simplificando la expresión. m APD 2̟ ฀ m DPC m BP A 2 m APD m CPB m APD 2

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Capítulo 7 Geometría Plana 655 pág. Definición 7.14 Polígono inscrito o circunscrito Un polígono se dice inscrito en una circunferencia si todos sus vértices son puntos de la circunferencia. Recíprocamente la circunferencia se dice circunscrita al polígono. Un polígono se dice circunscrito a una circunferencia si sus lados son segmentos tangentes a la circunferencia. Recíprocamente la circunferencia se dice inscrita en el polígono. Polígono inscrito Polígono circunscrito Una propiedad importante de los polígonos regulares es que siempre pueden inscribirse en una circunferencia. Tal como se puede observar en la figura 7.26 a b y c L n y r representan las longitudes de los lados de los polígonos y la longitud del radio de las circunferencias circunscritas respectivamente. La apotema a n en un polígono regular de n lados es un segmento cuya longitud es igual a la distancia perpendicular desde el centro del círculo circunscrito hasta un lado del polígono. En las figuras a b y c a n OP y es posible demostrar que a 3 r 2 a 4 2 r 2 y a 6 3 r 2 siendo r en cada uno de los casos la longitud del radio de la circunferencia circunscrita. Figura 7.26: Polígonos inscritos. L 3 3 r L 3 r P O a L 4 P O r L 4 2 r b L 6 r O P L 6 r c

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656 pág. De manera análoga los polígonos regulares pueden siempre circunscribirse a una circunferencia. Si tomamos una circunferencia y en ella inscribimos un polígono regular P de n lados para n finito C P n ฀ 0 donde C es la longitud de la circunferencia y P n el perímetro del polígono a medida que n aumenta n ฀ ∞ la diferencia C P n se hace ínfima es decir P n ฀ C. Esto será expresado diciendo que C es el límite de P n cuando n crece indefinidamente lo cual se denota como: Ejemplo 7.43 Polígono circunscrito. Figura 7.27: Polígonos circunscritos. L 3 2 3r L 3 O r L 6 2 3 r 3 L 6 r O L 4 2r L 4 r O lim P n C n ฀ ∞ ABC es un triángulo equilátero y DEFG es un rectángulo de base b unidades como se observa en la figura. Si la circunferencia mostrada está inscrita en el triángulo GFC determine la longitud de su diámetro. C G F A B r D E b Solución: Se puede observar que DE GF b. La circunferencia se ha inscrito en el triángulo GFC que también debe ser equilátero y se cumple que:

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Capítulo 7 Geometría Plana 657 pág. a Sector circular: Es la región del círculo comprendida entre dos radios y el arco que subtienden. 7.12 Figuras circulares Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dada una circunferencia y un ángulo central calcular la longitud de arco y el área del sector circular. Calcular áreas con figuras circulares que involucren al segmento circular y a la corona circular. B A r O r La longitud de su diámetro d es 2r. d ฀ GF 3 d ฀ DE 3 d ฀ b 3 d ฀ 3 3 ฀b unidades. GF ฀2 3r r ฀ 2 3 GF

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658 pág. b Segmento circular: Es la porción del círculo comprendida entre una cuerda y el arco correspondiente. c Corona o anillo circular: Es la región comprendida entre dos círculos concéntricos que tienen el mismo centro. Ejemplo 7.44 Polígono circunscrito. A B O r O R Solución: De la figura se puede observar que R longitud del radio de la circunferencia mayor puede ser calculado con la expresión: R OP 1 Los conductos de cables telefónicos están construidos para contener tres cables cuyas secciones transversales son circulares y tangentes al conducto y entre sí y cuyos radios r miden 1cm. Determine la longitud R del radio del conducto. conducto 1cm r Cable P Cable R Cable O

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Capítulo 7 Geometría Plana 659 pág. Consideremos ahora un círculo de radio r y los polígonos regulares inscritos y circunscritos a ese círculo. Si hacemos crecer el número de lados n ฀ ∞ las apotemas se aproximan al radio del círculo. Diremos entonces que el área de la superficie circular es aproximadamente igual al área de la superficie El área del círculo es el límite de las áreas de los polígonos regulares inscritos en la respectiva circunferencia. Si consideramos un polígono regular p de n lados de perímetro Per y apotema a podemos descomponerlo en n triángulos congruentes con base l y altura a de tal forma que: Área del círculo Debido a que el triángulo que se forma uniendo los centros de los tres círculos menores es equilátero con longitud de lados L 2 cm se puede deducir que: OP ฀ ฀ 2 3 ฀h O es el ortocentro Por otra parte: h ฀ 2 3 ฀L h es la altura del triángulo Luego OP ฀ ฀ 2 3 ฀ 2 3 ฀2 3 3 2 cm. Por lo tanto: R ฀ 3 3 2 1 ฀cm. lim AP n Acírculo n ฀ ∞ Apolígono 2 nla 2 nla 2 Perpa Apolígono 2 PERÍMETROAPOTEMA

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660 pág. de un polígono regular de número ilimitado de lados n ฀ ∞ esto es el semiproducto de la medida del perímetro por la longitud del radio. Si θ es la medida en radianes del ángulo central de un sector circular establecemos una relación de regla de 3 simple a saber: Si viene dado en grados sexagesimales: Área del sector circular Así se obtendría que Acírculo 2 PERÍMETROAPOTEMA Por tanto: Asector circular 2 r 2 se mide en radianes P 1 P 2 P 3 P 5 P 4 P 6 O Acírculo 2 2̟rr Acírculo ̟r 2 2̟ radianes radianes A sector circular ̟r 2 A B O Asector circular 360º ̟r 2

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Capítulo 7 Geometría Plana 661 pág. El área del segmento circular se obtiene como la diferencia entre las áreas del sector circular y del triángulo correspondiente. De la figura anterior podemos deducir que: Asegmento circular Asector circular AOB – A triángulo AOB El área del triángulo AOB se puede calcular como 1 2 r 2 sen con expresado en radianes. Así: Área del segmento circular El área de la corona circular se obtiene como la diferencia entre las áreas de los círculos concéntricos. Acorona circular Acírculo de radio R Acírculo de radio r Área de la corona circular Ejemplo 7.45 Perímetro de figuras circulares. R r O Asegmento circular 1 2 r 2 ฀฀ 1 2 r 2 sen Asegmento circular 1 2 r 2 ฀ sen Acorona circular ̟R 2 ̟r 2 Acorona circular ̟R 2 r 2 Si O es el centro del semicírculo de radio de longitud R 2cm determine el perímetro de la región sombreada. A O B R 2 R

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662 pág. Ejemplo 7.46 Área relacionada con figuras circulares. Determine el área de la región sombreada si el cuadrado circunscrito tiene lado de longitud 4u. Solución: Cuadrado región sombreada círculo Acuadrado Aregión sombreada Acírculo Aregión sombreada Acuadrado Acírculo Aregión sombreada 4 2 ฀ ̟2 2 16 ฀ 4̟ 44 ฀ ̟ u 2 Solución: La semicircunferencia AO tiene longitud de radio r 1 cm. El perímetro sería la longitud de la semicircunferencia pequeña AO más la longitud del segmento de recta OB más la longitud de la semicircunferencia grande AB. P AO OB ฀ ฀ AB 1 2 2̟r ฀ R ฀ 1 2 2̟R P 1 2 2̟1 ฀ 2 ฀ 1 2 2̟2 P ̟ ฀ 2 2̟ P 3̟ ฀ 2 cm O r

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Capítulo 7 Geometría Plana 663 pág. Ejemplo 7.47 Área de figuras circulares. Calcule el área de la superficie de un círculo en el que se ha inscrito un cuadrado de 50 metros cuadrados de área. Solución: Tenemos: 50 L 2 ฀ L 50 5 2 Pero L r 2 y r 5m por tanto Acírculo ̟r 2 25 ̟m 2 . Ejemplo 7.48 Área de una superficie sombreada. El triángulo ABC es equilátero AB BC ฀ AC a y P M N son los puntos medios de los lados. Determine el área de la región sombreada. L r P M B A C N ̟ 3 h a 2

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664 pág. Solución: El área A s de la superficie sombreada puede ser calculada mediante la diferencia entre el área de la superficie del triángulo equilátero y la de los tres sectores circulares de longitud de radio a 2 y medida de ángulo ̟ 3 . Así: Ejemplo 7.49 Área de figuras circulares. Determine el porcentaje del área de la superficie sombreada respecto del área total del círculo. A s ฀฀A ฀ ฀ ฀ A sc A ฀฀฀ ฀ 4 a 2 3 A sc ฀฀ ฀ 2 r 2 A sc ฀฀ ฀ ̟ 3 a 2 2 2 A sc ฀฀ ฀ 24 a 2 ̟ A s ฀฀ ฀ 4 a 2 3 ฀฀ 3฀ 24 a 2 ̟ A s ฀฀ ฀ 4 a 2 3 ฀฀ 8 a 2 ̟ A s ฀฀ ฀ 8 a 2 ฀2 3 ฀ ̟ u 2 ̟ 4 Solución: Si la medida del ángulo es ̟ 4 o 45º la superficie sombreada corresponde al área de un sector circular con un ángulo de 7̟ 4 ó 315º.

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Capítulo 7 Geometría Plana 665 pág. Por lo tanto el porcentaje del área de la superficie sombreada respecto del total sería: Ejemplo 7.50 Área de figuras en el plano. Si la figura adjunta corresponde a un semicírculo de longitud de radio r 2a determine el área de la superficie sombreada considerando que el triángulo ABC es rectángulo isósceles. 315º 360º x 100 7 8 x 100 87.5 Solución: A B C r Por el teorema de Pitágoras: x 2 x 2 r 2 2x 2 r 2 x 2 r 2 2 x 2 2a 2 x 2a x r x

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666 pág. Ejemplo 7.51 Semejanza de áreas. En la figura adjunta el área de la superficie del triángulo SDC es 15 m 2 y se conoce que BS ฀ 2 DS . Encuentre el área de la superficie del triángulo ABS en m 2 . A A SEMICÍRCULO A TRIÁNGULO A 1 2 ̟r 2 xx 2 A 1 2 ̟2a 2 ฀ 1 2 2a 2a A 2̟a 2 ฀ a 2 A 2̟ ฀ 1a 2 u 2 Solución: Los ángulos BSA y CSD son opuestos por el vértice y además: m BAS m SCD ABS y DSC son triángulos semejantes. A ABS A CDS BS DS 2 A ABS 2 DS DS 2 A CDS A ABS 4 A CDS A ABS 415 A ABS 60 m 2 B D C A S

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Capítulo 7 Geometría Plana 667 pág. Ejemplo 7.52 Área de figuras circulares. Si en la figura adjunta el arco BC tiene centro en el punto A determine el área de la superficie sombreada. C B A r O r r r r O B C A Solución: Sea G el área del sector circular AOC. Sea H el área del segmento circular OAC. Sea I el área del triángulo equilátero OAC. El área de la superficie sombreada en la segunda figura es G + H. Pero H G I. Se cumple que: G ฀ H 2G I. El área de la superficie sombreada original es 2 2G I 4G 2I. El sector circular AOC tiene un ángulo central cuya medida es 60º por lo tanto G ̟r 2 6 . Además el área de la superficie del triángulo equilátero OAC es I 3r 2 4 . Por lo tanto el área de la superficie pedida es: 4G 2I 2̟r 2 3 ฀ 3r 2 2

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668 pág. Ejemplo 7.53 Área de figuras circulares. Si el área de la superficie del cuadrado ABCD es 16u 2 y se divide en 16 cuadrados iguales calcule el área de la superficie sombreada. A B D C Solución: Si ABCD es un cuadrado de 16u 2 cada cuadrado tiene un área de 1u 2 esto es longitud de lado igual a 1 unidad. Sean A: Área de la superficie sombreada. V: Área del semicírculo de longitud r 1. W: Área de la superficie del cuadrado Área del cuarto de círculo. V 1 2 ̟r 2 1 2 ̟1 2 ̟ 2 u 2 W r 2 1 4 ̟r 2 1 2 1 4 ̟ 1 2 1 ̟ 4 u 2 A 4V 4W A 4 ̟ 2 ฀ 1 ̟ 4 A 4 ̟ 4 ฀ 1 A ̟ 4u 2 r 1 r 1

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Capítulo 7 Geometría Plana 669 pág. Ejemplo 7.54 Área de figuras circulares. En la figura adjunta el radio de la circunferencia mide 1u y la medida del ángulo BAC es ̟ 12 radianes. Encuentre el área de la superficie sombreada. El área de la región sombreada es ̟ 12 ฀ 3 8 ฀ u 2 . A C B D O ̟ 12 1 Solución: A A OCB A OCD A 1 2 r 2 ฀ ฀ 2 bh Sea m BOC por el teorema del ángulo central se cumple que: 2m BAC ฀ ฀ ̟ 6 rad. El triángulo OCD es rectángulo y podemos aplicar funciones trigonométricas: h b C D O ̟ 6 1 sen ̟ 6 ฀ h 1 h ฀ 1 2 cos ̟ 6 ฀ b 1 b฀ 3 2 A 1 2 1 2 ̟ 6 ฀ 1 2 2 3 2 A ̟ 12 ฀ 3 8

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670 pág. Ejemplo 7.55 Área de figuras circulares. Aplicando el teorema de Pitágoras: x 2 x 2 r 2 2x 2 r 2 x 2 r 2 2 x 2 r O A B x x r C B A D O r x x r Determine el área de la superficie sombreada en la figura en términos de r. Solución: Sea U el área de la región mostrada: Construimos un triángulo rectángulo isósceles:

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Capítulo 7 Geometría Plana 671 pág. Ejemplo 7.56 Área de figuras circulares. U 2 bh ฀ 1 4 ฀̟r 2 U 2x2x 2 ฀ 1 4 ฀̟r 2 U 2x 2 ฀ 1 4 ฀̟r 2 U r 2 ฀ 1 4 ฀̟r 2 U representa el área de la superficie del triángulo BCD menos el área de un cuarto de círculo. El área de la superficie sombreada es igual a 4U: A T 4U A T 4 4r 2 ̟r 2 4 A T r 2 4 ̟u 2 En la figura adjunta L 3 L 1 y L 3 L 2 . La circunferencia pequeña es tangente a la circunferencia grande y a las rectas L 3 y L 2 . Se pide calcular el área U de la superficie sombreada. L 3 L 2 L 1 a

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672 pág. L 1 L 2 L 3 V a W L 1 L 2 L 3 a 2 L 1 L 2 L 3 Z a 2 Solución: Sea V el área del cuarto del círculo de longitud de radio r a. V 1 4 ̟a 2 ̟a 2 4 Sea W el valor de la superficie del cuadrado de longitud de lado L a 2 menos el área del cuarto de círculo de longitud de radio r a 2 . W a 2 2 ฀฀ 1 4 ฀ ̟ a 2 2 W a 4 ฀ ̟a 16 Sea Z el área del semicírculo de longitud de radio r a 2 . Z ฀ 1 2 ̟ a 2 2 ̟a 2 8 El área de la superficie sombreada se puede calcular así: U V ฀ W ฀ Z. Es decir: U ̟a 2 4 ฀ a 4 ฀฀ ̟a 2 16 ฀ ̟a 2 8 ฀฀ 3̟a 2 16 ฀ a 4 ฀฀ a 4 3̟ 4 ฀ 1 u 2 .

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673 pág. 7.5 Triángulos 1. Construya de ser posible los siguientes triángulos ABC. En caso de que existan determine sus cuatro puntos característicos empleando regla y compás. a a 10cm b 5cm c 7cm b a 6cm b 2cm c 9cm c a 6cm m B 40º m C 75º d c 8cm m A 120º m C 60º e a 12cm b 4cm m C 80º f b 12cm c 4cm m A 180º 7.6 Semejanza y congruencia 2. Respecto a la figura mostrada: 3. Considere el triángulo ABC mostrado en la figura. 7.7 Resolución de triángulos 4. Resolver un triángulo rectángulo e isósceles en el que la hipotenusa tiene 9 pies de longitud. 5. Hallar la longitud de la sombra de un árbol de 10m de altura cuando los rayos del sol forman con la horizontal un ángulo de 30º. 6. Determine la medida del ángulo que una escalera de 8m de longitud forma con el suelo si está apoyada en una pared a una altura de 6m del suelo. 7. Resolver un triángulo isósceles en el cual la base mide 18cm y la altura 12cm. 8. Resuelva un triángulo isósceles cuya base mide 6cm de longitud y su ángulo opuesto es de 80º. CAPÍTULO SIETE 7 Ejercicios propuestos AB 10u BC 8u AD 4u DE es paralelo a BC. Determine DE. Si DE es paralelo a BC y las longitudes de los segmentos BC AB y DB son 15 40 y 16 pies respectivamente entonces la longitud del segmento DE expresado en pies es: a9 b6 c5 d10 e 7 A D E B C A E D B C

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674 pág. 11. Calcule la longitud AB de un canal sabiendo que AC 2m DC 40cm y DE 60cm. 13. Si en el gráfico adjunto se conoce que AC 30u y BD AC encuentre la longitud del segmento BD. 9. Una torre que sirve de soporte para una antena de radio está sujeta al suelo mediante dos cables que forman con dicha torre ángulos cuyas medidas son 36º y 48º respectivamente. Si los puntos de sujeción de los cables al suelo y el pie de la torre se encuentran alineados y a una distancia total de 98m calcule la altura de la torre. 12. Si M es un punto ubicado a un tercio del lado BC respecto a C del cuadrado ABCD mostrado en la figura entonces el valor de tan es: 10. Si se tiene el triángulo de la figura adjunta entonces la longitud del segmento BD es: a 3 b 2 2 c 2 d 3/2 a 6.5m b 5.4m c 2.4m d 2m e 3m A C B D 4 2 A B C D E a 1/3 b 1/3 c 1/2 d 1/5 e 1/5 A B M D C 3 3 30º 75º A D C B

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675 pág. 15. La siguiente figura muestra un triángulo ABC donde: BC 5cm m B 60º y m C 40º. 17. Si en el triángulo isósceles ABC de la figura la longitud de la mediana dibujada mide 10cm entonces la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo es: 16. Para el diagrama adjunto demuestre que: 14. En la figura aparecen dos triángulos adyacentes ABC y ACD en los cuales AD 30m CD 80m BC 50m m D 60º y m BAC 30º. a Usando el triángulo ACD calcule la longitud AC. b Calcule la medida del ángulo ABC. Nota: Figura no dibujada a escala C B D A 30º 60º 50m 80m 30m a Demuestre que AB 5 2 cos40º . b Halle la longitud AD. 60º 40º A D C B h d h d sen sen sen ฀฀ a 4 5 cm b 4 10 cm c 4 2 cm d 8 2 cm e 2 5 cm 10 C A B

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676 pág. 18. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide cm y uno de sus catetos cm. Encuentre la longitud de la altura trazada desde el ángulo recto a la hipotenusa. 19. El triángulo ABC es recto en C si AD DB 8. ¿Cuál es el valor de CD 20. En el triángulo descrito halle la longitud del segmento BC. 7.9 Perímetro y área de un polígono 25. Encuentre el área de la superficie de un triángulo equilátero con lado 5cm. 26. Encuentre las dimensiones de un paralelogramo que tiene un área de 90 3 cm 2 sus lados forman un ángulo que mide 60º y están a razón de 3 a 1. Construya dicho paralelogramo. 27. Calcule las dimensiones de un rectángulo de 100m 2 de área si están a razón de 1 a 4. Construya dicho rectángulo. 28. La diagonal de un rectángulo tiene 10u de longitud y uno de sus lados mide 6u. Entonces el área de la superficie del rectángulo expresada en u 2 es: a 8 b 60 c 6 d 48 e 16 21. Un rectángulo tiene dimensiones de 100 x 60cm. Determinar la medida de los ángulos que una de sus diagonales forma con los lados. 22. Calcular la longitud del lado de un rombo cuyas diagonales miden 6 y 8cm. Construya el rombo. 23. Un trapecio isósceles tiene bases que miden 12 y 20pulg. Determinar la medida del ángulo en su base mayor para que el lado no paralelo mida 6pulg. 24. Calcular la longitud de la base menor de un trapecio rectángulo cuya base mayor mide 4m y sus lados no paralelos miden 2 y 4m. Construya el trapecio. 12 20 A C D B 60º 45º 40 A B C

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677 pág. 30. En la figura adjunta se muestra un cuadrado cuyo lado mide 10u y el triángulo inscrito es isósceles. El área de la región sombreada expresada en u 2 es: a 25 b 50 c 100 d 20 e 10 32. En la figura mostrada el rectángulo está inscrito en un triángulo isósceles y su altura es la mitad de su base exprese el valor de x en términos de b y h. b h x 31. En la figura adjunta considere lo siguiente: 33. En la figura adjunta encuentre la longitud de QR si: 29. Determine el área de la superficie del triángulo ABC mostrado en la figura adjunta si la longitud del segmento AC es 4u y la del segmento BC es 2u. B A C 60º ABCD es cuadrado. AEB es triángulo equilátero. AD 1u Determine el área de la región sombreada y la longitud del segmento AG. E B A G D C RS es altura de PQ. PT es altura de RQ. PQ 8 RS 9 PT 6 R T Q S P

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678 pág. 39. Calcular la longitud de la cuerda que corresponde a un ángulo central de medida igual a 60º en una circunferencia de 4cm de radio. 36. Si se tienen dos triángulos equiláteros con una razón de semejanza igual a 2 y la superfi cie del triángulo de mayor área mide 8u 2 entonces el otro triángulo tiene una superfi cie que mide 4u 2 . a Verdadero b Falso 37. Un rombo tiene diagonales que miden 6 y 8cm respectivamente. Entonces el área de su superfi cie es 25cm 2 . a Verdadero b Falso 7.12 Figuras circulares 42. Se tienen dos poleas con diámetros de 2 y 4cm de longitud respectivamente tal como lo muestra la fi gura adjunta. Los centros de las poleas se encuentran a 5cm de distancia. Una correa plana une exteriormente las dos poleas pasando por los puntos A y B. Determine la longitud del segmento AB expresado en cm. 38. Si la superfi cie de un cuadrado mide el doble que la de un triángulo equilátero las longitudes de sus lados están en razón de 1 a 4 respectivamente. a Verdadero b Falso 40. Determine la medida del ángulo central que defi ne una cuerda de 8cm trazada en una circunferencia de 12cm de radio. 41. Un ángulo central sostiene un arco de longitud 8cm trazado en una circunferencia de 12cm de radio. Entonces la medida de es /3. a Verdadero b Falso 34. Todos los triángulos mostrados en la fi gura son equiláteros. ¿Qué parte de la superfi cie sombreada corresponde a la del triángulo ABC A C B 35. Encuentre el área de la región sombreada si se conoce que: BDEF es cuadrado. AB 5 BC 2 A B D C F E A B

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679 pág. 43. Determine la longitud total de una correa plana que une exteriormente dos poleas de radios 12 y 24cm respectivamente y cuyos centros se encuentran a 54cm de distancia. 46. Encuentre el área de la región sombreada si se conoce que ABCD es un cuadrado de lado con 4cm de longitud. 49. Si la longitud del arco AB es igual a 2πcm y la longitud del radio de la circunferencia es 3cm entonces el ángulo inscrito AOB mide 2π/3. a Verdadero b Falso 48. El triángulo ACE es semejante al triángulo BDE. a Verdadero b Falso 44. En la figura adjunta se tiene una circunferencia con cuerdas AC y CB un diámetro CB de longitud 10cm. Si el ángulo B mide π/3 calcule el área de la superficie del triángulo ABC. 45. En la figura adjunta AB 5 3. Calcule el área de la región sombreada. 47. En la figura adjunta se tiene una circunferencia con cuerdas AC BC AD y BD. Si la longitud de la cuerda AC es igual a 2cm la longitud del segmento CE es 1cm y de ED es 2cm determine la longitud de la cuerda BD. C B A O A B 10cm A B D C A B D C E Para las siguientes dos preguntas considere la circunferencia mostrada en la gráfica adjunta. A B D C E

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680 pág. 50. Se inscribe un cuadrado en un círculo cuyo radio mide 2cm tal como lo muestra la figura. El perímetro de la región sombreada es: a π ฀ 2 cm b π ฀ 2 2 cm c π ฀ 2 cm d 2π ฀ 2 cm e 2π 2 cm 51. Tal como se muestra en la figura adjunta se colocan dos circunferencias concéntricas con radios de 1m y 2m de longitud respectivamente. La medida del ángulo es π/3. El área de la región sombreada es: a π m 2 2 b 5π m 2 3 c 5π m 2 6 d 5π m 2 2 e π m 2 6 52. En la siguiente figura se muestra un cuadrado ABCD cuyo lado tiene 12cm de longitud. Si de cada vértice del cuadrado se ha trazado un arco de circunferencia el área de la región sombreada expresada en cm 2 es: 53. Un sector circular tiene un ángulo central de medida π/6 radianes. El área de este sector mide 4 /3 cm 2 . Determine el perímetro de este sector. Para los siguientes dos problemas considere una circunferencia de 8cm de radio. Determine: 54. El área de la superficie de un triángulo equilátero inscrito en la circunferencia. 56. Determine la longitud de la apotema el perímetro el área la longitud del radio de la circunferencia inscrita y circunscrita de los siguientes polígonos regulares. Constrúyalos en papel empleando lápiz regla y compás. a. Pentágono con lado de 7cm. b. Hexágono con lado de 5cm. c. Octágono con lado de 6cm. d. Nonágono con lado de 4cm. 55. La longitud que debe tener el lado de un hexágono para que su área sea dos veces el área del triángulo del ejercicio anterior. a 1 ฀ 2π b 364 π c 364 ฀ π d 144π e 36π ฀ 12 A B D C

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681 pág. Capítulo 8 Geometría del Espacio Introducción Esta rama de la geometría también denominada Estereometría se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Estas figuras se denominan sólidos y entre ellas se encuentran el cono el cubo el cilindro la pirámide la esfera y el prisma. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana y es la base fundamental de la trigonometría esférica la geometría analítica del espacio y la geometría descriptiva entre otras. El estudio de la geometría tridimensional data de la antigua Grecia cuando se planteó el famoso problema de la duplicación del cubo. Cuenta la leyenda que la peste asolaba la ciudad de Atenas hasta el punto de llevar a la muerte a Pericles. Un embajador de la ciudad fue al oráculo de Delfos para consultar qué se debía hacer para erradicar la mortal enfermedad. Tras consultar al oráculo la respuesta fue que se debía duplicar el altar consagrado a Apolo en la isla de Delfos. El altar tenía una peculiaridad: su forma cúbica. Los atenienses construyeron un altar cúbico en el que las medidas de los lados eran el doble de las medidas del altar de Delfos pero la peste no cesó. Consultado de nuevo el oráculo advirtió a los atenienses que el altar no era el doble de grande sino 8 veces mayor puesto que el volumen del cubo es el cubo de su arista 2a 3 8a 3 . Nadie supo cómo construir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de otro cubo dado y el problema matemático persistió durante siglos no así la enfermedad. Gauss fue el primero que creyó construir una geometría un modelo del espacio en la que no se cumple el V postulado de Euclides pero no publicó su descubrimiento. Son Bolyai y Lobachevsky quienes de manera independiente y simultánea publicaron cada uno una geometría distinta en la que no se verifica tampoco János Bolyai matemático húngaro 1802-1860

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682 pág. el V postulado. ¿Qué quiere decir esto Tanto Bolyai como Lobachevsky parten de un objeto geométrico y establecen sobre él unos postulados que son idénticos a los de Euclides en “Los Elementos” excepto el quinto. Pretenden originalmente razonar por reducción al absurdo: si el V postulado depende de los otros cuatro cuando lo sustituya por aquél que dice exactamente lo contrario se ha de llegar a alguna contradicción lógica. Nikolai Lobachevsky matemático ruso 1792-1856 1. El V postulado es independiente de los otros cuatro es decir no puede deducirse de los otros cuatro no es un teorema y Euclides hizo bien en considerarlo como un postulado. 2. Existen modelos del espacio en los que en contra de toda intuición un punto que no esté contenido en una cierta recta no necesariamente forma parte de una única recta paralela a la dada. Esto no es intuitivo pues no podemos concebir tal cosa no podemos imaginar ni mucho menos dibujar una situación así sin reinterpretar los conceptos de recta plano etc. Pero desde el punto de vista lógico es perfectamente válido. Como es de imaginar esto supuso una fuerte crisis en las matemáticas del siglo XIX que vino a sumarse a otras controversias. Lo sorprendente es que no se llega a contradicción alguna lo cual indica dos cosas: En esta sección se identifican los elementos que participan en la geometría espacial los cuales son fundamentales para la creación de objetos en tres dimensiones. En el espacio existen figuras conjuntos de puntos que no están contenidas en plano alguno a continuación se muestran algunos de ellos y sus relaciones. b Planos paralelos. a Recta intersecando un plano. 8.1 Figuras en el espacio P П L П 1 П 2

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Capítulo 8 Geometría del Espacio 683 pág. c Dos rectas concurrentes paralelas a un mismo plano. d Recta perpendicular a un plano. 8.2 Rectas y planos en el espacio Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dadas dos rectas en el espacio explicar si son secantes alabeadas o paralelas justificando adecuadamente su respuesta. Dados un plano y una recta en el espacio explicar si la recta es perpendicular secante o paralela al plano. Interpretar el concepto de semiespacio ángulo diedro ángulo poliedro arista cara y vértice. En el espacio puede ocurrir que dos rectas no sean paralelas o no tengan algún punto de intersección lo cual no ocurre en el plano. Definición 8.1 Rectas alabeadas Dos rectas L 1 y L 2 son alabeadas cuando no son paralelas ni se intersecan. Figura 8.1: Figuras en el espacio. П L 1 L 2 L П P L 1 L 2

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684 pág. Con respecto a un plano П una recta L puede ocupar una de las tres posiciones siguientes: a L ฀ П b L ฀ П P c L ฀ П L a L es paralela al plano П y no está contenida en él b L interseca a П en un punto P y c L es paralela a П y es un subconjunto de П. De los casos a y c se entiende el paralelismo entre el plano П y la recta L así: Definición 8.2 Planos paralelos Un plano es paralelo a otro cuando no se intersecan o son coincidentes. La notación para el paralelismo es: П 1 П 2 . Un plano siempre divide al espacio en dos semiespacios. Dos planos no paralelos se denominan planos secantes. Figura 8.2: Recta L y plano П. Figura 8.3: Planos secantes. L П L П P П L ฀ П L ฀ П ฀฀ L ฀ П П 1 ฀ П 2 П 1 ฀ П 2 ฀฀ П 1 ฀П 2 П 1 П 2 П 1 П 2 L

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Capítulo 8 Geometría del Espacio 685 pág. Definición 8.3 Ángulo diedro Es la unión de dos semiplanos que se intersecan en su borde. Al ángulo diedro se lo suele denominar simplemente diedro a los semiplanos se los denomina caras del diedro y al borde común se lo denomina arista del diedro. Dos planos secantes determinan un ángulo diedro. Un ejemplo de este ángulo lo encontramos en la figura que se forma al abrir una tarjeta de cumpleaños. En el diedro ABCDEF los semiplanos ABCD y CDEF son las caras del diedro y la recta CD es la arista del diedro. Se denomina ángulo rectilíneo al ángulo formado por dos rectas perpendiculares DA y DE a la arista DC cada una situada en caras diferentes del diedro. La medida del ángulo diedro es la medida de su ángulo rectilíneo . Definición 8.4 Ángulo poliedro Es la unión de semirrectas que se intersecan en su extremo V y que tienen un punto común con la poligonal d contenida en un plano que no contiene a V . A las semirrectas que se intersecan con uno de los vértices de la poligonal se las denomina aristas del ángulo poliedro y el punto V se denomina vértice del ángulo poliedro. Por ejemplo el ángulo triedro intersección de tres semiplanos es un ángulo poliedro formado por el vértice V tres aristas VA VB VC y tres caras VAB VBC VCA. Figura 8.4: Ángulo diedro. arista cara cara A D C B F E

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686 pág. Definición 8.5 Poliedro Se define como poliedro al cuerpo que está limitado por superficies planas denominadas caras y de contorno poligonal denominadas aristas de las caras. Los vértices del poliedro son los vértices de las caras. La intersección del ángulo triedro con el plano П determina el triángulo A’B’C’. 8.3 Cuerpos geométricos En esta sección se clasificarán diferentes cuerpos que se pueden presentar en el espacio tridimensional atendiendo a los elementos estudiados anteriormente. Ejemplo 8.1 Ángulo poliedro. La figura que forman en un rincón de una habitación las dos paredes y el techo que inciden en ese punto es un claro ejemplo de un ángulo triedro. Las pirámides utilizadas por civilizaciones como las egipcias emplearon el concepto de ángulo tetraedro. La plomada que es un peso que se emplea en construcción tiene en su punta un ángulo hexaedro. Figura 8.5: Ángulo poliedro. V П A’ A C C’ B B’

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Capítulo 8 Geometría del Espacio 687 pág. Un poliedro convexo es aquel que está limitado por polígonos convexos. Entre sus propiedades más importantes figuran: ▪ Cada arista de una cara pertenece también a otra cara y únicamente a otra. Dichas caras se denominan contiguas. ▪ Dos caras contiguas están en planos distintos. ▪ El plano que contiene a cada cara deja a todas las demás a un mismo lado del espacio es decir en un mismo semiespacio. ▪ El número de aristas es igual al número de caras más el número de vértices disminuido en 2. Ejemplo 8.2 Poliedros. Algunos minerales y esqueletos de criaturas marinas son modelos de los sólidos denominados poliedros que se estudiarán en esta sección. En el poliedro anterior se tienen los vértices A B C D E A’ B’ C’ D’ E’ las aristas AB BC CD DE EA A’B’ B’C’ C’D’ D’E’ E’A’ AA’ BB’ CC’ DD’ EE’ y las caras AEE’A’ BAA’B’ CBB’C’ DCC’D’ EDD’E’. En cada vértice deben concurrir al menos tres aristas. Figura 8.6: Poliedro. D’ C’ E’ A’ B’ D C E B A

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688 pág. Definición 8.6 Poliedro regular La diagonal del poliedro es un segmento de recta que une dos vértices situados en caras diferentes. Por ejemplo AD’ es una diagonal en la figura anterior. Según el número de sus caras los poliedros se denominan así: Un poliedro de n caras se dice que es regular si y sólo si todas sus caras son polígonos regulares congruentes y sus ángulos poliedros también son congruentes. Número de Caras Nombre 4 Tetraedro 5 Pentaedro 6 Hexaedro 7 Heptaedro 8 Octaedro 10 Decaedro 12 Dodecaedro 20 Icosaedro Los poliedros regulares también denominados sólidos platónicos en honor a Platón son sólo cinco: 1. Tetraedro regular: Está limitado por 4 caras que son triángulos equiláteros. Tiene 4 vértices 4 ángulos triedros 6 aristas y 6 ángulos diedros. 2. Hexaedro regular o cubo: Está limitado por 6 caras que son cuadrados. Tiene 8 vértices 8 ángulos triedros 12 aristas 12 ángulos diedros y 4 diagonales congruentes y concurrentes. Cuadro 8.1: Nombres de poliedros según su número de caras.

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Capítulo 8 Geometría del Espacio 689 pág. 3. Octaedro regular: Está limitado por 8 caras que son triángulos equiláteros. Tiene 6 vértices 6 ángulos tetraedros 12 aristas y 12 ángulos diedros. Está formado por dos pirámides unidas por su base común. 4. Dodecaedro regular: Está limitado por 12 caras que son pentágonos regulares. Tiene 20 vértices 20 ángulos triedros 30 aristas y 30 ángulos diedros. 5. Icosaedro regular: Está limitado por 20 caras que son triángulos equiláteros. Tiene 12 vértices 12 ángulos pentaedros 30 aristas y 30 ángulos diedros. Otro tipo de poliedros importantes son los prismas y las pirámides los mismos que serán estudiados a continuación. 8.4 Prismas Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dado un prisma reconocer los elementos que lo conforman. Dado un prisma identificar si es oblicuo recto o regular. Dado un paralelepípedo analizar sus principales características.

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690 pág. A una recta que es paralela a una de las aristas de una cara lateral se la denomina recta generatriz. En un prisma las caras laterales son paralelogramos y son paralelas a la recta generatriz g. En la figura anterior las bases del prisma son los pentágonos P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 y Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5 las caras laterales del prisma son Q 4 Q 3 P 3 P 4 Q 3 Q 2 P 2 P 3 Q 2 Q 1 P 1 P 2 Q 1 Q 5 P 5 P 1 Q 5 Q 4 P 4 P 5 y g es una recta generatriz paralela a las aristas P 1 Q 1 P 2 Q 2 P 3 Q 3 P 4 Q 4 P 5 Q 5 . La distancia mínima entre los planos que contienen a las bases del prisma se denomina altura del prisma es decir es la longitud del segmento de recta perpendicular entre las dos bases. Si las aristas laterales son perpendiculares al plano que contiene una base el prisma se denomina prisma recto. En el prisma recto la altura h es congruente con la longitud de las aristas laterales. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos. Si las bases son polígonos regulares se denomina prisma recto regular y en este caso las caras laterales son rectángulos congruentes entre sí. Por ejemplo: Definición 8.7 Prisma Un prisma es un poliedro en el cual existen dos caras congruentes paralelas denominadas bases en donde las otras caras denominadas caras laterales conectan los lados congruentes de las caras paralelas. Figura 8.8: Prisma recto regular. Figura 8.7: Prisma pentagonal. g P 5 P 4 P 1 P 2 P 3 Q 5 Q 1 Q 4 Q 2 Q 3 П 1 П 2 h

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Capítulo 8 Geometría del Espacio 691 pág. Definición 8.8 Paralelepípedo El prisma también puede ser oblicuo si las aristas laterales no son perpendiculares a las bases. Por ejemplo: Un paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos. A un paralelepípedo recto rectangular se le denomina ortoedro. Ejemplo 8.3 Aplicación del teorema de Pitágoras en el espacio. Demuestre que en un paralelepípedo recto rectangular el cuadrado de la longitud de una diagonal es igual a la suma de los cuadrados de las tres dimensiones. Figura 8.9: Prisma oblicuo triangular. Figura 8.10: Ortoedros. C B A B’ A’ C’ h П 1 П 2

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692 pág. Ejemplo 8.4 La longitud de la diagonal de un cubo. Hipótesis: a b y c son las dimensiones del paralelepípedo recto rectangular. Se busca la longitud de la diagonal d. Tesis: d 2 a 2 ฀฀ b 2 ฀ c 2 Solución: En la figura d es la hipotenusa del triángulo rectángulo BHE: d 2 p 2 ฀฀ c 2 I En el triángulo rectángulo ABE p es la hipotenusa entonces: p 2 a 2 ฀฀ b 2 II Luego reemplazando II en I se tiene: d 2 a 2 ฀฀ b 2 ฀ c 2 Calcule la longitud de la diagonal de un cubo. Solución: En el cubo o hexaedro regular las tres dimensiones son iguales: a b c ฀฀ d 2 a 2 ฀฀ a 2 ฀ a 2 ฀฀ d 2 3a 2 ฀฀ d a 3 d a H G F D A B C d p E b c a

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Capítulo 8 Geometría del Espacio 693 pág. 8.5 Pirámides Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: Dada una pirámide reconocer los elementos que la conforman. Dada una pirámide identificar si es oblicua recta o regular. Definición 8.9 Pirámide Una pirámide es un poliedro en el cual existe una cara denominada base y un punto que no pertenece al mismo plano de la base denominado vértice tal que las otras caras denominadas caras laterales son triángulos que van desde los lados de la base al vértice. En el poliedro anterior se tienen en la base los vértices P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 y las aristas P 4 P 3 P 3 P 2 P 2 P 1 P 1 P 5 P 5 P 4 . Las aristas laterales de una pirámide son los segmentos VP 1 VP 2 … VP n . Una pirámide tiene sólo una base. La distancia mínima entre el plano que contiene a la base de la pirámide y el vértice se denomina altura de la pirámide. Una pirámide recta es aquella en la que el pie de su altura en la base equidis