Ecuaciones Lineales y Cuadráticas

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Presentación con definiciones teóricas y algunos ejercicios sobre este tema

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Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. : 

Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. 2x – 3 = 9 – x (1) y2 – 5y = 6 – 4y (2) 2x + y = 7 (3) y2 + 2y + x2 – 6x + 10 = 0 (5) ECUACIONES E INECUACIONES a/ (1 – r) = s (4)

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Proposiciones Las ecuaciones que sólo contienen constantes y no tienen variables pueden ser proposiciones verdaderas o falsas. Ejemplos: 3 + 2 = 5 es una afirmación verdadera Un valor de la variable que al ser sustituido en la ecuación, hace que la misma sea una proposición verdadera se denomina solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable satisface ecuación. Solución de una ecuación 3 + 2 = 6 es una proposición falsa.

Veamos que 5 no es una solución de esta misma ecuación : 

Veamos que 5 no es una solución de esta misma ecuación (5)2 – 5(5) = 6 – 4(5) 25 – 25 = 6 – 20 0 = – 14 (es una proposición falsa). Ejemplo: 4 es una solución de la ecuación (1) dada al comienzo; – 2 y 3 son soluciones de la ecuación (2). Verifiquemos …… (– 2)2 – 5(– 2) = 6 – 4(– 2) 4 + 10 = 6 + 8 14 = 14 (es una proposición verdadera).

En algunas ecuaciones con dos variables, las soluciones son pares ordenados. : 

En algunas ecuaciones con dos variables, las soluciones son pares ordenados. 2 . 2 + 3 = 7 (es una proposición verdadera) Otra solución es el par (1,5). Ejemplouna de las soluciones de la ecuación 2x + y = 7 es el par ordenado (2,3). Verifiquemos…… Más adelante veremos que esta ecuación tiene infinitas soluciones.

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La solución de una ecuación con tres incógnitas como: a/ (1 – r) = s es una terna ordenada (a, r, s). . Por ejemplo la terna (4,1/2 ,8) es una de las posibles soluciones de esa ecuación

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Ecuaciones equivalentes Al proceso de encontrar las soluciones de una ecuación se le denomina resolver la ecuación. Si dos o más ecuaciones tienen las mismas soluciones, se llaman ecuaciones equivalentes.

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Ejemplo Consideremos la ecuación: x – 3 = 2 (1) Sumamos 3 en ambos miembros, y obtenemos la ecuación x – 3 + 3 = 2 + 3 (2) que es equivalente (es decir tiene las mismas soluciones) a la ecuación dada. La ecuación (2) se puede escribir como x = 2 + 3 es decir: x = 5 que es la única solución de la ecuación (1).

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Ejemplo Consideremos la ecuación: –5x = 15 multipliquemos ambos miembros de la ecuación por -1/5 (distinto de cero) y obtenemos la ecuación equivalente: (– 1/5).(– 5x) = 15 (– 1/5) y luego de “operar correctamente” se obtiene: x = 3 que es la solución de la ecuación dada.

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A veces tenemos que emplear estas operaciones varias veces. Resolvamos la ecuación 5x – 3 = 2x + 9 (restemos 2x en ambos miembros y simplifiquemos) 5x – 3 – 2x = 2x + 9 – 2x 3 x – 3 = 9 ahora sumemos 3 a ambos miembros y de nuevo simplifiquemos 3x – 3 + 3 = 9 + 3 3x = 12 por último multiplicamos ambos miembros de la ecuación por 1/3 (el cual no es cero) la ecuación anterior es equivalente a x = 4 que es la solución de la ecuación dada.

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ECUACIONES CON UNA VARIABLE Ecuación lineal Las ecuaciones lineales son de la forma: ax + b = 0 (a distinto de 0 ) Se resuelven teniendo en cuenta las propiedades estudiadas en el capítulo 1

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Ecuación cuadrática Una ecuación del tipo : ax2 + bx + c = 0 Donde a, b, c son constantes reales, se denomina ecuación cuadrática en la variable x. Al término ax2 se lo denomina: término cuadrático, y la constante a recibe el nombre de coeficiente principal, al término bx se lo llama término lineal al último término c se lo llama término independiente.

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Solución De Una Ecuación Cuadrática Para obtener la solución de una ecuación cuadrática, aplicaremos sucesivamente las distintas propiedades vistas al comienzo del curso, las que nos permiten obtener ecuaciones equivalentes a la dada. En el siguiente ejemplo se muestra una alternativa para obtener la solución de la ecuación cuadrática que generalmente se la suele llamar “Completamiento de cuadrados”

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Ejemplo Resolver la ecuación 2 x2 – 4x – 2 = 0 Solución Dividiendo toda la ecuación por 2 obtenemos: x2 – 2 x – 1 = 0 Sumamos el opuesto del término independiente en ambos miembros. (Equivale a decir pasamos el término independiente al lado derecho). x2 –2 x = 1 Sumamos k2 = (-1)2 = 1 a ambos lados de la ecuación. (Sumamos la mitad del término lineal elevado al cuadrado) x2 – 2x + 1 = 1 + 1 x2 – 2x + 1 = 2

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El primer miembro de la ecuación es el cuadrado del binomio ( x + k )2 es decir (x - 1)2 de modo que (x - 1)2 = 2 Extrayendo raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación tenemos: Recordando la definición de valor absoluto de un número real podemos escribir: Es decir Finalmente las dos soluciones son:

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FÓRMULA CUADRÁTICA Aplicando el mismo procedimiento (completar cuadrados), en forma general, a la ecuación ax2 + bx + c = 0 se obtienen las soluciones: Esta última expresión suele conocerse con el nombre de fórmula resolvente o fórmula cuadrática. Dicha expresión se obtiene aplicando las propiedades utilizadas en el procedimiento de completar cuadrados visto anteriormente. o también y

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Ejemplo: Resolver la ecuación ( 2x + 3 ) ( 3x – 1 ) = – 4. Solución Escribimos la ecuación en la forma polinómica: ( 2x + 3 ) ( 3x – 1 ) + 4 = 0. 6 x2 + 7x – 3 + 4 = 0 6 x2 + 7x + 1 = 0 Comparando esta ecuación con la ecuación general: ax2 + bx + c = 0 tenemos que: a = 6 , b = 7 y c = 1 Reemplazando estos valores en la fórmula cuadrática y operando, obtenemos las raíces: 1 y 1/6

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Inecuación lineal Llamaremos desigualdad lineal de una variable a cualquier expresión de la forma: ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b 0 ax + b 0 donde a, y b son constantes reales y INECUACIONES CON UNA VARIABLE O bien O bien O bien

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La solución de una desigualdad en una variable es el conjunto de todos los valores de la variable para los cuales la desigualdad es una proposición verdadera. Para resolver una desigualdad de este tipo, se procede en forma similar que para resolver una ecuación pero teniendo en cuenta las propiedades del orden en los reales vistas en la sección I.

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Inecuación Cuadrática Llamaremos inecuación o desigualdad cuadrática de una variable a cualquier expresión de la forma: O bien ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c 0 ax2 + bx + c 0 donde a, y b son constantes reales y O bien O bien

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La solución de una desigualdad en una variable es el conjunto de todos los valores de la variable para los cuales la desigualdad es una proposición verdadera. Una de las formas de resolver una desigualdad de este tipo consiste en expresar la ecuación cuadrática en su forma factorizada y luego, para determinar el conjunto solución, utilizar la propiedad vista en la sección I conocida como regla de los signos. En los siguientes ejemplos utilizamos esta propiedad para resolver inecuaciones cuadráticas.

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Ejemplo Resolver la inecuación x2 + 2x  3 > 0 En una de las primeras clases se resolvió el siguiente ejercicio: Averiguar, para cada valor del número x el signo de : (x  1).(x + 3) Observemos que resolver x2 + 2x - 3 > 0 es equivalente a resolver la desigualdad (1) (x  1).(x + 3) > 0 ¿Por qué ?

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El conjunto solución de la desigualdad (1) es: Recordemos….. Analizando los signos de cada uno de los factores:

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ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO A las ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto las podremos resolver: usando la definición de valor absoluto de un número real, aplicando alguna de sus propiedades o bien utilizando el concepto de distancia. Ejemplos:Hallar todos los valores de x que verifiquen:

Ejercicio : 

-3 -4 -3/2 4 -2 7 0 Ejercicio 1/2 Representar gráficamente en la recta los conjuntos dados :

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