Función Lineal - Cuadrática - Exp - Logarítmicas

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Funciones lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas

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Desplazamiento de Funciones:

Desplazamiento de Funciones Fabio Prieto - Fac . de Cs.Exactas y Naturales UNLPam

Desplazamiento de Funciones:

Desplazamiento de Funciones Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Otro parámetros que modifican la gráfica de una función:

Otro parámetros que modifican la gráfica de una función Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Funciones:

Funciones Lineales Cuadráticas Exponenciales Logarítmicas Trigonométricas Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Función Lineal:

Función Lineal f(x) = mx + b Pendiente Ordenada al Origen Ecuación explícita de la recta Ángulo de Inclinación Dominio Imagen Creciente Decreciente Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Problema de aplicación:

Problema de aplicación A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfría. Si la temperatura del suelo es 20 º C y la temperatura a una altura de 1 km es 10 º C, a) exprese la temperatura T (en ºC) como función de la altura h (en Km) suponiendo que el fenómeno responde a un modelo lineal . b) Trace la gráfica de la función obtenida c) ¿Qué representa la pendiente? d) ¿Cuál es la temperatura a una ltura de 2,5 Km? Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Ecuación Punto Pendiente:

Ecuación Punto Pendiente y = m(x-x 1 ) + y 1 Queremos obtener la ecuación de una función lineal sabiendo que pasa por un punto conocido Q(x 1 ,y 1 ) y posee pendiente también conocida m Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Queremos obtener la ecuación de una función lineal sabiendo que pasa por dos puntos conocidos R(x 1 ,y 1 ) y Q(x 2 ,y 2 ) Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Ecuación Segmentaria de la recta:

Queremos obtener la ecuación de la recta que corta al eje de las abscisas en el punto (a,0) y al eje de las ordenadas en el punto (0,b) Ecuación Segmentaria de la recta Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Ecuación General de la recta:

Ecuación General de la recta A x + B y + C = 0 Rectas paralelas y perpendiculares Ecuaciones de rectas Verticales / Horizontales Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Función Cuadrática:

Función Cuadrática La función cuadrática tiene la forma: Gráfica de la función Gráfica de la función Ecuación general Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

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Ordenemos nuestras ideas graficando la siguiente función: Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

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Función Cuadrática (Completa) : caso general cuando a,b,c son distintos de cero Características a tener en cuenta para la gráfica Si a > 0 la gráfica tiene las ramas hacia ….. Si a < 0 la gráfica tiene las ramas hacia ….. O también (Si conocemos las raíces de la ecuación asociada) Coordenadas del vértice , supongamos que el vértice tiene coordenadas ( x v , y v ): Intersecciones con el eje x (Raíces de la ecuación asociada) Eje de simetría: x = x v Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Función Cuadrática:

Función Cuadrática Ecuación Canónica de la función cuadrática con vértice V = ( x v , y v ) Ecuación factorizada de la función cuadrática. Suponiendo que las raíces de la ecuación asociada son: x 1 y x 2 , y el coeficiente principal es a , entonces la forma factorizada es: Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Función Exponencial:

Función Exponencial Para toda constante positiva b, con b≠1, la ecuación y=b x define una función exponencial con base b y dominio R Veamos la gráfica de f(x)=2 x Por ej para x=-3 , Para cualquier valor de x, la función siempre toma valores positivos. Dicho de otro modo, la función f(x)=2 x nunca puede tomar valores negativos ni cero. Decimos entonces que la Imagen de f es {y/y  (0,) } Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Confección de Tabla de Valores para realizar la gráfica de la función y=2x:

Confección de Tabla de Valores para realizar la gráfica de la función y=2 x Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Gráfica de la función exponencial f(x)=bx para distintos valores de b:

Gráfica de la función exponencial f(x)=b x para distintos valores de b Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Características de la función f(x)=bx:

Características de la función f(x)=b x Domf = R Imf = {y R : y  (0,) } Para valores de 0<b<1 la gráfica es decreciente Para valores de b>1 la gráfica es creciente El eje de abscisas (x) es una asíntota de la gráfica Las gráficas de las funciones y son simétricas respecto al eje de ordenadas (y) Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Recordar PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN CON EXPONENTE RACIONAL:

Recordar PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN CON EXPONENTE RACIONAL 1) ( a b )  = a y b números reales tq: a  0 y b  0  y  números racionales Sean: Entonces: 2) ( a/b )  = 3) a  a  = 4) a  / a  = 5) ( a  )  = 6) 1  = a  b  a  / b  a  -  a  +  a   1 Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Gráficas desplazadas:

Gráficas desplazadas Usar las ideas vistas anteriormente sobre desplazamiento de gráficas de funciones para trazar las gráficas de: Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

La función exponencial y = ex:

La función exponencial y = e x Introducido por Leonhard Euler en 1727 Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Fenómenos que responden a modelos de crecimiento / decaimiento exponencial:

Fenómenos que responden a modelos de crecimiento / decaimiento exponencial Considere una población de bacterias en un medio nutriente homogéneo. Suponga que al muestrear la población a distintos intervalos de tiempo, se determina que inicialmente hay 100 bacterias y que la población se duplica cada hora. Calcular la cantidad de bacterias luego de 1, 2, 3, 4 horas. Presentar los cálculos en una tabla de valores. Hallar una fórmula que permita expresar el número B de bacterias como función del tiempo transcurrido t. ¿Qué número de bacterias se encontrará en el cultivo luego de 8 horas? ¿Qué número de bacterias se encontrará en el cultivo luego de 25 minutos? Cuánto tiempo deberá transcurrir para que se encuentren presente en el cultivo 12800 bacterias. Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Ejercicios:

Ejercicios 1) 2) Obtener la fórmula de una función exponencial de la forma f(x)=k.a x , sabiendo que: a) corta al eje de ordenadas en 2 y pasa por el punto (2, 2/9) b) Pasa por los puntos (1,6) y (3,24) Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Función logarítmica:

Función logarítmica Como vimos antes, la función exponencial Es una función biyectiva, por consiguiente tiene inversa. La inversa de la función exponencial es la función logarítmica Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Para toda constante real b > 0, b  1, la ecuación y = logbx define una función logarítmica con base b y dominio para toda x>0 y = logbx equivale a x = by:

Para toda constante real b > 0, b  1, la ecuación y = log b x define una función logarítmica con base b y dominio para toda x>0 y = log b x equivale a x = b y Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Gráfica de la función f(x) = log2x :

Gráfica de la función f(x) = log 2 x Gráfica de la función exponencial f(x) =2 x con su inversa f -1 (x)= log 2 x Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

gráficas de las funciones exponenciales y las respectivas inversas para distintos valores de la base b:

gráficas de las funciones exponenciales y las respectivas inversas para distintos valores de la base b Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

La función logaritmo natural:

La función logaritmo natural Ya vimos la gráfica de la función exponencial de base e. Como vimos es una función biyectiva por consiguiente tiene inversa. Esta es la función logaritmo de base e o logaritmo natural. Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Características de la función logarítmica:

Características de la función logarítmica Dominio = {x / x  R ; x > 0} Imagen = R La función es creciente para b > 1 y es decreciente cuando 0 < b < 1 Es una función biyectiva La gráfica corta al eje de abscisas (x) en 1 El eje de ordenadas (y) es una asíntota vertical Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

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Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Demostración:

Demostración Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Ejercicios:

Ejercicios 1) 2) Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

Aplicaciones de los logaritmos:

Aplicaciones de los logaritmos Fabio Prieto - Fac. de Cs.Exactas y Naturales - UNLPam

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