UNIDAD 1 - NÚMEROS REALES

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Números Reales, Propiedades, Orden en los Reales, Propiedades, Intervalos, Valor Absoluto

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UNIDAD 1:

UNIDAD 1 PROPIEDADES ALGEBRAICAS Y ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES

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Sus propiedades algebraicas básicas El Propiedades básicas del orden Repasaremos: (Axiomas) Las operaciones con números reales Otras propiedades algebraicas Otras propiedades del orden (Axiomas)

NOTACIONES:

NOTACIONES  : existe. : no existe.       para todo ( para toda , para todos, para todas ).  : pertenece.  : no pertenece.  : tal que. ( también se utiliza “ : ” ) tq : (Diccionario) : Si y solo si 

OPERACIONES:

OPERACIONES En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones fundamentales: SUMA y PRODUCTO Respecto a estas operaciones, los números reales tienen ciertas propiedades básicas , también llamadas: Por tratarse de propiedades relacionadas con las operaciones, se conocen como: axiomas. PROPIEDADES ALGEBRAICAS  

Conjunto de los números reales:

Conjunto de los números reales

PROPIEDADES ALGEBRAICAS BÁSICAS:

PROPIEDADES ALGEBRAICAS BÁSICAS Respecto a la suma Respecto al producto (De los números reales) 1.-Asociativa 2.-Conmutativa 3.-Existe elemento neutro 4.-Todo número real tiene inverso 5.-Asociativa 6.-Conmutativa 7.-Existe elemento neutro 8.-Todo número real distinto de cero tiene inverso . 9.- Distributiva del producto respecto a la suma.

QUÉ SIGNIFICAN?:

QUÉ SIGNIFICAN? 1) (a+b)+c =a+(b+c)  a , b y c reales 2) a+b = b+a  a , b reales 3)  0  R tq: a + 0 = 0 + a = a  a real 4)  a  R,  -a  R tq: a +(-a ) = 0 5) ( a b ) c = a ( b c )  a , b y c reales 6) a b = b a  a , b reales 7)  1  R tq: a 1 = 1 a = a  a real 8)  a  R, a 0,  a -1  R tq: a (a -1 ) = 1 9) a (b + c) =a b + a c  a , b y c reales

QUÉ SIGNIFICAN?:

QUÉ SIGNIFICAN? 1) (a+b)+c =a+(b+c)  a , b y c reales 2) a+b = b+a  a , b reales 3)  0  R tq: a + 0 = 0 + a = a  a real 4)  a  R,  -a  R tq: a +(-a ) = 0 5) ( a b ) c = a ( b c )  a , b y c reales 6) a b = b a  a , b reales 7)  1  R tq: a 1 = 1 a = a  a real 8)  a  R, a 0,  a -1  R tq: a (a -1 ) = 1 9) a (b + c) =a b + a c  a , b y c reales

PREGUNTA.......:

PREGUNTA....... PORQUÉ SON BÁSICAS ?

notaciones.......:

notaciones....... a - b = a + (-b) a / b = a . b -1 a .a . a . a . a .......a = a n n veces

OTRAS PROPIEDADES.....:

OTRAS PROPIEDADES ..... b + x = a x = a - b Si b  0 , b x =a x = a/b a 0 = 0 ... y hay muchas más ( también algebraicas ) a (-b) = -(a b) (-a ) (-b) = (a b)

Ejercicio::

Ejercicio: Indicar qué propiedad básica se utilizó en cada paso de la demostración que sigue:

PowerPoint Presentation:

(Ejemplo de demostración ) b + x = a x = a - b b + x = a (b + x) +(-b) = a + (-b) ........ (4) (-b) + (b + x) = a - b ............. (2) (-b +b) + x = a - b ................... (1) (4) (3) 0 + x = a - b .............................. x = a - b .................................... C.Q.D. Probemos que:

ORDEN EN LOS REALES:

ORDEN EN LOS REALES El conjunto de los números reales, es un conjunto Es decir, un conjunto que contiene a otro llamado el conjunto de los números positivos : y se verifican las siguientes propiedades básicas: ORDENADO .

Revisión de Operaciones con Números Racionales:

Revisión de Operaciones con Números Racionales Adición y Sustracción con igual denominador Adición y Sustracción con distinto denominador Multiplicación División Cuadrado de un binomio Diferencia de Cuadrados

PROPIEDADES BÁSICAS RELATIVAS AL ORDEN:

PROPIEDADES BÁSICAS RELATIVAS AL ORDEN O1 - Dado un número real a , una y una sola de las siguientes alternativas es válida: O2 - La suma y el producto de números positivos es un número positivo. 1) a = 0 2) a es positivo 3) - a es positivo

Más... notaciones:

Más... notaciones a < b (ó b >a) significa que b - a es positivo. a  b (ó b  a) significa que o bien a < b ó a = b. (seguimos completando el diccionario)

OTRAS PROPIEDADES RELATIVAS AL ORDEN:

OTRAS PROPIEDADES RELATIVAS AL ORDEN Si a  b y b  c , entonces a  c Si a  b entonces a + c  b + c Si a  b y c  0 entonces a c  b c Si a  b y c  0, entonces a c > b c (que se demuestran a partir de las básicas) no olvidar esta última!!!! ...hay muchas más

Ejercicio::

Ejercicio: Utilizar las propiedades básicas del orden para demostrar que: a) Si a  b y b c , entonces a c b) Si a  b entonces a + c  b + c

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(Ejemplo de demostración ) a  b b - a es positivo b  c Luego, la suma: (b - a) + (c - b) = c - a c - b es positivo a  c C.Q.D. Si a  b y b  c es un número positivo, por propiedad ... O 2 c - a positivo a ) Probemos que: a  c

PowerPoint Presentation:

(Otro ejemplo de demostración ) a < b y c > 0 a c < b c a < b significa que: c > 0 significa que Luego su producto ( b - a ) c = b c - a c es un número positivo Esto significa que: por propiedad ... O2 a c < b c b - a es positivo c es positivo C.Q.D b) Probemos que:

Ejercicio: :

Ejercicio: Averiguar, para cada valor del número x el signo de: + + + + + + + + + + (x-1) 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + -3 + + + + + + + + + 1 -3 (x+3 ) (x+1)(x-3) (x-1) (x+3) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + - - - - - - - - - - - - - - -

Respuesta...:

Respuesta... Negativa si: La expresión (x-1)(x+3) es : x es menor que -3 x es mayor que -3 y menor que 1 Positiva si: ó si x es mayor que 1

NOTACIONES:

(a,b) ={x : a < x < b} a a b a b a b b [a,b) ={x : a  x < b} (a,b] ={x : a < x  b} [a,b] ={x : a  x  b} NOTACIONES Intervalos

NOTACIONES:

(a,  ) ={x : x > a} a b a b (-  , b) = {x : x < b} (-  ,b] ={x : x  b} [a,  ) ={x : x  a} NOTACIONES Más Intervalos (-  , )

RECORDEMOS EL EJERCICIO:

RECORDEMOS EL EJERCICIO (x + 1)(x-3) es positiva si: x  (-, -1) u (3 ,) Averiguar el signo de (x-1) (x+3 ) Escribimos la respuesta usando: INTERVALOS (x + 1)(x-3) es negativa si: x  (-1, 3)

VALOR ABSOLUTO:

VALOR ABSOLUTO a si a  0 0 si a = 0 -a si a  0  a  = Llamaremos valor absoluto del número real a , al número  a  definido como sigue: Definición (también para el diccionario...)

Algunos ejemplos.....:

Algunos ejemplos.....  8  =  6 - 2  = 8  -5  = 5    =  2  =   2 4  2 - 6  =  10 – 0.2  = 4 9.8  0.2- 10  = 9.8 1+a 2  = b-a sabiendo que a>b = 1+a 2 a-b

INTREPRETACIÓN GEOMÉTRICA:

INTREPRETACIÓN GEOMÉTRICA Si a y b son las abscisas de dos puntos de una recta, o como se dice para abreviar, si a y b son dos puntos de una recta, entonces: a b ( Del valor absoluto)  a- b la distancia entre a y b la longitud del segmento de extremos a y b  a - b  es:

USAMOS EL VALOR ABSOLUTO para :

USAMOS EL VALOR ABSOLUTO para Al conjunto de los números reales cuya distancia a 2 es menor que 5 lo indicaremos así: {x  R : x-2  5 } Al conjunto de los números reales cuya distancia a - 6 es mayor ó igual que 1/2 lo expresaremos así: {x  R :  x + 6  1/2 } DESCRIBIR CONJUNTOS

Ejercicio :

{x  R :  x -2   5} -3 -4 - 3/2 4 -2 7 0 { x  R :  x + 1/2   1 } { x  R :  x +2  > 2 } { x  R :  x -1   3 } Ejercicio 1 /2 Representar gráficamente en la recta los conjuntos dados : 2 5 5 1 - 1/2 - 2

Ejercicio::

{x  R : x-2  5 } (-3, 7) {x  R :  x - 1  3 } {x  R :  x + 1/2 < 1 } {x  R :  x + 2  2 } (- , -2] u [4,  ) (-3/2, 1/2) (- , -4] u [0, ) Ejercicio: Utilizar la notación de intervalos para describir los mismos conjuntos del ejercicio anterior:

PROPIEDADES ( Del valor absoluto ):

PROPIEDADES ( Del valor absoluto ) 1) a . b =ab 2) a + b  a +b 3) a / b = a/b 4)  a - b    a -b  Se demuestran a partir de las anteriores Se demuestran a partir de la definición

DEFINICIONES:

DEFINICIONES a 0 = 1 Para avanzar con las operaciones con números reales. si a  R y n  N

MÁS DEFINICIONES::

MÁS DEFINICIONES: Si a > 0 : es el número positivo b tal que b n es igual a a * es el número positivo x , cuyo cuadrado es a o sea, una solución de la ecuación: *  x 2 = a (Exponentes racionales)

MÁS DEFINICIONES::

MÁS DEFINICIONES: Si a < 0 y n impar: * es el número negativo b tal que: b n = a. Siempre que estos valores existan y que n y m sean números enteros   * primos entre sí : (Exponentes racionales)

Algunos ejemplos.....:

Algunos ejemplos..... 4 - 4 3 0.2 2.145

Ejercicio::

Ejercicio: Si pretendiéramos calcular: no puede calcularse . Dar un ejemplo que justifique la necesidad de aclarar: “ que n y m sean números enteros primos entre sí ” para poder definir correctamente: a m / n En cambio, ya vimos que: ((- 4) 6 ) 1/4 = (4096) 1/4 = 8 ((- 4) 1/4 ) 6 en tanto que: (- 4) 3 / 2 no puede calcularse • • * *

De este modo hemos definido:

De este modo hemos definido Queda para cursos futuros... La potenciación con exponente irracional “potenciación con exponente racional ”

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN CON EXPONENTE RACIONAL:

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN CON EXPONENTE RACIONAL 1) ( a b )  = a y b números reales tq: a  0 y b  0  y  números racionales Sean: Entonces: 2) ( a/b )  = 3) a  a  = 4) a  / a  = 5) ( a  )  = 6) 1  = a  b  a  / b  a  -  a  +  a   1

Ejercicio: :

Ejercicio: 1) a = (0,49) 3 = 0,11 1,41 3) c = 14 / a = 127,27 4) d = 0,3 b = 0,42 5) p = 140 – c = 12,73 6) f = 243 b = 342,63 7) g = p 2 = 162,05 8) h = d 5 = 0,01 9) l = f / h = 34.263 10) m = (l – 25.000) 2 = 85.803.169 a) Utilizar la calculadora para efectuar los siguientes cálculos: (usar, truncamiento con 2 cifras decimales)

c) Hallar los valor de m y g primero utilizando la calculadora con truncamiento de 2 cifras decimales y luego utilizando las propiedades correspondientes operando con los números racionales o irracionales según corresponda para obtener el valor exacto de cada expresión. :

c) Hallar los valor de m y g primero utilizando la calculadora con truncamiento de 2 cifras decimales y luego utilizando las propiedades correspondientes operando con los números racionales o irracionales según corresponda para obtener el valor exacto de cada expresión.

Cuál es correcto?:

Cuál es correcto? g = 162 ? ó g ≈ 441,08 ? m = 85.803.169 ? ó m = 0 ?

Pensemos porqué podemos afirmar que...:

Pensemos porqué podemos afirmar que... 0 El valor exacto de m es: 441,08 • • Un valor aproximado de g con un error menor que 0,01 es:

Esto se conoce como...:

Esto se conoce como... Propagación de los errores!!!!

O SEA QUE ....:

O SEA QUE .... HABRÁ QUE UTILIZAR LA CALCULADORA PONIENDO MUCHÍSIMO CUIDADO EN CÓMO LO HACEMOS!!

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