La méthode des éléments finis en électromagnétique

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Dans le cadre du cours de Modélisation via Eléments Finis, chaque binôme se vit assigner un chapitre du livre "Finite Elements Method in Magnetic Field" afin de le traduire et en extraire les principaux points en Français.

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Méthode des Eléments Finis en Electromagnétique Elèves: Sarhan Zerouali Khadija Ouajjani Encadré par: Pr. Bousshine Année Universitaire 2011-2012 3ème GSM Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités

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Plan Aperçu du chapitre 1. Formulations scalaires des guides d’onde fermés 1.1. Guides d’onde homogènes 1.2 Guides d’onde hétérogènes 1.3 Guides d’ondes anisotropes 1.4 Une solution approximative 2. Formulations vectorielles pour les guides d’ondes fermés 2.1 Formulation en termes de trois composants 2.2. Formulation en termes de composants transverses 2.3 Commentaire sur les formulations vectorielles A - Guides d’ondes anisotropes généraux B - Guides d’ondes à pertes C - Limitations 3 .Guides d’onde ouverts 4.Cavités tridimensionnelles En résumé

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Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités Pr. Bousshine 2011-2012 Aperçu du chapitre Les problèmes à valeurs propres sont caractérisés par des équations différentielles et des conditions homogènes. Absence d’une excitation ou une source externe de quelconque forme. Le système s’écrit généralement sous sa forme : [A].{Φ} – λ.[B].{Φ}={0} Avec [A], [B] des matrices connues et {Φ}, λ nos inconnus Résoudre pour λ Ceci aboutira sur une solution non-triviale pour {Φ}, qui sera un vecteur propre. En électromagnétique, la fréquence de résonance correspond aux valeurs propres, et les modes de propagation et de résonance aux vecteurs propres.

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Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités Pr. Bousshine 2011-2012 Aperçu du chapitre Nous nous intéresserons d’abord au cas d’un guide d’onde rempli d’un matériau isotrope homogène Considérer la même structure mais cette fois remplie de matériau hétérogène. Nous étudierons les cas de guides d’ondes chargés de matériaux anisotropes uniaxiaux ou biaxiaux . Nous nous pencherons sur l’étude des formulations à deux vecteurs de champs L’analyse des structures ouvertes des guides d’onde. Finalement, nous conclurons avec une formulation de la MEF pour les cavités à trois dimensions.

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Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités Pr. Bousshine 2011-2012 1. Formulations scalaires des guides d’onde fermés Formulation en MEF d’un guide d’onde fermé connue sous le nom de la formulation Ez -Hz. 1.1. Guides d’onde homogènes Supposons que l’axe infini du guide d’onde est Z et que l’onde se propage suivant ‘z’, les champs dans le guide d’onde sans exprimés sous les forme : E(x, y, z) = E(x, y) ej ( wt - kzz ) H(x, y, z) = H(x, y) ej ( wt - kzz ) W : fréquence angulaire Kz : constante de propagation

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Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités Pr. Bousshine 2011-2012 1. Formulations scalaires des guides d’onde fermés En insérant ces formules dans les équations de Maxwell, nous obtenons : Ez et Hz satisfont à l’équation homogène de Helmholtz : Avec Kt2=w2µ - Kz2

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Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités Pr. Bousshine 2011-2012 1. Formulations scalaires des guides d’onde fermés Dans le cas de TM, Φ= Ez . La condition aux limites de Dirichlet au mur du guide d’ondes est par ailleurs vérifiée, Φ=0. Dans le cas de TE, Φ=Hz. La condition aux limites de Neumann au mur du guide d’ondes est par ailleurs vérifiée, dΦ / dn =0, avec n la normale au mur. F(Φ)= dΦ / dx )2 + ( dΦ / dy )2 - Kt2 Φ2]d Avec  : surface de la section médiane du guide d’onde. En appliquant l’analyse MEF nous aboutissons sur le système d’équations : [K]{Φ}={0} Où la matrice [K] est assemblée à partir de [ Ke ] : Keij = [( dNiedNje )/( dx )2 + ( dNiedNje )/( dy )2 - Kt2NieNje ]d Kt2 : inconnu que nous voulons résoudre. En détaillant Keij , l’équation [K]{Φ}={0} devient : [A]{Φ}= Kt2[B]{ Φ}

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Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités Pr. Bousshine 2011-2012 1. Formulations scalaires des guides d’onde fermés 1.2 Guides d’onde hétérogènes : Le guide d’onde est partiellement chargé avec les matériaux diélectriques. Ez et Hz existent simultanément, d’où la nature hybride du mode de propagation. Les équations d’Ahmed et Daly: Pour résoudre ce problème par le biais de la méthode variationnelle des éléments finis, nous devons déterminer le problème variationnel équivalent.

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Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités Pr. Bousshine 2011-2012 1. Formulations scalaires des guides d’onde fermés

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Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités Pr. Bousshine 2011-2012 1. Formulations scalaires des guides d’onde fermés 1.3 Guides d’ondes anisotropes : Plusieurs matériaux utilisés dans les circuits micro-ondes ont un caractère diéléctriquement anisotrope. Leur permittivité est un tenseur : En cas de symétrie, le tenseur devient : Les équations différentielles de ce problème sont environ les mêmes que précédemment :

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Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités Pr. Bousshine 2011-2012 1. Formulations scalaires des guides d’onde fermés En suivant le même système précédent : Avec

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Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités Pr. Bousshine 2011-2012 1. Formulations scalaires des guides d’onde fermés 1.4 Une solution approximative : Son avantage est la réduction du temps et de l’espace mémoire utilisés par le calculateur. Il y’a deux types de modes hybrides en analyses de guides d’ondes. L’un dominé par Ez et l’autre par Hz. Nous nous intéresserons aux champs au caractère Ez ou Hz dominant. Pour un mode à dominant Ez , nous pouvons écrire la solution approximative via ce système : [A]{ Ez }=[B]{ Ez } Pour Hz, [A’]{Hz}=[B’]{Hz} Ces deux équations sont la forme discrète de l’approximation variationnelle de la solution du problème.

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Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités Pr. Bousshine 2011-2012 2. Formulations vectorielles pour les guides d’ondes fermés : La formulation scalaire, Ez -Hz présente deux difficultés majeures: L’occurrence de solution non-physique. Son incapacité à traiter les matériaux généralement anisotropes, pour lesquels les tenseurs de permittivité ne peuvent être diagonalisés. Pour parer telles difficultés, la formulation vectorielle fut proposée.

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Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités Pr. Bousshine 2011-2012 2. Formulations vectorielles pour les guides d’ondes fermés : 1.Formulation en termes de trois composants : Un problème magnétique peut être décrit via le champ magnétique ou/et électrique. Par conséquent, sa solution peut être formulée avec l’une des deux quantités. Puisque la plupart des matériaux ne sont pas magnétiques et que le champ magnétique est continu au sein de ces matériaux, il est avantageux d’utiliser le champ magnétique pour travailler avec. Au sein d’un guide d’onde fermé, le champ magnétique satisfait l’équation vectorielle différentielle suivant : Conditions aux limites

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Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités Pr. Bousshine 2011-2012 2. Formulations vectorielles pour les guides d’ondes fermés : Le problème variationnel équivalent : Avec La discrétisation de ce problème aboutit sur cette expression : Le système est un problème à valeurs propres généralisé symétrique. Les matrices impliquées ne contiennent qu’une seule inconnue k0 pour laquelle nous pouvons résoudre le problème.

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Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités Pr. Bousshine 2011-2012 2. Formulations vectorielles pour les guides d’ondes fermés : 2.2. Formulation en termes de composants transverses : En ce type de formulation, le terme en divergence est nul. L’équation à résoudre est la suivante : [D] trans ([A])[D]{Ht}=[D] trans ([B])[D]{Ht} 2.3 Commentaire sur les formulations vectorielles : Afin de simplifier, la formulation décrite ci-dessous est pour les guides d’ondes isotropes seulement. Nous discuterons brièvement dans cette section la formulation des guides d’ondes généraux anisotrope ainsi que les limitations basiques de cette méthode

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Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités Pr. Bousshine 2011-2012 2. Formulations vectorielles pour les guides d’ondes fermés : Guides d’ondes anisotropes généraux : La discrétisation en éléments finis de l’équation suivante : Fournit une solution directe malgré sa longueur. Elle requiert de la patience mais ne présente pas de difficultés majeures. Guides d’ondes à pertes : En cas de faible perte, une méthode de perturbation peut être appliquée aux résultats via éléments finis usuels. En cas de perte considérable, le résultat peut être obtenu directement en résolvant un système complexe de problème à valeurs propres que ce soit par la méthode scalaire ou vectorielle

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Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités Pr. Bousshine 2011-2012 2. Formulations vectorielles pour les guides d’ondes fermés : Limitations : Les limitations à discuter sont provoquées par l’utilisation des éléments finis conventionnels et les fonctions d’expansion. Sinon, les conditions aux limites de la méthode vectorielle, surtout en cas d’annulation de la divergence, présentent également des limitations quant aux champs d’application. Mais la plus sérieuse limitation des éléments finis conventionnels est leur incapacité à traiter les bords aigus. En effet, on a trouvé que bien qu’on puisse améliorer la solution en raffinant le maillage autour des arêtes, des solutions non-physiques apparaissent par la même occasion

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Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités Pr. Bousshine 2011-2012 3 .Guides d’onde ouverts Une approche simple serait d’utiliser une frontière virtuelle assez large pour englober le guide d’onde. Une condition aux limites nulle est alors appliquée à la frontière virtuelle. Il y’a trois différentes conditions nulles. L’une avec un champ électrique tangentiel nul (frontière électriquement conductrice), une autre avec un champ magnétique tangentiel nul (frontière magnétiquement conductrice) et la troisième couplant les deux premières. Il faut cependant faire attention à l’endroit où placer la limite et la distance de la condition du guide d’onde. La seconde approche serait d’appliquer les éléments infinis. Dans ce cas, l’entière solution est divisée en deux régions : l’une extérieure et l’autre intérieure. Au sein de la région intérieure, les éléments réguliers de taille finie sont utilisés alors qu’au sein de la région extérieure, ce sont les éléments infinis qui sont sollicités. Il y’en a deux types. L’un exprimant la dépendance des fonctions d’interpolation et l’autre utilisant la décadence des fonctions d’interpolations.

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Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités Pr. Bousshine 2011-2012 3 .Guides d’onde ouverts Une dernière approche impliquerait la même répartition que la seconde mais en utilisant les expansions des fonctions à valeurs propres ou les équations intégrales des frontières. Cette approche fournit des résultats décents mais détruit en contre-partie l’aspect linéaire du problème algébrique. Par conséquent, au lieu de résoudre un problème à valeurs propres, la solution doit être trouvée au prix d’un temps considérables à travers la recherche des racines du déterminant. Il y’a plusieurs autres approches proposés tels que la cartographie conforme proposée par Wu and Chen and la méthode du ballonage proposée par Silvester et Chiang .

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Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités Pr. Bousshine 2011-2012 4 .Cavités tridimensionnelles : Evaluer la résonance d’une cavité est un important problème à valeurs propres en électromagnétique. L’analyse d’un champ électro-magnétique dans une cavité tridimensionnelle revient à minimiser la fonction . Le travail est numériquement effectué Les recherches quant au traitement de cette fonction font encore l’objet de thèses de recherche.

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Chapitre 7 : Problèmes à valeurs propres et cavités Pr. Bousshine 2011-2012 5. Résumé Nous avons décrit l’analyse en éléments finis d’un guide d’onde et nous avons brièvement évoqué le problème des cavités. avons d’abord commencé par la formulation scalaire pour un guide d’onde homogène et hétérogène. Ensuite, nous nous sommes attaqués aux guides d’ondes remplis de matériaux biaxialement anisotropes. Les formulations vectorielles furent par la suite présentées et le traitement des guides d’ondes ouverts brièvement évoqués. Par ailleurs, nous avons aussi parlé de leurs limitations et avons introduit les éléments infinis. Enfin, nous avons parlé de l’analyse des guides d’ondes et cavités en élément infini.

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