: Aplicações no ramo empresarial Função Afim
Slide 2: Universidade Aberta do Brasil – UAB
Universidade do Estado da Bahia – UNEB
Curso - Licenciatura em Matemática Função Afim
Aplicações no ramo empresarial Alunos: Alisson Silva Santana (G26)
e Rita de Cássia Lima Oliveira (G27)
)
Objetivos pretendidos: : Objetivos pretendidos: Expor conceitos básicos inerentes à função afim;
Aplicar a função afim no ramo empresarial. Junho de 2009
Função afim: : Função afim: Conceitos básicos
Definição : Definição 1ª) Uma função f de R ? R chama-se função afim quando existem dois números reais a e b tal que f(x) = ax + b, para todo x ? R (Dante, 2008, p. 54).
2ª) Chamamos função polinomial do 1º grau a função f de R ? R que associa a cada número real x, o número real ax + b, com a ? 0 (Silva e Barreto, 2005, p.126).
Exemplos:
f(x) = 2x – 4 (a = 2 e b = – 4) f(x) = – x + 5 (a = –1 e b = 5)
Observação:
O número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
Casos particulares : Casos particulares Casos particulares da função afim, segundo Dante (2008):
Comentário: Para Silva e Barreto (2005) a função constante não é um tipo de função afim, pois eles não consideram a hipótese de a = 0.
Valor de uma função afim : Valor de uma função afim Considerando a função afim f(x) = 2x – 4, temos:
f(3) = 2 · 3 – 4
f(3) = 6 – 4
f(3) = 2
Assim, para x = 3, temos f(x) = 2.
Zero da função afim : Zero da função afim O valor de x para o qual f(x) = ax + b se anula, ou seja, f(x) = 0, chama-se zero da função afim (Dante, 2008).
Exemplo:
Seja a função afim f(x) = 2x – 4, fazendo f(x) = 0, temos:
2x – 4 = 0
2x = 4
x = 2
Para f(x) = 0, temos x = 2. Logo, 2 é o zero da função.
Construção do gráfico : Construção do gráfico Seja a função f de R ? R definida por y = 2x – 4, atribuindo-se dois valores reais para x temos:
Observações sobre o gráfico : Observações sobre o gráfico O gráfico de uma função afim é sempre uma reta não-vertical;
Apenas dois pontos são necessários para a construção do gráfico;
O ponto em que a reta intercepta o eixo Ox tem como abscissa o valor do zero da função;
O termo constante b, chamado coeficiente linear, é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy;
O coeficiente a, chamado coeficiente angular, está relacionado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. “Quanto maior o valor absoluto de a, mais a reta se afasta da posição horizontal” (Dante, 2008, p. 60).
Crescimento e decrescimento : Crescimento e decrescimento a > 0 a < 0 Função crescente Função decrescente
Taxa de variação : Taxa de variação O coeficiente a é também chamado de taxa de variação. Para obtê-lo são necessários dois pontos quaisquer e distintos de uma função.
Assim:
Na função afim, a taxa de variação a é sempre constante.
Estudo do sinal : Estudo do sinal Consiste em saber para que valores de x:
Exemplo: Estudar o sinal da função y = 2x – 4.
Função afim: : Função afim: Custo – Receita - Lucro
Função custo : Função custo Seja x a quantidade produzida de um produto;
O custo total depende de x;
A relação entre eles chamamos função custo total (e indicamos por Ct);
À soma dos custos, que independem da quantidade produzida, chamamos custo fixo (e indicamos por Cf). Ex.: aluguel;
À parcela de custos que depende de x chamamos custo variável (e indicamos por Cv);
Desta forma, podemos escrever:
Ct(x) = Cf + Cv(x)
Adaptado de Silveira (2009)
Função receita : Função receita Seja x a quantidade vendida de um produto e p o preço unitário;
A receita de vendas depende de x;
A função que relaciona receita com quantidade é chamada função receita (e indicada por R);
Assim, podemos escrever a função receita total:
R(x) = px
Adaptado de Silveira (2009)
Função lucro : Função lucro A função lucro total (indicada por L) representa a diferença entre a função receita e a função custo total. Assim:
L(x) = R(x) - Ct(x)
Adaptado de Silveira (2009)
Função afim: : Função afim: Estudo de caso
Informações: : Informações: O proprietário de uma fábrica de chinelos verificou que, quando se produziam 100 pares de chinelos por mês, o custo total da empresa era de R$ 3.000,00, e quando se produziam 400 pares o custo mensal era de R$ 6.000,00;
O gráfico que representa a relação entre o custo (C) e o número de pares de chinelos produzidos por mês (x) é formada por pontos de uma reta;
O empresário vende cada par de chinelo por R$ 30,00;
A capacidade máxima de produção da empresa é de 600 pares de chinelos/mês.
Adaptado de Dante (2008)
Determinação da regra da função custo : Determinação da regra da função custo Como o gráfico é formado por pontos de uma reta, trata-se de uma função afim, logo y = ax + b.
Cálculo do coeficiente a:
Cálculo do coeficiente b:
y = ax + b
3000 = 10· 100 + b
b = 2000
Logo, C(x) = 10x + 2000
Determinação da regra da função receita : Determinação da regra da função receita R(x) = 30x
Onde:
R = receita total
x = quantidade de pares de chinelos vendidos
Determinação da regra da função lucro : Determinação da regra da função lucro L(x) = R(x) – C(x)
L(x) = 30x – (10x + 2000)
Logo,
L(x) = 20x – 2000
Custo, receita e lucro máximo mensal : Custo, receita e lucro máximo mensal C(600) = 10· 600 + 2000 ? C(600) = 8.000
R(600) = 30· 600 ? R(600) = 18.000
L(600) = 20· 600 – 2000 ? L(600) = 10.000
Considerando que 600 pares é a capacidade máxima de produção mensal, temos:
A partir de quantos pares vendidos o empresário terá lucro? : A partir de quantos pares vendidos o empresário terá lucro? L(x) = 20x – 2000
L(x) = 0
20x – 2000 = 0
x = 100
Assim, vendendo acima de 100 pares ele terá lucro.
Taxa de variação da função lucro : Taxa de variação da função lucro Como L(x) = 20x – 2000, a taxa de variação é 20.
Interpretação: Se a quantidade vendida aumenta de uma em uma unidade, o lucro apresenta uma variação constante de 20. Observe:
L(101) = 20
L (102) = 40
L (103) = 60, e assim por diante.
Esboço dos gráficos : Esboço dos gráficos
Slide 27: Referências DANTE, Luiz Roberto. Matemática (Ensino médio). Vol. Único. São Paulo: Ática, 2008.
Função do 1º grau. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio
/funcao1/funcao1_2.php> Acesso em 01/jun/2009.
Matemática na Economia: Função Custo, Função Receita e Função Lucro. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/matematica-na-economia-funcao-custo-funcao-receita-.htm>. Acesso em 01/jun/2009.
SILVA, Cláudio Xavier da; BARRETO FILHO, Benigno. Matemática aula por aula. 2ª ed. São Paulo: FTD, 2005.
SILVEIRA, Francisco. Funções: aplicações. Disponível em: <http://www.
pucrs.br/famat/silveira/matematica/Fun_Rec.pdf > Acesso em 01/jun/2009.